1. 1
ประวัติ แคลคูลัส Calculus
แคลคูลัส เป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความสำาคัญอย่างยิ่ง สามารถ
นำาไปประยุกต์ใช้ในการอธิบายกฎเกณฑ์ธรรมชาติ เป็นพื้นฐานของ
ความเข้าใจโลก และปรากฏการณ์ต่าง ๆ แคลคูลัสช่วยให้เราสามารถ
คำานวณวงโคจรของดาวต่าง ๆ ช่วยให้เราคำานวณกระแสนำ้า การคำานวณ
หาเส้นแรงในอาคารรูปแปลก ๆ เพื่อให้สามารถสร้างอาคารเหล่านั้น เป็น
วิชาที่จำาเป็นสำาหรับนักวิทยาศาสตร์แทบทุกแขนง
ผู้ที่เกิดแนวคิดเรื่องแคลคูลัสก่อนผู้ใด เมื่อราว ปี 1667 เซอร์ ไอ
แสค นิวตัน นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ สนใจในเรื่องคณิตศาสตร์ของการ
เคลื่อนที่ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา กฎเกณฑ์ของการเปลี่ยนแปลง
นี้เอง ทำาให้เป็นที่มาของแคลคูลัส ในเรื่องของอินทิกรัลและดิฟเฟอเรน
เชียล ต่อมาไม่นานก็มีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ กอตฟริค ไลปนิช
ก็เกิดแนวติดในทำานองเดียวกัน ทั้งสองคนเขียนจดหมายแลกเปลี่ยน
ทัศนะ และแนวคิดกัน
แคลคูลัสเป็นคณิตศาสตร์ที่ถือกำาเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 แต่ถ้าไล่
ย้อนไปในอดีต ก็จะพบแนวความคิดหรือเทคนิคต่าง ๆที่นักคณิตศาสตร์
สมัยก่อนหน้านั้นได้ช่วยคิดช่วยสร้างมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณโน่น ซึ่งมี
รายละเอียดมาก พอจะสรุปหลัก ๆ ที่สำาคัญ ดังนี้
นักคณิตศาสตร์สมัยโบราณหลายคน เช่น อาร์คิมีดิส เคยคิดวิธี
หาเส้นสัมผัสรูปร่างเกลียวหอย
โจทย์ข้อนี้สำาคัญมาก เพราะน่าจะเป็นโจทย์เกี่ยวกับเส้นสัมผัส
หรือ“ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส”เพียงข้อเดียวในประวัติศาสตร์ ส่วนที่
เหลือ เช่น การคำานวนหาพื้นที่วงกลม ปริมาตร และพื้นผิวของทรงกลม
ได้อย่างไร ซึ่งจากมุมมองสมัยนี้ เป็นโจทย์เกี่ยวกับผลรวม หรือ “อินทิ
กรัลแคลคูลัส” ทั้งสิ้น
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ได้ตั้งโจทย์เกี่ยวกับ ลิมิต
และค่าอนันอีกด้วย แต่ที่น่าจะสำาคัญที่สุดคือ เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่
เรียกว่า "วิธีใช้ทั้งหมดของยูโดซัส" ซึ่งมีหลักการง่าย ๆว่า ถ้าต้องการ

2. 2
คำานวณหาพื้นที่รูปทรงประหลาดๆ ที่สนใจก็แบ่งพื้นที่ให้เป็นรูปง่าย ๆ
เช่น รูป 3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม โดยเริ่มจากการใช้รูปง่าย ๆ ใส่ลงไปใน
พื้นที่ที่ต้องการหาและซอยย่อยลงไปเรื่อย ๆ ดังนั้นผลรวมก็จะได้ใกล้
เคียงกับพื้นที่ที่ต้องการ
นี่คือเทคนิคการอินทิเกรตโดยใช้ภาพของนักคณิตศาสตร์กรีก
โบราณนั่นเอง นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียก็มีผู้คิด"ปฐมแคลคูลัส"ไว้คือคน
จีนกับคนญี่ปุ่น นักคณิตศาสตร์ญี่ปุ่นคำานวนหาพื้นที่วงกลม โดยแบ่งเป็น
แถบ 4 เหลี่ยมย่อย ๆ
จวบจนถึงคริต์ศตวรรษที่ 14 จึงมีคำาถามประเภทว่าวัตถุเคลื่อนที่
ด้วยอัตราเร็วไม่คงที่จะหาระยะทางที่วิ่งไปได้อย่างไร แต่แคลคูลัสสมัย
ใหม่ต้องรอเวลานานกว่าจะถือกำาเนิดขึ้นได้ เพราะแคลคูลัส จำาเป็นต้องใช้
แนวคิดจากคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆหลายวิชานำามาก่อน เช่น ฟังก์ชั่น
พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์
แนวคิดเรื่องฟังก์ชันนี้มาสุกงอมตอนที่กาลิเลโอมาศึกษาเรื่องการ
เคลื่อนที่ส่วนสองเรื่องหลังคือ พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์
เป็นฝีมือของเดอคาร์ตส์ยอดนักคณิตศาสตร์ที่คิดแกนอ้างอิงแบบคาร์ที
เชียนให้เราใช้กันจนถึงเดี๋ยวนี้นี่เอง
ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
-ลิมิตของฟังก์ชัน
y = f(x) ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต
ของจำานวนจริง ขณะที่ x เข้าใกล้
จำานวนจริงใด ๆ เพียงจำานวนเดียวเท่านั้น
ความหมายของการที่ x เข้าใกล้จำานวนจริง a ใด ๆ ดังรูป
x a x
เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x < a หมายความว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์

3. 3
เป็นสับเซต
ของเซตจำานวนจริง เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย แล้ว f(x) เข้าใกล้
จำานวนจริง
เรียก ว่า ลิมิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า f(x) =
เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x> a หมายความว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์
เป็นสับเซต
ของเซตจำานวนจริง เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา แล้ว f(x) เข้าใกล้
จำานวนจริง
เรียก ว่า ลิมิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า f(x) =
เมื่อ x เข้าใกล้ a ไม่ว่าจะทางด้านซ้ายหรือด้านขวา แล้ว
ค่าของ f(x)เข้าใกล้จำานวนจริง L เขียนแทนได้ว่า f(x) =
L
ลิมิตข้างเดียว (One - side limit)

4. 4
พิจารณาจากรูป
= ..........(1)
= ..........(2)
(1) (2) นั่นคือ
ดังนั้น หาค่าลิมิตไม่ได้
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
พิจารณาจากรูป
=
= 4 - 6 = - 2 ...........(1)
=
= 4 - 4 = 0 .............(2)
(1) (2) นั่นคือ

5. 5
ดังนั้น หาค่าลิมิตไม่ได้
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
พิจารณาจากรูป
=
= 10 - 3 = 7 .....(1)
=
= 2(3) + 1 = 7 .......(2)
(1) = (2) นั่นคือ
=
ดังนั้น = 7
การหาลิมิตของฟังก์ชัน
การหาค่าของลิมิตสามารถหาได้หลายวิธีจะแนะนำา 3 วิธี ดังนี้

6. 6
วิธีที่ 1 โดยการแทนค่า x โดยตรงลงใน f(x) ของลิมิต จะได้ค่าของลิมิต
ออกมาเลย
จัดเป็นวิธีหาค่าลิมิตที่ง่ายที่สุด เมื่อแทนค่า x โดยตรงในฟังก์ชัน
ของลิมิต
ค่าของลิมิตอยู่ในรูป ต้องใช้วิธีที่ 2 หรือวิธีที่ 3 ต่อไป
วิธีที่ 2 โดยการแยกตัวประกอบของฟังก์ชันเศษและฟังก์ชันส่วน (ถ้าแยก
ตัวประกอบได้)
ถ้าเศษและส่วนมีตัวประกอบที่เหมือนกัน ให้ตัดทอนกันไป แล้วจึง
แทนค่า x
โดยตรงตามวิธีที่ 1 ก็จะได้ค่าของลิมิต
วิธีที 3 โดยการสังยุค (conjugate) ให้หาตัวประกอบมาคูณทั้งเศษและ
ส่วน
เพื่อทำาให้ผลหารง่ายขึ้น แล้วจึงแทนค่า x ตามวิธีที่ 1 ก็จะได้ค่า
ของลิมิต
ตัวอย่าง กำาหนดให้ f(x = 2x - 3 จงหาค่าของ (2x-3)
(2x-3) = (4-3) = 1
ตัวอย่าง กำาหนด f(x) = จงหาค่าของ f(x)
f(x) = [ ]
= ( x + 3 ) = 3 + 3 = 6
ตัวอย่าง จงหาค่าของลิมิต h(x) เมื่อ h(x) =
แทนค่า x = 0 จะได้ h(x) = = ให้ใช้วิธีที่ 3 ใหม่

7. 7
=
=
=
=
=
ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่ x = a หรือไม่ ?
นิยาม เราจะเรียกฟังก์ชัน f ว่ามีความต่อเนื่องที่ a ก็ต่อเมื่อ
เงื่อนไขทั้งสาม
ข้อนี้ต้องเป็นจริง
1) f(a) หาค่าได้
2) f(x) สามารถหาค่าได้ และ
3) f(x) = f(a)
ถ้าฟังก์ชัน f ขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง (หรือหลายข้อ) ในสาม
ข้อดังกล่าวแล้ว
จะกล่าวได้ว่า " f ไม่มีความต่อเนื่องที่ a "
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
การตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องที่
x = a

8. 8
มี 3 ขั้นตอน ดังนี้
ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบ f(a)
f(a) หาค่าไม่ได้ สรุปได้เลยว่า ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a
f(a) หาค่าได้ ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทำาขั้นตอนที่ 2 ต่อ
ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบ f(x)
f(x) หาค่าไม่ได้ สรุปได้เลยว่า ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a
f(x) ห าค่าได้ ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทำาขั้นตอนที่ 3 ต่อ
ขั้นตอนที่ 3 ตรวจสอบ f(x) = f(a) หรือไม่
ถ้า f(x) f(a) สรุปได้เลยว่า ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a
ถ้า f(x) = f(a) สรุปได้เลยว่า ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a
ข้อสังเกต
ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว f(a) = f(x) = f(x)
ถ้าฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว f(a) f(x) f(x)
ตัวอย่าง จงพิจารณาฟังก์ชัน f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 2
หรือไม่
f(x) = เมื่อ x 2
f(x) = 2 เมื่อ x = 2
ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบ f(2)
f(2) = 2 ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทำาขั้นตอนที่ 2 ต่อ
ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบ
= 4 ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทำาขั้นตอนที่ 3 ต่อ

9. 9
ขั้นตอนที่ 3 ตรวจสอบ = f(2) หรือไม่
f(2) สรุปได้เลยว่า ฟังก์ชัน f (x) ไม่ความต่อเนื่องที่ 2
ตัวอย่าง จงพิจารณาฟังก์ชัน f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 10
หรือไม่
f(x) = x ถ้า 0 x 10
f(x) = 10 + 0.9 ( x - 10 ) = 0.9 x + 1 ถ้า 10 < x
ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบ f(10)
f(10) = 10 ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทำาขั้นตอนที่ 2 ต่อ
ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบ
= = 10
= = 10
=
ดังนั้น = 10 ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทำาขั้นตอนที่ 3 ต่อ
ขั้นตอนที่ 3 ตรวจสอบ = f(10) หรือไม่
= f(10) = 10
สรุปได้เลยว่า ฟังก์ชัน f (x) มีความต่อเนื่องที่ 10

10. 10
การหาอนุพันธ์ของ์ฟังก์ชันพีชคณิต
(Differentiation Algebraic Function)
ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function)
หมายถึงฟังก์ชันลักษณะ
y =
เมื่อ n เป็นจำานวนจริง
กฎข้อที่ 1 เมื่อ y = c เมื่อ c เป็นตัวคงที่ จะได้ว่า = 0
กฎข้อที่ 2 เมื่อ y = x จะได้ว่า
กฎข้อที่ 3 เมื่อ y = c f (x) และ c เป็นตัวคงที่ จะได้ว่า
กฎข้อที่ 4 เมื่อ u,v,w เป็นฟังก์ชันของ x
จะได้ว่า
กฎข้อที่ 5 เมื่อ y เป็นฟังก์ชันของ เมื่อ n เป็นจำานวนตรรภยะ
จะได้ว่า =
กฎข้อที่ 6 อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
ถ้า y = f (x) g(x) เมื่อ f (x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถ
หา
f '(x) และ g '(x) ได้ แล้ว = f (x) g '(x) + f '(x) g(x)

11. 11
กฎข้อที่ 7 อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชัน
ถ้า y = โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา
f '(x) และ g '(x) ได้ และ g(x) 0 แล้ว
=
กฎข้อที่ 8 กฎลูกโซ่ (chain rule )
ถ้า y = f เมื่อ n เป็นจำานวนตรรภยะ และ
f(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา f '(x) ได้ แล้ว
= n f '(x)
ตัวอย่างการนำากฎดังกล่าวไปใช้หาอนุพันธ์ฟังก์ชัน
1) กำาหนดให้ y = 8
จะได้ = 0
2) กำาหนดให้ y = 5x
จะได้ = = 5 = 5
3) กำาหนดให้ y =
จะได้ = = 8
4) กำาหนดให้ y =

12. 12
จะได้ =
= =
=
5) กำาหนดให้ y = 3 - 2 + 6x -19 จงหา
= - + -
= - + - 0
= 3 (3 ) - 2 ( 2x ) + 6
= 9 - 4 x + 6
6) ถ้ากำาหนด y = (x+3) (2x -3) จงหา
y = (x+3) (2x -3)
= f (x) g '(x) + f '(x) g(x)
= (x+3) (2) + 1 (2x - 3)
= 2x + 6 + 2x - 3 = 4x + 3
7) ถ้า y = จงหา
กำาหนดให้ y = โดยที่ f (x)= + 5 และ g(x) =

13. 13
ดังนั้น f ' (x) = 3 และ g '(x) =
=
=
=
=
8) ถ้า y = จงหา
กำาหนดให้ y = เมื่อ f (x) = + 5
เพราะฉะนั้น f ' (x) = 2x
= 3 f ' (x)
= 3 f ' (x)
= 6 x
การหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
ค่าสัมบูรณ์

14. 14
พื้นฐานที่ผู้เรียนควรมี
1. การเขียนกราฟของค่าสัมบูรณ์
2. วิธีปลดค่าสัมบูรณ์ โดยใช้ความจริงของค่าสัมบูรณ์
กรณีแรก = เมื่อ 0
กรณีสอง = - เมื่อ < 0
ตัวอย่าง กำาหนดให้ y = จงหา
จากที่กำาหนดให้ พบว่า > 0 แน่ ๆ
ความจริงของค่าสัมบูรณ์ = เมื่อ > 0
จะได้ y = =
ดังนั้น = = 2 x
วิเคราะห์กราฟของ y =
จากรูป จะเห็นได้ว่าไม่เกิดการหักมุม แสดงว่าสามารถหา ได้ทุก
ค่าของ x
ตัวอย่าง กำาหนดให้ y = จงหา

15. 15
จากที่กำาหนดให้ พบว่า ( ) > 0
แสดงว่า - ( ) < 0
ความจริงของค่าสัมบูรณ์ = - เมื่อ < 0
y = = - [ - ( ) ] =
ดังนั้น = = 2 x
วิเคราะห์กราฟของ y =
จากรูป จะเห็นได้ว่าไม่เกิดการหักมุม แสดงว่าสามารถหา ได้ทุก
ค่าของ x
ตัวอย่าง กำาหนดให้ f(x) = จงหาค่าของ
จากความจริงของค่าสัมบูรณ์
กรณีแรก = เมื่อ 0
กรณีสอง = - เมื่อ < 0
จะได้ กรณีที่หนึ่ง f(x) = = เมื่อ x
0

16. 16
กรณีที่สอง f(x) = = - เมื่อ x < 0
กรณีที่หนึ่ง = = 2 x = 2(x) เมื่อ x 0
กรณีที่สอง = = - 2 x = 2 (- x) เมื่อ x < 0
จากกรณีทั้ง 2 กรณี จะได้ =
พิจารณาจากกราฟ f(x) =
จะเห็นว่า เส้นกราฟไม่เกิดการหักมุม แสดงว่าสามารถหา ได้
ทุกค่าของ x
ตัวอย่าง กำาหนดให้ y = f(x) = จงหาค่าของ
จากความจริงของค่าสัมบูรณ์
กรณีแรก = เมื่อ 0
กรณีสอง = - เมื่อ < 0
จะได้ กรณีแรก y = f(x) = = - 4 เมื่อ - 4 0
กรณีสอง y = f(x) = = 4 - เมื่อ - 4 < 0

17. 17
แสดงว่า
กรณีแรก = = 2 x
เมื่อ x จริงหรือไม่
กรณีสอง = = - 2 x เมื่อ x
พิจารณาจากกราฟ y = f(x) = เป็นดังนี้
จากกราฟ จะเห็นได้ว่าเกิดการหักมุมที่ x = -2 และ x = 2
แสดงว่า และ หาค่าไม่ได้
ดังนั้น = เมื่อ x 2
สามารถคิดลัดได้ดังนี้
ถ้า y = แล้ว = g' (x) เมื่อ g(x) 0
ถ้า y = แล้ว = เมื่อ x 2

18. 18
ดังนั้น = เมื่อ x 2
ตัวอย่าง กำาหนดให้ y = f(x) = จงหาค่าของ
สามารถคิดลัดได้ดังนี้
ถ้า y = แล้ว = g' (x) เมื่อ g(x) 0
ถ้า y = แล้ว = เมื่อ 5x - 7 0
ดังนั้น = เมื่อ x
ตัวอย่าง กำาหนดให้ y = f(x) = จงหาค่าของ
สามารถคิดลัดได้ดังนี้
ถ้า y = แล้ว = g' (x) เมื่อ g(x) 0
ถ้า y = แล้ว = = เมื่อ x 0
ดังนั้น = เมื่อ x 0 หรือเขียนได้ว่า 3 x

19. 19
กฎลูกโซ่ (Chain rule) กับอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันคอมโพสิท
กฎลูกโซ่ คือกฏที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ของ"ฟังก์ชันคอมโพสิท"
ถ้า y = = g(f(x)) แล้ว
=
การปรับสูตรใหม่ให้ดูง่าย
ถ้าให้ u = f(x) แล้ว
y = = g(f(x)) = g(u)
จาก =
จะได้ =
จาก u = f(x) แล้ว y = g(u)
ดังนั้น =
การปรับสูตรใหม่ให้ดูง่าย อีกรูปแบบหนึ่ง
ถ้า y = f เมื่อ n เป็นจำานวนตรรภยะ และ
f(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา f '(x) ได้ แล้ว
= n f '(x)

20. 20
ตัวอย่าง ถ้า y = จงหา
กำาหนดให้ y = เมื่อ f (x) = + 5
เพราะฉะนั้น f ' (x) = 2x
= 3 f ' (x)
= 3 f ' (x)
= 6 x
อนุพันธ์ในทางเรขาคณิตความชันและเส้น
สัมผัสของเส้นโค้ง
กำาหนดให้ y = f(x) เป็นสมการของเส้นโค้งใด ๆ เส้นสัมผัสโค้ง y =
f(x)
ที่จุด ใด ๆ คือ เส้นตรงที่ผ่านจุด
และมีความชันเท่ากับ f '(x) หรือ | x =
ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด ใด ๆ หมายถึงความชันของเส้น
โค้ง ที่จุดนั้น ๆ

21. 21
พื้นฐานความรู้ของผู้เรียน
1. ความชันของเส้นตรง (m) ที่ผ่านจุด และ
จะได้ m = =
2. ให้เส้นตรง และ มีความชันเป็น และ ตามลำาดับ
เส้นตรง จะขนานกับเส้นตรง ก็ต่อเมื่อ =
เส้นตรง จะตั้งฉากกับเส้นตรง ก็ต่อเมื่อ = -1
3. สมการเส้นตรงทั่วไป y - = m เมื่อผ่านจุด และมีความชัน
m
การหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง และสมการของเส้นตรงที่
ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส
ตัวอย่าง จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = ที่มีความชันของเส้นสัมผัส
เท่ากับ 1
y =
จะได้ = 2x - 3
หาค่า x ที่ทำาให้ = 1
จะได้ 2 x - 3 = 1
x = 2
นำาค่า x แทนใน y จะได้ y = - 3(2) - 4

22. 22
y = - 6
ดังนั้น จุดบนเส้นโค้ง y =
ที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ 1 คือ ( 2 , - 6)
ตัวอย่าง กำาหนดให้เส้นตรง L มีความชัน 2 และสัมผัสเส้นโค้ง y =
+2 แล้ว
จงหาสมการเส้นตรง L
จากที่กำาหนด y = + 2
= 2 x
เส้นตรง L มีความชัน 2 และสัมผัสเส้นโค้ง y = + 2
จะได้ = 2
2 x = 2
x = 1
นำาค่า x แทนใน y จะได้ y = + 2
y = 3
จะได้ จุด ( 1 , 3 ) เป็นจุดสัมผัส
ดังนั้น สมการเส้นตรง L คือ (y -3 ) = 2( x -1 ) หรือ y = 2 x + 1
อนุพันธ์แบบอิมปลิสิต (Implicit
Differentiation)

23. 23
การหาอนุพันธ์แบบอิมปลิสิตเป็นวิธีหนึ่งที่ใช้การหาอนุพันธ์
จากสมการที่อยู่ในรูป f(x,y) = 0
โดยที่ f ( x , y ) เป็นนิพจน์ของตัวแปร x และ y
ซึ่งสมการนี้ในบางครั้งเป็นการยากที่จะเขียนให้อยู่ในรูป y = g(x) ได้
ดังนั้นจึงเกิดการหาอนุพันธ์แบบอิมปลิสิตขึ้น
หลักในการหา จากสมการ f (x,y) = 0 แบบอิมปลิสิตนั้นมีอยู่ว่า
จะต้องถือว่าตัวแปร y ในสมการนี้ทุกตัวก็เป็นฟีงก์ชันของ x
ดังนั้น การหาอนุพันธ์ของพจน์ที่มีตัวแปร y จะต้องใช้กฎลูกโซ่ คือ
จะต้องคูณผลลัพธ์ จากการหาอนุพันธ์ด้วย เสมอ ดังตัวอย่าง
ดังนี้
ตัวอย่าง จงหา จากสมการ = 0
วิธีทำา = 0
จากการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับตัวแปร x จะได้ว่า
2 x + 2 y - 0 = 0
2 y = - 2 x
เพราะฉะนั้น = =
ตัวอย่าง จากสมการ = 0 จงหา

24. 24
วิธีทำา = 0
จากการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x จะได้ว่า
2 x + 2 y - 2 + 2 + 0 = 0
2 y + 2 = 2 - 2 x
( 2 y + 2 ) = 2 - 2 x
=
=
ตัวอย่าง สมการ = 0 จงหา เมื่อ x =
= 0
8 x + 18 y - 0 = 0
= =
ถ้า x = แล้ว y =
ที่จุด ( , ) จะได้ว่า = =
ที่จุด ( , )จะได้ว่า = =

25. 25
อนุพันธ์อันดับสูง
กำาหนดให้ y = f(x) และ
f ' (x) เป็นอนุพันธ์ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้
จะเรียกอนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ว่า
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f ' ' (x) หรือ ในทำานองเดียวกัน
อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ว่าเป็น
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ . . .
สรุปได้ว่า อนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n - 1 ดังนี้
f ' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
f '' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
f ''' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
f '''' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
. . .

