1. §3−3 倍 角 公 式
(甲)倍角公式
~3−3−1~

2. (1) 二 倍 角 公 式 ：
由 和 角 公 式 ： sin(α +β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ ， 令 ， =β=θ ， 可 得
sin2θ=2⋅sinθ⋅cosθ
由 和 角 公 式 ： cos(α +β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ ， 令 ， =β=θ ， 可 得
cos2θ=cos 2 θ−sin 2 θ=2cos 2 θ−1=1−2sin 2 θ
由 和 角 公 式 ： tan(α +β)= ， 令 ， =β=θ ， 可 得
tan2θ=
[注 意 ]：根據公式(b) cos2θ=cos 2 θ−sin 2 θ=2cos 2 θ−1=1−2sin 2 θ，可知已知，的正弦
值 、 餘 弦 值 ， 可 得 2θ 的 餘 弦 值 。
另一方面，若已知另的餘弦值，就可得的正弦值、餘弦值。
例 如 ： 已 知 cosθ= ， 請 求 出 cos2θ= ？
根 據 cos2θ=2cos 2 θ−1=2() 2 −1=
已 知 0<α< ， 且 cosα= ， 試 求 sin= ？
根 據 (b) 令 2θ=α ， 可 得 cosα=2cos 2 − 1
所 以 cos 2 = ⇒cos = ± ⇒ cos =
結 論 ： 我 們 整 理 倍 角 公 式 如 下 ：
(a)sin2θ=2⋅sinθ⋅cosθ
(b)cos2θ=cos 2 θ−sin 2 θ=2cos 2 θ−1=1−2sin 2 θ
(c)tan2θ=
(d) cosα=2cos 2
− 1=1−2sin 2
(e)cos 2 θ= ， sin 2 θ=
(2) 以 正 切 表 示 二 倍 角
sin2θ=
證 明 ：
sin2θ=2sinθcosθ=2 cos θ 2
=2tanθ() =
cos2θ=
證 明 ：
cos2θ=2cos 2 θ−1 = −1 = −1 =
~3−3−2~

3. 1+tan2θ
2tanθ
2θ
1− 2θ
tan
結 論 ： 利 用 tanθ 可 以 將 sin2θ ， cos2θ ， tan2θ 表 示 出 來 ， 整 理 如 下 ：
(a) sin2θ= (b) cos2θ= (c) tan2θ=
[ 討 論 ] ：
利用 tanθ 來表示 sin2θ、cos2θ、tan2θ，主要是將 sinθ、cosθ、tanθ表示成分式的形
式，即 sinθ =，cosθ =，tanθ=，其中 t=tan 為任意實數，可以應用於求某些三角
函 數 的 積 分 。
(3)三倍角公式
(a)sin3θ= 3sinθ −4sin 3 θ
證 明 ：
sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ
=sinθ(1−2sin 2 θ)+cosθ(2sinθcosθ)
= sinθ(1−2sin 2 θ)+2sinθcos 2 θ
= sinθ(1−2sin 2 θ)+2sinθ(1−sin 2 θ)
= 3sinθ −4sin 3 θ
(b)cos3θ=4cos 3 θ −3cosθ
證明：
cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θ−sinθsin2θ
=cosθ(2cos 2 θ−1)−sinθ(2sinθ cosθ)
= cosθ(2cos 2 θ−1)−2sin 2 θcosθ
= cosθ(2cos 2 θ−1)−2(1−cos 2 θ)cosθ
=4cos 3 θ −3cosθ
1. 已知 tanθ=且<θ<2π，求 cos2θ、tan2θ、sin、tan 的值。
Ans：cos2θ=、tan2θ=、sin= 、tan =
~3−3−3~

4. 2. (1)試求 sin，cos，tan 之值。
(2)試求 cos4+cos4+cos4+cos4 的值。
2− 2 2+ 2
Ans：(1) ， ，，1+ (2)
2 2
3. 若 3⋅sin2θ +2cos2θ =3，求 tanθ 之值。 Ans：1 或
4. 設 sin2θ =，<θ <，試求下列之值：
(1)sinθ−cosθ (2)cos4θ −sin4θ (2)tanθ +cotθ (3)sin6θ +cos6θ
Ans：(1) (2) (2) (3)
~3−3−4~

5. 結 論 ：
底 下 是 一 些 有 用 的 公 式 ：
(a)sin 2 θ=1−cos 2 θ (b)cos 2 θ=1−sin 2 θ
(c)sin 4 θ+cos 4 θ=(sin 2 θ+cos 2 θ) 2 −2sin 2 θcos 2 θ=1−2sin 2 θcos 2 θ
(d)sin 6 θ+cos 6 θ=(sin 2 θ+cos 2 θ) 3 −3sin 2 θcos 2 θ( sin 2 θ+cos 2 θ)=1−3 sin 2 θcos 2 θ
(e)tanθ+cotθ= =
(f)(sinθ±cosθ) 2 = sin 2 θ+cos 2 θ±2sinθ cosθ=1±sin2θ
5. (1)已知 0<θ<，sinθ= 求 cos3θ=？
(2)請求出 之值。Ans：(a) (b)3
1. 設 設 . ) 且 sinθ= ， 求 sin2θ 及 sin 、 sin3θ 的 值 。
Ans：sin2θ=，sin=、sin3θ=
2. π <θ <，且 tanθ =，則 sin = ，cos = 。Ans：，
3. 設 cos2θ=t，試以 t 表示 4(cos 6 θ−sin 6 θ)=？ Ans：t 3 −3t
4. 設 <θ <π ， 且 3sin 2 θ−sinθ cosθ −2cos 2 θ =0 ，
則 sin2θ +cos2θ = 。Ans：
5. 設 sinx=3cosx， 則 cos2x= ，sin2x= 。Ans：，
6. <θ < ， 且 sinθ+cosθ= ，
則 (1)sin2θ = (2)cos2θ = ， (3)sin 3 θ +cos 3 θ = 。
Ans：(1)(2) (3)
~3−3−5~

6. 7. 若<θ<，sin2θ=a，則 sinθ −cosθ = 。Ans：：1+a
(乙)倍角公式的應用
−1+ 5
6. 試求 sin18°的值。 Ans：
4
π 2π 4π 8π
7. 求 cos 15 cos 15 cos 15 cos 15 之積。 Ans：
8. 利用 sin18 ° 的值求出 cos36 ° 的值。Ans：cos36 ° =
9. 設 f(x)=4x 3 −3x+1 ， 則 f(x) 被 x−sin 除 後 所 得 的 餘 式 = 。
Ans：1−(提示：利用三倍角公式)
10. 求 下 列 的 值 ：
(1)cos20 ° cos40 ° cos80 ° (2)coscoscos Ans：(1) (2)
A
B
E
~3−3−6~
C D

7. 11. 如 圖 ， 假 設 正 五 邊 形 的 邊 長 為 a ，
請 求 出 對 角 線 的 長 度 。 Ans ： a
註 ： 稱 為 黃 金 比 例 數
~3−3−7~

