Toan1 - Chuong5

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
B i gi£ng: TON CAO C‡P 1
Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng
Ng y 12 th¡ng 10 n«m 2010
m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng B i gi£ng: TON CAO C‡P 1 Ch÷ìng V: NH X„ TUY˜N TNH

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
Ch÷ìng IV: NH X„ TUY˜N TNH
5.1 nh x¤ tuy¸n t½nh.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
5.2 Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
5.3 Gi¡ trà ri¶ng, v²ctì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
5.3 Gi¡ trà ri¶ng, v²ctì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
5.4 Ch²o hâa ma trªn.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nh¥n v £nh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
ành ngh¾a
Cho E v F l hai khæng gian v²c tì tr¶n còng mët tr÷íng K. nh
x¤ f : E ! F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸u nâ tho£ m¢n hai i·u
ki»n sau:

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành ngh¾a
ki»n sau:
a, f (u + v) = f (u) + f (v); 8u; v 2 E

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành ngh¾a
ki»n sau:
a, f (u + v) = f (u) + f (v); 8u; v 2 E
b, f (u) = f (u); 8 2 K; 8u 2 E

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành ngh¾a
ki»n sau:
a, f (u + v) = f (u) + f (v); 8u; v 2 E
b, f (u) = f (u); 8 2 K; 8u 2 E
i·u ki»n (a) trong ành ngh¾a l t½nh b£o to n ph²p cëng, cán i·u
ki»n (b) l t½nh b£o to n ph²p nh¥n. Ta câ thº gëp 2 i·u ki»n tr¶n b¬ng
mët i·u ki»n sau:
ành lþ
nh x¤ f : E ! F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi
f (1v1 + 2v2) = 1f (v1) + 2f (v2); 8v1; v2 2 E; 81; 2 2 K

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö
Cho ¡nh x¤ f : R2 ! R2 x¡c ành bði
f (x; y) = (3x 2y; x); 8(x; y) 2 R2. Chùng tä r¬ng ¡nh x¤ f l tuy¸n
t½nh.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö
Cho ¡nh x¤ f : R2 ! R2 x¡c ành bði
f (x; y) = (3x 2y; x); 8(x; y) 2 R2. Chùng tä r¬ng ¡nh x¤ f l tuy¸n
t½nh.
Gi£i. Ta câ 8x; y 2 R2; x = (x1; x2) ; y = (y1; y2) ; 8;

f (y)
Vªy f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö
nh x¤ n o sau ¥y l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh ?
1 f : R2 ! R2; f (x1; x2) = (2x1 + 3x2; x1)
2 f : R2 ! R2; f (x1; x2) = (x1 + 2x2; 0)
3 f : R2 ! R2; f (x1; x2) = (2x1 x2; x1 + 1)
sinh vi¶n tü kiºm tra

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành ngh¾a: Nh¥n cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
Cho E v F l hai khæng gian v²c
tì tr¶n mët tr÷íng K, f : E ! F
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. Nh¥n cõa
¡nh x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì u
cõa E sao cho f (u) = 0 v kþ
hi»u ker f .
ker f = fu 2 E : f (u) = 0g

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
tuy¸n t½nh
hi»u ker f .
ker f = fu 2 E : f (u) = 0g
H¼nh: Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
tuy¸n t½nh
hi»u ker f .
ker f = fu 2 E : f (u) = 0g
H¼nh: Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
V½ dö. X²t khæng gian V c¡c v²c tì h¼nh håc. Cho tr÷îc mët v²c tì u,
vîi méi mët v²c tì v 2 V ta x²t ¡nh x¤ f : V ! R x¡c ành bði
f (v) = uv (t½ch væ h÷îng cõa hai v²c tì u v v). Chùng tä r¬ng f l ¡nh
x¤ tuy¸n t½nh v t¼m ker f .

