3. • Jika sistem dinyatakan berada pada kondisi kesteimbangan berada
pada keadaan dengan untuk semua t
• Sistem dalam keadaan kestimbangan, jika sistem ini linier dan
tidak berubah terhadap waktu.
• Jika f(x,t) = Ax, maka terdapat hanya satu keadaan setimbang pada
saat A adalah nonsingular. Jika A singular maka akan didapat
kondisi kesetimbangan yang tak berhingga.
4. • Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai
Lyapunov. Jika untuk setiap S(ε), ada S(δ), sehingga trayektori
dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan
membesarnya waktu t menuju tak terhingga.
• Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga
bergantung pada t0, maka keadaan kesetimbangan tersebut
disebut stabil uniform.
5. • Jika sebuah bola dengan jari – jari k terhadap kondisi
kesteimbangan
adalah norma Euclidian
• Misalkan S(ε) terdiri atas semua titik, sedemikian hingga :
• Dan bila juga S(ε) teridi dari titik sedemikian hingga :
untuk semua t > t0
.
6. • Metode pertama Lyapunov
Semua metode dimana persamaan differensial dari sistem
diselesaikan dan kestabilan ditentukan dari solusinya.
• Metode kedua Lyapunov
Kestabilan sistem ditentukan tanpa penyelesaian persamaan
differensial, tetapi berdasarkan energi yang tersimpan baik energi
kinetik maupunpotensial
7. Pengertian dasar analisis
1. Sistem stabil : bila energi yang disimpan makin lama makin kecil
sehingga osilasi diredam.
2. Sistem tidak stabil: bila energi yang disimpan makin lama makin
besar sehingga osilasi juga membesar.
3. Fungsi Lyapunov:
• V( x,t) ≥0 untuk t ≥0 atau V(x) ≥0
• V( 0) = 0
• V( 0, t ) = 0 untuk t ≥0
• V(x, t ) →skalar
• V(x,t )- perkalianvariabel
• Kuadrat salah satu variabel
• dV (x,1)/dt = V (x,1)
8. 4. Persamaan sistem : x= f(x, u, t)
x= f (x, u, t) vektor berdimensi n dengan elemen-elemennya
fungsi dari x1,x2, ...xn, u1, u2, ...un, t. Dimana x =turunan x
terhadap t.
Untuks istem linar invarianwaktu:
x1 = a11.x1+ a12.x2+ ...+a1n.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.Um
xn = an1.x1+ an2.x2+...+ann.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.um
dimana a11, a12, ...amn konstanta b11, b12,...bmn
Untuk menganalisa kestabilan : U= 0 →x=f (x,t)=f(x)
9. Sistem dengan dinamika
ẋ=f(x)
dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat satu fungsi
V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi sifat-
sifat berikut ini.
V(x) > 0,
V(x) < 0, dan hanya bernilai nol untuk
x=0
10. Stabil secara Asimptotik, pada saat waktu t menjadi tak berhingga
(menuju kekekalan), maka semua state pada sistem tersebut sudah
menuju ke titik kesetimbangan, dan pada saat itu, gangguan
sebesar apapun akan mengakibatkan pergeseran (lokal) yang pada
akhirnya dengan berjalannya waktu, semua state pada sistem
bergerak kembali menuju kesetimbangan.
11. Stabil secara Asimptotik dapat bersifat lokal ataupun global. Lokal,
bila hanya berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar
titik kesetimbangan (the neighborhood of the equilibrium point).
Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal, semua state akan
bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.
