Matematika

3. Logika matematika merupakan salah satu materi pelajaran
matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu
matematika. Logika berasal dari bahasa yunani kuno yaitu λόγος
(logos), logos dapat diartikan sebagai hasil pertimbangan akal atau
pikiran yang dinyatakan lewat kata atau bahasa. Sedangkan jika diartikan
secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai
kebenaran.
Logika matematika merupakan salah satu ilmu matematika yang
banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Seperti contohnya
dalam kepolisian, ilmu ini digunakan untuk menganalisis kasus
sedangakan dalam dunia komputer ilmu logika matematika diterapkan
sebagai media penarik kesimpulan.
Dalam logika matematika, terdapat beberapa tahap yang dibahas,
antara lain pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi ,
biimplikasi,dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta
penarikan kesimpulan.

4. A. Pernyataan
Pernyataan yaitu kalimat yang mempunyi nilai benar atau salah, tetapi dengan
pernyataan keduanya (Benar-salah). Sebuah kalimat tidak dapat ditentukan sebagai
pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan kebenaran atau kesalahan dan
bersifat relatif. Dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu
pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka.
 Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai
benar/salah nya.
Contoh: - 5 adalah bilangan genap => Kalimat tersebut bernilai salah karena yang
benar adalah 5 adalah bilangan ganjil.
- 2 X 4 = 8 (Sudah pasti benar / Pernyataan tertutup)
 Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum dapat dipastikan nilai
benar/salah nya.
Contoh : - Jika x=1, maka p(1) : 3(1) + 1 > 6 bernilai salah
- Jika x=2, maka p(2) : 3(2) + 1 > 6 bernilai benar
- Gula putih rasanya manis (Harus dibuktikan dahulu / Pernyataan terbuka)

5. B. Negasi
Negasi atau Ingkaran merupakan pernyataan yang isinya
mengingkari pernyataan atau berisi kalimat sangakalan, negasi
biasanya dibentuk dengan cara menambahkan kata “tidak benar
bahwa” pada awal kalimatnya atau memberikan simbol ” ~” pada
awal pernyataannya. Atau kebalikan nilai dari suatu pernyataan
bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu
pernyataan bernilai salah, maka negasinya bernilai benar. Negasi
atau ingakaran dari pernyataan p dilambangkan dengan ~p.
Contoh:
Pernyataan 1
Bumi itu Bulat
Pernyataan 2
Tidak benar bahwa Bumi itu bulat.

6. C. Konjungsi
Konjungsi yaitu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan
kata hubung “dan” atau disimbolkan dengan “^”. Pernyataan
konjungsi hanya memiliki nilai benar jika kedua pernyataan di
dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah,
maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.
Perhatikan tabel kesimpulan :
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S

7. D. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyatan majemuk yang dihubungkan
dengan kata “atau” yang disimbolkan dengan “V” . Disjungsi
merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya
akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat didalamnya
bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka
pernyataan disjungsi juga bernilai benar.
Perhatikan tabel dibawah ini :
p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S

8. E. Implikasi
Implikasi yaitu pernyataan majemuk yang diawali dengan
kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung “maka” yang
disimbolkan dengan “=>”. Misal “p => q” dibaca “p maka
q”.
Perhatikan tabel dibawah ini :
p q p => q
B B B
B S S
S B B
S S B

9. F. Biimplikasi
Biimplikasi yaitu bentuk kompleks sari implikasi yang
berarti “jika dan hanya jika” yang disimbolkan dengan
“<=>”. Misal p <=> q dibaca “p jika dan hanya jika q”.
Perhatikan tabel dibawah ini :
p q p <=> q
B B B
B S S
S B S
S S S

10. G. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk yaitu persesuaian yang bisa
diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah dijelaskan
diatas, dengan metode ini kita dapat mengetahui negasi dari
konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. Konsep
ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu, seperti rumus
berikut ini:

11. H. Ingkaran Pernyataan Majemuk
a. Ingkarang konjungsi : ~ (p ^ q) = ~ pv ~ q
b. Ingkaran disjungsi : ~ (p v q) = ~ p^ ~ q
c. Ingkaran implikasi : ~ (p => q) = p^ ~ q
d. Ingkaran biimplikasi : ~ (p <=> q) = (p^ ~ q) v (q^ ~ p)
I. Konvers
Konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai
dengan pertukaran letak. Misalkan “p => q” , maka koners nya adalah
“q => p”.
J. Invers
Invers adalah lawan dari implikasi. Dalam invers, pernyataan yang
terdapat pada pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan
pada implikasi. Misal p => q, maka inversnya adalah ” ~p => ~q”

12. K. Kontraposisi
Sementara kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers
sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya
merupakan negasi atau ingkaran. Misalkan invers “~p => ~q” .
Maka kontraposisi nya adalah “~q => ~p”
L. Kuantor Pernyataan
Pernyataan kuantor yaitu bentuk pernyataan yang didalamnya
terdapat konsep kuantitas. terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor
universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang
menggunakan konsep setiap atau semua
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang
mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

13. M. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari
berkuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu juga sebaliknya.
Perhatikan contoh berikut.
p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi
∼p : semua mahasiswa tidak memiliki semangat belajar yang tinggi
N. Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dapat dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai
kebenarnya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip
yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang
diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut
dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya
benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan
kesimpulan, yaitu : Modus ponens, Modus Tolens, dan Silogisme.

14. CONTOH SOAL !
1. Ingkaran dari pernyataan “semua makhluk hidup perlu makan dan
minum” adalah…
Jawab : Ingkaran dari “semua” adalah “ada” sedangkan ingakran “dan”
adalah “atau”.
Jadi, ingkarannya adalah “Ada makhluk hidup yang tidak perlu
makan atau minum.
2. Perhatikan premis-premis seperti berikut ini:
Jika Adi murid rajin maka ia murid pandai
Jika Adi murid pandai maka ia lulus ujian

15. Ingkaran dari kesimpulan diatas adalah…
Jawab:
Misalkan: p = Adi murid rajin
q = Adi murid pandai
r = Adi lulus ujian
Maka soal diatas akan menjadi :
Premis 1: p => q
Premis 2: q => r
Kesimpulan: p => r
Ingkaran dari kesimpulan diatas adalah:
~ ( p => r ) = p^ ~r
“Ada murid rajin dan ia tidak lulus ujian”.