Dokumen tersebut membahas tentang seri solusi persamaan diferensial, polinomial Legendre, fungsi Bessel, dan himpunan fungsi ortogonal. Secara khusus dijelaskan tentang persamaan Legendre, fungsi asosiasi Legendre, persamaan Bessel, fungsi Hermite, dan polinomial Laguerre beserta hubungan rekursinya.

1. TUGAS FISIKA MATEMATIKA II
RESUME
Series Solutions of Differential Equations, Legendre
Polynomials, Bessel Functions, Sets of Orthogonal
Functions∗
Disusun Oleh:
Nama : Syifa Diatmika
NIM : 1403066071
Pendidikan Fisika 2014-B
17 Juni 2016
1 Legendre’s Equation
Berikut adalah persamaan Legendre :
(1 − x2
)y” − 2xy′
+ l(l + 1)y = 0
Polinomial Legendre yaitu :
P0(x) = 1;
P1(x) = x;
P2(x) =
1
2
(3x2
− 1)
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan solusi:
1.1 Rodrigues Equations :
Pl(x) =
1
21l!
dl
dxl
(x2
− 1)l
1.2 Recursion Relations :
lPl(x) = (2l − 1)xPl−1(x) − (l − 1)Pl−2(x);
∗
Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences (Second Edition), United
States : 1983, page. 483-537.
1

2. xP′
l (x) − P′
l−1(x) = lPl(x);
P′
l (x) − xP′
l−1(x) = lPl−1(x);
(1 − x2
)P′
l (x) = lPl−1(x) − lxPl(x);
(2l + 1)Pl(x) = P′
l−1(x) − P′
l−1(x);
(1 − x2
)P′
l−1(x) = lxPl−1(x) − lPl(x).
2 The Associated Legendre Functions
Berikut adalah persamaan fungsi asosiasi Legendre :
(1 − x2
)y′′
− 2xy′
+ [l(l + 1) −
m2
1 − x2
]y = 0; dimana m2
≤ l2
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan solusi:
Pm
l (x) = (1 − x2
)m/2 dm
dxm
Pl(x)
3 Bassel’s Equation
3.1 Bessel Equation
Berikut adalah persamaan Bassel :
x2
y′′
+ xy′
+ (x2
− p2
)y = 0;
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
solusi:
Solusi 1 :
Jp(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
Γ(n + 1)Γ(n + 1 + p)
(
x
2
)
2n+p
Solusi 2 :
Np(x) = Yp(x) =
cos(πp)Jp(x) − J−p(x)
sinπp
Solusi 3 :
Hubungan Rekursi Bessel
d
dx
[xp
Jp(x)] = xp
Jp−1(x);
d
dx
[x−p
Jp(x)] = −x−p
Jp+1(x);
2

3. Jp−1(x) + Jp+1(x) =
2p
x
Jp(x);
Jp−1(x) − Jp+1(x) = 2J′
p(x);
J′
p(x) = −
p
x
Jp(x) + Jp−1(x) =
p
x
Jp(x) − Jp+1(x).
3.2 Differential Equations with Bessel Functions
Berikut adalah persamaan diferensial fungsi Bessel :
(a).
y′′
+
1 − 2a
x
y′
+ [(bcxc−1
)2
+
a2
− p2
c2
x2
]y = 0
Solusinya:
y = xa
Zp(bxc
)
(b).
x(xy′
)′
+ (k2
x2
− p2
)y = 0
Solusinya :
Jp(Kx) dan Np(Kx).
3.3 Other Kinds of Bessel Functions
3.3.1 Hankel Functions or Bessel Functions of the Third Kind
H(1)
p (x) = Jp(x) + iNp(x);
H(2)
p (x) = Jp(x) − iNp(x)
3.3.2 Modified or Hyperbolic Bessel functions
x2
y′′
+ xy′
− (x2
+ p2
)y = 0
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
solusi:
Ip(x) = i−p
Jp(ix);
Kp(x) =
π
2
ip+1
H(1)
p (ix).
3.3.3 The Kelvin Function
y′′
+
1
x
y′
− iy = 0;
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
solusi:
y = Z0(i3/2
x).
3

4. 3.3.4 The Airy Functions
y′′
− xy = 0;
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
solusi:
√
xZ1/3(
2
3
ix3/2
)
4 Hermit’s Function
Berikut adalah persamaan fungsi Hermit :
y′′
n − x2
yn = −(2n + 1)yn; n = 0, 1, 2, 3, ...
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan solusi:
Solusi 1 (Hermite Functions) :
yn = (D − x)n
e−x2/2
;
atau
yn = ex2/2
(dn
/dxn
)e−x2
.
Solusi 2 (Hermite Polynomials) :
Hn(x) = (−1)n
ex2 dn
dxn
e−x2
;
H0(x) = 1;
H1(x) = 2x;
H2(x) = 4x2
− 2;
Solusi 3 (Recursion Relations for the Hermit Polynomial) :
H′
n(x) = 2nHn−1(x);
Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x);
5 Laguerre Functions
5.1 The Laguere Polynomials
Berikut adalah persamaan fungsi Laguerre Polynomial :
xy′′
+ (1 − x)y′
+ ny = 0, y = Ln(x)
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
solusi:
Solusi 1 (Laguerre Polynomials) :
4

5. Ln(x) =
1
n!
ex dn
dxn
(xn
e−x
)
L0(x) = 1
L1(x) = 1 − x
L2(x) = 1 − 2x + x2
/2
Solusi 2 (Recursion Relations of Laguerre) :
(a).
L′
n+1(x) − L′
n(x) = 0;
(b).
(n + 1)Ln+1(x) − (2n + 1 − x)Ln(x) + nLn−1(x) = 0;
(c).
xL′
n(x) − nLn(x) + nLn − 1(x) = 0;
5.2 Associated Laguerre Polynomials
Lk
n(x) = (−1)k dk
dxk
Ln+k(x)
5.3 Differensials Laguerre Equation
Berikut adalah persamaan fungsi diferensial Laguerre :
xy′′
+ (k + 1 − x)y′
+ ny = 0, y = Lk
n(x)
Dari persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
solusi:
Solusi 1 (Rekursi) :
(a).
(n + 1)Lk
n+1(x) − (2n + k + 10x)Lk
n(x) + (n + k)Lk
n − 1(x) = 0;
(b).
x
d
dx
Lk
n(x) + (n + k)Lk
n−1(x) = 0
Solusi 2 :
∫ ∞
0
xk
e−
xLk
n(x)Lk
m(x)dx =
⟨
0, m̸=n
(n+k)!
n!
, m=n
5