Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Hoàng Thị Hồng Minh
PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG
MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG
VÀO TOÁN TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊNH
Hà Nội - 2012

Mục lục
Lời nói đầu 1
Lời cảm ơn 2
1 Cơ sở lý thuyết 4
1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô" . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . 5
1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Biến điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Mẫu phân tầng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Mẫu chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các quá trình ngẫu nhiên . 25
1.3.2 Chuyển động Brown và cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4 Mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . 38
1.4.1 Phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . 39
1.4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính 44
2.1 Một số mô hình tài chính.
Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes . . . . . . . 46
2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học S(t) 49
i

MỤC LỤC
2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Định giá quyền chọn và phương pháp Monte - Carlo trong việc xây dựng mô
hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Những hạn chế của mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Kết luận 64
Phụ lục 65
Tài liệu tham khảo 76
ii

Lời nói đầu
Ngày nay, mô phỏng số chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu khoa học, bao gồm
cả mặt lý thuyết và thực nghiệm. Với sự phát triển nhanh và ngày càng phức tạp của các
ngành khoa học nói chung và toán tài chính nói riêng, các phương pháp lý thuyết gặp nhiều
khó khăn, bởi lẽ ở đó thường sử dụng tới các phép tính gần đúng. Mô phỏng số có thể kiểm
chứng những phép tính gần đúng từ lý thuyết, từ đó góp phần hạn chế sai số. Các kết quả
định lượng để mô phỏng số còn được sử dụng để so sánh với các kết quả nghiên cứu thực
nghiệm. Ngoài ra, mô phỏng còn được xem như là bước "số hóa thực nghiệm", nó được tiến
hành trước bước thực nghiệm để thu được kết quả tốt hơn, tiết kiệm được chi phí cho các lần
thực nghiệm. Một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến được ứng dụng trong toán
tài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính.
Tên gọi "phương pháp Monte Carlo" xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm
1949-1950, nhưng thật ra nó ra đời trong những năm 1943-1944 gần như cùng thời với máy
tính điện tử đầu tiên ở Mỹ, và được giới thiệu vào nước ta từ những năm 1963-1964, nhưng
thực sự được áp dụng phổ biến từ sau những năm 1975-1977.
Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường được dùng để mô phỏng các hiện tượng
xác suất, những hiện tượng không thay đổi đặc tính theo thời gian, nó cũng được sử dụng để
tính toán các biểu thức không theo xác suất bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất.
Phương pháp mô phỏng Monte Carlo được ứng dụng phổ biến trong các ngành công
nghiệp tài chính và bảo hiểm. Nó là công cụ cần thiết cho các kỹ sư và chuyên gia tính toán
tài chính khi phải tính toán các loại giá cả hay tính toán rủi ro phức tạp. Do đó, tác giả đã
chọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các cách
cải tiến và ứng dụng của nó trong việc mô phỏng nghiệm của các quá trình vi phân ngẫu
nhiên, cũng như các ứng dụng để định giá quyền chọn trong lĩnh vực toán tài chính.
Bố cục luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, tác giả giới thiệu về phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các định
lí cơ bản, và trình bày các phương pháp khác nhau để tăng tốc độ tính toán mà được gọi
1

MỤC LỤC
chung là phương pháp giảm phương sai. Tiếp theo, tác giả trình bày các kiến thức cơ bản
về quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và mô phỏng Monte Carlo cho chuyển động
Brown. Ngoài ra, tác giả còn mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên
bằng phương pháp xấp xỉ Milstein và xấp xỉ Euler-Maruyama.
Chương 2: Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình toán tài chính
Trong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mô hình Black Scholes, một khung giá
cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes. Tác giả cũng trình bày cách xác định các hệ số thị
trường chứng khoán (µ: tỉ lệ trung bình của giá cổ phiếu luân chuyển; σ: độ biến động giá
của cổ phiếu).
Tác giả đã trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán và quyền chọn mua,
bằng lý thuyết. Tác giả cũng đã thu thập một bộ dữ liệu thật về giá cổ phiếu và dùng nhiều
phương pháp khác nhau để tính toán sau đó so sánh các kết quả chạy máy này với các kết quả
do lý thuyết chứng minh được.
Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
2

Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình
của TS. Nguyễn Thịnh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc
mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
người thầy của mình.
Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa
cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình
giáo dục đào tạo của Nhà trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến
quý báu cho bản luận văn của tác giả.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều
kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình.
Hà nội, tháng 12 năm 2012
Người làm luận văn
Hoàng Thị Hồng Minh
3

Chương 1
Cơ sở lý thuyết
1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo
Phương pháp mô phỏng Monte Carlo hay còn gọi là phương pháp thử thống kê được định
nghĩa như là phương pháp tính, bằng cách biểu diễn nghiệm các bài toán dưới dạng các tham
số của một đám đông lý thuyết và sử dụng dãy số ngẫu nhiên để xây dựng mẫu đám đông mà
từ đó ta thu được ước lượng thống kê của các tham số. Nói cách khác, phương pháp Monte
Carlo cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài toán bằng cách thực hiện các thí nghiệm
lấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên.
Ý tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là xấp xỉ một kỳ vọng E(X) bởi trung bình
cộng các kết quả của nhiều lần thí nghiệm độc lập, trong đó các biến ngẫu nhiên X có cùng
phân phối.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là một trong những kết quả quan trọng của lý thuyết
xác suất, đó là Luật mạnh số lớn.
1.1.1 Luật mạnh số lớn
Định lí 1.1.1. Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng
phân phối và được xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P).
Đặt :
µ = E(X1)
Khi đó, với mọi ω ∈ Ω:
1
n
n
∑
i=1
Xi(ω)
n→∞
−−−→ µ,P−h.c.c
(Xem chứng minh trong [9])
4

Chương 1. Cơ sở lý thuyết
1.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô"
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực với E(X) < ∞.
Thuật toán 1.1.2. (Phương pháp Monte Carlo "thô")
Xấp xỉ E(X) bởi trung bình số học 1
n ∑n
i=1 Xi(ω) , với mọi n ∈ N. Ở đây, Xi(ω) là kết quả
của n phép thử độc lập, có cùng phân phối xác suất với X.
Định lí 1.1.3. (Ước lượng không chệch của phương pháp Monte Carlo)
Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với
X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P).
Khi đó ước lượng Monte Carlo:
Xn :=
1
n
n
∑
i=1
Xi,n ∈ N
là một ước lượng không chệch với µ = E(X), hay một cách tương đương ta có:
E(Xn) = µ
Định lí 1.1.4. (Định lí giới hạn trung tâm)
Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với
X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, ,P).
Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn σ2 = Var(X).
Khi đó:
∑n
i=1 Xi −n.µ
√
n.σ
D
−→ N (0;1); khi n → ∞
1.1.3 Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo
Ví dụ 1. Một thí nghiệm để tính giá trị xấp xỉ của π là giao của một phần của đường
tròn đơn vị (C ) có tâm là gốc tọa độ với hình vuông đơn vị dương [0,1]2.
Thí nghiệm được thực hiện bằng cách lấy ngẫu nhiên các điểm P1,P2,...,Pn của hình
vuông đơn vị và giả sử rằng:
Xi = 1Pi∈C
5

Khi đó : Pi ∈ int(C ) hoặc Pi ∈ bound(C )
Do đó, ta ngầm giả sử rằng điểm được chọn có phân bố đều trên [0,1]2. Khi đó ta có:
P(Pi ∈ C ) =
π
4
Suy ra , xác suất của C bằng diện tích của phần giao đó.
Do hàm chỉ tiêu 1Pi thỏa mãn :
E(1Pi) = P(Pi ∈ C ) =
π
4
Vì vậy chúng ta có thể ước lượng π bằng cách tính trung bình cộng của các Pi tương ứng để
thu được ước lượng Monte Carlo:
ˆπ(ω) =
4
n
.
n
∑
i=1
1Pi∈C (ω)
Tốc độ hội tụ của phương pháp được minh họa bởi bảng kết quả sau:
n 100 10.000 100.000
ˆπ 2.84 3.1268 3.14144
Bảng 1.1 (Ước lượng Monte Carlo "thô" của π)
Nhận xét rằng, tốc độ hội tụ của phương pháp Monte Carlo khá chậm, tuy nhiên cần phải
chú ý rằng sai số tương đối của ước lượng này dưới 0.5 %. So sánh với điều này ta thấy, ước
lượng với n = 100.000 cho ta kết quả tương đối chính xác.
Độ tin cậy [ ˆπlow, ˆπup] của ước lượng Monte Carlo được tính :
n 100 10.000 100.000
ˆπlow 2.477 3.0938 3.13105
ˆπup 3.203 3.1598 3.15183
Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% của π)
Ví dụ 2. (Ước lượng xác suất của một biến cố)
Ước lượng xác suất của một biến cố là một trong những ứng dụng quan trọng của
phương pháp Monte Carlo.
Giả sử A là một biến cố nào đó. Ước lượng P(A)?
Xét :
1A(ω) =



1 nếu ω ∈ A
0 nếu ω /∈ A
6

Suy ra E(1A) = P(A) và khi đó ước lượng Monte Carlo cho P(A) là tần suất tương đối của
số lần xuất hiện của A trong n lần thí nghiệm độc lập. Một cách hình thức, giả sử Ai là số
lần xuất hiện A trong thí nghiệm thứ i, khi đó ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A)
như sau:
rfn(A) =
1
n
.
n
∑
i=1
1Ai
Khi đó ta cũng có:
Var(1A) = P(A).(1−P(A)), ˆσn = rfn(A).(1−rfn(A))
và khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là:
[rfn(A)−
1.96
√
n
. ˆσn,rfn(A)+
1.96
√
n
. ˆσn]
Ví dụ 3. (Tích phân Monte Carlo)
Một ứng dụng rất đơn giản nhưng hiệu quả của Monte Carlo là tính gần đúng các giá
trị của các tích phân tất định có dạng:
[0,1]d
g(x)dx
(g(x) là hàm bị chặn, nhận giá trị thực.)
Hàm mật độ f(x) của phân bố đều d chiều trên [0,1]d :
f(x) = 1[0,1]d (x); x ∈ Rd
Khi đó, với X ∼ U ([0,1]d):
I =
[0,1]d
g(x)dx = f(x)g(x)dx = E(g(X))
Giả sử X1,...,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố đều trên [0,1]d, khi đó, ước
lượng Monte Carlo là:
ˆIn(ω) =
1
n
.
n
∑
i=1
g(Xi(ω))
Cụ thể, ta áp dụng mô phỏng Monte Carlo để tính tích phân I =
1
0
cos(x2).sin(x4)dx.
Tích phân này không tính được theo một công thức thông thường.
Trước hết, ta có nhận xét:
• Với một biến ngẫu nhiên X, với một hàm mật độ f(x) và ϕ là một hàm Borel thì biến
ngẫu nhiên Y = ϕ(X) có kỳ vọng là:
E(Y) =
∞
−∞
f(x).ϕ(x)dx.
7

• Mặt khác, với một biến ngẫu nhiên V phân phối đều trên [0,1], ta biết rằng hàm mật độ
của nó là:
fV (x) =



1 nếu x ∈ [0,1]
0 nếu x /∈ [0,1]
• Do đó, đối với một tích phân
1
0
ϕ(x)dx ta có thể viết nó dưới dạng:
1
0
1.ϕ(x)dx =
∞
−∞
fV (x).ϕ(x)dx = E[ϕ(V)]
Vì vậy, bài toán tính tích phân trên trở thành bài toán tính kỳ vọng E[ϕ(V)], trong đó V là
biến ngẫu nhiên phân phối đều trên[0,1] mà ta luôn có thể mô phỏng trên máy tính.
Đối với tích phân I =
1
0
cos(x2).sin(x4)dx = E[cos(V2).sin(V4)], ta có thuật toán để tính I
như sau:
(1). Chọn một số nguyên dương n khá lớn;
(2). Mô phỏng V,U ∼ U[0,1];V,U độc lập;
(3). Đặt Ti = cos(V2
i ).sin(U4
i ), với i = 1,2,3,...,n;
(4). Ước lượng I bởi ˆθn = 1
n.∑n
k=1 Tk;
(5). I ˆθn.
Dùng hàm ’quald’ với các hệ số mặc định của hàm ta được kết quả xấp xỉ sau:0.139567
Sau đây là một số ước lượng của tích phân I ứng với các giá trị lớn n :
n I ˆθn
ˆθn − 3σn√
n
ˆθn − 3σn√
n
103 0.145294 0.130071 0.160518
104 0.138850 0.134105 0.143595
105 0.139484 0.137974 0.140993
1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo
Nhược điểm chính của phương pháp mô phỏng Monte Carlo là tốc độ hội tụ của nó.
Trong xác suất, điều này chỉ được khắc phục khi độ lệch chuẩn giảm thì số lần mô phỏng sẽ
giảm. Do đó, nếu có thể thay đổi tốc độ hội tụ của phương sai thì có thể tăng tốc độ tính toán
điện tử, theo nghĩa rằng đạt được độ chính xác, đòi hỏi số ít lần chạy mô phỏng. Mọi sự cải
tiến của phương pháp Monte Carlo "thô" được gọi là phương pháp giảm phương sai . Trong
mục này tôi xin giới thiệu một số phương pháp giảm phương sai phổ biến.
8

