3. Ο David Hilbert ,
ο οποίος ήταν το πρώτο από τα
δυο παιδιά του Ότο και της
Maria Therese Χίλμπερτ,
ήταν Γερμανός μαθηματικός
και γεννήθηκε στην Πρωσία
είτε
στο Καίνιξμπεργκ σύμφωνα με
δήλωση του
είτε στο Βέλαου κοντά στο
Καίνιξμπεργκ,
όπου ο πατέρας του δούλευε
την περίοδο της γέννησης του.
4. Μετά την αποφοίτηση εγγράφηκε (φθινόπωρο του 1880) στο
Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ. Ο Χίλμπερτ απέκτησε το
διδακτορικό του το 1885, με διατριβή, υπό τον τίτλο «Οι
αμετάβλητες ιδιότητες των ειδικών δυαδικών μορφών, κυρίως
των σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων». Ο Χίλμπερτ
παρέμεινε στο Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ σαν λέκτορας
από το 1886 ως το 1895.
5. Ο Χίλμπερτ νυμφεύτηκε την Käthe
Jerosch (1864–1945), κόρη ενός
εμπόρου από το Καίνιξμπεργκ, μια
ειλικρινή, νέα κοπέλα με ανεξαρτησία
μυαλού, το οποίο ταίριαζε στο δικό του.
Στο Καίνιξμπεργκ απέκτησαν το παιδί
τους, Φραντς Χίλμπερτ (1893–1969). Tο
1895, ως αποτέλεσμα της παρέμβασης
του Felix Klein, διατήρησε τη θέση του
καθηγητή των μαθηματικών
στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, που
εκείνη την περίοδο ήταν το καλύτερο
κέντρο έρευνας μαθηματικών στον
κόσμο. Παρέμεινε εκεί για το υπόλοιπο
της ζωής του.
6.
7. Ο Χίλμπερτ έζησε για να δει την αποχώρηση συνεργατών του
λόγω του Γερμανικού Εθνικοσοσιαλισμού, οι οποίοι ήταν
εξέχοντα μέλη του Πανεπιστημίου του Καίνιξμπεργκ το 1933.
8. Οραματίστηκε το μέλλον της μαθηματικής σκέψης,
και το καλοκαίρι του 1900, στη διάρκεια του πρώτου
Παγκόσμιου Μαθηματικού Συνεδρίου στο Παρίσι,
έκανε μια σημαντικότατη διάλεξη, όπου διατύπωσε τα 23 άλυτα
προβλήματα μέχρι τότε.
9. Τον Αύγουστο του 1900, έγινε στο Παρίσι το ∆εύτερο
∆ιεθνές Συνέδριο Μαθηµατικών.
Τα 23 προβλήµατα που κατά τη γνώµη του θα
απασχολούσαν τα µαθηµατικά του 20ου αιώνα.
Είτε γιατί ο Hilbert, µε τη γνώση και τη διορατικότητά
του µπόρεσε να προβλέψει σωστά, είτε γιατί το κύρος
του επηρέασε τους συναδέλφους του, το γεγονός
είναι ότι αυτά τα 23 προβλήµατα κυριάρχησαν σε
µεγάλο βαθµό στα µαθηµατικά του εικοστού αιώνα.
• Κάποια από αυτά λύθηκαν πλήρως ή εν µέρει,
• άλλα αναδιατυπώθηκαν και γενικεύτηκαν
• και τέλος τρία περιµένουν ακόµα τη λύση τους.
11. Ο Χίλμπερτ για να συντομεύσει την ομιλία του,
παρουσίασε μόνο δέκα από τα εικοσι τρία
προβλήματα του.
12. 1. Το πρόβλημα του Κάντορ για τον πληθυντικό
αριθμό του συνεχούς. ΔΕΝ ΛΥΝΕΤΑΙ ΣΤΑ
ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΚΛΑΣΣΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ
2. Η συνέπεια των αξιωμάτων της Αριθμητικής.
ΔΕΝ ΛΥΝΕΤΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ
3. Η ισότητα των όγκων δύο τετραέδρων με ίσες
βάσεις και ίσα ύψη. ΛΥΘΗΚΕ
4. Το πρόβλημα της ευθείας γραμμής ως της
μικρότερης απόστασης μεταξύ δύο σημείων.
13. 5. Η έννοια μια συνεχούς ομάδας
μετασχηματισμών, χωρίς την παραδοχή της
διαφορισιμότητας των συναρτήσεων των
μετασχηματισμών ΛΥΘΗΚΕ ΥΠΟ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ
6. Η μαθηματική πραγμάτευση των αξιωμάτων της
φυσικής. ΛΥΘΗΚΕ ΥΠΟ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ
7. Η αρρητότητα και η υπερβατικότητα
συγκεκριμένων αριθμών. ΛΥΘΗΚΕ
8. Προβλήματα πρώτων αριθμών
(συμπεριλαμβανομένης της υπόθεσης Ρίμαν)
14. 9. Η απόδειξη του πιο γενικού νόμου
Αμοιβαιότητας για κάθε σώμα αριθμών.
ΛΥΘΗΚΕ ΜΕΡΙΚΩΣ
10. Ο καθορισμός της Επιλυσιμότητας κάθε
Διοφαντικής εξίσωσης. ΛΥΘΗΚΕ
11. Το πρόβλημα των τετραγωνικών μορφών με
οποιουσδήποτε αλγεβρικούς αριθμητικούς
συντελεστές. ΛΥΘΗΚΕ ΜΕΡΙΚΩΣ
12. Η επέκταση του θεωρήματος του Κρόνεκερ για
τα αβελιανά σώματα σε οποιαδήποτε αλγεβρική
δομή ρητότητας.
15. 13. Το πρόβλημα της τοπολογίας των αλγεβρικών
καμπύλων και επιφανειών.
14. Η απόδειξη του αδύνατου επίλυσης της γενικής
εξίσωσης εβδόμου βαθμού μέσω συναρτήσεων
με μόνο δύο ορίσματα. ΛΥΘΗΚΕ ΜΕΡΙΚΩΣ
15. Η απόδειξη του πεπερασμένου συγκεκριμένων
ολοκληρωμένων συστημάτων συναρτήσεων.
ΛΥΘΗΚΕ
16. Μια αυστηρή θεμελίωση του λογισμού
απαρίθμησης του Σούμπερτ. ΛΥΘΗΚΕ ΜΕΡΙΚΩΣ
16. 17. Η έκφραση ορισμένων μορφών από
τετράγωνα. ΛΥΘΗΚΕ
18. Η δόμηση του χώρου από ίσα πολύεδρα.
ΛΥΘΗΚΕ
19. Ο καθορισμός του αν οι επιλύσεις
<<κανονικών >> προβλημάτων στο λογισμό των
μεταβολών είναι απαραίτητα αναλυτικές.
ΛΥΘΗΚΕ
20. Η ύπαρξη λύσεων Εξισώσεων Μεταβολών
με ορισμένες συνοριακές συνθήκες. ΛΥΘΗΚΕ
17. 21. Η απόδειξη της ύπαρξης γραμμικών διαφορικών
εξισώσεων που έχουν μια προκαθορισμένη
μονοδρομική ομάδα. ΛΥΘΗΚΕ
22. Η ομοιομορφοποίηση των αναλυτικών σχέσεων
μέσω αυτομορφικών συναρτήσεων. ΛΥΘΗΚΕ
23. Η περαιτέρω ανάπτυξη των μεθόδων του
λογισμού των μεταβολών.
*Το 2000, ανακοινώθηκε η ανακάλυψη ενός
χειρογράφου του Χίλμπερτ, στο οποίο
καταγράφεται το λεγόμενο 24ο
πρόβλημα, που
σχετίζεται με τη θεωρία αποδείξεων και το
οποίο, για άγνωστο μέχρι σήμερα λόγο, τελικά
δεν παρουσιάστηκε στο Παρίσι το 1900.
18. Από το Α΄συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900.
Οι πιο γνωστοί μαθηματικοί εκείνης της περιόδου.
19. Δεξιά ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή ,
στη μέση ο David Hilbert
και αριστερά ο Νικόλαος Κρητικός μετέπειτα καθηγητής
στο ΕΜΠ.
20. Το Clay Mathematics Institute της Μασσαχουσέτης,
για να γιορτάσει την εκατονταετηρίδα
αυτής της οµιλίας
ανέθεσε σε τέσσερις κορυφαίους µαθηµατικούς
(ανάµεσά τους και ο Andrew Wiles που έλυσε
πρόσφατα το πρόβληµα του Fermat,
ένα πρόβληµα που περίµενε τη λύση του για 350
χρόνια περίπου
να συντάξουν ένα κατάλογο από επτά προβλήµατα,
«τα προβλήµατα της νέας χιλιετίας».
Για καθένα από αυτά,
προσφέρεται αµοιβή
ενός εκατοµµυρίου δολλαρίων .
Η επιτροπή επέλεξε έξι νέα προβλήµατα,
τα οποία ήρθαν να προστεθούν στο πιο ξακουστό
κόσµηµα της συλλογής του Hilbert που
αντιστέκεται ακόµα.
(Πρόκειται για το όγδοο πρόβληµα, την κατανοµή
των πρώτων αριθµών
που συνδέεται µε την υπόθεση του Riemann).
21. Τα εκατοµµύρια δολλάρια που θα εισπράξουν
αυτοί που θα λύσουν τα προβλήµατα,
στοχεύουν στο να θυµίσουν στον κόσµο ότι τα µαθηµατικά, εκτός
από σχολικός βραχνάς ή εργαλείο κοινωνικής επιλογής,
είναι και µια ζωντανή επιστήµη,
ή όπως λέει ο Arthur Jaffe
«...η βάση της επιστήµης και
o αναντικατάστατoς µοχλός του επιπέδου ζωής µας...»
Χωρίς αυτά δεν θα είχαµε,
«ούτε υπολογιστές, ούτε συστήματα εντοπισµού των οχηµάτων, ούτε
ηµιαγωγούς, ούτε γονιδιακή έρευνα, ούτε νανοτεχνολογία...».