8. 綜合練習
(1) 如圖，如為一個有向角，=2， =5，則 sin2θ = 。 A
(2) 設 cosθ=且<θ<2π，求(a)sin2θ (b)sin3θ (c)cos θ
B C
(3) 設 0<α<，0<β<，且 cosα=，sinβ=，請求出
(a)cos(α−β) (b)sin2 (c)cos2。
(4) 下列何者為 8x3−6x+1=0 之根？ (A) sin10°(B) sin30°(C) sin130° (D) sin160°
(E)sin250°。
(5) 設 0<α<β<，若 sinα=,cosβ=則(A)0<α +β < (B)tan(α−β)=(C)cos = (D)sin2β=
(6) 求 y=2sin2x 的週期。
4 π 4 3π 4 5π 4 7π
(7) 化簡 sin 8 + sin 8 + sin 8 + sin 8 = 。
(8) 化簡化cos2θ +cos2(+θ )+cos2(−θ )= 。
(9) 若 sinx= ，請計算 sin2(x−)=？
(10) 設 tan=x，試以 x 表示 cos2θ 。
(11) 設 sinθ +cosθ =，求 tan 之值。
(12) 設 0<α <，試化簡，。
(13) 設 x2−(tanθ +cotθ )x+1=0 有一根 2+，求 sin2θ = 。
(14) 2x2+ax−1=0 有一根為 sin30°+cos30°，求 a 的值。
。
(15) 以 x－cos40 除 f(x)＝3x－4x3 之餘式為 。
π 2π 3π 4π
(16) 化簡 cos 9 cos 9 cos 9 cos 9 。
(17) 設設 <x<2π ，化簡 1 + cos x + 1 − cos x 。
進階問題
(18) 求 sin6x+cos6x 的範圍。
A
(19) 設 sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求 cos2α+cos2β之值。
~3−3−8~ O
B C

9. (20) ∆ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c，s= ，
A ( s − b)( s − c)
試證： sin =
2 bc
(21) 在右圖在ABC 中，=3,=6,=2，且，BAD=θ，，DAC=2θ ：
(a)利用利ABC 之面積=∆ABD 面積+∆ADC 面積，以面之三角函數列出方程
A
式。
(b)試利用(a)的結果求 cosθ 之值。 6
3 2
B D C
(22) 設設,β為 acosx+bsinx+c=0 的相異二根，a≠0，，相<α,β<π
(a)令 tan =t，試將上述方程式化成 t 的方程式。
(b)求 x 在在b 與與之間有二實根的條件。
(c)求 tan 之值。
(23) 平行四邊形 ABCD 中，=a，=b，且 a≠b，，A=α，
其內角平分線圍成一矩形，試以 a,b,α表示此矩形的面積。
A
D
S
P
R
Q
B C
綜合練習解答
~3−3−9~

10. (1) (2) (a) (b) (c) (3) (a) (b) (c) (4) (A)(C)(E)
(5) (B)(C)(D) (6) π (7) (8) (9) 2− (10) cos2θ = [提示：因為 cosθ=，t=tan，所以
cosθ= ，再利用 cos2θ=2cos 2 θ−1，求出 cos2θ = ] (11) (12)2sin[提示：
1+sinα=sin 2 +cos 2 +2sincos=( sin+cos) 2 ，1−sinα=sin 2 +cos 2 −2sincos=( sin−cos) 2 ]
(13) (14) −2
1 3π π x x
(15) (16) (Hint： cos = cos =) (17) 2 (sin − cos ) [提示：利用
2 9 3 2 2
cosx=2cos −1=1−2sin ] (18) ≤ sin x+cos x ≤1
2 2 6 6
[提示：sin 4 x+cos 4 x=1−2sin 2 xcos 2 x=1−(sin2x) 2 ]
(19) Ans：1[提示：sinα=1−sinβ，cosα=−cosβ，兩式平方相加可得 sinβ=
⇒sinα=再計算 cos2α+cos2β](20) [提示：sin 2 =，因為 r= 所以 r 2 =⋅s(s−a)(s−b)
(s−c)=OA 2 =r 2 +(s−a) 2 =，
1+ 13
sin 2 ===] (21) (a)3sin3θ=sinθ +2sin2θ (b) (22) (a)(c−a)t 2 +2bt+(a+c)=0
6
(2)a 2 +b 2 ≥c 2 (3) (23) Ans：(b−a) 2 sinα [提示：BS=BC⋅sin=bsin，BP=BA⋅sin
=a⋅sinPS=BS−BP=(b−a)sin，AQ=AD⋅cos，AP=AB⋅cos，PQ=AQ−AP=(b−a)cos，
故矩形面積=PS⋅PQ=(b−a) 2 sinα。]
~3−3−10~