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành ngh¾a: ƒnh cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. ƒnh cõa ¡nh
x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì v cõa
F sao cho tçn t¤i v²c tì x 2 E º
f (x) = v v kþ hi»u Im f .
Im f = fv 2 F : 9x 2 E; f (x) = vg

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành ngh¾a: ƒnh cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh
l mët ¡nh x¤ tuy¸n. ƒnh cõa ¡nh
x¤ f l tªp hñp c¡c v²c tì v cõa
F sao cho tçn t¤i v²c tì x 2 E º
f (x) = v v kþ hi»u Im f .
Im f = fv 2 F : 9x 2 E; f (x) = vg
H¼nh: ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
€nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F l ìn ¡nh , ker f = f0g

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
€nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F l ìn ¡nh , ker f = f0g
Chùng minh. nh x¤ f l ìn ¡nh n¸u x6= y n¸u f (x)6= f (y).
Do â vîi v6= 0 ta câ f (v)6= f (0) nh÷ng f (0) = 0 tùc l vîi måi
ph¦n tû v6= 0 ta câ f (v)6= 0, suy ra v =2 ker f , ker f ch¿ chùa ph¦n tû
khæng.
£o l¤i, gi£ sû ker f = f0g. Gåi u v v l c¡c ph¦n tû cõa E sao cho
f (u) = f (v). Ta chùng minh u = v. Thªt vªy, do ¡nh x¤ f l tuy¸n t½nh
n¶n f (u v) = f (u)f (v) = 0 suy ra u v 2 ker f . Do ker f = f0g n¶n
u v = 0 ) u = v. Vªy f l ìn ¡nh.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F v ker f = f0g. Khi â h» v²c tì
v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh trong E , h» v²c tì
f (v1); f (v2); :::; f (vn) ëc lªp tuy¸n t½nh trong F.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F v ker f = f0g. Khi â h» v²c tì
v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh trong E , h» v²c tì
Chùng minh. ()) Gi£ sû 1; 2; :::; n l c¡c sè sao cho:
1f (v1) + 2f (v2) + ::: + nf (vn) = 0. Ta ph£i chùng minh
1 = 2 = ::: = n = 0.
Tø 1f (v1) + 2f (v2) + ::: + nf (vn) = 0 do f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¶n
ta câ f (1v1 + ::: + nvn) = 0 ) 1v1 + ::: + nvn 2 ker f m
ker f = f0g ) 1v1 + ::: + nvn = 0 ) 1 = 2 = ::: = n = 0 (do
v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh trong E). Vªy h» v²c tì
(() Gi£ sû 1v1 + ::: + nvn = 0 ) f (1v1 + ::: + nvn) = 0 )
1f (v1) + 2f (v2) + ::: + nf (vn) = 0 (do f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh) m
f (v1); f (v2); :::; f (vn) ëc lªp tuy¸n t½nh trong F, suy ra
1 = 2 = ::: = n = 0. Vªy h» v²c tì v1; v2; :::; vn ëc lªp tuy¸n t½nh
trong E.
(Chó þ. i·u ng÷ñc l¤i khæng c¦n i·u ki»n ker f = f0g l ìn ¡nh)

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! F
1 Nh¥n cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa E.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
2 ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f l khæng gian con cõa F.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
3 dim(ker f ) + dim(Im f ) = dimE

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ành lþ
3 dim(ker f ) + dim(Im f ) = dimE
M»nh ·
ƒnh cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh l khæng gian con sinh ra bði £nh cõa mët h»
sinh cõa E.
Chùng minh xem gi¡o tr¼nh

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Chó þ
º t¼m ker f ta sû döng ành ngh¾a. T¼m Im f ta câ thº l m theo
c¡ch sau:

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Chó þ
c¡ch sau:
1. Chån mët cì sð S = fe1; e2;:::; eng cõa E.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Chó þ
c¡ch sau:
2. T¼m f (e1) ; f (e2;) :::; f (en)

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Chó þ
c¡ch sau:
2. T¼m f (e1) ; f (e2;) :::; f (en)
3. Im f = hf (e1) ; f (e2;) :::; f (en)i

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3; 8x = (x1; x2; x3) 2 R3; f (x) =
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 x3; 2x1 + 3x2 x3; 3x1 + 5x2 x3).
1, T¼m cì sð v sè chi·u cõa ker f .
2, T¼m cì sð v sè chi·u cõa Im f .

