4o Eπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικά Προσανατολισμού

1. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
4o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
18/03/2017
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν
( ) 0′ >f x για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆.
7 μονάδες
Α2. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ. Πότε η ευθεία = +y xλ β λέγεται
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞;
4 μονάδες
Α3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και παραγωγίσιμη στο
εσωτερικό του ∆. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη
στο ∆;
4 μονάδες
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το
μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.
β) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού 2≥ν , η οποία έχει ασύμπτωτη
γ) Αν ( ) ln=f x x για κάθε 0≠x , τότε ( )
1′ =f x
x
για κάθε 0≠x
δ) ( )′ =x xσυν ηµ για κάθε ∈ℝx
ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ],α β , τότε η f παίρνει στο [ ],α β
μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m
10 μονάδες
ΘΕΜΑ B
Δίνεται η συνάρτηση ( )
ln
=
x
x
f x e

2. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
B1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f
8 μονάδες
B2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το
σύνολο τιμών της
8 μονάδες
B3. i) Να αποδείξετε ότι, για 0>x , ισχύει η ισοδυναμία ( ) ( ) 4
4 4= ⇔ = x
f x f x
3 μονάδες
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4
4= x
x , 0>x , έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις
1 2=x και 2 4=x
6 μονάδες
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )ln 1= − +x
f x xα , 1> −x , όπου 0>α και 1≠α
Γ1. Αν για κάθε 1> −x ισχύει ( ) 1≥f x , να βρείτε το α
8 μονάδες
Για = eα
Γ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή
5 μονάδες
Γ3. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα
διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f
6 μονάδες
Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
1
1
3 13
0
1 2
 
− −  −  + =
− −
f
f
x x
έχει τουλάχιστον μια
ρίζα στο ( )1,2
6 μονάδες

3. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ, με συνεχή
δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι:
● ( ) 0′′ ≠f x για κάθε ∈ℝx
● ( )
( ) ( )2 0
0
2
−
′ <
f f
f και
●
( ) ( )
0
1 2 1
lim 0
→
+ − −
=
h
f h f h
h
Δ1. Να αποδείξετε ότι η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
7 μονάδες
Δ2. Να αποδείξετε ότι ( )1 0′ =f (4 μονάδες) , καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει
ελάχιστο στο 0 1=x (2 μονάδες)
6 μονάδες
Δ3. Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )2= − −g x F x F x , όπου F μια
παράγουσα της f
i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κυρτότητα και τα σημεία
καμπής
6 μονάδες
ii. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο με
τετμημένη 0 1=x και στη συνέχεια να λύσετε στο ℝ την εξίσωση
( ) ( ) ( )( )2 2 1 1− − = −F x F x f x
6 μονάδες
Καλή Επιτυχία!
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός