Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
lisari.blogspot.com
Αναπόδεικτα
Θεωρήματα
και Προτάσεις
του σχολικού βιβλίου
Μαθηματικών
στη Γ Λυκείου

2. Τα 20 αναπόδεικτα θεωρήματα – προτάσεις
του σχολικού βιβλίου
Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Εισαγωγή
Το 2018 έκανα μια εισήγηση στη Μαθηματική Εβδομάδα Θεσσαλονίκης και στην
ημερίδα Ε.Μ.Ε Λιβαδειάς με θέμα «Γιατί; Why? Warum?» που ανέλυα γιατί είναι
λάθος να μην διδάσκουμε όλες τις αποδείξεις που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο και ας
είναι εκτός ύλης.
Σήμερα, επιστρέφω και παρουσιάζω τις αποδείξεις των προτάσεων, θεωρημάτων που
δεν είναι γραμμένες στο σχολικό βιβλίο και επαφίονται στον αναγνώστη. Κατά τη
γνώμη μου αυτές οι αποδείξεις έχουν διδακτική αξία και πρέπει τουλάχιστον να
υπάρχουν και να είναι διαθέσιμες προς μελέτη.
Δεν είχα σκοπό να συμπεριλάβω με το ζόρι όλα όσα δεν είναι αποδεδειγμένα στο
σχολικό βιβλίο και να βάλω από το «παράθυρο» αποδείξεις που απαιτούνται αρκετά
λήμματα για να λυθούν. Ούτε είχα σκοπό να χρησιμοποιήσω ύλη που είναι εκτός
διδακτικού πλαισίου για το σχολικό έτος 2020 – 21. Σκοπός μου ήταν να εξηγήσω απλά
στους μαθητές πώς μπορούμε να αποδείξουμε κάποιες προτάσεις – θεωρήματα που το
σχολικό βιβλίο γράφει «η απόδειξη παραλείπεται» και είναι στις δυνατότητές τους!
Επειδή κάποιες αποδείξεις μπορεί να έχουν ξεχαστεί ή να υπάρχει κάποιο λάθος στις
υπάρχουσες, εύχομαι να μου τα υποδείξετε στο lisari.blogspot@gmail.com για να τα
συμπεριλάβω στην επόμενη έκδοση.
Οι αποδείξεις είναι ενδεικτικές και προφανώς υπάρχουν αρκετές ακόμα… δεν έχω
σκοπό να παρουσιάσω όλους τους τρόπους επίλυσης. Το επίπεδο δυσκολίας δεν είναι
διαφορετικό από τις αποδείξεις που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο.
Να τονίσουμε ότι δικαιολογημένα το σχολικό εγχειρίδιο δεν συμπεριλαμβάνει όλες
αυτές τις αποδείξεις που υπάρχουν στο φυλλάδιο και τις αφήνει ως προβληματισμό και
έρευνα στον αναγνώστη.
Αθήνα – Κιάτο
16.10.20

3. Πρόταση 1η: Συνάρτηση 1 – 1
Απόδειξη
Έστω 1 2x x , όμως η f είναι 1 – 1 άρα ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x= ,
άρα 1 2x x= ■
Πρόταση 2η: Γνησίως μονότονη συνάρτηση στο διάστημα Δ
Απόδειξη
Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε για 1 2x , x Δ
τέτοια ώστε ( ) ( )1 2f x f x= έχουμε: αν
• αν 1 2x x έχουμε ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x=
• αν 1 2x x έχουμε ( ) ( )1 2f x f x , άτοπο διότι ( ) ( )1 2f x f x=
άρα 1 2x x= δηλαδή η f είναι 1 – 1.
Ανάλογη είναι η απόδειξη αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ■
Πρόταση 3η: Ιδιότητες αντίστροφης συνάρτησης
Απόδειξη
Για κάθε x A έχουμε:
( )( ) ( )1 1
f f x f y x−
= =
Για κάθε ( )y f A έχουμε:
( )( ) ( )1
f f y f x y−
= = ■

4. Πρόταση 4η: Ιδιότητες ορίων
Γεωμετρική ερμηνεία (όχι απόδειξη)
α) Αν 0 τότε και η ( )f x 0 κοντά στο 0x , άρα η γραφική παράσταση της
συνάρτησης ( ) ( )g x f x= − προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f αν όλα τα
σημεία της μετατοπισθούν κατά μονάδες προς κάτω. Άρα η ( )y g x= τείνει στο
μηδέν όταν x τείνει στο 0x , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Ανάλογα αν 0 .
β) Αν 0x 0 τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )0g x f x x= + προκύπτει
από τη γραφική παράσταση της f αν όλα τα σημεία της μετατοπισθούν κατά 0x
μονάδες προς αριστερά. Άρα πάλι η ( )y g x= θα τείνει στο , αν το x πλησιάζει το
0x 0= όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Ανάλογα αν 0x 0 .

