Makalah Statistika Dasar

MAKALAH
STATISTIKA DASAR
Nama :
Dania Yuliani (06081181419001)
Silvia Kuswanti (06081181419017)
Lia Destiani (06081181419064)
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA

ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan hidayah-
Nyalah sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini.
Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si
dan Ibu Puji selaku dosen pembimbing mata kuliah statistika dasar yang telah
memberikan tugas, sehingga dapat menambah wawasan kami serta dapat
memberikanpengetahuan bagi seluruh pembaca.
Kami sangat menyadari dalam penyusunan makalah ini terdapat banyak
kekurangan dan kesalahan.Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan
sarannya dari Ibu.Sehingga dikemudian hari dapat kami dapat membuat makalah
lebih baik lagi.Semoga makalah ini dapat digunakan dengna baik dan bermanfaat
bagi kita semua.Aamiin.
Penulis
Kelompok 5

iii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ........................................................................................................ i
Daftar Isi..................................................................................................................ii
ISI
BAB 1
Pengertian, Jenis Statistika dan Macam-Macam Data ..........................................5
BAB II
Penyajian Data dan Aplikasi pada Data Penelitian .............................................13
BAB III
Daftar Distribusi Frekuensi dan Aplikasi pada Data Penelitian .........................23
BAB IV
Ukuran Pemusatan................................................................................................34
BAB V
Ukuran Letak dan Ukuran Penyebaran ...............................................................58
BAB VI
Distribusi Binomial dan Poisson..........................................................................65
BABVII
Disrtribusi Normal................................................................................................69
BAB VIII
Uji Normalitas dan Homogenitas.........................................................................76
BAB IX
Uji Hipotesis.........................................................................................................90
BAB X

iv
Uji Hipotesis satu Rata-rata..................................................................................96
BAB XI
Uji Hipotesis 2 Rata-rata....................................................................................102
PENUTUP
Daftar Pustaka......................................................................................................110

5
BAB I
STATISTIKA DAN MACAM-MACAM DATA
I. Pengertian Statistik dan Statistika
A. Pengertian Statistik
Menurut Prof. Drs. Sutrisno Hadi MA, statistik adalah cara untuk
mengolah data dan menarik kesimpulan-kesimpulan yang teliti dan
keputusan-keputusan yang logik dari pengolahan data.
Menurut Prof. Dr. H. Agus Irianto, statistik adalah sekumpulan cara
maupun aturan-aturan yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan
(analisis), penarikan kesimpulan, atas data-data yang berbentuk angka
dengan menggunakan suatu asumsi-asumsi tertentu.
Dari beberapa pengetian para ahli diatas, dapat ditarik kesimpulan
bahwa Statistik adalah data mengenai suatu masalah, yang biasanya disusun
dalam tabel dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu
persoalan.
B. Pengertian Statistika
Menurut Sujana, statistika merupakan pengetahuan yang
berhubungan dengan cara-cara pengumpuam fakta, pengolahan serta
penganalisanya, penarikan kesimpulan, penyajian dan publikasi dari data-
data yang berbentuk angka
Menurut Sudrajat, statistika merupakan Ilmu pengetahuan mengenai
cara dan aturan dalam hal pengumpulan data, pengolahan, analisa,
penarikan keseimpulan, penyajian dan publikasi dari kata-kata yang
berbentu angka.
Dari beberapa pengetian para ahli diatas, dapat ditarik kesimpulan
bahwa statistika adalah ilmu yang mempelajari statistik, yaitu ilmu yang
mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data,
menyajikan data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis
data dan mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan.

6
II. Jenis-jenis Statistika
A. Statistika Deskriptif
Statistika Deskriptif merupakan statistika yang menggambarkan kegiatan
berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan
penyajian data dalam bentuk tabel, grafik, ataupun diagram agar
memberikan gambaran yang teratur, ringkas, dan jelas mengenai kejadian
suatu peristiwa.
B. Statistika Inferensial
Statistika inferensial merupakan statistika yang berkaitan dengan analisis
data (data dari sampel) yang kemudian digunakan untuk melakukan
peramalan atau penaksiran kesimpulan mengenaidata secara keselurahan
(populasi). Generalisasi tersebut memiliki sifat tidak pasti karena hanya
berdasarkan pada data dari sampel. Oleh sebab itu, dalam statistika induktif
harus didasari dengan teori peluang.
Data kasar diperoleh dari hasil pengukuran suatu variabel pada sampel
yang diambil dari suatu populasi menggunakan teknik pengambilan sampel
tertentu. Langkah-langkah kegiatan dtatistika untuk menangani data kasar
yaitu :
1. Pengumpulan data
2. Pengolahan data
3. Penyajian data dalam bentuk tabel atau grafik
4. Penafsiran sajian data
5. Analisa data
6. Penafsiran dan pengambilan kesimpulan
7. Pemanfaat penafsiran dan kesimpulan untuk penentuan kegiatan
penelitian lebih lanjut
Dari langkah-langkah diatas, untuk nomor 1, 2, 3, 4, dan 7 disebut
statistik deskriptif (tanpa analisis, tanpa pengujian hipotesis, dan
hanya melakukan perhitungan-perhitungan saja) Data ini disajikan
dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

7
Sedangkan untuk nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 disebut statistik
inferensial (dengan analisis, generalisasi, dan pengujian hipotesis
III. Data, Populasi, dan Sampel
Data adalah himpunan atau informasi lain yang diperoleh dari
observasi, pengukuran dan penilaian terhadap suatu objek atau lebih.
Populasi adalah sebuah kumpulan dari semua kemungkinan orang-
orang, benda-benda dan ukuran lain dari objek yang menjadi perhatian. Contoh:
a. Populasi mahasiswa Universitas Sriwijaya
b. Populasi mahasiswa Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Sampel adalah bagian dari populasi yang di ambil melalui cara-cara
tertentu yang juga memilki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang
dianggap bisa mewakili populasi
IV. Macam-macam Data
Dalam melakukan suatu penelitian harus dilandasi dengan
penggunaan metode ilmiah. Syarat metode ilmiah adalah:
Dasar : Fakta/data yang reliable, valid, dan ternilai, teori yang relevan.
Sifat : Universal, obyektif, jujur dan terbuka, logis, kritis, analistis, dinamis
dan inovatif.
A. Data menurut sifat angka
a. Data Diskrit
Angka-angka yang tidak memiliki desimal atau pecahan di antara
bilangan bulatnya, diperoleh dari menghitung. Tiap objek memiliki satu
satuan yang utuh, yang tidak memungkinkan untuk terjadinya secara
sebagian.
Contoh: Jumlah mahasiswa/i FKIP Matematika Universitas Sriwijaya
kampus Indralaya tahun ajaran 2014 sebanyak 39 orang.
b. Data Kontinu

8
Kumpulan angka-angka yang masih dimungkinkan memiliki bilangan
desimal atau pecahan di antara bilangan bulatnya yang banyaknya tak
terhingga, biasanya didapatkan dari proses pengukuran.
Contoh: Mahasiswa FKIP Matematika Indralaya memiliki tinggi badan
rata-rata 156,5 cm.
B. Data menurut sifatnya
a. Data Kualitatif
Kenyataan yang menunjukkan sifat-sifat objek yang tidak
memungkinkan secara langsung dapat diubah menjadi angka, sehingga
menggunakan pendekatan dalam bentuk kategori.
Contoh: lukisan indah, pemandangan bagus, wajah cantik, penataan
rapi, kebijaksanaan tepat, perkataannya benar, tariannya indah.
b. Data Kuantitatif, yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk angka.
Misalnya : FKIP Unsri Indralaya mempunyai 4 gedung.
C. Data menurut sumbernya
a. Data Primer : data yang diperoleh secara langsung dengan
melakukan sendiri pengumpulan terhadap obyek.
b. Data Sekunder : data yang diperoleh dari olahan data primer
c. Data Tersier : data yang diperoleh dari olahan data sekunder.
d. Data Kuarter : data yang diperoleh dari data tersier yang telah diolah
terlebih dahulu.
D. Data menurut cara menyusun angkanya
a. Data nominal, yaitu data statistik yang cara menyusunnya didasarkan
pada klasifikasi tertentu. Misalnya: Jumlah mahasiswa FKIP
Matematika tahun ajaran 2013/2014 menurut tingkat dan jenis
kelaminnya.
b. Data ordinal/urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya
didasarkan pada urutan/ranking. Misalnya: Hasil nilai ujian statistika

9
mahasiswa FKIP Matematika tahun ajaran 2013/2014 berdasarkan
ranking.
c. Data interval, yaitu data statistik dimana terdapat jarak yang sama di
antara hal-hal yang sedang diteliti
E. Data berdasarkan bentuk angkanya
a. Data tunggal, yaitu data statistik yang angka-angkanya merupakan satu
unit atau satu kesatuan, tidak dikelompokkan.
b. Data kelompok, yaitu data statistik tiap unitnya terdiri dari sekelompok
angka, 51-55, 56-60, 61-65, dst.
F. Data berdasarkan waktu pengumpulannya
a. Data seketika, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan pada suatu
waktu saja. Contoh : Pada semester gazal 2013/2014.
b. Data urutan waktu, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan dari
waktu ke waktu secara berurutan. Contoh: Jumlah mahasiswa FKIP
Unsri yang lulus dari tahun 2010-2013
V. Sumber Data Statistika
a. Data primer
Data primer merupakan sumber data yang diperoleh
langsung dari sumber asli (tidak melalui media perantara). Data primer
dapat berupa opini subjek (orang) secara individual atau kelompok, hasil
observasi terhadap suatu benda (fisik), kejadian atau kegiatan, dan hasil
pengujia.
Sumber data primer, misalnya:
1. Wawancara langsung
2. Wawancara tidak langsung
3. Pengisian kuisione
b. Data sekunder

10
Data sekunder merupakan sumber data penelitian yang
diperoleh peneliti secara tidak langsung melalui media perantara (diperoleh
dan dicatat oleh pihak lain). Data sekunder umumnya berupa bukti, catatan
atau laporan historis yang telah tersusun dalam arsip (data dokumenter)
yang dipublikasikan dan yang tidak dipublikasikan.
Sumber data sekunder, misalnya :
1. BPS
2. Bank Indonesia
3. Diknas
VI. Istilah dalam Statistika
a. Obyek
Benda hidup atau mati yg diuji unsur-unsur, sifat dan kelakuannya melalui
pengamatan, pengukuran dan penilaian guna mendpt info atau nilai-nilai yg
berguna mengenai benda tsb
b. Variabel
Suatu sifat dari obyek atau unsur dari obyek yg dpt diamati atau diukur shg
menghasilkan nilai, ukuran atau criteria lainyg dpt bervariasi
c. Variate
Angka/nilai ukuran/criteria lain yg dicapai suatu variabelpada suatu
individu atau unit statistic
d. Variasi
Adanya perbedaan antar nilai/variate/ukuran dll dari suatu variabel pada
populasi atau sampel
e. Variabilitas
Kemungkinan utk bervariasi dr nilai suatu variable pd suatu populasi atau
sample
f. Parameter

11
Suatu variabel terukur yg digunakan sbg criteria utk mengevaluasi suatu
populasi atau system
g. nilai parametrik
Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dariperhitungan atau data
sensus, masih harus di analisis.
h. Nilai Statistik
Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dariperhitungan atau data
sensus.

12
KESIMPULAN
Statistik merupakan data mengenai suatu masalah, yang biasanya disusun
dalam 12tati dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu
persoalan. Sedangkan statistika merupakan ilmu yang mempelajari statistik, yaitu
ilmu yang mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data,
menyajikan data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data
dan mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan
Jenis statitisk terdiri dari 12tatistic deskriptif dan inferensial. Statistika
Deskriptif merupakan statistika yang menggambarkan kegiatan berupa
pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam
bentuk tabel, grafik, ataupun diagram agar memberikan gambaran yang teratur,
ringkas, dan jelas mengenai kejadian suatu peristiwa. Sedangkan statistika
inferensial merupakan statistika yang berkaitan dengan analisis data (data dari
sampel) yang kemudian digunakan untuk melakukan peramalan atau penaksiran
kesimpulan mengenaidata secara keselurahan (populasi). Generalisasi tersebut
memiliki sifat tidak pasti karena hanya berdasarkan pada data dari sampel. Oleh
sebab itu, dalam statistika induktif harus didasari dengan teori peluang.
Macam-macam data dibedakan berdasarkan dari data menurut sifat angka,
data menurut sifatnya, data menurut sumbernya, data menurut cara menyusun
angkanya, data berdasarkan bentuk angkanya, dan data berdasarkan waktu
pengumpulannya. Sumber data 12tatistic terbagi menjadi 2, yaitu data primer
(langsung) dan data sekunder (tidak langsung).

