Prima parte della lezione del 8/3/2012 corso Fisica Statistica e Teoria dell'Informazione, LM Ingegneria Informazione, Università di Firenze

1. Fisica Statistica e Teoria dell’Informazione
Fisica dei Sistemi Complessi
2011-2012
Franco Bagnoli e Duccio Fanelli
8 marzo 2012 - Prima parte

2. Scopo del corso
Raccontare come i fisici hanno affrontato lo studio dei
sistemi complessi (con esempi).
Distillare queste tecniche ed applicarle a casi di studio.
Estendere queste tecniche a casi di interesse
ingegneristico e informatico.
Imparare ad affrontare un problema con lo spirito dei
fisici, che non ` lo stesso di quello dell’ingegneria (di
e
solito un fisico non arriva mai alla soluzione, ma produce
dei bellissimi modelli inutili).

3. Struttura del corso
Il corso si compone di lezioni ed esercizi (in gran parte
da fare a casa).
Il sito moodle di ateneo servir` per il coordinamento.
a
Gran parte del corso riguarda la programmazione. Si
pu` usare qualsiasi sistema, per esempio
o
matlab/scilab/octave o FORTRAN, C, Java... si cercher` a
di dare esempi usando vari sistemi, in particolare usando
NetLogo.
Circa la met` del corso tratter` i sistemi dinamici, i
a a
sistemi stocastici, la meccanica statistica di equilibrio.
Seguiranno lezioni su temi speciali o un progetto globale
da sviluppare.
Con la collaborazione degli studenti le lezioni
verranno videoregistrate, editate e postate su web.

4. Modalit` di esame
a
L’esame consiste in un testo composto da tre “temini”
su titoli che riguardano i tre temi del corso (grosso modo
i titoli delle lezioni). L’elaborato viene fatto singolarmente
e inviato a me. E’ permesso (anzi, consigliato) ispirarsi a
siti, libri, ecc. ma le copiature non portano a buoni voti:
si vuole premiare l’originalit` (basta che non sfoci nella
a
fantasia...). Mettere le referenze alla “sorgente” delle
informazioni.
Si deve poi presentare un elaborato su un progetto, da
svolgersi preferibilmente in coppia o in tre persone. Ci
sono vari esempi disponibili, il progetto deve comprendere
un modello, la sua implementazione algoritmica, l’analisi
dei dati e la presentazione del tutto, o ovviamente deve
avere a che fare con gli argomenti del corso. Anche
questa fase viene svolta in completa autonomia.

5. Materiale didattico
Non ci sono testi che coprono tutti gli argomenti del corso, e
in genere sono trattati troppo in dettaglio. Si consiglieranno
comunque vari testi per le varie parti, testi in genere disponibili
in rete.
Per contatti: Franco Bagnoli franco.bagnoli@unifi.it o
su skype (francobagnoli)

6. Natura, computer ed umani
Natura: sistemi altamente dimensionali (∼ 1023
elementi).
Computers: sistemi formati da ∼ 106 elementi (dipende
dalla complessit`).
a
Mente umana: sistemi formati da max 6 elementi.
Il problema ` da una parte come simulare i sistemi naturali,
e
dall’altra come comprendere quelli naturali e/o quelli
simulati.

7. Un sistema giocattolo
Consideriamo come sistema “test” con cui esaminare i vari
tipi di approssimazione un insieme di molte (1000?) particelle
puntiformi che interagiscono secondo le leggi di Newton in 2
dimensioni, con una forza che dipende solo dalla distanza tra
le particelle.
Vogliamo ottenere le traiettorie di queste particelle restando
pi` vicini possibile alla fisica (dinamica molecolare).
u

8. Struttura dati
N particelle in una scatola di dimensioni L × L.
Particella i: massa mi , posizione ri = xiˆ + yiˆ velocit`
i j, a
vi = vxiˆ + vyiˆ (5 numbers).
i j
Distanza (vettoriale) intermolecolare:
rij = (xi − xj )ˆ + (yi − yj )ˆ
i j.
Distanza (scalare) intermolecolare
rij = (xi − xj )2 + (yi − yj )2 .
Potenziale sulla particella i: Vi = j V (rij ).
Forza sulla particella i: F(ri ) = − Vi = j Fij .
∂V (rij ) ∂V (rij )
Fxij = − , Fyij = − .
∂xi ∂yi
Traiettoria: r(t), v(t).

9. Lennard-Jones
Una delle forme pi` usate ` quella di Lennard-Jones.
u e
Questo potenziale ` repulsivo a corta distanza
e
(impenetrabilit`), e attrattivo a distanze intermedie, e infine
a
(quasi) piatto a grande distanza.

10. Lennard-Jones
σ 12 σ 6
V (r ) = 4ε − ,
r r
d σ 12 σ6
F(r) = − V (r ) = − V (r )ˆ = 4
r 12 − 6 7 ˆ,
r
dr r 13 r
dove r ` la distanza vettoriale da una particella.
e

11. Equazioni di Newton
Le equazioni di Newton (f = ma) diventano
dx
= vx(t)
dt
dy
= vy (t)
dt
dvx
= Fx (r(t))
dt
dvy
= Fy (r(t))
dt
ovviamente per ogni particella (N 2 interazioni, se non si usano
accorgimenti particolari).

12. Integrazione di equazioni differenziali
Le equazioni differenziali vanno trasformate in equazioni alle
differenze finite (mappe), discretizzando il tempo in passi
tutti uguali o adattabili.
Dato che si vogliono integrare molte equazioni, si cerca di
usare un sistema semplice (non un predictor-corrector), ma
allo stesso tempo si vuole che i vincoli (in questo caso
l’energia) sia conservata.
Un compromesso abbastanza soddisfacente ` l’algoritmo di
e
Verlet al primo o secondo ordine. Essenzialmente si tratta di
valutare le forze ad un passo intermedio rispetto allo
spostamento (vedere esempi e wikipedia).

13. Conclusioni
Giocando un po’ con l’algoritmo LJ.f90 si pu` dire che:
o
L’implementazione anche un semplice sistema realistico
` complicata.
e
L’essenziale a volte viene mascherato dalla complessit` a
dell’implementazione.
Ci sono dei regimi (alte e basse energie) in cui il sistema
appare pi` semplice (separazione di scale,
u
decorrelazione). La complicazione sta nel mezzo...
Nei casi semplici esistono sono approssimazioni (rigidi e
gas perfetto) che, trascurando alcuni dettagli,
permettono di rapresentare il problema usando modelli
basso-dimensionali.