Trigonometri

5,675 views

Published on

1 Comment
3 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
5,675
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
665
Comments
1
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Trigonometri

  1. 1. Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri
  2. 2.  I. PENDAHULUAN I.I DESKRIPSI Modul siswa tentang bilangan real ini terdiri atas 4 baian prosesbpemelajaran yang meliputi : 1. Menerapkan perbndingan trigonometri suatu sudut dalam menyelesaikan masalah kejuruan. 2. Mengkonversi koordinat cartesius dan kutub, perbandingan penerapan dalam menyelesaikan masalah kejuruan. 3. Menerapkan aturan sinus dan cosinus dan menentukan luas segitiga dalam menyelesaikan masalah kejuruan. 4. Menerapkan rumus jumlah dan selisih dua sudut. 5. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Selain penjelasan materi, modul ini juga di lengkapi dengan soal evaluasi yng berbentuk “LKS”. Soal evaluasi ini juga berguna sebagai tolak ukur, apakah seseorang siswa sudah menguasai kompetensi ini atau belum. Jika siswa telah menguasai, maka siswa dapat melanjutkan ke kompetensi berikutnya.Hal.: 2 Isi dengan Judul Halaman Terkait Adaptif
  3. 3. I.2. PRASYARAT Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah peserta telah memahami operasi bilangan yang di tunjukkan dengan garis bilangan atau operasi bilangan susun ke bawah.Hal.: 3 Isi dengan Judul Halaman Terkait Adaptif
  4. 4.  I.3. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL A. Penjelasan bagi siswa 1. Pembelajaran yang dilaksanakan menggunakan sistem elf based learning atau sistem pembelajaran mandiri. Diharapkan peserta didik dapat belajar secara aktif dengan mengumpulkan berbagai sumber selain modul ini, misalya melalui buku paket, LKS, majalah, media elektronik atau melalui internet. 2. Dalam modul ini dituntut tersedianya bahan ajar yang lengkap meliputi : - papan tulis - spidol dan penghapus papantulis - penggaris - alat tulis, yaitu: buku, pensil, karet penghapus, dan lain-lain. 3. Setelah menyelesaikan modul ini, peserta didik dapat melanjutkan ke modul selanjutnya yaitu modul ke-5 4. Guru atau instruktur berperan sebagai fasilitator dan pengarah dalam semua materi di modul ini, sehingga diharapkan dapat terjadi komunikasi timbal balik yang efektif dalam mempercepat proses penguasaan kompetensi peserta didik.Hal.: 4 Isi dengan Judul Halaman Terkait Adaptif
  5. 5. B. PERAN GURU a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar utamanya dalam materi- materi yang relatif baru bagi peserta didik b. Membimbing peserta didik melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap belajar c . Membantu peserta didik dalam memahami konsep yang terdapat pada modul ini dan menjawab pertanyaan peserta didik dalam mengenal proses belajar dan pencapaian jenjang pengetahuan peserta didik. d. Membantu peserta didik untuk menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar E .Mengorganisaikan kegiatan belajar kelompok yang diperlukan f. Melaksanakan penilaian g. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya h. Mencatat pencapaian kemajuan peserta didikHal.: 5 Isi dengan Judul Halaman Terkait Adaptif
  6. 6.  C. TUJUAN AKHIR Setelah mempelajari modul ini, peserta didik diharapkan untuk dapat : 1. Konsep bilangan real 2. menghitung dan mengoperasikan bilangan real 3. Menggunakan konsep perbandingan, skala, dan persen untuk menyelesaikan msalah kejuruan 4. menyederhanakan bilangan berpangkat dan bentuk akar 5. Menerapkan operasi pada bilangan berpangkat dan bentuk akarHal.: 6 Isi dengan Judul Halaman Terkait Adaptif
