Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Alinda Ayu Putri Media Pembelajaran Matriks
Similar to Alinda Ayu Putri Media Pembelajaran Matriks (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Alinda Ayu Putri Media Pembelajaran Matriks
- 1. Assalamu’alaikumWarahmatullahi Wabarakaatuh Berusaha memang tidak selalu berhasil, tetapi menikmati prosesnya adalah bagian kepuasan tersendiri. Allah tidak pernah mengatakan bahwa jalan hidup akan mudah. Tapi Dia mengatakan “Aku akan bersama dengan mereka yang mau bersabar”
- 3. a. Definisi Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang dan bujur sangkar dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh kolom dan baris yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) dan [ ].
- 4. mnmjmm inijii nj nj nm aaaa aaaa aaaa aaaa A 21 21 222221 111211 b. Simbol Matriks Pada umunya simbol matriks berbentuk | |, [ ], ( ). Secara umum sebuah matriks dapat ditulis : Matriks juga dapat dinyatakan sebagai : Dimana : = elemen atau unsur matriks i = 1,2,3,....m, indeks baris j = 1,2,3,....n, indeks kolom nmijnm aA ija
- 5. c. Bentuk-bentuk Matriks 1. Ordo 2 x 1 mengandung pengertian 2 baris dan 1 kolom. Misalnya : b a 2. Ordo 2 x 2 mengandung pengertian 2 baris dan 2 kolom. Misalnya : dc ba 3. Ordo 3 x 3 mengandung pengertian 3 baris dan 3 kolom. Misalnya : ihg fed cba
- 6. 1. Berdasarkan susunan elemen matriks a. Matriks kuadrat/bujur sangkar (square matrix) adalah dimana jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m = n. Contoh : , 41 32 A 987 456 321 B b. Matriks nol (null matrix) adalah matriks dimana semua elemenya mempunyai nilai nol (0). Contoh : , 00 00 A 000 000 000 B
- 7. c. Matriks diagonal (diagonal matrix) adalah matriks dimana semua elemen diluar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal utamanya bukan nol. Contoh : e. Matriks skalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol. Contoh : d. Matriks kesatuan/identitas (unit matrix, identity matriix) adalah matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu dan elemen luar diagonal utama bernilai nol. Contoh :, 50 03 A 900 000 001 B , 10 01 A 100 010 001 B , 40 04 A 500 050 005 B
- 8. f. Matriks tridiaonal (tridiagonal matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidak sama dengan nol (0). Contoh : 520 252 025 A g. Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L) adalah matriks diagonal mana elemen disebelah kiri (bawah) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol. Contoh : , 12 01 L 534 032 001 L h. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix, U) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kanan (atas) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol. Contoh : , 30 21 U 500 140 235 U
- 9. i. Matriks simetris (symmertric matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke sama dengan ke atau untuk semua i dan j. Contoh : ija ija ijij aa AAsifatberlakuU T , 225 241 512 j. Matriks miring (skew matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke sama dengan atau atau untuk semua i dan semua elemen diagonal utama bernilai nol. Contoh : ija jia jiij aa MMsifatberlakuM T , 246 405 657 k. Matriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke sama dengan atau untuk semua i dan semua elemen diagonal utama bernilai 0. Contoh : ija ija jiij aa MMsifatberlakuM T , 046 405 650
- 10. 2. Berdasarkan sifat operasi matriks a. Matriks singular (singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai 0. Contoh : , 42 42 A 000 514 232 B b. Matriks non singular (non singular matrix) adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan 0. Contoh : , 21 54 A 212 221 122 B c. Matriks hermit (hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugte-nya sama dengan matriks itu sendiriatau dimana kompleks matriks M. Contoh : MM T conjugateM , 02 31 211 i ii i M 02 31 211 i ii i M M i ii i M T 02 31 211
- 11. d. Matriks hermit miring (skew hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose congjugate-nya sama dengan negatif matriks itu sendiri atau Contoh : e. Matriks uniter (uniter matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transposenya sama dengan invers conjugate-nya atau atau Contoh : .MM T , 02 31 211 i iii i M 02 31 21 i iii ii M M i iii i M T 02 31 211 TT MM .1 1 MMMM T 0 0 0 0 , 0 0 i i Mdan i i M i i M T 10 01 0 0 0 0 0 0 2 2 i i i i i i MM T
- 12. f. Matriks otrogonal (orthogonal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transposenya sama dengan inversnya atau Contoh : g. Matriks involunter (involunter matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks identitas atau Contoh : .11 MMatauMM TT danM , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T M 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 MM T 1 10 01 .12 M 5 2 5 1 5 1 5 2 M 5 2 5 1 5 1 5 2 5 2 5 1 5 1 5 2 .2 MMM 1 10 01
- 13. h. Matriks normal (normal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat : Contoh : . TT MMM dan i i M , 12 21 12 21 i i M 12 21 i i M T 12 21 12 21 i i i i MMM TT 224 242 12 21 12 21 i i i i i i T M i i 2 12 21 2 i. Matriks idempotent (idempotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks asal Contoh : MM 2 321 431 422 M 321 431 422 321 431 422 2 M M 321 431 422
- 14. j. Matriks nilpotent (nilpotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks nol atau untuk bilangan bulat positif > 2. Contoh : k. Matriks elementer (elementery matrix) adalah matriks hasil transformasi elementer terhadap matriks kesatuan (I). Contoh :,0P M p 312 625 311 M 312 625 311 312 625 311 2 M 000 000 000 312 625 311 100 010 001 I k II danIIIelementersiTransforma k kk 00 010 001 100 001 010 )(312 )(23),(3,12 100 10 001 )(23 kI k
- 16. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Penjumlahan dan pengurangan matriks harus memperhatikan hal-hal berikut : • Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi yang sama. • Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. • Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai ukuran yang sama dengan matriks asal. • Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada matriks. • Pengurangan (selisih) matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama pada matriks.
- 17. Jumlah dua matriks nmijij ijij baBA nmberukuranyangbBdanaA )( :)()( ;,....,2,1 miUntuk ;,....,2,1 nj Selisih dua matriks Sifat penjumlahan dan pengurangan : • A + B = B + A Sifat Komutatif • A + B + C = C + B + A • ( A + B) + C = A + (B + C) Sifat Asosiatif • A + 0 = A • A – 0 = A nmijij ijij baBA nmberukuranyangbBdanaA )( :)()( ;,....,2,1 miUntuk ;,....,2,1 nj
- 18. Contoh : Tentukan penjumlahan dan selisih dari matriks-matriks berikut : Penyelesaian : , 5106 640 312 A 211 539 874 B 211 1179 566 25)1(1016 563490 )8(37142 BA 7117 119 1182 25)1(1016 563490 )8(37142 BA
- 19. 2. Perkalian Matriks a. Perkalian skalar dengan matriks Jika k adalah bilangan real (skalar), maka perkalian skalar dengan matriks nmij mnmm n n nmij mnmm n n nmij ka kakaka kakaka kakaka Ak atau ka kakaka kakaka kakaka kA aA )( )( : 21 22212 11211 21 22221 11211
- 20. Sifat perkalian skalar dengan matriks : Jika A,B,C adalah matriks mxn, adalah skalar maka : 21 kdank BkAkAkk BkAkBAk AA AA AkkAkk Akk 2121 211 2121 11 )( )( )1( 1 )()(
- 21. Contoh : 1. Jika Penyelesaian : 2. Jika diketahui matriks A dan B berikut, tentukan 2A dan 2A-B ! Penyelesaian : AkdankAtentukankdanA 2 5106 640 312 102012 1280 622 5106 640 312 2KA 102012 1280 622 2 5106 640 312 Ak , 231 504 A 753 111 B 462 1008 231 504 22A 315 917 753 111 231 504 22 BA