Όµως οι ίδιοι οι µαθηµατικοί που ασχολούνται µε την έρευνα, δεν
αναµένεται να αλλάξουν σε τίποτα τις συνήθειές τους ή να
επηρεαστούν στο έργο τους.
Το πολύ πολύ µερικοί ακόµα µαικήνες, ζηλεύοντας το κλέος του Clay
να κάνουν µερικές, πάντα ευπρόσδεκτες, δωρεές στη µαθηµατική
έρευνα.
22. Για τον Χίλμπερτ,
«στα μαθηματικά
δεν υπάρχει δεν θα
μάθουμε ποτέ».
Στον τάφο του είναι
γραμμένη η φράση
που χαρακτήριζε τη
ζωή και τη φιλοσοφία
του:
«Πρέπει να μάθουμε,
και θα μάθουμε».
25. Ανρί Πουανκαρέ
Ο Ζυλ Ανρί Πουανκαρέ ήταν ένας από τους κορυφαίους
Γάλλους μαθηματικούς και θεωρητικούς φυσικούς,
καθώς και φιλόσοφος της επιστήμης.
Ο Πουανκαρέ γεννήθηκε στις 29 Απριλίου 1854 στην
πόλη Νανσύ της Γαλλίας και πέθανε στις 17 Ιουλίου
1912 στο Παρίσι.
Συχνά περιγράφεται ως πολυμαθής, και στον κόσμο των
μαθηματικών είναι γνωστός ως ο «τελευταίος
πανεπιστήμονας», καθώς διέπρεπε σε όλα τα
επιστημονικά πεδία τα οποία υπήρχαν στη διάρκεια της
ζωής του.
26. Ο Πουανκαρέ ήταν ιδιαίτερα αφηρημένος και
αδέξιος. Είναι χαρακτηριστικό πως οι σύγχρονοί του
τον αποκαλούσαν αμφιδέξιο, με την έννοια ότι είχε
κακές επιδόσεις τόσο με το αριστερό όσο και με το
δεξί χέρι.
Στο σχολείο κατάφερε να βαθμολογηθεί με μηδέν
στο σχέδιο. Ωστόσο όλες οι παραπάνω αδυναμίες
του αναπληρώνονταν και με το παραπάνω από τη
μαθηματική του μεγαλοφυΐα και την ευρυμάθεια
που τον διέκρινε.
Ο δάσκαλός του Elliot a Liard έγραψε το 1872: «Έχω
στην τάξη μου ένα τέρας των μαθηματικών, τον
Ανρί Πουανκαρέ».
27. Ο Πουανκαρέ δημοσίευσε το πρώτο του άρθρο στο
Nouvelles Annales des Mathematiques σε ηλικία 19
ετών. Συνολικά συνέγραψε τουλάχιστον 30 βιβλία και
500 ερευνητικές εργασίες - άρθρα. Ίσως ήταν ο
τελευταίος μαθηματικός με ευρύτατο πεδίο
ενασχόλησης, ώστε οι διαλέξεις του στη Σορβόνη να
ποικίλλουν σε ευρύτατη γκάμα θεμάτων.
Ο Πουανκαρέ, εκτός από τη σημαντική του προσφορά
στο αμιγώς μαθηματικό πεδίο, συνεισέφερε στην
οπτική, τον ηλεκτρισμό, την ελαστικότητα, τη
θερμοδυναμική, την Στατιστική Μηχανική, την
κβαντική θεωρία, τη σχετικότητα και την κοσμολογία.
Ο Πουανκαρέ υπήρξε και σημαντικός εκλαϊκευτής της
επιστήμης.
Χαρακτηριστικά στο βιβλίο του Η Αξία της Επιστήμης
έλεγε:
28. «Αν η φύση δεν ήταν όμορφη, δεν θα άξιζε τον κόπο
να την γνωρίσουμε. Κι αν δεν άξιζε τον κόπο να τη
γνωρίσουμε τη φύση, τότε δεν θα άξιζε να ζούμε»
29. Εικασία του Πουανκαρέ
Στα μαθηματικά, η εικασία του Πουανκαρέ
σχετίζεται με τον χαρακτηρισμό μιας 3-διαστατης
σφαίρας. Η εικασία διατυπώθηκε ως εξής:
• Κάθε απλά συνεκτική, κλειστή, χωρίς όρια 3-
διάστατη επιφάνεια είναι ομοιομορφική (δηλαδή
τοπολογικά ισόμορφη) με την 3-διάστατη σφαίρα.
Δηλαδή μπορούμε με παραμόρφωση χωρίς να
δημιουργούμε οπές να την μετασχηματίσουμε σε
3-διάστατη σφαίρα.
30. • Σχεδόν έναν αιώνα μετά από επανειλημμένες
προσπάθειες πολλών μαθηματικών, ο Γκριγκόρι
Πέρελμαν παρουσίασε μια απόδειξη της εικασίας
σε τρεις δημοσιεύσεις οι οποίες έγιναν
διαθέσιμες το 2002 και το 2003 στο arXiv. Η
απόδειξη στηρίχθηκε στην ιδέα του Ρίτσαρντ
Χάμιλτον να χρησιμοποιήσει την παραμόρφωση
των επιφανειών που όρισε ο Ricci και να κάνει
«χειρουργική» στις επιφάνειες.