1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc
Phương pháp sử dụng các biến ngẫu nhiên xung khắc là phương pháp giảm phương sai
dễ dàng nhất. Nguyên lý cơ bản là giảm phương sai bằng cách lấy đối xứng. Giả sử chúng
ta muốn tính E(f(X)) với X là một biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0,1]. Khi đó ước
lượng Monte Carlo "thô" sẽ là:
f(X) =
1
n
.
n
∑
i=1
f(Xi)
với Xi là các thành phần độc lập của X. Ta sử dụng các số 1−X1,...,1−Xn và định nghĩa ước
lượng Monte Carlo xung khắc:
fanti(X) =
1
2
.(
1
n
n
∑
i=1
f(Xi)+
1
n
n
∑
i=1
f(1−Xi)) (1.1)
Chú ý rằng khi cả X và 1 − X có cùng phân bố, thì cả hai tổng ở vế phải của đẳng thức
(1.1) đều là ước lượng không chệch của E(f(X)). Do đó ước lượng xung khắc cũng là không
chệch. Đặt σ2 = Var(f(X)). Khi đó phương sai của ước lượng xung khắc được cho bởi:
Var(fanti(X)) =
σ2
2n
+
1
2n
Cov(f(X), f(1−X))
Mệnh đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Chebyschev.)
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực. Giả sử f,g là các hàm không giảm với
Cov(f(X),g(X)) hữu hạn. Khi đó ta có:
E(f(X)g(X)) ≥ E(f(X))E(g(X))
Bằng việc chọn g(x) = −f(1 − x), ta có mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ mệnh đề
trên:
Mệnh đề 1.2.2. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố đều).
Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố đều trên [0,1] với
Cov(f(X), f(1−X)) hữu hạn. Khi đó ta có:
Cov(f(X), f(1−X)) ≤ 0
Mệnh đề 1.2.3. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố chuẩn)
Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố chuẩn N (µ,σ2) với
Cov(f(X), f(2µ −X)) hữu hạn. Khi đó ta có:
Cov(f(X), f(2µ −X)) ≤ 0
9

1.2.2 Biến điều khiển
Nguyên lý của biến điều khiển dựa trên ý tưởng: nếu muốn tính E(X), thì phải cố gắng
tính toán càng nhiều để độ chính xác càng tốt. Chính xác hơn, nếu biết một biến ngẫu nhiên
Y gần tới X theo một nghĩa nào đó và có thể tính toán E(Y) một cách chính xác, khi đó biến
ngẫu nhiên này có thể được chọn như là biến điều khiển, một cách tương đương ta có:
E(X) = E(X −Y)+E(Y)
từ đó dẫn đến ước lượng biến điều khiển Monte Carlo sau:
XY =
1
n
n
∑
i=1
(Xi −Yi)+E(Y)
với Xi,Yi là các thành phần độc lập của X,Y. Từ biểu thức liên hệ:
Var(XY ) =
1
n
.Var(X −Y) =
1
n
(Var(X)+Var(Y)−2Cov(X,Y))
ta thu được sự giảm phương sai của trong ước lượng biến kiểm soát Monte Carlo so với ước
lượng Monte Carlo "thô" như sau:
Do
Var(X) ≥ Var(X −Y)
nên độ chênh lệch về phương sai của hai phương pháp ước lượng là:
2Cov(X,Y)−Var(Y)
Những ứng dụng mở rộng của phương pháp biến điều khiển.
1. Tối ưu hóa biến điều khiển:
Nếu ta tìm thấy biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn yêu cầu thì aY cũng được sử dụng như một
biến điều khiển với a > 0. Do tính chất tuyến tính của kỳ vọng, ước lượng biến điều khiển
mới cũng không chệch. Vì vậy việc sử dụng biến điểu khiển Y đạt được thông qua số nhân
a∗ nhỏ nhất:
g(a) = Var(X −aY) = Var(X)+a2
.Var(Y)−2aCov(X,Y)
= σ2
+a2
.σ2
Y −2a.σX,Y
(1.2)
Từ đó, ta có:
a∗
=
σX,Y
σ2
Y
và:
2a∗
Cov(X,Y)−(a∗
)2
.Var(Y) =
σ2
XY
σ2
Y
10

kết hợp với:
σXY = ρX,Y .σX.σY
Ta có sự giảm phương sai tối đa như sau:
2a∗Cov(X,Y)−(a∗)2.Var(Y)
Var(X)
= ρ2
X,Y
2. Điều khiển bội
Theo cách xây dựng ước lượng biến điều khiển, ta có thể lấy thêm một biến điều khiển
khác, gọi là Z, như sau:
XY,Z = XY =
1
n
n
∑
i=1
Zi +E(Z)
Đây là ước lượng không chệnh với µ = E(X). Hơn nữa, nó còn dẫn đến sự giảm phương sai
nếu:
Var(Z) < 2Cov(XY ,Z)
Trong trường hợp Zi và Yi không tương quan, thì ta có:
Var(Z) < 2Cov(X,Z)
Vậy một trong những ứng dụng của điều khiển bội là dùng trong trường hợp nhiều chiều:
X = f(Y1,...,Yd)
đó là phương pháp điều khiển biến trong trường hợp không có điều kiện.
3. Biến điều khiển và chuỗi xấp xỉ
Không dễ dàng để tìm được một biến điều khiển tốt. Giả sử có ước lượng :
µ = E(f(X))
và có khai triển xấp xỉ Taylor đến bậc k như sau:
fk(x) =
n
∑
i=1
f(j)(x0)
j!
(x−x0)j
Vấn đề đặt ra là, liệu có thể xác định được giá trị x0 như trên để có thể giảm phương sai
một cách nhiều nhất khi sử dụng fk(X) như là hàm biến thiên đồng thời. Tất nhiên điều này
phụ thuộc nhiều vào việc tính toán tất cả các giá trị của X cho đến bậc k và đặc biệt là tính
tất cả các phương sai: Cov(X j, f(X)) .
11

Ví dụ 4.
Xét một tích phân đơn giản
1
0
x2 dx;.
Ta có thể thay thế biến điều khiển X của f(X) = X2 bởi biến điều khiển:
f1(X) = f (
1
2
)(X −
1
2
)+ f(
1
2
) = X −
1
4
Vì vậy, ước lượng tuyến tính tốt nhất mà ta đạt được trong trường hợp này là xấp xỉ Taylor
cấp 1 tại giá trị x0 = 1
2.
(Xem hình 1.1)
Hình 1.1:
4. Biến điều khiển trung bình không điều kiện
Phương pháp sử dụng biến ngẫu nhiên điều khiển không điều kiện là xấp xỉ kỳ vọng của
các hàm nhiều chiều:
E(g(X)) = E(g(X(1)
,...,X(d)
))
với d đơn biến điều khiển.
YUMj
(X) = g(µ1,...,µi−1,X(i)
,µi+1,...,µd), j = 1,...,d
với µj = E(X(j)), được gọi là biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện.
Ta có ước lượng của biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện:
X
UMC
n =
1
n
n
∑
i=1
g(Xi)−
d
∑
j=1
YUMj
(X) +
d
∑
j=1
E(YUMj
(X))
12

Ví dụ 5.
Ta xem xét một ví dụ đơn giản như sau:
Giả sử có biến ngẫu nhiên X = (X(1),X(2),X(3)) có phân bố chuẩn nhiều chiều
X ∼ N










1
1
1





,





1 0.8 0.8
0.8 1 0.64
0.8 0.64 1










Ta muốn ước lượng:
E(g(X)) = E(X(1)
.X(2)
.X(3)
)
Suy ra, biến điều khiển đơn giản là các thành phần X(i). Khi đó ước lượng của biến ngẫu
nhiên trung bình không điều kiện được cho như sau:
X
UMC
n =
1
n
n
∑
i=1
(X
(1)
i .X
(2)
i .X
(3)
i −X
(1)
i −X
(2)
i −X
(3)
i )+3
Chẳng hạn, với n = 10.000, một mô phỏng cho ta những kết quả cho trong bảng 1.3 dưới
đây.
Phương pháp Trung bình Cận dưới Cận trên
CMC 3.240 3.120 3.361
UMCV 3.201 3.096 3.306
Bảng 1.3 E(X(1).X(2).X(3)) ước lượng Monte Carlo "thô" (CMC) và phương pháp biến ngẫu
nhiên điều khiển trung bình không điều kiện (UMCV), n = 10.000
1.2.3 Mẫu phân tầng
Trong phương pháp phân tầng lấy mẫu, phương sai của biến ngẫu nhiên X được chia
thành d phần khác nhau được xác định bởi các giá trị y1,...,yd của một biến ngẫu nhiên thứ
hai là Y. Khi đó, nếu:
• phân bố xác suất của Y đã biết hoặc dễ dàng tính toán được, và
• X|Y có thể dễ dàng mô phỏng
thì:
µ = E(X) =
d
∑
i=1
E(X|Y = yi).P(Y = yi)
Nếu tất cả các xác suất pi = P(Y = yi) đều đã biết thì ta chỉ cần mô phỏng d kỳ vọng khác
nhau với phương pháp Monte Carlo "thô" phù hợp. Để chứng minh rằng điều này dẫn đến sự
13

giảm phương sai, với i = 1,...,d ta định nghĩa:
Xi,ni =
1
ni
ni
∑
j=1
X
(i)
j , µi = E(X|Y = yi), σ2
i = Var(X|Y = yi)
Tất cả các biến ngẫu nhiên X
(i)
j có cùng phân bố xác suất với X|Y = yi. Khi đó ta có ước
lượng Monte Carlo phân tầng của µ là:
Xstrart,n =
d
∑
i=1
pi.Xi,ni
với n = n1 +...+nd.
Nhận xét thấy rằng ước lượng Monte Carlo phân tầng là ước lượng không chệch của µ. Thậm
chí, ta có thể thấy rằng ước lượng phân tầng có phương sai nhỏ hơn so với ước lượng Monte
Carlo "thô", thật vậy :(chú ý rằng các Xi,ni,i = 1,...,d độc lập (có điều kiện))
Var Xstrart,n = Var
d
∑
i=1
pi.Xi,ni =
d
∑
i=1
p2
i .
σ2
i
ni
=
d
∑
i=1
pi
ni
piσ2
i
Và từ:
E(Var(X|Y)) =
d
∑
i=1
Var(X|Y = yi).P(Y = yi) =
d
∑
i=1
piσ2
i ,
σ2
= Var(X) = E(Var(X|Y))+Var(E(X|Y)) ≥ E(Var(X|Y))
Nếu E(X|Y) khác hằng số h.c.c, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.4. (Giảm phương sai với các trọng số được lựa chọn tốt)
(a) Với các kí hiệu n1,...,nd tồn tại ở trên thì phương sai của ước lượng Monte Carlo phân
tầng nhỏ hơn so với ước lượng Monte Carlo "thô" của µ.
(b) Giả sử rằng tất cả các giá trị của npi đều là số nguyên. Khi đó, với sự lựa chọn tỉ lệ
phân tầng ni = npi, phương sai của ước lượng Monte Carlo phân tầng nhỏ hơn thực sự so với
phương sai của ước lượng Monte Carlo "thô" nếu E(X|Y) không là hằng số hầu chắc chắn.
(c) Việc giảm phương sai lớn nhất là khi chọn:
n∗
i = n.
piσi
∑d
j=1 pjσj
(không giảm tổng quát, ta giả sử rằng tất cả σj là các số dương).
1.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện
Giả sử rằng:
• E(X|Y) có thể được tính toán một cách chính xác bằng công thức tích phân đã cho.
14

• Phân bố của Y được ước lượng bằng phương pháp Monte Carlo (thô).
Bằng việc biến đổi:
µ = E(X) = E(E(X|Y)) (1.3)
ta có một ước lượng Monte Carlo của µ bằng cách lấy mẫu E(X|Y). Ước lượng Monte Carlo
có điều kiện được tính như sau:
• Lấy mẫu Y n lần để được các giá trị Y1,...,Yn,
• Tính E(X|Yi)
• Đặt:
Xcond,n =
1
n
n
∑
i=1
E(X|Yi)
Nhận xét thấy rằng Xcond,n là ước lượng không chệch. Ta có:
σ2
= Var(X) = E(Var(X|Y))+Var(E(X|Y)) ≥
≥ Var(E(X|Y)) =: σ2
cond
Khi đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.5. Với các kết quả và kí hiệu trên, phương sai của ước lượng Monte Carlo có
điều kiện không vượt quá phương sai của ước lượng Monte Carlo thô. Nếu X|Y khác hằng
số hầu chắc chắn thì bằng việc sử dụng ước lượng Monte Carlo có điều kiện sẽ giảm được
phương sai (lượng phương sai giảm được là σ2 −σ2
cond).
1.2.5 Mẫu chính
Mẫu chính được xây dựng dựa trên một sự biến đổi trực tiếp của hàm mật độ của X (hoặc
biến đổi hàm xác suất, trong trường hợp X là một biến ngẫu nhiên rời rạc). Ý tưởng chính của
phương pháp lấy mẫu chính là để tìm một phân phối cho các biến ngẫu nhiên cơ bản bằng
cách xác định một mẫu có xác suất cao với những giá trị rất quan trọng để tính toán kỳ vọng,
E(g(X)).
Để thấy sự thay đổi của phương pháp, ta quay lại xem xét tích phân Monte Carlo trong ví
dụ 3. Với f(x) là hàm mật độ của phân bố đều trên U[0,1]d ta có:
[0,1]d
g(x)dx = g(x)f(x)dx = E(g(X))
từ đây ta có thể tính tích phân xác định thông qua sử dụng N biến ngẫu nhiên độc lập X1,...,XN
có phân phối đều trên U[0,1]d để có ước lượng Monte Carlo thô:
IN(ω) =
1
N
N
∑
i=1
g(Xi(ω))
15

Cụ thể ta xét trường hợp: d = 1,g(x) = x.(1 − x) là một hàm không âm, đối xứng trên
đoạn [0,1], g(1) = g(0) = 0, max
[0,1]
g(x) = g(1
2) = 1
4. Bây giờ thay vì dùng phân phối đều trên
đoạn [0,1], thì ta sử dụng phân phối tam giác cho biến ngẫu nhiên X, tức là nó có mật độ xác
suất :
˜f(x) =



0, nếu x ≤ 0 hoặc x ≥ 1
4x, nếu 0 < x < 1
2
4−4x, nếu 1
2 ≤ x < 1
(1.4)
(Xem hình 1.2 và hình 1.3)
Hình 1.2:
Khi đó giá trị của tích phân sẽ không thay đổi nếu ta lấy mẫu theo hàm mật độ ˜f, ta có:
1
0
x.(1−x)dx =
1
0
x.(1−x)
˜f(x)
˜f(x)dx
Điều này có nghĩa rằng khi chúng ta sử dụng phân phối mới, chúng ta có mẫu X(1−X)
f(X)
để có
được ước lượng Monte Carlo mới:
Iimp =
1
N
N
∑
i=1
Xi(1−Xi)
˜f(Xi)
Chú ý rằng, Xi có phân phối theo mật độ ˜f(.) .
Một so sánh đơn giản của việc sử dụng ước lượng Monte Carlo giữa xấp xỉ đều và xấp xỉ
tam giác với N = 1.000 cho thấy sự vượt trội của phương pháp mới. Kết quả thu được là:
16

Hình 1.3:
Phương
pháp
Kết quả Khoảng tin cậy 95% Phương sai
CMC 0.163 [0.158, 0.167] Var(Icrude) = 1
180N
IMC 0.168 [0.166, 0.170] Var(Iimp) = 1
1152N = 1
64.18N
(CMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlo thô; IMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlo
bằng lấy mẫu chính.); kết quả chính xác bằng 1
6
Nhận xét thấy rằng, việc sử dụng phương pháp lấy mẫu chính cho ta kết quả chính xác
hơn. Mặt khác, với phương pháp mới này, phương sai cũng nhỏ hơn so với phương pháp cũ
(Var(Icrude) ≥ Var(Iimp)). Như vậy, phương sai của ước lượng Monte Carlo bằng việc sử
dụng phương pháp lấy mẫu chính đã được giảm ít hơn 1/6 so với phương sai của ước lượng
Monte Carlo thô.
Bây giờ ta sẽ áp dụng phương pháp lấy mẫu chính để tính kỳ vọng trong trường hợp tổng
quát:
E(g(X)) = g(x)f(x)dx
Trong đó, biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong Rd có hàm mật độ là f(x), và giả sử rằng kỳ
vọng của hàm g : Rd → R tồn tại.
Mọi hàm mật độ ˜f(x) trên Rd thỏa mãn:
˜f(x) > 0, (∀x : f(x) > 0) (1.5)
17

và độ đo xác suất của nó là ˜P . Ta có:
E(g(X)) = g(x)f(x)dx = g(x)
f(x)
˜f(x)
˜f(x)dx
= ˜E g(X)
f(X)
˜f(X)
= ˜E( ˜g(X))
(1.6)
Ở đây ˜E(.) là kỳ vọng tương ứng với ˜P.
Hàm có trọng số f(X)
˜f(X)
được gọi là hàm tỷ số hợp lý của sự thay đổi từ độ đo xác suất P sang
˜P.
Ước lượng mẫu chính của µ = E(g(X)) được định nghĩa như sau:
Iimp, ˜f,N(g(X)) =
1
N
N
∑
i=1
˜g(Xi) =
1
N
N
∑
i=1
g(Xi)
f(Xi)
˜f(Xi)
Trong đó các Xi là độc lập và có phân phối theo hàm mật độ ˜f của mẫu chính.
Nhận xét rằng, ước lượng của mẫu chính là ước lượng không chệch và ước lượng vững.
Phương sai của nó được cho bởi:
σ2
imp, ˜f,N
= ˜Var(Iimp, ˜f,N(g(X)))
=
1
N
˜Var( ˜g(X)) =
1
N
˜E ˜g(X)2
− µ2
=
1
N

 g(x)2 f(x)
˜f(x)
f(x)dx− µ2


(1.7)
Khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho E(g(X)):
Iimp, ˜f,N(g(X))−1.96
˜σimp, ˜f,N
√
N
, Iimp, ˜f,N(g(X))+1.96
˜σimp, ˜f,N
√
N
trong đó ˜σimp, ˜f,N là độ lệch tiêu chuẩn mẫu của ước lượng mẫu chính.
Nếu g(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rd, ta chọn:
˜f(x) = c.f(x).g(x) =
f(x).g(x)
f(y).g(y)dy
thì ˜f là hàm mật độ trên Rd và ta có ˜g(X) = 1
c , tức là:
˜Var Iimp, ˜f,N(g(X)) = 0
Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp là tìm hằng số c bằng phương pháp Monte Carlo, ở
đó: µ = 1
c .
18

Mệnh đề 1.2.6. (Giảm phương sai bằng phương pháp lấy mẫu chính)
Giả sử g(.) là một hàm không âm. Khi đó tồn tại hàm mật độ của mẫu chính ˜f sao cho ta có:
˜Var Iimp, ˜f,N(g(X)) < ˜Var I(g(X)N)
với I(g(X)N là ước lượng Monte Carlo của E(g(X)). Hơn nữa, mọi hàm ˜f thỏa mãn tính chất
(1.5) ta có:
Var I(g(X))N − ˜Var Iimp, ˜f,N(g(X)) =
=
1
N

 g(x)2
1−
f(x)
˜f(x)
f(x)dx


Một số phương pháp phổ biến để có được hàm mật độ của mẫu chính
1. Dịch chuyển hàm mật độ và nguyên lý cực đại .
Ý tưởng của phương pháp này là thay thế f(x) bởi :
˜f(x) = f(x−c)
với c là hằng số thỏa mãn:
˜g(x) =
f(x)
f(x−c)
g(x)
Khi đó thực hiện nguyên lý cực đại, tức là chọn c sao cho ˜f(x) và g(x)f(x) đạt cực đại tại
cùng một giá trị xmax. (Chú ý rằng xmax không phải là duy nhất, nên không phải việc chọn
giá trị c lúc nào cũng rõ ràng). Trong trường hợp đặc biệt của một hàm mật độ chuẩn nhiều
chiều:
f(x) = φν,∑ (x) =
1
2d/2|det(∑)|
.exp −
1
2
(x−ν) ∑ −1
(x−ν)
Nhận xét rằng f(x) đạt giá trị lớn nhất tại ν, do đó ta chọn:
c = ν∗
−ν
với:
ν∗
= arg maxx{g(x)f(x)}
Ví dụ 6. (Tính toán chi phí cho các sự kiện tiêu cực có phân phối chuẩn)
Giả sử ta có X ∼ N(0,1) và chúng ta phải đối mặt với chi phí của g(X) nếu quan sát
các giá trị của X lớn hơn 10. Ví dụ, như là một vụ phá sản của Mỹ hay là một tai nạn nghiêm
trọng ở nhà máy điện hạt nhân.
Nếu bây giờ ta sử dụng ước lượng Monte Carlo thô, thì ngay cả đối với một số lượng N lớn,
cũng không quan sát một giá trị đơn lẻ Xi > 10 , và do đó ước lượng chi phí trung bình
19

E(g(X)) bằng 0.
Nếu lấy:
g(x) := C.x.1[10,∞)(x)
với C là hằng số rất lớn, khi đó ta có:
10 = argmax
x
C.x.1[10,∞)(x).
1
√
2π
.exp −
x2
2
Do đó, ta lấy:
˜f(x) = ϕ0,1(x−10) =
1
√
2π
exp −
(x−10)2
2
khi đó có được ước lượng mẫu chính:
Iimp, ˜f,N(g(X)) =
1
N
N
∑
i=1
C.Xi.1Xi≥10 exp(50−10Xi)
(xem hình 1.4) với Xi ∼ N (10,1) , các Xi độc lập.
Với N = 10.000 và C = 109, dẫn đến ước lượng: 7528.10−14 với khoảng tin cậy xấp xỉ 95%
là:
[7029.10−14
,8031.10−14
]
So sánh với giá trị chính xác:
C.exp(−50).
1
√
2.π
= 7695.10−14
2. Thay đổi dáng điệu của hàm mật độ bởi tỷ lệ
Ý tưởng là thay thế f(x) bởi
˜f(x) =
1
c
f
x
c
với c > 0 ta có:
˜g(x) = c
f(x)
f x
c
g(x)
(Nhận xét rằng, nếu chọn một giá trị lớn của c 1 thì phương sai của phân phối ứng với hàm
mật độ ˜f bằng phương sai tương ứng với hàm mật độ f ban đầu nhân với c2).
Ví dụ 7. (Với các giả thiết như trong ví dụ 6)
Chọn tham số c sao cho xác suất có nghĩa trong khoảng [10,∞) khi mô phỏng các số
ngẫu nhiên theo hàm mật độ chuyển đổi ˜f. Đối với biến ngẫu nhiên Xσ có phân bố chuẩn
N (0,σ2), ta có:
P(Xσ ≥ σ) = 1−Φ(1) = 0.159
20

ta có thể chọn σ = 10. Nghĩa là 1/6 các số ngẫu nhiên Xi được tạo ra thuộc khoảng [10,∞)
và do đó có thể có được ước lượng mẫu chính khác 0.
(xem hình 1.5)
Tuy nhiên, bằng việc chọn σ = 10, ta tăng độ lệch chuẩn của phân bố mẫu lên gấp 10 lần.
Khi đó ta có được ước lượng 8259.10−14 với khoảng tin cậy xấp xỉ 95% là [5956.10−14,1056.10−13].
Trong khi đó giá trị chính xác là 7659.10−14 thuộc khoảng tin cậy trên, do đó ước lượng này
khá là không ổn định.
3. Lấy mẫu có điều kiện bị hạn chế bởi miền giá trị
Thay điều kiện (1.5) bởi điều kiện sau:
˜f(x) > 0, ∀x thỏa mãn g(x)f(x) = 0 (1.8)
Khi đó xét trên một khoảng [a,b] (ở đây có thể a = −∞,b = +∞), ta có:
f{X|X∈[a,b]}(x) =
f(x)
P(X ∈ [a,b])
Nếu ta chọn mật độ có điều kiện là mật độ của mẫu chính thì sẽ có một hàm tỷ số hợp lý:
f(x)
˜f(x)
= P(X ∈ [a,b])
Điều này cũng giúp ta tính ước lượng của mẫu chính dễ dàng hơn, ta cũng có:
Iimp, ˜f,N(g(X)) =
1
N
N
∑
i=1
˜g(Xi) =
1
N
P(X ∈ [a,b])
N
∑
i=1
g(Xi)
trong đó Xi là mẫu được lấy từ mật độ có điều kiện.
Nếu khoảng mà ta lấy điều kiện có một xác suất rất nhỏ thì việc tính toán xác suất này sẽ là
một vấn đề khó khăn. Để tránh điều này ta sử dụng phương pháp dịch chuyển có điều kiện:
đầu tiên, bằng sự dịch chuyển thích hợp ta biến đổi mật độ (hoặc một phần) vào miền xác
định (mà ta quan tâm); sau đó sử dụng mật độ đã được chuyển dịch thay cho mật độ ban đầu
với điều kiện trong miền xác định đó. Khi đó ta lại có một ước lượng của mẫu chính:
Iimp, ˜fcond,N(g(X)) =
1
N
˜P(X ∈ [a,b])
N
∑
i=1
g(Xi)
f(Xi)
˜fcond(Xi)
với ˜fcond(x) là mật độ thu được bằng cách dịch chuyển có điều kiện mật độ ˜f(x).
21

Ví dụ 8.
Với các giả thiết cho trong ví dụ 6, một điều kiện thuần để dẫn đến ước lượng của mẫu
chính:
Iimp, ˜f,N(g(X)) =
1
N
P(X ∈ [10,∞))
N
∑
i=1
C.Xi
Tuy nhiên, xác suất xảy ra ước lượng là rất bé và rất khó để phân biệt với 0. Đối với các
phương pháp tiếp cận kết hợp, đầu tiên ta thực hiện một sự thay đổi theo nguyên tắc tối đa
dẫn đến một phân bố chuẩn N(10,1). Suy ra ước lượng của mẫu chính kết hợp:
Iimp, ˜fcond,N(g(X)) =
1
N
N
∑
i=1
C.Xi.1Xi≥10.
1
2
exp(50−10Xi)
trong đó Xi là mẫu được lấy từ phân bố có điều kiện.
Kết quả của việc thực hiện kết hợp các phương pháp là kết quả chính xác nhất được minh
họa trong bảng so sánh dưới đây, trong đó giá trị đúng là 7695.10−14:
Phương pháp Ước lượng Cận dưới Cận trên
Monte Carlo thô 0 0 0
Dịch chuyển trung bình 7528.10−14 7029.10−14 8030.10−14
Định tỷ lệ 8259.10−14 5956.10−14 1056.10−13
Kết hợp điều kiện 7621.10−14 7380.10−14 8611.10−13
Bảng 1.4 (Các phương pháp mẫu chính khác nhau với khoảng tin cậy 95% )
Hình 1.4: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ dịch chuyển mẫu chính ˜f(x)
22

