1. ∆ύο παράλληλες ιστορίες
που άλλαξαν τον κόσµο.
Νεύτωνας – Λάιµπνιτς:
Σηµειώσατε Χ
Επιµέλεια – Παρουσίαση
Ανδρέας Λύκος
http://leshianagnosiskomotinis.blogspot.com/
2. Βιβλιογραφία
1. Ο πόλεµος των µαθηµατικών,
Jason Socrates Bardi, εκδόσεις Τραυλός.
2. Η αλήθεια βρίσκεται στο όριο: Ο απειροστικός λογισµός,
Antonio J. Durάn, εκδόσεις 4π.
3. Η ψυχολογία της επινόησης στα µαθηµατικά,
Jacques Hadamard, εκδόσεις Κάτοπτρο.
4. Το διαφορικό ως θεµελιώδης έννοια όπως χρησιµοποιήθηκε
και ερµηνεύτηκε από τον Leibniz,
διπλωµατική εργασία της Μικέλη Θεοδώρα.
5. Calculus και Leibniz – Newton,
http://en.wikipedia.org
6. Calculus History,
http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html
7. Ο Νεύτων στην ψηφιακή εποχή,
http://www.thalesandfriends.org
8. Notation for Differentiation,
http://www.maths.manchester.ac.uk/~cds/articles/derivative.pdf
3. Ερωτήµατα προς διερεύνηση
Ποια είναι η σηµασία του απειροστικού λογισµού;
Ποιος ανακάλυψε τον απειροστικό λογισµό;
Πώς τα ιστορικά γεγονότα επηρέασαν την
δηµοσίευση του απειροστικού λογισµού;
Η πορεία προς την επινόηση – ανακάλυψη µίας
(µαθηµατικής) ιδέας. Μία στιγµιαία πηγή έµπνευσης;
Ένας από τους µεγαλύτερους δηµόσιους
διαλόγους για τα πνευµατικά δικαιώµατα
4. Απειροστικός Λογισµός
Ένα σύνολο µαθηµατικών εργαλείων
ανάλυσης της κίνησης και της
µεταβολής των σωµάτων
∆ιαφορικό Ολοκλήρωµα
Μικρές στιγµιαίες αυξήσεις Αθροίσµατα απειροστών
ή µειώσεις στις µεταβαλλόµενες διαστηµάτων κατά µήκος
ποσότητες (ρυθµός αύξησης ή γεωµετρικών καµπυλών
µείωσης µίας ποσότητας)
5. Η βασική ιδέα του
απειροστικού λογισµού
«Καθετί πρέπει να
θεωρείται στο γίγνεσθαί
του, δηλαδή στο συνεχή
µετασχηµατισµό του.»
Φανταστική απεικόνιση του Ηράκλειτου σε
πίνακα του Γιοχάνες Μορέιλσε
6. f ( x + h) − f ( x )
f ′( x) = lim
h →0 h
Κάποιος µου είπε ότι
κάθε εξίσωση που θα
περιλαµβάνεται στο
βιβλίο µου θα µειώνει τις
πωλήσεις στις µισές.
β
∫α f ( x) dx = F ( β ) − F (α )
7. • Φτιάχνω ένα µαθηµατικό µοντέλο
που να περιγράφει τη σχέση δύο ή
περισσοτέρων µεγεθών.
• Εφαρµόζω τις εξισώσεις του
απειροστικού λογισµού και αναλύω
ή/και προβλέπω τα φαινόµενα.