• Ο Χάμιλτον δεν κατάφερε όμως να αποδείξει ότι
αυτή η μέθοδος «συγκλίνει» στις τρεις
διαστάσεις.
31. Ο Πέρελμαν ολοκλήρωσε αυτό το κομμάτι της
απόδειξης, παρατηρώντας ότι η παραμόρφωση Ricci
είναι παρόμοια με την διάχυση της Θερμότητος, η
οποία ομογενοποιεί και «στρογγυλεύει» τις
επιφάνειες.
Ο Πέρελμαν είδε το προβλημα ως «Δυναμικο-
Μηχανικό» πρόβλημα αξιοποιώντας την κορυφαία
Ρωσική παράδοση σ’ αυτή την ανάλυση. Ας
θυμηθούμε ότι στο Πανεπιστήμιο Λομονοσωφ της
Μόσχας το τμήμα Μαθηματικών ονομάζεται «Τμήμα
Μαθηματικών και Μηχανικής». Επιπλέον πήρε από
την Στατιστική Μηχανική την ιδέα της Εντροπίας και
όρισε αυτό που σήμερα καλούμε Εντροπία
Πέρελμαν:
Πολλές ομάδες μαθηματικών έχουν επαληθεύσει ότι
η απόδειξη του Πέρελμαν είναι σωστή.
32. Τοπολογία
Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία
μπορεί να οριστεί μια έννοια «απόστασης» είτε
«περιοχών» έτσι ώστε να δύναται να οριστεί η
συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση.
Είναι, συνεπώς ένα είδος γενικευμένης γεωμετρίας
αφού θεωρούμε κι εδώ σχήματα.
Εστιάζουμε όμως στην συνέχεια των
μετασχηματισμών - συναρτήσεων και μελετούμε
ιδιότητες αναλλοίωτες σε παραμορφώσεις.
33. Ταινία Μέμπιους
• Ο Αουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους ήταν Γερμανός
μαθηματικός, αλλά και θεωρητικός αστρονόμος.
Είναι περισσότερο γνωστός για την ανακάλυψη της
Λωρίδας του Μέμπιους,
• μιας διδιάστατης, μη προσανατολισμένης
επιφάνειας, που έχει μόνο μία πλευρά όταν είναι
ενσωματωμένη στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο.
34. • Η λωρίδα αυτή ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα
περίπου την ίδια εποχή από τον Γιόχαν
Μπένεντικτ Λίστινγκ. Ο Μέμπιους υπήρξε ο
πρώτος που εισήγαγε τις ομογενείς
συντεταγμένες στην προβολική γεωμετρία.
Αρκετές άλλες μαθηματικές έννοιες φέρουν
το όνομά του.
35.
36. Φιάλη του Κλάιν
• Η Φιάλη Klein είναι ένα ιδιαίτερο γεωμετρικό σχήμα
μη προσανατολισμένο, στο οποίο δεν μπορούμε να
διακρίνουμε την πάνω και την κάτω πλευρά, το
μέσα και το έξω. Αυτό σημαίνει ότι σ' αυτή, όπως
και στην Ταινία Μέμπιους, μπορούμε να περάσουμε
από την εσωτερική στην εξωτερική πλευρά χωρίς να
βγούμε από τα χείλη της φιάλης. Η Φιάλη Κλάιν
είναι σημαντικό αντικείμενο της τοπολογίας, κλάδου
των μαθηματικών ο οποίος μελετά τα
χαρακτηριστικά που διατηρούν τα γεωμετρικά
σχήματα όταν παραμορφώνονται, όταν κάμπτονται
ή τεντώνονται.
40. Η ΖΩΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ
Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν γεννήθηκε
στις 13 Ιουνίου του 1966 και
καταγόταν από εβραϊκή
οικογένεια. Η συνεισφορά
στη γεωμετρία κατά Ρίμαν και
γεωμετρική τοπολογία είναι
τεράστια καθώς ο ίδιος
απέδειξε το περίφημο
μαθηματικό πρόβλημα που είναι
γνωστό ως «εικασία του
Πουανκαρέ». Μέσω της
απόδειξης αυτής γνωρίζουμε
πότε ένα συμπαγές αντικείμενο
είναι τοπολογικά ισοδύναμο με
μία σφαίρα.
41. «Τα χρήματα ή η δόξα δεν με ενδιαφέρουν. Δεν
θέλω να με επιδεικνύουν όπως ένα ζώο σε
ζωολογικό κήπο. Δεν είμαι ένας ήρωας των
μαθηματικών. Δεν είμαι καν επιτυχημένος· γι'
αυτό δεν θέλω να βρεθώ στη θέση του να πρέπει
να με κοιτάνε όλοι». Ο Πέρελμαν ενώ έχει δεχθεί
το βραβείο της Μαθηματικής εταιρίας της Αγ.
Πετρούπολης το 1991, αρνήθηκε να παραλάβει
εκτός από το μετάλλιο Φιλντς το 2006, άλλα δύο
βραβεία: το βραβείο της Ευρωπαϊκής
μαθηματικής εταιρίας το 1996 και το βραβείο
της χιλιετηρίδας ( Millennium Prize) το 2010 από
το Ινστιτούτο Clay Mathematics.