13
BAB II
PENYAJIAN DATA DAN APLIKASINYA
A. PENGERTIAN PENYAJIAN DATA
Penyajian Data adalah salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil
penelitian yang telah dilakukan sesuai dengan tujuan yang diinginkan.
Penyajian data bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang
peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penilitian/observasi, data lebih cepat
ditangkap dan dimengerti, memudahkan dalam analisis data, membuat proses
pengambilan keputusan kesimpulan lebih tepat, cepat dan akurat. Penyajian
data dalam sebuah tabel ataupun gambar grafik memiliki maksud tertentu.
B. BENTUK PENYAJIAN DATA
Secara umum ada beberapa cara penyajian data statistik yang sering
digunakan, yaitu tabel, grafik, dan diagram.
1. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL
Tabel, yaitu kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-
kategori. Misalnya berat badan menurut jenis kelamin, jumlah
pegawaimenurut pendidikan, jumlah penjualan menurut jenis barang dan
daerahpenjualan, dll.
1.1. Tabel Biasa
Tabel biasa sering digunakan untuk bermacam keperluan baik bidang
ekonomi, sosial, budaya dan lain-lain untuk menginformasikan data dari
hasil penelitian. Bentuk table biasa :
JUDUL TABEL
…………………………………………
JUDUL KOLOM
JUDUL BARIS
Sel-sel Sel-sel Sel-sel
Sumber :………………………
Catatan :………………………
Keterangan :

14
a. Judul Tabel ditulis di atas simetris sumbu y dengan huruf capital tanpa
penggalan kata secara singkat dan jelas tentang apa, macam atau
klasifikasi, dimana, kapan dan apabila ada cantumkan satuan atau unit
data yang digunakan.
b. Judul kolom ditulis singkat, jelas, dan diupayakan jangan memutus
(memenggal) kata.
c. Sel-sel tempat penulisan angka-angka atau data.
d. Catatan ditulis di bagian kiri bawah berguna untuk mencatat hal-hal
penting dan perlu diberikan. Pada bagian tersebut juga terdapat sumber
untuk menjelaskan dari mana data tersebut dikutip, kalau tidak ada
berarti pelopor ikut di dalamnya.
e. Selain 4 bagian tersebut juga harus diperhatikan yaitu nama sebaiknya
disusun sesuai abjad, waktu secara berurutan (kronologis),
menempaatkan data kategori disusun secara sistematis.
1.2. Tabel Kontigensi
Tabel kontigensi biasanya digunakan khusus data yang terletak antara
baris dan kolom berjenis variabel kategori. Bentuk tabel kontigensi :
Sumber : www.google.com
1.3.Tabel Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi adalah penyusunan suatu data mulai dari
terkecil sampai terbesar yang membagi banyaknya data ke dalam beberapa
kelas.Distribusi frekuensi terdiri dari dua yaitu distribusi frekuensi kategori
dan distribusi frekuensi numerik. Distribusi frekuensi kategori adalah
pengelompokkan data yang disusun berbentuk kata-kata atau

15
pengelompokkan kelas-kelasnya berdasarkan kumulatif. Distribusi numerik
adalah pengelompokkan data yang kelas-kelasnya disusun secara interval
didasarkan pada angka-angka (kuantitatif). Tabel distribusi frekuensi terdiri
atas beberapa bentuk yaitu :
a. Distribusi Frekuensi Relatif
Distribusi frekuensi relatif ialah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya
tidak dinyatakan dalam angka mutlak atau nilai mutlak, tetapi setiap
kelasnya dinyatakan dalam bentuk angka persentase (%) atau angka relatif.
Contoh :
b. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Distribusi frekuensi kumulatif ialah distribusi frekuensi yang nilai
frekuensinya (f) diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi demi
frekuensi.
1. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari
2. Distribusifrekuensi kumulatif lebih dari
c. Distribusi Kumulatif Relatif
Distribusi frekuensi kumulatif relatif ialah distribusi frekuensi yang mana
nilai frekuensi kemulatif diubah menjadi frekuensi relatif atau persentase.
2. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK
Grafik, yaitu gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data
berupaangka atau simbol-simbol yang biasanya dibuat berdasarkan data dari
tabel yang telah dibuat.
2.1.Histogram
Histogram ialah grafik yang menggambarkan suatu distribusi frekuensi
dengan bentuk beberapa segi empat. Contoh :
GRAFIK HISTOGRAM

16
2.2.Poligon
Poligon frekuensi ialah grafik garis yang menghubungkan nilai tengah tiap
sisi atas yang berdekatan dengan nilai tengah jarak frekuensi mutlak
masing-masing. Contoh :
GRAFIK POLIGON
2.3.Ogive
Ogive ialah distribusi frekuensi kumulatif yang menggambarkan
diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar atau eksponensial. Contoh :
GRAFIK OGIVE
Nilai Ujian Matematika Kelas X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
B C D E F
0
5
10
15
20
25
62 67 72 77 82 87 92
Nilai Ujian MatematikaKelas X
SMA N 1 Bayung Lencir
frekuensi -

17
3. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM
Diagram ialah gambaran untuk memperlihatkan atau menerangkan
sesuatu data yang akan disajikan.
3.1.Diagram Batang
Diagram batang digunakan untuk menyajikan data yang bersifat
kategori atau data distribusi. Penyajian data berbentuk diagram batang ini
banyak modelnya antara lain : diagram batang satu komponen atau lebih,
diagram batang dua arah, diagram batang tiga dimensi, dan lain-lain sesuai
dengan variasi atau tergantung keahlian pembuat diagram. Contoh :
3.2.Diagram Garis
0
10
20
30
40
50
60
70
80
60 65 70 75 80 85 90 95
f (kumulatif
kurang dari) -
f (kumulatif lebih
dari) -
0
5
10
15
20
25
60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
Diagram Batang
Nilai Ujian MTK kelas X
SMAN 1 Bayung Lencir
Frekuensi

18
Diagram garis digunakan untuk menggambarkan keadaan yang
serba terus menerus.
3.3.Diagram Lambang
Diagram lambang atau simbol ialah suatu diagram yang
menggambarkan simbol-simbol dari data sebagai alat visual untuk orang
awam.
Grafik Nilai Geometri FKIP Matematika Unsri Angkatan 2014
NILAI
A 
B 
C 
D 
Ket : = Banyaknya 1 orang
3.4.Diagram Lingkaran dan Pastel
Diagram lingkaran dan Pastel digunakan untuk penyajian data yang
berbentuk kategori dinyatakan dalam persentase. Contoh :
0
5
10
15
20
25
60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
Diagram Garis
Nilai Ujian MatematikaKelas X
SMA N 1 Bayug Lencir
Frekuensi

19
Diagram pastel yaitu perubahan wujud dari model diagram
lingkaran disajikan dalam bentuk tiga dimensi. Contoh :
3.5.Diagram Peta
Diagram peta yaitu diagram yang melukiskan fenomena atau keadaan
dihubungkan dengan tempat kejadian. Contoh :
DIAGRAM PETA
3%
8%
21%
29%
23%
10%
6%
Diagram Lingkaran
Nilai ujian Matmatika kelas X
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85-89
90-94
3%
8%
21%
29%
23%
10%
6% Diagrampastel
Nilai UjianMatematikaKelas X
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85-89

20
3.6.Diagram Pencar (titik)
Diagram pencar (titik) ialah diagram yang menunjukkan gugusan
titik-titik setelah garis koordinat sebagai penghubung dihapus. Contoh :
3.7.Diagram Campuran
Diagram Campuran ialah diagaram yang disajikan dalam bentuk
gabungan dari beberapa dimensi dalam satu penyajian data. Contoh :

22
KESIMPULAN
Penyajian data adalah salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil
penelitian yang telah dilakukan sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Penyajian
data bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa
yang merupakan hasil penilitian/observasi, data lebih cepat ditangkap dan
dimengerti, memudahkan dalam analisis data, membuat proses pengambilan
keputusan kesimpulan lebih tepat, cepat dan akurat.
Secara umum ada beberapa cara penyajian data statistic yang sering
digunakan yaitu, tabel, grafik, dan diagram. Penyajian data berbentuk tabel terdiri
atas : table biasa, table kontigensi, dan table distribusi frekuensi. Penyajian data
berbentuk grafik terdiri atas : grafik histogram, polygon, dan ogive. Penyajian data
berbentuk diagram terdiri atas : diagram batang, diagram garis, diagram lambang,
diagram lingkaran dan pastel, diagram peta, diagram pencar, dan diagram
campuran.

23
BAB III
DISTRIBUSI FREKUENSI & APLIKASI PADA DATA
PENELITIAN
1. PENGERTIAN DAN TUJUAN DISTRIBUSI FREKUENSI
1.1 Pengertian Distribusi Frekuensi
Definisi distribusi frekuensi menurut paraahli:
- Distribusi Frekuensi adalah penyusunan data dalam kelas-kelas interval
.(Kuswanto,2006)
- Distribusi Frekuensi adalah membuat uraian dari suatu hasil penelitian dan
menyajikan hasil penelitian tersebut dalam bentuk yang baik, yakni bentuk
stastistik popular yang sederhana sehingga kita dapat lebih mudah mendapat
gambaran tentang situasi hasil penelitian. (Djarwanto,1982)
- Distribusi Frekuensi atau Tabel Frekuensi adalah suatu tabel yang banyaknya
kejadian atau frekuensi (cases) didistribusikan ke dalam kelompok-kelompok
(kelas-kelas) yang berbeda. (Budiyuwono,1987)
Sehingga bisa disimpulkan bahwa distribusi frekuensi adalah
penyusunan data kedalam kelas-kelas tertentu, dimana setiap individu
hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja. Dalam suatu
penelitian, biasanya juga akan dilakukan pengumpulan data. Salah satu cara
untuk mengatur atau menyusun data adalah dengan mengelompokan data-data
berdasarkan ciri-ciri penting dari sejumlah data kedalam beberapa kelas dan
kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam setiap kelas.
1.2 Tujuan Distribusi Frekuensi
Tujuan distribusi frekuensi, yaitu :
 Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai
bahan informasi.
 Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.
2. MACAM-MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI
2.1 Ditinjau dari jenisnya

24
a. Distribusi Frekuensi Numerikal
Distribusi frekuensi numeric aladalah pengelompokan data berdasarkan
angka-angka dan biasanya disajikan dengan grafik histogram.Misalnya
data tunggal.
b. Distribusi Frtekuensi Kategorikal / Kategoris
Distribusi frekuensi kategori adalah pengelompokan data berdasarkan
kategori-kategori tertentu, biasanya distribusi frekuensi disajikan dengan
grafik batang, lingkaran, dan gambar. Misalnya data berkelompok.
2.2. Ditinjau dari nyatatidaknyafrekuensi
a. Distribusi frekuensi absolut
Distribusi frekuensi absolute adalah suatu jumlah bilangan yang
menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi ini
disusun berdasarkan data apa adanya, sehingga tidak menyulitkan peneliti
dalam membuat distribusi ini
b. Distribusi frekuensi relatif
Distribusi frekuensi relative adalah suatu jumlah presentase yang
dinyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Dalam hal ini
pembuat distribusi terlebih dahulu harus dapat menghitung persentase
pada masing-masing kelompok. Distribusi akan memberikan informasi
yang lebih jelas tentang posisi masing-masing bagian dalam keseluruhan,
karena kita dapat melihat perbandingan antara kelompok yang satudengan
kelompok yang lainnya. Walaupun demikian, kita masih belum
memperoleh gambaran yang jelas tentang penyebab adanya perbedaan
tersebut.. Berikut adalah rumus mencari distribusi frekuensi relatif:
frekuensirelatif =
𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠
𝑛
×100
2.3. Ditinjau dari kesatuannya:
a. Distribusi frekuensi satuan
Distribusi frekuensi satuan adalah frekuensi yang menunjukan berapa
banyak data pada kelompok tertentu.
b. Distribusi frekuensi kumulatif
Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang
menunjukan jumlah frekuensi pada sekelompok nilai tertentu mulai dari

25
kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut. Frekuensi kumulatif
dibagi menjadi dua, yaitu kurang dari dan lebih dari.
3. BAGIAN-BAGIAN DISTRIBUSI FREKUENSI
1. Class (Kelas)
Kelas adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai
tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. Batas kelas (Class
Limit) adalah nilai batas dari pada tiap kelas dalam sebuah distribusi, terbagi
menjadi dua, yaitu:
a. stated class limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi
frekuensi, terdiri dari Lower Class Limit (batas bawah kelas) dan upper
class limit (batas atas kelas).
b. class boundaries (tepikelas) adalah batas kelas yang sebenarnya, terdiri
dari lower class boundary (batas bawah kelas yang sebenarnya) dan
upper class boundary (batas atas kelas yang sebenarnya).
2. Class interval / panjang kelas merupakan lebar dari sebuah kelas dan dihitung
dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.
3. Mid point / class mark / titik tengah merupakan rata-rata hitung dari kedua
batas kelas nya atau tepi kelasnya.
4. LANGKAH-LANGKAH MENYUSUN DISTRIBUSI FREKUENSI
1. Urutkan data terlebih dahulu
2. Menentukan Range (Jangkauan) :didapat dari nilai yang terbesar dikurangi
nilai yang terkecil.
R = Xmax – X min
3. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan rumus Sturgess.
K = 1 + 3,3 logn
dimana K = Banyak nya kelas dan n = Jumlah Data.
4. Menentukan Interval Kelas :
I =
𝑅
𝐾
5. Menentukan batas kelas :

26
Tbk = Bbk – 0,5
Tak = Bak + 0,5
Panjang interval kelas = Tak – Tbk
Keterangan : Tbk = tepi bawah kelas
Tak = tepi atas kelas
Bbk = batas bawah kelas
Bak = batas atas kelas
6. Menentukan titik tengahnya.
7. Memasukkan data kedalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem
turus/tally.
Menyajikan distribusi frekuensi : isi kolom frekuensi sesuai dengan kolom Tally
atau Turus.
Contoh :
Diberikan data mentah tentang gaji bulanan 50 pegawai honorer dalam ribuan
rupiah.
138 164 150 132 144 125 149 157 118 124
144 152 148 136 147 140 158 146 128 135
168 165 126 154 138 118 178 163 137 143
135 140 153 135 147 142 173 146 146 150
142 150 135 156 145 145 161 128 155 162
Dari data diatas, buatlah daftar distribusi frekuensi dari gaji tersebut.
Untuk menjawab soal diatas, langkah – langkah yang perlu dilakukan adalah
sebagai berikut.
1. Menentukan Range (R).
Range dapat diartikan sebagai jarak antara data terkecil sampai terbesar atau
selisih antara data terbesar sampai terkecil. Dari contoh diatas :

27
2. Menentukan Jumlah Kelas (k).
Interval atau panjang kelas adalah bebas, kelas dapat berinterval 3, 5, 10,
dsb.
Cara menentukan jumlah kelas (k) yang paling sederhana adalah dengan
Rumus :
Jumlah Kelas (k) = Range (R) : Interval kelas
Ada cara lain untuk menentukan jumlah kelas, yaitu dengan rumus
STURGES, yang formulasinya sebagai berikut :
Jumlah kelas (k) = 1 + 3,3 log n
Dimana : n = jumlah data yang dimiliki
Sehingga, dari contoh diatas diperoleh :
3. Menentukan kelas.
Dalam menentukan kelas, diharapkan semua data yang ada dapat masuk
keseluruhan. Data terkecil harus masuk pada kelas pertama, dan data terbesar dapat
masuk pada kelas terakhir.Dari persoalan diatas, dapat dibuat interval – interval
kelas sebagai berikut.
Range (R) = Data terbesar – data terkecil
= 178 – 118
= 60
Dari contoh di atas, jika interval kelas adalah 9,
maka jumlah kelasadalah : 60 : 9 = 6,67 » 7
(dibulatkan).
k = 1 + 3,3 log 50 = 1 + 3,3 (1,699) = 6,607 dibulatkan 7 kelas
Maka interval kelas (i) = R : k = 60 : 7 = 8,57 dibulatkan menjadi 9

28
Kelas I = dimulai dengan 118, mengingat panjang kelas = 9 maka :
Kelas II = dimulai dengan 127
Kelas III = dimulai dengan 136
Kelas IV = dimulai dengan 145
Kelas V = dimulai dengan 154
Kelas VI = dimulai dengan 163
Kelas VII = dimulai dengan 172
4. Menghitung Frekuensi Kelas.
Frekuensi tiap – tiap kelas diartikan sebagai jumlah dari data – data yang
sudah dimasukkan kedalam masing – masing kelas.Selanjutnya semua data
pengamatan pada masing – masing kelas dihitung dengan menggunakan sistem
Tally (tanda : ////). Frekuensi kelas adalah jumlah dari tanda yang diperoleh. Jika
semua langkah dipenuhi, maka dari soal diatas dapat dibuat table distribusi
frekuensi sebagai berikut.
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI GAJI BULANAN
50 PEGAWAI HONORER
KELAS
GAJI
( DalamRibuan )
TALLY FREKUENSI
I
II
III
IV
V
VI
VII
118 – 126
127 – 135
136 – 144
145 – 153
154 – 162
163 - 171
172 - 180
////
//// //
//// //// /
//// //// ////
//// //
////
//
5
7
11
14
7
4
2

29
TOTAL 50
Jika frekuensi dinyatakan dalam persentasi terhadap total frekuensi, maka
table tersebut dinamakan table frekuensi relatif. Jumlah frekuensi dari semua nilai
yang lebih kecil dari limit atas dari suatu interval kelassampai dengan dan termasuk
kelas yang bersangkutan disebut frekuensi kumulatif. Jika frekuensi kumulatif
dinyatakan dalam bentuk hasil pembagiannya dengan total frekuensi disebut
frekuensi kumulatif relatif.
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI, FREKUENSI RELATIF,
FREKUENSI KUMULATIF DAN FREKUENSI KUMULATIF RELATIF
GAJI BULANAN 50 PEGAWAI HONORER
KELAS
GAJI
(Ribuan )
FREKUENSI
FREKUENSI
KUMULATIF
FREKUENSI
RELATIF
( % )
FREKUENSI
KUMULATIF
RELATIF
(%)
I
II
III
IV
V
VI
VII
118 – 126
127 – 135
136 – 144
145 – 153
154 – 162
163 - 171
172 - 180
5
7
11
14
7
4
2
0
12
23
37
44
48
50
10
14
22
28
14
8
4
0
24
46
74
88
96
100
TOTAL 50 100

30
Contoh :
DAFTAR HASIL MID SEMESTER
KELAS XII IPA 3 SMAN 1 TANJUNG RAJA
NILAI BATAS
KELAS
FREKUENSI
18-27 17,5 - 27,5 2
28-37 27,5 – 37,5 5
38-47 37,5 – 47,5 7
48-57 47,5 – 57,5 7
58-67 57,5 – 67,5 3
68-77 67,5 – 77,5 7
78-87 77,5 – 87,5 3
34
(sumber :makalah statistic tahun 2014)
DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF KURANG DARI
NILAI Batas Kelas FrekuensiKumulatif≤ PersenKumulatif
≤ 𝟏𝟕, 𝟓 0 0
18-27 ≤ 27,5 2 5,8
28-37 ≤ 37,5 7 20,5
38-47 ≤ 47,5 14 41,1
48-57 ≤ 57,5 21 61,7
58-67 ≤ 67,5 24 70,5
68-77 ≤ 77,5 31 91,1
78-87 ≤ 87,5 34 100

31
Berikut ogif kumulatif kurang dari untuk nilai MID semester Matemtika kelas XII
IPA 3 SMA Tanjung Raja yang diambil dari tabel distribusi frekuensi ditambah
satu kolom frekuensi menurun dengan menggunakan batas kelas.
DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI
NILAI Batas Kelas FrekuensiKumulatif≤ PersenKumulatif
18-27 ≥ 𝟏𝟕, 𝟓 34 100
28-37 ≥27,5 31 91,1
38-47 ≥ 37,5 24 70,5
48-57 ≥ 47,5 21 61,7
58-67 ≥ 57,5 14 41,1
68-77 ≥ 67,5 7 20,5
78-87 ≥ 77,5 2 5,8
≥ 87,5 0 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5
OGIF FREKUENSI KUMULATIF ≤
OGIF FREKUENSI
KUMULATIF ≤

32
Berikut ogif kumulatif lebih dari untuk nilai MID semester Matemtika kelas XII
IPA 3 SMA Tanjung Raja Raja yang diambil dari table distribusi frekuensi
ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan menggunakan batas kelas.
OGIF KUMULATIF
0
5
10
15
20
25
30
35
40
17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5
OGIF FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI
DARI
OGIF FREKUENSI
KUMULATIF LEBIH DARI
DARI
0
5
10
15
20
25
30
35
40
17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5
Ogif kurang dari
Ogif lebih dari

33
KESIMPULAN
Distribusi Frekuensi adalah penyusunanan data kedalam kelas-kelas tertentu
dimana setiap individu hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja.
Tujuan distribusi frekuensi, yaitu : memudahkan dalam penyajian data, mudah
dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi, memudahkan dalam
menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.
Adapun macam-macam distribusi frekuensi, dapat ditinjau dari jenisnya,
nyata tidaknya frekuensi dan kesatuannya. Dari jenisnya terdapat distribusi
frekuensi numerical dan katagorikal, dari nyata tidaknya frekuensi terdapat
distribusi frekuensi absolute dan relatif, sedangkan ditinjau dari kesatuannya
terdapat distribusi frekuensi satuan dan kumulatif. Bagian-bagian distribusi
frekuensi diantaranya terdapat kelas, interval kelas dan titik tengah.

34
BAB IV
UKURAN PEMUSATAN DAN UKURAN PENYEBARAN
A. Pengertian Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan
gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga
mewakili seluruh data.
B. Macam – macam Ukuran Pemusatan
1. Untuk Data Tunggal
a. Rata-rata
Rata- rata dapat dibedakan menjadi rata-rata hitung, rata-rata ukur,
dan rata-rata harmonik.
 Rata-rata Hitung
Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengan cara
menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan
banyaknya data. Rata-rata hitung dari data tunggal, dapat
dirumuskan :
x̅ =
∑ xi
n
i=1
∑fi
Keterangan :
x̅ = rata-rata
∑ xi
n
i=1 = jumlah seluruh data
fi = banyaknya data
Contoh
Tentukan nilai rata-rata mata pelajaran matematika bimbingan belajar kelas
spesial yang terdiri dari 10 siswa dengan nilai 65, 73, 85, 70, 75, 90, 93, 80,
65, 73
Jawab:
X̅ =
∑ xi
n
i=1
∑ fi

35
=
65+65+70+73+73+75+80+85+90∓93
10
=
769
10
= 76,9
Jadi nilai rata-rata mata pelajaran matematika bimbingan
belajar kelas spesial yang terdiri dari 10 siswa adalah 76,9
 Rata-rata Ukur
Untuk data tunggal, rata-rata ukur disimbolkan dengan G
dirumuskan dengan:
G = √( 𝑥1 )( 𝑥2) … (𝑥 𝑛)𝑛
G = rataan ukur
atau n = banyaknya
data
Log(G) =
∑ log(xi)
n
xi = data ke-i
Contoh
Hitunglah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8
Jawab:
G = √(2)(4)(8)3
Log(G) =
log(2)+log(4)+log(8)
3
G = √64
3
atau Log(G) =
log(2)+log(22)+log(23)
3
G = 4 Log(G) = log(4)
G = 4
Jadi rata-rata nilai ukur yang didapatkan adalah 4
 Rata-rata Harmonis
Untuk data tunggal, rata-rata harmonis disimbolkan dengan G
dirumuskan dengan:

36
H =
n
∑
1
xi
n
i=1
Keterangan :
H = rataan harmonis
n = banyaknya data
xi= data ke-i
Contoh
Nilai ulangan harian 4 orang siswa adalah 70, 75, 78, 80.
Tentukanlah rata-rata harmonisnya !
Jawab :
H =
n
∑
1
xi
n
i=1
H =
4
1
70
+
1
75
+
1
78
+
1
80
H =
4
0,0142+ 0,0133+ 0,0128 + 0,0125
H =
4
0,0528
H = 75,75
Jadi nilai rata-rata harmonisnya adalah 75,75
b. Median
Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan
(disusun) dari data terkecil sampai data terbesar
 Rumus untuk data yang berjumlah ganjil

37
𝑀𝑒 = 𝑥(
𝑛+1
2
)
 Rumus untuk data yang berjumlah genap
𝑀𝑒 =
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥(
𝑛
2
+1)
2
Contoh
1. Diketahui data sebagai berikut 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50.
Tentukan median dari data tersebut !
Jawab:
Data diurutkan menjadi : 35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90
Jumlah data adalah 9, berjumlah ganjil. Jadi menggunakan
rumus mencari median untuk data berjumlah ganjil.
𝑀𝑒 = 𝑥(
𝑛+1
2
)
𝑀𝑒 = 𝑥(
9+1
2
)
𝑀𝑒 = 𝑥5
𝑀𝑒 = 65
Jadi median dari data tersebut adalah 65
2. Diketahui data sebagai berikut 3, 2, 5, 2, 4, 6, 6, 7, 9, 6.
Tentukan median dari data tersebut !
Jawab :
Data diurutkan menjadi : 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9.
Jumlah data adalah 10, berjumlah genap. Jadi menggunakan
rumus mencari median untuk data berjumlah genap.
𝑀𝑒 =
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥(
𝑛
2
+1)
2

38
𝑀𝑒 =
𝑥10
2
+ 𝑥(
10
2
+1)
2
𝑀𝑒 =
𝑥5 + 𝑥6
2
𝑀𝑒 =
5 + 6
2
𝑀𝑒 =
11
2
𝑀𝑒 = 5,5
Jadi median untuk data tersebut adalah 5,5
c. Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul atau nilai data
yang frekuensinya paling besar.
Data yang belum dikelompokkan bisa memiliki satu modus,
dua modus, atau mungkin tidak mempunyai modus. Data yang
memiliki satu modus disebut monomodus, sedangkan data yang
memiliki dua modus disebut bimodus.
Contoh
Tetukan modus dari data berikut ini 5, 7, 7, 6, 8, 6, 6, 5, 8, 6
Jawab :
Data diurutkan menjadi : 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8
Mo = 6 karena nilai 6 muncul sebanyak 4 kali
Jadi modus dari data tersebut adalah 6
2. Untuk Data Berkelompok
a. Rata-rata

39
 Rata-rata Hitung
Rumus rata-rata hitung untuk data berkelompok
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
𝑛
1
Contoh
Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang
siswa. Tentukanlah rata-rata hitung nya!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
6
2
7
8
20
4
3
Jumlah 50
Jawab :
Untuk mencari rata-rata hitung , perlu ditambahkan nilai tengah
Nilai xi fi xi fi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
55
62
69
76
83
90
97
6
2
7
8
20
4
3
330
124
483
608
1660
360
291
Jumlah 50 3856

40
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
𝑛
1
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖
7
𝑖=1 𝑥𝑖
∑ 𝑓𝑖
7
1
𝑥̅ =
3856
50
𝑥̅ = 77,12
Jadi nilai rata-rata hitung dari nilai matematika dari 50
orang siswa adalah 77,12
 Rata-rata Ukur
Rata-rata ukur disimbolkan dengan G. Untuk data berkelompok
dirumuskan dengan:
𝐿𝑜𝑔 𝐺 =
∑( 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖)
∑ 𝑓𝑖
Contoh
siswa. Tentukanlah rata-rata ukur nya!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Jawab :
Nilai fi xi Log xi fi log xi

41
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
55
62
69
76
83
90
97
1,7403
1,7924
1,8388
1,8808
1,9190
1,9542
1,9868
3,4806
10,7544
12,8716
37,6160
15,3520
7,8168
5,9601
Jumlah 50 93,8515
𝐿𝑜𝑔 𝐺 =
∑( 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖)
∑ 𝑓𝑖
𝐿𝑜𝑔 𝐺 =
93,8515
50
𝐿𝑜𝑔 𝐺 = 1,8770
𝐺 = 75,4
Jadi nilai rata-rata ukur dari nilai matematika dari 50 orang
siswa adalah 75,4
 Rata-rata Harmonis
Rata-rata ukur disimbolkan dengan H. Untuk data berkelompok
dirumuskan dengan:
𝐻̂ =
𝑛
∑
𝑓𝑖
𝑥𝑖
Contoh
siswa. Tentukanlah rata-rata harmonis nya!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
2
6
7
20