5. Πρόταση 5η:Όριο και διάταξη (ii)
Απόδειξη
ii) Είναι,
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
0 0
i
x x x x
lim f x 0 lim f x 0 f x 0 f x 0
→ →
  −  −    κοντά στο 0x ■
Πρόταση 6η: Όριο και διάταξη
Απόδειξη
Έστω ότι ( ) ( )
0 0x x x x
f x g xlim lim
→ →
 τότε έχουμε ισοδύναμα:
( ) ( )( )0x x
f x g x 0lim
→
− 
άρα από γνωστή ιδιότητα έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x 0 f x g x−    κοντά στο 0x
άτοπο διότι ( ) ( )f x g x κοντά (;) στο 0x , άρα ( ) ( )
0 0x x x x
f x g xlim lim
→ →
 ■
Πρόταση 7η: Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:

6. ( )
( )
x x
x
x
ν ν 1
ν ν 1 1 0
v 0
ν ν 1 1 v 1 v
ν
ν
P(x) α x α x ... α x α
α1 1
x α α ... α
x x x
α x
lim lim
lim
lim
→+ →+
→+
→+
−
−
− −
= + + + +
  
= + + + +  
  
=
διότι,
x
0
ν ν 1 1 νv 1 v
α1 1
α α ... α α
x x x
lim
→+
− −
 
+ + + + = 
 
Ανάλογα και όταν το x→−■
Πρόταση 8η: Όριο ρητής συνάρτησης
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:
( )
( )
( )
( )
x x
x
x
x
x
x
ν ν 1
ν ν 1 1 0
κ κ 1
κ κ 1 1 0
ν ν 1
ν ν 1 1 0
κ κ 1
κ κ 1 1 0
ν
ν
κ
κ
ν
ν
κ
κ
α x α x ... α x α
f(x)
β x β x ... β x β
α x α x ... α x α
β x β x ... β x β
α x
β x
α x
β x
lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
→+ →+
→+
→+
→+
→+
→+
−
−
−
−
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
+ + + +
=
+ + + +
=
 
=  
 
Ανάλογα και όταν το x→−■
Πρόταση 9η: Πράξεις συνεχών συναρτήσεων

7. Απόδειξη αθροίσματος
Έχουμε ισοδύναμα:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0 0 0x x x x x x x x
0 0 0f g x f x g x f x g x f x g x f g xlim lim lim lim
→ → → →
+ = + = + = + = +
άρα η συνάρτηση f g+ είναι συνεχής στο 0x .
Ανάλογα αποδεικνύονται και οι άλλες πράξεις των συνεχών συναρτήσεων■
Πρόταση 10η: Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
0 0 0x x x x u f
0 0
x
g f x g f x g u g f x g f xlim lim lim
→ → →
= = = =
όπου ( )u f x= και ( ) ( )
0x x
0 0u f x f xlim
→
= = διότι η f είναι συνεχής στο 0x ■
Πρόταση 11η: Παράγωγος πηλίκου
Απόδειξη
Έχουμε ισοδύναμα:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0 0 0
0
0 0 2
0 0
0 0 0 0
2
0
1 1 1
f x f x x f x x
g g g
g x1
f x f x
g x g x
f x g x f x g x
g x
      
 = +     
     
−
= +
 −
=

8. Πρόταση 12η: Θεώρημα Rolle
Σημείωση: Η απόδειξη του θεωρήματος Rolle θα γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Fermat, όμως στο
σχολικό βιβλίο το Θεώρημα Rolle προηγείται του Θεωρήματος Fermat, άρα δεν επιτρέπεται η
χρησιμοποίησή του. Η απόδειξη παρατίθεται μόνο για διδακτικούς σκοπούς.
Απόδειξη
Αν η συνάρτηση f είναι σταθερή στο  α,β , τότε ( )f ξ 0 = για κάθε  ξ α,β .
Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή, τότε επειδή η f είναι συνεχής στο  α,β , άρα
από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν  1 2x , x α,β τέτοια
ώστε για κάθε  x α,β να ισχύουν:
( ) ( ) ( )1 2f x f x f x  με ( ) ( )1 2f x f x (αφού δεν είναι σταθερή).
Τα σημεία 1 2x ,x δεν μπορεί να είναι και τα δύο άκρα του διαστήματος  α,β , διότι
αν ισχύει για λόγου χάρη 1x α= και 2x β= (όμοια αν 1x β= και 2x α= ) τότε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2f α f x f x f β f x=   =
που είναι άτοπο, διότι ( ) ( )f α f β= .
Επομένως, ένα τουλάχιστον από τα 1 2x ,x ανήκουν στο ανοικτό διάστημα ( )α,β
οπότε εφαρμόζεται το Θεώρημα Fermat, οπότε το ξ ισούται με το 1x ή με το 2x .
Πρόταση 13η: Θεώρημα Μέσης Τιμής
Απόδειξη
Έστω η συνάρτηση
( ) ( )( ) ( ) ( )( )g x f x β α f β f α x= − − − ,  x α,β ,

9. τότε:
• η g είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  α,β
• η g είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( )α,β με
( ) ( )( ) ( ) ( )( )g x f x β α f β f α = − − −
• ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )g α f α β α f β f α α βf α αf β= − − − = − και
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )g β f β β α f β f α β βf α αf β= − − − = − άρα ( ) ( )g α g β=
οπότε ικανοποιείται το Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση g στο κλειστό διάστημα
 α,β , άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ α,β τέτοιο ώστε:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )f β f α
g ξ 0 f ξ β α f β f α 0 f ξ
β α
−
  =  − − − =  =
−
■
Πρόταση 14η:
Απόδειξη
Έστω ότι η γραφική παράσταση της f είναι κυρτή στο ( 0 0x δ,x− και κοίλη στο
 )0 0x ,x δ+ , άρα η f  είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0 0x δ, x− και γνησίως φθίνουσα
στο ( )0 0x , x δ+ . Επειδή η f  είναι συνεχής στο 0x σύμφωνα με το Θεώρημα της
παραγράφου 2.7 η f  παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0x . Επομένως, σύμφωνα με το
Θεώρημα Fermat, έχουμε: ( ) ( ) ( )0 0f x 0 f x 0 =  = .
Όμοια, είναι η απόδειξη αν f είναι κοίλη στο ( 0 0x δ,x− και κυρτή στο  )0 0x ,x δ+ ■
Πρόταση 15η: Πλάγια – οριζόντια ασύμπτωτη
Απόδειξη

10. Η ευθεία y λx β= + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + άρα
ισχύει:
( )x
f(x) λx β 0lim
→+
− + =  
Έστω, ( ) ( ) ( )g x f x λx β= − + (1), οπότε
x
g(x) 0lim
→+
= . Η (1) γίνεται:
( ) ( )f x g x λx β= + + ,
επομένως:
( )
( )x x x
g x λx βf(x) 1 β
g x λ 0 0 λ 0 λ
x x x x
lim lim lim
→+ →+ →+
+ +  
= = + + =  + + =  
και
( ) ( )( ) ( )( )x x x
f(x) λx g x λx β λx g x β 0 β βlim lim lim
→+ →+ →+
− = + + − = + = + = .
Ανάλογη απόδειξη και όταν x→−■
Πρόταση 16η: Παραγοντική ολοκλήρωση
Απόδειξη
Έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
β β
α α
β
α
β β
α α
ββ
α α
f x g x dx f x g x f x g x f x g x dx
f x g x f x g x dx
f x g x dx f x g x dx
f x g x f x g x dx
   = + −
  = −  
 = −
= −  
 

 

Πρόταση 17η: Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής

11. Απόδειξη
Έστω F μια παράγουσα της f στο διάστημα  α,β , άρα ( ) ( )F u f u = (1) οπότε
( )( ) ( )( )F g x f g x =
και άρα
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
2
1
2
1
β β
α α
β
α
2 1
u
u
u
u
u
u
f g x g x dx F g x g x dx
F g x
F g β F g α
F u F u
F u
F u du
f u du
  =
 =  
= −
= −
=   
=
=
 


Πρόταση 18η: Θεώρημα Charles
Απόδειξη
Έστω F μια αρχική συνάρτηση της f στο διάστημα Δ τότε:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
β β
αα
γ β
α γ
f (x)dx F x F β F α
F β F α F γ F γ
F γ F α F β F γ
f (x)dx f (x)dx
= = −  
= − + −
= − + −
= +

 
Πρόταση 19η: Γεωμετρική ερμηνεία ορισμένου ολοκληρώματος

12. Απόδειξη
Αν ( )f x 0 για κάθε  x α,β , τότε θα αποδείξουμε ότι
β
α
f(x)dx 0 . Από τον
ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )ν
ν ν β
κ κ κ α
κ 1 κ 1
f x 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f(x)dx 0lim
→
= =
           ■
Πρόταση 20η: Πρόσημο ολοκληρώματος
Απόδειξη
Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )ν
ν ν β
κ κ κ α
κ 1 κ 1
f x 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f ξ Δx 0 f(x)dx 0lim
→
= =
          
διότι στο άθροισμα ( )
ν
κ
κ 1
f ξ Δx
=
 ένας τουλάχιστον όρος είναι θετικός και υπόλοιποι
είναι μη αρνητικοί ■