Πως είπατε; Που
εφαρµόζεται στη πράξη ο
απειροστικός λογισµός;
13. Απειροστικός
Β) Οι Ινδοί
Λογισµός:
Μία ιδέα του Αρχικοί τύποι παραγώγισης
17ου αιώνα ; Σύνδεση εµβαδού - ολοκληρώµατος
Mādhava (1350 – 1425)
14. Απειροστικός Γ) Σηµαντικές παρατηρήσεις
Λογισµός: σε «λάθος» εποχή
Μία ιδέα του
17ου αιώνα ;
Ο ρυθµός µείωσης ή αύξησης
µίας ποσότητας είναι ελάχιστος
στην περιοχή που γειτνιάζει µε
ένα ελάχιστο ή µέγιστο
Nicole Oresme
(1320 – 1382)
15. Απειροστικός
Λογισµός: ∆) Οι σύγχρονοι του
Μία ιδέα του Λάιµπνιτς και του Νεύτωνα
17ου αιώνα ;
Bonaventura Cavalieri
(1598 –1647)
Το εµβαδό µπορεί να υπολογιστεί ως
άθροισµα ορθογωνίων µε βάση
απειροστού µήκους
16. Απειροστικός
Λογισµός: ∆) Οι σύγχρονοι του
Μία ιδέα του Λάιµπνιτς και του Νεύτωνα
17ου αιώνα ;
Μέθοδος εύρεσης ελαχίστων - µεγίστων
Βασίζεται στο σχεδιασµό
εφαπτοµένων στις καµπύλες
Pierre de Fermat
(1601 – 1665)
17. Απειροστικός
Λογισµός: ∆) Οι σύγχρονοι του
Μία ιδέα του Λάιµπνιτς και του Νεύτωνα
17ου αιώνα ;
John Wallis Isaac Barrow James Gregory
(1616 – 1703) (1630 – 1677) (1638 – 1675)
Μέθοδος Ολοκλήρωση
Αριθµητική των
σχεδιασµού τριγωνοµετρικών
απειροστών
εφαπτοµένων συναρτήσεων
18. Ηράκλειτος
Η βασική ιδέα
Oresme
Μία σηµαντική
παρατήρηση Εύδοξος – Αρχιµήδης
Το βασικό εργαλείο
Fermat
Επιτέλους µία
µαθηµατική έκφραση
20. ΑΛΛΑ!!!
Όλοι οι παραπάνω ασχολήθηκαν µε
«µεµονωµένες περιπτώσεις διαφόρισης
και ολοκλήρωσης», των οποίων οι
ιδιότητες απέκρυβαν την γενική αρχή.
Ο Νεύτωνας και ο Λάιµπνιτς
επινόησαν ένα γενικό σύστηµα που
έλυνε όλα τα επιµέρους προβλήµατα.
23. «Δεν µπορείς να γνωρίσεις νέους
ωκεανούς αν δεν µπορείς να χάσεις
την ακτή από τα µάτια σου.»
Πλάτων
24. Το αλφάβητο της ανθρώπινης σκέψης
(Characteristica Universalis)
Εµπνεύστηκε την ιδέα της δηµιουργίας
ενός καθολικού συστήµατος, το οποίο θα
περιείχε ένα τρόπο αναπαράστασης των
ιδεών και των µεταξύ τους σχέσεων.
• Φιλόσοφος
• Μαθηµατικός
Οι ιδέες όσο σύνθετες κι αν είναι
µπορούν να αναλυθούν στα συστατικά
τους, όπως τα γράµµατα που
αποτελούν τις λέξεις.
25. • Φυσικός
• Μαθηµατικός
• Αστρονόµος
• Αλχηµιστής
• Θεολόγος
1687 1662
Principia Το τηλεσκόπιο του
Newton παρουσιάζεται
στη Βασιλική Εταιρεία
του Λονδίνου
26. Κάτι δύσκολα χρόνια…
«Κύριε! Πόσο κενοί είναι οι
δρόµοι και πόση η
µελαγχολία… Πόσοι φτωχοί
και άρρωστοι κυκλοφορούν
στους δρόµους… και πόσο
πολλές θλιβερές ιστορίες
πλανώνται στον αέρα
καθώς περπατώ.»
Σάµιουελ Πέπις
27. Anni mirabiles (1665 – 1667)
οπτική
µηχανική των ρευστών
φυσική των παλιρροιών
νόµοι της κίνησης
θεωρία της παγκόσµιας έλξης
28. Anni mirabiles « … Το Μάιο του ίδιου χρόνου
(1665) ανακάλυψα τη μέθοδο των
(1665 – 1667) εφαπτομένων των Gregory και
Slusse και το Νοέμβριο πέτυχα
την μέθοδο των ροών. Τον
Ιανουάριο του επόμενου έτους,
διατύπωνα τη θεωρία των
χρωμάτων και το Μάιο, είχα
ξεκινήσει να εργάζομαι πάνω
στην αντίστροφη μέθοδο των
ροών. Την ίδια χρονιά άρχισα να
«Newton » σκέφτομαι τη βαρύτητα.»
