1. Universit`a degli Studi di Pisa
Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica
TESI DI LAUREA TRIENNALE
Il teorema di Kolmogorov sui tori
invarianti nella teoria delle
perturbazioni dei sistemi hamiltoniani
Relatore Candidato
Dott. Giovanni Federico Gronchi Elisa Michetti
Anno Accademico 2011/2012
4. Introduzione
La teoria KAM (acronimo per i nomi di Kolmogorov, Arnold e Moser) `e una
teoria matematica che ha come oggetto principale di studio la persistenza,
sotto piccole perturbazioni, di traiettorie di sistemi hamiltoniani integrabili.
I primi risultati importanti in questo contesto furono dovuti a Kolmogorov
nel 1954, seguiti dai lavori di Arnold e Moser intorno al 1960. Egli riusc`ı ad
oltrepassare il problema tecnico connesso alla presenza, in formule che com-
paiono nell’ambito della teoria delle perturbazioni dei sistemi hamiltoniani,
di denominatori arbitrariamente piccoli. Pi`u precisamente, i piccoli divisori
(espressioni della forma ω · k = n
i=1 ωiki con ω = (ω1, · · · , ωn) ∈ Rn
, k =
(k1, · · · , kn) ∈ Zn
) rendono impossibile l’utilizzo di strumenti analitici clas-
sici, quali il teorema delle funzioni implicite; la divergenza da essi introdot-
ta venne allora controbilanciata tramite l’impiego di metodi di convergenza
rapida, sul modello del metodo delle tangenti di Newton.
Nel presente lavoro si dimostra il teorema di Kolmogorov sull’esistenza di
tori invarianti in sistemi Hamiltoniani quasi integrabili. Si utilizza lo schema
di dimostrazione di Kolmogorov, con la variante del modo in cui si definiscono
le trasformazioni canoniche prossime all’identit`a. Si usa infatti il metodo di
Lie, che elimina la necessit`a d’inversioni tramite il teorema delle funzioni
implicite.
Si consideri un sistema hamiltoniano
H(p, q) = H0
(p) + H1
(p, q),
con p = (p1, · · · , pn) ∈ B, B palla aperta in Rn
e q = (q1, · · · , qn) ∈
Tn
(toro n-dimensionale); p e q sono chiamate rispettivamente variabili azione
e variabili angolo.
Se ci mettiamo nel caso imperturbato(H1
= 0), le equazioni del sistema
hamiltoniano si riducono a:
˙p = −∂H0
∂q
= 0
˙q = ∂H0
∂p
= ∂H0
∂p1
, · · · , ∂H0
∂pn
= ω(p) = (ω1(p), · · · , ωn(p)).
2
5. Tale sistema dinamico ammette soluzioni esplicite:
p(t) = p0
q(t) = q0 + ω(p0)t (mod 2π);
perci`o lo spazio delle fasi B × Tn
`e foliato in tori {p0} × Tn
, p0 ∈ B, ognuno
dei quali `e invariante per il corrispondente flusso hamiltoniano e supporta
moti quasi periodici caratterizzati da una frequenza λ = ω(p0).
Si assuma inoltre la condizione di non degenerazione det ∂ω
∂p
= 0 (ipotesi
considerata nello stesso teorema di Kolmogorov).
La domanda che si pone `e quale sia il destino di questi tori quando si tenga
di conto della perturbazione H1
. La risposta di Kolmogorov `e che se la per-
turbazione `e sufficientemente piccola, allora molti di questi tori vengono de-
formati ma non distrutti dalla perturbazione: si tratta dei tori caratterizzati
da frequenze fortemente non risonanti.
Definizione 1. λ = ω(p) si dice frequenza non risonante se non esiste k ∈
Zn
, k = 0 tale che λ · k = 0, dove λ · k = n
i=1 λiki.
Definizione 2. λ = ω(p) si dice fortemente non risonante se appartiene a
Ωγ, per un certo γ ∈ R+
,
dove
Ωγ := λ ∈ Ω ⊆ Rn
tali che |λ · k| ≥ γ k −n
∀k ∈ Zn
, k = 0 , (1)
Ω = ω(B) (possiamo assumere Ω limitato), k := maxi |ki|.
Notazioni.
• Se v, w ∈ Cn
, v · w := n
i=1 viwi, v := maxi |vi|.
Se C `e una matrice n × n a coefficienti in C, C := maxi,j |Ci,j|.
• Si consideri B ⊆ R2n
Cn
. Fissati p∗
∈ B e ρ ∈ R+
, ρ < 1 tali che
B(p∗
, ρ) ⊆ B, si definisce:
Dρ,p∗ := (p, q) ∈ C2n
t.c. p − p∗
≤ ρ, q ≤ ρ , (2)
q = ( q1, · · · , qn); dato uno z ∈ C, z denota la parte immaginaria
di un numero complesso.
Aρ,p∗ := {f : Dρ,p∗ −→ C continua, analitica in Dρ,p∗ , 2π-periodica in
q1, · · · , qn, f assume valori reali su variabili reali }.
3
6. Se f ∈ Aρ,p∗ , f ρ,p∗ := supx∈Dρ,p∗ |f(x)|.
Se f = (f1, · · · , fn): Dρ,p∗ −→ Cn
, si indica ugualmente f ∈ Aρ,p∗ se
fi ∈ Aρ,p∗ per i = 1, · · · , n e si pone f ρ,p∗ := maxi fi ρ,p∗ .
Se C `e una matrice n×n i cui elementi appartengono a Aρ,p∗ , si definisce
C ρ,p∗ := maxi,j Ci,j ρ,p∗ ; da quest’ultima definizione segue subito che
se v ∈ Cn
vale
Cv ρ,p∗ ≤ n C ρ,p∗ v .
Inoltre per semplicit`a si pone Dρ := Dρ,0, Aρ := Aρ,0, f ρ = f ρ,0.
• Se f ∈ Aρ,p∗ si denota con una barra la media di f sugli angoli:
f(p∗
) :=
1
(2π)n
Tn
f(p∗
, q) dq1 · · · dqn. (3)
• Data una hamiltoniana H ∈ Aρ,p∗ , si pu`o assumere che
H ρ,p∗ < 1, altrimenti ci`o si ottiene mediante il cambiamento di va-
riabili (p, q) −→ (αp, αq), per un opportuno α > 0; questa operazione
non crea nessun disturbo visto che il parametro α = α(t) pu`o essere
considerato come una riparametrizzazione del tempo, cosicch`e il siste-
ma dinamico definito a partire dalla nuova hamiltoniana H = αH non
modifica le traiettorie del sistema dinamico di partenza.
4
7. Il teorema di Kolmogorov
0.1 Enunciato del teorema
Teorema 0.1. Si consideri la hamiltoniana H(p, q) = H0
(p) + H1
(p, q)
definita in B × Tn
e, dopo aver fissato p∗
∈ B, si introducano
λ = ω(p∗
) =
∂H0
∂p
(p∗
), C∗
i,j =
∂ωi
∂pj
(p∗
) =
∂2
H0
∂pi∂pj
(p∗
).
Assumiamo che esistano dei numeri positivi γ, ρ, d < 1 tali che
i) λ ∈ Ωγ , (4)
ii) H0
, H1
∈ Aρ,p∗ , (5)
iii) d v ≤ C∗
v ≤ d−1
v ∀v ∈ Cn
, (6)
e, inoltre, H ρ,p∗ ≤ 1. Allora esistono due numeri positivi E e ρ con ρ < ρ
tali che, se la norma H1
ρ,p∗ della perturbazione H1
soddisfa
H1
ρ,p∗ ≤ E, (7)
`e possibile costruire una trasformazione canonica (p, q) = ψ(P, Q) ,
ψ : Dρ → Dρ,p∗ , ψ ∈ Aρ , che porta la hamiltoniana H nella forma normale
di Kolmogorov H = H ◦ ψ data da
H (P, Q) = (H ◦ ψ)(P, Q) = a + λ · P + R(P, Q); (8)
dove a ∈ R e il resto R ∈ Aρ `e, come funzione nella variabile P, dell’ordine
di P 2
.
In particolare, si pu`o prendere
E = cnγ4
d6
ρ8(n+1)
, (9)
dove
cn =
1
52
8n+7
1
4n + 1
4
e
n + 1
4(n+1)
. (10)
5
8. Il cambio di variabili `e prossimo all’identit`a, nel senso che
ψ − Id ρ → 0 per H1
ρ,p∗ → 0 .
Interpretazione del Teorema.
Nel metodo di Kolmogorov si cerca, in corrispondenza di una qualsiasi fre-
quenza fortemente non risonante λ (cio`e λ ∈ Ωγ per un certo numero positivo
γ), un cambiamento di variabili associato che elimini le variabili angolo Q
solo al primo ordine in P.
In questo modo, per ogni frequenza fortemente non risonante λ, si ottiene
la soluzione particolare
P(t) = P0
,
Q(t) = Q0
+ λt (mod 2π)
per ogni condizione iniziale (P0
, Q0
), con P0
= 0, Q0
∈ Tn
; e questo si vede
immediatamente scrivendo le equazioni del moto per H
˙P(t) = −
∂R
∂Q
,
˙Q(t) = λ +
∂R
∂P
e usando il fatto che R(P, Q) `e dell’ordine di P 2
.
Quindi con H in tale forma `e evidente l’esistenza di un toro invariante che
supporta soluzioni con frequenza λ. In termini delle variabili (p, q) = ψ(P, Q)
questo toro, il quale non `e altro che una piccola perturbazione del toro p = p∗
,
q ∈ Tn
, `e descritto dalle equazioni parametriche (p, q) = ψ(0, Q), Q ∈ Tn
, `e
invariante per il sistema hamiltoniano indotto da H e supporta orbite quasi
periodiche tutte con la stessa frequenza λ.
6
9. 0.2 Riformulazione del teorema
La dimostrazione del teorema inizia con un riarrangiamento della hamilto-
niana H, riducendola nella forma considerata effettivamente da Kolmogorov
nel suo teorema.
Considerando lo sviluppo di Taylor di H(p, q) nella variabile p, nell’intor-
no del punto p∗
, e successivamente una traslazione di p∗
nell’origine, si ha
che H assume la forma:
H(p, q) = H0
(0)+H1
(0, q)+
∂H0
∂p
(0) +
∂H1
∂p
(0, q) ·p+
1
2 i,j
∂2
H
∂pipj
(0, q)pipj+R(p, q)
da cui H pu`o essere scritta nel modo seguente:
H = a + A(q) + (λ + B(q)) · p +
1
2 i,j
Ci,j(q)pipj + R(p, q) (11)
dove
λ = ω(0) = ∂H0
∂p
(0);
B(q) = ∂H1
∂p
(0, q) e Bi(q) = ∂H1
∂pi
(0, q) ∈ Aρ;
Ci,j(q) = ∂2H
∂pipj
(0, q) ∈ Aρ;
a ∈ R `e univocamente determinata dalla condizione ¯A = 0 e quindi
a = H0
(0) + H1(0) = H(0);
e di conseguenza A(q) = H1
(0, q) − H1(0) = H(0, q) − a, A ∈ Aρ;
R ∈ Aρ e, come funzione nella variabile p, `e dell’ordine p 3
.
Osservazione. Si nota che in (??) la hamiltoniana ha una espressione molto
vicina alla forma normale di Kolmogorov (??): la differenza sta nel termine
A(q) + B(q) · p che elimineremo tramite l’impiego di una trasformazione
canonica opportuna.
7
10. Alcuni calcoli preliminari. Prima di enunciare una riformulazione del
teorema ricordiamo i seguenti risultati.
1. Disuguaglianza di Cauchy:
Data f ∈ Aρ, un numero reale positivo δ < ρ e degli interi non negativi
ki, li(i = 1, · · · , n) si ha
∂k1+···+kn+l1+···+ln
∂pk1
1 · · · ∂pkn
n ∂ql1
1 · · · ∂qln
n
f(p, q) ≤
k1! · · · kn!l1! · · · ln!
δk1+···+kn+l1···+ln
f ρ (12)
∀(p, q) ∈ Dρ−δ;
∂k1+···+kn
∂pk1
1 · · · ∂pkn
n
f(0, q) ≤
k1! · · · kn!
ρk1+···+kn
f ρ (13)
∀(0, q) con q ≤ ρ.
La dimostrazione di tali disuguaglianze deriva dalla formula integrale di
Cauchy di una funzione f analitica e limitata sul disco
∆ρ(0) = {z ∈ C t.c. |z| ≤ ρ} :
f(n)
(z) =
n!
2πi ∂∆ρ(0)
f(t)
(t − z)n+1
dt.
2. Vale la seguente disuguaglianza:
max( A ρ, B ρ) ≤
2E
ρ
Dimostrazione.
B ρ = max
i
sup
(q) ≤ρ
∂H1
∂pi
(0, q) ≤
1
ρ
H1
ρ.
e questo segue direttamente dalla disuguaglianza di Cauchy.
A ρ = H1
(0, q) − H1(0) ρ = sup
(q) ≤ρ
|H1
(0, q) − H1(0)|
≤ sup
(q) ≤ρ
|H1
(0, q)| + sup
(q) ≤ρ
|H1(0)|
≤ H1
ρ + H1 ≤ 2 H1
ρ
dove l’ultima disuguaglianza `e dovuta al fatto che vale · · · ≤ · · · ρ .
Dunque la disuguaglianza segue dal fatto che ρ ≤ 1 e dall’ipotesi del Teorema
secondo cui H1
ρ ≤ E.
8
11. 3. Esiste un numero positivo m < 1 tale che
m v ≤ Cv , Cv ρ ≤ m−1
v ∀v ∈ Cn
e per la precisione si pu`o prendere m = d
2
.
Dimostrazione.
Ricordiamo che Ci,j = ∂2H
∂pi∂pj
(0, q) e C∗
i,j = ∂2H0
∂pi∂pj
(0) da cui
C(q) − C∗
=
∂2
H1
∂pi∂pj
(0, q) ;
e quindi utilizzando la disuguaglianza di Cauchy e le definizioni delle norme
(C − C∗
)v ρ ≤
2n
ρ2
H1
ρ v .
Visto che H1
ρ ≤ E , e che E si pu`o prendere della forma suggerita nel
Teorema, si ha:
(C − C∗
)v ρ ≤
d
2
v
e poich´e · · · ≤ · · · ρ
(C − C∗)v ≤ (C − C∗
)v ρ ≤
d
2
v ,
ma per il punto iii) del teorema d v ≤ C∗
v e quindi
d
2
v = d v −
d
2
v ≤ C∗
v − (C − C∗)v .
Usando l’identit`a C = C∗
+ (C − C∗
), o equivalentemente (visto che C∗
non
dipende da q) C = C∗
+ (C − C∗) si ottiene
d
2
v ≤ | C∗
v − (C − C∗)v | ≤ Cv
che per m = d
2
corrisponde a m v ≤ Cv (la prima delle due disuguaglianze
che volevamo dimostrare).
Utilizzando C = C∗
+ (C − C∗
) e la disuguaglianza C∗
v ≤ d−1
v dell’i-
potesi iii) del teorema si ricava
Cv ρ ≤ C∗
v + (C − C∗
)v ρ ≤ d−1
+
d
2
v ≤ 2d−1
v ,
che per m = d
2
si riduce a
Cv ρ ≤ m−1
v .
(la seconda delle due disuguaglianze che volevamo dimostrare).
9
12. Possiamo ora dare una riformulazione del teorema:
Teorema 0.2. Dati dei numeri positivi reali γ, ρ, m < 1, si consideri la
hamiltoniana H(p, q) = H0
(p, q) + H1
(p, q) definita nel dominio Dρ da
H0
(p, q) = a + λ · p +
1
2 i,j
Ci,j(q)pipj + R(p, q), (14)
H1
(p, q) = A(q) +
i
Bi(q)pi, (15)
con H ρ < 1;
a ∈ R, λ ∈ Ωγ, A, Bi, Ci,j, R ∈ Aρ; A = 0 e R `e, come funzione della
variabile p, dell’ordine di p 3
. Per la matrice C(q) = (Ci,j(q)), assumiamo
m v ≤ Cv , Cv ρ ≤ m−1
v ∀v ∈ Cn
. (16)
Allora esistono due numeri positivi e ρ con ρ < ρ tali che, se
max( A ρ, B ρ) ≤ , (17)
`e possibile costruire una trasformazione canonica ϕ : Dρ → Dρ, ϕ ∈ Aρ , che
porta la hamiltoniana H nella forma
H (P, Q) = (H ◦ ϕ)(P, Q) = a + λP + R (P, Q); (18)
dove a ∈ R, R ∈ Aρ ed `e, come funzione della variabale P, dell’ordine di
P 2
.
Il cambiamento di variabili `e prossimo all’identit`a, nel senso che
φ − Id ρ → 0 per H1
ρ → 0.
In particolare, si pu`o prendere
=
m6
ρ
26Λ2
ρ
13
8n+6
, (19)
dove
Λ = 2(4n + 1)2 σ2
γ2
, (20)
σ = 24n+1 n + 1
e
n+1
. (21)
10
13. Nota. Per poter procedere nella dimostrazione del teorema di Kolmogorov `e
opportuno prima enunciare e dimostrare tre lemmi.
0.3 Risultati ausiliari
Per una data funzione χ(p, q), χ ∈ Aρ, definiamo
χ∗
ρ := max
∂χ
∂p
ρ,
∂χ
∂q
ρ ; (22)
date due funzioni f, g ∈ Aρ, denotiamo con {·, ·} la Parentesi di Poisson:
{f, g} :=
i
∂f
∂pi
∂g
∂qi
−
∂f
∂qi
∂g
∂pi
. (23)
Allora, per χ, f ∈ Aρ e per un qualsiasi δ < ρ, le disuguaglianze
{χ, f} ρ−δ ≤ 2n
χ∗
ρ
δ
f ρ , (24)
{χ, {χ, f}} ρ−δ ≤ 12n2
χ∗
ρ
δ
2
f ρ (25)
discendono dalla disuguaglianza di Cauchy e da una enumerazione dei termini
nelle parentesi di Poisson.
Arriviamo adesso a definire trasformazioni canoniche, o cambi di varia-
bili, prossimi all’identit`a, utilizzando il metodo delle serie di Lie, che ha,
rispetto al metodo standard, il vantaggio di evitare qualsiasi uso del teore-
ma delle funzioni implicite. Con un tal metodo una trasformazione cano-
nica (p, q) = ϕ(P, Q) `e definita mediante la soluzione al tempo t = 1 di
un sistema canonico di equazioni differenziali con hamoltoniana χ chiama-
ta funzione generatrice; allora le funzioni f definite nello spazio delle fasi
cambiano secondo la trasformazione f −→ Uf = f ◦ ϕ e formalmente si ha
Uf = f +{χ, f}+ 1
2
{χ, {χ, f}}+· · · , che non `e altro che lo sviluppo di Taylor
di f, usando df
dt
= {χ, f}, cio`e df
dt
(p(t), q(t)) = {χ, f}(p(t), q(t)). L’esistenza
di una tale trasformazione canonica ϕ e di un tale operatore U sono trattati
nel lemma seguente:
Lemma 0.3. Si prenda una funzione analitica χ(p, q) definita in Dρ, le cui
derivate appartengono a Aρ per un certo reale positivo ρ, e si consideri il
corrispondente sistema hamiltoniano definito da
˙p = −∂χ
∂q
,
˙q = ∂χ
∂p
.
(26)
11
14. Assumiamo che per un certo 0 < δ < ρ valga
χ∗
ρ < δ/2, (27)
con χ∗
ρ definita da (??). Allora per ogni condizione iniziale (P, Q) ∈ Dρ−δ la
soluzione (p, q) di (??) a t = 1 esiste in Dρ, perci`o `e definita una trasforma-
zione canonica
ϕ : Dρ−δ −→ Dρ, ϕ ∈ Aρ−δ. L’operatore U : Aρ −→ Aρ−δ con
Uf = f ◦ ϕ (28)
`e ben definito e si ha la stima
ϕ − Id ρ−δ ≤ χ∗
ρ. (29)
Inoltre valgono le seguenti disuguaglianze:
Uf ρ−δ ≤ f ρ,
Uf − f ρ−δ ≤ 4n
χ∗
ρ
δ
f ρ,
Uf − f − {χ, f} ρ−δ ≤ 24n2
(
χ∗
ρ
δ
)2
f ρ.
(30)
Dimostrazione. Innanzitutto, utilizzando la disuguaglianza di Cauchy, si ga-
rantisce che ∂χ
∂q
e ∂χ
∂p
abbiano derivate finite nel dominio Dρ−δ/2, cosicch´e la
costante di Lipschitz K del sistema (??) `e finita in Dρ−δ/2 (precisamente
K < 4n
χ∗
ρ
δ
).
Se dunque si prende una condizione iniziale (P, Q) in Dρ−δ ⊆ Dρ−δ/2, il teore-
ma di esistenza e unicit`a garantisce che le soluzioni corrispondenti (p(t), q(t))
esistano in Dρ−δ/2 per ogni t, 0 ≤ t ≤ 1.
Perci`o si pu`o considerare la mappa ϕt
: Dρ−δ −→ Dρ−δ/2 ⊆ Dρ tale che
ϕt
(P, Q) = (p(t), q(t)), e in particolare `e definita la mappa ϕ = ϕ1
richiesta
nel lemma. Inoltre il teorema di esistenza ci dice che ϕ `e analitica e il teorema
di Liouville che `e canonica.
Verifichiamo ora le varie disuguaglianze.
Vediamo la (??).
x(t) = (p(t), q(t)), x(0) = (P, Q), ˙x = −∂χ
∂q
, ∂χ
∂p
= J xχ(x(t)) dove
J =
0 −1
1 0
.
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale e per il teorema del valor
medio si ha
ϕ1
(x(0)) − x(0) = x(1) − x(0) =
1
0
J xχ(x(t)) dt = J xχ(x(t));
12
15. con t ∈ [0, 1], e quindi
ϕ1
− Id ρ−δ = J xχ ρ−δ ≤ xχ ρ ≤ χ∗
ρ.
Vediamo ora le disuguaglianze (??).
Uf ρ−δ = f ◦ ϕ ρ−δ := sup
x∈Dρ−δ
|f ◦ ϕ(x)| ≤ sup
x ∈Dρ
|f(x )| := f ρ
La formula di Taylor per f con il resto di Lagrange del primo e secondo
ordine `e data, rispettivamente, da
Uf − f =
df
dt
(t ) = {χ, f}(t ), Uf − f −
df
dt
=
1
2
d2
f
dt2
(t ) =
1
2
{χ, {χ, f}}(t )
con 0 < t , t < 1. Dunque si hanno:
Uf−f ρ−δ ≤ Uf−f ρ−δ/2 = {χ, f} ρ−δ/2 ≤ 2n
χ∗
ρ
δ/2
f ρ = 4n
χ∗
ρ
δ
f ρ;
dove l’ultima disuguaglianza segue immediatamente dalla (??) con δ/2 al
posto di δ.
Uf − f −
df
dt
ρ−δ =
1
2
{χ, {χ, f}} ρ−δ ≤
1
2
{χ, {χ, f}} ρ−δ/2
≤ 24n2
χ∗
ρ
δ
2
f ρ;
e l’ultimo passaggio segue dalla (??) con δ/2 al posto di δ.
Lemma 0.4. (Piccoli divisori) Si consideri l’equazione
i
λi
∂F
∂qi
= G, (31)
dove F e G sono funzioni definite nel toro Tn
, e si assuma λ = (λ1, · · · , λn) ∈
Ωγ per un certo γ > 0 e G ∈ Aρ per un qualche reale positivo ρ con G = 0.
Allora, per ogni reale positivo δ < ρ, l’equazione (??) ammette un’unica
soluzione F ∈ Aρ−δ con F = 0, e si hanno le seguenti stime
F ρ−δ ≤
σ
γδ2n
G ρ, (32)
∂F
∂q ρ−δ
≤
σ
γδ2n+1
G ρ, (33)
dove σ = σ(n) `e definita come in (??).
13
16. Dimostrazione. Visto che abbiamo a che fare con funzioni delle sole variabili
angolo q, nella definizione di Dρ e Aρ le variabili azione p saranno adesso
considerate come parametri e non come incognite. Inoltre oltre alla norma
standard k = maxi |ki|, introduciamo la norma |k| = i |ki|.
Per poter procedere alla dimostrazione vera e propria del lemma richia-
miamo due propriet`a elementari riguardanti le funzioni analitiche sul toro
Tn
, e una disuguaglianza elementare; precisamente dimostriamo quello che
segue:
i) Se F ∈ Aρ, F(q) = k∈Zn fk exp[ik · q], allora per ogni k ∈ Zn
si ha
|fk| ≤ F ρ exp[−|k|ρ]; (34)
ii) Supponiamo che per certe costanti positive C e ρ con ρ ≤ 1 e per ogni
k ∈ Zn
si abbia |fk| ≤ C exp[−|k|ρ], e si consideri la funzione
F(q) = k∈Zn fk exp[ik · q]; allora per un qualche δ < ρ si ha F ∈ Aρ−δ e
F ρ−δ ≤ C
4
δ
n
; (35)
iii) Per ogni K, s, δ > 0 si ha la disuguaglianza
Ks
≤
s
eδ
s
exp[Kδ]. (36)
Dimostrazione.
i) Per definizione di coefficienti di Fourier di F
fk =
1
(2π)n
Tn
F(q1, · · · , qn) exp[−i
j
kjqj] dq1 · · · dqn;
possiamo considerare poi il cambio di variabili q −→ q − i k
|k|
ρ convenendo
che 0
|0|
= 0 e ottenere cos`ı
fk =
1
(2π)n
Tn
F(q1−i
k1
|k1|
ρ, · · · , qn−i
kn
|kn|
ρ)
n
j
exp[−ikj(qj−i
kj
|kj|
ρ)] dq1 · · · dqn;
passando ai moduli
|fk| ≤ F ρ exp[−(
j
|kj|2
|kj|
ρ)]
1
(2π)n
Tn
| exp[−ik·q]| dq1 · · · dqn = F ρ exp[−|k|ρ].
dove l’uguaglianza finale `e dovuta al fatto che | exp[−ik · q]| = 1.
14
17. ii) F ρ−δ = sup
q ≤ρ−δ k∈Zn
fk exp[ik · q] ≤ sup
q ρ−δ k∈Zn
|fk|| exp[ik · q]|
≤ sup
q ρ−δ k∈Zn
C exp[−|k|ρ]| exp[ik · q]|,
dove l’ultima disuguaglianza segue dall’ipotesi |fk| ≤ C exp[−|k|ρ]. Utiliz-
zando ora la scomposizione dei qj ∈ Cn
in parte reale qj e parte immaginaria
qj, si ha
| exp[ik · q]| = exp[
n
j
ikjqj] = exp[
n
j
ikj( qj + i qj)] =
= exp[
n
j
(ikj qj − kj qj)] =
= exp[i
n
j
kj qj] exp[−
n
j
kj qj] ≤ 1 · exp[
n
j
kj(ρ − δ)]
e la maggiorazione finale segue da q = maxj qj ≤ ρ − δ.
Quindi
F ρ−δ ≤ C
Zn
exp[−|k|ρ] exp[|k|(ρ − δ)] = C
Zn
exp[−|k|δ] =
C2n
(k1,··· ,kn)∈Zn
k1≥0,··· ,kn≥0
exp[−|k|δ] = C2n
(
∞
k=0
exp[−δk])n
=
= C2n 1
(1 − e−δ)n
C(
4
δ
)n
.
Il penultimo passaggio deriva direttamente dal valore della somma di una
serie geometrica ∞
k=0 xk
= 1
1−x
se |x| 1, mentre l’ultimo dal fatto che vale
1
1+e−δ 2
δ
per ogni 0 δ 1.
iii) Ks
≤ (
s
eδ
)s
exp[Kδ] ⇔ K ≤
s
eδ
e
Kδ
s ⇔
Kδ
s
≤ e
Kδ
s
−1
;
e la disuguaglianza x ≤ ex−1
vale per ogni x ∈ R.
15
18. Passiamo ora alla dimostrazione vera e propria del lemma.
Scriviamo F e G in serie di Fourier F(q) = k∈Zn fk exp[ik · q] e
G(q) = k∈Zn gk exp[ik·q]; formalmente i λi
∂F
∂qi
= G corrisponde in termini
dei coefficienti fk e gk alla relazione fk = −igk
λ·k
, k ∈ Zn
, k = 0, quindi dalla
definizione di Ωγ (λ ∈ Ωγ) e dalla disuguaglianza (??) di i) applicata a G si
ottiene
|fk| = −
igk
λ · k
≤
G ρ exp[−|k|ρ]
γ k −n
,
e quindi
|fk| ≤ G ρ exp[−|k|ρ]γ−1
k n
≤ G ρ exp[−|k|ρ]γ−1
|k|n
visto che k = maxi |ki| ≤ i |ki| = |k|.
Se si pone poi K = |k| e s = n, utilizzando la (??) di iii) si ricava
|fk| ≤ G ρ exp[−|k|ρ]γ−1 n
eδ
n
exp[|k|δ] = C exp[−|k|(ρ − δ)],
dove C = G ργ−1 n
eδ
n
; applicando ora la (??) di ii) con ρ − δ al posto di
ρ si ha che F ∈ Aρ−2δ e
F ρ−2δ ≤ γ−1 4n
eδ2
n
G ρ.
Perci`o la disuguaglianza (??) del lemma segue ponendo δ/2 al posto di δ,
infatti:
F ρ−2 δ
2
≤ γ−1 4n4
eδ2
n
G ρ ≤
σ
γδ2n
G ρ
e l’ultimo passaggio vale se e solo se
16n
e
n
≤ σ = 24n+1 n + 1
e
n+1
⇔ (16n)n
≤ 24n+1
(n + 1)n+1 (n + 1)
e
⇔ enn
≤ 2(n + 1)2
(n + 1)n
e quest’ultima `e verificata visto che e ≤ 2(n + 1)2
e nn
≤ (n + 1)n
.
Con passaggi analoghi a sopra si verifica anche la disuguaglianza (??) del
lemma.
Inoltre
∂F
∂qj
=
0=k∈Zn
ikjfk exp[ik · q],
16
19. quindi i coefficienti di Fourier di ∂F
∂qj
sono hkj
=
kjgj
λ·k
per j = 1, · · · , n, da cui
utilizzando la definizione di λ ∈ Ωρ e |kj| ≤ |k|
|hkj
| =
|kj||gj|
λ · k
≤
|kj|
λ · k
G ρ exp[−|k|ρ] ≤ γ−1
|k|n+1
G ρ exp[−|k|ρ]
e utilizzando la (??) di iii) con K = |k| e s = n + 1
|hkj
| ≤ γ−1 n + 1
eδ
n+1
exp[|k|δ] G ρ exp[−|k|ρ]
= γ−1 n + 1
eδ
n+1
G ρ exp[−|k|(ρ − δ)].
Applicando ora la (??) di ii) con ρ − δ al posto di ρ si ha che ∂F
∂q
∈ Aρ−2δ e
∂F
∂q ρ−2δ ≤ C 4
δ
n
, con C = γ−1 n+1
eδ
n+1
G ρ e sostituendo δ/2 al posto
di δ si ottiene
∂F
∂q ρ−δ
≤ γ−1 2(n + 1)
eδ
n+1
G ρ
8
δ
n
=
σ
γδ2n+1
G ρ.
Infine si osservi che una F che soddisfa (??) `e tale che fk = −igk
λ·k
,
k ∈ Zn
, k = 0, quindi esistono infinite scelte di F (al variare dei possibili
valori di f0); perci`o l’unicit`a `e conferita dalla scelta della F tale che f0 = 0
e quindi tale che F = 0.
17
20. Come anticipato, si costruisce ora una successione di trasformazioni canoni-
che in modo da eliminare il termine perturbativo H1
nella hamiltoniana H;
a questo fine applicheremo ripetutamente il seguente lemma
Lemma 0.5. (Lemma iterativo)
Dati dei numeri reali positivi γ, ρ, m, 1 e ρ∗ ρ, m∗ m, si consideri
la hamiltoniana H(p, q) = H0
(p, q) + H1
(p, q) definita in Dρ da
H0
(p, q) = a + λ · p + 1
2 i,j Ci,j(q)pipj + R(p, q),
H1
(p, q) = A(q) + i Bi(q)pi
(37)
con H ρ 1, dove a ∈ R, λ ∈ Ωγ, A, Bi, Ci,j, R ∈ Aρ, A = 0 e R `e
dell’ordine di p 3
. Si assuma, inoltre,
m v Cv , Cv ρ m−1
v ∀v ∈ Cn
, (38)
max( A ρ, B ρ) . (39)
Per ogni reale positivo δ cos`ı piccolo che ρ−3δ ρ∗, sia η la quantit`a definita
da
η = Λ
m3δτ
, τ = 4n + 3, (40)
dove Λ = Λ(n, γ) `e la costante definita in (??) da Λ = 2(4n + 1)2 σ2
γ2 , e si
assuma che sia tanto piccolo che m − nη
ρ2
∗
m∗. Allora esiste una trasfor-
mazione canonica ϕ : Dρ−3δ −→ Dρ, ϕ ∈ Aρ−3δ, tale che la hamiltoniana
trasformata H = UH = H ◦ ϕ pu`o essere decomposta in maniera analoga a
H con le corrispondenti quantit`a prime a , A , B , C e R , ma con il solito λ,
e che soddisfi analoghe condizioni con parametri positivi ρ , m , 1 dati da
ρ = ρ − 3δ ρ∗,
m = m − nη
ρ2
∗
m∗,
= η2
ρ∗
(41)
e, inoltre, H ρ ≤ 1. Si ha, infine, per ogni f ∈ Aρ
Uf − f ρ ≤
η
2
f ρ. (42)
Dimostrazione. a). Se si costruisce una trasformazione canonica con funzione
generatrice χ nel senso del lemma (??), si ottiene al posto di H una nuova
hamiltoniana H = UH con una decomposizione H = H 0
+ H 1
, analoga
18
21. a quella di H. Precisamente, usando i simboli (p, q) al posto di (P, Q) per
indicare un punto nel nuovo dominio, si ha
H 0
(p, q) = a +λ·p+
1
2 i,j
Ci,j(q)pipj+R (p, q), H 1
(p, q) = A (q)+
i
Bi(q)pi,
dove
Bi(q) =
∂H 1
∂pi
(0, q),
Ci,j(q) =
∂2
H
∂pipj
(0, q),
a = H 0
(0) + ¯H 1
(0) = ¯H (0),
A (q) = H 1
(0, q) − ¯H 1
(0) = H (0, q) − a ;
e R `e dell’ordine di p 3
.
Nel seguito vedremo che la Stima Principale garantisce che χ∗
˜ρ δ/2 per un
certo ˜ρ e quindi effettivamente pu`o essere utilizzato il lemma (??).
Nello spirito della teoria perturbativa, si pensa che H1
e χ siano del primo
ordine e si sceglie χ in modo da eliminare i termini indesiderati dello stesso
ordine nella nuova hamiltoniana H . A questo scopo innanzitutto si scriva
l’identit`a
H = UH = H0
+ H1
+ {χ, H0
} + [{χ, H1
} + UH − H − {χ, H}], (43)
dove nell’espressione tra parentesi quadre sono isolati i termini considerati
del secondo ordine, in accordo con la terza disuguaglianza di (??). Dunque si
cerca di scegliere χ in modo tale che i termini del primo ordine H1
+{χ, H0
}
non contribuiscano a formare H 1
. E questo si ottiene imponendo
H1
+ {χ, H0
} = c + O( p 2
), (44)
dove c `e una costante.
b). Seguendo la dimostrazione di Kolmogorov, si mostra che la condizione
sopra `e soddisfatta da una funzione generatrice χ della forma
χ = ξ · q + X(q) +
i
Yi(q)pi, (45)
dove la costante ξ ∈ Rn
, e le funzioni X(q), Yi(q) (di periodo 2π in q1, · · · , qn)
devono essere opportunamente scelte.
19
22. Un calcolo diretto (ricordando le definizioni (??)- (??) di H0
e H1
) mostra
che
H1
+ {χ, H0
} = −
i
ξiλi + A(q) +
i
λi
∂X
∂qi
+
+
j
Bj(q) −
i
Ci,j(q) ξi +
∂X
∂qi
−
i
λi
∂Yj
∂qi
pj + O( p 2
).
Quindi per avere (??) `e sufficiente imporre che
i
λi
∂X
∂qi
= A(q), (46)
i
λi
∂Yj
∂qi
= Bj −
i
Ci,j(q) ξi +
∂X
∂qi
, j = 1, · · · , n. (47)
Grazie al lemma dei piccoli denominatori (lemma (??)), dato che A = 0,
l’equazione (??), nella variabile incognita X, pu`o essere risolta. Utilizzan-
do sempre il lemma (??), anche la (??) pu`o essere risolta nella variabile
incognita Y , a patto per`o di determinare la costante ξ in modo tale che il
membro di destra dell’equazione (??) abbia media sugli angoli nulla, cio`e ξ
deve soddisfare
Cξ = B − C
∂X
∂q
, (48)
e una tale equazione pu`o essere risolta visto che la condizione (??) del lemma
iterativo garantisce che det C = 0.
Perci`o l’esistenza della funzione generatrice voluta `e accertata.
c). Stima Principale.
Sia ˜ρ = ρ − 2δ per un qualsiasi δ ρ/2, e sia χ∗
˜ρ la quantit`a definita da (??),
allora si ha
χ∗
˜ρ ≤ (4n + 1)
σ2
γ2 m3δ4n+2
(49)
o equivalentemente se η `e espressa da (??)
χ∗
˜ρ
δ
≤
1
2(4n + 1)
η. (50)
Dimostrazione Stima Principale.
Applicando il lemma (??) all’equazione (??) e ricordando l’ipotesi (??) si
ricava
20
23.
X ρ−δ ≤
σ
γδ2n
A ρ ≤
σ
γδ2n
,
∂X
∂q ρ−δ
≤
σ
γδ2n+1
A ρ ≤
σ
γδ2n+1
.
Utilizzando
B ρ ≤ (vedi ipotesi (??)), C
∂X
∂q ρ−δ
≤ m−1 ∂X
∂q ρ−δ
(vedi ipotesi (??))
e che
σ
γmδ2n+1
1,
si ha
B − C
∂X
∂q ρ−δ
≤ B ρ + C
∂X
∂q ρ−δ
≤ + m−1 ∂X
∂q ρ−δ
≤
≤ +
σ
mγδ2n+1
≤ 2
σ
mγδ2n+1
(51)
Allora, da (??) · · · ≤ · · · ρ−δ, dalla (??) e da ξ ≤ m−1
Cξ (ipote-
si (??)) segue che
ξ ≤ m−1
Cξ = m−1
B − C
∂X
∂q
≤ (52)
≤ m−1
B − C
∂X
∂q ρ−δ
≤ 2
σ
m2γδ2n+1
. (53)
Passando all’equazione (??)
B − C
∂X
∂q
− Cξ
ρ−δ
≤ B − C
∂X
∂q ρ−δ
+ m−1
ξ ,
cosicch´e, da (??), (??) con m 1, si ha
B − C
∂X
∂q
− Cξ
ρ−δ
≤ 4
σ
m3γδ2n+1
. (54)
Analogamente a sopra, un’applicazione diretta del lemma (??) all’equazio-
ne (??) permette di ricavare
Y ρ−2δ ≤ 4
σ2
γ2m3δ4n+1
,
∂Y
∂q ρ−2δ
≤ 4
σ2
γ2m3δ4n+2
.
21
24. Come conseguenza, richiamando la definizione (??) di χ∗
˜ρ (con ˜ρ = ρ − 2δ) e
la forma di χ data nel punto b) (??) si ottiene
∂χ
∂p ˜ρ
= Y ˜ρ ,
∂χ
∂q ˜ρ
≤ ξ +
∂X
∂q ˜ρ
+n
∂Y
∂q ˜ρ
˜ρ ≤ 2
σ
γm2δ2n+1
+
σ
γmδ2n+1
+4n˜ρ
σ2
γ2m3δ4n+2
;
ma 4 σ2
γ2m3δ4n+1 ≤ 4n˜ρ σ2
γ2m3δ4n+2 visto che ρ ≥ 3δ, quindi
χ∗
˜ρ ≤ 2
σ
γm2δ2n+1
+
σ
γmδ2n+1
+ 4n˜ρ
σ2
γ2m3δ4n+2
≤ (4n + 1)
σ2
γ2m3δ4n+2
dove l’ultima disuguaglianza deriva dal fatto che γ, m, δ, ˜ρ 1 e σ ≥ 2.
Perci`o la Stima Principale `e stata dimostrata.
Come precedentemente osservato, la disuguaglianza della Stima Principale
implica che χ∗
˜ρ ≤ δ/2; infatti la condizione m − (nη)/ρ2
∗ m∗, considerata
nel lemma iterativo, equivale a ρ2
∗(m−m∗)
n
η, ma ρ∗, m − m∗ 1 e quindi
η 1, e di conseguenza dalla (??) si ricava χ∗
˜ρ ≤ δ/2.
In questo modo il lemma (??) pu`o essere applicato e χ genera una trasfor-
mazione canonica con dominio Dρ , ρ = ˜ρ − δ = ρ − 3δ.
d). Passiamo ora alla dimostrazione delle disuguaglianze (??)- (??) e
H ρ ≤ 1.
Quest’ultima `e immediata: per la prima disuguaglianza di (??) e l’ipotesi
H ρ ≤ 1 vale H ρ = UH ρ ≤ H ρ ≤ 1.
Stima di .
Dobbiamo verificare che
max( A ρ , B ρ ) ,
con ρ = ρ − 3δ e = η2
/ρ∗.
Per quanto riguarda A , dalla definizione di A (q) = H 1
(0, q)− ¯H 1
(0), usando
l’espressione (??) per H e richiamando che, in virt`u della scelta di χ come al
punto b), solo gli ultimi termini contribuiscono a formare A , si ha A ρ ≤
2 {χ, H1
} + UH − H − {χ, H} ρ .
Usando ora (??) e la terza di (??), insieme a H1
˜ρ ≤ (n + 1) , H ˜ρ ≤ 1,
ρ = ˜ρ − δ, e (??), si ottiene
{χ, H1
} + UH − H − {χ, H} ρ ≤ 2n(n + 1)
χ∗
˜ρ
δ
+ 24n2
χ∗
˜ρ
δ
2
≤
22
25. ≤ (4n + 1)
σ2
γ2 m3δτ
χ∗
˜ρ
δ
+ 24n2
χ∗
˜ρ
δ
2
≤ [24n2
+ 1]
η
2(4n + 1)
2
≤
η2
2
,
dove (??) `e stata usata insieme a
2n(n + 1) (4n + 1)
σ2
γ2m3δτ
e 24n2
+ 1 2(4n + 1)2
.
Perci`o A ρ ≤ η2
.
Riguardo a B , per la stessa ragione, da Bi(q) = ∂H
∂pi
(0, q) − λi, (??) e ricor-
dando che (∂H0
/∂pi)(0, q) = λi, usando la disuguaglianza di Cauchy e che
ρ∗ ρ si ha
B ρ = sup
q ≤ρ
|B | = sup
q ≤ρ
∂H
∂p
−
∂H0
∂p
=
= sup
q ≤ρ
∂
∂p
({χ, H1
} + UH − H − {χ, H} ≤
1
ρ
{χ, H1
}+UH−H−{χ, H} ρ ≤
≤
η2
2
ρ ≤
η2
2ρ∗
≤
η2
ρ∗
.
Perci`o B ρ ≤ η2
ρ∗ .
Mettendo insieme le due maggiorazioni per le norme di A e B si ha la stima
desiderata.
Disuguaglianza (??).
Dalla seconda disuguaglianza di (??) con ˜ρ al posto di ρ, si ha
Uf − f ρ ≤ 4n
χ∗
˜ρ
δ
f ˜ρ,
perci`o la (??) segue usando la disuguaglianza della Stima Principale (??) e
f ˜ρ ≤ f ρ.
Stima di m .
Dobbiamo verificare che m v C v , C v ρ (m )−1
v ∀v ∈ Cn
, dove
m = m − (nη)/ρ2
∗ m∗, ρ = ˜ρ − δ = ρ − 3δ.
A questo fine, richiamiamo intanto che dalla definizione di C e C , si ha
Ci,j(q) − Ci,j(q) =
∂2
∂pi∂pj
[UH − H](0, q).
Allora dalla disuguaglianza di Cauchy e da (??), si ricava
Ci,j − Ci,j ρ ≤
2
(ρ )2
UH − H ρ ≤
2
(ρ )2
η
2
H ρ ≤
η
ρ2
∗
,
23
26. da cui
(C − C)v ρ ≤
nη
ρ2
∗
v . (55)
Perci`o da (??) e (??), usando · · · ≤ · · · ρ , si ha
Cv − (C − C)v ≥ (m − nη/ρ2
∗) v 0
per la condizione m − nη/ρ2
∗ m∗.
Inoltre dall’identit`a C = C + (C − C), da una parte si ricava
C v Cv − (C − C)v ≥ (m − nη/ρ2
∗) v = m v
e dall’altra, visto che valgono la (??) e Cv ρ ≤ Cv ρ ≤ m−1
v ,
C v ρ ≤ Cv ρ + (C − C)v ρ ≤ (m−1
+ nη/ρ2
∗) v ;
infine dalla disuguaglianza a−1
+ b (a − b)−1
per 0 b a 1, si ottiene
C v ρ ≤ (m−1
+ nη/ρ2
∗) v ≤ (m − nη/ρ2
∗)−1
v = (m )−1
v .
Perci`o anche la stima per m `e stata provata.
24
27. 0.4 Conclusione della dimostrazione
Occorre ora applicare ripetutamente il lemma iterativo (??) in modo da
eliminare la perturbazione H1
(p, q) = A(q) + B(q) · p.
Partendo dai numeri positivi dati ρ, m, 1, che denotiamo ora ρ0, m0, 0,
e assegnata una successione (δk)k≥0, `e possibile definire ricorsivamente ρk+1,
mk+1, k+1 con relazioni analoghe a (??), che scriviamo ora nella forma
ρk+1 = ρk − 3δk,
mk+1 = mk −
n
ρ
3/2
∗
1/2
k+1,
k+1 =
Λ2
ρ∗
k
m3
kδτ
k
2
(56)
dove `e stata usata la definizione (??) di η.
Per poter applicare ripetutamente il lemma iterativo bisogna che siano
soddisfatte le condizioni mk+1 m∗ e ρk+1 ρ∗ per ogni k = 0, 1, · · · , dove
m∗ m0 e ρ∗ ρ0 sono numeri positivi arbitrari. Ma in virt`u di
ρ∞ = ρ0 −
∞
k=0
3δk e m∞ = m0 − (n/ρ
3
2
∗ )
∞
k=0
1
2
k+1
quelle due condizioni sono soddisfatte se si garantisce che
3
∞
k=0
δk ρ0 − ρ∗, (57)
(n/ρ
3
2
∗ )
∞
k=0
1
2
k+1 m0 − m∗. (58)
Si nota poi che la relazione che lega k+1 con mk, δk e k pu`o essere letta
anche come una definizione per δk se k+1 `e dato; precisamente si ha
δ2τ
k =
Λ2
ρ∗m6
k
2
k
k+1
. (59)
Ma mk `e definito in termini di k e m0 dall’ultima di (??). Perci`o si pu`o
pensare di definire arbitrariamente la successione ( k)k≥0 invece che la (δk)k≥0.
Supponendo poi che k = ck 0, per k = 0, 1, · · · (c0 = 1), occorre allora
definire una successione di numeri positivi (ck)k≥0 con (c0 = 1) tale che le
due serie
∞
k=0
sk =
∞
k=0
c2
k
ck+1
1
2τ
= s, (60)
25
28. ∞
k=0
tk =
∞
k=0
c
1
2
k+1 = t (61)
convergano. E se ci`o viene garantito allora dalla (??), sostituendo il valore
di δk dato da (??), di s dato da (??) e ricordando che mk m∗, 3
2τ
1 si
ricava
0
ρ∗m6
∗
Λ2
ρ0 − ρ∗
3s
2τ
, (62)
mentre dalla (??) sostituendo il valore di t dato da (??) si ha
0
ρ3
∗(m0 − m∗)2
t2n2
. (63)
Una stima diretta di 0 si ottiene come segue. Si scelgano ck = 2−2τk
; questo
fa s`ı che sk = 2 · 2−k
e tk = 2−τ(k+1)
, che se sostituiti nelle sommatorie (??)
e (??), assieme all’utilizzo della formula per la somma di una serie geometrica
convergente, si ha s = 4 e t = 1
(2τ −1)
1.
Facendo poi le scelte ρ∗ = ρ0/13 e m6
∗ = m6
0/2 si nota che il membro
di destra della disuguaglianza (??) `e pi`u grande di quello di (??), perci`o
concludiamo che le due condizioni (??) (??) sono soddisfatte se assumiamo,
per esempio,
0
ρ0m6
0
26Λ2
ρ0
13
2τ
. (64)
Conclusione della dimostrazione del teorema di Kolmogorov. Pos-
siamo finalmente concludere la dimostrazione del teorema di Kolmogorov,
nella veste della sua riformulazione.
Partendo dalla hamiltoniana H0 = H definita in Dρ0 con H0 ρ0 ≤ 1,
caratterizzata da parametri positivi γ, ρ0, m0 1, si consideri la quantit`a
0 che soddisfa la (??) e assumiamo che max( A ρ0 , B ρ0 ) 0. Allora
si pu`o applicare ricorsivamente il lemma iterativo, definendo ad ogni passo
k ≥ 1 una trasformazione canonica ϕk : Dρk
−→ Dρk−1
, con i corrispondenti
operatori Uk : Aρk−1
−→ Aρk
; inoltre dalla terza di (??) e dalla (??) si ha
Ukf − f ρk
≤ ηk−1 f ρk−1
(65)
con ηk−1 = ρ
1
2
∗
1
2
k , cosicch´e, in particolare, `e noto che la serie ∞
k=1 ηk sia
convergente.
Possiamo ora definire la trasformazione canonica composta
26
29. ˆϕk : Dρk
−→ Dρ0 , ˆϕk := ϕ1 ◦ · · · ◦ ϕk e il corrispondente operatore composto
ˆUk : Aρ0 −→ Aρk
, definito da ˆUkf = f ◦ ˆϕk, o equivalentemente da ˆUk =
Uk ◦ ˆUk−1, ˆU0 = Id.
Si osservi che per provare la convergenza della successione ( ˆϕk)k≥1 di
trasformazioni canoniche ristrette a Dρ∞ , `e sufficiente provare la convergenza
della corrispondente successione ( ˆUk)k≥1 di operatori per ogni f ∈ Aρ0 .
Verifichiamo che tale successione di operatori `e convergente:
dalla (??) e dalla prima di (??) si ha
( ˆUk+1 − ˆUk)f ρk+1
= Uk+1( ˆUkf) − ˆUkf ρk+1
≤ ηk
ˆUkf ρk
≤ ηk f ρ0
e quindi, per ogni l ≥ 1,
( ˆUk+1 − ˆUk)f ρk+l
≤ f ρ0
k+l−1
p=k
ηp. (66)
Visto che la serie ∞
k=1 ηk converge, per ogni f ∈ Aρ0 la successione ( ˆUkf)k≥1
`e di Cauchy in Aρ∞ , il quale `e una spazio completo, dunque tale successione
converge uniformemente verso una certa funzione che denotiamo con ˆU∞f :
lim
k→∞
ˆUkf = ˆU∞f; (67)
e per il teorema di Weierstrass ([?]) ˆU∞f ∈ Aρ∞ .
Inoltre, utilizzando la (??)
ˆU∞f − f ρ∞ ≤ ˆU∞f − ˆUkf ρ∞ + ˆUkf − f ρ∞ ≤
≤ ˆU∞f − ˆUkf ρ∞ + f ρ0
k−1
p=0
ηp,
e passando al limite per k → ∞, il primo addendo dei termini a destra
della disuguaglianza tende a zero per la (??) mentre il secondo tende a
f ρ0
∞
p=0 ηp = f ρ0 ρ
1
2
∗
1
2
0 t (abbiamo applicato la definizione di t);
In particolare, per la hamiltoniana H∞ = limk→∞
ˆUkH, si ha
H∞ = H0
∞ + H1
∞. Ma abbiamo creato una successione di trasformazioni
canoniche tali che il termine perturbativo H1
della hamiltoniana H al passo
k-esimo decresce con k, infatti, per la precisione, dalle considerazioni fatte
nel lemma iterativo, si pu`o osservare che H1
k ρk
`e essenzialmente dell’ordine
di H1
k−1
2
ρk−1
; dunque H1
k ρk
−→ 0, ρk → ρ∞ 0, mk → m∞ 0, per
k → ∞.
Quindi per costruzione si ha H1
∞(p, q) = A∞(q) + B∞(q)p = 0.
Infine, la mappa ˆϕ∞ = limk→∞ ˆϕk risulta essere canonica in virt`u del teorema
di Weierstrass, essendo limite uniforme di mappe canoniche.
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30. Bibliografia
[1] G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J.-M. Strelcyn, A Proof of Kolmogo-
rov’s Theorem on Invariant Tori Using Canonical Trasformations Defined
by the Lie Method. (1984).
[2] W. Gr¨obner, Serie di Lie e loro applicazioni. Cremonese (1973).
[3] A. N. Kolmogorov, On the conservation of conditionally periodic mo-
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(1954).
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