26. 26
= แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน f ซึ่ง f(x) =
f ' (x) =
f ' ' (x) =
f ' ' '(x) = 192 x + 30
= 192
= 0
= 0 เมื่อ n 5
บทประยุกต์อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตอน 1
1) ค่าสูงสุดและตำ่าสุดของฟังก์ชัน (Maximum and minimum values of
function)
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ณ ที่ x = c
ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำาให้ f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ใน
ช่วงเปิดนี้

27. 27
ถ้า f '(x) >0 เมื่อ x น้อยกว่า c เล็กน้อย
แต่ f '(x) < 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย
แล้วฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x = c และค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ
f(c)
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ ณ ที่ x = c
ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำาให้ f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ในช่วงเปิด
นี้
ถ้า f '(x)<0 เมื่อ x น้อยกว่า c เล็กน้อย แต่ f '(x)> 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็ก
น้อย
แล้วฟังก์ชัน f มีค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = c และค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์เท่ากับ
f(c)
นิยาม ถ้า c เป็นจำานวนในโดเมนของฟังก์ชัน f และถ้า f ' (c) =
0
หรือ f ' (c) หาค่าไม่ได้
จะเรียก c ว่าเป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน f และจุด (c , f(c) )
บนกราฟของ f ถูกเรียกว่า จุดวิกฤตของกราฟของ f
เมื่อทราบว่า f ' (c) = 0 แสดงว่า c เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน ให้ระวัง
ดังนี้
1. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์

28. 28
ถ้ากราฟเป็นรูปควำ่าลง แล้ว f '' (x) < 0 แสดงว่า f ''(c) < 0 ด้วย
2. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำาให้ฟังก์ชันมีค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์
ถ้ากราฟเป็นรูปหงายขึ้น แล้ว f '' (x) > 0 แสดงว่า f ''(c) > 0 ด้วย
3. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ไม่ได้ทำาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
หรือค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ เช่น
ตัวอย่าง กำาหนดให้ f(x) = อยากทราบว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
สัมพัทธ์ที่ใด และมีค่าเท่าใด
f (x) =

29. 29
f '(x) =
ให้ = 0 จะได้ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน x =
ตรวจสอบจุดตำ่าสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์
f ' '(x) = = -12 x
นำาค่าวิกฤตของฟังก์ชัน x = แทนค่าใน f ' '(x)
จะได้ f ' '( ) = < 0
และ f ' '( ) = > 0
แสดงว่าที่ x = จะเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
ดังนั้นฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ที่ x =
ฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ = f ( )
= =
ตัวอย่าง กำาหนดให้ f(x) = แล้ว อยากทราบว่าที่จุด x =
2
จะทำาให้ฟังก์ชันมีค่าเท่าไร
จาก f(x) =
f ' (x) =

30. 30
แทนค่า x = 2 ใน f ' (x)
จะได้ f ' (2) = = 0
แสดงว่า x = 2 เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน
ตรวจสอบจุดตำ่าสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์
f ' ' (x) =
แทนค่า x = 2 ใน f ' ' (x)
f ' ' (2) = = 48 มีค่ามากกว่า 0
แสดงว่าที่ x = 2 จะเป็นจุดตำ่าสุดสัมพัทธ์
ฟังก์ชันมีค่า ตำ่าสุดสัมพัทธ์ = f(2) = = -
15
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
ถ้ามีจำานวน c ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ใน
ช่วงนั้น
กรณีเช่นนี้ f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บนช่วงนั้น
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
ถ้ามีจำานวน c ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ใน
ช่วงนั้น
กรณีเช่นนี้ f(c) เป็นค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์ของ f บนช่วงนั้น
นิยาม f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน f ถ้า c อยู่ในโดเมน
ของ f
และถ้า f(c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ในโดเมนของ f
นิยาม f(c) เป็นค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน f ถ้า c อยู่ในโดเมน
ของ f
และถ้า f (c) f(x) สำาหรับทุก ๆ ค่า x ในโดเมนของ f