William Blake, 1795
Νewton 1727
31 Οκτωβρίου 1665: «Τρόποι σχεδιασµού εφαπτοµένων σε µηχανικές γραµµές»
13 Νοεµβρίου 1665: Άρθρο που περιέγραφε τη µέθοδο του απειροστικού λογισµού µε
παραδείγµατα.
16 Μαΐου 1666: Επινοεί µία γενική µέθοδο για την επίλυση προβληµάτων δια της κινήσεως.
Οκτώβριος 1666: «Για την επίλυση προβληµάτων δια της κινήσεως οι ακόλουθες προτάσεις
είναι αρκετές»
29. Τα πρώτα στην ιστορία κείµενα
περί απειροστικού λογισµού
ΔΕΝ
δηµοσιεύτηκαν (*),
παρά µόνο µισό
αιώνα αργότερα!
Περί της αναλύσεως Πραγµατεία περί των
µέσω εξισώσεων µε µεθόδων των σειρών
άπειρο αριθµό όρων και των ροών
(1669, 1711) (1671, 1736)
30. * Δηµοσιεύω
21ος αιώνας: Δηµοσίευση σε περιοδικό ή σε µορφή
βιβλίου.
17ος αιώνας: Γνωστοποιώ τα αποτελέσµατα της
έρευνάς µου σε χειρόγραφη µορφή (όχι
απαραιτήτως τυπωµένη) σε ορισµένους
φίλους που είναι υπεύθυνοι για τη διάδοσή
τους στους επιστηµονικούς κύκλους.
Collins
Newton Barrow
32. Ο άτυχος Νεύτωνας
Το χαρτί
κατασκευαζόταν Καταστράφηκαν τα
από τον πολτό βιβλιοπωλεία της
παλαιών κουρελιών πόλης
Πανούκλα Πυρκαγιά
και… τα µαθηµατικά δεν ήταν ποτέ best-seller !
33. Ο άτυχος Νεύτωνας
Με µία επιστολή
καταπέλτη…
απορρίπτει το έργο
του Νεύτωνα στην
οπτική.
R. Hooke
(1635 – 1703)
35. Τα δύσκολα χρόνια του Λάιµπνιτς
3ος Γαλλοολανδικός
πόλεµος (1672 – 1674)
Περιττή η διπλωµατική
The Battle of Texel, 11–21 August 1673 αποστολή του Λάιµπνιτς
Willem van de Velde, 1683
στο Παρίσι
1673 – 1676:
Η αναζήτηση εργασίας Η τελική λύση
A) Διπλωµάτης Ο δούκας του Ανόβερο
B) Ακαδηµαϊκος του προσφέρει εργασία
36. Παράλληλες πορείες: Ο Hooke ξαναχτυπά
R. Hooke Η υπολογιστική µηχανή του Λάιµπνιτς
(1635 – 1703) (1674)
37. 29 Οκτώβρη – 11 Νοέµβρη 1675
Η γέννηση του απειροστικού
λογισµού του Λάιµπνιτς
« Αφού έκανε το πρώτο βήµα
προς την αλγεβροποίηση
απειροστικών προβληµάτων,
ένας νέος τρόπος να βλέπει
τα πράγµατα αποκαλύφθηκε
σε αυτόν τον άνθρωπο που
ήταν συνηθισµένος στο να
διακρίνει χαρακτηριστικά και
γενικά στοιχεία µέσα από ένα
συνοθύλευµα πραγµάτων. »
J.E. Hofmann
38. Ο Συµβολισµός του Λάιµπνιτς
29 Οκτωβρίου 1675
omn.l ∫ l
11 Noεµβρίου 1675
x
y dx
d
39.
40. 29 Οκτώβρη – 11 Νοέµβρη 1675
Η γέννηση του απειροστικού
λογισµού του Λάιµπνιτς
Μία «µισή» απάντηση d ( xy ) = dx ⋅ dy
σε ένα σηµαντικό y dy
ερώτηµα ! d =
x dx
42. Τα πρώτα δηµοσιευµένα κείµενα του
απειροστικού λογισµού
1684
«Μία νέα µέθοδος εύρεσης
µεγίστων και ελαχίστων»
1686
«Περί της δυσνόητης γεωµετρίας
και της ανάλυσης των αδιαιρέτων
και των απείρων»
43. Οι πρώτες επιστολές
13 Ιουνίου 1676: Epistola prior
• Αποτελέσµατα άγγλων µαθηµατικών
• Λεπτοµερείς περιγραφές και
µεθόδους των προβληµάτων που ο
ίδιος έλυσε.