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3; 8x = (x1; x2; x3) 2 R3; f (x) =
f (x1; x2; x3) = (x1 + x2 x3; 2x1 + 3x2 x3; 3x1 + 5x2 x3).
Gi£i.
8x = (x1; x2; x3) 2 ker f , f (x) = 0
, (x1 + x2 x3; 2x1 + 3x2 x3; 3x1 + 5x2 x3) = 0
,
8
:
x1 + x2 x3 = 0
2x1 + 3x2 x3 = 0
3x1 + 5x2 x3 = 0
,
8
:
x1 = 2
x2 =
x3 =
) x = (2;; ) = (2;1; 1)
Vªy f(2;1; 1)g l h» sinh v công l cì sð cõa ker f ) dim(ker f ) = 1

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
T¼m cì sð cõa Im f . Chån cì sð ch½nh tc cõa R3 l
f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g. Theo m»nh · suy ra
Im f = hf (1; 0; 0) ; f (0; 1; 0) ; f (0; 0; 1)i. Ta câ
Im f = hf (1; 0; 0) ; f (0; 1; 0) ; f (0; 0; 1)i = h(1; 2; 3) ; (1; 3; 5) ; (1;1;1)i
Lªp ma trªn, dòng ph²p bi¸n êi theo h ng ta câ
0
@
1 2 3
1 3 5
1 1 1
1
A !
0
@
1 2 3
0 1 2
0 1 2
1
A !
0
@
1 2 3
0 1 2
0 0 0
1
A
Vªy cì sð cõa Im f l f(1; 2; 3) ; (0; 1; 2)g ) dim (Im f ) = 2

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö 2
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3, bi¸t
f (1; 1; 1) = (1; 2; 1) ; f (1; 1; 2) = (2; 1;1) ; f (1; 2; 1) = (5; 4;1).

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö 2
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R3, bi¸t
f (1; 1; 1) = (1; 2; 1) ; f (1; 1; 2) = (2; 1;1) ; f (1; 2; 1) = (5; 4;1).
Gi£i.C¡ch 1 (th÷íng dòng).
8x = (x1; x2; x3) 2 R3 ) x = (1; 1; 1) +

(1; 1; 2) +
(1; 2; 1)
,
8
:
+

+
= x3
,
8
:
= 3x1 x2 x3

= x1 + x3

= x1 + x2
) f (x) = f (1; 1; 1) +

f (1; 1; 2) +
f (1; 2; 3) =
= (4x1 + 4x2 + x3; x1 + 2x2 x3; 5x1 2x2 2x3)
8x = (x1; x2; x3) 2 ker f , f (x) = 0 ,
8
:
4x1 + 4x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 x3 = 0
5x1 2x2 2x3 = 0

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
,
8
:
x1 = 2
x2 =
x3 = 4
) x = (2; ; 4) = (2; 1; 4)
Vªy cì sð cõa ker f l f(2; 1; 4)g v dim(ker f ) = 1.
C¡ch 2. Chån cì sð l S = f(1; 1; 1) ; (1; 1; 2) ; (1; 2; 1)g. Ta câ
8x 2 ker f , f (x) = 0. Gi£ sû tåa ë cõa x trong S l
[x]S =
0
B@
x1
x2
x3
1
CA
, x = x1 (1; 1; 1) + x2 (1; 1; 2) + x3 (1; 2; 1)
) f (x) = x1f (1; 1; 1) + x2f (1; 1; 2) + x3f (1; 2; 1) =
= (x1 + 2x2 + 5x3; 2x1 + x2 + 4x3; x1 x2 x3)

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
ta câ
f (x) = 0 ,
8
:
x1 + 2x2 + 5x3 = 0
2x1 + x2 + 4x3 = 0
x1 x2 x3 = 0
,
8
:
x1 =
x2 = 2
x3 =
[x]S =
0
@

