Spazi di hilbert [santi caltabiano]

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Spazi di hilbert [santi caltabiano]

  1. 1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MESSINA FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN. Corso di Laurea in Matematica SPAZI DI HILBERTTesina di:SANTI CALTABIANO ANNO ACCADEMICO 1997-1998
  2. 2. Indice GeneraleCapitolo 1 .......................................................................................................... 1 1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche ................................................ 1 1.2 Nozioni topologiche propedeutiche ........................................................ 6Capitolo 2 ........................................................................................................ 36 2.1 Spazi a prodotto scalare. Proprietà. Esempi. ......................................... 36 2.2 Spazi di Hilbert. Proprietà. Esempi. ...................................................... 52 2.3 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert. Teorema fondamentale degli spazi di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.. 61 2.4 Operatori autoconiugati. Proiettori. Teorema delle proiezioni. .............. 77 2.5 Disuguaglianza di Bessel. Serie di Fourier. Identità di Parseval. Criterio di convergenza di una serie di Fourier .......................................................... 87 2.6 Teorema di Gram-Schmidt. Teorema di Riesz-Fischer. Spazi di Hilbert separabili di dimensione infinita ................................................................... 95Bibliografia ................................................................................................... 103Indice Analitico ............................................................................................ 104 i
  3. 3. Capitolo 1Nozioni e strumenti propedeutici1.1 Nozioni di algebra lineare propedeuticheDefinizione 1.1.1Sia E un K-spazio vettoriale e siano F,GE due sottospazi vettoriali, diciamoallora che la somma F+G è diretta e scriviamo F  G se ogni vettore delsottospazio vettoriale F+G si può scrivere in modo unico come somma di unvettore di F e uno di G.Teorema 1.1.1Sia E un K-spazio vettoriale e siano F,GE due sottospazi vettorialiTs: F+G è diretta  FG={E}Definizione 1.1.2 1
  4. 4. Sia E un K-spazio vettoriale e sia AE un insieme non vuoto, diciamo allora chel’insieme A è convesso se: x+(1-)yA x,yA e [0,1]Banalmente ogni sottospazio vettoriale è convesso.Proprietà 1.1.1Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme convesso e sia x0ETs: x0+A è un convessoDefinizione 1.1.3Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE un sottoinsieme non vuoto,diciamo allora inviluppo lineare dell’insieme A e lo indichiamo con span(A)l’intersezione di tutti i sottospazi di E contenenti A. :E quindi per definizionespan(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di E contenente A.Proprietà 1.1.2Sia E uno spazio vettoriale, sia AE un sottoinsieme non vuotoTs: span(A)={1x1++nxn : nN , x1,...,xnA , 1,...,nK} 2
  5. 5. Definizione 1.1.4Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme non vuoto allora l’insiemeA si dice linearmente indipendente (brevemente l.i.) se comunque preso unnumero finito di vettori distinti di A questi sono linearmente indipendenti cioè:x1,...,xnA con xixj se ij e 1,...,nK t.c. 1xi++nxn=E  i=0 i=1,...,nOvviamente EA.Definizione 1.1.5Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme non vuoto, diciamo allorache A è una base di Hamel per E se è linearmente indipendente e se span(A)=E.Definizione 1.1.6Sia E uno spazio vettoriale su K, allora si può dimostrare che lo spazio Eammette almeno una base di Hamel. Inoltre si può dimostrare che tutte le basi diHamel dello spazio E hanno la stessa cardinalità. Si definisce dimensionealgebrica dello spazio E e la si denota con dim(E), la cardinalità di una qualsiasibase di Hamel di E. 3
  6. 6. Teorema 1.1.2Sia E un K-spazio vettoriale di dimensione infinita e sia {xn}nN una succ. in ETs: { x nk }kN l.i. t.c. span({xn : nN})=span({ x nk : nN})Definizione 1.1.7Sia E un K-spazio vettoriale e sia p:EK un funzionale. Diciamo allora che: p è sub-additivo se p(x+y)p(x)+ p(y) x,yE p è positivamente omogeneo se p(x)= p(x) xE e >0 p è assolutamente omogeneo se p(x)=|| p(x) xE e K p è una seminorma se è sub-additivo e assolutamente omogeneo. Si verifica facilmente che ogni seminorma è non negativa. p è una norma se è una seminorma e se p(x)=0  x=E. Usualmente per denotare il funzionale norma si riserva il simbolo  EProprietà 1.1.3Sia E un K-spazio vettoriale e sia p:E[0,+[ una seminorma 4
  7. 7. Ts: |p(x)-p(y)|p(x-y) x,yEDefinizione 1.1.8Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo K e sia T:EF unoperatore, diciamo allora che tale operatore è lineare se: T(x+y)=T(x)+T(y) x,yE e ,KNel caso particolare in cui F=K allora a T si riserva il nome di funzionalelineare. Si definisce nucleo di un operatore lineare l’insieme: - Ker(T):=T 1(0)Si dimostra facilmente che Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E.Proprietà 1.1.4Siano E, F e G tre spazi vettoriali sul medesimo corpo K e siano S:EF eT:FG due operatori lineariTs: L’operatore T  S è lineare 5
  8. 8. 1.2 Nozioni topologiche propedeuticheDefinizione 1.2.1Sia X uno spazio topologico diciamo allora che tale spazio è di Hausdorff se: x,yX con xy UX intorno di x e VX intorno di y t.c. UV=Definizione 1.2.2Sia X uno spazio topologico e sia AX un insieme non vuoto, diciamo allorache tale insieme A è denso in X se clX(A)=X.Definizione 1.2.3Sia X uno spazio topologico, diciamo allora che X é separabile se ammette unsottoinsieme denso al più numerabile, cioè se: {xn}nN in X t.c. clX({xn : nN})=XDefinizione 1.2.4Sia X uno spazio topologico, sia x0X e sia {xn}nN una successione ordinaria inX, diciamo allora che tale successione converge a x0 se: UX intorno di x0 N t.c. xnU n 6
  9. 9. e scriviamo: lim xn=x0 n Teorema 1.2.1 (unicità del limite)Sia X uno spazio topologico di Hausdorff e sia {xn}nN una successione in XTs: Se {xn}nN ammette limite allora questo è unicoDefinizione 1.2.5Sia X un insieme non vuoto e sia A una famiglia di parti di X, diciamo allora chela famiglia A è un ricoprimento di X se l’unione dei membri di A è uguale ad X.Una sottofamiglia di A che ricopre X prende il nome di sottoricoprimento. Unricoprimento si dice finito se contiene un numero finito di membri.Definizione 1.2.6Diciamo che uno spazio topologico è compatto se ogni ricoprimento apertoammette un sottoricoprimento finito.Teorema 1.2.2 (di Heine-Pincherle-Borel) 7
  10. 10. Sia KR n un insiemeTs: K è compatto  K è chiuso e limitatoDefinizione 1.2.7Siano X ed Y due spazi topologici, sia f:XY una funzione e sia x0X, diciamoallora che f è continua in x0 se: VY intorno di f(x0) UX intorno di x0 t.c. f(U)VDiciamo che f è continua su X se è continua in ogni punto di X. Denotiamo conC0(X,Y) l’insieme delle funzioni continue da X in Y. Diciamo che una funzionebigettiva definita tra X ed Y è un omeomorfismo se è continua assieme alla suainversa. In tal caso X ed Y si dicono omeomorfi.Teorema 1.2.3Siano X ed Y due spazi topologici, sia f:XY una funzioneTs: Sono allora equivalenti:(1) f è continua -(2) AY aperto f 1(A) è aperto -(3) CY chiuso f 1(C) è chiuso 8