ΑΛΛΑ! ΔΕΝ συµπεριέλαβε τις
µεθόδους του απειροστικού λογισµού
του.
17 Αυγούστου 1676: Η απάντηση
• Περιγραφή των δικών του
µαθηµατικών ιδεών.
ΑΛΛΑ! ΔΕΝ περιέγραψε τις µεθόδους
του για καµία του ανακάλυψη.
45. 24 Οκτωβρίου 1676: Epistola posterior
• Δίνει πλούσια, αλλά συγκαλυµµένη περιγραφή κάποιων
κατορθωµάτων του στα µαθηµατικά.
• Κάνει αναφορά στη µέθοδο των ροών και δίνει τρία
ηµιτελή παραδείγµατα.
• 6accdoe13eff7i319n4o4qrr4s8t12ux………
«Δοθεισών σε µία εξίσωση των µεταβλητών ποσοτήτων
ενός πλήθους ποσοτήτων, να βρεθούν οι ροές, και
αντιστρόφως.»
12 Ιουνίου 1677: Η απάντηση
• Γνωστοποιεί την ουσία του διαφορικού λογισµού του.
46. Φιλοφρονήσεις
«… Ο Ισαάκ Νεύτων, γεωµέτρης µε
1686
«Περί της δυσνόητης τεράστιο ταλέντο, όχι µόνο έκανε
γεωµετρίας και της ανεξάρτητα την ίδια ανακάλυψη, αλλά
ανάλυσης των αδιαιρέτων την τελειοποίησε δίνοντάς της
και των απείρων» παγκόσµια εµβέλεια.»
«… ο διακεκριµένος κύριος (Λάιµπνιτς)
µου απάντησε πως είχε βρει µία
1687
«Principia» παρόµοια µέθοδο και µου κοινοποίησε
τη µέθοδο αυτή, η οποία διέφερε από
τη δική µου µόνο στο συµβολισµό.»
47. Οι καλοθελητές
1695: «Έµαθα µέσω φίλων σας στη
Ολλανδία ότι οι ροές σας θριαµβεύουν µε το
Wallis
όνοµα του διαφορικού λογισµού του Leibniz.
[…] Δείχνετε αδιάφορος για τη φήµη σας και
για τη φήµη του έθνους…»
1699: «… τον βρήκα ο ίδιος (τον απειροστικό
λογισµό) τον Απρίλιο του 1687. […] Θα τον είχα
ανακαλύψει ακόµη κι αν ο Leibniz δεν είχε
γεννηθεί ποτέ! […] Όσο για το αν ο Leibniz, ο
Fatio
δεύτερος εφευρέτης του λογισµού πήρε κάτι ή
όχι από το Νεύτωνα, το αφήνω στη κρίση όσων
έχουν δει τις επιστολές του τελευταίου και τα
πρωτότυπα χειρόγραφά του.»
48. O Νεύτωνας δηµοσιεύει τη
µέθοδο των ροών
1704: «Περί του τετραγωνισµού
των καµπυλών» (De Quadratura)
O Λάιµπνιτς σχολιάζει
(ανώνυµα)
«Αντί για τις διαφορές του
Λάιµπνιτς, ο Νεύτωνας χρησιµοποιεί
τις ροές… όπως ακριβώς ο
Honoratus Fabrius, στο έργο του
Synopsis Geometrica, αντικατέστησε
τη µέθοδο του Cavalieri µε την
προοδευτική κίνηση.»
49. 1709: «Όλες του οι προτάσεις (Leibniz)
προέρχονται από την γνωστή αριθµητική
των ροών, που συνιστούν αδιαµφισβήτητα
ανακάλυψη του Νεύτωνα. […] Η ίδια
J. Keill αριθµητική µε διαφορετικό όνοµα και
διαφορετικό συµβολισµό δηµοσιεύτηκε
αργότερα από τον Λάιµπνιτς.»