Hình 1.5: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ tỷ lệ mẫu chính ˜f(x)
Hình 1.6: Mật độ dịch chuyển ˜f(x) và mật độ dịch chuyển có điều kiện ˜fcond(x)
1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục
Quá trình ngẫu nhiên là mô hình toán học của rất nhiều bài toán thực tế xuất hiện trong
khoa học và công nghệ. Nó mô tả sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tác
động của các nhân tố ngẫu nhiên. Tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ xem xét các hiện tượng như
giá cổ phiếu, lãi suất và quá trình bảo hiểm, nhưng người ta cũng có thể xem xét các hiện
tượng thiên nhiên như thời tiết hoặc các vấn đề về kỹ thuật như dòng chảy của các hạt tương
tác thông qua một số bộ lọc. Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫu
nhiên nào đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình
vi phân ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3.1. Cho (Ω, ,P) là một không gian xác suất với không gian mẫu Ω, σ-
trường F, và độ đo xác suất P. Giả sử I là một tập chỉ số.
(a) Họ {Ft}t∈I của σ-trường con của F với Fs ⊂ Ft nếu s < t;s,t ∈ I, được gọi là một lọc.
23

(b) Một họ {(Xt,Ft)}t∈I, gồm một lọc {Ft}t∈I và một họ {Xt}t∈I các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị trong Rn, sao cho Xt là Ft - đo được, được gọi là một quá trình ngẫu nhiên tương ứng
với lọc {Ft}t∈I.
(c) Với mỗi ω ∈ Ω cố định, tập:
X.(ω) := {Xt}t∈I = {X(t,ω)}t∈I
được gọi là một quỹ đạo mẫu.
Định nghĩa 1.3.2. Nếu những quỹ đạo mẫu của một quá trình ngẫu nhiên X.(ω) là liên tục
(liên tục phải, liên tục trái) thì ta gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục (liên
tục phải, liên tục trái).
Định nghĩa 1.3.3. (a) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số độc lập
nếu với mọi r ≤ u ≤ s ≤ t,(r,u,s,t ∈ I) ta có:
Xt −Xs độc lập với Xu −Xr
(b) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số "dừng" nếu với mọi
s ≤ t,(s,t ∈ I) ta có:
Xt −Xs ∼ Xt−s
Nhận xét.
Hai tính chất trên sẽ giúp việc phân tích và đặc biệt là mô phỏng quá trình ngẫu nhiên
đơn giản hơn.
• Nếu quá trình ngẫu nhiên X có các gia số độc lập thì nó sẽ cho dự báo kết quả trong tương
lai, tại thời điểm t là Xt.
• Nếu quá trình ngẫu nhiên X có gia số dừng thì các tính chất phân phối của quá trình
không thay đổi theo thời gian. Điều này không có nghĩa là các Xt có cùng phân bố, mà phân
bố của gia số Xt −Xs chỉ phụ thuộc vào sự chênh lệch về thời gian t −s.
Do đó ta sẽ nghiên cứu hai lớp cơ bản của quá trình ngẫu nhiên khái quát hai thuộc tính
này:
• Thuộc tính thứ nhất (với gia số độc lập): là lớp các quá trình Markov mà ở đó phân bố
của các giá trị tương lai của quá trình này chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiện
tại của nó.
• Thuộc tính thứ hai là của mac-tin-gan, khái quát về ý tưởng của một trò chơi công bằng.
Định nghĩa 1.3.4. Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I nhận giá trị trên Rd, xác định trên
một không gian xác suất (Ω, ,P) được gọi mà một quá trình Markov với phân bố ban đầu
ν nếu ta có:
P(X0 ∈ A) = ν(A), ∀A ∈ B(Rd
)
24

P(Xt ∈ A|Fs) = P(Xt ∈ A|Xs), ∀A ∈ B(Rd
); t ≥ s
Đặc biệt là, phân bố của các giá trị tương lai của X chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua
giá trị hiện tại Xt.
Định nghĩa 1.3.5. Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I nhận giá trị thực với E|Xt| < ∞,
∀t ∈ I được gọi là:
(a) một mac-tin-gan trên nếu:
E(Xt|Fs) ≤ Xs, ∀s,t ∈ I : s ≥ t P−a.s
(b) một mac-tin-gan dưới nếu:
E(Xt|Fs) ≥ Xs, ∀s,t ∈ I : s ≥ t P−a.s
(c) một mac-tin-gan nếu:
E(Xt|Fs) = Xs, ∀s,t ∈ I : s ≥ t P−a.s
1.3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các quá trình ngẫu
nhiên
Khi một quá trình ngẫu nhiên chỉ là một họ các biến ngẫu nhiên, mô phỏng nó có vẻ là
một nhiệm vụ dễ dàng. Tuy nhiên, có một số sự việc và khía cạnh phải được xem xét trước:
• Các phần tử Xt;t ∈ I của một quá trình ngẫu nhiên thường không độc lập.
• Tập chỉ số I có thể không đếm được, có nghĩa là một mô phỏng hoàn toàn chi tiết của
một quá trình tương ứng là không thể.
• Mục đích của bạn là gì khi mô phỏng quá trình ngẫu nhiên?
···
Giả sử X = {Xt}t∈I là một quá trình ngẫu nhiên và g(X) = g(Xt(ω), t ∈ I) là một hàm.
Giả sử rằng:
µ = E(g(X)) = E(g(Xt,t ∈ I))
xác định và hữu hạn. Nếu ta có thể mô phỏng một cách độc lập các bản sao:
Xi(ω) = {Xt,i(ω),t ∈ I}
của quá trình ngẫu nhiên X, thì g(X) chỉ là một biến ngẫu nhiên giá trị thực và ta có thể xác
định được.
Để trình bày hầu hết các mô phỏng quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên (với thời gian liên tục),
chúng ta xem xét một thuật toán sau:
25

Thuật toán 1.3.6. (Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục với các quỹ đạo liên
tục)
Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch của [0,T].
Gọi Pk là phân phối có điều kiện của Xtk
bởi Xtk−1
.
Khi đó ta thu được quỹ đạo X.(ω) thông qua các bước sau:
1. Đặt X0(ω) = 0.
2. Cho k = 1 tới n ta có:
(a) Mô phỏng một số ngẫu nhiên Yk với Yk ∼ Pk.
(b) Đặt Xtk
(ω) = Xtk−1
(ω)+Yk(ω).
(c) Đặt
Xt(ω) = Xtk−1
(ω)+
t −tk−1
tk −tk−1
Yk(ω), t ∈ (tk−1,tk)
1.3.2 Chuyển động Brown và cầu Brown
Quá trình ngẫu nhiên là nền tảng cơ sở quan trọng nhất để xây dựng các mô hình tài chính
và các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học là quá trình chuyển động
Brown.
Định nghĩa 1.3.7. (a) Quá trình ngẫu nhiên giá trị thực {Wt,t ≥ 0} với các quỹ đạo liên tục
và thỏa mãn các tính chất:
(i) W0 = 0, P−h.c.c.
(ii) Wt −Ws ∼ N(0,t −s) với 0 ≤ s < t.
(iii) Wt −Ws độc lập với Wu −Wr với 0 ≤ r ≤ u ≤ s < t
được gọi là một chuyển động Brown một chiều.
(b) Một chuyển động Brown n - chiều là một quá trình nhận giá trị trên Rn :
W(t) = (W1(t),...,Wn(t))
với các Wi là các chuyển động Brown một chiều, độc lập.
1.3.2.1 Các tính chất của chuyển động Brown
Định lí 1.3.8. (a) Tất cả các quỹ đạo của chuyển động Brown {Wt}t∈[0,∞) là các hàm theo t
khả vi P−h.k.n.
(b) Đặt:
Zn(ω) :=
2n
∑
i=1
|Wi/2n(ω)−W(i−1)/2n(ω)|, n ∈ N,ω ∈ Ω
khi đó ta có:
Zn(ω)
n→∞
−−−→ ∞, P−h.c.c
26

Định lí 1.3.9. (a) Một chuyển động Brown một chiều là một mac-tin-gan.
(b) Một chuyển động Brown với độ lệch µ và độ biến động σ, với µ,σ ∈ R:
Xt := µt +σWt, t > 0
là:
(i) một mac-tin-gan nếu và chỉ nếu µ = 0
(ii) một mac-tin-gan - trên nếu và chỉ nếu µ ≤ 0
(iii) một mac-tin-gan - dưới nếu và chỉ nếu µ ≥ 0
Thuật toán 1.3.10. (Mô phỏng quỹ đạo của chuyển động Brown)
Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch của [0,T]. Khi đó ta sẽ có một quỹ
đạo W.(ω) của một chuyển động Brown một chiều thông qua thuật toán sau:
1. Đặt W0(ω) = 0.
2. Cho k = 1 tới n :
(a) Mô phỏng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Zk
(b) Đặt Wtk
(ω) = Wtk−1
(ω)+
√
tk −tk−1Zk
(c) ∀t ∈ (tk−1,tk), đặt:
Wt(ω) = Wtk−1
(ω)+
t −tk−1
tk −tk−1
(Wtk
(ω)−Wtk−1
(ω))
Hình 1.7: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1
27

1.3.2.2 Hội tụ yếu và định lí Donsker
Định nghĩa 1.3.11. Giả sử (S,B(S)) là một không gian metric với metric ρ và σ−trường
Borel B(S) của S. Gọi P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên (S,B(S)).
Khi đó, ta nói dãy Pn hội tụ yếu tới P nếu với mỗi hàm f liên tục, bị chặn, nhận giá trị thực
trên S, ta có:
S
f dPn
n→∞
−−−→
S
f dP
Định nghĩa 1.3.12. Giả sử Xn = {Xn(t)}t∈[0,1] là một dãy của quá trình ngẫu nhiên thời gian
liên tục. Ta nói rằng dãy Xn hội tụ yếu ( hay hội tụ theo phân phối ) tới quá trình liên tục X
nếu:
E(f(Xn))
n→∞
−−−→ E(f(X)), ∀f ∈ C(C[0,1],R)
Như vậy ta có:
E(f(Xn)) = f dPn, E(f(X)) = f dP
hội tụ yếu của quá trình ngẫu nhiên có nghĩa là hội tụ yếu của các phân phối xác suất cơ bản
Pn → P.
Định lí 1.3.13. Giả sử P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên không gian metric (S,B(S))
với metric ρ.
Hơn nữa, gọi h : S → S là một ánh xạ đo vào không gian metric S với metric ρ và σ−
trường Borel B(S ).
Giả sử Dh - tập các điểm gián đoạn của h là một tập không, tức là:
P(Dh) = 0
Khi đó sự hội tụ theo phân phối được bảo toàn qua ánh xạ h:
Pn
n→∞
−−−→ P theo phân phối ⇒ Pn.h−1 n→∞
−−−→ P.h−1theo phân phối
Nhận xét.
Các ánh xạ liên tục bảo toàn sự hội tụ theo phân phối.
(Rk,B(Rk)) cũng là một không gian xác suất.
Giả sử Xn,X là các quá trình ngẫu nhiên liên tục, giá trị thực.
Cố định k thời điểm: 0 ≤ t1 < ... < tk ≤ 1, theo định lí 1.3.13 ta có:
Xn
n→∞
−−−→ X theo phân phối
khi đó (Xn(t1),...,Xn(tk))
n→∞
−−−→ (X(t1),...,X(tk)) theo phân phối
Định lí 1.3.14. (Donsker) Giả sử {ξn}n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng
phân phối, với E(ξi) = 0, 0 < Var(ξi) = σ2 < ∞. Đặt:
S0 = 0, Sn =
n
∑
i=1
ξn
28

Ta xây dựng một dãy Xn của quá trình ngẫu nhiên bởi:
Xn(t,ω) =
1
σ
√
n
S[nt](ω)+(nt −[nt])
1
σ
√
n
ξ[nt]+1(ω), ∀t ∈ [0,1],n ∈ N
Khi đó dãy Xn hội tụ yếu tới chuyển động Brown một chiều {Wt}t in[0,1] , tức là ta có:
Xn
n→∞
−−−→ W, theo phân phối.
Định lí 1.3.15. Giả sử {Wt}t≥0 là một chuyển động Brown một chiều. Khi đó ta có:
limsup
t→∞
Wt(ω)
2t log(log(t))
= 1, P−h.c.c
liminf
t→∞
Wt(ω)
2t log(log(t))
= −1, P−h.c.c
Hệ quả 1.3.16. Giả sử Xt = µ.t +σWt, t ≥ 0 là một chuyển động Brown với độ lệch µ và độ
biến động σ. Khi đó ta có:
lim
t→∞
Xt
t
= µ P−h.c.c
1.3.2.3 Cầu Brown
Định nghĩa 1.3.17. Giả sử {Wt}t∈[0,1] là một chuyển động Brown một chiều , gọi a,b là hai
số thực. Khi đó, quá trình:
Ba,b
t = a
T −t
T
+b
t
T
+ Wt −
t
T
WT , t ∈ [0,T]
được gọi là một cầu Brown từ a tới b.
Mệnh đề 1.3.18. Một cầu Brown từ a tới b thỏa mãn tính chất:
Ba,b
t ∼ N a+
t
T
(b−a),t −
t2
T
Mệnh đề 1.3.19. (Công thức phân phối chuẩn có điều kiện)
Giả sử Z = (Z(1),...,Z(d)) là một vecto ngẫu nhiên d - chiều, với Z ∼ N (µ,∑). Phân hoạch
Z thành d1 thành phần đầu tiên là X và d −d1 thành phần tiếp theo là Y. Khi đó, với:


X
Y

 ∼ N




µX
µY

,


∑X ∑XY
∑YX ∑Y




và giả sử rằng ∑−1
Y tồn tại, ta có phân phối chuẩn có điều kiện d1 - chiều của X|Y = y :
X|Y = y ∼ N µX +∑XY ∑−1
Y (y− µY ),∑X −∑XY ∑−1
Y ∑YX
29

Chú ý rằng ta có:


Wt
WT

 ∼ N




0
0

,


t t
t T




khi đó một hệ quả trực tiếp của mệnh đề là:
Wt|WT = b ∼ N b
t
T
,t −
t2
T
khi đó theo mệnh đề (1.3.19) ta thu được một cầu Brown từ 0 đến b, đó cũng chính là chuyển
động Brown có điều kiện tới b tại thời điểm T.
Tương tự một chuyển động Brown bắt đầu từ a : Wa
0 = a, ta có: Wa
t ∼ N (a,t) và do đó:
Wa
t |Wa
T = b ∼ N a+(b−a)
t
T
,t −
t2
T
Từ đây suy ra một cầu Brown từ a tới b là một chuyển động Brown có điều kiện từ a đến b
tại thời điểm T.
Thuật toán 1.3.20. (Mô phỏng một cầu Brown)
1. Mô phỏng một quỹ đạo của một chuyển động Brown Wt(ω) trên [0,T].
2. Đặt Ba,b
t = aT−t
T +b t
T + Wt − t
T WT , ∀t ∈ [0,T]
Mệnh đề 1.3.21. Giả sử W là một chuyển động Brown một - chiều, a,b ∈ R, 0 < s < t < u.
Khi đó phân phối có điều kiện của Wt bởi (Wu,Ws) được cho như sau:
Wt|(Wu = b,Ws = a) ∼ N
(u−t)a+(t −s)b
u−s
,
(u−t)(t −s)
u−s
1.3.3 Công thức Itô
1.3.3.1 Tích phân Itô
Định nghĩa 1.3.22. Giả sử {(Wt,Ft)|t ∈ [0,T]} là một chuyển động Brown một chiều trên
không gian xác suất (Ω,F,P).
(a) Một quá trình ngẫu nhiên {Xt}t∈[0,T] được gọi là một quá trình đơn giản nếu tồn tại các
số thực 0 = t0 < t1 < ... < tp = T, p ∈ N và các biến ngẫu nhiên bị chặn Φi : Ω → R, i =
0,1,..., p, với:
Φ0 là F0 −đo được, Φi là Fti−1 −đo được, i = 1,..., p,
sao cho với mỗi ω ∈ Ω : Xt(ω) thỏa mãn:
Xt(ω) = X(t,ω) = Φ0(ω).10(t)+
p
∑
i=1
Φi(ω).1(ti−1,ti](t)
30

Hình 1.8: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1 (n = 100)
(b) Với một quá trình đơn giản {Xt}t∈[0,T] và t ∈ (tk,tk+1], tích phân ngẫu nhiên hay tích phân
Itô I.(X) được định nghĩa như sau:
It(X) :=
t
0
Xs dWs := ∑
1≤i≤k
Φi(Wti −Wti−1)+Φk+1(Wt −Wtk
)
hoặc tổng quát ∀t ∈ [0,1]:
It(X) :=
t
0
Xs dWs := ∑
1≤i≤p
Φi(Wti∧t −Wti−1∧t)
Định lí 1.3.23. (Những tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên)
Giả sử X là một quá trình đơn giản. Khi đó ta có:
(a) {(It(X),Ft)}t∈[0,T] là một mac-tin-gan liên tục, cụ thể ta có:
E(It(X)) = 0, ∀t ∈ [0,T]
(b) Phương sai của tích phân Itô được xác định như sau:
E


t
0
Xs dWs


2
= E


t
0
X2
s dWs

 ∀t ∈ [0,T]
Định nghĩa 1.3.24. Giả sử {(Xt,Gt)}t∈[0,∞) là một quá trình ngẫu nhiên. Nó được gọi là đo
được lũy tiến nếu ∀t ≥ 0 ánh xạ:
[0,t]×Ω → Rn
, (s,ω) → Xs(ω)
31

Hình 1.9: Hàm bậc thang, chuyển động Brown và tích phân Itô tương ứng
là B([0,t])⊗Gt −B(Rn) - đo được.
Định nghĩa 1.3.25. Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t≥0 được gọi là mac-tin-gan địa
phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng τn,n ∈ N thỏa mãn:
τn(ω)
n→∞
−−−→ ∞, ∀ω ∈ Ω, P−h.k.n
sao cho quá trình dừng ˆX
(n)
t ,Ft
t≥0
xác định bởi:
ˆX(n)
(ω) = Xt∧τn(ω)(ω)
là các mac-tin-gan. Mỗi một dãy thời điểm dừng được gọi là một dãy địa phương.
Định nghĩa 1.3.26. Giả sử {(Wt,Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều, m ∈ N .
(a) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈[0,∞) :
X(t) = X(0)+
t
0
K(s)ds+
m
∑
j=1
t
0
Hj(s)dWj(s)
với X(0) F0− đo được, {K(t)}t∈[0,∞) và {H(t)}t∈[0,∞) là các quá trình đo được lũy tiến, với:
t
0
|K(s)|ds < ∞,
t
0
H2
i (s)ds < ∞ P−h.c.c
với mọi t ≥ 0,i = 1,...,m được gọi là một quá trình Itô giá trị thực.
(b) Một quá trình Itô n - chiều X = X(1),...,X(n) là một vecto với các thành phần là các
quá trình Itô giá trị thực.
32

Định nghĩa 1.3.27. Giả sử X và Y là hai quá trình Itô giá trị thực có dạng:
X(t) = X(0)+
t
0
K(s)ds+
t
0
H(s)dW(s),
Y(t) = Y(0)+
t
0
L(s)ds+
t
0
M(s)dW(s).
Khi đó, một hiệp phương sai bậc hai của X và Y được định nghĩa như sau:
< X,Y >t:=
m
∑
i=1
t
0
Hi(s).Mi(s)ds
Trường hợp đặc biệt, < X >t:=< X,X >t được gọi là biến phân bậc hai của X
1.3.3.2 Công thức Itô
Định lí 1.3.28. (Công thức Itô một chiều)
Giả sử W là một chuyển động Brown một - chiều, X là một quá trình Itô giá trị thực có dạng:
Xt = X0 +
t
0
Ks ds+
t
0
Hs dWs
Giả sử f : R → R là một hàm khả vi liên tục đến cấp 2. Khi đó, với mọi t ≥ 0 ta có:
f(Xt) = f(X0)+
t
0
f (Xs)dXs +
1
2
.
t
0
f (Xs)d < X >s
= f(X0)+
t
0
(f (Xs).Ks +
1
2
.f (Xs).H2
s )ds
+
t
0
f (Xs).Hs dWs P−h.c.c
(Nói riêng, f(Xt) cũng là một quá trình Itô và tất cả các tích phân trên được xác định)
Định lí 1.3.29. (Công thức Itô nhiều chiều)
Giả sử X(t) = (X1(t),...,Xn(t)) là một quá trình Itô n - chiều với :
Xi(t) = Xi(0)+
t
0
Ki(s)ds+
m
∑
j=1
t
0
Hij(s)dWj(s) i = 1,...,n,
33

và W(t) là một chuyện động Brown m - chiều.
Hơn nữa giả sử, f : [0,∞)×Rn → R là một C1,2− hàm số (tức là: f là hàm liên tục; biến thứ
nhất khả vi liên tục; n biến thành phần phía sau là khả vi liên tục tới cấp 2). Khi đó ta có:
f(t,X1(t),...,Xn(t)) = f(0,X1(0),...,Xn(0))+
+
t
0
ft(s,X1(s),...,Xn(s))ds+
n
∑
i=1
t
0
fxi(s,X1(s),...,Xn(s))dXi(s)
+
1
2
n
∑
i,j=1
t
0
fxixj (s,X1(s),...,Xn(s))d < Xi,Xj >s
1.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.3.4.1 Các kết quả cơ bản của phương trình vi phân ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.3.30. Một nghiệm (mạnh) X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên :
dX(t) = b(t,X(t))dt +σ(t,X(t))dW(t), X(0) = x (1.9)
(với b : [0,∞)×Rd → Rd, σ : [0,∞)×Rd → Rd,m là các hàm số cho trước) là một quá trình
liên tục d− chiều {(X(t),Ft)}t≥0 trên không gian xác suất (Ω,F,P) thỏa mãn :
X(0) = x
Xi(t) = xi +
t
0
bi(s,X(s))ds+
m
∑
j=1
t
0
σij(s,X(s))dWj(s),
t
0
|bi(s,X(s))|+
m
∑
j=1
σ2
ij(s,X(s)) ds < ∞
P−h.c.c, ∀t ≥ 0,i ∈ {1,...,d} .
Nhận xét.
Hai ví dụ đơn giản của phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng trong tài chính là:
• Phương trình tuyến tính thuần nhất một chiều:
dX(t) = bX(t)dt +σX(t)dW(t), X(0) = x
với b,σ ∈ R và W(.) là một chuyển động Brown một chiều.
• Phương trình tuyến tính một chiều với tiếng ồn:
dX(t) = (a+bX(t))dt +σdW(t), X(0) = x
với a,b,σ ∈ R và W(.) là một chuyển động Brown một chiều.
34

Định lí 1.3.31. (Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên )
Giả sử b(t,x), σ(t,x) là các hệ số của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.9) là các hàm
liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||b(t,x)−b(t,y)||+||σ(t,x)−σ(t,y)|| ≤ K||x−y|| (1.10)
và
||b(t,x)||2
+||σ(t,x)||2
≤ K2
1+||x||2
(1.11)
∀t ≥ 0,x,y ∈ Rd và hằng số K > 0, trong đó ||.|| là chuẩn Euclide.
Khi đó tồn tại nghiệm mạnh , liên tục {(X(t),Ft)t≥0} của phương trình (1.9) với:
E ||X(t)||2
≤ C. 1+||x||2
.eC.T
, ∀t ∈ [0,T]
với C = C(K,T) và T > 0. Hơn nữa, X(.) là duy nhất, tức là: nếu Y(.) là một nghiệm khác
của (1.9) thì ta có:
P(X(t) = Y(t), ∀t ≥ 0) = 1
1.3.4.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
Định lí 1.3.32. (Biến phân của hàm số)
Giả sử {(W(t),Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều. Giả sử x ∈ R và A,a,Sj,σj
là các quá trình nhận giá trị thực, đo được lũy tiến với:
t
0
(|A(s)|+|a(s)|)ds < ∞,
t
0
(S2
j(s)+σ2
j (s))ds < ∞, ∀t ≥ 0
P−h.c.c, j = 1,...,m.
Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính một chiều tổng quát là:
dX(t) = (A(t)X(t)+a(t))dt +
m
∑
j=1
(Sj(t)X(t)+σj(t))dWj(t), X(0) = x
có nghiệm duy nhất là quá trình {(X(t),Ft)}t∈[0,∞):
X(t) = Z(t).

x+
t
0
1
Z(u)
a(u)−
m
∑
j=1
Sj(u)σj(u) du+
m
∑
j=1
t
0
σj(u)
Z(u)
dWj(u)


trong đó :
Z(t) = exp


t
0
A(u)−
1
2
||S(u)||2
du+
t
0
S(u)dW(u)


là nghiệm duy nhất của phương trình thuần nhất :
dZ(t) = Z(t)(A(t)dt +S(t) dW(t)), Z(0) = 1
35

Định lí 1.3.33. (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tình thuần nhất đa chiều)
Giả sử {(W(t),Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều.
Giả sử x ∈ Rn,A,Sj là các ma trận cỡ n×n thỏa mãn:
ASj
= Sj
A và Sj
Sk
= Sk
Sj
, j,k = 1,...,m
Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính thuần nhất:
dZ(t) = AZ(t)dt +
m
∑
j=1
Sj
Z(t)dWj(t), Z(0) = Z0
với các quá trình hệ số không đổi ( hệ số hằng) có nghiệm duy nhất sau:
Z(t) = Z0 exp A−
1
2
m
∑
j=1
(Sj
)2
t +
m
∑
j=1
Sj
Wj(t)
= Z0
∞
∑
k=0
A− 1
2 ∑m
j=1 (Sj)2 t +∑m
j=1 SjWj(t)
k
k!
(1.12)
Định lí 1.3.34. (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đa chiều)
Giả sử {(W(t),Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều.
Giả sử x ∈ Rn,A,Sj là các ma trận giá trị đo được lũy tiến cỡ n×n , và a,σ j là các quá trình
nhận giá trị trên Rn với:
t
0
(|Aik(s)|+|ai(s)|)ds < ∞,
t
0
(S
j2
ik (s)+σ
j2
i (s))ds < ∞
∀t ≥ 0 P−h.c.c;i,k = 1,...,n; j = 1,...,m.
Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát n - chiều :
dX(t) = (A(t)X(t)+a(t))dt +
m
∑
j=1
Sj(t)X(t)+σj(t) dWj(t) (1.13)
X(0) = x (1.14)
có nghiệm duy nhất {(X(t),Ft)}t∈[0,∞) :
X(t) = Z(t).