42
80 – 86
87 – 93
94 – 100
8
4
3
Jumlah 50
Jawab :
Nilai fi xi fi / xi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
55
62
69
76
83
90
97
0,1361
0,0968
0,1014
0,2631
0,0964
0,0444
0,0309
Jumlah 50 0,6694
𝐻̂ =
𝑛
∑
𝑓𝑖
𝑥𝑖
𝐻̂ =
50
0,6694
𝐻̂ = 74,69
Jadi nilai rata-rata harmonis dari nilai matematika dari 50
orang siswa adalah 74,69
b. Median
Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan
(disusun) dari data terkecil sampai data terbesar.
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 (
1
2
𝑛 − 𝐹
𝑓
)

43
Keterangan
b = batas bawah kelas median
p = panjang kelas
n = banyaknya data
F= jumlah frekuensi sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
Contoh
Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa.
Tentukanlah median dari data terebut
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Jawab :
Jumlah data (n) = 50
Median terlatak pada kelas 73-79
b =
72+73
2
= 72,5
p = 7
F = (2+6+7) = 15
f = 20
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 (
1
2
𝑛 − 𝐹
𝑓
)

44
𝑀𝑒 = 72,5 + 7 (
1
2
50 − 15
20
)
𝑀𝑒 = 72,5 + 7 (0,5)
𝑀𝑒 = 76
Jadi nilai modus dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah
76
c. Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul atau nilai data
yang frekuensinya paling besar.
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝
𝑏1
𝑏1+𝑏2
Keterangan :
Mo = Modus
b = batas bawah kelas modus
p = panjang kelas
𝑏1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya
𝑏2= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya
Contoh
Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa.
Tentukanlah modus dari data terebut!
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
2
6
7
20
8

45
87 – 93
94 – 100
4
3
Jumlah 50
Jawab :
Frekuensi terbanyak terlatak pada kelas 73-79, berarti
modusnya terletak pada kelas 73-79.
b =
72+73
2
= 72,5
p = 7
𝑏1 = 20 – 7 = 13
𝑏2= 20-8 = 12
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝
𝑏1
𝑏1+𝑏2
𝑀𝑜 = 72,5 + 7
13
13 + 12
𝑀𝑜 = 72,5 + 3,64
𝑀𝑜 = 76,14
Jadi nilai modus dari nilai matematika dari 50 orang siswa
adalah 76,14
II. Ukuran Letak
A. Macam – macam Ukuran Letak
1. Untuk Data Tunggal
a. Kuartil (Q)
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data
menjadi empat bagian yang sama besar.
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 =
𝑛 + 1
4
2( 𝑛 + 1)
4

46
3( 𝑛 + 1)
4
Contoh
Diketahui data sebagai berikut 2, 4, 3, 3, 6, 5, 9 . tentukan 𝑄1, 𝑄2 , 𝑄3
!
Jawab :
Data diurutkan menjadi 2, 3, 3, 4, 5, 6, 9
 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 =
𝑛+1
4
7 + 1
4
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 2
Artinya 𝑄1 terletak pada data ke-2 dari data yang sudah
diurutkan, yaitu 3
2( 𝑛+1)
4
2(7 + 1)
4
diurutkan, yaitu 4
3( 𝑛+1)
4
3(7 + 1)
4
diurutkan, yaitu 6
b. Desil
Desil merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi 10 bagian
sama banyak
𝐷𝑖 =
𝑖
10
( 𝑛 + 1)

47
Contoh
Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7. Tentukan D7
Jawab :
Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9.
𝐷𝑖 =
𝑖
10
( 𝑛 + 1)
𝐷7 =
7
10
(10 + 1)
𝐷7 = 7,7
Artinya letak nilai D7 antara data ke 7 dan 8
Besar nilai D7 = 7 + 0,7 (7-7)
Besar nilai D7 = 7
c. Persentil
Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian
sama setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar
𝑃𝑖 =
𝑖
100
( 𝑛 + 1)
Contoh
Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7. Tentukan P20
Jawab :
Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9.
𝑃𝑖 =
𝑖
100
( 𝑛 + 1)
𝑃20 =
20
100
(10 + 1)
𝑃20 = 2,2
Artinya letak nilai P20 antara data ke 2 dan 3
Besar nilai P20 = 4 + 0,2 ( 4-4 )
Besar nilai P20 = 4
2. Untuk Data Berkelompok
a. Kuartil (Q)
𝑄1 = 𝑏 + 𝑝
1
4
𝑛 − 𝐹
𝑓

48
𝑄2 = 𝑏 + 𝑝
1
2
𝑛 − 𝐹
𝑓
𝑄3 = 𝑏 + 𝑝
3
4
𝑛 − 𝐹
𝑓
Keterangan :
b = tepi bawah kelas
p = panjang kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas Q
f = frekuensi sebelum kelas Q
n = jumlah data
Contoh
Tentukan 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3 dari data berikut !
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
 𝑄1 = 𝑏 + 𝑝
1
4
𝑛−𝐹
𝑓
𝑄1 = 65,5 + 7
1
4
50 − 8
7
𝑄1 = 65,5 + 5,5
𝑄1 = 70
 𝑄2 = 𝑏 + 𝑝
1
2
𝑛−𝐹
𝑓

49
𝑄2 = 72,5+ 7
1
2
50 − 15
20
𝑄2 = 72,5+ 3,5
𝑄2 = 76
 𝑄3 = 𝑏 + 𝑝
3
4
𝑛−𝐹
𝑓
𝑄3 = 79,5+ 7
3
4
50 − 35
8
𝑄3 = 79,5+ 2,2
𝑄3 = 81,7
b. Desil (D)
Untuk data berkelompok, desil dirumuskan
𝐷𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝 [
𝑖
10
𝑛 − 𝐹
𝑓𝐷1
]
Keterangan
i = 1,2,3,....9
Bb = batas bawah kelas interval yang mengandung Di
p = panjang kelas
n = banyak data
F = Frekuensi kumulatif seebelum Di
𝑓𝐷1
= Frekuensi kelas interval yang mengandung Di
c. Persentil (P)
Untuk data berkelompok, persentil dirumuskan
𝑃𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝[
𝑖
100
𝑛 − 𝐹
𝑓𝐷1
]

50
Keterangan
i = 1,2,3,....9
Bb = batas bawah kelas interval yang mengandung Pi
p = panjang kelas
n = banyak data
F = Frekuensi kumulatif seebelum Pi
𝑓𝐷1
= Frekuensi kelas interval yang mengandung Pi
Contoh
Perhatikan data berkelompok berikut , hitunglah P10
Nilai Frekuensi
52 – 58
59 – 65
66 – 72
73 – 79
80 – 86
87 – 93
94 – 100
2
6
7
20
8
4
3
Jumlah 50
Jawab
𝑃𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝 [
𝑖
100
𝑛 − 𝐹
𝑓𝐷1
]
𝑃10 = 58,5 + 7[
10
100
50 − 2
6
]
𝑃10 = 58,5 + 3,5
𝑃10 = 62
Jadi P10 dari data diatas adalah 62
III. Ukuran Penyebaran

51
A. Pengertian Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar
nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau
seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.
B. Macam – macam Ukuran Penyebaran
1. Rentangan ( Range )
𝑹 = 𝑿 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿 𝒎𝒊𝒏
Keterangan
R = Rentangan (R)
Xmax = Nilai data terbesar
Xmin = Nilai data terkecil
2. Rentangan antar kuartil
𝑹𝑨𝑲 = 𝑸 𝟑 − 𝑸 𝟏
Keterangan
RAK = Rentangan antar kuartil
Q3 = kuartil ke 3
Q1 = kuartil ke 1
3. Simpangan Rata-rata
𝑺𝑹 =
∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅|𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
Keterangan
SR = Simpangan rata-rata
x𝑖 = Data ke-i
𝑥̅ = Rataan hitung
n = Banyak data
4. Simpangan Baku
a. Untuk Data Tunggal
𝑺 = √
∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝑺 = √
∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝒏 − 𝟏

52
Keterangan
s = Simpangan baku
xi = data ke-i
n = jumlah data
b. Untuk data Berkelompok
𝑺 = √
∑ 𝒇𝒊 𝒙𝒊
𝟐
−
(∑ 𝒇𝒊 𝒙𝒊) 𝟐
∑ 𝒇𝒊
∑ 𝒇𝒊
−𝟏
Keterangan
s = Simpangan baku
𝑓𝑖 = Frekuensi ke-i
𝑥̅ = Rata-rata
xi = Titik tengah data ke-i
5. Varians
𝑺 𝟐
=
∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
6. Angka Baku
Angka baku adalah perubahan yang dipergunakan untuk
membandingkan dua buah keadaan atau lebih.
𝒁 =
𝒙 − 𝒙̅
𝑺
Keterangan
Z = Angka baku
xi = data ke-i
𝑥̅ = rata-rata
s = simpangan baku
Contoh
Diketahui nilai ujian semester statistika kelas IV sebagai berikut

53
90, 80, 70, 90, 70, 100, 80, 50, 75, 70
Tentukan :
a. R
b. SR
c. Simpangan baku
Jawab :
a. Data diurutkan terlebih dahulu
50, 70, 70, 70, 75, 80, 80, 90, 90, 100
Berdasarkan data diatas, bahwa nilai terbesarnya adalah 100
sedangkan nilai terkecil adalah 50.
𝑹 = 𝑿 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿 𝒎𝒊𝒏
𝑹 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎
𝑹 = 𝟓𝟎
Jadi, rentangan nilai ujian semester statistika kelas IV adalah 50.
b. Untuk mempermudah mencari simpangan rata-rata, digunakan
tabel
Nilai Ujian Semester Statistika kelas IV
Nilai (xi) Rata-rata (𝑥̅) |𝑥 𝑖 − 𝑥̅|
50
77,5
27,5
70 7,5
70 7,5
70 7,5
75 2,5
80 2,5
80 2,5
90 12,5
90 12,5
100 22,5
∑ 𝑥𝑖 = 775 ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅| = 105
𝑆𝑅 =
∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅|
𝑛
Jumlah data (n) = 10

54
𝑆𝑅 =
105
10
= 10,5
Jadi, simpangan rata-rata daridata diatas adalah 10,5
c. Untuk mempermudah mencari simpangan baku dan varians, kita
gunakan tabel
Untuk data populasi
Untu
k
simp
anga
n
baku
(pop
ulasi
) :
𝑠 = √
∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅|
2
𝑛
𝑠 = √
1412,5
10
= 11,8
Jadi simpangan baku nya adalah 11,
Contoh
Diketahui sebuah data ditribusi berikut (Nilai Ujian Statistika kelas XI)
Nilai (xi) Frekuensi (fi)
60-64 2
65-69 6
70-74 15
Nilai (xi) Rata-rata
(𝑥̅)
|𝑥 𝑖 − 𝑥̅| |𝑥 𝑖 − 𝑥̅|2
50
77,5
27,5 756,25
70 7,5 56,25
70 7,5 56,25
70 7,5 56,25
75 2,5 6,25
80 2,5 6,25
80 2,5 6,25
90 12,5 156,25
90 12,5 156,25
100 22,5 156,25
∑ 𝑥𝑖 = 775 ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅| = 105 ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 2
= 1412,5

55
75-79 20
80-84 16
85-89 7
90-94 4
∑ 𝑓 = 70
Tentukan
a. Simpangan rata-rata
b. Simpangan baku
Jawab:
Nilai
(xi)
Frekuensi
(fi)
T.Tengah
(x)
fi.x (|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) fi.(|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) (|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|)2
f. |𝑥 𝑖 − 𝑥̅|
60-64 2 62 124 15,64 31,28 244,6 489,2
65-69 6 67 402 10,64 63,84 113,2 679,2
70-74 15 72 1080 5,64 84,6 31,8 477
75-79 20 77 1540 0,64 12,8 0,4 8
80-84 16 82 1312 4,36 69,76 19 304
85-89 7 87 609 9,36 65,52 87,6 613,2
90-94 4 92 368 14,36 57,44 206,2 824,8
∑ 𝑓i = 70
∑ 𝑓i.x =
5435
fi.(|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) =
385,24
∑fi.|𝑥𝑖− 𝑥̅|
3395,4
Rata-rata (𝑥̅) =
∑ 𝑓𝑖𝑥
∑ 𝑓𝑖
𝑥̅ =
5435
70
= 77,6
a. Simpangan rata-rata
𝑆𝑅 =
∑ 𝑓𝑖|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|
∑ 𝑓𝑖
𝑆𝑅 =
385,24
70
= 5,5
Jadi, simpangan rata-rata dari data tersebut adalah 5,5
b. Simpangan baku
𝒔 = √
∑ 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐
∑ 𝒇𝒊

56
𝒔 = √
𝟑𝟑𝟗𝟓, 𝟒
𝟕𝟎
= 𝟔, 𝟗
Jadi, simpangan baku dari data diatas adalah 6,9

57
KESIMPULAN
Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan
gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili
seluruh data. Terdiri dari rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonis, modus
dan median.
Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar
nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa
besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Terdiri daru Rentangan,
Rentangan Antar Kuartil, Simpangan Rata-rata, Simpangan Baku, Varians dan
Angka Baku.

