ฟังก์ชัน1

5,665 views

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
5,665
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
24
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

ฟังก์ชัน1

  1. 1. T.KAINOY ฟั งก์ ชัน(function) ฟังก์ ชัน คือ ความสัมพันธ์ซ่ ึ งในสองคู่อนดับใดๆ ของความสัมพันธ์น้ น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว ั ั สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2 หลักในการพิจารณาว่ าความสั มพันธ์ เป็ นฟังก์ ชันหรือไม่ ่ 1. ถ้าความสัมพันธ์น้ นอยูในรู ปแจกแจงสมาชิก ให้ดูวาสมาชิกตัวหน้าของคู่อนดับซํ้ากันหรื อไม่ ั ่ ั ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อนดับซํ้ากัน แสดงว่าความสัมพันธ์น้ นไม่ เป็ นฟังก์ชน ั ั ั ตัวอย่ างที่ 1 ความสัมพันธ์ในข้อใดต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชน ั r1 = {(0, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4)} ั ไม่เป็ นฟังก์ชน เพราะ 1 คู่กบทั้ง 2 และ 3 ั r2 = {(0, 1),(1, 2),(3, 1),(2, 4)} เป็ นฟังก์ชน เพราะไม่มีการใช้สมาชิกตัวหน้าซํ้าเลย(ห้ามใช้สมาชิกตัวหน้าซํ้า แต่ใช้สมาชิก ั ตัวหลังซํ้าได้) 2. ถ้าความสัมพันธ์น้ นอยูในรู ปของการกําหนดเงื่อนไขสมาชิก ั ่ r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหา ค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์น้ นไม่ เป็ นฟังก์ชน ั ั ่ r3 = {(x, y) | y2 = x } ไม่เป็ นฟังก์ชน เพราะถ้าสมมติ x = 4 จะได้วา y = 2 หรื อ -2 ั ่ r4 = {(x, y) | y = x2 } เป็ นฟังก์ชน เพราะไม่วาจะแทน x ค่าใด ก็ได้ y เพียงค่าเดียว ั
  2. 2. T.KAINOY r5= {(x, y) | y = x } ไม่เป็ นฟังก์ชน เพราะว่า ถ้า x = 2 จะได้ y = 2, -2 ั 3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัด กราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์น้ นไม่ เป็ นฟังก์ชน ั ั ความสัมพันธ์ r จะเป็ นฟังก์ชนก็ต่อเมื่อ ถ้า (x , y1) ∈ r และ (x , y2) ∈ r แล้ว y1 = y2 ั ั ตัวอย่ างที่ 2 จงตรวจสอบว่า r = {(x,y) ∈ R × R y2 = 4x +1 }เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่ วิธีทา จาก y2 = 4x + 1 ํ ให้ (x , y1) ∈ r จะได้ y12 = 4a + 1 ….. (1) ให้ (x , y2) ∈ r จะได้ y22= 4a + 1 ….. (2) จาก (1) และ (2) จะได้ y12 = y22 y1 = ± y 2 ่ ั ดังนั้นเราไม่สามารถสรุ ปได้วา y1 = y2 แสดงว่าความสัมพันธ์น้ ีไม่เป็ นฟังก์ชน ตัวอย่ างที่ 3 จงตรวจสอบว่า r = {(x,y) ∈ R × R y = วิธีทา จาก ํ y= ให้ (x , y1) ∈ r จะได้ ั x + 1 } เป็ นฟั งก์ชนหรื อไม่ x +1 y1 = a +1 …..(1) ให้ (x , y2) ∈ r จะได้ y2 = a +1 …..(2) จาก (1) และ (2) จะได้ y1 = y2 ∴ความสัมพันธ์ดงกล่าวเป็ นฟังก์ชน ั ั