x+
t
0
Z(u)−1
a(u)−
m
∑
j=1
Sj(u)σj(u) du


+Z(t).


m
∑
j=1
t
0
Z(u)−1
σj(u)dWj(u)


(1.15)
với Z(t) là nghiệm duy nhất của phương trình thuần nhất:
dZ(t) = A(t)Z(t)dt +
m
∑
j=1
Sj
(t)Z(t)dW(t), Z(0) = I
36

1.3.4.3 Định lí biểu diễn Feynman - Kac
Định nghĩa 1.3.35. Giả sử X(t) là nghiệm duy nhất của phương trình (1.9) với điều kiện
(1.10) và (1.11). Với f : Rd → R, f ∈ C2(Rd), toán tử At, được xác định bởi :
(At f)(x) :=
1
2
d
∑
i=1
d
∑
k=1
aik(t,x)
∂2 f
∂xi∂xk
(x)+
d
∑
i=1
bi(t,x)
∂ f
∂xi
(x)
với
aik(t,x) =
m
∑
j=1
σij(t,x)σk j(t,x)
được gọi là toán tử đặc trưng tương ứng với X(t).
Nhận xét. 1. Với X(t) = W(t), giải phương trình dX(t) = dW(t), X(0) = 0. Khi đó:
1
2
∆ =
1
2
d
∑
i=1
∂2
∂x2
i
là toán tử đặc trưng của chuyển động Brown d− chiều.
2. X(t) = x.e(b−1
2 σ2
)t+σW(t)
là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
dX(t) = X(t)(bdt +σdW(t)), X(0) = x
và do đó ta có toán tử đặc trưng At được cho bởi:
(At f)(x) =
1
2
σ2
x2
f (x)+bx f (x).
Định nghĩa 1.3.36. Giả sử T > 0 cố định. Khi đó bài toán Cauchy tương ứng với toán tử At
là một hàm số v(t,x) : [0,T]×Rd → R thỏa mãn:
−vt +kv = Atv+g trên [0,T)×Rd
(1.16)
v(T,x) = f(x) với x ∈ Rd
(1.17)
với các hàm số cho trước:
f : Rd
→ R, g : [0,T]×Rd
→ R, k : [0,T]×Rd
→ [0,∞)
Định lí 1.3.37. (Định lí biểu diễn Feynman - Kac)
Giả sử các hàm số f,g,k liên tục và với các hằng số L,λ ta có:
|f(x)| ≤ L 1+||x||2λ
, L > 0, λ ≥ 1 hoặc f(x) ≥ 0, (1.18)
37

|g(t,x)| ≤ L 1+||x||2λ
, L > 0, λ ≥ 1 hoặc g(t,x) ≥ 0, (1.19)
Giả sử v(t,x) : [0,T] × Rd → R là một nghiệm liên tục của bài toán Cauchy (1.16) với v ∈
C1,2([0,T] × R). Kí hiệu At trong phương trình (1.16) là toán tử đặc trưng của nghiệm duy
nhất X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.9), với các hệ số liên tục b,σ thỏa mãn
điều kiện (1.10), bi(t,x), σij(t,x) : [0,∞)×Rd → R i = 1,...,d; j = 1,...,m.
Nếu v(t,x) thỏa mãn điều kiện:
max
0≤t≤T
|v(t,x)| ≤ M 1+||x||2µ
, với M > 0,µ ≥ 1 (1.20)
thì ta có biểu diễn sau:
v(t,x) = Et,x

f(X(T)).exp

−
T
t
k(θ,X(θ))dθ



+
+
T
t
g(s,X(s)).exp

−
s
t
k(θ,X(θ))dθ

 ds
(1.21)
Chú ý rằng, v(t,x) là nghiệm duy nhất của phương trình (1.16) thỏa mãn điều kiện (1.20)
1.4 Mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu
nhiên
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử rằng phương trình vi phân ngẫu nhiên giá trị thực :
dX(t) = a(t,X(t))dt +σ(t,X(t))dW(t)
có nghiệm X(t) = f(t,W(t)) với f là một hàm liên tục, giá trị thực. Giả sử Yn với:
Yn(t) = f(t,W(t)) nếu t =
iT
n
∀i = 0,1,...,n
là xấp xỉ của X và được mở rộng với mọi t ∈ [0,T] bằng phép nội suy tuyến tính.
Khi đó, với mỗi hàm đo được, bị chặn g : C[0,T] → R ta có:
E(g(Yn))
n→∞
−−−→ E(g(X))
38

1.4.1 Phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.4.1.1 Phép rời rạc hóa thời gian
Ta rời rạc hóa khoảng thời gian [0,T] bằng cách tạo một phân hoạch:
0 = t0 < t1 < ··· < tn < ··· < tN = T
Khi đó, ta sẽ gọi:
• ∆n = tn+1 −tn là số gia thời gian thứ n (n = 0, ..., N-1),
• δ = max
x
∆n là bước thời gian lớn nhất.
Đặc biệt, nếu chọn tn = n∆ (n = 0,...,N) thì ta được một phép rời rạc hóa cách đều cho
khoảng thời gian [0,T] với bước thời gian là ∆ = T
N , chú ý rằng trong phép rời rạc hóa cách
đều như thế này N thường được chọn đủ lớn để ∆ ∈ (0,1).
Giả sử quá trình ngẫu nhiên {Xn,t ∈ [0,T]} có xấp xỉ Yδ (t) tương ứng với phép rời rạc hóa
khoảng thời gian [0,T] mà bước thời gian lớn nhất là δ. Khi đó ta có các khái niệm hội tụ
mạnh, hội tụ yếu như sau:
1.4.1.2 Hội tụ mạnh
i) Ta nói Yδ (t) hội tụ mạnh về X(t) tại thời điểm T nếu
lim
δ→0
E |X(T)−Yδ
(T)| = 0
lúc này ta cũng gọi Yδ (t) là xấp xỉ mạnh của X(t).
ii) Yδ (t) được gọi là xấp xỉ mạnh bậc γ > 0 của X(t) tại thời điểm T nếu tồn tại hằng số
dương c < ∞ không phụ thuộc vào δ đồng thời tồn tại δ0 ∈ R+ sao cho:
E |X(T)−Yδ
(T)| ≤ c.δγ
, với mỗi δ ∈ [0,δ0]
1.4.1.3 Hội tụ yếu
i) Ta nói Yδ (t) hội tụ yếu về X(t) tại thời điểm T khi δ ↓ 0 đối với lớp C các hàm tiêu chuẩn
g nếu
lim
δ↓0
E(g(X(T)))−E g(Yδ
(T)) = 0, ∀g ∈ C
khi đó ta cũng gọi Yδ (t) là xấp xỉ yếu của X(t).
ii) Yδ (t) được gọi là xấp xỉ yếu bậc β > 0 của X(t) tại thời điểm T khi δ ↓ 0 nếu với mỗi
hàm g khả vi liên tục l lần và thỏa mãn điều kiện:
∃Kg,∃rg ∈ {1,2,3,...} : ∂ j
x g(x) ≤ Kg 1+|x|2rg
,∀x ∈ Dg,∀j ∈ {0,1,...,l}
39

thì đều tồn tại hằng số dương c < ∞ không phụ thuộc vào δ đồng thời tồn tại δ0 ∈ R+ sao
cho:
E(g(X(T)))−E(g(Yδ
(T)))| ≤ c.δβ
, ∀δ ∈ [0,δ0] ∀g ∈ C
1.4.1.4 Tổng quan về các sơ đồ số
Giả sử có quá trình Wiener m− chiều Wt = W1
t ,...,Wm
t ,t ≥ 0 , các sơ đồ số được trình
bày sau đây cho phép tìm xấp xỉ Taylor cho quá trình Itô d− chiều {Xt,t ∈ [0,T]} thỏa mãn
phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tổng quát có dạng:
dXt = a(t,Xt)dt +
m
∑
j=1
bj
(t,Xt)dW
j
t (1.22)
hay tương đương:
Xt = X0 +
t
0
a(s,Xs)ds+
m
∑
j=1
t
0
bj
(s,Xs)dW j
s (1.23)
trong đó
Xt =





X1
t
...
Xd
t





;X0 =





X1
0
...
Xd
0





;a =





a1
...
ad





;b = b1 ··· bm =





b11 ··· b1m
...
...
...
bd1 ··· bdm





tức là thành phần thứ k của quá trình Itô Xt trên thỏa mãn:
Xk
t = Xk
0 +
t
0
ak
(s,Xs)ds+
m
∑
j=1
t
0
bk j
(s,Xs)dW j
s
Tất cả các sơ đồ số sẽ được trình bày có những khái niệm và ký hiệu chung như sau:
• Đặt các toán tử:
L0
=
∂
∂t
+
d
∑
k=1
ak ∂
∂xk
+
1
2
d
∑
k=1
d
∑
l=1
d
∑
j=1
bk j
bl j ∂2
∂xk∂xl
Lj
=
d
∑
k=1
bk ∂
∂xk
(j = 1,...,m)
• Xét phân hoạch cách đều: 0 = t0 < t1 < ··· < tn < ··· < tN = T có bước thời gian là:
∆ = tn+1 −tn =
T
N
, ∀n ∈ {0,...,N −1}
• Gọi xấp xỉ Taylor của quá trình Itô {Xt,t ∈ [0,T]} là quá trình ngẫu nhiên liên tục
{Y(t),t ∈ [0,T]} có:
Y(tn) = Yn;Y0 = X0
40

• Dùng ký hiệu cho tích phân Itô lặp trên khoảng thời gian [tn,tn+1] như sau:
I(j1,...,jl) =
tn+1
tn
...
s2
tn
dW j1
s1
...dW jl
sl
trong đó j1,..., jl ∈ {0,1,...,m};l = 1,2,...;n = 0,1,... với qui ước rằng:
W0
t = t,∀t ≥ 0
1.4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh
1.4.2.1 Sơ đồ Euler - Maruyama
Trường hợp 1: Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô là m = d = 1 thì sơ đồ Euler
- Maruyama (cũng được gọi là sơ đồ Euler) cho (1.22) có dạng:
Yn+1 = Yn +a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W (1.24)
với Y0 = X0; ∆ = tn+1 −tn = T
N ; ∆W = Wtn+1 −Wtn ∼ N(0,∆) là số gia của quá trình dừng
Wiener Wt trên [tn,tn+1].
Trường hợp 2: Với m = 1 và d ∈ {1,2,...}, thành phần thứ k của sơ đồ Euler - Maruyama
cho (1.22) có dạng:
Yk
n+1 = Yk
n +ak
(tn,Yn)∆+bk
(tn,Yn)∆W (k = 1,...,d)
Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ {1,2,...} và d ∈ {1,2,...}, thành phần thứ k của sơ đồ
Euler - Maruyama cho (1.22) có dạng:
Yk
n+1 = Yk
n +ak
(tn,Yn)∆+
m
∑
j=1
bk j
(tn,Yn)∆W j
(k = 1,...,d)
với ∆W j = W
j
tn+1
−W
j
tn
∼ N(0;∆) (j ∈ {1,...,m}) là số gia của thành phần thứ j của quá
trình Wiener m−chiều Wt trên [tn,tn+1], các số gia ∆W j1 và ∆W j2 (j1 = j2) độc lập với nhau.
Ví dụ 9.
Cho {Wt;t ≥ 0} là quá trình Wiener 1 - chiều và {Xt,t ∈ [0,T]} là quá trình Itô 1 - chiều
thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính:
dXt = 2Xtdt +XtdWt
Phương trình này có nghiệm đúng là:
Xt = X0e
3
2t+Wt
41

Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T], sơ đồ Euler - Maruyama
cho Xt xấp xỉ như sau: 


Yn+1 = Yn +2Yn∆+Yn∆W
Y0 = X0
(1.25)
Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt =
2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Euler - Maruyama (với bước thời gian ∆ = Dt =
16dt = 2−4).
Hình 1.10: Nghiệm số của SDE tính bởi Euler - Maruyama
1.4.2.2 Sơ đồ Milstein
Trường hợp 1: Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô là m = d = 1, ta thêm vào sơ
đồ Euler - Maruyama (1.24) số hạng
bb I(1,1) =
1
2
bb (∆W)2
−∆
thì thu được sơ đồ Milstein cho (1.22) :
Yn+1 = Yn +a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W +
1
2
b(tn,Yn)b (tn,Yn) (∆W)2
−∆
Thực hiện tương tự trong các trường hợp nhiều chiều ta nhận được:
Trường hợp 2: Với m = 1 và d ∈ {1,2,...}, thành phần thứ k của sơ đồ Milstein cho (1.22)
có dạng:
Yk
n+1 = Yk
n +ak
(tn,Yn)∆+bk
(tn,Yn)∆W
+
1
2
d
∑
l=1
bl ∂bk
∂xl
(∆W)2
−∆ (k = 1,...,d)
42

Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ {1,2,...} và d ∈ {1,2,...}, thành phần thứ k của sơ
đồ Milstein cho (1.22) có dạng:
Yk
n+1 = Yk
n +ak
(tn,Yn)∆
m
∑
j=1
bk j
(tn,Yn)∆W j
+
m
∑
j1=1
m
∑
j2=1
Lj1bk j2(tn,Yn)I(j1,j2) (k = 1,...,d)
Ví dụ 10. (Làm lại ví dụ 9 bằng sơ đồ Milstein)
Vẫn xét phương trình:
dXt = 2Xtdt +XtdWt
Phương trình này có nghiệm đúng là:
Xt = X0e
3
2t+Wt
Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T], sơ đồ Milstein cho Xt xấp
xỉ như sau: 