Το ιδιοφυές σχέδιο του Keill
Ο Λάιµπνιτς θα µπορούσε να πάρει ότι χρειαζόταν για
να αναπτύξει τον απειροστικό λογισµό από τις επιστολές
prior και posterior που του έστειλε ο Νεύτωνας το 1676.
50. O Λάιµπνιτς κάνει
ένα λάθος τακτικής
« Ο κύριος Keιll στο τεύχος
Σεπτεµβρίου των Πεπραγµένων
[…] θεωρεί πρέπον να
επαναλαµβάνει αυτή την
θρασύτατη κατηγορία (Fatio),
γράφοντας ότι δηµοσίευσα την
αριθµητική των ροών που
επινόησε ο Νεύτωνας, αλλάζοντας
το όνοµα και το ύφος του
συµβολισµού.»
«Ας αφήσουµε την Βασιλική Εταιρεία να κρίνει.»
51. Commercium Epistolicum
«…Πιστεύουµε ότι εκείνοι που θεωρούσαν τον
κ. Λάιµπνιτς ως τον πρώτο που τον επινόησε
(τον απειροστικό λογισµό) δεν γνώριζαν παρά
ελάχιστα…»
«Για τους λόγους αυτούς,
αναγνωρίζουµε τον κ.
Νεύτωνα ως τον πρώτο που
επινόησε τη µέθοδο και
έχουµε τη γνώµη ότι ο κ. Keill,
δηλώνοντας αυτό ακριβώς,
δεν πρόσβαλε κατά κανένα
τρόπο τον κ. Λάιµπνιτς.»
52. Δύο ανώνυµες επιστολές
µε... γνωστούς συντάκτες
«…Μετά από πολλά χρόνια
δηµιουργήθηκε από το Νεύτωνα
Charta Volans κάτι που ονόµασε λογισµό των
ροών και έµοιαζε µε τον
διαφορικό λογισµό…»
Αccount «Ο Νεύτωνας δεν περιορίζεται
σε σύµβολα.»
53. Οι σύγχρονοι µελετητές
Σύστηµα ροών = Σύστηµα διαφορικού λογισµού:
διαφέρουν µόνο ως προς τον συµβολισµό.
Ο Νεύτωνας κατείχε το µυστικό των ροών 19 χρόνια
πριν ο Λάιµπνιτς δηµοσιεύσει τις ανακαλύψεις του.
Αµφότεροι οι Νεύτωνας και Λάιµπνιτς ανακάλυψαν,
ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, τον απειροστικό
λογισµό.
54. Νεύτωνας : Εξέλιξη των
ήδη γνωστών µεθόδων
ανάλυσης.
Λάιµπνιτς : Μετάλλαξη,
πρόοδος τόσο µεγάλη όσο
και η εισαγωγή της
Άλγεβρας.
Rupert Hall, Φιλόσοφοι σε πόλεµο
«Αν εξετάσει κανείς τα τελευταία έτη της διαµάχης
για την πατρότητα του απειροστικού λογισµού δεν θα
αισθανθεί θαυµασµό για κάποιους από τους µεγάλους
της ανθρωπότητας.»
55. Ποιος από τους
παρακάτω επινόησε τον
απειροστικό λογισµό ;
Α) Λάιµπνιτς
Β) Νεύτωνας
Γ) Και οι δύο
Δ) Κανένας από τους δύο
57. Παρασκευή 27 Απριλίου 2012
Παρουσίαση: Κατερίνα Καλφοπούλου
Τρεις Σερφιώτισσες, γιαγιά, µάνα και
κόρη, ζουν η καθεµιά το δικό της ερωτικό
δράµα µε φόντο έναν µαθηµατικό γρίφο
που, αφού επί ένα περίπου αιώνα παίδεψε
µερικές από τις λαµπρότερες µαθηµατικές
ιδιοφυίες, έβαλε, µε τη λύση του, µια µικρή
βόµβα στον τρόπο που σκεφτόµαστε τα
µαθηµατικά: πόσο µπορούµε να
εµπιστευτούµε µια λύση που βασίζεται σε
δεδοµένα ηλεκτρονικού υπολογιστή τα
οποία δεν µπορούµε να ελέγξουµε;
Θαλής + Φίλοι – Πολιτιστική Κίνηση Ροδόπης
http://leshianagnosiskomotinis.blogspot.com/