  11. 11. Proprietà 1.2.1Siano X, Y e Z tre spazi topologici, sia xX, siano f:XY e g:YZ funzionicontinue rispettivamente in x ed y:=f(x)Ts: La composizione g  f è continua in xTeorema 1.2.4 (di Weierstrass)Sia X uno spazio topologico compatto e sia f:XY una funzione continuaTs: f è dotata minimo e massimoDefinizione 1.2.8Sia X uno spazio topologico e sia AX un insieme non vuoto, diciamo allorache A è un retratto se: f:XA funzione continua t.c. f|A = idALa funzione f prende il nome di retrazione relativa ad A.Definizione 1.2.9 9
  12. 12. Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X diciamo allora che1 è meno fine di 2 e scriviamo 12 se 12. Diciamo che le topologie 1 e 2sono equivalenti se 1=2.Teorema 1.2.5Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su XTs: 12  Ogni 1-intorno è un 2-intornoDefinizione 1.2.10Sia X un insieme non vuoto e sia a una famiglia di parti di X. Si verificafacilmente che in generale data una famiglia di topologie su X alloral’intersezione di queste topologie è ancora una topologia su X. Tenendo conto diquanto detto si definisce topologia generata dalla famiglia a e la si denota cona, l’intersezione di tutte su X, contenenti la famiglia a (di queste topologieovviamente ne esiste almeno poiché ad esempio basta considerare la topologiadiscreta). E quindi per definizione a è la topologia meno fine contenente lafamiglia a. Se denotiamo con F la famiglia di parti di X costituita da tutte lepossibili intersezioni finite dei membri della famiglia a e con G la famiglia di 10
  13. 13. parti di X costituita da tutte le possibili unioni dei membri della famiglia F allorasi può dimostrare che: a={,X}GSia osserva che nel caso in cui la famiglia a è chiusa rispetto all’intersezionefinita alla a=G e quindi in tal caso i membri della topologia a si riduconoall’unione dei membri della famiglia a.Definizione 1.2.11Siano (X1,1), …, (Xn,n) n spazi topologici, si considera allora sul prodottocartesiano X:=X1Xn la topologia generata dalla famiglia: {AX : A11,…,Ann t.c. A=A1An}che prende il nome di topologia prodotto. Si verifica agevolmente che in questocaso la famiglia generante è chiusa rispetto all’intersezione finita e quindi gliaperti della topologia prodotto sono definiti come unione di prodotti cartesiani diaperti. In seguito per comodità alcuni risultati relativi al prodotto cartesiano dispazi topologici verranno enunciati nel caso n=2 tuttavia tali risultati siestendono in maniera naturale al caso n>2 e quindi continuano a valere.Teorema 1.2.6 11
  14. 14. Siano X ed Y spazi topologici, sia WXY non vuoto, sia (x,y)XYTs: W è intorno di (x,y)  UX intorno di x e VY intorno di y t.c. UVWTeorema 1.2.7Siano X ed Y spazi topologici, sia {(xn,yn)}nN in XY e sia (x0 ,y0)XYTs: lim (xn,yn)=(x0 ,y0)  lim xn=x0 e lim yn=y0 n  n  n Definizione 1.2.12Sia X un insieme non vuoto e sia d:XXR una funzione, diciamo allora chetale funzione è una metrica su X se soddisfa alle seguenti proprietà:(1) d(x,y)=d(y,x) x,yX(2) d(x,y)d(x,z)+d(z,y) x,y,zX(3) d(x,y)=0  x=ySi veridica facilmente che la metrica d è non negativa. La coppia (X,d) prende ilnome di spazio metrico. Fissato un x0X e un r>0 si definisce sfera aperta dicentro x0 e raggio r, l’insieme: B(x0,r)={xX : d(x, x0)<r} 12
  15. 15. Fissato un x0X e un r>0 si definisce sfera chiusa di centro x0 e raggio r,l’insieme: B (x0,r)={xX : d(x, x0)r}Si definisce topologia indotta dalla metrica d la topologia generata dallafamiglia di sfere: {B(x,r) : xX e r>0}ed è la topologia che si considera sullo spazio metrico (X,d). Se d e  sono duemetriche su X allora diciamo che d è meno fine di  se la topologia indotta da dè meno fine della topologia indotta da . Diciamo quindi che le metriche d e sono equivalenti se lo sono le rispettive topologie indotte. Vediamo qualcheesempio concreto di spazio metrico, necessario per la nostra trattazione. Sullaretta reale si considera: dR:RR[0,+[ con d(a,b):=|a-b| a,bRche si verifica essere una metrica su R inducente la topologia standard di R, ed èdetta metrica standard reale. Sul corpo complesso C si considera: dC:CC[0,+[ con d(w,z):=|w-z|=[(Re(w-z))2+(Im(w-z))2]1/2 w,zC 13
  16. 16. che si verifica essere una metrica su C ed è detta metrica standard complessa,inoltre la topologia da essa indotta è quella che si considera su C. Quindipossiamo sempre considerare il corpo K munito della metrica standard.Teorema 1.2.8Sia (X,d) uno spazio metrico, sia xX e sia UX insieme non vuotoTs: U è un intorno di x   r>0 t.c. B(x,r)UProprietà 1.2.2Sia X uno spazio metricoTs: X è di HausdorffTeorema 1.2.9Sia X uno spazio metrico, sia {xn}nN successione in X e sia x0XTs: lim xn=x0  lim d(xn,x0)=0 n  n Teorema 1.2.10 14
  17. 17. Sia X uno spazio metrico, si AX un insieme non vuoto e sia x0XTs: x0clX(A)  {xn}nN in A t.c. lim xn=x0 n Teorema 1.2.11Sia X un insieme non vuoto, siano d,:XX[0,+[ due metriche su XTs: d è meno fine di   Ogni successione in X -convergente è d-convergenteDefinizione 1.2.13Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione ordinaria in X,diciamo allora che tale successione è di Cauchy se: >0 N t.c. d(xn,xm)< n,mo equivalentemente se: >0 N t.c. d(xn+p,xn)< n e pNProprietà 1.2.3Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X, sia {an}nN unasuccessione in R infinitesima t.c. d(xn+p ,xn)an n,pN 15
  18. 18. Ts: {xn}nN è di CauchyProprietà 1.2.4Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X convergenteTs: {xn}nN è di CauchyProprietà 1.2.5Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X di Cauchy cheammette un’estratta convergenteTs: La successione {xn}nN è convergenteDefinizione 1.2.14Diciamo che uno spazio metrico è completo se ogni successione di Cauchy èconvergente.Teorema 1.2.12 16
  19. 19. Sia X un insieme non vuoto e siano d,:XX[0,+[ due metriche su X esupponiamo che ,k>0 t.c. d(x,y)c(x,y) x,yX e denotiamo con d e  letopologie indotte rispettivamente da d e Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:() La metrica d è meno fine della metrica () Se una successione in X è -di Cauchy allora è d-di CauchyTeorema 1.2.13Sia X un insieme non vuoto e siano d,:XX[0,+[ due metriche su X esupponiamo che  c,k>0 t.c. k(x,y)d(x,y)c(x,y) x,yXTs: Valgono allora le seguenti affermazioni:() Le metriche d e  sono equivalenti() Una successione in X è -di Cauchy se e solo se è d-di Cauchy() X è d-completo se e solo se X è -completoDefinizione 1.2.15Sia (X,d) uno spazio metrico e sia AX un sottoinsieme, diciamo allora chel’insieme A è limitato se: 17
  20. 20. >0 e x0X t.c. AB(x0,)Proprietà 1.2.6Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione di Cauchy in XTs: {xn}nN è limitataCorollario 1.2.1Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X convergenteTs: {xn}nN è limitataProprietà 1.2.7Sia AR insieme non vuoto e è limitato inferiormenteTs: {n}nN in A t.c. lim n=inf(A) n DimPer ipotesi A è limitato inferiormente e questo significa che la quantità inf(A) èfinita, poniamo allora per comodità di scrittura e  =inf(A). Vogliamo dimostrareche e   A da ciò per il Teorema 1.2.10 seguirà l’asserto. Dobbiamo provare che 18