58
BAB V
UKURAN KERUNCINGAN
A. PENGERTIAN UKURAN KERUNCINGAN
Kurtosis (ukuran keruncingan) adalah derajat kepuncakan dari
suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal.
B. DERAJAT KERUNCINGAN DISTRIBUSIFREKUENSI
Dilihat dari segi keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat
digolongkan menjadi tiga golongan, yaitu :
1. Kurva Leptokurtik
Kurva leptokurtik adalah kurva distribusi yang sangat
runcing dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai
rata-rata. Perhatikan gambar di bawah :
Gambar Kurva Leptokurtik
2. Kurva Mesokurtik
Kurva mesokurtik adalah kurva yang kemiringannya
sedang dan merupakan penggambaran dari suatu distribusi
normal. Perhatikan gambar di bawah :

59
Gambar Kurva Mesokurtik
3. Kurva Platikurtik
Kurva platikurtik adalah kurva yang betuknya mendatar
dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh
dari rata-ratanya. Perhatikan gambar di bawah :
Gambar Kurva Platikurtik
Untuk mengetahui apakah suatu kurva distribusi merupakan
leptokurtik, mesokurtik, atau platikurtik, kita dapat menggunakan suatu
ukuran keruncingan atau koefisien kurtosis. Untuk menghitung tingkat
keruncingan suatu kurva dipergunakan rumus 𝛼4 yang di rumuskan
berikut ini :
1. Data Tidak Berkelompok

60
𝛼4 =
𝑚4
𝑆4
=
1
𝑛
∑
(𝑥𝑖 − 𝑥̅)4
𝑆4
𝑛
𝑖=1
Keterangan :
𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠
𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖
𝑥̅ = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎
𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟
2. Data Kelompok
𝛼4 =
𝑚4
𝑆4
=
1
𝑛
∑ (𝑓𝑖( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)4
)𝑛
𝑖=1
𝑆4
Keterangan :
𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠
𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖
𝑥̅ = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎
𝑓𝑖 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎
𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟
Berdasarkan koefisien kurtosisnya, jenis kurvanya dikategorikan
sebagai berikut :
1. Jika 𝛼4 > 3, kurvanya runcing (liptokurtik)
2. Jika 𝛼4 = 3, kurvanya distribusi normal (mesokurtik)
3. Jika 𝛼4 < 3, kurvanya agak datar (platikurtik)
Contoh :

61
Diketahui data kunjungan ke Perpustakaan di SMU “H” selama 100
hari adalah sebagia berikut
Kelas Frekuensi
1-5 1
6-10 7
11-15 12
16-20 20
21-25 24
26-30 16
31-35 11
36-40 6
41-45 3
Jumlah 100
Hitunglah koefisien keruncingan dan tentukan jenis kurvanya !
Jawab :
Kelas xi ci fi cifi
1-5 3 -4 1 -4
6-10 8 -3 7 -21
11-15 13 -2 12 -24
16-20 18 -1 20 -20
21-25 23 0 24 0
26-30 28 1 16 16
31-35 33 2 11 22
36-40 38 3 6 18
41-45 43 4 3 12

62
Jumlah 100 -1
Pertama tentukan rata-rata data tersebut
𝒙 𝟎 = 𝟐𝟑
P= 5
𝒄̅ =
∑ 𝒄𝒊 𝒇𝒊
∑ 𝒇𝒊
𝒄̅ =
−𝟏
𝟏𝟎𝟎
= −𝟎, 𝟎𝟏
𝒙̅ = 𝒙 𝟎 + 𝑷𝒄̅
𝒙̅ = 𝟐𝟑 + 𝟓 (−𝟎, 𝟎𝟏) = 𝟐𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟓
= 𝟐𝟐, 𝟗𝟓 (𝒅𝒊𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕𝒌𝒂𝒏 𝒎𝒆𝒏𝒋𝒂𝒅𝒊 𝟐𝟑)
Kelas xi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 fi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐
𝐟𝐢
1-5 3 -20 400 1 400
6-10 8 -15 225 7 1575
11-15 13 -10 100 12 1200
16-20 18 -5 25 20 500
21-25 23 0 0 24 0
26-30 28 5 25 16 400
31-35 33 10 100 11 1100
36-40 38 15 225 6 1350
41-45 43 20 400 3 1200
Jumlah 100 7725
𝑺 = √
𝟏
𝒏
∑( 𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 𝐟𝒊

63
𝑺 = √
𝟏
𝟏𝟎𝟎
(𝟕𝟕𝟐𝟓) = √ 𝟕𝟕, 𝟐𝟓 = 𝟖, 𝟖
Kelas xi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) fi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟒
(𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟒
𝐟𝐢
1-5 3 -20 1 160000 160000
6-10 8 -15 7 50625 354357
11-15 13 -10 12 10000 120000
16-20 18 -5 20 625 12500
21-25 23 0 24 0 0
26-30 28 5 16 625 10000
31-35 33 10 11 10000 110000
36-40 38 15 6 50625 303750
41-45 43 20 3 160000 480000
Jumlah 100 1550607
𝛼4 =
𝑚4
𝑆4
=
1
𝑛
∑ (𝑓𝑖( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)4
)𝑛
𝑖=1
𝑆4
𝛼4 =
1
100
155060607
(8,8)4
𝛼4 =
1550606,07
5996,9536
𝛼4 = 2,585 = 2,6
𝛼4 <
3 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑔𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑑𝑖𝑘𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑗𝑒𝑛𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑘𝑢𝑟𝑡𝑖𝑘.

64
Kesimpulan
Kurtosis (ukuran keruncingan) adalah derajat kepuncakan dari suatu
distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal.
Dilihat dari segi keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat
digolongkan menjadi tiga golongan, yaitu : Kurva leptokurtik adalah kurva
distribusi yang sangat runcing dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai
rata-rata. Kurva mesokurtik adalah kurva yang kemiringannya sedang dan
merupakan penggambaran dari suatu distribusi normal. Kurva platikurtik adalah
kurva yang betuknya mendatar dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata
sampai jauh dari rata-ratanya.

65
BAB VI
DISTRIBUSI BINOMIAL DAN POISSON
A. DISTRIBUSI BINOMIAL
Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa usaha,
yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan gagal.
Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap
ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil
berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah
kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan
tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu
sebasar ½.
Adapun syarat percobaan atau distribusi binomial adalah sebagai berikut:
1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat. Contoh:melambungkan koin 2 kali,
tidak mungkin 2½ kali.
2. Setiap eksperimen mempunyai duahasil. Contoh: sukses atau gagal, laki-laki atau
perempuan, sehat atau sakit.
3. Peluang sukses sama setiap ekperimen. Contoh: Jika sebuah dadu, yang
diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6,
sedang kanpeluang gagal adalah 5/6. Untuk itu peluang sukses dilambangkan p,
sedang kan peluang gagal adalah (1 - p) atau biasa juga dilambangkan q, di
manaq = 1- p.
Distribusi Binomial dirumuskan( 𝑥) = 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥) = (
𝑁
𝑥
) 𝑝 𝑥
(𝑞) 𝑁−𝑥
; dengan:
𝑁 Banyak percobaan
𝑥 Banyak kejadian sukses
𝑝 Peluang sukses
𝑞 = 1 − 𝑝 Peluang gagal
(𝑁 − 𝑥) Banyak kejadian gagal
Contoh Soal:
Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada
suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi.Hitung lah peluang dari bayi

66
tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial
ini dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2) => b (2, 4, 0,2)
Penyelesaian soal:
Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah
A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D.
Rumus untuk b (x,n,p) adalah:
B. DISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan
peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata
kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian
terakhir. Distribusi poisson ini juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada
interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume.
Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah λ, maka probabilitas
terjadi peristiwa sebanya kx kali (x adalah bilangan bulat non negatif, x = 0, 1, 2,
...)maka sama dengan
𝑃( 𝑋) = 𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
𝑒−λλ 𝑥
𝑥!
Dimana e adalah basis logaritma natural (𝑒 = 2,71828 …)
Adapun ciri-ciri dari distribusi poisson adalah sebagai berikut:
1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain.
2. Peluang terjadi nya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil (jarang
terjadi).
3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu singkat
tertentu, dapat diabaikan.

67
Contoh soal :
Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar
negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan
datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.
Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per
halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :
a) Tidak ada kesalahan ( x = 0 )
b) Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )
c) Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)
Jawab :
a) Dik : λ = 5
a. x = 0
P( x ; λ ) =
𝑒−λ
λ 𝑥
𝑥!
P( 0 ; 5 ) =
2.71828 −5
50
0!
= 0.0067
b. x ≤ 3 ; P( x ; λ ) =
𝑒−λ
λ 𝑥
𝑥!
P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)
= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )
= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404
= 0.2650 atau 26.5 %
c. X > 3 ; P( x ; λ ) =
𝑒−λ
λ 𝑥
𝑥!
P (X >3 , 5) = P( X 4, μ ) +….+p(X 15, μ)
= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau
P (X >3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ]
= 1 – [ P ( X 0, μ ) +….+ p (X 3, μ) ]
= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ]
= 1 – [ 0.2650 ]
= 73.5 %

68
KESIMPULAN
Probabilitas dapat membantu kita dalam mengambil keputusan. Misalnya
seperti memperkirakan mana yang lebih banyak peluang gagal atau sukses dari sebuah
usaha yang dilakukan.
Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa
usaha, yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan
gagal. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli
(Bernoulli trial)
Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan
peluang
Jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian
tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir

69
BAB VII
DISTRIBUSI NORMAL
I. Pengertian Distribusi Normal
Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoritis dan variabel random
kontinu. Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama
pengembangnya, yaitu Karl Gauss
II. Ciri-ciri Distribusi Normal
a. Berbentuk lonceng simetris terhadap 𝑥 = 𝜇.
Keterangan
𝜋 = nilai konstan yaitu = 3,1416
e = nilai konstan yaitu = 2,7183
𝜇 = parameter yang merupakan rata-rata distribusi
𝜎 = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi
(Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:106).
Jika x mempunyai bentuk −∞ < 𝑥 < ∞, maka disebut variabel acak
X berdistribusi normal. Rumus di atas dapat digambarkan sebagai
berikut:
Kurva Normal
𝑓( 𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
𝑒
−1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)
2

70
1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu absis X.
2. Mempunyai modus, jadi kurva unimodal tercapai pada 𝑥 = 𝜇 =
0,3939
𝜎
.
3. Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu absis X dimulai
dari 𝑥 = 𝜇 + 3𝜎 ke kanan dan 𝑥 = 𝜇 − 3𝜎 ke kiri.
4. Luas daerah grafik selalu = satu unit persegi
b. Bentuk Kurva Normal
a. Normal Umum
Di mana: 𝜇 = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎
𝜎 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑘𝑢
𝜇 − 3𝜎 𝜇 − 2𝜎 𝜇 − 𝜎 𝜇 𝜇 + 𝜎 𝜇 + 2𝜎 𝜇 + 3𝜎
Kurva Normal Umum
b. Normal Baku (Standar)
Kurva Normal Baku

71
Menurut Husaini Usman dan R. Purnomo (2006:107-108), perubahan
dari bentuk normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan
langkah-langkah berikut:
1. Cari zhitung dengan rumus: 𝑧 =
𝑋̅−𝜇
𝜎
2. Gambar kurvanya.
3. Tuliskan nilai zhitung pada sumbu X di kurve di atas dan tarik garis
dari titik zhitungke atas sehingga memotong garis kurve.
4. Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara garis
tegak ke titik 0 di tengah kurve.
5. Carilah tempat nilai z dalam tabel normal.
6. Luas kurve normal = 1, karena𝜇 = 0, maka luas dari 0 ke ujung
kiri = 0,5. Luas dari 0 ke titik kanan = 0,5.
Jika z bilangan bulat, maka luas daerah (dalam %) adalah sebagai
berikut:
Gambar 4. Kurva Normal Baku dalam %
Jika z bukan bilangan bulat, maka luas daerahnya dicari dengan
menggunakan tabel kurva normal baku.
III. Cara Menggunakan Tabel Kurva Normal Baku
a. Hitung nilai z hingga dua desimal
b. Gambarkan sketsa kurvanya

72
c. Tentukan nilai z pada sumbu z, kemudian buatlah garis tegaklurus
sumbu z melaui z=0 sehingga membagi luas kura nya sama besar. Nilai
z ada 2 kemungkinan yaitu positif dan negatif.
d. Luas yang tertera dalam daftar F adalah luas daerah antara garis yang
tegaklurus sumbu Z melalui titik z = 0 dan lengkungan kura.
e. Dalam daftar F , dibawah kolom Z, carilah nilai Z sampaidengan 1
desimal sedangkan desimal yang kedua didapat pada baris paling atas
f. Dari nilai daerah desimal yang terdapat pada kolom paling kiri
ditelusuri, maju ke kanan dan dari nilai z di baris atas ditelusuri turub ke
bawah sehingga seolah-olah bertemu di titik koordinat , maka
pertemuan pada titik koordinat itulah bilangan yang merupakan luas
yang dicari.
Misalkan z = 0,23
Akan diperoleh antara z- 0,23 luas daerahnya sama dengan 0,0910 kira-
kira sama dengan 9,1 %

73
Tabel daftar distribusi normal standar untuk 0 – Z
Contoh
Carilah luas daerah, dan gunakan Dftar F tadi. Antara z=0 dan z=1,25
Penjelasan
Pada kolom z cari 1,2 kemudian ikuti ke kanan hingga bertemu
dengan bilangan yang terdapat di bawah kolom angka 5. Bilangan yang
dimaksud adalah 0,3944.

