Επιμέλεια: Θεόδωρος Παγώνης για το lisari.blogspot.gr

1. ΑΡΧΗ 1ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 1ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωπορ Παγώνηρ
Μαθημαηικόρ
e-mail:theomath@yahoo.gr
ΓΗΑΓΩΝΗ΢ΜΑ Γ΄ ΣΑΞΖ΢ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ
ΚΤΡΗΑΚΖ 10 ΓΔΚΔΜΒΡΗΟΤ 2017
ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΢ΠΟΤΓΩΝ-
΢ΠΟΤΓΩΝ ΟΗΚΟΝΟΜΗΑ΢ ΚΑΗ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΔΛΗΓΩΝ: ΣΔ΢΢ΔΡΗ΢ (4)
ΘΔΜΑ A
A1. Να αποδείξεηε όηι, αν μια ζςνάπηηζη f είναι
παπαγωγίζιμη ζε ένα ζημείο 0x , ηος πεδίος οπιζμού ηηρ
ηόηε είναι και ζςνεσήρ ζηο ζημείο αςηό.
Μονάδες 5
A2. Να διαηςπώζεηε ηο θεώπημα ηος Bolzano και να δώζεηε
ηην γεωμεηπική ηος επμηνεία.
Μονάδες 5
A3. Πόηε λέμε όηι μια ζςνάπηηζη f είναι παπαγωγίζιμη ζε
ένα κλειζηό διάζηημα  ,a  ηος πεδίος οπιζμού ηηρ;
Μονάδες 5
A4. Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος ακολοςθούν,
γπάθονηαρ ζηο ηεηπάδιο ζαρ δίπλα ζηο γπάμμα πος
ανηιζηοισεί ζε κάθε ππόηαζη ηην λέξη ΢ωζηό, αν η ππόηαζη
είναι ζωζηή ή Λάθος αν η ππόηαζη είναι λανθαζμένη.
α. Αν για μια ζςνάπηηζη : f ιζσύει ( ) 0f x , για κάθε
x ηόηε η f διαηηπεί ππόζημο ζηο .
β.   1 k k
x kx , για κάθε  0,1  .
γ. Η ζςνάπηηζη ( ) f x x , είναι παπαγωγίζιμη ζε όλο ηο
πεδίο οπιζμού ηηρ.
10.12.2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4

2. ΑΡΧΗ 2ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 2ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωπορ Παγώνηρ
Μαθημαηικόρ
e-mail:theomath@yahoo.gr
δ. Η ζςνάπηηζη  : , f a  έσει ζύνολο ηιμών ηο διάζηημα
 ,  , όπος ( )lim

 
x a
f x και ( )lim

 
x
f x

.
ε.  
1
ln | |
| |
 x
x
.
Μονάδες 10
ΘΔΜΑ Β
Δίνεηαι η ζςνάπηηζη f με
2
,
( ) 2 ,
2
,

  

   

 

x
x
f x x a
x a
x

 , *
, a  , a  .
B1. Να βπείηε ηιρ ηιμέρ ηων *
, a  , ώζηε η ζςνάπηηζη f να
είναι ζςνεσήρ.
Μονάδες 6
B2. Για 1 a  :
i. Να εξεηάζεηε αν η f είναι παπαγωγίζιμη.
Μονάδες 4
ii. Να βπείηε ηιρ εξιζώζειρ ηων εθαπηομένων ηηρ fC ζηα
ζημεία  0 0, ( ) x f x και  0 0, ( )  x f x με 0 1x .
Μονάδες 5
iii. Να βπείηε ζε ποια γπαμμή κινείηαι το ζημείο ηομήρ ηων
παπαπάνω εθαπηομένων.
Μονάδες 3
iv. Να δείξεηε όηι ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον  ,    με 
ηέηοιο ώζηε να ιζσύει
3 2 4
3 2 3 3
( )
10
       
           
       
f f f f
f
   
 .
Μονάδες 5
v. Να καηαζκεςάζεηε ηην γπαθική παπάζηαζη ηηρ ζςνάπηηζηρ
f .
Μονάδες 2
10.12.2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. ΑΡΧΗ 3ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 3ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωπορ Παγώνηρ
Μαθημαηικόρ
e-mail:theomath@yahoo.gr
ΘΔΜΑ Γ
Δίνεηαι ζςνάπηηζη
1
2
: ,
 
 
 
f e με ( ) 1 f x για κάθε
1
2

x e ,
για ηην οποία ιζσύει
2ln
( ) 1
( ) 1
 

x
f x
f x
για κάθε
1
2

x e . Αν
επιπλέον ιζσύει 3 21
(1) 1
2lim
 
     
 x
f x x , ηόηε:
Γ1. Να δείξεηε όηι ( ) 2ln 1 f x x .
Μονάδες 4
Γ2.Να δείξεηε όηι η ζςνάπηηζη f ανηιζηπέθεηαι και να
βπείηε ηην 1
f .
Μονάδες 6
Γ3. Να βπείηε ηην εξίζωζη ηηρ εθαπηομένηρ ηηρ fC η οποία
άγεηαι από ηην απσή ηων αξόνων.
Μονάδες 6
Γ4. Να δείξεηε όηι ςπάπσει μοναδικό  0 1,x e ηέηοιο ώζηε η
εθαπηομένη ηηρ fC ζηο ζημείο  0 0, ( ) x f x να διέπσεηαι από ηο
ζημείο
1
0,
2
 
 
 
.
Μονάδες 3
Γ5. Να ςπολογίζεηε (αν ςπάπσοςν) ηα όπια
1
( ) 1
1lim

x
f x
x
,
( ) ( )
lim

x e
xf x ef e
x e
.
Μονάδες 6
ΘΔΜΑ Γ
Δίνεηαι η ζςνάπηηζη  : 0, g με
1
( ) ln g x x
x
.
Γ1. Να αποδείξεηε όηι ςπάπσει μοναδικό  0 1, x ηέηοιο
ώζηε 0( ) 0g x .
Μονάδες 5
10.12.2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4. ΑΡΧΗ 4ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 4ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωπορ Παγώνηρ
Μαθημαηικόρ
e-mail:theomath@yahoo.gr
Έζηω ζςνάπηηζη  0: , f x , όπος ηο 0x ηος Δ1 επωηήμαηορ,
για ηην οποία ιζσύει ( ) ( ) 1f x g x , για κάθε  0, x x .
Γ2. i. Να αποδείξεηε όηι η f είναι γνηζίωρ θθίνοςζα ζηο
 0,x .
Μονάδες 5
ii. Να ςπολογίζεηε, αν ςπάπσει, ηο όπιο
0
( )limx x
f x .
Μονάδες 3
iii. Να αποδείξεηε όηι
0
ln 1lim
x
x x
x , ενώ δεν ςπάπσει ηο
0
1
( )limx x g x
.
Μονάδες 4
iv. Να αιηιολογήζεηε όηι η f ανηιζηπέθεηαι και να βπείηε
ηο πεδίο οπιζμού ηηρ ανηίζηποθηρ.
Μονάδες 5
v. Να αποδείξεηε όηι, ςπάπσει ένα ηοςλάσιζηον  01, x
ηέηοιο ώζηε
0
1
( )( )
0
1
 
 
gg
x

 
.
Μονάδες 3
ΚΑΛΖ ΔΠΗΣΤΥΗΑ !!!
10.12.2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4