  21. 21. e  è di aderenza per A, fissiamo quindi UR e facciamo vedere che AU.Per il Teorema 1.2.8 segue che >0 t.c. ]- e  , e  +[U. In corrispondenza ad per la seconda proprietà dell’inf tA t.c. t< e  + e pertanto osservando che e  -< e  t< e  + cioè t]- e  , e  +[U si ha tAU e quindi AU.Teorema 1.2.14 (di Bolzano-Weierstrass)Sia {an}nN una successione in R limitataTs: {an}nN ammette un’estratta convergenteTeorema 1.2.15Siano (X,d) ed (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione e sia x0XTs: Sono allora equivalenti:(1) f è continua in x0(2) >0 >0 t.c. (f(x),f(x0))< xX con d(x,x0)<(3) {xn}nN in X t.c. lim xn=x0 allora lim f(xn)=f(x0) n  n Teorema 1.2.16 19
  22. 22. Siano X, Y e Z spazi metrici, siano xX e yY, sia f:XYZ funzione continuaTs: Le funzioni f(,y) e f(x,) sono continueDefinizione 1.2.16Sia (X,d) uno spazio metrico, sia AX un insieme non vuoto e sia xA, sidefinisce allora distanza del punto x dall’insieme A, la quantità non negativa: d(x,A)= inf d(x,y) xADefinizione 1.2.17Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione, diciamo allorache f è lipschitziana se: L>0 t.c. (f(x),f(y))Ld(x,y) x,yXdove la costante L prende il nome di costante di lipschitz.Proprietà 1.2.8Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione lipschitzianaTs: f è continuaDim 20
  23. 23. Sia L>0 la costante di lipschitz di f. Fissiamo un qualunque x0E proviamo chef è continua in x0, e quindi fissiamo un arbitrario >0 e dimostriamo che: >0 t.c. (f(x),f(x0))< xX con d(x,x0)<Scegliamo :=/L allora per la lipschitzianetà di f si ha:  (f(x),f(x0))  Ld(x,x0) < L = L =  xX con d(x,x0)< LDefinizione 1.2.18Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione, diciamo allorache f è un’isometria se: (f(x),f(y))=d(x,y) x,yXcioè se f preserva le distanze. Nel caso in cui f è pure surgettiva gli spazi X ed Ysi dicono isometrici. Si osserva immediatamente che un’isometria è inparticolare una funzione di lipschitziana con costante di lipschitz 1.Proprietà 1.2.9Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY un’isometriaTs: Valgono allora le seguenti affermazioni:() f è iniettiva 21
  24. 24. –() f 1:f(X)X è un’isometria() f:Xf(X) è un omeomorfismo() Se f è surgettiva X ed Y sono omeomorfi.Teorema 1.2.17Siano (X,d) ed (Y,) due spazi isometrici e sia f:XY un’isometria surgettivaTs: Y è completo  X è completoDim Sia {xn}nN una successione di Cauchy in X. Essendo f un’isometria allora:(1) (f(xn),f(xm))=d(xn,xm)) n,mNe da questa si deduce agevolmente che la successione {f(xn)}nN è di Cauchy inY che è completo e quindi yY t.c. {f(xn)}nN converge ad y ed inoltre per lasuriettività di f xX t.c. y=f(x). Per la (1) e per il Teorema 1.2.9 segue che: lim d(xn,x)= lim (f(xn),f(x))=0 n  n e quindi segue dal Teorema 1.2.9 che {xn}nN converge ad x.Dim  22
  25. 25. –Basta osservare che per la Proprietà 1.2.9 la funzione f 1:YX è un’isometriasurgettiva e ripetere quindi il ragionamento fatto nell’implicazione precedente.Definizione 1.2.19Siano (X1,d1), (X2,d2),..., (Xn,dn) n spazi metrici, e chiamiamo X:=X1X2Xn.Vogliamo fare osservare che a partire dalle metriche di si possono definire dellemetriche sul prodotto cartesiano X. Introduciamo le seguenti tre funzioni1,2,3:XXR così definite: 1(x,y) := max di(xi,yi) x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X 1 i  n n 2(x,y) :=  (d i ( xi , yi )) 2 x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X i 1 n 3(x,y) :=  di(xi,yi) x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X i 1E’ facile verificare che le tre funzioni appena definite sono delle metriche sulprodotto X e vengono dette metriche canoniche. In particolare la 2 viene dettametrica euclidea. Si verifica inoltre che: 1(x,y)2(x,y)3(x,y)n1(x,y)n2(x,y)n3(x,y) x,yXe quindi per il Teorema 1.2.13 valgono i seguenti fatti: 23
  26. 26.  le tre metriche canoniche sono equivalenti cioè inducono ad una stessa topologia e si dimostra facilmente facendo uso del Teorema 1.2.5 e del Teorema 1.2.6 che tale topologia è proprio la topologia prodotto su X. se una successione in X è di Cauchy rispetto ad una delle tre metriche canoniche allora lo è anche rispetto alle altre due. se X è completo rispetto ad una delle tre metriche canoniche allora lo è anche rispetto alle altre due.Lemma 1.2.1Siano (X,d) ed (Y,) spazi metrici, sia {(xn,yn)}nN in XYTs: {(xn,yn)}nN è di Cauchy  {xn}nN e {yn}nN sono di CauchyDimConsideriamo XY munito della metrica canonica 1 e quindi: 1((xn,yn),(x0,y0))=d(xn,x0)+(yn,y0) nNe da questa si deduce agevolmente la tesi.Teorema 1.2.18Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici 24
  27. 27. Ts: XY è completo  X ed Y sono completiDimSia {(xn,yn)}nN una successione in XY allora per il Lemma 1.2.1 talesuccessione è di Cauchy se e solo se le successioni {xn}nN e {yn}nN sono diCauchy rispettivamente in X ed Y e per il Teorema 1.2.7 tali successioni sonoconvergenti se e solo se la successione {(xn,yn)}nN è convergente.Teorema 1.2.19Il corpo (K,dK) è uno spazio completoDimConsideriamo dapprima il caso K=R. Sia {an}nN una successione di Cauchy inR che è quindi limitata per la Proprietà 1.2.6 segue allora dal teorema diBolzano-Weierstrass la successione che {an}nN ammette un’estrattaconvergente e quindi in definitiva per la Proprietà 1.2.5 segue che {an}nN èconvergente. Resta quindi dimostrato che R è completo. Sia adesso il caso K=C.Poiché R è completo per il Teorema 1.2.18 segue che R2 è completo.Consideriamo R2 munito della metrica canonica euclidea 2. Ci proponiamo di 25
  28. 28. dimostrare che (C,dC) è isometrico ad (R2,2) seguirà quindi dal Teorema 1.2.17che (C,dC) è completo. Evidentemente basta considerare la funzione: f:R2C con f(x,y)=x+iy (x,y)R2infatti è banalmente surgettiva ed inoltre: dC(f(x1,y1),f(x2,y2)) = dC(x1+iy1,x2+iy2) =…= [(x1-x2)2+(y1-y2)2]1/2 = = 2((x1,y1),(x2,y2)) (x1,y1),(x2,y2)R2come volevasi.Definizione 1.2.20Sia E un K-spazio vettoriale e sia  E una norma su E, diciamo allora che lacoppia (E,  E ) è uno spazio normato. Consideriamo la funzione: d:EER con d(x,y):= x-y E x,yEsi verifica agevolmente che tale funzione è una metrica su E e prende il nome dimetrica indotta dalla norma  E . La topologia che si considera su E è quellaindotta dalla metrica.Definizione 1.2.21 26
  29. 29. Sia (E,  E ) uno spazio normato e sia xE{E} diciamo allora vettorenormalizzato di x il vettore: x xEtale vettore ha evidentemente norma 1.Proprietà 1.2.10Sia (E,  E ) uno spazio normatoTs: La norma  E è un funzionale continuoTeorema 1.2.20Sia (E,  E ) uno spazio normato, siano {xn}nN e {yn}nN due successioni di Econvergenti e siano {n}nN e {n}nN due successioni di K convergentiTs: lim [nxn+nyn ]= lim n lim xn+ lim n lim yn n  n  n  n  n Proprietà 1.2.11Sia E uno spazio normato; sia AE un insieme chiuso e sia x0ETs: x0+A è un chiuso 27