- 22. b. Perkalian matriks dengan matriks Jika A matriks m x p dan B matriks p x n, maka perkalian matriks A dan B : Untuk semua i = 1,2,...., m; ; j = 1,2,...., p. Perkalian matriks yaitu mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya. Dimensi hasil perkalian matriks: nm kjik p k pnpp n n mpmm p p baABatau bbb bbb bbb aaa aaa aaa AB 1 21 22221 11211 21 22221 11211 nmnppm ABBA
- 23. Sifat perkalian dengan matriks : • A(BC) = A (BC) Asosiatif • A(B+C) = AB + AC Distribusi kiri • (B+C) A = BA + CA Distribusi Kanan • rAB) = (rA)B r = skalar • . Asosiatif Contoh : 1. Jika diketahui tentukan AB ! Penyelesaian : nn AIAAI danA 43 12 675 293 B 675 293 43 12 AB )6(4)2(3)7(4)9(3)5(4)3(3 )6)(1()2(27)1()9(25)1()3(2 18129 10251
- 24. 3. Perpangkatan Matriks Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan AAAAAAn .... .11 AAatauAAA nnn Contoh : Diketahui matriks tentukan : Penyelesaian : , 31 21 A 432 2.,.,. AcAbAa 306112 22482 15356 11241 2 4115 3011 31 21 222. 4115 3011 114 83 31 21 . 114 83 31 21 31 21 . 34 3 2 AAAc Ab Aa
- 25. 4. Transpose Matriks Transpose dari matriks A berordo m x n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom atau sebaliknya, sehingga berordo n x m. Notasi transpose .T nmnm AadalahA Contoh : Tentukan transpose dari matriks berikut : Penyelesaian : , 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A 65 41 32 B 342414 332313 232212 312111 aaa aaa aaa aaa AT 643 512T B
- 26. 5. Determinan Matriks a. Determinan matriks ordo 2 x 2 Determinan matriks A dinotasikan “det A” atau adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama kedua. Rumus dari determinan A sebagai berikut A bcad dc ba A .det Contoh : Tentukan determinan matriks berikut : Penyelesaian : 34 25 A 23 14 B 7)4).(2()3).(5( 34 25 det. Aa 5)3).(1()2).(4( 23 14 det. Bb
- 27. b. Determinan matriks ordo 3 x 3 Jika adalah matriks persegi berordo 3 x 3, determinan A dinyatakan dengan Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan matriks berordo 3 x 3, yaitu aturan sarrus dan metode minor- kofaktor. 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 det aaa aaa aaa A • Aturan sarrus Untuk menentukan determinan dengan aturan sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya kita akan menghitung determinan matriks gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut : 2331 2221 1211 333231 232221 131211 det aa aa aa aaa aaa aaa A 322113312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa
- 28. • Metode minor – kofaktor Misalkan matriks A dituliskan dengan Minor elemen yang di notasikan dengan adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke – i dan kolom ke – j dihilangkan. Misalnya dari matriks kita hilangkan baris ke – 2 kolom ke – 1 sehingga : Akan di peroleh adalah minor dari elemen matriks A baris ke – 2 kolom ke – 1 atau Kofaktor elemen dinotasikan dengan adalah hasil kali dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan : ija ija ijM 33A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 21 3332 1312 21 .M aa aa M .2121 aM ji )1( ijKija ij ji ij MK )1(
- 29. Dari matriks A diatas, kita peroleh misalnya kofaktor dan berturut-turut adalah : Kofaktor dari matriks adalah (kof) Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian suatu elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih terlebih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan diatas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut : Misalkan diketahui matriks 21a 13a 1313 31 13 )1( MMK 2121 12 21 )1( MMK 33A 333231 232221 131211 kkk kkk kkk A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A
- 30. Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut : Kita pilih baris pertama sehingga : Tampak bahwa det A matriks ordo 3 x 3 yang diselesaikan dengan cara minor – kofaktor hasilnya sama dengan det A dengan menggunakan cara sarrus. 131312121111det kakakaA 312213332112322311322113312312332211 312213322113312312332112322311332211 312232211331233321123223332211 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 13 31 1312 21 1211 11 11 )()()( )1()1()1( aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aa aa a aa aa a aa aa a MaMaMa
