Τελικό προσομοιωτικό διαγώνισμα

1. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[1]
5o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ln=f x x , *
∈ℝx είναι παραγωγίσιμη στο
*
ℝ και ισχύει:
( ) 1
ln ′ =x
x
7 μονάδες
Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ],α β ;
4 μονάδες
Α3. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Στη συνέχεια να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : →ℝ ℝf με ′f γνησίως αύξουσα στο ℝ. Αν
η εφαπτομένη της fC στο σημείο με τετμημένη 0 1=x έχει εξίσωση 2 1= −y x ,
τότε η ανισότητα ( ) 2 1> −f x x
α. ισχύει για κάθε ∈ℝx
β. ισχύει για κάθε { }1∈ −ℝx
γ. ισχύει για κάθε ( ],1∈ −∞x
δ. ισχύει για κάθε [ )1,∈ +∞x
ε. είναι αδύνατη στο ℝ
4 μονάδες
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Για κάθε ∈ℝx ισχύει ότι >x xηµ
β) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου
ορισμού της, τότε δεν μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη στο 0x

2. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[2]
γ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη ,x y συνδέονται με τη σχέση ( )=y f x , όταν η
συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής
του y ως προς το x στο σημείο 0x την παράγωγο ( )0
′f x
δ) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει το Θεώρημα Rolle στο διάστημα [ ],α β , τότε
η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σημείο οριζόντια εφαπτομένη
ε) Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια ( )
0
lim−
→x x
f x , ( )
0
lim+
→x x
f x ισούται με ∈ℓ ℝ ,
τότε η ευθεία 0=x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f
10 μονάδες
ΘΕΜΑ B
Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = x
g x e και ( ) 1= +h x x
B1. Να ορίσετε τη συνάρτηση =f g h
6 μονάδες
Αν ( ) 1+
= x
f x e , 1≥ −x , τότε:
B2. Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε συνάρτηση
( ) ( )1
1 1+
= ⋅ + −x
F x e xα να είναι αρχική της συνάρτησης f
6 μονάδες
Β3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )
0
1−
Ι = ∫ f x dx
6 μονάδες
B4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την
αντίστροφή της 1−
f
7 μονάδες

3. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[3]
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : →ℝ ℝf με συνεχή πρώτη παράγωγο,
( )1 =f e και τέτοια, ώστε να ισχύει ( )
1
, 0
1 , 0
 −
≠
′ = 
 =
x
e
x
f x x
x
Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
5 μονάδες
Γ2. Να αποδείξετε ότι:
α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0 0=x (2 μονάδες)
β) η f είναι κυρτή στο ℝ (5 μονάδες)
7 μονάδες
Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f , την εφαπτομένη της στο σημείο ( )( )1, 1Μ f και
την ευθεία 0=x
7 μονάδες
Γ4. Να αποδείξετε ότι ( )lim
→+∞
= +∞
x
f x (3 μονάδες) και στη συνέχεια να βρείτε το
( )
2
( ) 1
lim
2017→+∞
+
+x
x f x
x
(3 μονάδες)
6 μονάδες
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση [ ): 0,+∞ → ℝf , για την οποία ισχύουν:
● ( ) ( ) ( )
3
2
0
1
9
′ − = ∫xf x f x x f t dt , για κάθε 0>x
● ( )1 1=f
Δ1. Να αποδείξετε ότι ( )
3
0
9=∫ f t dt (5 μονάδες) και στη συνέχεια να βρείτε τον
τύπο της συνάρτησης f (2 μονάδες)
7 μονάδες

4. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[4]
Έστω ότι ( ) 2
=f x x , 0≥x . Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση ( ): 0,+∞ → ℝg με
( ) 2
ln= −g x x
Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση g είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της g
3 μονάδες
β) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2
ln 1 2 ln− > −x x x e x , για κάθε >x e
5 μονάδες
Δ3. Θεωρούμε σημείο Α στη γραφική παράσταση της f με τετμημένη 0x και
σημείο Β στη γραφική παράσταση της g με την ίδια τετμημένη. Να αποδείξετε
ότι υπάρχει μοναδικό 0
1
,1
 
∈ 
 
x
e
τέτοιο, ώστε η απόσταση ΑΒ να γίνεται
ελάχιστη.
6 μονάδες
Δ4. Να υπολογίσετε το
( )2
2
1
lim
→+∞
  
⋅  
  
x
f x
x xν
ηµ για τις διάφορες τιμές του
ακεραίου ν
4 μονάδες
Εύχομαι επιτυχία στις εξετάσεις σας!!!
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός