Seminar Matematika FKIP UNSRI 2011

1. Menentukan Order dan Ukuran graf langkah Kuda pada papan
catur berukuran n x n .
M. Noviarsyah Dp – NIM 06111408003
Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sriwijaya
Jl. Ogan Bukit Besar Palembang
E-mail : viarp@yahoo.com
ABSTRAK
Permainan Catur adalah permainan pikiran yang dimainkan oleh dua orang. Pecatur
adalah orang yang memainkan catur, dimasyarakat terdapat permainan yang hampir
sama dengan permainan catur tetapi permainan tersebut hanya menggunakan sebuah
kuda dan beberapa bidak/prajurit yaitu catur kuda. Catur Kuda merupakan
permainan sederhana yang penuh dengan strategi langkah yang tepat untuk
menyelesaikannya, catur kuda adalah salah satu buah catur yang memiliki langkah
yang menarik dibandingkan dengan buah catur lainnya yaitu membentuk huruf (L).
Pada pola pergerakan kuda untuk menentukan order dan ukuran menggunakan graf.
Macam-macam graf yang digunakan adalah graf lengkap,graf lingkaran,graf teratur,
sehingga dapat menentukan order dan ukuran graf langkah kuda pada papan catur
berukuran n x n.
Kata Kunci : Permainan Catur Kuda, Graf, Graf lengkap, Graf lingkaran, dan Graf
teratur.
A. PENDAHULUAN
Konsep graf Eulerian yang diawali oleh karya Euler pada problem Jembatan Konigsberg
(1736) merupakan awal dari lahirnya teori graf. Meskipun umurnya yang relatif muda, teori
graf sebagai cabang dari matematika diskrit telah berkembang sangat pesat akhir-akhir ini,
baik dalam pengembangan teori maupun aplikasi di berbagai bidang. Di sadari atau tidak,
banyak aplikasi teori graf dalam kehidupan kita. Banyak sekali struktur yang bisa
direpresentasikan dengan graf dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan
graf, bahkan dalam permainan catur pun ternyata ada aplikasi teori graf, tetapi sekarang akan
membuktikan bahwa aplikasi graf diterapkan pada permainan catur kuda.

2. Catur kuda adalah Turunan dari permainan Catur pada umum nya, pada permainan catur
biasa terdapat lebih dari 32 prajurit/pionnya, pada catur kuda hanya terdapat 2 buah pion,
yakni kuda dipihak Hitam dan kuda dipihak Putih. Yang paling membedakan catur kuda
dengan catur biasa selain Jumlah prajuritnya/pionnya adalah hasil atau kondisi akhir dalam
permainan. Pada catur biasa permainan akan berakhir ketika raja tim Hitam terbunuh oleh
Tim Putih maka pemenangnya Tim Hitam, sedangkan pada catur kuda permainan akan
berakhir ketika salah satu kuda tidak dapat melangkah lagi ( pada catur kuda, bidang yang
telah ditempati tidak boleh ditempati lagi oleh kedua belah pihak. ). Pada permainan Catur
kuda bidak/prajurit yang digunakan ialah Kuda sama seperti judul permainan nya
dikarenakan prajurit kuda langkah nya membentuk huruf ( L ), dan hanya satu kuda yang
digunakan pada permainan ini.
Secara informal, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut verteks (atau node)
yang terhubung oleh sisi (atau edge atau arc). Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan
titik-titik (melambangkan verteks) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi).
Pada makalah ini difokuskan pada menentukan order dan size graf langkah kuda pada papan
berukuran n x n. Permasalahan yang diangkat pun dikhususkan pada bagaimana menentukan
order dan size graf pada langkah kuda.

3. B. MATERI PENDUKUNG
1. Graf
2.1.1 Definisi Graf
Definisi 1
Suatu graf G adalah suatu pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E),
dalam hal ini V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul ( vertices atau node ) dan E
adalah Himpunan sisi ( edge atau arcs )yang menghubungkan sepasang simpul.
(Munir, Rinaldy ; 2005 ; 356)
Definisi 2
Banyaknya simpul ( anggota V ) disebut Order Graf G yang dilambangkan dengan
p(G), Sedangkan banyaknya ruas ( anggota E ) disebut ukuran Graf G dan dilambangkan
dengan q(G).

4. 2.2 Macam-Macam Graf
2.2.1 Graf Lengkap (komplit)
Sebuah graf G adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai
sisi ke semua simpul lainnya. (Munir, Rinald ; 2005 ; 377).
.
2.2.2 Graf Lingkaran
Graf Lingkaran adalah Graf terhubung yang setiap simpulnya berderajat
dua. Graf Lingkaran dengan n titik dilambangkan dengan Cn.
(Munir, Rinald ; 2005 ; 377).
2.2.3 Graf Teratur ( Regular Graphs )
Graf teratur adalah graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang
sama. Apabila Derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai
graf teratur derajat r. (Munir, Rinald ; 2005 ; 378).
C. Materi Pokok.
I. Menentukan Banyaknya Order dan ukuran dari Graf Langkah Kuda pada
Papan Catur Berukuran n x n
1. Papan Catur ukuran 3 x 3
Pada papan catur berukuran 3 x 3 dapat digambarkan sebagai berikut :
a b c
1
2
3

5. Langkah kuda yang terjadi pada papan catur ukuran 3 x 3 dapat
digambarkan dalam bentuk graf G sebagai berikut:
V ( G ) = { a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 }, jadi p(G) = 9
E ( G ) = {( a1, b3), (a1, c2), (a2, c2), (a2, c3), (a3, b1), (a3, c2), (b1, c3), (b3, c1)}, jadi
q(G) = 8
Bahwa p(G) = banyak nya titik yang ada di papan catur 3x3, sedangkan untuk
q(G) = adalah Banyaknya langkah kuda dalam menghabisi pion-pionnya tetapi
banyaknya langkah tersebut Minimal langkah untuk menghabisi Pion yang ada
atau tersedia.
2. Papan Catur ukuran 4 x 4
Untuk papan catur berukuran 4 x 4 dapat digambarkan sebagai berikut :
Langkah kuda yang mungkin terjadi pada papan catur ukuran 4 x 4 dapat
digambarkan dalam bentuk graf G sebagai berikut:

6. V ( G ) = { a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4, c1, c2, c3, c4 }, jadi p(G) = 16
E ( G ) = {( a1, b3), (a1, c2), (a2, c1), (a2, c3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, c2), (a4, c3),
(a4, b2), (a3, c4), (b1, d2), (b1, c3), (b2, d1), (b2, d3), (b2, c4), (b2, d1),
( b2, d3),( b3, c1),( b3, d2),( b3, d4),( b4, c2),( b4, d3),( c1, d3),( c2, d4),
( c3, d1),( c4, d2)}. Jadi q(G) = 24
3. Papan Catur ukuran 5 x 5
Untuk papan catur berukuran 5 x 5 dapat digambarkan sebagai berikut :
Langkah kuda yang mungkin terjadi pada papan catur ukuran 5 x 5 dapat
digambarkan dalam bentuk graf G sebagai berikut:

7. 4. Papan Catur ukuran 6 x 6
Untuk papan catur berukuran 6 x 6 dapat digambarkan sebagai berikut :
Langkah kuda yang mungkin terjadi pada papan catur ukuran 6 x 6 dapat
digambarkan dalam bentuk graf G sebagai berikut:

8. 5. Papan Catur ukuran 7 x 7
Untuk papan catur berukuran 7 x 7 dapat digambarkan sebagai berikut :

9. Langkah kuda yang mungkin terjadi pada papan catur ukuran 7 x 7 dapat
digambarkan dalam bentuk graf G sebagai berikut:
6. Papan Catur ukuran 8 x 8
Untuk papan catur berukuran 8 x 8 dapat digambarkan sebagai berikut :

10. Langkah kuda yang mungkin terjadi pada papan catur ukuran 8 x 8 dapat
digambarkan dalam bentuk graf G sebagai berikut:
V(G) = { a1, a2, a3, . . . , a8, b1, b2, b3, . . . , b8, c1, c2, c3, . . . , c8, d1, d2, d3, . . . ,
d8, e1, e2, e3, . . . , e8, f1, f2, f3, . . . , f8, g1, g2, g3, . . . , g8, h1, h2, h3, . . . , h8.}.
Jadi p(G) = 64

11. Berdasarkan contoh papan catur n x n di atas maka didapat dibuat tabel sebagai
berikut:
No Ukuran P Q
1 3 x 3 9 = 3 x 3 = 32
8 = 4 x 1 x2
2 4 x 4 16 = 4 x 4 = 42
24 = 4 x 2 x3
3 5 x 5 25 = 5 x 5 = 52
48 = 4 x 3 x4
4 6 x 6 36 = 6 x 6 = 62
80 = 4 x 4 x5
5 7 x 7 49 = 7 x 7 = 72
120 = 4 x 5 x6
6 8 x 8 64 = 8 x 8 = 82
168 = 4 x 6 x7
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
i n x n n2
4 ( n – 2 )(n – 1 )

12. Maka Terlihat pola bahwa p = n2
dan q = 4(n-2) (n-1). Untuk n bilangan asli, dan
Menghasilkan p = n2
dan q = 4(n-2) (n-1), syarat untuk n ≥ 3 ( Nafiah:2009:47 )
Teorema :
Untuk papan catur n x n, maka graf langkah kuda mempunyai order
p = n2
dan size q = 4(n-2) (n-1), untuk n ≥ 3
Bukti :
Pada papn catur berukuran n x n terdapat sebanyak n2
kotak. Karena Pada
setiap Kotak mewakili titik, maka graf langkah kuda akan mempunyai sebanyak
n2
titik. Jadi graf langkah kuda pada papn catur n x n mempunyai order p = n2
.
Untuk membuktikan Size, akan dilakukan dengan induksi matematika
1. Untuk n = 3 diperoleh graf langkah kuda sebagai berikut:
Graf tersebut mempunyai size 8 = 4·1·2. Jadi benar untuk n = 3.
2. Akan ditunjukkan jika untuk n = k ≥ 3 benar, maka untuk n = k + 1 juga
benar.
Asumsikan benar untuk n = k ≥ 3, artinya untuk papan catur berukuran k x k,
maka banyak sisinya adalah 4(k – 2)(k – 1). Papan catur (k + 1) x (k + 1)
diperoleh dari papan catur k x k dengan menambah masing-masing 1 Baris kotak
pada sisi horizontal dan 1 Baris kotak pada vertikal, seperti gambar berikut:

13. Sesuai asumsi sebelumnya, banyaknya sisi pada papan catur k x k sebanyak 4(k –
2)(k – 1). Pada papan catur (k + 1) x (k + 1), ada tambahan sisi yang dapat
dihitung sebagai berikut:

14. Untuk titik ai, i = 1, 2, . . . , k + 1 , maka diperoleh :
Pada a1 menambah 2 sisi
Pada a2 menambah 3 sisi
Pada a3 sampai ak-1 menambah 4 sisi [ sebanyak (k – 3) titik ]
Pada ak menambah 3 sisi
Pada ak+1 menambah 2 sisi
Karena semua sisi tersebut berbeda, maka ada tambahan sebanyak
4 x (k – 3 ) + 10 sisi.
Dengan cara yang sama. Untuk titik bi , 1 ≤ i ≤ k + 1 diperoleh tambahan
sebanyak 4 x ( k – 3 ) + 10. Karena titik ak+1 dan bk+1 sama, maka total sisi harus
dikurangi 2. Demikian juga sisi akbk-1 dan ak-1bk dihitung dua kali, jadi juga
dikurangi 2. Jadi sisi tambahan harus dikurangi 4, Jadi terdapat tambahan sisi
sebanyak :
((4(k – 3) + 10) + (4(k – 3) + 10)) – 4.
= [4(k – 3) + 4 . 2 + 2 ] + [4(k – 3 ) + 4 . 2 + 2 ] – 4
= [4(k – 1) + 2 ] + [4(k – 1 ) + 2 ] – 4
= 2 . 4 (k – 1)
Jadi Total sisi papan graf langkah kuda pada papn catur ( k + 1 ) x ( k + 1 ) adalah:
4(k – 2) ( k – 1 ) + 2 . 4 (k – 1)
= 4(k – 1 )[(k-2) + 2) ]
= 4(k – 1) (k )
= 4 ( ( K + 1) – 2) ((k + 1) – 1). Untuk Mengubah bentuk ke bentuk persamaan
Q.
Terbukti untuk papan catur ( k + 1) x (k + 1) mempunyai size sebesar :
Q = 4((k + 1) – 2)(( k + 1) – 1)
Sesuai induksi matematika dapat disimpulkan bahwa untuk papn catur n x n, maka
graf langkah kuda mempunyai size :
Q = 4(n – 2)(n – 1), n ≥ 3

15. D. Kesimpulan
Teori Graf banyak memiliki aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya
yang sering kita jumpai dan sering kita mainkan ialah permainan catur, catur kuda
permainan yang membuat seorang pemainnya berfikir bagaimana caranya untuk
menghabiskan semua bidak/prajurit yang disediakan pada papan catur berukuran
n x n, maka dengan aplikasi teori graf ini kita dapat menentukan order dan ukuran
graf langkah kuda pada papn catur berukuran n x n. Dan yang didapatkan dalam
proses pencarian order dan Ukuran tersebut bahwa Order / titik (P) = n2
dan
Ukuran (Q) = 4 (n-2) (n-1) dengan syarat untuk n ≥ 3.

16. E. DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.
Lipschutz, Ph.D. , Seymour and Lars Lipson, Marc. 2002.Matematika
Diskrit.Singapore:Selemba Teknika.
Simangunsong,Sahat Nicholas., 2011, Aplikasi Graf Dalam Permainan
Catur. (http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2010-
2011/Makalah2010/MakalahStrukdis2010-029.pdf, diakses tanggal 30
January 2014 )
Prawira,Yudha Wastu.,2011, Penggunaan Graf dalam sistem Drainase
Perkotaan untuk Meminimalisasi Masalah banjir.(
http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2010-
2011/Makalah2010/MakalahStrukdis2010-078.pdf, diakses tanggal 13
Maret 2014 )
Nafiah, Dhurriyatun., 2009, Menentukan order dan size Graf langkah
kuda pada papan catur berukuran n x n. ( http://lib.uin-
malang.ac.id/files/thesis/fullchapter/03510013.pdf, diakses tanggal 30
January 2014 )

17. LAMPIRAN
Revisi Makalah Seminar Matematika
Nama : M.Noviarsyah Dp
Nim : 06111408003
Tanggal Seminar :09 April 2014
No
Nama Dosen
Penguji
Saran atau Keritik Tindak Lanjut Keterangan
1. Dr. Somakim
M.Sc
1. Seharusnya untuk
menghabiskan Pion,
satu buah kuda
diajalnkan tanpa
kembali pada posisi
awal.
2. P(G) dan Q(G) itu
apakah,
1.Sudah di jawab ketika
presentasi berlangsung, dan
sudah di jelaskan secara
seksama bahwa dgn
menggunakan Graf untuk
mencari bnyaknya langkah
kuda.
2. Direvis dengan mencari
informasi apa itu p(G) dan
Q(G) dan yang mendapatkan
informasi bahwa p(G) dan
q(G) adalah Minimal Langkah
kuda dalam menghabisi Pion-
pion di papan catur.
Sudah
direvisi dan
sudah
dijelaskan
saat seminar
2. Dr. Yusuf
Hartono, M.Sc
Pada Judul Makalah
Seharusnya Langkah
Kuda menggunakan
Graf atau Graf
langkah Kuda.
Sudah Dijelaskan ketika
presentasi berlangsung, bahwa
untuk menentukan banyaknya
langkah kuda tersebut
menggunakan teori graf.
Sudah
direvisi dan
sudah
dijelaskan
saat seminar