Processi Stocastici

1. Processo di Ornstein–Uhlenbeck:
Formulazioni, Proprietà, Importanza
Giuseppe Torrisi
Università di Roma "La Sapienza"
22 Gennaio 2015

2. Processo di
Ornstein–Uhlenbeck
Markoviano
Continuo
Processo
Stocastico
2 / 16 Giuseppe Torrisi Processo di Ornstein–Uhlenbeck

3. Processo Stocastico
Definizione
Siano dati (Ω, A , µ), (S, B(S)) ed un insieme Iche rappresenta un
parametro da cui il processo dipende, si definisce un processo stocastico
una funzione
X : (Ω ⊗ I) → S
tale che ∀t ∈ I si ha che Xt : Ω → S è una funzione misurabile
traettoria
problema di inversione (Kolmogorov)
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4. Processo Stocastico
Definizione
Siano dati (Ω, A , µ), (S, B(S)) ed un insieme Iche rappresenta un
parametro da cui il processo dipende, si definisce un processo stocastico
una funzione
X : (Ω ⊗ I) → S
tale che ∀t ∈ I si ha che Xt : Ω → S è una funzione misurabile
traettoria
problema di inversione (Kolmogorov)
3 / 16 Giuseppe Torrisi Processo di Ornstein–Uhlenbeck

5. Processo Stocastico
Definizione
Siano dati (Ω, A , µ), (S, B(S)) ed un insieme Iche rappresenta un
parametro da cui il processo dipende, si definisce un processo stocastico
una funzione
X : (Ω ⊗ I) → S
tale che ∀t ∈ I si ha che Xt : Ω → S è una funzione misurabile
traettoria
problema di inversione (Kolmogorov)
3 / 16 Giuseppe Torrisi Processo di Ornstein–Uhlenbeck

