3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓
𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆
𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍
𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆
𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝑹𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓
𝒖𝒏𝒂
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑰
Las funciones relaciona dos cantidades,
una de entrada (variable independiente)
y otra de salida (variable dependiente).
Con estas relaciones, se busca modelos
matemáticos que permiten tomar
decisiones, como en los modelos
económicos, predecir un resultado, como
en el contagio de una enfermedad.
El modelo epidemiológico SEIR
(Susceptible, Latente, Infectado,
Recuperado), , permite realizar una
predicción sobre la infección que se tiene
en la pandemia del COVID 19.
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Sean 𝑨 y 𝑩 conjuntos no vacíos y el subconjunto 𝑓 del
producto cartesiano 𝑨 × 𝑩 (𝑓 ⊂ 𝑨 × 𝑩).
Función
1. Definición
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝐍𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧: 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵
Gráficamente
𝒙
𝐴
𝑓
𝐵
𝑨 𝑩
𝑓
𝒚
• •
Conjunto de
partida
Conjunto de
llegada
−1
𝑨 𝑩
𝑓
6
2
3
8
5
4
1
0
𝑓 = −1; 6 ; 2; 5 ; 3; 0 ; 8; 1
• 𝐃𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝒇:
Es el conjunto formado por las primeras componentes.
• 𝐑𝐚𝐧𝐠𝐨 𝐝𝐞 𝒇:
Es el conjunto formado por las segundas componentes.
Dom𝑓 = −1; 2; 3; 8 = 𝐴
Ran𝑓 = 6; 5; 1; 0 ⊆ 𝐵
Dom 𝑓 = 𝑥 / 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓
Ran 𝑓 = 𝑦 / 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓
Se denomina función 𝑓 de 𝑨 en 𝑩 si para todo par
ordenado 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓; a la primera componente 𝑥 le
corresponde una única segunda componente 𝑦.
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ℎ = 3; −5 ; 2; 4 ; 𝟑; 𝑝
−4
𝑨 𝑩
ℎ
5
2
9
−3
1
4
𝐍𝐨𝐭𝐚:
C U R S O D E Á L G E B R A
2. Condición de unicidad de una función
Sea f una función.
𝒙; 𝑦
Si ∧ 𝒙; 𝑧 ∈ 𝑓 → 𝑦 = 𝑧
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
∈ 𝑓
Si 𝟖; 𝑛 ∈ 𝑓 ∧ 𝟖; 7 ∈ 𝑓 → 𝑛 = 7
2
𝑨 𝑩
𝑔
−5
𝑚 − 3
5 − 𝑚
9
• Sea 𝑓 una función
• Sea 𝑔 una función
• Sea ℎ una función
→ 𝑝 = −5
¿ ℎ es función?
No , pues al elemento 9
de 𝐴 le corresponde no
uno, sino dos elementos
de 𝐵 (1 y 4)
Como −𝟓; 𝑚 − 3 ∈ 𝑔 ∧ −𝟓; 5 − 𝑚 ∈ 𝑔
→ 𝑚 − 3 = 5 − 𝑚 → 𝑚 = 4
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
3. Regla de correspondencia de una función
Sea 𝑓: 𝑨 → 𝑩 una función tal que 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓. La regla de
correspondencia de 𝑓 es la ecuación que relaciona 𝑥 e 𝑦.
𝐍𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧: 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝟏
𝑨 𝑩
𝑓
𝟐
𝟑
𝟒
𝒙
4
5
6
7
𝑦
𝑓 𝟏 = 3
𝑓 𝟐 = 4
𝑓 𝟑 = 5
𝑓 𝟒 = 6
𝑥: variable independiente
𝑦: variable dependiente
La relación entre 𝑥 e 𝑦 es: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
4. Función real de variable real
𝑓: 𝑨 → 𝑩 es una función real de variable real, si 𝑨 y 𝑩
son subconjuntos de ℝ.
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 𝑓: ۦ−2; ሿ
7 ⟶ ℝ
𝑥 3𝑥 − 5
⟶
De donde observamos que:
Dom𝑓 = ۦ−2; ሿ
7 ∧ 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 5
• 𝑔 = ሼ 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
Τ 𝑦 = 6𝑥2
− 7 ∧ ሽ
−2 < 𝑥 ≤ 3
• ℎ 𝑥 = 6𝑥 − 3; 𝑥 ∈ 1; 4
𝐍𝐨𝐭𝐚:
Una función está bien definida si se conoce
su dominio y su regla de correspondencia.
= 𝟏 + 3
= 𝟐 + 3
= 𝟑 + 3
= 4 + 3
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Tenga en cuenta el C. V. A. (Conjunto de valores admisibles):
Si tenemos solo la regla de correspondencia
de una función, entonces:
Dom𝑓 = C. V. A.
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
∈ ℝ
𝐩𝐚𝐫
𝒂 ∈ ℝ
iii. 𝑄 𝑥 ≠ 0
𝐢𝐦𝐩𝐚𝐫
𝒂 ∈ ℝ ⇔ 𝒂 ∈ ℝ
Cálculo del dominio y rango de una función
1. Cálculo del dominio
Es el conjunto formado por todos los valores reales de 𝑥; tales
que la regla de correspondencia obtenga valores reales.
𝒂 ≥ 0
⇔
⇔
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Calcule el dominio de 𝑓 𝑥 = 16 − 𝑥2 +
2
𝑥 − 3
Resolución:
• 16 − 𝑥2
≥ 0 → 16 ≥ 𝑥2
→ 𝑥2
≤ 16
→ −4 ≤ 𝑥 ≤ 4
• 𝑥 − 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3
… 1
… 2
Finalmente, de 1 y 2
3
−4 4
∴ Dom𝑓 = −4; 4 − 3
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐍𝐨𝐭𝐚:
i.
ii.
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
2. Cálculo del rango
Es el conjunto formado por todos los valores reales de 𝑦 o 𝑓𝑥
y se obtiene (en general) a partir del dominio.
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
Halle el rango de la función 𝑓 𝑥 = 2 −
10
𝑥 + 3
; si 𝑥 ∈ ۦ−3; ሿ
7
Resolución:
Como 𝑥 ∈ ۦ−3; ሿ
7 → −3 < 𝑥 ≤ 7
→ 0 < 𝑥 + 3 ≤ 10
+3
→
1
𝑥 + 3
≥
1
10
invertimos
𝑓 𝑥
× −10
→ −
10
𝑥 + 3
≤ −1
+2
2 −
10
𝑥 + 3
≤ 1
→
∴ Ran𝑓 ∈ ۦ−∞; ሿ
1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
Halle el rango de 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3 2
+ 7; si 𝑥 ∈ ۦ−2; ሿ
5 .
Resolución:
Como 𝑥 ∈ ۦ−2; ሿ
5
∴ Ran𝑔 = ሾ7; ۧ
32
→ −2 < 𝑥 ≤ 5
→ −5 < 𝑥 − 3 ≤ 2
→ 𝑥 − 3 2
≤
0 < 25
→ 𝑥 − 3 2
+ 7
≤
7 < 32
−3
2
+7
𝑔 𝑥
10. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