  7. 7.  D.KOMPETENSI Kompetensi : Menerapkan konsep matriks Durasi Pembelajaran : 18 jam @ 45 menit Kondisi kerja Dalam melaksanakan kompetensi ini harus didukung dengan tersedianya : Buku paket Matematika SMK bidang keahlian teknologi dan industri Peralatan yang terkait dengan pelaksanaan kompetensi iniHal.: 7 Isi dengan Judul Halaman Terkait Adaptif
  8. 8. Perbandingan trigonometri Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan menggunakan klinometer αHal.: 2 Trigonometri Adaptif
  9. 9. Perbandingan Trigonometri Pengalaman Belajar Seorang siswa program keahlian bangunan ingin praktik membuat rangka atap rumah dengan ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka panjang x adalah … 2m xm 3 4 mHal.: 3 Trigonometri Adaptif
  10. 10. Perbandingan Trigonometrri Pengalaman Belajar Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut elevasi 300 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 45 0 seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara tersebut? 300 450 B A 20 m Hal.: 4 Trigonometri Adaptif
  11. 11. APA yang terjadi ?Perbandingan Trigonometri Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb: “Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi AC=4, BC=6 dan AB=8. Tentukan besar sudut A.”Hal.: 5 Trigonometri Adaptif
  12. 12. Sekilas ???Perbandingan Trigonometri Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut? Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A Guru merasa tak bersalahHal.: 6 Trigonometri Adaptif
  13. 13. Perbandingan Trigonometri BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA? 3M 4MHal.: 7 Trigonometri Adaptif
  14. 14. Perbandingan TrigonometriManakah bangun yang kelilingnyaterpanjang? 1) 2) 3) 4)Hal.: 8 Trigonometri Adaptif
  15. 15. Perbandingan Trigonometri Ruang Lingkup1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut 2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus ) 3. Rumus-rumus Trigonometri 4. Koordinat Kartesius dan Kutub 5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga 6. Identitas Trigonometri 7. Persamaan TrigonometriHal.: 9 Trigonometri Adaptif
  16. 16. Perbandingan Trigonometri SINUS ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN HIPOTENUSA PADA SUATU SEGITIGA SIKU-SIKU C AC Sin AOC = OC0 AHal.: 10 Trigonometri Adaptif
  17. 17. Perbandingan Trigonometri Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku C OA Cos AOB = OC O AHal.: 11 Trigonometri Adaptif
  18. 18. Perbandingan Trigonometri Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi didepan sudut dengan sisi disamping sudut C AC Tan AOC = OA O AHal.: 12 Trigonometri Adaptif
  19. 19. Perbandingan trigonometriSudut Dalam Kedudukan Baku C Y B C θ θ A A B X Sudut θ tidak dlm Sudut θ dalam kedudukan baku kedudukan baku Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θHal.: 13 Trigonometri Adaptif
  20. 20. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIKONSEP SINUS BB CC DD EE = = = = ... AB AC AD AEHal.: 14 Trigonometri Adaptif
  21. 21. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIKONSEP KOSINUS AB AC AD AE = = = = ... AB AC AD AEHal.: 15 Trigonometri Adaptif
  22. 22. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIKONSEP TANGEN BB CC DD EE = = = = ... AB AC AD AEHal.: 16 Trigonometri Adaptif
  23. 23. Perbandingan trigonometriDiketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10cm, sisi BC = 5 cm. BNilai cos A dan tan A berturut-turut adalah .... 10 5 A C ? didapat 5V3 Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3 Hal.: 17 Trigonometri Adaptif
  24. 24. Perbandingan TrigonometriDikembangkan Soal C Dengan mengukur panjang tangga BC, dan mengukur besa sudut ABC, dan menggunakan Tangga konsep sinus, maka siswa ditugasi untuk menentukan ketinggian lantai II dari dasar lantai. A BHal.: 18 Trigonometri Adaptif
