1. Teorema di Riduzione e Tesi di Suszko
Rossella Marrano
Scuola Normale Superiore
25 Novembre 2013

2. Obviously, any
multiplication of logical
values is a mad idea.
Roman Suszko (1919-1979)
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Riduzione e Tesi di Suszko
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3. The Fregean Axiom and Polish Mathematical Logic in the
1920s, Studia Logica, XXXVI (4), 1977.
The main thesis of this talk is two-fold:
1. The construction of the so called many-valued logics by Jan
Łukasiewicz was the effective abolition of the Fregean
Axiom;
2. Łukasiewicz is the chief perpetrator of a magnificent
conceptual deceit lasting out in mathematical logic to the
present day.
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4. The construction of the so called many-valued logics by Jan Łukasiewicz
was the effective abolition of the Fregean Axiom.
Assioma di Frege: per gli enunciati ci sono solo due denotazioni
possibili: il vero e il falso.
Łukasiewicz: il valore semantico degli enunciati concernenti il futuro
contingente non è né il vero né il falso, ma il possibile.
Łukasiewicz abolisce l’assioma di Frege costruttivamente: si ammette
una terza possibile denotazione per gli enunciati, ma non si introduce
un nuovo valore logico.
parlare di un terzo valore logico è un abuso terminologico.
Łukasiewicz is the chief perpetrator of a magnificent conceptual deceit
lasting out in mathematical logic to the present day.
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5. Importante
Distinguere tra:
Riduzione di Suszko
Tesi di Suszko
Ogni logica tarskiana ha una
semantica bivalente.
Ogni logica tarskiana è
logicamente bivalente: vero e
falso sono gli unici valori logici.
Risultato logico-matematico
Posizione filosofica
Lungo il percorso
Considerazioni generali sul rapporto logica/filosofia, formale/infomale.
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6. La nozione di conseguenza logica
1. formulare una definizione
formale della nozione intuitiva
seguire logicamente,
2. isolare le proprietà astratte di
della nozione di conseguenza
logica.
Alfred Tarski (1902-1983)
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7. 1. Definizione formale
a conclusion follows logically from some premises if and only if,
whenever the premises are true, the conclusion is also true.
a conclusion follows logically from some premises if and only if
every model of the premises is also a model of the conclusion.
Questa definizione dipende dalla particolare logica considerata.
Variabili proposizionali Var = {p1 , . . . , pn }.
Connettivi C = {¬, ∧, ∨, →} più significato: {f¬ , f∧ , f∨ , f→ }.
Enunciati EL.
Valutazioni v ∈ V: v : Var → {0, 1} che si estende a v : EL → {0, 1}
Nozione di conseguenza logica
Γ |= φ ⇐⇒ ∀v ∈ V se v (Γ) = 1 allora v (φ) = 1.
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8. 2. Proprietà astratte della relazione
Consideriamo un generico linguaggio L,
⊆ P(L) × L
per ogni Γ ⊆ L e ogni φ, θ ∈ L e per ogni funzione di sostituzione
uniforme σ:
(RIF) θ ∈ Γ implica Γ θ,
(MON) Γ ⊆ ∆ e Γ
θ implica ∆
(TRA) Γ
θ e Γ, θ
(STR) Γ
θ implica σ(Γ)
(FIN) Γ
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φ implica Γ
θ,
φ.
σ(θ).
θ implica che esiste Γ ⊆fin Γ tale che Γ
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θ.
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9. 2. Proprietà astratte della relazione
Relazione di conseguenza tarskiana
Una relazione di conseguenza tarskiana per L è una relazione
⊆ P(L) × L che per ogni Γ ⊆ L e ogni θ ∈ L soddisfa le proprietà (RIF),
(MON) e (TRA).
Una relazione di conseguenza tarskiana è detta strutturale se soddisfa
(STR). Finitaria se soddisfa (FIN).
Definizione astratta
Non dipende né dal significato dei connettivi né dalla funzione di
valutazione.
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10. Rapporti tra 1. e 2.
Definizione
Una relazione di conseguenza è vero-preservante se esiste un insieme V di
valutazioni (una semantica) tali che
Γ |= φ ⇐⇒ ∀v ∈ V se v (Γ) = 1 allora v (φ) = 1.
Ogni relazione di conseguenza vero-preservante è tarskiana.
Ogni relazione di conseguenza tarskiana è vero-preservante?
La risposta positiva a questa domanda è il sorprendente contenuto del
teorema di riduzione Suszko.
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11. Logica come relazione di conseguenza
Una logica è una coppia L, L , dove L è un insieme arbitrario e
relazione definita su P(L) × L.
Una logica L = L,
L
è tarskiana se
L
L
una
lo è.
Al variare delle proprietà della relazione di conseguenza si ottengono
diverse famiglie di logiche.
Definizione sintattica o semantica della logica.
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12. Algebra delle formule
Un algebra A è una coppia A, F , con A non vuoto chiamato universo di
A, e F = {fi }i∈I sequenza di operazioni finitarie su A. Il tipo di A è la
funzione τ : I → N, dove τ (i) è l’arietà della funzione fi . Due algebre si
dicono simili se hanno lo stesso tipo.
Algebra delle formule:
universo insieme For delle formule del linguaggio
operazioni per ogni connettivo
F : For n → For .
di arietà n si definisce l’operazione
Algebra delle formule
Logica algebrica
FM = For , { Fc | c ∈ C }
L = FM,
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13. Semantica algebrica
Algebra simile a FM: A = A, { fc | c ∈ C }
Omomorfismo: s : Var → A che si estende a hs : For → A con
hs ∈ Hom(FM, A).
Matrice logica M = A, D = A, D, { fc | c ∈ C } con D ⊂ A.
Modello M = M, h .
Sia Γ ⊆ L, Γ ha un modello se esiste un h ∈ Hom(FM, A) tale che
h(Γ) ⊆ D.
Conseguenza logica:
Γ |=M φ ⇐⇒ ∀h ∈ Hom(FM, A) se h(Γ) ⊆ D allora h(φ) ∈ D.
Non ci sono limiti alla cardinalità di A.
A funziona essenzialmente come una semantica bivalente.
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14. Adeguatezza
Una logica tarskiana strutturale FM,
da una matrice M se e solo se
si dice essere caratterizzata
= |=M .
L è caratterizzata da una classe A di matrici se e solo se
=
{|=M |M ∈ A}.
L è caratterizzata da un modello M se e solo se
= |=M ,
dove |=M è definita da Γ |=M φ ⇐⇒ se h(Γ) ⊆ D allora h(φ) ∈ D.
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15. Teorema (Wójcicki)
Ogni logica tarskiana strutturale è caratterizzata da una matrice a n valori
dove n = |For |.
Dimostrazione.
Ogni logica tarskiana L = FM, è caratterizzata dalla seguente classe di
modelli, chiamata Lindenbaum bundle:
¯
FM, Γ, v
dove:
Γ ⊆ For
¯
Γ={θ |Γ
θ}
v endomorfismo su FM.
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16. Il teorema di riduzione
Teorema (Suszko, 1977)
Ogni logica Tarskiana strutturale ha una semantica bivalente.
Dimostrazione.
Sia L = FM, una logica tarskiana. Per il teorema di Wójcicki L è
caratterizzata da una classe ML di modelli a n valori. Per ogni
A, D, { fc | c ∈ C } , h ∈ ML , si definisca la funzione h2 : For → {0, 1}
come segue:
1, se h(θ) ∈ D;
h2 (θ) =
0, se h(θ) ∈ D.
/
La classe { {0, 1}, {1}, { fc | c ∈ C } , h2 | h ∈ Hom(FM, A) } è la classe
di modelli a due valori che caratterizza L, cioè la semantica bivalente
cercata.
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17. Sul teorema
Idea intuitiva
D si comporta come un predicato di verità classico
Bivalenza: designati VS non designati
Generalizzazioni
L’ipotesi di strutturalità non serve
Versione costruttiva del teorema
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18. Sulla semantica di Suszko
Troppo generale – family of subset
[. . . ] peculiar conception of what is a “two-valued semantics”, and in
particular of what is, or can be, a “semantics”: Suszko and his followers
admit as such an arbitrary family of arbitrary functions from the set of
propositional formulas to the set of logical values. (Font, 2009)
non vero-funzionale
[. . . ] logical valuations are morphism (of formulas to the zero-one
model) in some exceptional cases only. (Suszko, 1977)
Derivata dalla semantica polivalente che caratterizza la logica
L’esistenza di una semantica bivalente si può derivare direttamente dalla
logica
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19. Dimostrazione alternativa
Teorema
Ogni logica Tarskiana strutturale ha una semantica bivalente adeguata.
Dimostrazione.
¯
¯
¯
L = FM, logica tarskiana strutturale. CL = Γ ⊆ For Γ φ implies φ ∈ Γ
¯
famiglia degli insiemi deduttivamente chiusi. Per ogni Γ ⊆ For si prende la
funzione caratteristica:
¯
1, if φ ∈ Γ;
vΓ (φ) =
¯
¯
0, if φ ∈ Γ.
/
La relazione |= canonicamente definita sull’insieme
¯
V =def vΓ : For → {0, 1} Γ ∈ CL , cioè
¯
∆ |= θ ⇐⇒ ∀v ∈ V ∀δ ∈ ∆ if v (δ) = 1 then v (θ) = 1,
è estensionalmente equivalente a .
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20. Un risultato doppio
SR1 Ogni logica tarskiana strutturale ha una semantica bivalente
adeguata.
SR2 Ogni matrice a n-valori può essere ridotta ad una semantica
bivalente.
Questa distinzione si rivela molto importante quando si indaga il contenuto
del teorema e a sua portata filosofica.
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21. Tesi di Suszko – Premessa
Per ogni enunciato: senso, denotazione, valore di verità
Logiche Fregeane
denotazione = valore di verità
FA due possibili denotazioni
Logiche Non Fregeane
denotazione = situazione (fatto) descritto da
Z esistono più di due situazioni
FA
Z
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22. Tesi di Suszko
denotazione di un enunciato = valore di verità
valori algebrici = valori logici
valutazioni algebriche = valutazioni logiche
Riduzione
Non importa la cardinalità del codominio delle valutazioni algebriche, un
insieme adeguato di valutazioni logiche può sempre essere trovato.
Tesi
Ogni logica è (logicamente) bivalente.
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23. Due versioni della tesi di Suszko
SST Vero e falso sono gli unici due valori logici.
q-conseguenza di Malinowski: tre valori logici
perché vero e falso?
WST Ogni logica tarskiana è (logicamente) bivalente.
passaggio dalla semantica alla logica
come si definisce la valenza logica?
Nessuna delle due tesi è supportata dal teorema, serve aggiungere
assunzioni filosofiche.
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24. Il contenuto del teorema
SR1 Ogni logica tarskiana strutturale ha una semantica bivalente adeguata
ad ogni conseguenza tarskiana se ne associa naturalmente una
1-preservante (SR1)
non importa quanti valori di verità ci sono nel modello, gli assiomi
tarskiani caratterizzano pienamente una conseguenza 1-preservante
SR2 Ogni matrice a n-valori può essere ridotta ad una semantica bivalente
la distinzione designato/non designato ripristina la bivalenza
scelta conforme all’idea tarskiana di preservazione di un valore
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25. Sul contenuto del teorema
SR1 e SR2 mettono in luce aspetti molto diversi...
...dello stesso contenuto:
La nozione di conseguenza tarskiana è intrinsecamente bivalente
contenuto logico non filosofico
questo contenuto a sua volta ha delle ricadute filosofiche
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26. Feedback filosofico
compatibilità tra la nozione tarskiana di conseguenza e la polivalenza
cosa fare quando ci sono più nozioni di verità?
problema dei “gradi di verità”
conseguenza come preservazione di un valore
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