2

1
A , x = (1; 1; 1) 2 (1; 1; 2) + (1; 2; 1)
, x = (2;;4) = (2; 1; 4)
Vªy cì sð cõa ker f l f(2; 1; 4)g v dim(ker f ) = 1.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
T¼m cì sð cõa Im f . Chån cì sð cõa R3 l l
S = f(1; 1; 1) ; (1; 1; 2) ; (1; 2; 1)g. Theo m»nh · suy ra
Im f = hf (1; 1; 1) ; f (1; 1; 2) ; f (1; 2; 3)i. Ta câ
Im f = hf (1; 1; 1) ; f (1; 1; 2) ; f (1; 2; 3)i = h(1; 2; 1) ; (2; 1;1) ; (5; 4;1)i
Lªp ma trªn, dòng ph²p bi¸n êi theo h ng ta câ
0
@
1 2 1
2 1 1
5 4 1
1
A !
0
@
1 2 1
0 3 3
0 6 6
1
A !
0
@
1 2 1
0 1 1
0 0 0
1
A
Vªy cì sð cõa Im f l f(1; 2; 1) ; (0; 1; 1)g ) dim (Im f ) = 2

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ma trªn chuyºn cì sð
Ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khi chuyºn cì sð
ành ngh¾a
Cho V v W l hai K khæng gian v²c tì húu h¤n chi·u,
E = fe1; e2; :::; eng ; F = fu1; u2; :::; umg l¦n l÷ñt l c¡c cì sð cõa V v
W, f : V ! W l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh. Gi£ sû
f (e1) = a11u1 + a12u2 + ::: + a1mum
f (e2) = a21u1 + a22u2 + ::: + a2mum
...
f (en) = an1u1 + an2u2 + ::: + anmum
:
Khi â ma trªn
A =
0
BBB@
a11 a21 an1
a12 a22 an2
...
...
. . .
...
a1m a2m anm
1
CCCA
÷ñc goi l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð E; F, kþ
hi»u AEF .

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Nhªn x²t
1 AEF l ma trªn câ c¡c cët l tåa ë cõa c¡c v²c tì
f (e1) ; f (e2) ; :::; f (en) trong cì sð F
AEF =
0
@
j j
f (e1) f (en)
j j
1
A
2 °c bi»t n¸u W = V th¼ ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh trong c°p
cì sð E; E kþ hi»u l AE v khi â A l ma trªn vuæng c§p n.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö
Cho f : R3 ! R2; f (x1;x2; x3) = (x1 + 2x2 3x3; 2x1 + x3). T¼m ma trªn
cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð
E = f(1; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g ; F = f(1; 1) ; (1; 2)g
Gi£i: Ta câ
8
:
f (1; 1; 1) = (0; 3) = 3 (1; 1) + 3 (1; 2)
f (1; 0; 1) = (2; 3) = 7 (1; 1) + 5 (1; 2)
f (1; 1; 0) = (3; 2) = 4 (1; 1) (1; 2)
) AEF =

3 7 4
3 5 1


nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö 2
Cho f : R2 ! R3; f (x1;x2) = (x1 + 2x2; x1 x2;x2). T¼m ma trªn cõa
¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð
E = f(1; 1) ; (1; 0)g ; F = f(1; 1; 1) ; (1; 2; 1) ; (1; 3; 2)g
Gi£i: Ta câ
(
f (1; 1) = (3; 0;1) = 8 (1; 1; 1) 5 (1; 2; 1) + 6 (1; 3; 2)
f (1; 0) = (1; 1; 0) = 4 (1; 1; 1) 2 (1; 2; 1) + 3 (1; 3; 2)
) AEF =
0
@
8 4
5 2
6 3
1
A

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh I
Gi£ sû x 2 V ) x = 1e1 + 2e2 + + nen, suy ra
f (x) = 1f (e1) + 2f (e2) + + nf (en)
M°t kh¡c ta câ
f (e1) = a11u1 + a12u2 + ::: + a1mum
f (e2) = a21u1 + a22u2 + ::: + a2mum
...
f (en) = an1u1 + an2u2 + ::: + anmum
:
khi â f (x) =
1 (a11u1 + a12u2 + ::: + a1mum) + 2 (a21u1 + a22u2 + ::: + a2mum) +
+ n (an1u1 + an2u2 + ::: + anmum) = f (en) =

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh II
(a111 + a212 + ::: + an1n) u1 + (a121 + a222 + ::: + an2n) u2 +
+ (a1m1 + a2m2 + ::: + anmn) um suy ra
[f (x)]F =
2
6664
a111 + a212 + ::: + an1n
a121 + a222 + ::: + an2n
...
a1m1 + a2m2 + ::: + anmn
3
7775
F
= AEF [x]E
Biºu thùc [f (x)]F = AEF [x]E ÷ñc gåi l biºu thùc tåa ë cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh f .

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö I
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3 ! R2 bi¸t ma trªn cõa f trong c°p cì sð
E = f(1
; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g ; F = f(1; 1) ; (2; 1)g l
AEF =
2 1 3
0 3 4

.
a, T¼m f (3; 1; 5).
b, T¼m f (x).
Gi£i: a, Ta câ x = (3; 1; 5).
X²t tð hñp tuy¸n t½nh x = (3; 1; 5) ; (3; 1; 5) =
(1; 1; 1) +

(1; 0; 1) +
(1; 1; 0) )
8
:
= 3

= 2

= 2
) [x]E =
2
64
3
3
2
2
75
¡p döng cæng thùc [f (x)]F = AEF [x]E ) [f (3; 1; 5)]F =

14
2
#
êi tåa ë cõa f (3; 1; 5) sang cì sð ch½nh tc
f (3; 1; 5) = 14 (1; 1) 2 (2; 1) = (10; 12)

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö II
b, L§y x = (x1; x2; x3) 2 R3. X²t tê hñp tuy¸n t½nh
(x1; x2; x3) = (1; 1; 1) +

(1; 0; 1) +
(1; 1; 0) ) 8
:
= x1 + x2 + x3

= x1 x2

= x1 x3
) [x]E =
2
64 x1 + x2 + x3
x1 x2
x1 x3
3
75
+ M°t kh¡c ta câ [f (x)]F = AEF [x]E ) [f (x)]F =

4x1 + x2 + 5x3
7x1 3x2 4x3
#
+ êi tåa ë cõa f (x) sang cì sð ch½nh tc
f (x) = (4x1 + x2 + 5x3) (1; 1) + (7x1 3x2 4x3) (2; 1) =
(10x1 5x2 3x3; 3x1 2x2 + x3)

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Trong khæng gian v²c tì V cho hai cì sð E = fe1; e2; :::; eng v
U = fu1; u2; :::; ung. Ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
un = an1e1 + an2e2 + annen

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
U = fu1; u2; :::; ung. Ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
Khi â ma trªn
P =
2
6664
a11 a21 an1
a12 a22 an2
...
. . .
a1n a2n ann
3
7775
÷ñc gåi l ma trªn chuyºn cð sð tø E v o U.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
U = fu1; u2; :::; ung. Ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
Khi â ma trªn
P =
2
6664
a11 a21 an1
a12 a22 an2
...
. . .
a1n a2n ann
3
7775
÷ñc gåi l ma trªn chuyºn cð sð tø E v o U.
Vîi méi v²c tì x 2 V ta câ [x]E = P[x]U. N¸u P kh£ nghàch th¼ P1
l ma trªn chuyºn tø U v o E.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Thªy vªy, ta câ 8x 2 V , x = x1e1 + x2e2 + + xnen v
x = y1u1 + y2u2 + + ynun. M°t kh¡c ta câ
8
:
u1 = a11e1 + a12e2 + a1nen
u2 = a21e1 + a22e2 + a2nen
...
Suy ra
x = y1 (a11e1 + a12e2 + + a1nen) + y2 (a21e1 + a22e2 + + a2nen) + +
+yn (an1e1 + an2e2 + + annen) = (a11y1 + a21y2 + + an1yn) e1+
+(a12y1 + a22y2 + + an2yn) e2 + + (a1ny1 + a2ny2 + + annyn) en
do â [x]E = P[x]U.
C§u tróc cõa ma trªn P l
P =