  25. 25. Perbandingan Trigonometri C Dengan mengukur besar sudut BAC dan jarak AB, serta menggunakan konsep kosinus maka siswa dapat menentukan panjang tali pancang AC, yang sudah Tali pancang waktunya diganti itu! TiangA B Hal.: 19 Trigonometri Adaptif
  26. 26. Perbandingan TrigonometriSudut Khusus Sudut khusus C S R A D B P Q ABC sama sisi PQRS persegi panjang sisi = 2a panjang sisi = 2aHal.: 20 Trigonometri Adaptif
  27. 27. Perbandingan TrigonometriDengan menggunakan gambar di atas,tentukan nilai perbandingan : α 0o 300 450 600 900 sin α …. …. …. …. …. cosα …. …. …. …. …. tgα …. …. …. …. …. ctgα …. …. …. …. …. sec α …. …. …. …. …. cos ecα …. …. …. …. ….Hal.: 21 Trigonometri Adaptif
  28. 28. Perbandibgan Trigonometri Sudut Khusus 45o sin 45o = ½ V2 V2 1 cos 45o = ½ V2 tan 45o = 1 45 o 90o 1 sin 30o = ½ cos 30o = ½ V3 30o tan 30o = 1/3 V3 2 V3 sin 60o = ½V3 90o cos 60o = ½ 60 o 1 tan 60o = V3Hal.: 22 Trigonometri Adaptif
  29. 29. Perbandingan Trigonometry RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri 1. a. Relasi Kebalikan: 1 1 1 csc α = sinα sec α = cos α cot α = tan α sinα b. Relasi Pembagian: tan α = cosα cos α cot α = sin α c. Relasi “Pythagoras”: sin2α + cos2α = 1 (dan variasinya) tan2α + 1 = sec2α 1 + cot2α = csc2αHal.: 23 Trigonometri Adaptif
  30. 30. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi 2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo Bernilai Sin All ”+” Tan CosHal.: 24 Trigonometri Adaptif
  31. 31. Perbandingan Trigonometri Hal Khusus 1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka: sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo 2. Jika αo + βo + γo = 270o, maka: sin(α + β)o = sin(270 – γ)o = –cos γo cos(α + β)o = cos(270 – γ)o = –sin γoHal.: 25 Trigonometri Adaptif
  32. 32. Koordinat Kartesius dan Kutub Y P( x,y ) Y P( r, α ) x x • • y r y α o x O X Koordinat Kartesius Koordinat KutubKoordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub r2 = x2 + y2 x = r cos a y tan α = x Y = r sin a Hal.: 26 Trigonometri Adaptif
  33. 33. Rumus Trigonometri dalam Segitiga1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC: a b c = = sin α sin β sin γ2. Aturan (rumus) kosinus: b2 + c 2 − a 2a2 = b2 + c2 – 2bc cos α cos α = 2bcb2 = a2 + c2 – 2ac cos β atauc2 = a2 + b2 – 2ab cos γ c2 + a2 − b2 cos β = 2ca cos γ = a2 + b2 − c2 2ab Hal.: 27 Trigonometri Adaptif
  34. 34. Rumus Trigonometri dalam segitigaDari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengankecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B kearah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak keduakapal 2 jam kemudian? U AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o = 400 + 1024 – 640 220o O = 784 160o 60o 20 AB = 28 32 A Jarak antara kedua kapal 28 mil B Hal.: 28 Trigonometri Adaptif
  35. 35. Rumus trigonometri dalam segitiga C 37 20 51 B A Berapakah nilai tan A dan sin B? cos A = sehingga cos B = cos B = sehingga sin A =Hal.: 29 Trigonometri Adaptif
  36. 36. RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT    1.  Rumus jumlah Rumus selisih sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β  β  cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β tan α + tan β tan α − tan β tan(α + β ) = tan (α − β ) = 1 − tan α tan β 1 + tan α tan β 2. Rumus sudut rangkap Rumus setengah sudut Sin 2α = 2 sin α cos α  2 sin2 ½ α = 1 - cos α Cos 2α = cos2α – sin2α  2 cos2 ½ α = 1 + cos α 2 tan α 1 − cos α tan 2α = tan 2 1 α = 1 − tan 2 α 2 1 + cos α sin α tan 1 α = 2 1 + cos α Hal.: 30 Trigonometri Adaptif
  37. 37. RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT3. Rumus sudut rangkap tiga Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α 3 tan α − tan 3 α tan 3α = 1 − 3 tan 2 αHal.: 31 Trigonometri Adaptif
