2. Peta Konsep
Standar Kompetensi
Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan
persamaan garis lurus
Kompetensi Dasar
Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus
3. Tujuan
1. Mengenal pengertian dan menentukan
gradien garis
lurus dalam berbagai
bentuk
2. Menentukan persamaan garus lurus yang
melalui dua titik. Melalui satu titik dengan
gradien tertentu
3. Menggambar grafik garis lurus
4. A.
PERSAMAAN GARIS I
1. Menggambar garis dengan persamaan y=mx dan
y= mx+c dengan menggunakan tabel
Pada bahasan tempat kedudukan telah diterangkan
bahwa grafik himpunan semua titik yang memenuhi y=mx,
berupa garis lurus. Oleh karena itu, bentuk y=mx disebut
persamaan garis lurus yang selanjutnya disebut persamaan
garis. Bentuk persamaan garis yang lain adalah y=mx+c.
Untuk
menggambar
garis
dengan
persamaan
y=mx
maupun y=mx+c, terlebih dahulu tentukanlah paling sedikit
dua titik yang dilalui garis itu dengan membuat tabel
hubungan nilai x dan nilai y.
2. Menyatakan Persamaan Garis
Suatu garis pada bidang Cartesius dapat ditentukan
persamaan garisnya dengan cara memilih beberapa titik
yang terletak pada garis itu, kemudian ditentukan hubungan
antara ordinat (koordinat y) dengan absisnya (koordinat x)
dari masing-masing titik tersebut.
5. B. GRADIEN
1. Pengertian Gradien
Gambar ini menunjukkan suatu bagan ruas jalan A
sampai D dengan posisi kemiringan yang berbeda dari
A ke B, B ke C, dan C ke D.
Ukuran kemiringan/kecondongan jalan dapat
ditentukan dengan membandingkan jarak tegak
terhadap jarak mendatar untuk masing-masing ruas
jalan yang selanjutnya disebut gradien. Dengan cara
itu, maka gradien ruas jalan pada gambar tersebut
dapat ditentukan.
6. Gradien/kemiringan garis AB =
=
Gradien/kemiringan garis BC =
=
Gradien/kemiringan garis AB =
=
Gradien/kemiringan garis AB =
Selanjutnya akan dibahas mengenai gradien garis
yang terletak pada bidang koordinat.
Gambar (i)
Gambar (ii)
7. Perhatikan Gambar (i)
Garis k
Garis l
Ruas garis
AO
OB
OP
OQ
Gradien
1
2
2 1
=
4 2
3
=3
1
6
=3
2
Perhatikan Gambar (ii)
Garis k
Garis l
Ruas garis
OL
OK
OT
OS
Gradien
2
= −2
−1
4
= −2
−2
2
2
=−
−3
3
4
2
=−
−6
3
Dari kedua tabel di atas dapat ditarik kesimpulan
berikut ini.
1) Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan
memilih sebagian ruas garis yang terletak pada
garis itu, karena gradien garis tidak tergantung pada
panjang atau pendeknya garis.
2) Gradien garis OA =
3) Komponen x bernilai positif
jika menuju ke
kanan, dan bernilai negatif jika menuju ke kiri.
8. Komponen y bernilai positif jika menuju ke atas,
dan bernilai negatif jika menuju ke bawah.
4) Arah garis yang gradiennya positif
(lihat garis k dan l) naik jika diikuti dari kiri ke
kanan.
Arah garis yang gradiennya negatif
(lihat garis p dan q) turun jika diikuti dari kiri ke
kanan
2. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik
Gambar (i)
Gambar (ii)
Perhatikan koordinat A(x , y ) dan B( , y ) pada
(x
gambar di atas. Untuk menentukan gradien garis AB
(Gambar (i)), terlebih dahulu tentukanlah komponen x
dan komponen y dari garis AB.
9. Komponen x garis AB = AM
(dimulai dari titik A)
= x −x
Komponen y garis AB = MB
= y −y
Gradien garis AB
=
=
Untuk selanjutnya gradien garis AB dapat ditulis
.
Untuk menentukan gradien garis BA (Gambar (ii)), terlebih
dahulu tentukanlah komponen x dan komponen y dari garis BA.
Komponen x garis BA = BN
= −(x − x )
(dimulai dari titik B)
(ingat arahnya ke kiri)
= −x + x
= x −x
Komponen y garis BA = NA
= −(y − y )
(ingat arahnya ke bawah)
= −y + y
= y −y
Gradien garis BA
=
=
Untuk selanjutnya gradien garis BA dapat ditulis
.