6. Markovianità
Definizione
Un processo stocastico X(t) si definisce Markoviano se:
p(x1, t1; . . . xn, tn|y1τ1; . . . ymτm) = p(x1, t1; . . . xn, tn|y1τ1)
con τi−1 > τi
Tramite:
proprietà di riduzione
definizione di probabilità condizionata
si ottiene la formula di Chapman–Kolmogorov
p(x1, t1|x3, t3) =
Ω
dx2p(x1, t1|x2, t2)p(x2, t2|x3, t3)
per t1 > t2 > t3
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7. Markovianità
Definizione
Un processo stocastico X(t) si definisce Markoviano se:
p(x1, t1; . . . xn, tn|y1τ1; . . . ymτm) = p(x1, t1; . . . xn, tn|y1τ1)
con τi−1 > τi
Tramite:
proprietà di riduzione
definizione di probabilità condizionata
si ottiene la formula di Chapman–Kolmogorov
p(x1, t1|x3, t3) =
Ω
dx2p(x1, t1|x2, t2)p(x2, t2|x3, t3)
per t1 > t2 > t3
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8. Continuità
Diverse formulazioni possibili
Definizione
Si definisce la continuità debole:
lim
∆t→0
Pr |x(t + ∆t) − x(t)| > = 0 ∀ > 0
Un processo stocastico Markoviano è descritto dall’equazione di
Chapman–Kolmogorov integro differenziale
se tale processo è anche continuo l’equazione di
Chapman–Kolmogorov integro differenziale si riduce all’equazione di
Fokker-Planck
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9. Continuità
Diverse formulazioni possibili
Definizione
Si definisce la continuità debole:
lim
∆t→0
Pr |x(t + ∆t) − x(t)| > = 0 ∀ > 0
Un processo stocastico Markoviano è descritto dall’equazione di
Chapman–Kolmogorov integro differenziale
se tale processo è anche continuo l’equazione di
Chapman–Kolmogorov integro differenziale si riduce all’equazione di
Fokker-Planck
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10. Fokker-Planck
Fokker-Planck
È un’equazione differenziale alle derivate parziali
∂tp(x, t|z, t0) = −∂x [A(x, t)p(x, t|z, t0)] +
∂2
x
2
[B(x, t)p(x, t|z, t0)]
p(x, t0|z, t0) = δ(x − z)
A(x, t) = lim
∆t→0
1
∆t |z−x|<
dz(x − z)p(z, t + ∆t|x, t)
B(x, t) = lim
∆t→0
1
∆t |z−x|<
dz(x − z)2
p(z, t + ∆t|x, t)
Condizioni al bordo
Il comportamento al bordo
rende il problema ben posto
rispecchia il problema fisico in esame
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11. Processo di Ornstein–Uhlenbeck
Ornstein–Uhlenbeck
Il processo di Ornstein–Uhlenbeck si realizza per A (x, t) = −kx,
B (x, t) = D2
. L’equazione di Fokker-Planck associata è:
∂tp = k∂x (xp) +
D2
2
∂2
p (1)
Si tratta di un sistema in cui la diffusione viene bilanciata da un termine
di richiamo. Risolvendo l’eq.(1) tramite la funzione caratteristica si
ottiene che p(x, t) segue una distribuzione normale con media e varianza:
µ = x0 exp−kt
σ2
(t) =
D2
2k
1 − exp−2kt
Omogeneità tempoale
Poichè A(x,¡et), B(x,¡et)è definito positivo; il processo di
Ornstein–Uhlenbeck è omogeneo, quindi ammette uno stato stazionario
nel limite a grandi tempi
Ritorna alle SDE
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12. Stazionarietà
Definizione
Un sistema stocastico si trova in uno stato stazionario se p(x, t) = ps(x)
ed p(x, t|x0, t0) = ps(x, t − t0)
L’eq Fokker Planck unidimensionale si riconduce ad un’equazione di
continuità ∂tp = −∂x J(x, t) in cui la condizione di stazionarietà si
traduce in J(x) = cost, la soluzione J(x) = 0
p0(x) =
N
B(x)
exp 2
x
a
dx
A(x )
B(x )
(2)
la soluzione potenziale ed è associata all’invarianza del sistema per
inversione temporale.
Esistenza soluzione potenziale
Il tipo di soluzione stazionaria ammessa dal problema dipende dalla scelta
delle condizioni al bordo; il processo di Ornstein–Uhlenbeck presenta il
potenziale di richiamo che confina il processo,cosicché ammette sempre la
soluzione potenziale
Non stazionarie .
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13. Processo di Wiener
Processo di Wiener
Il processo di Wiener si realizza per: A (x, t) = 0, B (x, t) = 1
è un processo puramente diffusivo
la densità di probabilità è una gaussiana
p(x, t|x0, t0) = 1
2π(t−t0) exp−
(x−x0)2
2(t−t0)
è continuo ma non è differenziabile
è un processo a incrementi indipendenti
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14. Equazioni differenziali stocastiche
Equazioni differenziali stocastiche (SDE)
Le SDE permettono di dare un significato alla scrittura
dx = a(x, t)dt + b(x, t)dW (3)
dove W (t) rappresenta un processo di Wiener
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15. Equazioni differenziali stocastiche
Equazioni differenziali stocastiche (SDE)
Le SDE permettono di dare un significato alla scrittura
dx = a(x, t)dt + b(x, t)dW (3)
dove W (t) rappresenta un processo di Wiener
Integrazione stocastica
integrali alla Riemann: qualunque sia la decomposizione del dominio,
le classi delle somme integrali superiori e inferiori sono contigue
