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1. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Tesi specialistica in matematica
Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Candidato: Simone Camosso
Relatore: Domenico Delbosco
Università di Torino
6 Aprile 2011

2. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Richiami: Disuguaglianza e integrale di Cauchy
Teorema
Sia f olomorfa su un dominio Ω, γ cammino chiuso, z0 ∈ |γ|
I(γ, z0)f (z0) =
1
2πi γ
f (z)dz
z − z0
. (1)
Teorema
Sia f olomorfa in un dominio Ω, sia r il raggio di un cerchio
C(z0, r) di centro z0 ∈ Ω, allora
|an| ≤
M(r)
rn
. (2)
con M(r) = maxz∈C(z0,r) |f (z)|

3. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Richiami: Teorema di Liouville
Teorema(Liouville)
Sia f : C → C intera e limitata su tutto il piano complesso allora è
costante.
Teorema
Sia f : C → C intera, sia r > 0, allora
∞
n=0
|an|2
r2n
=
1
2π
π
−π
|f reiθ
|2
dθ. (3)

4. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
1◦
passo di generalizzazione
Proposizione
Sia f : C → C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, tale
che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c(1 + |z|) (4)
allora f (z) = a + bz con a, b costanti.
Proposizione
Sia f : C → C funzione intera e sia c > 0 costante reale, tale che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c|1 + z|m
(5)
allora f (z) risulta essere un polinomio di grado al più m.

5. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Questi risultati non sono presenti il letteratura.
Proposizione
Sia f : C → C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, tale
che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c |ez
| (6)
allora f (z) = aez con a costante.
Proposizione
Sia f : C → C intera e sia c > 0 reale tale che
|f (z)| ≤ c| sinh z| (7)
allora f (z) è un polinomio con potenze dispari oppure é della forma
f (z) = a sinh bz,con a, b ∈ C.

6. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Proposizione
Sia f : C → C intera e sia c > 0 reale tale che
|f (z)| ≤ c| cosh z| (8)
allora f (z) è un polinomio con potenze pari oppure è della forma
f (z) = a cosh bz,con a, b ∈ C.
Proposizione
Sia f : C → C intera, con un numero infinito di zeri, e sia c > 0
reale tale che
|f (z)| ≤ c| sinh z| (9)
allora f (z) è della forma f (z) = a sinh bz, con a, b ∈ C.

7. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
Richiami: Formula integrale di Cauchy in più variabili
complesse
Proposizione
Sia Ω un intorno aperto del polidisco chiuso P(z◦, (r1, ..., rn)) di Cn
ed f : Ω → C sia una funzione olomorfa su Ω, allora
∀z ∈ P(z◦, (r1, ..., rn)) si ha
f (z) =
1
(2πi)n
|ξ1−z1
◦|=r1
· · ·
|ξn−zn
◦|=rn
f (ξ1, ..., ξn)dξ1 · · · dξn
(ξ1 − z1) · · · (ξn − zn)
(10)

8. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
Richiami: Disuguaglianza di Cauchy in piú variabili
complesse
Proposizione
Sia Ω aperto di Cn contenente P(z◦, r) ed f : Ω → C sia una
funzione olomorfa, allora si ha per ogni m ∈ Nn
|am| ≤
M
rm1
1 · · · rmn
n
(11)
ove M = max1≤j≤n max|ξj −zj
◦|=rj
|f (z)| .
Teorema(Liouville)
Sia f : Cn → C una funzione intera e limitata su Cn, allora f è
costante.

9. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
2◦
passo di generalizzazione
Proposizione
Sia f : Cn → C funzione intera su Cn e sia c > 0,tale che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c

1 +
|m|=1
|z|m

 (12)
allora f (z) = a + n
j=1 bj zj con a, bj per i = 1, · · · n costanti
complesse.

10. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
Definizione
Definiamo la funzione E : Cn → C la seguente serie formale
E(z) =
m∈Nn
1
m!
zm
. (13)
La E(z) é una funzione intera.
Proposizione
Sia f : Cn → C funzione intera e sia c > 0 ,tale che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c
m∈Nn
1
m!
zm
= c|E(z)| (14)
allora f (z) = a m∈Nn
1
m! zm = aE(z).

11. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Funzioni armoniche
Operatori differenziali complessi
Definizione
Si definisce operatore laplaciano
∆ = Re{ } =
n
j=1
4
∂2
∂zj ∂zj
. (15)
Definizione
Sia f : Cn → C una funzione olomorfa, se
∆f = 0 (16)
allora f (z) è detta armonica.

12. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Funzioni armoniche
Olomorfia e armonicità
Proposizione
Sia f : Cn → C olomorfa allora è armonica.
Tutte le caratterizzazioni fatte in precedenza continuano a valere
anche quando al posto di funzioni olomorfe si considerano funzioni
armoniche.In particolare in questo contesto il teorema di Liouville
diventa
Teorema(Liouville)
Sia f : Cn → C una funzione armonica e limitata, allora f è
costante.

13. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di Liouville in R, R2
, R3
Teoremi di Liouville nel caso Reale
Definizione
Sia f : Rn → R una funzione f reale tale che f ∈ C2(Rn) e tale che
∀x ∈ Rn con x = (x1, · · · , xn) si abbia
∆f (x1, · · · , xn) =
n
i=0
∂2
∂x2
i
f (x1, · · · , xn) = 0. (17)
Tale funzione è detta armonica.
Teorema
Sia g : Rn → R , una funzione armonica in Rn per n = 1, 2, 3 e ivi
limitata, allora è costante.

14. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Teorema di Liouville in Spazi di Banach complessi e su
varietà complesse
Teorema
Sia V uno spazio di Banach complesso, A : C → V una funzione
analitica e limitata su tutto C. Allora A è costante.
Teorema
Sia A ∈ L(X) operatore lineare e limitato A : X → X con X spazio
di Banach complesso allora lo spettro σ(A) non è vuoto.
Teorema
Sia f una funzione olomorfa su X varietà complessa compatta,
connessa allora f è costante su X.

15. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Bibliografia
Salvatore Coen, Teoria elementare delle funzioni analitiche di
più variabili complesse, Università degli studi di Pisa, 1970.
Murray R.Spiegel, Complex variables, Mc Graw-Hill Book
Company, New York, 1975.
Henry Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of one
or Several Complex Variables, Dover Publications, inc. New
York, 1995.
L. Hörmander, An introduction to Complex Analysis in Several
Variables, Princeton New Jersey, 1966.
Enzo Martinelli, Introduzione elementare alla teoria delle
funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle
rappresentazioni integrali, Roma accademia nazionale dei lincei,
1984.

16. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Bibliografia
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, second edition,
University of Wisconsin, Mc Graw-Hill, 1974.
Elias M,Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis,
Princeton University Press, 2003.
A.I.Markushevich, Entire functions, New York American
Elsevier publishing company inc. 1966.
Mike Field, Several Complex Variables and Complex Manifolds
I, Senior Lecturer, Department of Pure Mathematics, University
of Sydney, 1982.
George Bachman and Lawrence Narici, Functional Analysis,
Academic Press New York and London, 1966.

17. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Bibliografia
Ian Stewart and David Tall, Complex Analysis, Cambridge
University Press, 1983.
William A.Veech, A Second Course in Complex Analysis, Dover
Publications inc. Mineola New York, 1967.