  3. 3. T.KAINOY สั ญลักษณ์ของฟังก์ ชัน นิยมใช้ y = f(x) หรื อ y = g(x) การเขียนฟังก์ชนนิยมเขียนเฉพาะส่ วนที่เป็ นเงื่อนไขของฟังก์ชน ั ั f = {( x, y ) ∈ R × R y = 2 x + 5} { g = ( x, y ) ∈ R × R y = x 2 } เขียนสั้นๆได้ในรู ป y = 2x + 5 เขียนสั้นๆได้ในรู ป หรื อ f ( x) = 2 x + 5 y = x 2 หรื อ g ( x) = x 2 ♥หมายเหตุ♥ เรี ยก f(x) ว่าค่าฟังก์ชน f ที่ x ั ตัวอย่ างที่ 4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนโดยที่ ั จงหา f ( x) = 2 x 2 − 1 f(0) , f(2) และ f(-1) วิธีทา จาก ํ f ( x) = 2 x 2 − 1 จะได้ f (0) = 2(0) 2 − 1 f (2) = 2(2) 2 − 1 จงหาค่า วิธีทา ํ จาก =7 f (−1) = 2(−1) 2 − 1 ตัวอย่ างที่ 5 กําหนดให้ = −1 =1 f (1) = 2 และ 2 f ( x) เมื่อ x เป็ นจํานวนเต็มบวก f (4) f ( x + 1) = 1 + ให้ f ( x + 1) = 1 + x =1 จะได้ 2 f ( x) และ f ( 2) = 1 + f (1) = 2 2 2 = 1+ = 2 f (1) 2 x=2 จะได้ f (3) = 1 + 2 2 = 1+ = 2 f (2) 2 x=3 จะได้ f (4) = 1 + 2 2 = 1+ = 2 f (3) 2 ลักษณะของฟังก์ ชัน 1. ฟังก์ ชัน จาก A ไป B (f : A → B ) คือฟังก์ชนซึ่ง Df = A และ Rf ⊂ B ั ตัวอย่ างที่ 6 ให้ A = {1,2,3,4} B = {3,6,7,8} 1. ถ้า f1 = { (1,3) , (2,6) , (3,7) , (4,8) } จะพบว่า f1 เป็ นฟังก์ชน และ D f = { 1,2,3,4, } = A ั 1 ั ∴ f1 เป็ นฟังก์ชนจาก A ไป B
  4. 4. T.KAINOY 2. ถ้า f2 = { (1,6) , (2,7) , (3,8) } จะพบว่า f2 เป็ นฟังก์ชน และ D f = { 1,2,3 } ≠ A ั 2 เราจะเรี ยกว่า f2 เป็ นฟังก์ชนเฉย ๆ แต่ถาจะเรี ยกว่าเป็ นฟังก์ชนจากไหนไปไหน ั ้ ั ต้องเรี ยกว่า f2 เป็ นฟังก์ชนจาก ั 2. ฟังก์ ชันจาก A ไปทัวถึง B (f : A ่ D f 2 ไป B onto B ) →  คือฟังก์ชนซึ่ง Df = A และ Rf = B ั 3. ฟังก์ ชันแบบ 1 – 1 (One – to – one function ) ฟังก์ชน f จะเรี ยกว่า ฟังก์ชนแบบ 1-1 ก็ต่อเมื่อสมาชิกในเรนจ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์ กับ ั ั ่ สมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้น หรื อกล่าวอีกนัยหนึ่งได้วา ไม่มีสมาชิกในโดเมน 2 สมาชิก หรื อ ั มากกว่าไปมีความสัมพันธ์กบสมาชิกในเรนจ์สมาชิกเดียวกัน และเพื่อความเข้าใจ ขอให้นกเรี ยนดูแผนภาพ ั ต่อไปนี้ ถ้า f เป็ นฟังก์ชนซึ่ งมีความสัมพันธ์ดงแผนภาพต่อไปนี้ ั ั A 1 f1 B x 2 y 3 z A m o B f2 x y n เราเรี ยก f1 ว่า เป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1 ั ส่ วน f2 เรี ยกว่า เป็ นฟังก์ชนไม่ใช่แบบ 1-1 หรื ออาจจะเรี ยกอีกอย่างหนึ่งว่าเป็ นฟังก์ชนแบบ manyั ั to-one
  5. 5. T.KAINOY การตรวจสอบว่ า f เป็ นฟังก์ ชันแบบ 1 – 1 หรือไม่ ลักษณะการตรวจสอบจะคล้ายคลึงกับการตรวจสอบว่าความสัมพันธ์เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่ แต่ ั กลับกัน 1. ถ้าเราสามารถเขียนกราฟของฟังก์ชนนั้นได้ เราจะใช้วธีการตรวจสอบโดยการลากเส้นขนาน ั ิ กับแกน X ตัดกับกราฟของฟังก์ชนนั้น และถ้ามีเส้นที่ขนานกับแกน X เส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับ ั กราฟเกิน 1 จุด ก็แสดงว่าฟังก์ชนนั้นเป็ นฟังก์ชน ไม่ใช่แบบ 1 – 1 ั ั ่ 2. ใช้วธีการคาดคะเน กล่าวคือ ใช้พิจารณาจากตัวแปร X ว่าอยูในรู ปกําลังที่เป็ นจํานวนเต็มคู่หรื อ ิ ่ ่ อยูในรู ปค่าสัมบูรณ์หรื อไม่ ถ้าอยูในลักษณะดังกล่าว ฟังก์ชนนั้นไม่ควรเป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1 ั ั กล่าวคือควรจะเป็ นฟังก์ชนแบบ many – to – one ั ่ 3. ตรวจสอบโดยใช้หลักที่วา ให้ (x1,y) ∈ f และ (x2,y) ∈ f ดังภาพ ่ ั ั ถ้าสามารถสรุ ปได้วา x1 = x2 ก็แสดงว่าฟังก์ชนดังกล่าวเป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1 ตัวอย่ างที่ 7 กําหนดให้ f เป็ นฟังก์ชน โดยที่ f ={(x , y) ∈ R × R ั X +1 + Y +1 =2} จงพิจารณาว่า f เป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1 หรื อไม่ ั วิธีทา ให้ (x1,y) ∈ f และ (x2,y) ∈ f ํ ่ ∴ จะได้วา + y +1 =2 ….. (1) x2 + 1 + y +1 =2 …...(2) x1 + 1 และ ∴ (1)=(2) จะได้ x1 + 1 x1 = x2 + 1 +1= x2 = x2 x1 +1 แสดงว่าฟังก์ชนดังกล่าวเป็ นฟังก์ชนแบบ 1-1 ั ั ั ตัวอย่ างที่ 8 กําหนดให้ f = {(x , y) ∈ R × Ry = x2} จงตรวจสอบว่าฟังก์ชน f เป็ น 1-1 หรื อไม่ วิธีทา ให้ (x1,y) ∈ f และ (x2,y) ∈ f ํ y = x12 …….. (1) c = x22 …….. (2) ∴ x12= x22 และได้ x1 = ± x2 ่ ซึ่ งไม่าสามารถสรุ ปได้วา x1 = x2 ดังนั้น f เป็ นฟังก์ชนไม่ใช่แบบ 1-1 ั
  6. 6. T.KAINOY ั เมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะทําการตรวจสอบว่า y แต่ละตัว คู่กบ x เพียงตัวเดียวหรื อไม่ ่ โดยลากเส้นแนวนอนและดูวาที่ y แต่ละค่า เส้นนี้ตดกราฟไม่เกินหนึ่งจุดหรื อไม่ ั 1−1 4. ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่งจาก A ไป B” ( f : A → B ) ั คือฟังก์ชนที่ Df = A และ Rf ⊂ B และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กบ x เพียงตัวเดียวด้วย” ั 5.ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่งจาก A ไปทัวถึง B ( f : A ่ B) ั คือฟังก์ชนที่ Df = A และ Rf = B และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กบ x เพียงตัวเดียวด้วย” ั บทสรุ ป ถ้า f เป็ นฟังก์ชนจาก A ไป B ลักษณะของฟังก์ชน f สามารถแยกออกเป็ น 4 ชนิดคือ ั ั
  7. 7. T.KAINOY ฟังก์ชันทีน่าสนใจ ่ 1. ฟังก์ชนคงตัว (Constant Function) ั f (x) = a (กราฟเส้นตรงแนวนอน) เช่น f (x) = 2 , f (x) = -3 เป็ นต้น 2. ฟังก์ชนเชิงเส้น (Linear Function) ั f (x) = ax + b (กราฟเส้นตรงเฉียงๆ) เช่น f (x) = 5x+3 , f (x) = 4x เป็ นต้น 3. ฟังก์ชนกําลังสอง (Quadratic Function) ั f (x) = ax2+ bx + c (กราฟพาราโบลาหงายหรื อควํ่า) เช่น f (x) = 3x2+ 2x + 1 , f (x) = 7x2- 4 เป็ นต้น 4. ฟังก์ชนพหุ นาม (Polynomial Function) ั f(x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 โดยที่ an , an−1 ,..., a2 , a1 , a0 เป็ นค่าคงตัว และ n เป็ นจํานวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับ ศูนย์ เช่น f(x) = 2x5+ 3x3 + 4x + 7 5. ฟังก์ชนตรรกยะ (Rational Function) ั f(x) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) 𝑞𝑞(𝑥𝑥) เช่น f(x) = เมื่อ p(x), q(x) เป็ นฟังก์ชนพหุนาม และ q(x) ≠ 0 ั 3x − 2 x 2 −1
  8. 8. T.KAINOY 6.ฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function) ั f (x) = ax + b + c เช่น f(x) (กราฟรู ปตัววีหงายหรื อควํ่า ) = x 7.ฟังก์ชนขั้นบันได (step function) คือ ฟังก์ชนที่มีค่าคงตัวเป็ นช่วง ๆ ั ั กราฟของฟังก์ชนนี้จะมีรูปร่ างคล้ายขั้นบันได ั 8. ฟังก์ชนที่เป็ นคาบ (periodic function) ั f เป็ นฟังก์ชนที่เป็ นคาบ ก็ต่อเมื่อ มีจานวนจริ ง p ที่ทาให้ f(x+p) = f(x) สําหรับ ทุกค่าของ x และ x+p ั ํ ํ ่ ที่อยูในโดเมนของ f

×