- 31. Contoh : Tentukan determinan dari matriks dengan aturan sarrus dan minor kofaktor ! Penyelesaian : 213 412 321 A Cara 1 (aturan sarrus) : Cara 2 (minor – kofaktor ) : 213 412 321 det A )222()141()313( )123()342()211( 11 8496242 13 12 3 23 42 2 21 41 1det A 11 3162 )1(3)8(2)2(1 )32(3)124(2)42(1
- 32. a. Sifat-sifat determinan matriks • Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol. Misal : • Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan baris/kolom elemen-elemen lain maka determinan matriks itu nol. Misal : (karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke – 3 sama). ,0 32 00 AA 0 145 000 132 BB 0 234 875 234 BB
- 33. • Jika elemen – elemen salah satu kolom/baris merupakan kelipatan dari elemen – elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu sama dengan nol. Misal : (karena elemen – elemen baris ke – 3 merupakan kelipatan elemen – elemen baris ke – 1 . • . • untuk AT adalah transpose dari matriks A. • untuk adalah invers dari matrks A. • untuk A ordo n x n dan k suatu konstanta. 0 642 075 321 AA BAAB ,AAT , 11 A A ,AknkA 1 A
- 34. 6. Invers Matriks Jika A adalah matriks ukuran n x n dan jika ada matriks b ukuran n x n sedemikian rupa sehingga : Dimana I adalah matriks identitas ukuran n x n, maka matriks A disebut no singular atau invertibel dan matriks A merupakan invers dari B atau B merupakan invers dari A. Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular atau non invertibel. Notasi matriks invers dari A : IBAAB 1 A
- 35. a. Menentukan invers matriks berordo 2 x 2 Misalkan diketahui matriks dengan ad – bc tidak sama dengan nol. Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis dengan demikian berlaku Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks non singular yaitu sebaliknya jika det A = 0 maka matriks singular maka matriks ini tidak memiliki invers. Jadi, jika maka inversnya adalah : , dc ba A 0, 11 bcaduntuk ac bd bcad A , dc ba A 1 A .11 AAAA ,0det A
- 36. Contoh : Tentukan invers matriks – matriks berikut : 27 14 . Aa 45 23 . Bb Penyelesaian : Penyelesaian : 47 12 78 1 . 1 Aa 47 12 47 12 1 1 35 24 )10(12 1 . 1 Bb 2 3 2 5 12 35 24 2 1
- 37. a. Menentukan invers matriks berordo 3 x 3 Invers matriks berordo 3 x 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin. Invers matriks persegi berordo 3 x 3 dirumuskan sebagai berikut : Penentuan adj A : )( det 11 Aadj A A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa AA ihg fed cba A
- 38. fe cb ga ih cb da ih fe aa 31 21 11 fd ca ha ig ca ea ig fd ba 32 22 12 hg ba ia hg ba fa hg ed ca 33 23 13 Contoh : Diketahui matriks tentukan invers matriks A dengan menggunakan perhitungan menurut baris pertama. 321 432 121 A
- 39. Penyelesaian : Terlebih dahulu kita hitung determinan A Dengan menggunakan rumus adjoin diperoleh : Jadi dapat dihitung sebagai berikut : 21 32 1 31 42 2 32 43 1det A 2 141 )1(1)2(2)1(1 )34(1)46(2)89(1 101 222 541 )(Aadj )( det 11 Aadj A A 2 1 0 2 1 111 2 5 2 2 1 101 222 541 2 1
- 40. Soal : 1. Matriks hitunglah : a. A + B b. A – B c. AB d. 5A – B e. (6A)B f. g. h. det B i. , 423 101 241 A 314 211 316 B 2 BA T A 1 B 2. Matriks hitunglah : a. AB(C) b. (3B)C + 2B c. 2C – B d. e. (7B)C , 521 142 461 A 801 352 321 B 321 654 987 C 2 CAB
- 41. Nama : Alinda Ayu Putri Nim : 1830206060 Kelas : Matematika 1 Prodi : Pendidikan Matematika Fakultas : Ilmu Tarbiyah dan Keguruan Universitas : UIN Raden Fatah Palembang Hobbi : Membaca dan Mendengarkan Musik Instagram : @alinda_ap05 Twitter : @alinda_05 Facebook : Alinda Ayu Putri Biodata