42. Επίσης είπε μάλιστα και την αινιγματική φράση
«γνωρίζω πώς να κυβερνήσω το σύμπαν· γιατί
να τρέξω πίσω από ένα εκατομμύριο δολάρια;»
υποδηλώνοντας την αδιαφορία του προς το
υπέρογκο αυτό ποσό.
43. Το «άγριο» παρουσιαστικό του Ρώσου
μαθηματικού ίσως και να παραπέμπει σε άνθρωπο
προηγούμενου αιώνα. Το σίγουρο όμως είναι πως
ο τρόπος ζωής και η σχέση του Πέρελμαν με την
επιστήμη δεν θυμίζει σε καμία περίπτωση την
εικόνα ενός επιστήμονα του 21ου αιώνα.
44. Από μικρή ηλικία οι γονείς του τον προώθησαν
σε ανώτερα μαθηματικά και φυσικά
προγράμματα. Το 1982 ο Πέρελμαν σε ηλικία 16
χρόνων πήρε μέρος σε μια Παγκόσμια
Ολυμπιάδα Μαθηματικών στην οποία αρίστευσε
κερδίζοντας το χρυσό μετάλλιο. Μετά από το
κατόρθωμά του εισήχθη στη σχολή
Μαθηματικών και Μηχανικών του
Πανεπιστημίου Λένιγκραντ ( Leningrad State
University ) χωρίς εισαγωγικές εξετάσεις
45. Εκεί συμμετείχε σε πολλούς υψηλού επιπέδου
διαγωνισμούς όπου και βραβεύτηκε με την
υποτροφία Lenin. Τελικά το 1990 κέρδισε την
τιμητική διάκριση των «Επιστημών». Στη
διατριβή του δόθηκε αυτός ο τίτλος .
46. ΟΙ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥ
Μετά την αποφοίτησή του ο
Πέρελμαν άρχισε να
δουλεύει στο περίφημο
τμήμα του Λένιγκραντ του
Πανεπιστημίου
Μαθηματικών του Στέκλοβ
μαζί με τον Αλεξάντερ
Αλεξαντρόφ ( Aleksandr
Aleksandrov ) και Γούρι
Μπουράκο (Yuri Burago).
Στις διπλανές φωτογραφίες
μάλιστα τον βλέπουμε να
διδάσκει σε αυτό το
πανεπιστήμιο.
47. Η ΤΕΛΙΚΗ ΤΟΥ ΠΟΡΕΙΑ
Στη συνέχεια δούλεψε
σε διάφορα
Πανεπιστήμια των
Ηνωμένων Πολιτειών
συμπεριλαμβανομένων
και των Πανεπιστημίων
Κουράντ ( Courant ) της
Ν.Υόρκης και στο
πανεπιστήμιο Στονι
Μπρουκ (Stony Brook)
όπου και ξεκίνησε να
δουλεύει πάνω στην
θεωρία του Ricci.
Το 1993 αποδέχτηκε μία
θέση δύο χρόνων. Αφού
τελικά απέδειξε την
λεγόμενη εικασία soul
conjecture, το 1994
αποφάσισε να στραφεί
μόνο στην έρευνα
απορρίπτοντας έτσι
κάθε θέση που του
προσφερόταν. Επίσης το
1994 η απόδειξη του
στην εικασία του
Πουανκαρέ κρίθηκε
σωστή.
48. Η σημασία της απόδειξης της εικασίας
του Poincare από τον G. Perelman
49. Το 2003, ο Ρώσος μαθηματικός Grigori Perelman,
αναγνωρίζεται διεθνώς ως μία από τις κορυφαίες
μαθηματικές ιδιοφυίες.
Κατορθώνει να αποδείξει την εικασία της
γεωμετρικοποίησης του Thurston και έτσι να
αποδείξει και τη διάσημη εικασία του Poincare,
ένα από τα 7 μεγάλα άλυτα προβλήματα των
μαθηματικών, σύμφωνα με τον David Hilbert.
Πριν εξετάσουμε τη σημασία της απόδειξης αυτής
καθαυτής, θα αναφερθούμε συνοπτικά στον
κλάδο της τοπολογίας, την εικασία, καθώς και την
απόδειξή της.
50. Τι είναι τοπολογία;
Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία
μπορεί να οριστεί μια έννοια «απόστασης» είτε
«περιοχών» έτσι ώστε να δύναται να οριστεί η
συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση. Η Τοπολογία
μελετάει ιδιότητες αναλλοίωτες σε παραμορφώσεις.
Τοποθετείται τρεις αιώνες πίσω και συνοδεύεται από
ονόματα μεγάλων μαθηματικών όπως του Leibniz και
ειδικότερα του Euler. Η ιστορία αυτή αρχίζει από το
διάσημο πρόβλημα εκείνης της εποχής, το οποίο
έμεινε γνωστό ως το πρόβλημα των γεφυρών του
Königsberg. (σήμερα η ρωσική πόλη Kaliningrand).
51. Το πρόβλημα είναι το εξής:
Θέλουμε να οργανώσουμε στην πόλη αυτή έναν περίπατο,
του οποίου η διαδρομή θα περνάει μία φορά και μόνο από
κάθε γέφυρα και θα επιστρέφει στην αφετηρία. Ενώ το
πρόβλημα αυτό ανήκει στον ευρύ χώρο της γεωμετρίας, είναι
σαφές ότι δεν έχει καμία σχέση με τις γεωμετρικές έννοιες της
απόστασης ή του σημείου αναφοράς, επειδή ουσιαστικά
αναφέρεται στη σχετική διάταξη των γεφυρών.
52. Οι παραπάνω υποθέσεις μπορούν να
κωδικοποιηθούν μόνο στη μορφή ενός
γράφου (graph-graph theorem-κομβικά
μαθηματικά). Ο γράφος θα είναι ο παρακάτω:
53. Έτσι προκύπτει και το πρώτο χαρακτηριστικό
της τοπολογίας: Η τοπολογία είναι ο
μαθηματικός κλάδος στον οποίο, όπως και
στο παραπάνω πρόβλημα, η γεωμετρία είναι
πιο ασθενής. Εννοούμε ότι δύο σχήματα είναι
ουσιαστικά ισοδύναμα εφόσον έχουν «την
ίδια μορφή». Δεν υπάρχει παραδείγματος
χάρη – τοπολογικά- , διαφορά μεταξύ μιας
κηλίδας μελανιού και ενός δίσκου, ενός
κύκλου και ενός τετραγώνου…
54. Η ιδιότητα αυτή τα σχήματα να έχουν την ίδια
μορφή εκφράζεται μαθηματικώς με την έννοια
του ομοιομορφισμού. Ο Euler, κατάφερε να
λύσει το πρόβλημα αυτό (1796). Συγκεκριμένα,
όρισε το «βαθμό» (degree) μιας κορυφής
(vertice) μέσα σε γράφο, ο οποίος ορίζεται ως ο
αριθμός των γραμμών (edges) που φτάνουν
στην κορυφή. Μία διαδρομή επομένως,
αποκαλείται κύκλος του Euler (Eulerian circuit),
όταν ο βαθμός κάθε κορυφής είναι άρτιος
αριθμός.
55. Φυσικά, η παρουσία βαθμού όπου είναι
περιττός αριθμός στο παραπάνω πρόβλημα
αποδεικνύει ότι το πρόβλημα είναι αδύνατο. Ο
κύκλος του Euler είναι μία αμετάβλητη ιδιότητα
(ο βαθμός κάθε κορυφής είναι άρτιος αριθμός).
Αντικείμενο της τοπολογίας είναι να βρει
αναλλοίωτες ιδιότητες των αντικειμένων ως
προς διάφορες κλάσεις μετασχηματισμών.
56. Έχουμε συναντήσει τους γράφους, οι οποίοι
είναι ένα παράδειγμα αντικειμένου της πρώτης
διάστασης. Έπειτα, τα αμέσως πιο απλά
σχήματα είναι οι επιφάνειες, οι οποίες
αποτελούν σχήματα της δεύτερης διάστασης.
Με τη χρήση απλών επιφανειών, μπορούμε να
κατασκευάσουμε μία πολλαπλότητα, τον
κύλινδρο, εφόσον ένας δίσκος είναι- όπως
είδαμε προηγουμένως- ομοιομορφικός σε ένα
ορθογώνιο. Ο κύλινδρος θα κατασκευαστεί
ενώνοντας με το «δίπλωμα» τις πλευρές με τα
βέλη στην παρακάτω εικόνα.
57.
58. Αν πριν την ένωση, κάμψουμε μισή φορά το
ορθογώνιο, θα κατασκευάσουμε μία άλλη
πολλαπλότητα, την ταινία του Möbius. Είναι το πιο
απλό παράδειγμα μιας μη-προσανατολισμένης
(non-orientable) τοπολογικής πολλαπλότητας. Η
ταινία αυτή, η οποία πήρε το όνομά της στη μνήμη
του ομώνυμου μαθηματικού που την ανακάλυψε,
δέχεται μόνο μία πλευρά, ούτε εσωτερικό, ούτε
εξωτερικό(για το λόγο αυτό λέγεται μη-
προσανατολισμένη). Στην παρακάτω εικόνα
παρουσιάζεται η κατασκευή της ταινίας από
ορθογώνιο. Τα βέλη είναι αντίθετα για να δείξουν
την αντιστροφή των προσανατολισμένων πλευρών
που ενώνονται μεταξύ τους.
59.
60. Ας επιστρέψουμε τώρα στον κύλινδρο, στον
οποίο θα ενώσουμε τα δύο κυκλικά άκρα: το
αποτέλεσμα θα είναι ένας δακτύλιος(torus).
Όπως και η σφαίρα, έτσι και ο δακτύλιος είναι
μία τοπολογική πολλαπλότητα χωρίς άκρα και
μη-προσανατολισμένος. Βέβαια, τοπολογικά,
διακρίνεται καθαρά από τη σφαίρα λόγω της
ύπαρξης μίας τρύπας(genus).
61.
62. Εάν ενώσουμε τώρα τα δύο χείλη του
κυλίνδρου μεταξύ τους, δημιουργούμε μία
ακόμη πολύ διάσημη τοπολογική
πολλαπλότητα, τη φιάλη του Klein(Kleins
Bottle).
63.
64. Εδώ δημιουργείται ένα πρόβλημα: Εφόσον
ξεκινάμε από ένα ορθογώνιο του οποίου τα
άκρα «ξανακολλώνται» μεταξύ τους, δεν πρέπει
να δούμε την τομή σαν κάτι το ορατό, όπως
στην παραπάνω εικόνα. Η φιάλη του Klein
αποτελεί μία εξωπραγματική πολλαπλότητα
(unrealistic variety), καθώς είναι ουσιαστικά
αντικείμενο που ανήκει στην τέταρτη διάσταση.
Επομένως, δεν μπορούμε να την απεικονίσουμε
με πιστότητα, καθώς ζούμε σε έναν
τρισδιάστατο κόσμο.
65. Εντούτοις, τίποτα δεν μας αποτρέπει από το να
κατασκευάσουμε διαφορετικές πολλαπλότητες
που ανήκουν καθαρά στο χώρο του
φανταστικού: Με ή χωρίς άκρα, με ή χωρίς
προσανατολισμό, με καμία, μία ή περισσότερες
τρύπες, σε n αριθμό διαστάσεων..
66. Περνώντας σε μία πολύ βασική έννοια της
τοπολογίας, τις ομοτοπικές καμπύλες
(homotopic curves). Δύο κλειστές(closed)
καμπύλες πάνω σε μία τοπολογική
πολλαπλότητα είναι ομοτοπικές εάν μπορούμε
να περάσουμε από τη μία καμπύλη στην άλλη
με συνεχή παραμόρφωση. Για παράδειγμα, στο
επίπεδο και στην επιφάνεια της σφαίρας δύο
κλειστές καμπύλες είναι πάντα ομοτοπικές. Ή
διαφορετικά, μπορούμε να περάσουμε από την
μια καμπύλη στην άλλη χωρίς να βγούμε από
την επιφάνεια που αυτές ανήκουν.
67. Μία 2-πολλαπλότητα (πολλαπλότητα δεύτερης
διάστασης) ονομάζεται απλώς συνεκτική(simply
connected) εάν κάθε κλειστή καμπύλη που
βρίσκεται πάνω σε αυτή, μπορεί να
συρρικνωθεί- παραμένοντας στην επιφάνεια-
σε ένα μόνο σημείο. Για παράδειγμα , η
επιφάνεια μιας σφαίρας είναι απλώς συνεκτική
2-πολλαπλότητα. Δε συμβαίνει το ίδιο και με
τον τόρο. Πράγματι υπάρχουν κλειστές
καμπύλες οι οποίες δεν μπορούν να
συρρικνωθούν σε σημείο διατηρώντας την
επαφή τους με την επιφάνεια.
68. Η ιδιότητα ονομάζεται «απλή συνεκτικότητα»
και παίζει έναν ουσιαστικό ρόλο μέσα στη
διατύπωση της εικασίας Poincaré.
69. Το παραπάνω πλάνο είναι απλώς συνεκτικό: δύο
κλειστές καμπύλες εκεί είναι πάντα ομοτοπικές
(εδώ μια καμπύλη σε «οκτώ» και ένας κύκλος). Η
σφαίρα έχει επίσης αυτή την ιδιότητα.
70. Η εικασία Poincare
Μεταξύ όλων των επιφανειών, η σφαίρα
κατέχει μία ιδιαίτερη σχέση. Αυτό, διότι είναι η
μόνη επιφάνεια που συγχρόνως δεν έχει όρια,
είναι συμπαγής και απλά συνεκτική.
Ο Poincare προέβλεψε ότι αυτή η ιδιότητα της
σφαίρας(απουσία ορίων, συμπάγεια και απλή
συνεκτικότητα) , χαρακτηρίζει όχι μόνο τη
συνηθισμένη σφαίρα (διδιάστατη), αλλά και τις
σφαίρες ανώτερων διαστάσεων!
71.
72. Η εικασία Poincaré δηλώνει ότι: όλες οι
συμπαγείς πολλαπλότητες διάστασης n=3 (ή
περισσότερο), χωρίς όρια και απλά συνεκτικές,
είναι ομοιομορφικές σε μια σφαίρα διάστασης
n. Κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα, πολλές
εργασίες έχουν αφιερωθεί στην εικασία αυτή
και το 1961-62, η εικασία αποδεικνύεται για
όλες τις διαστάσεις μεγαλύτερες του 5 (n=5 από
τον Zeeman, n≥7 και για n≥5 από τον Smale, για
n=6 από τον Stallings).
73. Είκοσι χρόνια μετά, η περίπτωση για n=4
αποδεικνύεται από τον Freedman (1982), έτσι
ώστε δεν έμεινε πια παρά να αποδειχθεί για την
περίπτωση της διάστασης 3. Αλλά η
μνημειώδης δυσκολία απόδειξης αυτής της
τελευταίας περίπτωσης άξιζε αρκετά ώστε να
εμφανιστεί η εικασία αυτή μεταξύ των επτά
«προβλημάτων της χιλιετίας» του Clay
Mathematics Institute.
