Dokumen tersebut membahas tentang beberapa uji untuk menentukan konvergensi deret positif, yaitu: uji awal, uji banding, uji nisbah D'Alembert, dan uji integral. Uji awal digunakan untuk mendeteksi deret yang pasti divergen, uji banding membandingkan suku deret dengan deret acuan, uji nisbah D'Alembert menghitung rasio antara dua suku berturut-turut, sedangkan uji integral menghitung integral

1. 1
DERET POSITIF
adalah deret yang semua sukunya terdiri dari
bilangan konstan bertanda positif




1
321 ...
n
nn aaaaa
Beberapa untuk menentukan konvergensi deret
positif:
1.Uji awal
2.Uji banding
3.Uji nisbah D’Alembert
4.Uji integral

2. 2
UJI AWAL:
Uji awal dapat digunakan untuk mendeteksi deret yang sudah pasti divergen.
Misalkan diberikan deret sbb:




1
321 ...
n
nn aaaaa
Untuk menerapkan uji awal, dihitung nilai: n
n
a

lim
Jika:
1). ,maka deret tersebut pasti divergen
2). ,maka deret tersebut mungkin konvergen
0lim 

n
n
a
0lim 

n
n
a
Contoh 1:
1-(1/3)+(1/9)-(1/27)+…, deret konvergen karena sukunya terus menurun
menuju nol.
Contoh 2:
1+3+9+27+…, deret divergen karena sukunya terus bertambah tidak menuju
nol.
Contoh 3:
Deret harmonis: 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+…+(1/n), limitnya:
Deret mungkin konvergen/divergen, perlu uji konvergensi yang lain.
0/1lim 

n
n

3. 3
UJI BANDING:
Deret positif akan konvergen jika setiap suku dalam deret < suku seletak pada
deret positif lain yang konvergen.(UB01)
Deret positif akan divergen jika setiap sukunya > suku seletak pada deret
positif lain yang divergen.(UB02)
Contoh 1:
Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/33)+(1/44)+…+(1/nn)
Diambil deret konvergen lain (deret ukur) sebagai pembanding:
1+(1/22)+(1/23)+(1/24)+…+(1/2n)
Jika dibandingkan suku leletaknya, mulai suku ketiga diperoleh:
(1/33)<(1/23), (1/44)<(1/24), …, jadi: 1/nn<1/2n untuk n=3,4,5,…
Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.
CATATAN:
Deret pembanding: (1/1p)+(1/2p)+(1/3p)+(1/4p)+…+(1/np)
Jika p>1, maka deretnya konvergen
Jika p≤1, maka deretnya divergen

4. 4
Contoh 2:
Ujilah deret berikut ini:
(1/(1.2))+(1/(2.3))+(1/(3.4))+(1/(4.5))+…+(1/(n.(n+1)))+…
Jawab:
Jika digunakan deret pembanding untuk p=2, maka:
(1/12)+(1/22)+(1/32)+(1/42)+…
Dari pembandingan suku seletak diperoleh:
1/(1.2)<1/12, 1/(2.3)<1/22, 1/(3.4)<1/32
Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.
…lanjutan

5. 5
UJI NISBAH D’ALEMBERT:
Untuk menentukan konvergensi/divergensi suatu deret positif:
Caranya sbb (UND):
1.Tentukan suku ke-n dari deret positif tersebut: an
2.Tentukan suku ke-(n+1): an+1
3.Hitung besaran berikut:
Jika:
<1, maka deret konvergen; >1, maka deret divergen
=1, maka deret mungkin divergen, mungkin pula konvergen (uji D’Alembert
tidak dapat digunakan)


1n
na
n
n
n a
a 1
lim 


Contoh 1:
Ujilah deret berikut ini: (1/1)+(3/2)+(5/22)+(7/23))+…=
Jawab: mengacu UND, maka:
Sehingga:
Kesimpulan: karena <1, maka deret KONVERGEN.




0 2
12
n
n
n
nn
n
a
2
12 
 11
2
32


 nn
n
a
2
1
12
2
.
2
32
lim 1



  n
n n
nn


6. 6
UJI INTEGRAL:
Untuk uji konvergensi/divergensi deret positif: dengan uji integral, lebih
dulu dihitung:
Jika:
I bernilai tertentu, maka deret konvergen
I=±∞, maka deret divergen
Contoh 1:
Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…
Jawab:
Bentuk umum suku ke-n: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…+(1/n2)=
maka:
Kesimpulan: karena I=1, maka deret KONVERGEN.


1n
na



1
dnaI n


1
2
/1
n
n




1
1
2
11/1/1|/1/1 ndnnI

7. 7
LATIHAN:
1. Ujilah kedivergenan deret berikut dengan uji awal:
a. 1/3 + 2/5 + 3/7 + …
b. 1+ 1/22 + 1/33 +1/44 + …
c. 1/2 + 2/3 + 3/4 + …
2. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji banding:
a. 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/n.(n+1) + …
b. 1 + 1/2 + 1/ 3 + …
3. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji nisbah d’Alembert:
a. ½ + (1/2).(2/22) + (1/3).(3/23) + …
b. 1 + 1/2! + 1/3! + …
4. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji integral:
a. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
b. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/27 + …

8. 8
5. Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:
a.
b.
c.
d.
e.
…lanjutan


 1
2
9
1
n n


2 ln
1
n nn


0
3
2
3
n
n


0 !n
n
n
e


2
2/3
1
n n