Yn+1 = Yn +2Yn∆+Yn∆W + 1
2Yn (∆W)2 −∆
Y0 = X0
(1.26)
Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt =
2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Milstein (với bước thời gian ∆ = Dt = 16dt = 2−4).
Hình 1.11: Nghiệm số của SDE tính bởi Milstein
43

Chương 2
Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo
vào các mô hình tài chính
Toán tài chính chủ yếu liên quan tới các vấn đề:
Mô hình của sự tiến hóa của các quá trình tài chính như giá cổ phiếu, lãi suất, lạm phát, tỷ
giá hối đoái, hoặc là giá cả hàng hóa.
Giá cả dẫn đến những khái niệm cơ bản như giá cổ phiếu, lãi suất, hoặc là hàng hóa.
Tối ưu hóa danh mục đầu tư, tức là tìm kiếm các chiến lược đầu tư tối ưu.
Đo lường và quản lý rủi ro.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu những vấn đề cơ bản chính của mô hình giá cổ
phiếu, lựa chọn giá, và mô hình lãi suất, cùng với các ứng dụng của phương pháp Monte
Carlo.
44

Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính
2.1 Một số mô hình tài chính.
Mô hình Black - Scholes
Một mô hình được định dạng là một cấu trúc tạo ra để mô tả các quan hệ giữa các biến số
hoặc các yếu tố. Việc vận dụng các mô hình trong hoạt động tài chính là hết sức quan trọng,
vì trong thực tế kinh doanh của thị trường tài chính, có nhiều điều kiện lẩn khuất bên dưới
các quyết định cực kỳ phức tạp. Những người ra quyết định tài chính thường áp dụng các mô
hình tài chính đã có hoặc tự xây dựng một mô hình mới có liên quan loại hình quyết định mà
họ phải xác lập. Những mô hình mà dựa vào đó để đưa ra những quyết định gọi là mô hình
chuẩn tắc.
Mục tiêu của một mô hình là nhằm tái tạo hay mô phỏng lại một diễn biến tài chính ở
cuộc đời thực. Khi xây dựng mô hình như vậy, các nhà nghiên cứu gạt bỏ các điều kiện thực
tế không tác động, hoặc tác động không đáng kể. Họ chủ yếu tập trung vào các yếu tố liên
quan trực tiếp đến bản chất tình huống định mô phỏng. Và, mục tiêu cuối cùng là khả năng
dự báo thị trường.
Có hai loại mô hình chính : lý thuyết và thực nghiệm, kèm theo đó là các phép toán sử
dụng khi xây dựng mô hình. Các mô hình mang tính lý thuyết được xây dựng nhằm mô phỏng
và giải thích các hiện tượng. Mô hình thực nghiệm được xác định để đánh giá mối quan hệ
giữa các yếu tố trong điều kiện thực tế. Các nhà nghiên cứu tài chính có thể đưa ra và vận
dụng một mô hình thực nghiệm nhằm kiểm định lý thuyết.
Trong lĩnh vực tài chính, các mô hình toán thường có điều kiện thuận lợi để phát triển,
thao tác và điều chỉnh. Hơn nữa các mô hình toán thường dễ chuyển đổi sang các phương
trình hoặc sang các bảng tính của máy tính. Có một số mô hình toán tài chính như: mô hình
Black - Scholes , mô hình Cox - Ross - Rubinstein, mô hình Vasicek, mô hình Ho - Lee ,mô
hình Health - Jarrow - Merton, ...
Và trong phần này, tác giả đề cập đến mô hình nổi tiếng và phổ biến nhất là mô hình định
giá quyền chọn Black Scholes. Mô hình định giá quyền chọn Black Scholes phát triển năm
1973 đã giúp đẩy mạnh các giao dịch quyền chọn vốn lộn xộn trước đó. Mô hình có thể lập
trình trên các bảng tính hoặc trên các máy tính tài chính. Mô hình xuất phát từ quan niệm
"phòng ngừa hoàn toàn rủi ro" là kiểu phòng ngừa bằng cách mua một cổ phiếu và tiến hành
bán ngay quyền chọn mua cổ phiếu đó và kết quả là không có rủi ro.
Chúng tôi tập trung vào các mô hình giá cổ phiếu thời gian liên tục với những quỹ đạo liên
tục, tức là giá cổ phiếu được xem như là một hàm theo thời gian không có bước nhảy. Khi
quan sát sự phát triển của giá cổ phiếu hay chỉ số của giá cổ phiếu qua thời gian, chúng ta
phát hiện ra được những đặc tính đáng chú ý nhất là: Giá cổ phiếu không thay đổi một cách
bằng phẳng qua thời gian, những sự biến động ngẫu nhiên rõ ràng thống trị một xu hướng,
sự phát triển của giá cổ phiếu ...
45

2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes
Giả sử rằng biến động giá của n cổ phiếu khác nhau là một phương trình vi phân ngẫu
nhiên n - chiều cho trước:
dSi(t) = µi(t)Si(t)dt +
n
∑
j=1
σi,j(t)Si(t)dWj(t), Si(0) = si (2.1)
∀i = 1,...,n với {(W(t),Ft,t ∈ [0,T])} là một chuyển động Brown n - chiều.
Trong đó, các hệ số thị trường µ (trung bình độ dịch chuyển) và σ (độ biến động) là các quá
trình Ft− bị chặn, đo được lũy tiến.
Ta cũng giả sử rằng σ là ma trận đơn vị xác định dương:
x σ(t,ω)σ(t,ω) x ≥ c.x x, ∀(t,ω) ∈ [0,T]×Ω
với c là hằng số dương nào đó. Theo phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính, phương
trình giá cổ phiếu có nghiệm duy nhất Si(t) cho như sau:
Si(t) = si exp


t
0
µi(s)−
1
2
n
∑
j=1
σ2
i,j(s) ds+
n
∑
j=1
t
0
σi,j(s)dWj(s)

 (2.2)
Thêm vào đó là những rủi ro trong đầu tư cổ phiếu, có thể là không rủi ro trong đầu tư trái
phiếu ( hoặc tốt hơn là một tài khoản ngân hàng ), sự phát triển đó qua thời gian được điều
chỉnh bởi phương trình:
dB(t) = r(t)B(t)dt, B(0) = 1 (2.3)
Phương trình này có một nghiệm duy nhất là:
B(t) = exp


t
0
r(s)ds

 (2.4)
Ở đây quá trình lãi suất r(t) được giả sử rằng bị chặn và đo được lũy tiến tương ứng với lọc
Ft.
Với mô hình giá cổ phiếu đầu tiên này, chúng ta sẽ giới thiệu những nhà đầu tư vào thị
trường của mình bằng cách chỉ rõ những hoạt động và diễn biến của họ. Những hoạt động có
thể xảy ra của nhà đầu tư là:
1. Tái cân bằng các cổ phần, tức là có thể bán cổ phiếu và đầu tư tiền vào mua các cổ
phiếu khác. Hành động này được mô phỏng bởi quá trình danh mục đầu tư hoặc theo chiến
lược kinh doanh.
2. Việc tiêu thụ phần tài sản của nhà đầu tư được thiết lập thông qua quá trình tiêu thụ.
46

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử {(B(t),Ft)t∈[0,T]} là một chuyển động Brown n - chiều. Giả sử
rằng ta có một thị trường nơi mà cổ phiếu và trái phiếu được giao dịch với diễn biến giá cả
được cho bởi các phương trình (2.1) và (2.3).
(a) Một chiến lược kinh doanh ϕ là một quá trình đo được lũy tiến nhận giá trị trên Rn+1 :
ϕ(t) := (ϕ0(t),ϕ1(t),...,ϕn(t))
sao cho các tích phân sau được xác định và hữu hạn:
T
0
ϕ0(t)dB(t),
T
0
ϕi(t)dSi(t), i = 1,...,n
Giá trị x := ϕ0(0)+ ∑n
i=1 ϕi(0)si được gọi là giá trị ban đầu của ϕ hay là tài sản ban đầu
của nhà đầu tư.
(b) Giả sử ϕ là một chiến lược kinh doanh với giá trị ban đầu x > 0. Quá trình :
X(t) := ϕ0(t)B(t)+
n
∑
i=1
ϕi(0)(t)Si(t)
được gọi là quá trình tổng sở hữu tương ứng với ϕ, với tài sản ban đầu x.
(c) Một quá trình đo được lũy tiến không âm c(t) với:
T
0
c(t)dt < ∞ P−h.c.c
được gọi là một quá trình tiêu thụ.
(d) Một cặp (ϕ,c) gồm một chiến lược kinh doanh ϕ và một quá trình tiêu thụ c, được gọi là
tự tài trợ nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng X(t),
t ∈ [0,T] thỏa mãn:
X(t) = x+
t
0
ϕ0(s)dB(s)+
n
∑
i=1
t
0
ϕi(s)Si(s)dSi(s)−
t
0
c(s)ds P−h.c.c
(e) Giả sử (ϕ,c) là một cặp tự tài trợ bao gồm một chiến lược kinh doanh và một quá trình
tiêu thụ, với một quá trình tổng sở hữu tương ứng X(t) > 0 P − h.c.c, ∀t ∈ [0,T]. Khi đó
một quá trình nhận giá trị trên Rn :
π(t) := (π1(t),...,πn(t)) , t ∈ [0,T]
với πi(t) = ϕi(s)(t)Si(t)
X(t) , được gọi là một quá trình danh mục đầu tư tự tài trợ tương ứng với
(ϕ,c)
47

Nhận xét. 1. Quá trình danh mục đầu tư biểu thị các phần phân đoạn của tổng tài sản đầu tư
vào các cổ phiếu khác nhau. Do đó các phần của tài sản đầu tư vào trái phiếu được cho bởi:
1−π(t) 1 =
ϕ0(t).B(t)
X(t)
; 1 := (1,...,1) ∈ Rn
2. Các yêu cầu đặc biệt thỏa mãn các giả thiết của các hệ số thị trường là với P−h.c.c ta có:
T
0
|ϕ0(t)| dt < ∞
n
∑
j=1
T
0
(ϕi(t).Si(t))2
dt < ∞, với i = 1,...,n.
Định nghĩa 2.1.2. Một cặp tự tài trợ (ϕ,c) hay (π,c) bao gồm một chiến lược kinh doanh ϕ
hoặc một quá trình danh mục đầu tư π và một quá trình tiêu thụ gọi là chấp nhận được đối
với tổng sở hữu ban đầu x > 0, nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng thỏa mãn:
X(t) ≥ 0 P−h.c.c ∀t ∈ [0,T]
Tập các cặp chấp nhận được (π,c) với tài sản ban đầu x được ký hiệu là A (x)
2.1.1.1 Mô hình Black - Scholes
Trong mô hình Black - Scholes, các hệ số thị trường µi,σij được giả sử là các hằng số, điều
này dẫn đến giá trái phiếu và cổ phiếu có dạng:
B(t) = exp(rt), (2.5)
Si(t) = si exp µi
1
2
n
∑
j=1
σ2
i,j +
n
∑
j=1
σi,jWj(t) (2.6)
Khi đó, ta có thể xác định:
E(Si(t)) = si.exp(µit) (2.7)
Var(Si(t)) = s2
i .exp(2µit) exp
n
∑
j=1
σ2
ijt −1 (2.8)
Cov(ln(Si(t)),ln(Sj(t))) =
n
∑
k=1
σikσjkt (2.9)
48

Như vậy rõ ràng là giá cổ phiếu là một hàm theo thời gian và chuyển động Brown: f(t,W(t)).
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với một cổ phiếu:
dS1(t) = µS1(t)dt +σS1(t)dB(t) (2.10)
dt và dB(t) là các hàm bậc nhất của S1(t) (giá của một cổ phiếu tại thời điểm t), µ và σ là
các hằng số.
Lời giải của phương trình (2.10) là một quá trình ngẫu nhiên S1(t) = S1(t,ω) có dạng :
S1(t) = S1(0).exp σBt + µ −
σ2
2
t (2.11)
Quá trình S1(t) này được gọi là một chuyển động Brown hình học, S1(0) là giá cổ phiếu được
quan sát tại thời điểm t = 0.
2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học
S(t)
Nhận xét rằng, nếu ta có thể ước lượng các tham số µ và σ thì sẽ ước lượng được giá S1(0)
của cổ phiếu tại thời điểm t.
Giả sử xét giá cổ phiếu S1(t) trong một khoảng thời gian quan sát [0,T] .
Nếu 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch của [0, T] với n khoảng đều như nhau có
độ dài ∆t = ti −ti−1, ∀i = 0,...,n, thì giả sử là đã biết giá chứng khoán tại thời điểm cuối
ti+1 của mỗi khoảng nhỏ [ti;ti+1]. Vậy ta có n+1 quan sát S1,S2,...,Sn+1.
Bước 1. Tạo ra một dãy số liệu:
Zi = ln(Si+1)−ln(Si) (2.12)
Z1,Z2,...,Zn là một dãy số. Theo công thức của chuyển động Brown hình học (2.11) ta có
biểu thức:
Zi = σ (Bti+1 −Bti)+ µ −
σ2
2
∆t (2.13)
Bước 2. Tìm trung bình và phương sai của dãy số liệu Z1,Z2,...,Zn theo công thức thống kê:
• Trung bình mẫu: ˜Z = 1
n ∑n
i=1 Zi,
• Phương sai mẫu: S2 = 1
n−1 ∑n
i=1 Zi − ˜Z
2
Đó là những ước lượng cho trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên Z mà
thể hiện là (Z1,Z2,...,Zn). Nếu chỉ căn cứ vào biểu thức (2.13) thì ta tính ra trung bình và
phương sai của Z sẽ là:
• Trung bình: µ − σ2
2 ∆t
49