74. Σημασία της απόδειξης
Στον μαγικό, αχανή κόσμο των μαθηματικών,
πάντα ενδιαφερόμαστε για τα αποτελέσματα
ταξινόμησης (classification results). Εάν
θέλουμε να κατανοήσουμε ένα αντικείμενο το
οποίο εμφανίζεται σε ένα πρόβλημα, και
έχουμε ένα αποτέλεσμα ταξινόμησης για αυτό
το αντικείμενο, μπορούμε να το
χρησιμοποιήσουμε για να αποκτήσουμε ένα
στήριγμα πάνω στο πρόβλημα, το οποίο
πιθανόν να μας οδηγήσει και στη λύση του
προβλήματος.
75. Η εικασία του Poincare, και κατά συνέπεια η
απόδειξή της, αποτελεί μία παρόμοια
προσπάθεια ταξινόμησης, αλλά για κλειστές 3-
πολλαπλότητες. Βέβαια, οι κλειστές 2-
πολλαπλότητες παρουσιάζουν μία αρκετά
κατανοητή κατάταξη τόσο τοπολογική, όσο και
γεωμετρική. Οι ταξινομήσεις αυτές μας
βοηθούν σημαντικά στο να αντιμετωπίσουμε
διαφόρων ειδών προβλήματα.
76. Επομένως, είναι αυτονόητη η ανάγκη να
αναζητήσουμε τρόπους παρόμοιας ταξινόμησης
σε ανώτερες κατατάξεις, καθώς αυτό θα μας
ανοίξει νέους ορίζοντες στην επίλυση
προβλημάτων. Συχνά μάλιστα λέγεται, ότι οι
τοπολόγοι προσπαθούν να αντιληφθούν το
μέγεθος του σύμπαντος, οπότε η απόδειξη της
εικασίας του Poincare μπορεί να θεωρηθεί ως
ένα ακόμα βήμα που μας φέρνει πιο κοντά στην
μεγάλη αυτή ανακάλυψη.
77. Όπως αποκρίθηκε ο μεγάλος μαθηματικός
David Hilbert, όταν ερωτήθηκε γιατί δεν
προσπαθεί να λύσει το τελευταίο θεώρημα του
Ferma(Last Fermas Theorem): Μα γιατί να
σκοτώσω την κότα που γεννάει τα χρυσά αυγά;
Προβλήματα τέτοιας μεγάλης πολυπλοκότητας
και δυσκολίας αποδεικνύονται εξαιρετικά
καρποφόρα για τον τομέα των μαθηματικών.
78. Όταν ένας μαθηματικός αφιερώνει ολόκληρη
τη ζωή του στην προσπάθεια επίλυσης ενός
τόσο δύσκολου προβλήματος, ανακαλύπτει
πολλά καινούργια «εργαλεία» που θα τον
βοηθήσουν να φτάσει στον τελικό του στόχο.
Ένα τέτοιο παράδειγμα εργαλείου σχετικά με
την προσπάθεια επίλυσης και την επίλυση της
εικασίας του Poincare, αποτελεί η Ροή Ρίτσι
(Ricci Flow).
79. Βιβλιογραφία
• *Μια περίληψη στα γαλλικά της ομιλίας του
Χίλμπερτ και ο κατάλογος των προβλημάτων
που παρουσίασε υπάρχει στο L’enseignement
mathematique, τόμος 2 , 1900, σελ.349-355
• Ο προκλητικός Κος Χιλμπερτ, Constance Reid,
ΤΡΑΥΛΟΣ,2007
• Δοξιάδης, Απόστολος, (2001), Ο θείος Πέτρος
και η εικασία του Γκολντμπαχ, Αθήνα:
Εκδόσεις Καστανιώτη
80. Εργάσθηκαν οι μαθητές:
➢ Ανάστου Δήμητρα
➢ Ζαχαριάδου Κωνσταντίνα
➢ Κοντογιάννη Ιωάννα-Τζένη
➢ Μουστακίδου Ειρήνη-Ζωή
➢ Ουσουλτζόγλου Ορέστης
➢ Τζέμης Νίκος
➢ Τζιούρτζια Σταυρούλα
➢ Τούντα Στεργία
Υπό την επίβλεψη του Μαθηματικού:
➢ Παπαδόπουλου Κωνσταντίνου
81. Ευχαριστούμε τους:
-Τον καθηγητή του Μαθηματικού τμήματος
του Α.Π.Θ κ. Γ. Αντωνίου για την επιστημονική
επιμέλεια του project.
-Τον πρώην Σχολικό Σύμβουλο κ. Κωνσταντίνο
Δόρτσιο για τη βοήθειά του στα λογισμικά και
όχι μόνο.
-Τέλος, τον Διευθυντή του σχολείου μας κ.
Θεοτοκίδη Πασχάλη διότι αγκάλιασε με
ενθουσιασμό την προσπάθειά μας αυτή και μας
παρείχε πολύπλευρη υποστήριξη.
