Un percorso tra
matematica,
filosofia e fisica:

“Achille,
la tartaruga
e le progressioni
geometriche”
Zenone e gli argomenti contro il movimento:
il paradosso di Achille e la tartaruga
Secondo Parmenide e la scuola eleatica ...
Aristotele e
il paradosso di Achille e la tartaruga
La tesi è che, posta l’infinita divisibilità dello spazio,
Achille non...
Impostazione matematica
del paradosso di Achille e la tartaruga
Costruiamo un modello matematico per studiare
il paradosso...
Analisi numerica de
il paradosso di Achille e la tartaruga
La progressione geometrica
nel paradosso di Achille e la tartaruga
Lo spazio percorso dalla tartaruga al variare del
tempo...
L’infinito matematico
nel paradosso di Achille e la tartaruga
Adesso compiamo il passaggio matematico che ci permetterà di...
La soluzione matematica
del paradosso di Achille e la tartaruga
Possiamo adesso risolvere il paradosso di Zenone: la dista...
La soluzione fisica
del paradosso di Achille e la tartaruga

•

Esercizio: risolvere il problema confrontando

le leggi de...
La soluzione fisica
del paradosso di Achille e la tartaruga

•

Esercizio: risolvere il problema confrontando

le leggi de...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Achille, la tartaruga e le progressioni geometriche

860 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
860
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
11
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Achille, la tartaruga e le progressioni geometriche

  1. 1. Un percorso tra matematica, filosofia e fisica: “Achille, la tartaruga e le progressioni geometriche”
  2. 2. Zenone e gli argomenti contro il movimento: il paradosso di Achille e la tartaruga Secondo Parmenide e la scuola eleatica (V sec. a.C.) uno degli attributi dell’essere è l’immobilità, l’assenza di movimento, perché se l’essere si muovesse implicherebbe il non essere, in quanto nel moto si troverebbe in una serie di stati o situazioni in cui prima non era. Zenone, allievo e amico di Parmenide, utilizzò il metodo dialettico contro la realtà del movimento attraverso quattro celebri paradossi. Ecco come Aristotele (IV sec. a.C.) descrive il paradosso di Achille: “Quattro sono i ragionamenti di Zenone intorno al movimento, i quali mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli. ….. Il secondo è il cosiddetto “Achille”: questo intende provare che il più lento, correndo, non sarà mai oltrepassato dal più veloce: infatti, necessariamente, l’inseguitore dovrebbe giungere prima là dove il fuggitivo è balzato in avanti; sicché necessariamente il più lento conserva una certa precedenza.” (Aristotele, Fisica, VI)
  3. 3. Aristotele e il paradosso di Achille e la tartaruga La tesi è che, posta l’infinita divisibilità dello spazio, Achille non raggiungerà mai la tartaruga poiché, dovendo superare infiniti spazi dovrà impiegare un tempo infinito. Aristotele cercherà di risolvere il problema distinguendo tra piano reale (dove esiste il finito e l’infinito è solo potenziale, inteso come la possibilità mentale di aumentare indefinitamente una qualsiasi quantità data) e piano del pensiero (dove esiste l’infinito come tale, l’infinito in atto). Infatti conclude così la precedente citazione: “Ma in realtà, è falso ritenere che ciò che precede non venga raggiunto: infatti, solo fin quando precede, non viene raggiunto; ma tuttavia esso viene raggiunto, purché si ammetta che viene percorsa una distanza finita”. Proviamo ad analizzare il problema da un punto di vista matematico. La matematica permette di risolvere il paradosso di Zenone andando oltre la soluzione aristotelica e valutando i significati che può assumere la somma di infiniti termini: infatti l’analisi infinitesimale studia l’infinito come concetto matematico e dimostra che, sotto alcune condizioni, la somma di infiniti termini può dare un risultato finito.
  4. 4. Impostazione matematica del paradosso di Achille e la tartaruga Costruiamo un modello matematico per studiare il paradosso e consideriamo un opportuno sistema di riferimento (costituito da un asse di coordinate e da un cronometro) in grado di stabilire la posizione di Achille e della tartaruga al variare del tempo. Sia inoltre s0 = 0m la posizione iniziale di Achille ed s1 = 1m la posizione iniziale della tartaruga. Achille Tartaruga ||→ s0=0m s 1=1m Consideriamo il caso in cui la velocità della tartaruga sia 1/100 di quella di Achille e indichiamo questo rapporto con q=1/100: per esempio v(Achille)= 1 m/s e v(tartaruga)= 1/100 m/s . Analizziamo nel seguente schema le varie posizioni di Achille e la tartaruga al variare del tempo: in particolare consideriamo la posizione della tartaruga ogni qualvolta Achille raggiunge la sua precedente posizione.
  5. 5. Analisi numerica de il paradosso di Achille e la tartaruga
  6. 6. La progressione geometrica nel paradosso di Achille e la tartaruga Lo spazio percorso dalla tartaruga al variare del tempo (III colonna) costituisce una progressione geometrica an poiché è una successione in cui il rapporto tra ciascun termine e il precedente è uguale alla ragione q = 1/100. La posizione assunta dalla tartaruga al variare del tempo (V colonna) costituisce pertanto la somma dei primi n termini consecutivi di una progressione geometrica. E’ questo lo spazio che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga. Per averne una valutazione possiamo ricorrere al teorema della somma dei primi n termini di una progressione geometrica
  7. 7. L’infinito matematico nel paradosso di Achille e la tartaruga Adesso compiamo il passaggio matematico che ci permetterà di risolvere il paradosso: consideriamo la somma sn dei termini della progressione al crescere di n, al tendere di n all’infinito. Osserviamo che se q < 1 il termine qn che compare nella precedente formula al crescere di n diventa sempre più piccolo, quasi insignificante (...pensate 1/1001000): l’analisi matematica ci garantisce che se n tende a infinito allora qn tende a zero e pertanto la precedente formula diventa Pertanto se q < 1 la somma degli infiniti termini della progressione da un risultato finito.
  8. 8. La soluzione matematica del paradosso di Achille e la tartaruga Possiamo adesso risolvere il paradosso di Zenone: la distanza che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga è costituita da infinite parti an ma è una distanza finita. Nel nostro caso essendo a1=1 e q=1/100 la precedente formula ci permette di calcolare che è poco più di un metro !!!!! Possiamo così concludere che Achille raggiunge la tartaruga dopo un brevissimo spazio dal quale era partita. Come ci aspettavamo nella realtà.
  9. 9. La soluzione fisica del paradosso di Achille e la tartaruga • Esercizio: risolvere il problema confrontando le leggi del moto della Tartaruga con quella di Achille e ricavando la stessa soluzione dell’analisi matematica. • Esercizio: rappresentare nel piano (t,s) le due leggi del moto e verificare graficamente la soluzione trovata.
  10. 10. La soluzione fisica del paradosso di Achille e la tartaruga • Esercizio: risolvere il problema confrontando le leggi del moto della Tartaruga con quella di Achille e ricavando la stessa soluzione dell’analisi matematica. • Esercizio: rappresentare nel piano (t,s) le due leggi del moto e verificare graficamente la soluzione trovata.

×