31. 31
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ ค่าสูงสุดจริง ๆ ค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์
คือ ค่าตำ่าสุดจริง ๆ
หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย ค่าสูงสุดมักจะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ
ค่าตำ่าสุดมักจะเป็นค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์
การกำาหนดค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อเนื่อง
f ช่วงปิด [a,b]
มีขั้นตอนดังนี้
1. หาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตของ f บนช่วงปิด [a , b]
2. หาค่า f(a) และ f(b)
3. ค่ามากที่สุดจากข้อที่ 1 และข้อที่ 2 เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์
ค่าน้อยที่สุดจากข้อที่ 1 และข้อที่ 2 เป็นค่าตำ่าสุดสัมบูรณ์
บทประยุกต์ค่าสูงสุดและค่าตำ่าสุด
หลักการพิจารณาหาค่าตำ่าสุดและค่าสูงสุด
1. อ่านโจทย์ให้ละเอียด ค้นหาปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าตำ่าสุดหรือค่า
สูงสุด
แล้วสมมุติให้เป็น y เป็นตัวปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าตำ่าสุดหรือค่า
สูงสุด
2. สมมุติให้ x เป็นตัวเปลี่ยนต้นที่แทนปริมาณที่ทำาให้ y เปลี่ยนแปลง
3. ให้สถานการณ์ได้ว่า y = f(x)
4. ดำาเนินการตามขั้นตอนในการหาค่าตำ่าสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
4.1 การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์โดยใช้ และ
เข้าช่วย
- หา
- ให้ = 0 แก้สมการ

32. 32
หาค่า x สมมุติให้ x = c "ค่าวิกฤต" ตรวจสอบต่อดังนี้
ถ้า / x = c < 0 (c, f(c) )
เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ = f (c)
ถ้า / x = c > 0 (c, f(c) )
เป็นจุดตำ่าสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ = f (c)
4.2 หาค่าสูงสุดสัมพัทธและจุดตำ่าสุดสัมพัทธ์ โดยใช้กราฟ
ตัวอย่าง สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีพื้นที่ 2700 ตารางเมตร ต้องการ
ล้อมรั้ว
โดยรอบและ รั้วแบ่งครึ่งสนาม ซึ่งรั้วสำาหรับแบ่งครึ่งสนามราคาเมตร
ละ 80 บาท
ส่วนรั้วโดยรอบ สนามราคาเมตรละ 120 บาท จงหาขนาดของสนามซึ่งจะ
เสียค่ารั้ว
น้อยที่สุด
วิธีทำา ให้สนามยาว x เมตร และกว้าง y เมตร
ให้ค่าทำารั้วทั้งหมดเป็น f(x)
ดังนั้น f(x) = 120 ( 2 x + 2 y ) + 80 y
= 240 x + 320 y
แต่พื้นที่สนามทั้งหมดเท่ากับ 2700 ตารางเมตร
เพราะฉะนั้น x y = 2700
y =
นั่นคือ f(x) = 240 x + 320

33. 33
x ต้องอยู่ในช่วง ( 0 , + ) และ f ต่อเนื่องตลอดช่วงนี้
f '(x) = 240 -
ให้ f '(x) = 0
240 - = 0
= 0
= 3600
x = 60
ดังนั้น 60 เป็นค่าวิกฤตของ f
ใช้อนุพันธ์อันดับ 2 ทดสอบว่า f(60) เป็นค่าตำ่าสุดหรือไม่
f '' (x) = ซึ่งมีค่ามากกว่า 0
แสดงว่า f(60)
เป็นค่าตำ่าสุดสัมพัทธ์ของ f ซึ่งมีเพียงค่าเดียวใน (0, )
เพราะว่าสนามมีพื้นที่เท่ากับ x y = 2700
ถ้า x = 60 จะได้ y = 45
ดังนั้นสนามจะต้องกว้าง 45 เมตร ยาว 60 เมตร จึงจะเสียค่ารั้วน้อยที่สุด

34. 34