関西大学総合情報学部　「統計学」（担当：浅野晃）

1. A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期 統計学
浅野 晃
関西大学総合情報学部
分布をまとめる̶平均・分散
第５回

2. A.Asano,KansaiUniv.

3. A.Asano,KansaiUniv.
代表値

4. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
代表値とは
統計学が相手にするのは，
「分布」しているデータ

5. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
代表値とは
統計学が相手にするのは，
「分布」しているデータ
データをこんな
ふうに読めれば
いいけれど…
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
（大般若会の写真）

6. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
代表値とは
こんなことはできないので，
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm

7. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
代表値とは
こんなことはできないので，
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
•図示する（ヒストグラム）

8. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
代表値とは
こんなことはできないので，
•ひとつの数にまとめる
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
•図示する（ヒストグラム）

9. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
代表値とは
こんなことはできないので，
•ひとつの数にまとめる
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
［代表値］
•図示する（ヒストグラム）

10. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
代表値とは
こんなことはできないので，
•ひとつの数にまとめる
http://www3.ic-net.or.jp/~yaguchi/houwa/daihannya.htm
［代表値］
数字で表されていれば，
計算ができる
•図示する（ヒストグラム）
（大般若会の写真）

11. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
平均
とくに［算術平均］は
代表的な代表値

12. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
平均
とくに［算術平均］は
代表的な代表値
（算術）平均
＝（データの総和） （数値の個数）

13. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
平均
データ
術平均
データを x1, x2, . . . , xn，総データ
) は次の式で定義されます。
¯x
まり，算術平均 ＝（データの合計
数値の個数
（データサイズ）
n，総データ数を n とするとき，算
れます。
¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
のとき

14. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
平均
データ
術平均
データを x1, x2, . . . , xn，総データ
) は次の式で定義されます。
¯x
まり，算術平均 ＝（データの合計
数値の個数
（データサイズ）
n，総データ数を n とするとき，算
れます。
¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
のとき
平均
n，総データ数を n とするとき，算術平均 (ar
ます。
¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
1
n
n
i=1
xi
データの合計）／（データ数）です。ふつう，

15. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
平均
データ
術平均
データを x1, x2, . . . , xn，総データ
) は次の式で定義されます。
¯x
まり，算術平均 ＝（データの合計
数値の個数
（データサイズ）
n，総データ数を n とするとき，算
れます。
¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
のとき
平均
n，総データ数を n とするとき，算術平均 (ar
ます。
¯x =
x1 + x2 + · · · + xn
n
=
1
n
n
i=1
xi
データの合計）／（データ数）です。ふつう，
和

16. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
データサイズ？
「データ」という言葉は，
数値の集まりをさす
（１つ１つの数値ではない）

17. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
データサイズ？
「データ」という言葉は，
数値の集まりをさす
（１つ１つの数値ではない）
データの中に含まれる
数値の個数を大きさ（サイズ）という

18. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
データサイズ？
「データ」という言葉は，
数値の集まりをさす
（１つ１つの数値ではない）
データの中に含まれる
数値の個数を大きさ（サイズ）という
家族(family)という言葉に似ている

19. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から平均を求める
度数分布とは，これでした
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

20. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から平均を求める
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値 度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値 (度数/データサイズ)]の合計
=[階級値 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

21. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から平均を求める
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値 度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値 (度数/データサイズ)]の合計
=[階級値 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

22. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から平均を求める
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値 度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値 (度数/データサイズ)]の合計
=[階級値 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

23. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から平均を求める
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値 度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値 (度数/データサイズ)]の合計
=[階級値 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

24. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から平均を求める
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値 度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値 (度数/データサイズ)]の合計
=[階級値 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

25. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から平均を求める
平均=(データの合計)/(データサイズ)
=([階級値 度数]の合計)/(データサイズ)
=[階級値 (度数/データサイズ)]の合計
=[階級値 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

26. A.Asano,KansaiUniv.

27. A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差

28. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「ばらつき」を数字で
分布は，大小ばらばらな数値からなる
データ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう

29. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「ばらつき」を数字で
分布は，大小ばらばらな数値からなる
データ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう
分散と標準偏差
分布をもっとも簡単に１つの数字で表したの
らいばらついているか」は表現できません。そ
C があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

30. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「ばらつき」を数字で
分布は，大小ばらばらな数値からなる
データ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう
分散と標準偏差
分布をもっとも簡単に１つの数字で表したの
らいばらついているか」は表現できません。そ
C があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
どう違う？

31. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「ばらつき」を数字で
分布は，大小ばらばらな数値からなる
データ
どのくらいばらばらかを，
数字で表そう
分散と標準偏差
分布をもっとも簡単に１つの数字で表したの
らいばらついているか」は表現できません。そ
C があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
どう違う？
平均は
どれも5

32. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
レンジとばらつき
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)

33. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
レンジとばらつき
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)

34. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
レンジとばらつき
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)

35. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
レンジとばらつき
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)
A, Bはレンジは同じだが，

36. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
レンジとばらつき
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)
A, Bはレンジは同じだが，
Bのほうがばらついている
ように見える

37. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
レンジとばらつき
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)
A, Bはレンジは同じだが，
Bのほうがばらついている
ように見える

38. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
レンジとばらつき
Cは，最大と最小の差［レンジ］が
違う
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第５回 (2013. 10. 24)
A, Bはレンジは同じだが，
Bのほうがばらついている
ように見える

39. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

40. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0

41. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
00

42. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 00

43. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 0 00

44. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +20 00

45. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +20 00-2

46. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +20 00-2 +2

47. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2-2 0 00-2 +2

48. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2 0 00-2 +2

49. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5 0 00-2 +2

50. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2

51. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0

52. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0 +2

53. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-2 +2

54. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-2 +2 +3

55. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3

56. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

57. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0-4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

58. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

59. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

60. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差
偏差を平均したら，AとBのばらつきの
違いが表せる？
各数値と平均との差を［偏差］という
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

61. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差の平均？
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

62. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差の平均？
だめ。平均したらゼロ
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

63. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差を２乗する
偏差を２乗したら，全部正の数に
なるから，それから平均する
分布をもっとも簡単に１つの数字で表
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4

64. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差を２乗する
偏差を２乗したら，全部正の数に
なるから，それから平均する
分布をもっとも簡単に１つの数字で表
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25

65. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
偏差を２乗する
偏差を２乗したら，全部正の数に
なるから，それから平均する
分布をもっとも簡単に１つの数字で表
いばらついているか」は表現できま
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25

66. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散
いばらついているか」は表現できませ
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25

67. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散
いばらついているか」は表現できませ
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
平均 6.6

68. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散
いばらついているか」は表現できませ
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
平均 6.6
平均 10.8

69. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散
いばらついているか」は表現できませ
があるとします。
A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10
B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10
C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
0 +2 +5-2-5
0 +5-5 -4
0 00-2 +2
0-3 -2 +2 +3+4
25 4 4 0 0 0 0 4 4 25
25 16 9 4 0 0 4 9 16 25
平均 6.6
平均 10.8
［分散］＝(偏差)2の平均

70. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと

71. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は
ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数
す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ
するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ
2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏
ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？

72. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は
ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数
す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ
するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ
2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏
ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？

73. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は
ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数
す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ
するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ
2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏
ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？
1番の数値

74. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は
ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数
す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ
するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ
2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏
ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？
1番の数値

75. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は
ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数
す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ
するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ
2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏
ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？
1番の数値 データの平均

76. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は
ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数
す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ
するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ
2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏
ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？
1番の数値 データの平均
n個たして
nで割る

77. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分散と標準偏差
［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと
均」のかわりに「（偏差）2 の平均」を用います。（偏差）2 は
ち「各データについての偏差の２乗の合計を総データ数
す。これが分散 (variance) です。式で書くと，各データ
するとき，分散 σ2 はつぎのようになります。
σ2
=
1
n
(x1 − ¯x)2
+ (x2 − ¯x)2
+ · · · + (xn − ¯x)2
=
1
n
n
i=1
(xi − ¯x)2
標準偏差 (standard deviation, SD) といいます。データ
2，すなわち平方メートルになってしまいますが，標準偏
ぜ偏差の絶対値をとらずに偏差を２乗するのか？
1番の数値 データの平均
n個たして
nで割る
分散の平方根を［標準偏差］という

78. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

79. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値 相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2 相対度数]の合計
= [(階級値­データの平均)2 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

80. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値 相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2 相対度数]の合計
= [(階級値­データの平均)2 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

81. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値 相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2 相対度数]の合計
= [(階級値­データの平均)2 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

82. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値 相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2 相対度数]の合計
= [(階級値­データの平均)2 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

83. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
度数分布から分散を求める
データの平均=[階級値 相対度数]の合計
分散＝(偏差)2の平均
= [(偏差)2 相対度数]の合計
= [(階級値­データの平均)2 相対度数]の合計
50 62 75 78 48 50 60 75 75 60 78 58 78
55 56 70 60 79 18 63 67 85 25 40 50
以上 未満 階級値 度数 相対度数
15 25 20 4 0.08 (8%)
25 35 30 3 0.06 (6%)
35 45 40 3 0.06 (6%)
45 55 50 8 0.16 (16%)
55 65 60 12 0.24 (24%)
65 75 70 8 0.16 (16%)
75 85 80 9 0.18 (18%)
85 95 90 3 0.06 (6%)
x x x 計 計
50 1 (100%)

84. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
なぜ２乗？
偏差の２乗ではなく，
偏差の「絶対値」ではいけないの？

85. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
なぜ２乗？
偏差の２乗ではなく，
偏差の「絶対値」ではいけないの？
絶対値の関数は，途中に折れ目があっ
てむずかしい

86. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
なぜ２乗？
偏差の２乗ではなく，
偏差の「絶対値」ではいけないの？
絶対値の関数は，途中に折れ目があっ
てむずかしい
放物線には折り目はない

87. A.Asano,KansaiUniv.

88. A.Asano,KansaiUniv.
標準得点

89. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「試験で70点」は優れているのか
試験で70点をとった。
まわりより優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら 優れている
80点なら 劣っている

90. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「試験で70点」は優れているのか
試験で70点をとった。
まわりよりとても優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら まあ優れている
30点なら とても優れている …？

91. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「試験で70点」は優れているのか
試験で70点をとった。
まわりよりとても優れているのか？
一緒に受けた人たちの平均点が
50点なら まあ優れている
30点なら とても優れている …？

92. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「試験で70点」は優れているのか
一緒に受けた人たちが
平均60点で
標準偏差5点
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
図 3: 度数分布
平均30点で
標準偏差20点
30 70
7060

93. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「試験で70点」は優れているのか
70点の
「地位」
は同じ。
一緒に受けた人たちが
平均60点で
標準偏差5点
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
図 3: 度数分布
平均30点で
標準偏差20点
30 70
7060

94. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「地位」を数字で表す
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X –
σ0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
7060

95. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「地位」を数字で表す
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X –
σ0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
7060

96. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「地位」を数字で表す
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X –
σ0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
平均30点で標準偏差20点なら
7060

97. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「地位」を数字で表す
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X –
σ0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
平均30点で標準偏差20点なら
7060
70点の人は，やはり平均を
標準偏差の2倍上回っている

98. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
「地位」を数字で表す
70点の人は，平均を
標準偏差の2倍上回っている
一緒に受けた人たちが
平均60点で標準偏差5点なら各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
X –
σ0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
平均30点で標準偏差20点なら
7060
70点の人は，やはり平均を
標準偏差の2倍上回っている
70点の「地位」は同じ

99. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
標準得点
平均を
標準偏差の2倍上回っている
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 ×
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
30∼39 35 0.12
40∼49 45 0.10
7060

100. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
標準得点
平均を
標準偏差の2倍上回っている
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 ×
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
30∼39 35 0.12
40∼49 45 0.10
7060
［標準得点］が2点

101. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
標準得点
平均を
標準偏差の2倍上回っている
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 ×
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
30∼39 35 0.12
40∼49 45 0.10
平均を標準偏差の2倍
下回っているなら
7060
［標準得点］が2点

102. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
標準得点
平均を
標準偏差の2倍上回っている
各データからμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ
各データを
(1 / σ)倍する
0
図 3: 度数分布の変換
今日の演習
１．下の度数分布表について，表の空欄を埋めて，平均・分散を求めてください．
階級 階級値 相対度数 階級値×相対度数 偏差 (偏差)2 (偏差)2 ×
0∼9（点） 5 0.04
10∼19 15 0.16
20∼29 25 0.08
30∼39 35 0.12
40∼49 45 0.10
平均を標準偏差の2倍
下回っているなら
7060
［標準得点］が2点
標準得点が-2点

103. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
標準得点への換算
標準得点＝
分布中のある数値が，
平均を標準偏差の何倍
上回って／下回っているか

104. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
標準得点への換算
標準得点＝
分布中のある数値が，
平均を標準偏差の何倍
上回って／下回っているか
分布そのものを
平均0，標準偏差1に「変換」したら？

105. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
標準得点への換算
標準得点＝
分布中のある数値が，
平均を標準偏差の何倍
上回って／下回っているか
分布そのものを
平均0，標準偏差1に「変換」したら？
その数値の変換後の値が，
そのまま標準得点になる

106. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換
分布中の各数値から，平均を引く
各数値からμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ

107. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換
分布中の各数値から，平均を引く
平均μ
標準偏差σ
各数値からμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ

108. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換
分布中の各数値から，平均を引く
平均μ
標準偏差σ
平均0
標準偏差σ
各数値からμを引く
平均μ0
X
平均0
X – μ

109. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

110. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

111. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

112. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

113. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

114. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

115. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
標準偏差は分散の平方根
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

116. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

117. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
分布の変換（続き）
分布中の各数値から，平均を引いて
標準偏差で割る
平均0
標準偏差σ 各数値を
(1/σ)倍
各数値の偏差は (1/σ)倍
分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍
標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍
平均0
標準偏差1
平均0
X – μ
各数値を
(1 / σ)倍する
X – μ
σ0

118. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
式で書くと
分布そのものをXとすると
Z = (X - μ) / σ
と変換すると，Zは平均0，標準偏差1

119. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
受験産業でいう「偏差値」
平均0，標準偏差1の分布Zを，さらに
W = 10Z + 50
と変換すると，Wは平均50，標準偏差10
これが［偏差値］
偏差値70
平均よりも，標準偏差の2倍
上回っている
偏差値40
平均よりも，標準偏差の1倍
下回っている