  30. 30. Definizione 1.2.22Sia E uno spazio normato e sia AE un insieme non vuoto, si definisce allorachiusura lineare di A e la si denota con span (A), l’intersezione di tutti isottospazi chiusi contenente A.Proprietà 1.2.12Sia E uno spazio normato e sia AE un insieme non vuotoTs: span (A)= span(A)Definizione 1.2.23Diciamo che uno spazio normato è di Banach se è completo.Definizione 1.2.24Sia (E,  E ) uno spazio normato, allora si può dimostrare che: ~ ~ ~(1) ( E ,  E ) spazio di Banach e :E E isometria lineare t.c. (E ) = E ~ 28
  31. 31. ~In tali condizioni si dimostra che lo spazio E è unico a meno di isometrialineare nel senso che se esiste un altro spazio di Banach che soddisfa alla (1) ~allora questo deve necessariamente essere linearmente isometrico ad E . Lo ~spazio ( E ,  E ) prende il nome di completamento dello spazio (E,  E ). ~Teorema 1.2.21Sia E uno spazio normato e sia FE sottospazio vettoriale di dimensione finitaTs: F è chiusoCorollario 1.2.2Sia E uno spazio normato e sia x1,…,xnE e poniamo F:=span({x1,…,xn})Ts: F è un sottospazio vettoriale chiusoDimL’insieme {x1,...,xn} contiene al più n vettori linearmente indipendenti e questosignifica che lo spazio F ha al più dimensione n cioè dim(E)n e quindi seguedal Teorema 1.2.21 che F è chiuso.Definizione 1.2.25 29
  32. 32. Sia E uno spazio normato e sia {xn}nN una successione ordinaria in E. Diciamoallora serie associata a {xn}nN la somma degli infiniti termini di {xn}nN cioè:  x1+x2++xn+=  xn n 1Fissato kN poniamo: k S k=  x n n 1che prende il nome di ridotta n-esima o somma parziale. Nasce così inmaniera naturale la successione {Sn}nN detta successione delle ridotteassociata alla serie data. Diciamo che la serie è convergente se la successionedelle ridotte ad essa associata è convergente, cioè se: yE t.c. lim Sk=y k dove il vettore y è la somma della serie e scriviamo quindi:   xn=y n 1Diciamo che la serie è di Cauchy se lo è la successione delle ridotte ad essaassociata.Proprietà 1.2.13 30
  33. 33. Sia E uno spazio normato, sia {xn}nN successione in E  k+pTs:  xn é di Cauchy  >0 N t.c.  xn <  k> e k,pN n1 n  k 1 ETeorema 1.2.22Siano E ed F due spazi normati, sia x0E, sia f:EF un operatore e sia y0FTs: f è continuo in x0  y0+f è continuo in x0Teorema 1.2.23Siano E ed F due spazi normati, sia T:EF un operatore lineare.Ts: Sono allora equivalenti:(1) T è continuo(2)  k0 t.c. T(x) F k x E xE(3) T è lipschitzianoDim (1)(2)Poiché T(E)=F allora per x=E la tesi è vera per ogni costante k>0, e quindipossiamo supporre nel seguito xE. Per la continuità di T l’insieme: -(1) T 1( B (F,1))={xE : T(x) F 1} 31
  34. 34. è intorno di E e quindi: -(2) >0 t.c. B (E,)T 1( B (F,1))Per la linearità di T la tesi è vera se esiste una costante k>0 tale che:  x  T  kx   1 xE{E}  E  Fquesta per la (1) è vero se e solo se: x - T 1( B (F,1)) xE{E} xE{E} kxEper la (2) condizione sufficiente affinché tale affermazione sia vera è che: x  B (E,) xE{E} kxEcioè: x x E 1 = = <  xE{E} kxE E kx E k 2e quindi per ottenere la tesi basta scegliere ad esempio k= . Dim (2)(3)Per la linearità di T e dall’ipotesi segue che: T(x)-T(y) F = T(x-y) F  k x-y E x,yEDim (3)(1) 32
  35. 35. Conseguenza della Proprietà 1.2.8.Teorema 1.2.24Siano E ed F due spazi normati, sia T:EF un operatore lineareTs: T è un’isometria  T(x) F = x E xEDefinizione 1.2.26Siano E ed F due spazi normati, denotiamo allora con L(E,F) l’insieme di tuttigli operatori lineari e continui da E in F. Si verifica facilmente che con le ovvieoperazioni di somma e prodotto L(E,F) è un sottospazio vettoriale di FE. Inoltresi dimostra che il funzionale: T( x ) F : L(E,F)K con (T)= sup T L(E,F) xE  E  x Eè una norma su L(E,F) che prende il nome di norma operatoriale e si denotaquindi con  L (E,F) . Fissato T L(E,F) allora per il Teorema 1.2.23 segue che: k0 t.c. T(x) F k x E xEsi evince che per definizione la quantità T L ( E, F) é la più piccola costante kaffinché valga tale disuguaglianza. Nel caso particolare in cui F=K allora lo 33
  36. 36. spazio L(E,K) cioè lo spazio di tutti i funzionali lineari e continui su E, si denotacon E* e prende il nome di duale topologico di E.Definizione 1.2.27Sia (E,  E ) uno spazio normato, diciamo allora che E è uno spaziouniformemente convesso se: x y ]0,2[ >0 t.c. x,y B(E,1) con x-y E   1- 2 RDefinizione 1.2.28Sia E uno spazio di Banach, diciamo allora che E è uno spazio riflessivo se: E* z B (E,1) t.c. (z)=  E* Enunciamo un fondamentale risultato della teoria degli spazi di Banach,del qual però omettiamo la dimostrazione perché troppo tecnica e lontana dallapresente trattazione.Teorema 1.2.25 (di Milliman-Pettis) 34
  37. 37. Sia E uno spazio di Banach uniformemente convessoTs: E è riflessivo 35
  38. 38. Capitolo 2Spazi di Hilbert2.1 Spazi a prodotto scalare. Proprietà. Esempi.Definizione 2.1.1Sia H uno spazio vettoriale su K. Diciamo che la funzione (,)H:HHK è unprodotto scalare o prodotto interno se soddisfa alle seguenti: (x+y,z)H=(x,z)H+(y,z)H x,y,zH (x,y)H=(x,y)H K e x,yH (x,y)H= ( y, x ) H x,yH (x,x)H0 xH (x,x)=0  x=HLa  e  ci dicono che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima variabile;la  ci dice che il prodotto scalare di una coppia è uguale al coniugato della 36
  39. 39. coppia con l’ordine invertito; la  ci dice che il prodotto scalare è non negativosulla diagonale del quadrato HH e infine la  ci dice che sulla diagonale delquadrato HH il prodotto scalare si annulla solo in corrispondenza della coppia(H,H). Si osserva subito che facendo uso delle cinque proprietà si dimostra chela funzione prodotto scalare soddisfa alle ulteriori due proprietà:* (x,y+z)H=(x,y)H+(x,z)H x,y,zH* (x,y)H= (x,y)H K e x,yHSi osserva chiaramente dalla  * che nel caso in cui lo spazio H sia reale (cioèH è un R-spazio vettoriale) la funzione prodotto scalare è lineare anche rispettoalla seconda variabile (basta osservare che il coniugato di un numero realecoincide con il numero reale). Lo spazio H munito del prodotto scalare si dicespazio pre-hilbertiano o spazio a prodotto scalare e si indica con la coppia(H,(,)H). Facciamo presente che in seguito faremo riferimento alle proprietàcaratteristiche del prodotto scalare mediante , , , , , *, *.Proprietà 2.1.1Sia (H,(,)H) un C-spazio pre-hilbertianoTs: (x,y)H = Re(x,y)H-iRe(x,-iy) x,yH 37
  40. 40. DimSappiamo che:(1) (x,y)H = Re(x,y)H+iIm(x,y)H x,yHmoltiplicando ambo i membri per i, per la proprietà  * del prodotto scalaleotteniamo: (x,-iy)H = iRe(x,y)H-Im(x,y)H x,yHpassando alla parte reale otteniamo Re(x,-iy)H=-Im(x,y)H da cui segue cheIm(x,y)H=-Re(x,-iy)H e quindi in definitiva sostituendo nella (1) otteniamoquanto voluto.Proprietà 2.1.2Sia H un C-spazio vettoriale e sia :HHC un funzionale tale che(x,y):=Re(x,y)-iRe(x,-iy) (x,y) HHTs: Sono allora equivalenti:(1)  è un prodotto scalare su H considerato come C-spazio vettoriale(2) Re è un prodotto scalare su H considerato come R-spazio vettorialeDimConseguenza immediata delle proprietà dei numeri complessi. 38
  41. 41. Corollario 2.1.1Sia H un C-spazio pre-hilbertiano e sia :HHR un funzionale econsideriamo :HHC con (x,y):=(x,y)H -i(x,-iy) (x,y) HH(1)  è un prodotto scalare su H considerato come C-spazio vettoriale(2)  è un prodotto scalare su H considerato come R-spazio vettorialeDimBasta osservare che Re= ed applicare di peso la Proprietà 2.1.2.Proprietà 2.1.3 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)Sia H uno spazio a prodotto scalareTs: (x,y)H ( x, x ) H ( y, y ) HDimSe y=H la disuguaglianza è banale poiché ambo i membri sono nulli.Consideriamo x,yH con yH e consideriamo inoltre un qualunque K si ha: 0(x+y,x+y)H=(x,x)H+(x, y)H+(y,x)H+(y,y)H= =(x,x)H+ (x,y)H+(y,x)H+  2 (y,y)H=(x,x)H+ (x,y)H+ ( x, y ) H +  2 (y,y)H 39
