2. 1) Introduzione - Non
trattabilità di IA
IA non è trattabile:
● Verifica della consistenza e calcolo della rete minima
sono problemi NP-completi
Sottoclassi trattabili di IA:
● SAc e SA, esprimibili con Point Algebra
Costo computazionale contenuto
VS
Potere espressivo limitato
3. fuz
Introduzione - IA
Creare un'estenzione fuzzy di IA:
● Ad ogni relazione atomica tra intervalli temporali viene
associato un grado di preferenza in [0,1]
● E' possibile così indicare il grado di necessità di
soddisfacibilità di una relazione
IAfuz è una generalizzazione di IA: stesso potere espressivo
e stessa intrattabilità:
● Come per IA, è necessario trovare sub-algebra trattabile
di IAfuz
4. fuz
Introduzione - IA (2)
● Si dimostrerà che PAc, PA, SAc e SA possono essere
estese in modalità fuzzy.
● Si dimostrerà che le estensioni fuzzy di SAc e SA sono
sub-algebre trattabili di IAfuz
5. 2) Interval Algebra
In IA la conoscenza temporale è rappresentabile con un
grafo:
● nodi rappresentano intervalli
● archi etichettati con le relazioni ugualmente possibili tra
i 2 intervalli (13 relazioni possibili)
I1 (rel1, rel2, ...) I2
6. Interval Algebra (2)
Singleton labelling di una rete IA N: assegnazione di una
relazione atomica ad ognuno dei suoi archi.
Soluzione di N: singleton labelling che soddisfa tutti i vincoli
della rete ed è consistente (le relazioni tengono)
SOL(N): insieme di soluzioni
7. Estensione fuzzy di IA
Nel nostro approccio le relazioni tra due intervalli sono nella
forma:
I1 (rel1[α1], rel2[α2], ...) I2
αi : grado di preferenza della relazione i-esima
nell'intervallo [0,1]
degR(reli) = grado di preferenza assegnato dalla relazione
R alla relazione atomica di Allen reli
8. Estensione fuzzy di IA (2)
Abbiamo esteso IA ad una nuova algebra fuzzy IAfuz
definita dall'insieme:
I = {b[α1], a[α2], m[α3], mi[α4], d[α5], di[α6], o[α7], oi[α8], s
[α9], si[α10], f[α11], fi[α12], eq[α13]}
con αi ∈ [0,1], αi ∈ R, i = 1,..., 13
Ponendo invece αi ∈ {0,1} ri-otteniamo il framework classico
9. fuz
Chiusura di IA rispetto a...
● Data una relazione R, l'operatore di inversione R-1 è
definito come
R-1 = (rel1-1[α1],...,rel13-1[α13])
dove reli-1 è definito nella tabella di Allen
● Date due relazioni R' e R'', la congiunzione R = R' x R'' è
definita come:
R = (rel1[α1],...,rel13[α13])
dove αi = min{α'i,α''i} i ∈ {1,...,13}
10. fuz
Chiusura di IA rispetto a...
(2)
● La disgiunzione R = R' + R'':
R = (rel1[α1],...,rel13[α13])
dove αi = max{α'i,α''i} i ∈ {1,...,13}
● Composizione R = R' ° R'':
R = (rel1[α1],...,rel13[α13])
dove αi = maxj,k: reli ∈ {relj ° relk}min{α'j,α'k}
i,j,k ∈ {1,...,13}
11. Consistenza
Nella IA classica il singleton labelling parziale è localmente
consistente se soddisfa tutti i vincoli
In IAfuz: consistenza locale graduata
Grado di un labelling singleton parziale s:
● Se l'assegnamento è inconsistente: degN(s)=0
● altrimenti degN(s) uguale al grado di preferenza del
vincolo meno soddisfacente
12. Consistenza (2)
Una rete IAfuz è k-consistente se per ogni insieme di k-1
nodi, ogni assegnamento con un grado di consistenza
locale α, è estensibile a qualsiasi altra k-esima variabile
mantenendo lo stesso grado α.
Path consistency: k-consistency con k=3
13. Calcolo della rete minima
equivalente
Due reti N1 e N2 sono equivalenti se coinvolgono le stesse
variabili e per ogni singleton labelling completo s, degN1(s)
= degN2(s)
La rete minima è quella "più esplicita" tra tutte le reti
equivalenti
Una rete IAfuz N è minima sse per ogni relazione Rij tra due
intervalli (Ii,Ij) e per ogni relazione relk[α] appartenente a Rij
c'è un singleton labelling s di N che assegna relk a Rij e tale
che degN(s) = α
14. fuz
3) Da PA a PA
La point algebra classica PA si basa sulla nozione di punti
temporali:
● Tre relazioni di base: <, = e >
● Possibilità di esprimere 8 diverse relazioni: Ø, <, ≤, =,
>, ≥, ≠, ?