[u1]E [u2]E [un]E


nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö.
Trong R3 cho 2 cì sð E = f(1; 1; 1) ; (1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g v
U = f(1; 1; 2) ; (1; 2; 1) ; (1; 1; 1)g. T¼m ma trªn chuyºn cì sð tø E v o U.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö.
Gi£i. T¼m tåa ë cõa c¡c v²c tì
u1 = (1; 1; 2) ; u2 = (1; 2; 1) ; u3 = (1; 1; 1) theo cì sð E.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö.
u1 = (1; 1; 2) ; u2 = (1; 2; 1) ; u3 = (1; 1; 1) theo cì sð E.
Ta câ [u1]E =
0
@
2
0
1
1
A, [u2]E =
0
@
2
1
0
1
A, [u3]E =
0
@
1
0
0
1
A

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
V½ dö.
u1 = (1; 1; 2) ; u2 = (1; 2; 1) ; u3 = (1; 1; 1) theo cì sð E.
Ta câ [u1]E =
0
@
2
0
1
1
A, [u2]E =
0
@
2
1
0
1
A, [u3]E =
0
@
1
0
0
1
A
Suy ra
P =
0
@
2 2 1
0 1 0
1 0 0
1
A

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! W , (V;W l c¡c khæng gian v²c tì).
Gi£ sû trong V câ hai cì sð l E = fe1; e2; :::; eng ; E
0
=
n
e
0
1; e
0
2; :::; e
0
n
o
,
trong W câ hai cì sð l U = fu1; u2; :::; ung ;U
0
=
n
u
0
1; u
0
2; :::; u
0
n
o
v P l ma trªn chuyºn cì sð tø E v o E
0
, Q l ma trªn chuyºn cì sð tø
U v o U
0
, A l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð E;U.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! W , (V;W l c¡c khæng gian v²c tì).
Gi£ sû trong V câ hai cì sð l E = fe1; e2; :::; eng ; E
0
=
n
e
0
1; e
0
2; :::; e
0
n
o
,
trong W câ hai cì sð l U = fu1; u2; :::; ung ;U
0
=
n
u
0
1; u
0
2; :::; u
0
n
o
v P l ma trªn chuyºn cì sð tø E v o E
0
, Q l ma trªn chuyºn cì sð tø
U v o U
0
, A l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð E;U.
Vîi méi x 2 V ta câ
[f (x)]U = AEU[x]E , Q[f (x)]U0 = AEUP[x]E0 , [f (x)]U0 = Q1AEUP[x]E0
Khi â Q1AEUP l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong c°p cì sð
0
0
E
;U
.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Sì ç

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
°c bi»t n¸u ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V, trong V câ hai cì sð
E = fe1; e2; :::; eng ; E
0
=
n
e
0
1; e
0
2; :::; e
0
n
o
v P l ma trªn chuyºn cð sð
tø E v o E
0
, A l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh trong cì sð E. Khi â
P1AP l ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong cì sð E
0
.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Ma trªn çng d¤ng
ành ngh¾a.
Cho hai ma trªn A; B vuæng c§p n. A v B ÷ñc gåi l hai ma trªn
çng d¤ng n¸u tçn t¤i ma trªn kh£ nghàch P sao cho P1AP = B.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
Ma trªn çng d¤ng
ành ngh¾a.
Cho hai ma trªn A; B vuæng c§p n. A v B ÷ñc gåi l hai ma trªn
çng d¤ng n¸u tçn t¤i ma trªn kh£ nghàch P sao cho P1AP = B.
H» qu£.
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V, trong V câ hai cì sð E; F v A l
ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f trong cì sð E, B l ma trªn cõa ¡nh x¤
tuy¸n t½nh f trong cì sð F. Khi â A v B l hai ma trªn çng d¤ng.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : V ! V. V²c tì x 2 V; (x6= 0) ÷ñc gåi l
v²c tì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n f n¸u tçn t¤i mët sè (thüc ho°c phùc)
sao cho f (x) = x. Sè ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng
x cõa f .