  42. 42. posto: ( x, y ) H =- ( y, y ) Hotteniamo: 2 ( x, y ) H ( x, y ) H ( x, y ) H 0  (x,x)H– (x,y)H- ( x, y ) H + (y,y)H = ( y, y ) H ( y, y ) H 2 ( y, y ) H 2 2 2 2 ( x, y ) H ( x, y ) H ( x, y ) H ( x, y ) H = (x,x)H – - + = (x,x)H- ( y, y) H ( y, y) H ( y, y) H ( y, y) Hda cui segue immediatamente la disuguaglianza promessa dalla tesi.Definizione 2.1.2Sia (H,(,)H) uno spazio pre-hilbertiano, e consideriamo il funzionale:  H :H[0,+[ con x H := ( x, x ) H xHvogliamo allora provare che questo funzionale è una norma su H.Verifichiamo che: x H = x H xH e KPer le proprietà , e * del prodotto scalare segue che: 2 x H = (x, x ) H =  ( x, x ) H =  ( x, x ) H =  ( x, x) H = 40
  43. 43. =  ( x, x ) H =  x H xH e KVerifichiamo che: x+y H  x H + y H x,yHPer le proprietà , *,  del prodotto scalare e per la disuguaglianza diCauchy-Schwarz segue che: 2 x y H = (x+y,x+y)H= (x,x)H+(x,y)H+(y,x)H+(y,y)H = = (x,x)H+(x,y)H+ ( x, y ) H +(y,y)H = = (x,x)H+(y,y)H+2Re(x,y)H  (x,x)H+(y,y)H+2|(x,y)H|   (x,x)H+(y,y)H+2 ( x, x ) H ( y, y ) H = 2 2 = x H + y H +2 x H y H =( x H + y H )2e quindi passando alle radici otteniamo quanto voluto. La proprietà: x H =0  x=Hsegue direttamente dalla .Resta quindi dimostrato che  H è una norma su H ed è detta norma indotta dalprodotto scalare. Diciamo metrica indotta dal prodotto scalare e laindichiamo con dH la metrica indotta dalla norma  H . La topologia che siconsidera sullo spazio H è quella indotta dalla metrica dH. 41
  44. 44. Teorema 2.1.1Sia H uno spazio pre-hilbertianoTs (,)H:HHK è continuoDimPer dimostrare che il prodotto scalare è una funzione continua adoperiamo ilTeorema 1.2.15. Fissato un arbitrario (x0,y0)HH consideriamo unasuccessione {(xn,yn)}nN in HH convergente a (x0,y0) e proviamo quindi che lasuccessione {(xn,yn)H}nN converge a (x0,y0)H e per fare ciò adoperiamo ilTeorema 1.2.9 e dimostriamo che:(1) lim (xn,yn)H-(x0,y0)H=0 nPer la disuguaglianza Cauchy-Schwarz (xn,yn)H-(x0,y0)H = (xn,yn)H-(xn,y0)H+(xn,y0)H-(x0,y0)H   (xn,yn)H-(xn,y0)H+(xn,y0)H-(x0,y0)H = = (xn,yn-y0)H+(xn-x0,y0)H   xn H yn-y0 H + xn-x0 H y0 H nNe quindi abbiamo ottenuto che: 42
  45. 45. (2) (xn,yn)H-(x0,y0)H xn H yn-y0 H + xn-x0 H y0 H nNOsserviamo adesso che per il Teorema 1.2.7 la successione {xn}nN èconvergente e quindi per il Corollario 1.2.1 è limitata e sempre per il Teorema1.2.7 la successione {yn}nN è convergente a y0 e quindi per il Teorema 1.2.9 lasuccessione ordinaria reale { yn-y0 } H nN è infinitesima e pertanto da un nototeorema di analisi 1 che ci dice che il prodotto di una successione infinitesimaper una successione limitata è ancora una successione infinitesima, si ha(3) lim xn H yn-y0 H =0 n Analogamente:(4) lim xn-x0 H y0 H =0 n E quindi per la (3) e per la (4) passando al limite nella (2) otteniamo la (1) comevolevasi.Definizione 2.1.3Siano (H1, (,) H1 ), …, (Hn, (,) H n ) n spazi a prodotto scalare e poniamoH:=H1Hn. Si dimostra facilmente che il funzionale: n (,)H:HHK con (x,y)H:=  ( xi , y i ) Hi x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn)H i 1 43
  46. 46. è un prodotto scalare sul prodotto cartesiano H. Esplicitando la metrica indottada (,)H si osserva che questa è la metrica canonica euclidea.Definizione 2.1.4Uno spazio normato si dice unitario se esiste su di esso un prodotto scalareinducente la norma dello spazio. Banalmente ogni spazio a prodotto scalare èunitario.Definizione 2.1.5Sia (E,  E ) uno spazio normato, diciamo allora che la norma  E soddisfal’uguaglianza o la legge del parallelogramma se: 2 2 2 2 x+y E + x-y E =2( x E + y E ) x,yETeorema 2.1.2Sia (E,  E ) uno spazio normatoTs: E è uno spazio unitario   E soddisfa la legge del parallelogramma)Dim Per ipotesi: 44
  47. 47. (,)E:EEK prodotto scalare t.c. x E = ( x, x ) E xEPer le proprietà del prodotto scalare segue che: 2 2 x+y E + x-y E = (x+y,x+y)E+(x-y,x-y)H = … = 2 2 = 2(x,x)H+2(y,y)H=2 x E +2 y E = 2 2 = 2( x E + y E ) x,yHDim Consideriamo dapprima il caso in cui E è uno spazio normato reale. Vogliamoprovare allora che il funzionale: 1 E- 2 2(1) :EER con (x,y):= [ x+y x-y E] x,yE 4è un prodotto scalare che inducente la norma  E . Verifichiamo che  soddisfaalla proprietà  del prodotto scalare. Fissati x,y,zE allora per definizione: 1 E- 2 2(2) (x+y,z)= [ x+y+z x+y-z E] 4Facendo uso dell’uguaglianza del parallelogramma osserviamo che: E- 2 2 2 2 2(3) x+y+z E = (x+z)+y E = 2 x+z E +2 y x+z-y EAnalogamente E- 2 2 2 2 2(4): x+z-y E = z-y+x E = 2 z-y E +2 x z-y-x E = 45
  48. 48. E- 2 2 2 = 2 z-y E +2 x x+y-z Eed ancora: E -2 2 2 2 2(5) 2 x E = x+z E+ x-z z E E -2 2 2 2 2 2 y E = y+z E+ y-z z ESostituendo la (4) nella (3), e successivamente sostituendo in tale espressione ledue relazioni della (5) ed in conclusione sostituendo il tutto nella (2) otteniamo: 1 1 E- E- 2 2 2 2 (x+y,z)= [ x+z x-z E ]+ [ y+z y-z E ]=(x,z)+(y,z) 4 4Con procedimenti analoghi si prova che  soddisfa alla proprietà  del prodottoscalare. La proprietà  è immediata poiché il coniugato di un numero reale è sestesso. Per quanto riguarda la verifica della  e della  basta osservare che: 1 1 2 1 E- 2 2 2 2(6) (x,x)= [ x+x x-x E ]= 2x E= 4 x E= x E xE 4 4 4E quindi resta dimostrato che  è un prodotto scalare reale che ovviamenteinduce alla norma di E, basta infatti passare alle radici nella (6). Consideriamoadesso il caso in cui E uno spazio normato sul corpo complesso che possiamoriguardare come un R-spazio vettoriale e quindi per quanto dimostrato possiamoconsiderare su di esso il prodotto scalare  definito nella (1), prendiamo allorain considerazione il funzionale: 46
  49. 49. :HHC con (x,y) = (x,y)-i(x,-iy) x,yEche per il Corollario 2.1.1 è un prodotto scalare sul C-spazio vettoriale H e cheinduce alla norma di E, infatti: 1 1 E- E- 2 2 2 2(x,x)=(x,x)-i(x,-ix)= [ x+x x-x E ]+ i[ x+ix x-ix E ]= 4 4 2 1 2 1 E- E -|1-i| 2 2 2 2 = x E+ i[ (1+i)x (1-i)x E ]= x E+ i[|1+i| x x E] = 4 4 2 1 E- 2 2 2 2 = x E+ i[ 2 x 2 x E] = x E +0 = x E xE 4e quindi estraendo le radici otteniamo quanto voluto. Il seguente semplice ma importante risultato ci mostra una classenotevolissima di spazi uniformemente convessi che è quella degli spazi aprodotto scalare.Teorema 2.1.3Sia H uno spazio pre-hilbertianoTs: H è uniformemente convessoDimDobbiamo dimostrare che: 47
  50. 50. x y ]0,2[ >0 t.c. x,y B(H,1) con x–y H   1- 2 HFissiamo quindi un ]0,2[ ed x,y B(H,1) tali che x-y H  e andiamo atrovare l’opportuno >0. Teniamo presente che essendo x,y B(H,1) allora:(1) x H 1 e y H 1 2inoltre essendo x-y H  segue x  y H  2  e quindi: 2(2) - x y H - 2 Dall’uguaglianza del parallelogramma dalla (1) osserviamo che: 2 2 2 2 x y H + x y H = 2( x H + y H )  2(1+1) = 4segue allora dalla (2) che: 2 2 x y H =4- x y H  4-2dividendo il primo e l’ultimo membro per 4 e passando alle radici otteniamo: x y 2  1 2 4 He pertanto risulta evidente che la scelta opportuna è: 2 =1- 1  4e si ha quanto voluto. 48