integrale Riemann-Stieltjes coincide con l’usuale integrazione di
Riemann se W (t) fosse di classe C1
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16. Equazioni differenziali stocastiche
Equazioni differenziali stocastiche (SDE)
Le SDE permettono di dare un significato alla scrittura
dx = a(x, t)dt + b(x, t)dW (3)
dove W (t) rappresenta un processo di Wiener
Integrale di Ito
Si definisce integrale di Ito:
t
t0
G(x, t )dW (t ) = ms − lim
n→∞
n
i=1
G(xi−1, ti−1) (W1 − Wi−1) (4)
G(x, t) è una funzione non anticipante, ovvero è statisticamente
indipendente da W (s) − W (t) ∀t < s
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17. Proprietà integrale di Ito
Proprietà fondamentali dell’integrale di Ito
df (x, t) = ∂tf (x, t)dt + ∂x f (x, t)dx + ∂2
x f (x, t)b2
(x, t)dt
G(x, t )dW (t ) = 0
Ad una SDE si associa una Fokker-Planck con
A(x, t) = a(x, t) B2
(x, t) = b(x, t)
la proprietà di correlazione a tempi diversi
s
t0
G(x, t )dW (t )
t
t0
H(x, t )dW (t ) =
tm
t0
G(x, t )H(x, t )dt
con tm = min(t, s)
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18. Processo di Ornstein–Uhlenbeck
SDE Ornstein–Uhlenbeck
La SDE per il processo di O-U si ricava dalla Fokker-Planck:
dx = −kxdt + DdW (5)
La soluzione è:
x(t) = x(t0)e−k(t−t0)
+
t
t0
e−k(t−t )
bdW (t )
Proprietà
è un processo additivo,
in quanto combinazione lineare di gaussiane è gaussiano,
media e covarianza si ricavano dalle proprietà di integrazione di Ito,
è l’unico processo gaussiano continuo che ammette stato stazionario,
x(t); x(s) s =
D
2k
e|t−s|
(6)
Ornstein-Uhlenbeck Più dimensioni
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19. Processo di Klein-Kramers
Processo di Klein-Kramers
Il processo di Klein-Kramers descrive il comportamento di un sistema
fisico in un bagno termico e sottoposto a un potenziale esterno U(x) ed
all’attrito viscoso del mezzo:
dx = vdt
mdv = [−γv − U (x)] dt + DdW
Ornstein–Uhlenbeck
Nel caso overdampato (m«1) il processo di Klein-Kramers si riconduce
ad:
dx = −U (x)dt + DdW (7)
avendo riscalato secondo la costante γ. Il caso U(x) = 1
2 kx2
è proprio il
processo di Ornstein–Uhlenbeck.
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20. Processo di Klein-Kramers
Processo di Klein-Kramers
Il processo di Klein-Kramers descrive il comportamento di un sistema
fisico in un bagno termico e sottoposto a un potenziale esterno U(x) ed
all’attrito viscoso del mezzo:
dx = vdt
mdv = [−γv − U (x)] dt + DdW
Ornstein–Uhlenbeck
Nel caso libero U (x) = 0 l’equazione per la velocità e posizione sono
disaccoppiate, si ottiene:
dv = −γvdt + DdW (7)
avendo riscalato la massa,questo è proprio il processo di
Ornstein–Uhlenbeck.
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21. Simulazione del processo di Ornstein–Uhlenbeck
il metodo delle differenze finite,
xn+1 = xn − kxndt + DdW (8)
parametri usati k = 0.03, D = 3
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150 200 250 300
posizione
tempo
evoluzione temporale
media
Figure: Evoluzione temporale di una popolazione di 100 diverse realizzazioni
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22. Animazioni del processo di Ornstein–Uhlenbeck
L’istogramma è stato ottenuto considerando 2000 diverse realizzazioni
del sistema, si è campionato l’intervallo [−20; 100] a passi di 0.36
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23. Conclusioni
Grazie per
l'attenzione
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24. Ornstein-Uhlenbeck in più dimensioni
Ornstein-Uhlenbeck in più dimensioni
Siano A, B due matrici definite positive e costanti, il processo di O-U
multidimensionale è descritto dalla SDE:
dxi = −Aij xj dt + Bij dWj
Soluzione formalmente analoga. Considero lo stato stazionario
Covarianza e varianza
aσ + σa = bb+
è una relazione matriciale
x(t); x(s) s =
min(t,s)
−∞
e−a(t−t )
bb+
e−aT
(s−t )
dt
=
e−a(t−s)
σ t > s
σea+
(t−s)
t < s
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25. Appendice
Stato non stazionario
Riscrivendo l’equazione di Fokker-Planck in forma operatoriale; si può
espandere la funzione relativa allo stato non stazionario rispetto a
un’opportuna base
LFP = ∂x
B
2
p0∂x p−1
0 · L = p
− 1
2
0 LFP p
1
2
0 (9)
aventi lo stesso spettro di autovalori; dettiΨn gli autostati di L tramite
l’Hermitianità di L si ottiene per lo stato non stazionario:
p(x, t|x0, t0) =
n
p0(x)
p0(x0)
Ψn(x)Ψn(x0)e−λ(t−t0)
(10)
L’operatore L si può ricondurre sempre a un problema di Sturm
Liouville, se B(¡x) si riconduce all’operatore di Schroedinger con
V (x) = A2
(x)
2B + A (x)
2 . In O-U V (x) = k2
x2
D2 − k
2
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