10. Oleh karena kemiringan AB sama dengan kemiringan
AB (posisi AB dan BA sama), maka gradien AB dan
gradien BA sama atau
=
. Dengan demikian,
dapat ditarik kesimpulan berikut.
Untuk sembarang titik
=
=
(
,
atau
) dan (
,
=
), maka :
=
3.Mengenal Gradien Garis Tertentu
a. Garis yang Sejajar dengan Sumbu X
Setiap garis yang sejajar dengan sumbu X (mendatar atau
horizontal) memiliki gradien nol.
b. Garis yang Sejajar dengan Sumbu Y
Setiap garis yang sejajar dengan sumbu Y (tegak atau
vertikal) tidak mempunyai gradien.
c. Garis-Garis yang Saling Sejajar
Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama atau
Jika garis-garis memiliki gradien yang sama, maka pastilah
garis-garis tersebut saling sejajar.
atau
=
d. Garis-Garis yang Saling Tegak Lurus
Hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1
atau
.
=-1
11. Catatan :
Untuk garis tegak dan garis mendatar, walaupun
kedua garis itu saling tegak lurus, tetapi kesimpulan
di atas tidak berlaku, karena garis tegak (vertikal)
tidak mempunyai gradien
12. C.PERSAMAAN GARIS II
1. Persamaan Garis dalam Bentuk y=mx
Garis-garis pada gambar di atas melalui titik pangkal
garis
koordinat. Hubungan antara persamaan garis dengan
.
gradiennya ditunjukan pada tabel berikut.
Dari tabel tersebut terlihat bahwa koefisien x dari suatu
persamaan garis ternyata merupakan gradien garis itu.
Persamaan garis y = 2x mempunyai gradien 2
Persamaan garis y = -2x mempunyai gradien -2
2x
13. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan berikut.
Persamaan garis y = mx bergradien m dan melalui titik O(0,0).
melalui
2. Persamaan Garis dalam Bentuk y=mx+c
Garis-garis pada gambar di atas sejajar dengan garis
garis
yang persamaannya y =
x. Hal ini berarti garis
garis-garis itu
memiliki gradien yang sama, yaitu
. Hubungan antara
persamaan garis dengan gradien dan titik yang dilalui pada
sumbu Y ditunjukan pada tabel berikut.
14. Dari tabel tersebut diperoleh hubungan berikut.
Persamaan garis y =
x + 3 bergradien
dan melalui (0,3)
Persamaan garis y =
x + 6 bergradien
dan melalui (0,6)
Persamaan garis y =
x – 4 bergradien
dan melalui (0,-4)
Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan sebagai
berikut.
Persamaan garis y = mx +c bergradien m dan melalui (0,c).
Titik (0,c) adalah titik potong garis y = mx+c dengan sumbu Y.
Jika persamaan garisnya tidak berbentuk y=mx+c, misalnya ax+by+c=0,
maka gradien garis dapat ditentukan dengan mengubah bentuk ax+by+c=0
menjadi bentuk y=mx+c
15. 3. Menentukan Persamaan Garis
a. Persamaan Garis dengan Gradien m dan Melalui
Titik (
,
)
Pada gambar di atas, A adalah titik dengan
koordinat (x , y ) sedangkan P adalah titik dengan
x
koordinat sembarang, yaitu (x,y). Jika gradien garis
yang melalui A(x , y ) dinyatakan dengan m, maka
AP terdiri atas semua titik (x,y) dengan hubungan
berikut ini.
=m
y − y = m(x − x )
Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan
sebagai berikut.
Persamaan garis yang melalui titik ( , ) dan bergradien m adalah
− = ( − )
16. b. Persamaan Garis yang Melalui Titik (
( , )
,
) dan
Pada bahasan mengenai gradien telah
diperoleh rumus untuk menentukan gradien garis
yang melalui titik (x , y ) dan (x , y ), yaitu
atau
. selanjutnya dengan menggunakan
rumus persamaan garis y − y = m(x − x )
diperoleh rumus berikut.
dapat
y − y = m(x − x )
(x − x ) ..... m diganti dengan
y− y =
y−y =
=
=
(
)(
)
(
)(
(
)(
(
(
)
)
.... kedua ruas dibagi dengan ( y − y )
)
)
Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan
sebagai berikut.
Persamaan garis yang melaui sembarang titik (
=
(
(
)
)
,
) dan (
,
) adalah