  51. 51. Diamo adesso alcuni esempi notevoli di spazi a prodotto scalare.Esempio 2.1.1Consideriamo il corpo K che come noto può essere riguardato come uno spaziovettoriale su se stesso. Si verifica allora facilmente che il funzionale: (x,y )K:= x y x,yKè un prodotto scalare su K.Esempio 2.1.2Consideriamo lo spazio euclideo n-dimensionale H=Kn che come noto è unospazio vettoriale su K. Ogni fattore K è munito del prodotto scalare definitonell’Esempio 2.1.1 e quindi per definizione sul prodotto cartesiano H siconsidera il prodotto scalare: n (x,y )H:=  xi yi x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn)H i 1noto come prodotto scalare euclideo. 49
  52. 52. Esempio 2.1.3Sia E uno spazio vettoriale su K di dimensione finita n, sia {x1,…,xn} una base di x xHamel per E e fissato un qualunque xE denotiamo con 1 ,…,  n K lecomponenti del vettore x rispetto alla base di Hamel {x1,…,xn}, si verifica allorafacilmente che il funzionale: n (x,y )E:=   ix iy x,yE i 1è un prodotto scalare su E. Evidentemente il prodotto scalare euclideo vistonell’Esempio 2.1.2 è un caso particolare del prodotto scalare appena trattato.Esempio 2.1.4Consideriamo l’insieme:    l2:=  {xn}nN : xnK nN e  |xn|2<+   n 1 si verifica facilmente che con le ovvie operazioni di somma e prodotto l2 è unsottospazio vettoriale del K-spazio vettoriale RN. Si verifica inoltre che ilfunzionale:  ({xn},{yn})l2:=  xnyn {xn},{yn}l2 n1 50
  53. 53. è un prodotto scalare su l2.Esempio 2.1.5Consideriamo lo spazio H=C0([0,1],R), si può allora dimostrare che con le ovvieoperazioni di somma e prodotto tale spazio risulta essere un R-spazio vettoriale.Allora si verifica facilmente che il funzionale: 1 (f,g)H:= 0 f(t)g(t)dt f,gHè un prodotto scalare su H.Esempio 2.1.6Vogliamo dare adesso un esempio di spazio di Banach che non sia a prodottoscalare. Poniamo E:=R2 e consideriamo su di esso il seguente funzionale che siverifica agevolmente essere una norma:  E :E[0,+[ con x E =|x1|+|x2| x=(x1,x2)Hrispetto a tale norma lo spazio E è Banach infatti se si esplicita la metrica indottadalla norma  E allora si osserva che questa altro non è che la metrica canonica3 introdotta nella Definizione 1.2.19 e pertanto essendo R per il Teorema 1.2.19 51
  54. 54. uno spazio completo allora per il Teorema 1.2.18 segue che (E,  E ) è completo.Tuttavia lo spazio (E,  E ) non è uno spazio unitario cioè non esiste un prodottoscalare su E che induce la norma  E e per dimostrare ciò facciamo uso delTeorema 2.1.2 e dimostriamo quindi che esiste almeno una coppia di punti incorrispondenza dei quali la norma  E non soddisfa l’uguaglianza delparallelogramma. Basta considerare ad esempio x=(0,1) e y=(1,0) infatti: 2 2 2 2 2 2(1) x+y E+ x-y E= (0,1)+(1,0) E+ (0,1)-(1,0) E= (1,1) E+ (-1,1) E= 2 2 =2 +2 =4+4=8 2 2 2 2(2) 2 x E +2 y E =2 (0,1) E +2 (1,0) E =2+2=4ed è evidente che non sussiste l’uguaglianza tra (1) e (2).2.2 Spazi di Hilbert. Proprietà. Esempi.Definizione 2.2.1Diciamo che uno spazio a prodotto scalare è di Hilbert se è di Banach.Teorema 2.2.1Sia H uno spazio di Hilbert 52
  55. 55. Ts: H è riflessivoDimPer il Teorema 2.1.3 H è uniformemente convesso e quindi segue direttamentedal teorema di Milliman-Pettis che H è riflessivo.Teorema 2.2.2Sia (H,(,)H) uno spazio a prodotto scalare ~Ts: Il completamento ( H ,  ~) H è uno spazio unitarioDimFacciamo uso del Teorema 2.1.2 e dimostriamo che la norma  H soddisfa ~ ~l’uguaglianza del parallelogramma. Fissiamo quindi due arbitrari vettori u,v H .Per definizione di completamento: ~ ~ :H H isometria lineare t.c. (H) = H ~Poiché u,v H = (H) allora per il Teorema 1.2.10 segue che: {un}nN e {vn}nN in (H) t.c. lim un=u e lim vn=v n  n Poiché un,vn(H) nN allora: nN xn,ynH t.c. un=(xn) e vn=(yn)Per la linearità di  e per il Teorema 1.2.24 segue che: 53
  56. 56. un+vn 2 ~+ H un-vn 2 ~ H = (xn)+(yn) 2 ~+ H (xn)-(yn) 2 ~ H = = (xn+yn) 2 ~+ H (xn-yn) 2 ~ H = = xn+yn 2 H + xn-yn 2 H =2 xn 2 H +2 yn 2 H = 2 2 = 2 un ~ +2 H vn ~ H nNper il Teorema 1.2.20, per la Proprietà 1.2.10 e per il Teorema 1.2.15, passandoal limite per n otteniamo quanto voluto.Corollario 2.2.1Sia (H,(,)H) uno spazio a prodotto scalare ~Ts: Il completamento ( H ,  ~) H è uno spazio di HilbertTeorema 2.2.3Siano (H1, (,) H1 ), …, (Hn, (,) H n ) n spazi a prodotto scalare e H:=H1Hn.Ts: H è di Hilbert  H1,..,Hn sono di HilbertDim 54
  57. 57. Abbiamo già fatto osservare che la metrica indotta dal prodotto scalare (,)H è lametrica euclidea e pertanto applicando di peso il Teorema 1.2.18 si ottienel’asserto.Esempio 2.2.1Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.1 che lo spazio K con: (x,y )K:= x y x,yKè uno spazio a prodotto scalare, ed è anche di Banach infatti la metrica indottadal prodotto scalare in questione è proprio la metrica standard dK(x,y)=|x-y|x,yK e rispetto a tale metrica per il Teorema 1.2.19 il corpo K risulta esserecompleto.Esempio 2.2.2Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.2 che lo spazio H=Kn con: n (x,y )H:=  xi yi x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn)Kn i 1è uno spazio a prodotto scalare, inoltre nell’Esempio 2.2.1 abbiamo osservatoche il fattore K è di Hilbert e quindi segue dal Teorema 2.2.3 che H è di Hilbert. 55
  58. 58. Esempio 2.2.3Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.4 che lo spazio H=l2 con:  ({xn}nN,{yn}nN)l2:=  xnyn {xn}nN,{yn}nNl2 n1è un prodotto scalare su l2, e rispetto ad esso lo spazio l2 risulta essere uno spazidi Hilbert. Rimandiamo la dimostrazione della completezza dello spazio l2 alCorollario 2.6.1.Esempio 2.2.4Vogliamo dare adesso un esempio di spazio a prodotto scalare che non sia diHilbert. Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.5 che lo spazio H=C0([0,1],R) con: 1 (f,g)H:= 0 f(t)g(t)dt f,gHè uno spazio a prodotto scalare, vogliamo allora dimostrare che rispetto a taleprodotto lo spazio H non è uno spazi di Hilbert. La norma indotta dal prodottoscalare in questione è: 1/ 2  1 2  f H =  0 |f(t)| dt   fH   56
  59. 59. Dobbiamo provare che esiste una successione di Cauchy in H che non èconvergente. Per ogni fissato nN consideriamo la funzione reale: n se x  [0, e  n ] fn:[0,1]R con fn(x):=  x[0,1]  ln(1/x) se x  [e  n ,1]e proviamo quindi che la successione {fn}nN è di Cauchy. Si tenga presente cheper costruzione le funzioni fn sono non negative. Preliminarmente vogliamoverificare che:(1) fn(x)  ln(1/x) x]0,1] e nN -n -nFissato nN ed un x]0,1]. Se x]0,e ] allora fn(x)=n ed inoltre 0<xe equindi passando al logaritmo otteniamo ln(x)-n cioè n-ln(x)=ln(1/x) e quindifn(x)ln(1/x). Mentre se x]e-n,1] allora per definizione fn(t)=ln(1/x).Osserviamo che: 2 1 en 1 fn+p-fn = H 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt= 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt+ e  n |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt = en 1 = 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt+ e  n |ln(1/t)-ln(1/t)|2dt= en = 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt n,pNcioè: 2 en(2) fn+p-fn H = 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt n,pN 57