74
Maka luas daerah yang dicari adalah daerah yang di arsir yaitu 0,3944 atau
39,44 %
IV. Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi normal
Distribusi normal memiliki rata-rata, varians, dan simpangan baku
sebagai berikut.
a. Rata-rata;
𝜇 =
∑ 𝑋
𝑛
b. Varians;
𝜎2
=
∑(𝑋 − 𝜇)2
𝑛
c. Simpangan baku;
𝜎 = √
∑(𝑋 − 𝜇)2
𝑛

75
KESIMPULAN
Distribusi normal merupakan salah satu distribusi teoritis dan variabel
random kontinu. Dimana kurvanya merupakan kurva normal. Keluarga distribusi
normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata simpangan
baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random
kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribsui normal standar.
Menghitung luas daerah kurva normal dapat menggunakan Tabel Kurva Normal
Baku.

76
BAB VIII
UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS
A. UJI NORMALITAS
Uji distribusi normal adalah uji untuk mengukur apakah data yang
didapatkan memiliki distribusi normal sehingga dapat dipakai dalam statistik
parametrik (statistik inferensial). Dengan kata lain, uji normalitas adalah uji untuk
mengetahui apakah data empirik yang didapatkan dari lapangan itu sesuai dengan
distribusi teoritik tertentu. Dalam kasus ini, distribusi normal. Dengan kata lain,
apakah data yang diperoleh berasal dari populasi yang berdistribusi normal.
Ada banyak cara untuk menguji normalitas, antara lain:
a. Uji normalitas Chi Square (Chi kuadrat)
Uji chi-kuadrat atau Chi square digunakan jika ukuran sampel 30 data atau lebih
(n ≥ 30). Metode Chi-Square atau uji goodness of fit distribution normal ini
menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas
dengan nilai yang diharapkan. Uji normalitas data dengan teknik chi-kuadrat
digunakan untuk menguji normalitas data yang disajikan secara kelompok.
Rumus :
𝑋2
= ∑
(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2
𝐸𝑖
Keterangan :
𝑋2
= 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥2
Oi = Nilai observasi
Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal
dikalikan N (total frekuensi) (pi x N)
N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi)
Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal)
a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi.
b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )
c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.
Signifikansi:

77
Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square).
Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.
Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima.
Contoh :
Diambil Data Nilai Ujian Matematika siswa kelas X SMA N 1 Bayung Lencir
Skor Frekuensi
27-33
34-40
41-47
48-54
55-61
62-68
69-75
1
9
13
15
13
11
2
Jumlah 64
Selidikilah dengan 𝛼= 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ?
(Mean = 51,77; Standar deviasi = 10,14)
Jawab :
Langkah-langkah untuk menguji normalitas dengann Chi Square:
1. Hipotesis :
Ho : Populasi nilai ujian matematika siswa berdistribusi normal
H1 : Populasi nilai ujian matematika siswa tidak berdistribusi normal
2. Nilai 𝛼
Nilai 𝛼 = level signifikansi = 5% = 0,05
3. Rumus Statistik Penguji
𝑋2 = ∑
(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2
𝐸𝑖
Kelas Interval
Batas
Kelas
Z batas
kelas
Luas Z
Tabel
Ei Oi
(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2
𝐸𝑖
27-33 26,5 -2,49 0,4936 1,89 1 0,41
34-40 33,5 -1,80 0,4641 6,25 9 1,21
41-47 40,5 -1,11 0,3665 13,04 13 0,00012
48-54 47,5 -0,42 0,1628 7,23 15 0,29
55-61 54,5 0,27 0,1064 14,41 13 0,14

78
62-66 61,5 0,96 0,3315 7,62 11 1,5
69-75 68,5 1,65 0,4505 2,55 2 0,12
75,5 2,34 0,4904
Jumlah 64 3,67
4. Derajat Bebas
Df = ( k =panjang kelas) – 3 ) = ( 7 – 3 ) = 4
5. Nilai Tabel
Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 4 ; = 9,49. Tabel X2 (Chi-Square) pada
lampiran.
6. Menentukan daerah penolakan
Menggunakan Rumus :
Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.
Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima.
Maka :
|3,67 | < |9,49| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
7. Kesimpulan
Populasi nilai ujian matematika siswa berdistribusi normal
b. Uji Liliefors
Uji Normalitas dengan uji liliefors apabila data masih disajikan secara
individu, maka uji normalitas data sebaiknya dilakukan dengan Uji Liliefors,
karena uji Liliefors jauh lebih teliti dibandingkan dengan Uji Chi-Kuadrat.
Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut.
Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam table
distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung
luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal.
Rumus:
𝑍𝑖 =
𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑠
keterangan :
Xi = data / nilai
X = rata- rata (mean)
s = standar deviasi

79
Hipotesis dari uji Liliefors:
 Ho : Sampel berdistribusi normal
 Hi : Sampel tidak berdistribusi normal
Kriteria:
 Jika Lhitung, < L tabel maka terima Ho dan tolak Hi
 Jika Lhitung, > L tabel maka tolak Ho dan terima Hi
c. Uji normalitas Kolmogorov-Smirnov
Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors.
Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada
signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov
menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode
Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.
No Xi
𝑍𝑖 =
𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑠
𝐹𝑇 Fs | 𝐹𝑇 − 𝐹𝑠|
1
2
3
4
dst
Keterangan :
Xi = Angka pada data
Z = Transformasi dari angka ke notasi
pada distribusi normal
𝐹𝑇 = Probabilitas kumulatif normal
𝐹𝑇 = Probabilitas kumulatif empiris
Persyaratan:
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

80
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.
Signifikansi:
Signifikansi uji, nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel
Kolmogorov Smirnov. Jika nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar < nilai tabel Kolmogorov
Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar > nilai
tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Kolmogorov
Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil Statistik Kolmogorov Distribusi
Normal.
Contoh :
Suatu penelitian tentang berat badan mahasiswa yang mengikuti pelatihan
kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara
random, didapatkan data sebagai berikut :
78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70,
72, 70, 69, 67, 90, 97 .
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi
yang berdistribusi normal ?
Penyelesaian:
a. Hipotesis
Ho : Populasi berat badan mahasiswa berdistribusi normal
H1 : Populasi berat badan mahasiswa tidak berdistribusi normal
b. Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
c. Statistik Penguji
No 𝑋𝑖
𝑍𝑖 =
𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑠
𝐹𝑇 Fs | 𝐹𝑇 − 𝐹𝑠|
1 67 -1,3902
0,0823 0,0741 0,0082
2 67 -1,3902
3 68 -1,2929 0,0985 0,1111 0,0126
4 69 -1,1957 0,1151 0,1481 0,0330
5 70 -1,0985 0,1357 0,2222 0,0865

81
6 70 -1,0985
7 72 -0,904
0,1841 0,2963 0,1122
8 72 -0,904
9 77 -0,4178
0,3372 0,3704 0,0332
10 77 -0,4178
11 78 -0,3205
0,3745 0,5185 0,1440
12 78 -0,3205
13 78 -0,3205
14 78 -0,3205
15 80 -0,1261 0,4483 0,5556 0,1073
16 82 0,06843 0,5279 0,5926 0,0647
17 84 0,26291 0,6025 0,6025 0,0271
18 87 0,55463 0,7088 0,7088 0,0421
19 88 0,65188 0,7422 0,7422 0,0385
20 89 0,74912 0,7734 0,7734 0,0327
21 90 0,84636
0,8023 0,8148 0,0125
22 90 0,84636
23 95 1,33256 0,9082 0,5190 0,3892
24 97 1,52704
0,9370 0,9630 0,026025 97 1,52704
26 97 1,52704
27 98 1,62429 0,7474 1,0000 0,2526
Nilai | 𝐹 𝑇 − 𝐹𝑠| tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1440
d. Derajat Bebas
Df tidak diperlukan.
e. Nilai Tabel
Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α= 0,05 ; N = 27 ; yaitu 0,254. Tabel
Kolmogorov Smirnov pada lampiran.
f. Daerah Penolakan
Menggunakan rumus
| 0,1440 | < | 0,2540| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
g. Kesimpulan
Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal dengan α = 0,05.

82
B. UJI HOMOGENITAS
Uji homogenitas merupakan uji perbedan antara dua atau lebih populasi.
Semua karakteristik populasi dapat bervariasi antara satu populasi dengan yang
lain. Dua di antaranya adalah mean dan varian (selain itu masih ada bentuk
distribusi, median, modus, range, dll).
Uji homogenitas bertujuan untuk mengetahui apakah varians skor yang
diukur pada kedua sampel memiliki varians yang sama atau tidak. Populasi-
populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi dengan varians yang
homogen, sedangkan populasi-populasi dengan varians yang tidak sama besar
dinamakan populasi dengan varians yang heterogen.
Menguji Homogenitas Varians Populasi
Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B berikut ini:
No
Nilai
KelasA KelasB
1 5 5
2 6 5
3 9 9
4 8 6
5 10 10
6 9 6
7 8 9
8 9 9
9 9 9
10 10 10
11 10 10
12 8 8
13 10 10
14 6 2
15 7 6
16 9 10
17 9 9
18 8 10
19 9 9
20 10 10
21 9 10
22 10 10
23 9 10
24 7 6
25 8 10
26 9 10
27 10 9
28 5 3
29 8 8
30 9 9
31 10 10
32 7 6
33 6 4
34 8 3
35 8 8

83
Untuk melakukan uji homogenitas data tersebut.Ada dua macam uji
homogenitas untuk menguji kehomogenan dua atau lebih variansi yaitu :
1. Uji Bartlett
Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama
maupun tidak sama (n yang sama maupun n yang berbeda) untuk tiap
kelompok.
Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata, dimisalkan populasinya
mempunyai varians yang homogen, yaitu 𝜎1
2
= 𝜎2
2
= ⋯ = 𝜎𝑘
2
. Demikian
untuk menguji kesamaan dua rata-rata, telah dimisalkan 𝜎1
2
= 𝜎2
2
, akan
diuraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k buah (k≥2) buah
populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan
varians 𝜎1
2
, 𝜎1
2
,… , 𝜎𝑘
2
. Akan diuji hipotesis :
{
H0 ∶ 𝜎1
2
= 𝜎2
2
= ⋯ = 𝜎𝑘
2
H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku
Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap
populasi.Metode yang akan digunakan untuk melakukan pengujian ini
adalah dengan uji Bartlett. Kita misalkan masing-masing sampel
berukuran n1 ,n1 , …, n𝑘 dengan data Y𝑖𝑗 (𝑖 = 1,2, …, 𝑘𝑑𝑎𝑛𝑗 = 1,2, … , n𝑘 )
dan hasil pengamatan telah disusun dalam daftar :
selanjutnya, dari sampel-sampel itu akan kita hitung variansnya masing-
masing adalah 𝑠1
2
= 𝑠2
2
= ⋯ = 𝑠 𝑘
2
.
Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji
Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar seperti :
Sampel
ke
dk 1
𝑑𝑘
𝑠1
2
Log 𝑠1
2
(dk) log 𝑠1
2
DARI POPULASI KE
1 2 … k
Data hasil
pengamatan
Y11 Y21 …. Y 𝑘1
Y12 Y22 …. Y 𝑘2
… … …
Y1𝑛1
Y2𝑛2
…. Y 𝑘𝑛 𝑘

84
1
2
.
.
.
k
n1 − 1
𝑛2 − 1
.
.
n𝑘 − 1
1
(n1
− 1)
1
(n2
− 1
1
(n 𝑘
− 1)
𝑠1
2
𝑠2
2
.
.
.
𝑠 𝑘
2
Log 𝑠1
2
Log 𝑠2
2
.
.
Log 𝑠 𝑘
2
(n1
− 1)Log 𝑠1
2
(n2
− 1)Log 𝑠 𝑘
2
.
.
.
(n 𝑘
− 1)Log 𝑠 𝑘
2
jumlah ∑ n𝑘 − 1 ∑
1
(n 𝑘
− 1)
… … ∑(n 𝑘
− 1)Log 𝑠 𝑘
2
Dari daftar ini kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni :
𝑠2
=
(∑( 𝑛1 − 1) 𝑠𝑖
2)
∑( 𝑛𝑖 − 1)
Harga satuan B dengan rumus :
𝐵 = (log 𝑠2
) ∑( 𝑛𝑖 − 1)
Untuk uji Bartlet digunakan statistik chi-kuadrat.
𝑥2
= (ln10){𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖
2
}
Dengan ln 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10.
Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis 𝐻0 jika 𝑥2
≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1)
2
,
dimana 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1)
2
didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan
peluang (1-α) dan dk = ( k-1).
Jika harga 𝑥2
yang dihitung dengan rumus di atas ada di atas harga 𝑥2
dari
daftar dan cukup dekat kepada harga tersebut, biasanya dilakukan koreksi
terhadap rumus dengan menggunakan faktor koreksi K sebagai berikut :
𝐾 = 1 +
1
3(𝑘 − 1)
{∑ (
1
𝑛𝑖 − 1
) −
1
∑ 𝑛𝑖 − 1
𝑘
𝑖=1
}

85
Dengan faktor koreksi ini, statistik 𝑥2
yang dipakai sekarang ialah :
𝑥 𝐾
2
= (
1
𝐾
)𝑥2
Dengan 𝑥2
di ruas kanan dihitung dengan rumus . dalam hal ini, hipotesis
𝐻0 ditolak jika 𝑥 𝐾
2
≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1)
2
Prosedur pengujian hipotesis :
1) Menentukan formulasi hipotesis
{
H0 ∶ 𝜎1
2
= 𝜎2
2
= ⋯ = 𝜎𝑘
2
H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku
2) Menentukan taraf nyata (α) dan 𝑥2
𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
𝑥2
𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dimana 𝑥2
𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1)
2
didapat dari daftar distribusi
chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = ( k-1).
3) Menentukan kriteria pengujian:
Ho diterima jika 𝑥2
< 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1)
2
Ho ditolak jika 𝑥2
≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1)
2
4) Menentukan uji statistik
𝑥2
= (ln10){𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖
2
}
5) Menarik kesimpulan
Contoh soal :
Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas.
Dengan rumus varians 𝑠𝑖
2
=
∑ 𝑥 𝑖
2
n 𝑖−1
−
(∑ 𝑥 𝑖)2
𝑛𝑖(n 𝑖−1)
Dari data diperoleh :
𝑠1
2
=2,114286
𝑠2
2
=5,878992