  38. 38. Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Fungsi Sinus/Kosinus1. Hasil kali sinus dan kosinus 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α – β) 2 cos α sin β = sin(α + β) – sin(α – β) 2 cos α cos β = cos(α + β) – cos(α – β) –2 sin α sin β = cos(α + β) – cos(α – β) atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)2. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)Hal.: 32 Trigonometri Adaptif
  39. 39. IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas adalah suatu kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap pengganti nilai variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1  Buktikan ! sin x 1 + cos x 2 csc x = + 1 + cos x sin x sec4θ – sec2θ = tan4θ + tan2θHal.: 33 Trigonometri Adaptif
  40. 40. IDENTITAS TRIGONOMETRI sin x 1+ cos xBukti: 1+ cos x + sin x sin 2 x +(1 +cos x ) 2 = (1 +cos x ) sin x sin 2 x +1 +2 cos x +cos 2 x = (1 +cos x ) sin x 2 + cos x 2 = (1 + cos x ) sin x 2 = sin x = 2 csc x =ruas kanan (terbukti)Hal.: 34 Trigonometri Adaptif
  41. 41. IDENTITAS TRIGONOMETRIBukti:Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan Ruas kiri: Ruas kanan: sec4θ – sec2θ tan 4θ + tan 2θ= sec2θ(sec2θ – 1) = tan 2θ(tan 2θ + 1)= sec 2θ x tan 2θ = (sec 2θ – 1) sec 2θ= (1 + tan 2θ) x tan 2θ = sec 4θ – sec 2θ= tan 2θ + tan 4θ = ruas kiri (terbukti)= tan 4θ + tan 2θ= ruas kanan (terbukti) Hal.: 35 Trigonometri Adaptif
  42. 42. Persamaan Trigonometri Sederhana Rumus I : 1). Jika sin x° = sin α° maka: x = α + k. 360° atau x = (180° − α) + k. 360° , k ∈ B 2). Jika cos x° = cos α° maka : x = α + k. 360° atau x = − α + k. 360°, k ∈ B 3). Jika tan x° = tan α° maka : x = α + k. 180° k ∈ BHal.: 36 Trigonometri Adaptif
  43. 43. PERSAMAAN TRIGONOMETRI Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol 1). Jika sin x° = 0 maka: x = k.180° , k ∈ B 2). Jika cos x° = 0 maka: x = 90° + k.180° , k ∈ B 3). Jika tan x° = 0 maka: x = k.180° , k ∈ BHal.: 37 Trigonometri Adaptif
  44. 44. PERSAMAAN TRIGONOMETRI Rumus III : Persamaan mengandung harga negatif 1). Jika sin x° = - sin α° = sin (-α)° maka: x = - α + k. 360° atau x = (180° + α) + k. 360° , k ∈ B 2). Jika cos x° = - cos α° = cos (180 + α )° maka: x = 180 + α + k. 360° atau x = - 180° - α + k. 360° , k ∈ B 3). Jika tan x° = - tan α° = tan (-α)° maka: x = - α + k. 180° , k ∈ BHal.: 38 Trigonometri Adaptif
  45. 45. PERSAMAAN TRIGONOMETRI Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut: Untuk 0 ≤ x < 360: 1 a) sin x = sin 40 0 0 b) cos 2x = 0 2 Jawab: a) sin x0 = sin 400 ⇒ x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360 untuk k = 0 → x = 40 k = 0 → k = 140 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140} adalah {30, 150, 210, 330} Hal.: 39 Trigonometri Adaptif
  46. 46. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1 b) cos 2x = 0 2 cos 2x 0 = cos 60 0 maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360 x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180 untuk k = 0 → x = 30 Untuk k = 1 → x = 2100 k = 1 → x = 150 k = 2 → x = 330 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {30, 150, 210, 330} Hal.: 40 Trigonometri Adaptif
  47. 47. PERSAMAAN TRIGONOMETRISoal :1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm, dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah ....2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km Hal.: 41 Trigonometri Adaptif
  48. 48. Penerapan ke prgram keahlianKerangka atap suatu bangunan berbentukseperti gambar berikut: Hitunglah panjang AB A B 2,20 m 35,30 28,50 10,30 mpanjang AB adalah 3,14 mHal.: 42 Trigonometri Adaptif
  49. 49. Penerapan ke program keahlian APerhatikan gambar: 18 cm B 400 950 700 C a) Hitunglah jarak a) jarak AB = 12,6 cm AB b) jarak BC = 21,97 cm b) Hitunglah jarak BC Hal.: 43 Trigonometri Adaptif

×