  60. 60. Per la sub-additività del funzionale modulo e dalla (1) segue che: |fn+p(x)-fn (x)|  |fn+p(x)|+|fn (x)| = fn+p(x)+fn (x)  ln(1/x)+ln(1/x) = = 2ln(1/x)= -2ln(x) x]0,1]quadrando ed integrando tra 0 e e-n, e successivamente confrontando con la (2)otteniamo: e n 2 en   fn+p-fn H  0 4[ln(t)]2dt = … = 4  t[ln(t)]2-2tln(t)+2t  =  0 = … = 4[(n+1)2+1]e-n n,pNe pertanto essendo {4(n+1)2e-n}nN una successione infinitesima allora per laProprietà 1.2.3 segue che la successione {fn}nN è di Cauchy. Per concludere ilnostro esempio dobbiamo fare vedere che la successione {fn}nN non èconvergente e quindi fissata una qualunque funzione hH dobbiamo provareche {fn}nN non converge ad h. A tale scopo consideriamo: 1  :H[0,+[ con f := 0 |f(t)|dt fHche si verifica essere una norma su H. Vogliamo osservare che:(3) f  f H fH 58
  61. 61. Fissiamo una qualunque fH e consideriamo la funzione u:[0,1]R con u(x)=1x[0,1] allora facendo uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarzotteniamo: 1 1 f = 0 |f(t)|dt= 0 |f(t)|u(t)dt |f| H u H = f H u H = = f H (1-0)1/2= f Hcome volevasi. Dalla (3) in particolare otteniamo che f-g  f-g H f,gHe questo per il Teorema 1.2.12 è condizione sufficiente per affermare che latopologia indotta da  è meno fine della topologia indotta da  H e quest’ultimaaffermazione per il Teorema 1.2.11 equivale a dire che se una successione in Hconvergente rispetto a  H allora è convergente anche rispetto a  . Alla luce diquanto detto se riusciamo ad dimostrare che la successione {fn}nN non convergead h rispetto alla norma  , allora necessariamente questa non convergerà ad hneanche rispetto alla norma  H . Osserviamo che: 1 en 1(4) fn-h H = 0 |fn(t)-h(t)|dt = 0 |fn(t)-h(t)|2dt+ e  n |fn(t)-h(t)|2dt  en  0 |fn(t)-h(t)|2dt nNPer il Teorema di Heine-Pincherle-Borel l’intervallo [0,1] è compatto e quindiper il Teorema di Weierstrass la f è limitata e pertanto la quantità: 59
  62. 62. := sup |h(x)| x[ 0,1]è finita. Essendo come noto la funzione modulo || una norma allora per laProprietà 1.1.3 vale: |fn(x)-h(x)|  ||fn(x)|-|h(x)||  |fn(x)|-|h(x)|  fn(x)- x[0,1] e nNintegrando tra 0 e e-, e successivamente confrontando con la (4) otteniamo: e  en e  fn-h  0 [fn(t)-]dt = 0 [fn(t)-]dt+ e  n [fn(t)-]dt = en e  en e  = 0 [n-]dt+ e  n [ln(1/t)-]dt = 0 [n-]dt- e  n [ln(t)+]dt = e    = … = [n-]e-n-  t ln(t)-t+  =e-n[2n-2+1]+e- n   enl’ultimo membro della catena tende a e->0 per n e pertanto segue che iltermine fn-h non è infinitesimo e questo per il Teorema 1.2.9 significaproprio che la successione {fn}nN non converge ad h rispetto alla norma  ,come volevasi. 60
  63. 63. 2.3 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert. Teorema fondamentale degli spazi di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.Proprietà 2.3.1Sia H spazio a prodotto scalare, sia y H e consideriamo il funzionale :HKcon (x):=(x,y)H xHTs: H* e  H* = y HDimLa linearità di  è conseguenza immediata delle proprietà  e  del prodottoscalare mentre la continuità segue immediatamente dal Teorema 2.1.1 e dalTeorema 1.2.16. Ci rimane da provare che la norma del funzionale  coincidecon la norma del vettore y. Se y=H allora l’uguaglianza della tesi è banalmentesoddisfatta consideriamo quindi il caso in cui yH. Proviamo che:(1)  H*  y HDalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz segue che: (x):=(x,y)H ( x, x ) H ( y, y ) H = x H y H xHsegue: 61
  64. 64.  ( x)  y H xH{H} x He quindi passando al sup su H{H} otteniamo la (1). Viceversa proviamo che:(2) y H   H*Poiché il funzionale lineare  è continuo allora per il Teorema 1.2.23 segue che:(3)  (x)  H* x H xHDenotiamo adesso con x0 il vettore normalizzato di y e calcoliamo il funzionale su tale vettore:  y   y  y y 2 (x0)=   := ,y  = (y,y)H= y H = y  y   y H y yH H H H He quindi dalla (3) in corrispondenza a tale vettore x otteniamo la (2).Definizione 2.3.1Sia H uno spazio a prodotto scalare e siano x,yH, diciamo allora che i vettori xed y sono ortogonali se hanno prodotto scalare nullo cioè se (x,y)H=0.Proprietà 2.3.2Sia H spazio a prodotto scalare e siano x1,…,xnH vettori a due a due ortogonaliTs: Valgono allora le seguenti affermazioni: 62
  65. 65. 2 2 2() x1++xn H = x1 H + + xn H() 1,…,nK allora i vettori 1x1,…, nxn sono a due a due ortogonali() Se x1,…,xn sono non nulli allora sono linearmente indipendentiDimVerifichiamo la (). Consideriamo per semplicità il caso n=2, che banalmente siestende per induzione. 2 x1+x2 H = (x1+x2,x1+x2)H=(x1,x1)H+(x1,x2)H+(x2,x1)H+(x2,x2)H=(x1,x1)H+(x2,x2)H= 2 2 = x1 H + x2 HVerifichiamo la (). Fissati i,j{1,…,n} con in allora: (ixi,jxj)H = i  j (xi,xj)H =i  j 0=0Verifichiamo la (). Siano 1,...,nK tale che: n(1)  ixi=H i 1e proviamo quindi che 1=…=n=0. Fissiamo un qualunque indice j=1,...,n efacciamo vedere che j=0. Moltiplicando ambo i membri della (1) per il vettorexj otteniamo:  n  n 2 0=   ixi,xj  =  i(xi,xj)H = j(xj,xj)H = j xj  H i 1 H i 1 63
  66. 66. 2cioè j xj H =0 ed essendo per ipotesi xjH  xj H 0 e quindi devenecessariamente essere che j=0.Definizione 2.3.2Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AH. un insieme non vuoto Diciamocomplemento ortogonale di A e lo indichiamo con A  l’insieme costituito daivettori di H che sono ortogonali ad ogni vettori di A cioè: A  :={yH : (y,x)H=0 xA}In particolare nel caso A:={x} cioè nel caso in cui A è un singoletto allora: x  :={yH : (y,x)H=0}Proprietà 2.3.3Sia H uno spazio a prodotto scalare e siano A,BH insiemi non vuotiTs: Valgono allora le seguenti affermazioni:() A (A  ) () Se AB allora B   A () Se A B  allora B A Dim 64
  67. 67. Verifichiamo la (). Sia xA e proviamo quindi che x è ortogonale ad ognivettore di A  . Sia y A  e pertanto essendo xA allora (x,y)H=0.Verifichiamo la (). Sia x B  e proviamo quindi che x è ortogonale ad ognivettore di A. Fissato un qualunque yA allora segue dall’ipotesi che yB epertanto essendo x B  segue che (x,y)H=0 come volevasi.Verifichiamo la (). Poiché A B  segue allora dalla () che (B  )   A  equindi segue dalla () che B A  .Lemma 2.3.1Sia H uno spazio a prodotto scalare, sia xHTs: x  è un sottospazio vettoriale chiuso di HDimConsideriamo il funzionale: :HK con (y):=(y,x)H xHche per la Proprietà 2.3.1 è lineare e continuo. Osserviamo allora che: x  ={yH : (y,x)H=0}=:Ker()e pertanto x  è un sottospazio vettoriale di H ed chiuso per la continuità di . 65
  68. 68. Proprietà 2.3.4Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AH insieme non vuotoTs: Valgono allora le seguenti affermazioni:() H A () A A  {H} e se HA allora A A  ={H}() A  =  x  ed è un sottospazio vettoriale chiuso di H x A( ) A  =[span(A) ]  =[ span (A) ] DimVerifichiamo la (). Basta osservare che H è ortogonale ad ogni vettore.Verifichiamo la (). Se A A  = la tesi è immediata. Consideriamo quindi ilcaso in cui A A  . Sia xA A   (x,x)H=0  x=H cioè x{H}. Per la() e per l’ipotesi segue che {H}A A  e quindi avendo già osservato cheA A  {H} si ottiene quanto voluto.Verifichiamo la (). Sia y A   (y,x)H=0 xA  y x  xA. Infinericordando che l’intersezione di chiusi è un chiuso e che l’intersezione disottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale allora avendo dimostrato che A si può scrivere come intersezione dei complementi ortogonali dei vettori di A,per il Lemma 2.3.1 segue che A  è un sottospazio vettoriale chiuso. 66