86
1. H0 ∶ 𝜎1
2
= 𝜎2
2
(homogen)
H1 ∶ 𝜎1
2
≠ 𝜎2
2
(tidak homogen)
2. Taraf nyata (α=5%) dan 𝑥2
tabel
𝑥2
tabel= 𝑥2(1 − 𝛼)( 𝑘 − 1)
= 𝑥2(1− 0,05)(1)
= 𝑥2(0,95)(1)
= 3,81
3. Kriteria pengujian
H0 diterima, jika 𝑥2
hitung<𝑥2
tabel
H0 ditolak, jika 𝑥2
hitung≥ 𝑥2
tabel
4. Menentukan uji statistik
Uji statistik :
a. Varians gabungan dari semua sampel
𝑠2
=
∑( 𝑛𝑖 − 1) 𝑠𝑖
2
∑( 𝑛𝑖 − 1)
=
34(2,114286) + 34(5,878992)
34 + 34
=
71,88571 + 199,8857
68
=
271,7715
68
=3,996639
b. Harga satuan B
Log 𝑠2
= log3,996639
=0,601695
𝐁 = (Log s2)∑(
2
i=1
ni − 1) = 40,91525
c. Harga X2
𝑥2
ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = (ln10) {𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1) log 𝑠𝑖
2
}
= 2,3026(40,91525 − 37,21186)

87
= 2,3026(3,703388) = 8,527437
d. Kesimpulan
Karena 𝑥2
ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 8,527437 ≥ 3,81 = 𝑥2
tabel maka H0 ditolak.
Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogen dalam taraf nyata
0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga
kedua sampel tersebut tidak homogen.
2. Uji Harley Pearson
Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama (n
yang sama ) untuk tiap kelompok, misalkan kita mempunyai dua populasi
normal dengan varians 𝜎1
2
dan 𝜎2
2
, akan diuji mengenai uji dua pihak untuk
pasangan hipotesis nol H0 dan tandingannya H1 :
{
H0 ∶ 𝜎1
2
= 𝜎2
2
H1 : 𝜎1
2
≠ 𝜎
Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independen diambil
dari populasi tersebut. Jika sampel dari populasi kesatu berukuran
n1 dengan varians 𝑠1
2
dan sampel dari populasi kedua berukuran n2 dengan
varians 𝑠2
2
maka untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistik
F =
𝑠1
2
𝑠2
2
Kriteria pengujian adalah : diterima hipotesis H0 jika
F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
untuk taraf nyata α, dimana F 𝛽(𝑚,𝑛) didapat dari daftar distribusi F dengan
peluang β, dk pembilang = m dan dk penyebut = n.
dalam hal lainnya H0 ditolak.
Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 adalah

88
F=
Varians terbesar
Varians terkecil
Prosedur pengujian hipotesis :
1) Menentukan formulasi hipotesis
{
H0 ∶ 𝜎1
2
= 𝜎2
2
H1 : 𝜎1
2
≠ 𝜎
2) Menentukan taraf nyata (α) dan F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ditentukan dengan α, derajat bebas pembilang (n1 − 1), dan
derajat penyebut (n2 − 1) dengan rumus F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
3) Menentukan kriteria pengujian:
Ho diterima jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
Ho ditolak jika F(1−𝛼)(n1 −1)≤ F = F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
atau
F(1−𝛼)(n1 −1)≥ F = F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
4) Menentukan uji statistik
F =
𝑠1
2
𝑠2
2
F=
Varians terbesar
Varians terkecil
5) Menarik kesimpulan
Contoh soal :
Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas.
1. Hipotesis
(homogen)
H0 ∶ 𝜎1
2
= 𝜎2
2
H1
∶ 𝜎1
2
≠ 𝜎2
2
(tidak homogen)

89
2. Menentukan taraf nyata (α) dan F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ditentukan dengan α = 5%, derajat bebas pembilang (n1 −
1) = 34, dan derajat penyebut (n2 − 1) = 34 dengan rumus F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 =
F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
= F0,05(34,34) = 1,77
3. Kriteria pengujian:
Ho diterima jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
Ho ditolak jika F(1−𝛼)(n1 −1)≤ F = F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
atau
F(1−𝛼)(n1 −1)≥ F = F1
2
𝛼(n1 −1,n2−1)
4. Uji statistik
F =
𝑠1
2
𝑠2
2
=
5,878992
2,114268
= 2,780604
5. Kesimpulan
Karena 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 2,780604 ≥ 1,77 = 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka H0 ditolak. Jadi
data tidak berasal dari populasi yang homogendalam taraf nyata
0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga
kedua sampel tersebut tidak homogen.

90
BAB IX
UJI HIPOTESIS
A. PENGERTIAN HIPOTESIS STATISTIK
Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. Hupo
berarti lemah, kurang atau di bawah, dan thesis berarti teori, proposisi, atau
pernyataan yang sajikan dengan bukti. Jadi, hipotesis dapat diartikan sebagai
suatu anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan sebagai dasar
pembuatan keputusan/pemecahan masalah atau untuk dasar penelitian lebih
lanjut.
Hipotesis juga merupakan suatu pernyataan atau dugaan yang masih
lemah kebenarannya sehingga masih harus diuji terlebih dahulu
menggunakan teknik tertentu. Suatu hipotesis bisa juga salah, untuk itu harus
diuji terlebih dahulu menggunakan data-data observasi. Suatu hipotesis
dirumuskan berdasarkan teori, dugaan, pengalaman pribadi/orang lain, kesan
umum, ataupun kesimpulan yang masih sangat sementara.
Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan
populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Atau
dengan kata lain, jika suatu pernyataan dibuat untuk menjelaskan nilai
parameter populasi, maka hal pernyataan ini juga disebut hipotesis statistik.
B. Konsephipotesis
Menurut Kerlinger (1973:18) dan Tuckman (1982:5) mengartikan
hipotesis adalah sebagai dugaan terhadap hubungan antara dua variable atau
lebih. Selanjutnya menurut Sudjana (1992:219) mengartikan hipotesis adalah
asumsi atau dugaan mengenai suatu hal yang dibuat untuk menjelaskan halitu
yang sering dituntut untuk melakukan pengecekan nya. Atas dasar dua definisi

91
diatas, maka dapat disimpulkan bahwa hipotesis adalah jawaban atau dugaan
sementara yang harus diuji lagi kebenarannya.
Hipotesis penelitian adalah hipotesis kerja (Hipotesis Alternatif Ha atau H1)
yaitu hipotesis yang dirumuskan untuk menjawab permasalahan dengan
menggunakan teori-teori yang ada hubungan nya (relevan) dengan masalah
penelitian dan belum berdasarkan fakta serta dukungan data yang nyata
dilapangan. Hipotesisa lternatif (Ha) dirumuskan dengan kalimat
positif. Hipotesis nol adalah pernyataan tidak adanya hubungan, pengaruh, atau
perbedaan antara parameter dengan statistik. Hipotesis Nol (Ho) dirumuskan
dengan kalimat negatif). Nilai Hipotesis Nol (Ho) harus menyatakan dengan
pasti nilai parameter.
C. PERUMUSAN HIPOTESIS
Suatu rumusan dari sebuah hipotesis digunakan sebagai petunjuk arah dalam
rancangan penelitian, teknik pengumpulan, dan analisis data serta
penyimpulan. Rumusan hipotesis sebenarnya sudah dapat dibaca dari uraian
masalah, tujuan penelitian, kajian teoritik, dan kerangka pikir sehingga
rumusannya harus sejalan.
Rumusan hipotesis mempunyai ciri-ciri umum, yaitu sebagai berikut:
1. Kalimat dari rumusan hipotesis dinyatakan sebagai kalimat pernyataan
(deklaratif).
2. Rumusan hipotesis melibatkan minimal dua variabel penelitian.
3. Rumusan hipotesis mengandung suatu prediksi.
4. Suatu rumusan hipotesis harus dapat diuji (testable).
D. TIPE-TIPE HIPOTESIS

92
Hipotesis statistik akan diterima jika hasil pengujian membenarkan
pernyataan nya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataan
nya. Di dalam pengujian hipótesis, keputusan yang dibuat mengandung
ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga
menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk
probabilitas.
Hipotesis digolongkan menjadi 2 tipe, yaitu hipotesis nihil dan hipotesis
alternatif.
1. Hipotesis nihil/nol (Ho)
Hipotesis nihil adalah hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan
antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua
kelompok atau lebih.
2. Hipotesis alternatif (H1)
Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang menyatakan adanya hubungan
antara dua variabel atau lebih atau adanya perbedaan antara dua kelompok
atau lebih.
E. KESALAHAN/KEKELIRUAN PENGUJIAN HIPOTESIS
Kesimpulan Hipotesis benar Hipotesis salah
Terima
hipotesis
Kekeliruan tipe II ( 𝛽)
(kuasa uji = 1 – 𝛽)
Tolak
hipotesis
Kekeliruan tipe I
(taraf signifikan 𝛼)
Di dalam menaksir parameter populasi berdasarkan data sampel,
kemungkinan akan terdapat dua kesalahan, yaitu:
 Kesalahan tipe I, yaitu suatu kesalahan bila menolak Ho yang benar
(seharusnya diterima). Dalam hal ini tingkat kesalahan dinyatakan dengan
𝛼.

93
 Kesalahan tipe II, yaitu suatu kesalahan bila menerima Ho yang salah
(seharusnya ditolak). Tingkat kesalahan ini dinyatakan dengan 𝛽.
Pembuat keputusan berusaha agar kedua tipe kesalahan di atas ditekan
sampai sekecil-kecilnya, hal ini dapat terjadi jika n meningkat.
F. FORMULASI HIPOTESIS
1. Uji Satu Pihak (Kanan)
Contoh: metode pembelajaran kostektual lebih unggul daripada metode
pembelajaran simulasi.
Ho: 𝜃 = 𝜃o
Ho: 𝜃 > 𝜃o
2. Uji Satu Pihak (Kiri)
Contoh: dengan metode ceramah pembiayaan media lebih hemat dari
pada metode konstektual.
Ho: 𝜃 = 𝜃o
Ho: 𝜃 < 𝜃o

94
3. Uji Dua Pihak
Contoh: salah satu dari metode pembelajaran lebih unggul dari pada
metode pembelajaran yang lain.
Ho: 𝜃 = 𝜃o
Ho: 𝜃 ≠ 𝜃o

95
Kesimpulan
Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan
populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis
digolongkan menjadi 2 tipe, yaitu hipotesis nihil dan hipotesis alternatif. Hipotesis
memiliki formulasi :Uji Satu Pihak (Kanan), Satu Pihak (Kiri), danUji Dua Pihak.

96
BAB X
UJI HIPOTESIS SATU RATA-RATA
Pengujian hipotesis merupakan suatu prosedur yang akan menghasilkan
suatu keputusan, yaitu keputusan menerima atau menolak keputusan itu. Dalam
pengujian hipotesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya
keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya
resiko dinyatakan dalam sebuah probabilitas.
I. Pengujian Hipotesis Satu rata-rata Sampel besar (n > 30)
Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel besar (n > 30), uji
statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedurnya sebagai berikut.
1) Formulasi hipotesis
H0 : =
H1 : >
Kriteria pengujian
-H0 diterima jika Z0 ,
-H0 ditolak jika Z0 > ,
H0 : =
H1 : <
Kriteria pengujian
-H0 diterima jika Z0 ,
-H0 ditolak jika Z0 < ,
,
H0 : =
H1 :
Kriteria pengujian
H0 diterima jika Z0 ,
H0 ditolak jika Z0 > atau Z0 < ,

97
2) Penentuan nilai 𝛼 (taraf nyata) dan nilai Z tabel (𝑍 𝛼 )
Menentukan nilai 𝛼 sesuai soal, kemudian nilai 𝑍 𝛼 atau 𝑍 𝛼/2
ditentukan dari tabel.
3) Uji statistik
a. Simpangan baku populasi (𝜎) diketahui:
𝑍0 =
𝑋̅ − 𝜇0
𝜎𝑥̅
=
𝑋̅ − 𝜇0
𝜎
√ 𝑛
b. Simpangan baku populasi (𝜎) tidak diketahui:
𝑍0 =
𝑋̅−𝜇0
𝑠 𝑥̅
=
𝑋̅−𝜇0
𝑠
√ 𝑛
Keterangan:
s = penduga dari 𝜎 = simpangan baku sampel
𝜇0 = nilai 𝜇 sesuai dengan H0
4) Kesimpulan
Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai dengan
kriteria pengujiannya)
Contoh :
Menurut pendapat salah satu pinpinan perusahaan buku Statistika, rata-rata
penerimaan per hari sebesar Rp 7.000, dengan alternatif lebih besar dari
itu. Diketahui simpangan baku dari penerimaan sebesar Rp 1.600. untuk
menguji pendapatnya, dilakukan penyelidikan terhadap 256 orang penjual
buku ke mahasiswa yang dipilih secara acak, ternyata diketahui rata-rata

98
penerimaan mereka sebesar Rp 7.100. dengan menggunakan 𝛼 = 5%,
ujilah pendapat tersebut.
Penyelesaian
1.) Formulasi hipotesis
𝐻0 ∶ 𝜇 = 7000
𝐻 𝑎 ∶ 𝜇 > 7000
Kriteria pengujian
 H0 diterima jika Z0 𝑍 𝛼 ,
 H0 ditolak jika Z0 > 𝑍 𝛼
2.) Taraf Signifikansi
𝛼 = 5%, 𝑍 𝑎 = 1,64 (dari tabel normal)
3.) Uji Statistik
𝑍0 =
𝑋̅−𝜇0
𝜎
√ 𝑛
=
7100−7000
1600
√256
= 1
4.) Berdasarkan kriteria, H0 diterima jika Z0 𝑍 𝛼 .
Karena 1 ≤ 1,64 maka Ho diterima
Artinya memang benar rata-rata penerimaan mereka sebesar Rp
7.100. dengan menggunakan 𝛼 = 5%
II. Pengujian Hipotesis Satu Rata-rata Sampel kecil (n 30)
Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel kecil (n 30),
uji statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedurnya sebagai berikut.