Un particolare subset di PA è la PAc (PA senza ≠), che ha
interessanti poprietà computazionali:
L'algoritmo di path-consistency ottiene la minimalità in
tempo polinomiale [O(n3)]
15. fuz
Da PA a PA (2)
Definiamo PAfuz considerando punti invece di intervalli e
relazioni PA invece di relazioni di Allen
● PAfuz è definito sull'insieme
I = {< [α1], = [α2], > [α3]} dove αi ∈ [0,1], αi ∈ R, i = 1, 2,
3
● PAcfuz è la subalgebra di PAfuz definita sull'insieme
I = {< [α1], = [α2], > [α3]} dove αi ∈ [0,1], αi ∈ R, i = 1, 2,
3
α2≥ min {α1, α3}
16. fuz
Da PA a PA (3)
L'idea è di eliminare il corrispettivo fuzzy di ≠, che
corrisponde alla classe di relazioni PAfuz (< [α1], = [α2], >
[α3]) tali che α2 < α1 e α2 < α3
Formalizziamo la relazione tra PAfuz e PAcfuz
Data una relazione PAfuz (IAfuz) Rfuz, il suo α-taglio Rα è la
relazione PA (IA) fatta di relazioni atomiche reli tali che
degRfuz(reli) ≥ α
Proposizione 1: Data una relazione R ∈ PAfuz, R ∈ PAcfuz
sse ∀α ∈ [0, 1] Rα ∈ PAc
17. fuz
Da PA a PA (4)
● PAcfuz è un algebra
● La prova di completezza dell'algoritmo di Path-
Consistency di PAc può facilmente essere estesa a
PAcfuz
Quindi può essere provato che l'applicazione dell'algoritmo
di path consistency a Pacfuz trova la rete minima
equivalente
18. Estenzione fuzzy
dell'algebra dei punti
I risultati sulla tracciabilità delle point algebras valgono
anche nel contesto dell'interval algebra
Sono state definite due sub-algebras di IA, dette SAc e SA
relazionate con PAc e PA
Le relazioni SA e SAc sono quelle relazioni di IA esprimibili
dalle relazioni di PA e PAc
19. Estenzione fuzzy
dell'algebra dei punti (2)
Tutte le proprietà computazionali di PA e PAc sono
mantenute:
● SAc path consistent sono minimali
● minimalità di 4-subnetworks assicura minimalità di SA
networks
Generalizziamo le definizioni di SAc e SA al framework
fuzzy, studiando le relazioni tra le algebre classiche e le
estenzioni fuzzy, chiamate SAcfuz e SAfuz
20. Da relazione tra intervalli a
fuz
rete PA
Possiamo tradurre una relazione IAfuz tra due intervalli in
una rete PAfuz che interessa i 4 endpoints:
Definizione: Consideriamo la classe delle reti PAfuz con 4
nodi, denotati con {I1-,I1+,I2-,I2+} , ed indichiamo le loro
relazioni binare come R12--, R12-+, R12+-, R12++, R11-+, R22-+.
SPAfuz è la classe di reti tali che R11-+ = {< [α1]} e R22-+ = {<
[α2]}, dove α1, α2 ∈ [0,1]
21. Da relazione tra intervalli a
fuz
rete PA (2)
Una rete N ∈ SPAfuz verrà denotata dalla 6-tupla delle sue
relazioni PAfuz.
N ha al più 13 distinte soluzioni con grado di
soddisfacimento > 0, che corrispondono alle possibili
disposizioni dei due intervalli IA.
Chiamiamo questo set SOLIA ⊆ {<,=,>}6
Ogni elemento s ∈ SOLIA corrisponde ad una relazione
atomica di IA
Chiamiamo fIA la funzione da SOLIA a IA
22. fuz
La sub-algebra SA
Definizione 3: Sia R una relazione R ∈ IAfuz; R ∈ SAfuz sse
∃ N minima ∈ SPAfuz tale che ∀ s ∈ SOLIA degN(s) = degR
(fIA(s)). Denotiamo questa rete N con C(R).