  69. 69. Verifichiamo la (). Proviamo che A  =[span(A) ]  . Poiché Aspan(A) alloraper la Proprietà 2.3.3 segue che [span(A) ]   A  . Viceversa sia x A  {x} A  segue dalla Proprietà 2.3.3 che A{ x} = x  e quindi essendo x  perLemma 2.3.1 un sottospazio vettoriale allora span(A) x  segue dalla Proprietà2.3.3 che {x}[span(A) ]  cioè x[span(A) ]  . Proviamo adesso cheA  =[ span (A) ]  . Poiché Aspan(A) span (A) segue allora dalla Proprietà2.3.3 che [ span (A) ]   A  . Viceversa sia x A  e proviamo quindi che x èortogonale ad ogni vettore di span (A). Sia y span (A) segue allora dalTeorema 1.2.10 che esiste {yn}nN in span(A) convergente ad y. Abbiamo giàdimostrato che A  =[span(A) ]  : e quindi essendo x A  allora x[span(A) ] e pertanto (x,yn)H=0 nN e quindi in definitiva passando al limite per n peril Teorema 2.1.1 e per il Teorema 1.2.15 otteniamo che (x,y)H=0 come volevasi.Teorema 2.3.1 (esistenza dell’elemento di minima norma)Sia H uno spazio di Hilbert, sia KH un insieme chiuso e convessoTs: ! z0K t.c. z0 H := inf x H xKDim 67
  70. 70. Poniamo: := inf x H xKPer la Proprietà 1.2.7 segue che:(1) {zn}nN in K t.c. lim zn H = n Essendo K un convesso allora: x y x y 1  1 (2) = + = x+  1-  yK x,yK  2 2 2 2  2  Per la disuguaglianza del parallelogramma, per la (1) e per la (2) segue che: 2 2 2 2 2 2 2 x y x-y H = 2( x H + y H )- x+y H = 2( x H + y H )-4  2 E  2( x 2 H + y 2 H )-42 x,yKcioè:(3) x-y 2 H 2( x 2 H + y 2 H )-42 x,yKE quindi in corrispondenza a {zn}nN dalla (3) otteniamo: zn-zm 2 H  2( zn 2 H + zm 2 H )-42 n,mNper la (1) passando al limite: zn-zm 2 H  0 n  m  68
  71. 71. e questo evidentemente ci dice che lo successione {zn}nN è d Cauchy in H che ècompleto per ipotesi e quindi: z0H t.c. lim zn=z0 n Essendo K un chiuso per il Teorema 1.2.10 segue che z0K. Per la Proprietà1.2.10 il funzionale norma è continuo e quindi segue dal Teorema 1.2.15 che:(4) lim zn H = z0 H n e quindi confrontando la (1) con la (4) otteniamo z0 H =. Ci rimane daverificare l’unicità dell’elemento di minima norma. Supponiamo che esistanoz1,z2K tali che z1 H = z2 H = allora per la (3) osserviamo che: z1-z2 2 H  2( z1 2 H + z2 2 H )-42 = 2(2+2)-42 = 42-42 = 0e quindi passando alle radici si ha z1-z2 H =0 e questo per una proprietàcaratteristica della norma ci dice proprio che z1=z2 come volevasi.Lemma 2.3.2Sia H uno spazio di Hilbert, sia FH un sottospazio vettoriale chiuso, sia xHTs: ! zxF t.c. x-zx H := inf x-x H e x-zx F  xFDim 69
  72. 72. Per ipotesi F è un sottospazio vettoriale e quindi in particolare è un convessosegue allora dalla Proprietà 1.1.1 che il traslato F-x è un convesso ed inoltre perla Proprietà 1.2.11 è pure un chiuso e quindi segue direttamente dal teorema diesistenza dell’elemento di minima norma che esiste un unico vettore zxF la cuidistanza da x e eguaglia la distanza di x da F. Proviamo adesso che il vettore x-zx F  . Per semplicità poniamo w:=x-zx e dimostriamo quindi che tale vettore èortogonale ad ogni vettore di F. Prendiamo quindi un arbitrario vettore yF efacciamo vedere che (w,y)H=0 e chiaramente possiamo supporre yH poiché nelcaso y=H l’asserto è banale. Sia  un qualunque scalare di K e quindi essendo Fun sottospazio vettoriale allora il vettore zx+yF e poiché per costruzione laquantità w H è l’inf delle distanze dei vettori di F da x, allora: 2 2 2 2 w H  x-(zx+y) H = x-zx-y H = w-y H = (w-y,w-y)H = =…= (w,w)H- (w,y)H- (w, y ) H +  2 (y,y)Hposto: ( w, y ) H := ( y, y ) He sostituendo: 70
  73. 73. 2 (w, y ) H (w, y ) H ( w, y ) H w 2 H  (w,w)H- (w,y)H- (w, y ) H + 2 (y,y)H = ( y, y ) H ( y, y ) H ( y, y ) H 2 2 2 2 ( w, y ) H ( w, y ) H ( w, y ) H ( w, y ) H = (w,w)H- - + = w 2 H - ( y, y ) H ( y, y ) H ( y, y ) H ( y, y ) Hsegue: 2 ( w, y ) H 0 ( y, y ) H 2essendo yH allora (y,y)H>0 ed essendo ( w, y ) H una quantità non negativa 2allora necessariamente deve essere che ( w, y ) H =0 segue (w,y)H=0 cioè ilvettore w ortogonale a al vettore y come volevasi.Teorema 2.3.2 (fondamentale degli spazi di Hilbert)Sia H uno spazio di Hilbert e sia FH un sottospazio chiusoTs: H=F F  e F=( F  ) DimPer la Proprietà 2.3.4 si ha che F F  ={H} e per il Teorema 1.1.1 questosignifica che F+ F  è somma diretta. Ci rimane da provare che H=F+ F  .Banalmente F+ F  H.. Viceversa per il Lemma 2.3.2 esiste un vettore zxF tale 71
  74. 74. che x-zx F  e quindi banalmente x=zx+(x-zx)F+ F  . Ci rimane da dimostrareche F=( F  )  . Segue direttamente dalla Proprietà 2.3.3 che F( F  )  .Viceversa sia x( F  )  , allora essendo H=F  F  esistono unici zxF e wx F tali che x=zx+wx e quindi risulta evidente che se riusciamo a dimostrare chewx=H allora otteniamo quanto voluto, poiché in tal caso si avrebbe che x=zxF.Essendo x( F  )  osserviamo allora che: 0 = (x,wx)H = (zx+wx,wx)H = (zx,wx)H+(wx,wx)H = 0+(wx,wx)H = (wx,wx)He questo per la proprietà  del prodotto scalare è vero se e solo se wx=H.Corollario 2.3.1Sia H uno spazio di Hilbert, sia AH un insieme non vuotoTs: span (A)=H  A  ={H}Dim Per la Proprietà 2.3.4 e dall’ipotesi segue che A  =[ span (A) ]  = H  ={H}.Dim Per la Proprietà 2.3.4 e dall’ipotesi osserviamo che [ span (A) ]  = A  ={H} equindi segue dal teorema fondamentale degli spazi di Hilbert che: 72
  75. 75. H = span (A)+[ span (A) ]  = span (A)+{H} = span (A) Nelle applicazioni della teoria generale riveste grande importanza laconoscenza della forma generale dei funzionali lineari negli spazi concreti. Performa generale dei funzionali lineari di una data classe si intende unespressioneanalitica che contiene parametri di vario genere (numeri, vettori, funzioni, ecc.)la quale, per valori fissati dei parametri, dà un funzionale della classe data;inoltre i funzionali cosi ottenuti esauriscono tutti i funzionali considerati. Qui diseguito è riportato uno dei più noti teoremi di rappresentazione dovuto almatematico ungherese Frederic Riesz.Lemma 2.3.3Sia H uno spazio a prodotto scalare siano y,zHTs: Se (x,y)H=(x,z)H xH allora y=zDimPer ipotesi (x,y)H=(x,z)H xH  che (x,y-z)H=0 xH  y-z H  ={H} y-z=H cioè y=z.Lemma 2.3.4 73
  76. 76. Sia H uno spazio di Hilbert e sia FH un sottospazio vettoriale chiusoTs: F  {H}DimSupponiamo per assurdo che F  ={H} allora per il teorema fondamentale deglispazi di Hilbert segue che H=F+ F  =F+{H}=F e siamo ad un assurdo.Teorema 2.3.3 (di rappresentazione di Riesz)Sia H uno spazio di Hilbert, sia H*Ts: ! yH t.c. (x):=(x,y)H xHDimSe  è identicamente nullo allora evidentemente basta scegliere y=H.Consideriamo quindi il caso in cui  non è identicamente nullo. Poniamo: - F:= 1(0)={xH : (x)=0}che come sappiamo è un sottospazio vettoriale di H ed è chiuso per la continuitàdi  ed inoltre F è contenuto propriamente in H, infatti se per assurdo F=H alloraessendo per definizione F il nucleo del funzionale  segue che Ker()=H cioè è identicamente nullo e siamo ad un assurdo. Per il Lemma 2.3.4 segue chez F  con zH e denotiamo con z0 il vettore normalizzato di z che ovviamente 74

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