99
1) Formulasi hipotesis
i. H0 : 𝜇 = 𝜇0
H1 : 𝜇 > 𝜇0
Kriteria pengujian:
H0 diterima jika t0 ≤ 𝑡 𝛼 ,
H0 ditolak jika t0 > 𝑡 𝛼 ,
ii. H0 : 𝜇 = 𝜇0
H1 : 𝜇 < 𝜇0
Kriteria pengujian:
a) H0 diterima jika t0 −𝑡 𝛼 ,
b) H0 ditolak jika t0 < −𝑡 𝛼 ,
2) Penentuan nilai 𝛼 (taraf nyata) dan nilai t-tabel
Menentukan nilai 𝛼 sesuai soal, kemudian menentukan derajat
bebas,
yaitu db = n – 1, lalu menentukan nilai 𝑡 𝛼;𝑛−1 atau 𝑡 𝛼/2;𝑛−1 dari
tabel.
,
3) Uji statistik
a. Simpangan baku populasi (𝜎) diketahui:
𝑡0 =
𝑋̅ − 𝜇0
𝜎𝑥̅
=
𝑋̅ − 𝜇0
𝜎
√ 𝑛
b. Simpangan baku populasi (𝜎) tidak diketahui:
H0 : =
H1 :
Kriteria pengujian
H0 diterima jika −𝑡 𝑎/2 ≤ 𝑡0 ≤ 𝑡 𝑎/2
H0 ditolak jika 𝑡0 > 𝑡 𝑎/2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡0 < −𝑡 𝑎/2

100
𝑡0 =
𝑋̅ − 𝜇0
𝑠 𝑥̅
=
𝑋̅ − 𝜇0
𝑠
√ 𝑛
4) Kesimpulan
Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai
dengan kriteria pengujiannya).
Contoh
Menurut salah satu seorang guru yayasan Bina Ria, pengeluaran per
hari siswa-siswi sekolah tersebut yaitu sebesar Rp1.740 dengan
alternatifnya tidak sama dengan itu. Untuk menguji pendapat guru
tersebut, dilakukan wawancara terhadap 25 orang siswa yayasan yang
dipilih secara acak sebagai sampel, dan ternyata rata-rata pengeluaran
per hari adalah Rp1.800 dengan simpangan bakunya sebesar Rp100.
Dengan menggunakan 𝛼 = 0,05(−5%), ujilah pendapat tersebut.
Penyelesaian
𝑛 = 25, 𝑋̅ = 1800, 𝑠 = 100, 𝜇0
= 1740
Formulasi hipotesis
𝐻0 ∶ 𝜇 = 1740
𝐻0 ∶ 𝜇 ≠ 1740
𝑡0 =
𝑋̅−𝜇0
𝑠
√ 𝑛⁄
=
1800−1740
100
√25
⁄
= 3
𝛼 = 0,05
derajat kebebasan = 𝑛 − 1 = 25 − 1 = 24
𝑡 𝛼
2(𝑛−1)⁄ = 𝑡0,025(24) = 2,0639

101
−𝑡 𝛼
2⁄ = −2,0639
Karena 𝑡0 > 𝑡 𝛼
2⁄ = 3 > −2,0639, maka 𝐻0 ditolak.
Berarti,rata-rata pengeluaran perhari siswa-siswa sekolah dasar
tersebut tidak sama dengan Rp.1.740.

102
BAB XI
UJI HIPOTESIS DUA RATA-RATA
A. PengertianUji Hipotesis Dua Rata-Rata
Uji hipotesis dua rata-rata digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya
perbedaan (kesamaan) antara dua buah data. Salah satu teknik analisis statistic
untuk menguji kesamaan dua rata-rata inii adalah uji t (t test) karena rumus yang
digunakan disebut rumus t. Rumus t sendiri banyak ragamnya dan pemakaiannya
disesuaikan dengan karakteristik kedua data yang akan dibedakan.
Ada beberapa syarat yang harus dipenuhi sebelum uji t dilakukan yaitu ;
a. Data masing-masing berdistribusi normal
b. Data dipilih secara acak
c. Data masing-masing homogen
B. Pengujian Hipotesis Dua Rata-Rata
a. Perumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut:
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 ( 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑎)
𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 > 0 ( 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛, 𝜇1 > 𝜇2)
𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 < 0 ( 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛, 𝜇1 < 𝜇2)
𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 (𝜇1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜇2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜇1 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜇2 )
b. Langkah –langkah untuk melakukan uji hipotesis dua rata-rata adalah
sebagai berikut :
1. Uji atau asumsikan bahwa data dipilih secar acak
2. Uji atau asumsikan bahwa data berdistribusi normal
3. Asumsikan bahwa kedua variansnya homogen
4. Tulis Ha dan H0 dlam bentuk kalimat
5. Tulis Ha dan H0 dlam bentuk statistik
6. Cari thitung dengan rumus tertentu
7. Tetapkan taraf signifikansinya (α)

103
1. Sampel besar (n < 30)
Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel besar (n<30).uji
statistiknya menggunakan distribusi Z. prosedur pengujian hipotesisnya ialah
sebagai berikut.
1) Formulasi Hipotesis
a. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2
b. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2
c. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2
2) Penentuan nilai dan nilai Z tabel 𝑍 𝑎
Mengambil nilai sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan nilai atau
dari 𝑍 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑍 𝑎 2⁄ tabel.
3) Kriteria pengujian
Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2
a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 ≤ 𝑍 𝑎
b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 > 𝑍 𝑎
Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2
a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 ≥ −𝑍 𝑎
b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 < −𝑍 𝑎
Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2
a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑍 𝑎 2⁄ ≤ 𝑍0 ≥ −𝑍 𝑎 2⁄
b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 > −𝑍 𝑎 2⁄ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍0 < −𝑍 𝑎 2⁄
4) Uji Statistik
a) Jika simpangan baku populasi diketahui:
𝑍0 =
𝑋̅1−𝑋2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜎 𝑥1−𝑥2
dengan 𝜎𝑥1−𝑥2
= √
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
b) Jika simpangan baku populasi tidak diketahui:
𝑍0 =
𝑋̅1−𝑋2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑆 𝑥1−𝑥2
dengan 𝑆 𝑥1−𝑥2
= √
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2

104
Dimana apabila 𝜎1 𝑑𝑎𝑛 𝜎2 tidak diketahui, dapat diestimasi dengan :
𝑆 𝑥1−𝑥2
= √
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
𝑆1
2
==
1
𝑛1 − 1
∑(𝑋𝑖1
̅̅̅̅ − 𝑋1)2
𝑆2
2
==
1
𝑛2 − 1
∑(𝑋𝑖2
̅̅̅̅ − 𝑋2)2
5) Kesimpulan
Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0.
a). Jika H0 diterima maka H1 ditolak
b). Jika H0 ditolak maka H1 diterima. (Hasan, 2003:151)
2. Sampel Kecil ( n ≤ 30 )
Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel ( n ≤ 30 ), uji
statisticnya menggunakan distribusi t . Prosedur pengujian hipotesisnya ialah
sebagai berikut :
1. Formulasi Hipotesis
a. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2
b. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2
c. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2
2. Penentuan nilai dan nilai t tabel 𝑡 𝑎
Mengambil nilai sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan nilai atau
dari 𝑡 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 𝑎 2⁄ tabel.
3. Kriteria pengujian
Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2
a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 ≤ 𝑡 𝑎
b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 > 𝑡 𝑎

105
Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2
a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 ≥ −𝑡 𝑎
b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 < −𝑡 𝑎
Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2
a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑡 𝑎 2⁄ ≤ 𝑡0 ≥ −𝑡 𝑎 2⁄
b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 > −𝑡 𝑎 2⁄ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡0 < −𝑡 𝑎 2⁄
4. Uji Statistik
a) Untuk pengamatan tidak berpasangan
𝑡0 =
𝑋1 − 𝑋2
√
( 𝑛1 − 1) 𝑠1
2 + ( 𝑛2 − 1) 𝑠2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
(
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
b) Untuk pengamatan berpasangan
𝑡0 =
𝑑̅
𝑆𝑑
√ 𝑛
𝑑̅ =
∑ 𝑑𝑖
𝑛
𝑑𝑖 = 𝑈1 − 𝑢2
𝑆𝑑 = √
∑(𝑑𝑖 − 𝑑̅)2
𝑛 − 1
Keterangan :
𝑑̅ = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑
Sd = simpangan baku dari niai d
n = banyaknya pasangan
𝑡0 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑏 = 𝑛 − 1
5) Kesimpulan
Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0.
a). Jika H0 diterima maka H1 ditolak
b). Jika H0 ditolak maka H1 diterima.

106
Contoh :
1. Suatu pabrik susu merek Good Milk melakukan pengecekan terhadap produk
mereka, apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang di
produksi dan di pasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu.
Dari data sebelumnya di ketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng
sama dengan 125 gram. Dari sample 50 kaleng yang di teliti, di peroleh rata-
rata berat bersih 375 gram. Dapatkah di terima bahwa berat bersih rata-rata
yang di pasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5 % !
Penyelesaian :
Diketahui :
n = 50, X = 375, σ = 125, µo = 400
Jawab :
a. Formulasi hipotesisnya :
Ho : µ = 400
H1 : µ < 400
b. Taraf nyata dan nilai tabelnya :
α = 5% = 0,05
Z0,05 = -1,64 (pengujian sisi kiri)
c. Kriteria pengujian :

107
o Ho di terima jika Zo ≥ - 1,64
o Ho di tolak jika Zo < - 1,64
d. Uji Statistik
𝑍0 =
𝑥̅ − 𝜇0
√ 𝑛
𝑍0 =
375 − 400̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
125
√50
= −1,41
e. Kesimpulan
Karena Zo = -1,41 ≥ - Z0,05 = - 1,64 maka Ho di terima. Jadi, berat bersih rata-rata
susu bubuk merek GOOD MILK per kaleng yang di pasarkan sama dengan 400
gram
2. Sebuah perusahan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak
12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir
pelatihan di berikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama
mencapai nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua
metode pelatihan, dengan alternative keduanya tidak sama! Gunakan taraf
nyata 10%! Asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan
varians yang sama!

108
Penyelesaian :
Diketahui :
n1 = 12 X1 = 80 s₁ = 4
n2 = 10 X2 = 75 s₂ = 4,5
Jawab:
a. Formulasi hipotesisnya :
Ho : µ₁ = µ₂
H1 : µ₁ ≠ µ₂
b. Taraf nyata dan nilai tabelnya :
α = 10% = 0,10
𝑡 𝑎 2⁄ = 0,05
db = 12 + 10 – 2 = 20
t0,05;20 = 1,725
c. Kriteria pengujian :
o Ho di terima apabila -1,725 ≤ t0 ≤ 1,725
o Ho di tolak apabila t0 > 1,725 atau t0 < -1,725
d. Uji Statistik

109
𝑡0 =
𝑋1 − 𝑋2
√
( 𝑛1 − 1) 𝑠1
2 + ( 𝑛2 − 1) 𝑠2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
(
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
𝑡0 =
80 − 75
√
(12 − 1)42 + (10 − 1)4,52
12 + 10 − 2
(
1
12
+
1
10
)
= 2,76
e. Kesimpulan
Karena t0 = 2,76 > t0,05;20 = 1,725 maka Ho di tolak. Jadi, kedua metode yang
digunakan dalam pelatihan tidak sama hasilnya.

110
DAFTAR PUSTAKA
Subana, Moersetyo Rahadi, dan Sudrajat.2000.Statistik Pendidikan.Bandung :
Pustaka Setia.
Sudjana.2005.Metode Statistika.Bandung : Tarsito.
Sudaryono.2014.Teori dan Aplikasi dalam Statistik.Yogyakarta: Andi.
Riduwan, MBA. 2007. Pengantar Statistika Sosial. Bandung : Alfabeta
Herrhyanto, Nar dan Akib Hamid. 1992. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas
Terbuka.
Putri, Ratu Ilma Indra. Distribusi Binomial dan Poisson.
http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/distribusi-binomial-dan-poisson-
baru.pdf
http://fathur14klose.blogspot.com/2011/12/makalah-statistika-distribusi-
binomial.html. Diakses pada tanggal 21Oktober2015
Herrhyanto, Nar dan Akib Hamid. 1992. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas
Terbuka.
Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Hipotesis.
http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji_hipotesis-dan-uji-
hipotesis_1_ratarata.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015.
Marhaendro, Agus Susworo Dwi. Pengujian Hipotesis.
http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/Pengujian%20Hipotesis.pdf. Diakses
pada tanggal 10 November 2015.
Harlyan, Ledhyane Ika. Uji Hipotesis.
http://ledhyane.lecture.ub.ac.id/files/2012/11/PENGUJIAN-
HIPOTESIS.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015.
Yassin, Moh. Tabeldistribusifrekuensi.

Makalah Statistika Dasar

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Makalah Statistika Dasar

Similar to Makalah Statistika Dasar (20)

More from silvia kuswanti

More from silvia kuswanti (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Makalah Statistika Dasar