Ovvero, le relazioni SAfuz sono quelle che possono essere
tradotte in reti PAfuz preservando lo stesso insieme di
soluzioni cosi come lo stesso grado di soddisfacimento
La subalgebra SAcfuz ⊆ SAfuz ⊆ IAfuz è composta dalle
relazioni che possono essere espresse con reti PAcfuz:
Definizione 4: Sia R una relazione R ∈ SAfuz; R ∈ SAcfuz
sse C(R) è una rete PAcfuz.
23. fuz
La sub-algebra SA (2)
Come per l'Interval Algebra classica, IAfuz è più espressiva
della Point Algebra: solo un frammento di IAfuz può essere
tradotto in PAfuz.
SAfuz e SAcfuz sono state definite tramite una
generalizzazione di SA e SAc: mantengono la stessa
relazione presente tra PA e PAfuz e PAc e PAcfuz.
Proposizione 2: Data una relazione IAfuz R, R ∈ SAfuz sse
∀α ∈ [0,1] Rα ∈ SA.
Proposizione 3: La proposizione 2 vale anche per SAcfuz
24. fuz
La sub-algebra SA (3)
Proposizione 4: SAfuz (SAcfuz) è un'algebra rispetto alle
operazioni di inversione, congiunzione e composizione
● Inversione: se I1 R I2, allora I2 R-1 I1
● Congiunzione e composizione:
○ Se * ∈ {⊗,◦} allora R = R1 * R2 sse ∀α ∈ [0, 1] Rα =
R1α* R2α
○ Se R1 e R2 sono relazioni SAfuz (SAcfuz) per la Prop. 2
(Prop. 3) R1α e R2α sono relazioni SA (SAc)
○ SA (SAc) è un'algebra quindi Rα ∈ SA (Rα∈ SAc)
...
25. fuz
La sub-algebra SA (4)
○ Tutti gli α-tagli di R appartengono a SA (SAc) e per
Prop. 2 (Prop. 3) R ∈ SAfuz (R ∈ SAcfuz)
Possiamo ora provare che le proprietà computazionali
rilevanti sono mantenute nel framework fuzzy
26. 5 - Due subalgebre trattabili
fuz
di IA
Dimostreremo che SAcfuz e SAfuz sono classi trattabili di
IAfuz, (mantengono le poprietà computazionali di SAc e SA)
Definizione 5: Data una rete IAfuz (PAfuz) N, il suo α-taglio
Nα è la rete IA (PA) con gli stessi nodi di N, ma i cui vertici
sono etichettati con gli α-tagli degli vertici corrispondenti di
N
Proposizione 5: Una rete IAfuz (PAfuz) N è minima sse ∀α
∈ [0,1] Nα è minima
Proposizione 6: Una rete IAfuz (PAfuz) N è k-consistente sse
∀α ∈ [0,1] Nα è k-consistente
27. Proprietà computazionali
Proposizione 7: Se una rete SAcfuz è path-consistent, allora
è anche minima
Prova: Sia N una rete SAcfuz path-consistent. Per le
proposizioni 3 e 5, ∀ α ∈ [0,1], Nα è una rete SAc path-
consistent.
Poichè le reti SAc path-consistent sono minime, tutti gli α-
tagli di N sono minimi, e quindi lo è anche N (per la
proposizione 5)
28. Proprietà computazionali
Proposizione 8: Sia N una rete SAfuz. Se tutte le sue 4-
subnetworks sono minime, allora N è minima
Prova:
Per la proposizione 5, ∀ α ∈ [0,1], tutte le 4-subnetworks
di Nα sono anch'esse minime.
Per la proposizione 2, abbiamo che ∀ α ∈ [0,1], Nα è una
rete SA
Tenendo conto dei risultati per le reti SA classiche, tutti gli
α-tagli di N sono minimi
Per la proposizione 5, anche N è minima
29. Algoritmi
Queste proposizioni possono essere utilizzate per
sviluppare un algoritmo polinomiale che calcola la rete
minima equivalente ad una rete SAcfuz o SAfuz N.
Per reti SAcfuz è sufficiente utilizzare l'algoritmo di path
consistency con complessità O(k*n3)
Per le reti SAfuz si può utilizzare una generalizzazione dei
AAC, con complessità O(k*n4)
30. Conclusioni
Diversamente da altri lavori della letteratura questo si
focalizza sull'aspetto qualitativo della rappresentazione
Si è dimostrato come le proprietà computazionali delle
subalgebre trattabili si possano estendere a IAfuz
Il prossimo passo è l'integrazione di questo framework
qualitativo in uno quantitativo