• Phương sai: σ2∆t
Bước 3. Giải các phương trình sau đây đối với µ và σ :
˜Z = µ −
σ2
2
∆t
S2
= σ2
∆t
Ta sẽ được:
µ =
˜Z + S2
2
∆t
và σ =
S
√
∆
Ví dụ 11.
Giá cổ phiếu KSS (Tổng Công Ty Cổ Phần Khoáng Sản NaRi Hamico) lúc đóng cửa
trong khoảng thời gian từ ngày 29/02/2012 đến ngày 17/05/2012 được thống kê lại gồm 40
số liệu như sau (tính theo đơn vị một nghìn Việt Nam đồng (1000 vnđ)):
7,8 8,1 8,2 8,1 7,8 8,1 8,4 8,2 8,5 8,9
9,3 9,4 9,5 9,1 8,8 8,4 8,3 8,7 8,5 8,9
8,9 8,6 9.0 9.4 9.8 10,2 11,2 11,7 12,2 12,8
13,4 12,7 13,3 12,7 12,1 11,9 12,4 11,8 11,3 10,8
Bằng các công thức trên, ta tính được:
˜Z = 0,0083442
S = 0,04
Trong bước 3, ta ước lượng µ và σ theo tỉ lệ xích hàng năm:
∆t =
1
365
Vậy các ước lượng của tham số µ và σ của giá cổ phiếu sẽ là:
ˆµ =
˜Z + S2
2
∆t
= 3,34 và ˆσ =
S
√
∆
= 0,76
Khi đó theo công thức (2.11), giá một cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào đó sẽ được ước
lượng bởi:
˜S1(t) = S1(0).e0,76Bt+3,0512t
50

2.1.2.1 Tính đầy đủ của thị trường
Trong mục này ta chỉ xét trên thị trường tuyến tính với định lí về các thị trường đầy đủ. Ta có
các kí hiệu:
γ(t) := exp

−
t
0
r(s)ds

, θ(t) := σ−1
(t)(b(t)−r(t).1)
Z(t) := exp

−
t
0
θ(s) dW(s)−
1
2
t
0
||θ(s)||2


H(t) := γ(t).Z(t)
θ(t) có thể được hiểu như là một loại phí bảo hiểm rủi ro tương đối trong đầu tư chứng khoán.
Quá trình H(t) dương, liên tục và đo được lũy tiến, sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc
kết nối với quyền chọn giá. Hơn nữa nó là nghiệm duy nhất của phương trình:
dH(t) = −H(t)(r(t)dt +θ(t) dW(t)), H(0) = 1
Định lí 2.1.3. (Tính đầy đủ của thị trường)
Xét một mô hình thị trường tuyến tính.
(a) Giả sử (π,c) ∈ A (x) . Khi đó quá trình tổng sở hữu X(t) tương ứng thỏa mãn:
E

H(t)X(t)+
t
0
H(s)c(s)ds

 ≤ x ∀t ∈ [0,T] (2.14)
(b) Giả sử B ≥ 0 là một biến ngẫu nhiên FT - đo được, và c(t),∀t ∈ [0,T] là một quá trình
tiêu thụ thỏa mãn :
x := E

H(T)B+
T
0
H(s)c(s)ds

 < ∞ (2.15)
Khi đó tồn tại một quá trình đầu tư π(t), t ∈ [0,T], với (π,c) ∈ A (x) và quá trình tổng sở
hữu X(t) tương ứng thỏa mãn:
X(T) = B P−h.c.c (2.16)
51

2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết
2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn
Định giá quyền chọn thực sự là một mảng sáng, hấp dẫn trong lĩnh vực tài chính với
thời gian liên tục. Nó bao gồm những kết quả quan trọng nhất của toán tài chính, như công
thức Black - Scholes. Tầm quan trọng của công thức này cho các ứng dụng lý thuyết và thực
tế được nhấn mạnh bởi giải thưởng Nobel kinh tế được trao cho Robert Merton và Myron
Scholes năm 1997 để tôn vinh những đóng góp của họ về định giá quyền chọn.
Quyền chọn là gì? Quyền chọn là một hợp đồng cho phép người mua được phép lựa chọn
là thực hiện hay không thực hiện việc mua hay bán một số lượng xác định các đơn vị tài sản
cơ sở, trong một khoảng thời gian xác định với một mức giá được xác định trước. Các hàng
hóa cơ sở của hợp đồng quyền chọn có thể là cổ phiếu, trái phiếu, ngoại tệ, hợp đồng tương
lai, nhóm chứng khoán hay hợp đồng chứng khoán ... Một hợp đồng quyền chọn phải bao
gồm các điểm cơ bản sau:
1. Loại quyền chọn.
2. Tên hàng hóa cơ sở.
3. Khối lượng giao dịch.
4. Ngày hết hạn.
5. Giá thực hiện.
Giao dịch quyền chọn? Là giao dịch giữa bên mua quyền và bên bán quyền, trong đó bên
mua quyền có quyền nhưng không có nghĩa vụ mua hoặc bán một lượng ngoại tệ xác định ở
một mức tỷ giá xác định trong một khoảng thời gian thỏa thuận trước. Nếu bên mua quyền
lựa chọn thực hiện quyền của mình, bên bán quyền có nghĩa vụ bán hoặc mua lượng ngoại tệ
quy định trong hợp đồng quyền chọn theo tỷ giá đã thỏa thuận trước. Giao dịch quyền chọn
chỉ liên quan đến hai ngoại tệ. Có hai loại quyền chọn:
• Quyền chọn mua: Người mua hợp đồng có quyền mua hay không một hàng hóa xác định
với mức giá định trước tại một thời điểm xác định trong hợp đồng.
• Quyền chọn bán: Người mua hợp đồng có quyền bán hay không một hàng hóa xác định
với mức giá định trước tại một thời điểm xác định trong hợp đồng.
2.2.1.1 Quyền chọn mua
Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một
giá đảm bảo trước". Cái quyền cho phép có thể mua (mà không bắt buộc phải mua) như vậy
trong tương lai được gọi là Quyền Chọn Mua.
Các điều kiện của hợp đồng này là:
52

• Đến ngày đáo hạn , người mua hợp đồng có thể trả cho người bán hợp đồng số tiền bằng
giá thực thi của hợp đồng.
• Nếu người bán hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người mua trả, thì người bán phải
giao một cổ phần chứng khoán cho người mua vào ngày đáo hạn.
Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng quyền chọn mua sẽ được xếp đặt sao cho người bán phải
trả cho người mua khoản chệnh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi.
Gọi ST là giá của cổ phiếu tại thời điểm t = T trong tương lai và K là giá thực thi vào ngày
đáo hạn. Khi đó số tiền mà người mua hợp đồng quyền chọn phải trả là:
Số tiền chi trả = max{ST −K,0} = (ST −K)+
2.2.1.2 Quyền chọn bán
Người ta có thể mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán trong tương lai
với một giá đảm bảo, ngay cả khi mà người ta không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó
là nội dung của các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay gọi tắt là Quyền Chọn Bán.
Các điều kiện của quyền chọn bán:
• Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết một cổ phần chứng
khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trường lúc ấy của một cổ phần chứng
khoán.
• Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương đương do người
giữ hợp đồng giao cho, thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày
đáo hạn của hợp đồng.
Thông thường thì với hợp đồng quyền chọn bán này, thì hoặc là hợp đồng không được thực
thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữa
giá thực thi và giá chứng khoán vào ngày đáo hạn.
Gọi ST là giá chứng khoán lúc đáo hạn và K là giá thực thi, khi đó ta có thể nói rằng thu
hoạch của người giữ quyền bán này là:
Thu hoạch quyền bán = max{K −ST ;0} = (K −ST )+
2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn
2.2.2.1 Lịch sử vắn tắt của định giá quyền chọn
Lý thuyết hiện đại của định giá quyền chọn bắt đầu với các luận án Theorie de la
Sp eculation của L. F. Bachelier. Do đó, với mô hình giá cổ phiếu là một chuyển động Brown
với độ biến động, Bachelier muốn có lý thuyết giá cho quyền chọn cho các cổ phiếu để so
sánh chúng với giá thực tế trên thị trường. Ông đề nghị sử dụng giá trị kỳ vọng của các tài
53

khoản được chọn giá thanh toán để định giá quyền chọn.
Bước đột phá quyết định hình thức định giá quyền chọn hiện đại có được là công thức
Black - Scholes của Fischer Black và Myron Scholes (1973).
2.2.2.2 Định giá quyền chọn thông qua các nguyên tắc đáp ứng để bảo hộ
Định giá quyền chọn trong một chu kỳ của mô hình nhị thức
Xét một thị trường bao gồm các trái phiếu và cổ phiếu với các ngày giao dịch là 0 và T. Quá
trình giá trái phiếu được cho bởi:
B(0) = 1;B(T) = exp(rT)
Còn giá cổ phiếu bắt đầu với tài sản cơ sở S(0) và có thể đạt được hai giá trị d.S(0) hoặc
u.S(0) với d < u.
Giả sử xác suất để S(T) = uS(0) bằng p; p ∈ (0,1). Ở đây ta cần có điều kiện:
d < exp(rT) < u
để giảm nguy cơ rủi ro không cần thiết cho đầu tư vốn ban đầu, được gọi là các cơ hội kinh
doanh có độ chênh lệch thị giá .
Ví dụ 12.
Ta xem xét một quyền chọn mua trong mô hình nhị thức với giá thực thi K = 100 và ngày
đáo hạn T = 1. Chọn u = 1.2 ; d = 0.95 và r = 0. Khi đó kết quả thu được như sau:
S(0) Xác suất S1(T) (S1(T)−K)+
100 p 120 20
100 1− p 95 0
Khi đó giá quyền chọn mua là:
C = E (S1(T)−K)+
= 20.p+0.(1− p) = 20.p
Theo dự kiến, mức giá được đề xuất này phụ thuộc rất nhiều vào khả năng thành công p.
Nguyên nhân chính của vấn đề này là cán cân thanh toán cuối cùng của quyền chọn có thể
đạt được bằng cách làm theo một chiến lược kinh doanh tự tài trợ phù hợp của cổ phiếu và
trái phiếu. Nguyên tắc tổng hợp xây dựng các quyền chọn này được gọi là nguyên tắc đáp
ứng để bảo hộ giá.
Ta phải xác định chiến lược kinh doanh (ϕ0(0),ϕ1(0)) để có:
X(T) = ϕ0(0)B(T)+ϕ1(0)S(T) = (S(T)−K)+
(2.17)
54

Sau đó ta định nghĩa giá quyền chọn ˆC của quyền chọn mua với vốn ban đầu tại t = 0 để mua
chiến lược đáp ứng để bảo hộ giá (ϕ0(0),ϕ1(0)) :
ˆC = ϕ0(0)B(0)+ϕ1(0)S(0)
Đây là giá cả hợp lý cho quyền chọn.
Thật vậy, giả sử giá quyền chọn ˜C nhỏ hơn ˆC. Khi đó ta mua quyền chọn với giá ˜C và bán
(ϕ0(0),ϕ1(0)) với giá ˆC, tức là giữ lại (−ϕ0(0),−ϕ1(0)).
Như vậy, với t = 0, chúng ta thu được lợi nhuận là ˆC − ˜C mà không cần phải sử dụng vốn ban
đầu.
Nếu ˜C > ˆC thì bán quyền chọn bán và giữ vị trí (ϕ0(0),ϕ1(0)) với giá ˆC. Một lần nữa ta giảm
được rủi ro mà không cần đầu tư vốn ban đầu. Do đó, trong cả hai trường hợp đều tồn tại cơ
hội kinh doanh chênh lệch thị giá.
Trở lại ví dụ này, ta đi tìm ˆC bằng cách xác định ϕ0(0) và ϕ1(0) từ hệ phương trình:
ϕ0(0).1+ϕ1(0).120 = 20
ϕ0(0).1+ϕ1(0).95 = 0
Suy ra nghiệm duy nhất là: (ϕ0(0),ϕ1(0)) = −76, 4
5
Khi đó giá quyền chọn là : ˆC = −76.1+ 4
5.100 = 4
Định giá quyền chọn trong mô hình thị trường khuếch tán tuyến tính
Định nghĩa 2.2.1. Một cặp (ϕ,c) tự tài trợ và chấp nhận được, bao gồm một chiến lược kinh
doanh ϕ và một quá trình tiêu thụ c, được gọi là một cơ hội kinh doanh chênh lệch thị giá
nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng thỏa mãn:
X(0) = 0; X(T) ≥ 0 P−h.c.c
P(X(T) > 0) > 0 hoặc P


T
0
c(t)dt > 0

 > 0
Định nghĩa 2.2.2. Một quyền chọn phái sinh (quyền phụ thuộc) (kiểu Châu Âu) (g,B) bao
gồm một quá trình tỷ lệ trả cổ tức g(t) {Ft}t - đo được lũy tiến, t ∈ [0,T],g(t) ≥ 0 và một sự
thanh toán đầu cuối B ≥ 0 Ft - đo được tại thời điểm t = T với:
E




T
0
g(t)dt +B


µ
 < ∞ với mỗi µ > 1
55

Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ

Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ

Similar to Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ (20)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