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
x cõa f .
V½ dö. Trong R2, x²t ¡nh x¤ tuy¸n t½nh x¡c ành bði f (x1; x2) = (x2; x1).

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
x cõa f .
Ta câ f (1; 1) = (1; 1) = 1 (1; 1), khi â sè = 1 l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t
vîi v²c tì x = (1; 1).

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
ành ngh¾a
x cõa f .
Ta câ f (1; 1) = (1; 1) = 1 (1; 1), khi â sè = 1 l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t
vîi v²c tì x = (1; 1).
T÷ìng tü ta câ f (1;1) = (1; 1) = 1 (1;1), khi â sè = 1 l
gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng x = (1;1).

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
1 Méi v²c tì ri¶ng câ duy nh§t mët gi¡ trà ri¶ng.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
2 Ng÷ñc l¤i, méi gi¡ trà ri¶ng câ thº li¶n k¸t vîi nhi·u v²c tì ri¶ng.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
1, Thªt vªy, gi£ sû v²c tì ri¶ng x câ hai gi¡ trà ri¶ng v , ta câ
f (x) = x = x , ( ) x = 0 ) = (do x6= 0).

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
Nhªn x²t.
1, Thªt vªy, gi£ sû v²c tì ri¶ng x câ hai gi¡ trà ri¶ng v , ta câ
f (x) = x = x , ( ) x = 0 ) = (do x6= 0).
2, Gi£ sû l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng x, v k l mët sè
kh¡c khæng. Do f l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¶n ta câ
f (kx) = kf (x) = k (x) = (kx)
Vªy công l gi¡ trà ri¶ng li¶n k¸t vîi v²c tì ri¶ng kx.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
a thùc °c tr÷ng
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : E ! E. Gi£ sû A l ma trªn cõa ph²p bi¸n
êi â theo cì sð e1; e2; :::; en. Ta kþ hi»u v²c tì ri¶ng v 2 E d÷îi d¤ng
ma trªn cët l X th¼ d¤ng ma trªn cõa biºu thùc f (v) = v s³ l :
AX = X hay (A I )X = 0 (1)
Trong â I l ma trªn ìn và còng c§p vîi ma trªn A. Biºu thùc (1) l
mët h» n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t. Theo quy tc Cramer, n¸u
det(A I )6= 0 th¼ h» câ nghi»m t¦m th÷íng duy nh§t X = 0. Vªy º
h» (1) câ nghi»m kh¡c khæng th¼ i·u ki»n c¦n v õ l :
det(A I ) = 0 (2)
C¡c gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn A hay cõa ¡nh x¤ f l c¡c nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh (2)
ành ngh¾a:
ành thùc det(A I ) = 0 l mët a thùc bªc n èi vîi v ÷ñc gåi l
a thùc °c tr÷ng hay ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa A (hay cõa ¡nh
x¤ f ).

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
C¡c b÷îc t¼m gi¡ trà ri¶ng, v²c tì ri¶ng
1 T¼m ma trªn A cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh.
2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng det(A I ) = 0, t¼m c¡c .
3 Ùng vîi méi gi¡ trà ri¶ng thay v o ph÷ìng tr¼nh (A I )X = 0
t¼m c¡c v²c tì ri¶ng X.

nh x¤ tuy¸n t½nh
Ch²o hâa ma trªn
ành ngh¾a
a thùc °c tr÷ng
V½ dö I
Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R2 ! R2 câ ma trªn A =

6 2
2 3

. H¢y
t¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng v v²c tì ri¶ng cõa nâ.
Gi£i: + Ta câ ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng:
det(AI ) =

Toan1 - Chuong5

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (14)

Similar to Toan1 - Chuong5

Similar to Toan1 - Chuong5 (20)

More from ICTU

More from ICTU (11)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Toan1 - Chuong5