4. • Le coniche furono scoperte dal matematico
greco Menecmo (380-320 aC), che le utilizzò
per risolvere il problema della duplicazione del
cubo.
• Tra i grandi matematici greci che si
occuparono delle coniche citiamo Euclide e
Archimede, quest’ultimo per aver calcolato
l’area sottesa da una parabola e da un’ellisse.
5. Gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di
Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, hanno
ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma
cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente.
6. Le due soluzioni di Menecmo
Chiamiamo a il lato iniziale, x il lato finale e y il
numero tale che:
a:x=x:y
Si può dimostrare che a : x = x : y = y : 2a
consideriamo il I e II rapporto: x² = a y
consideriamo il I e III rapporto: x y = 2 a²
consideriamo il II e III rapporto: y² = 2 a x
7. Soluzione 1
Intersecando le due parabole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il lato del
cubo di volume doppio del volume del cubo assegnato.
8. Soluzione 2
Intersecando la parabola e l'iperbole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il
lato del cubo di volume doppio del cubo assegnato.
9. • Apollonio di Perga, nel volume Sezioni coniche
riassunse le conoscenze del tempo, e le estese
notevolmente. La principale innovazione di Apollonio
è stata quella di attribuire alle coniche proprietà
legate al piano. Con questo metodo, è ora possibile
dimostrare che l’intersezione tra un piano qualsiasi e
un cono produrrà una conica secondo la definizione
precedente.
• A Pappo di Alessandria è accreditata la scoperta dei
concetti di fuoco e di direttrice di una conica.
10. • Abū Sahl al-Qūhī inventò
uno strumento in grado
di disegnare le sezioni
coniche.
11. • Giovanni Keplero (1561-1630) dimostrò che le sezioni
coniche sono continue.
• Blaise Pascal (1623-1662) dimostrò il seguente
teorema che porta il suo nome:
Siano A1, A2, A3, A4, A5, A6 sei punti nel piano e siano B1, B2,
B3 i punti comuni, rispettivamente, alle rette A1-A2 e A4-A5, alle
rette A2-A3 e A5-A6, alle rette A3-A4 e A6-A1.
I sei punti iniziali appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre
punti B1, B2, B3 appartengono ad una retta, chiamata retta di
Pascal.
• Renato Cartesio (1596-1650) ridusse i problemi
geometrici legati alle coniche in problemi algebrici.
12. Gottfried von Leibniz teorizzò una teologia
utilizzando la teoria delle coniche.
Riportiamo il video di Gilles Deleuze che
approfondirà questo aspetto dell’argomento.
VIDEO
13.
14. I fuochi sono una coppia di punti
particolari con riferimento ai quali si può
costruire qualsiasi varietà di curve.
Un'ellisse può essere definita come il
luogo dei punti la somma delle cui
distanze dai due fuochi è una costante.
Un cerchio è il caso speciale di un'ellisse
in cui i due fuochi coincidono tra loro.
Una parabola è un caso limite di
un'ellisse in cui uno dei fuochi è un punto
all'infinito.
Un iperbole può essere definita come il
luogo dei punti per ciascuno dei quali il
valore assoluto della differenza tra le
distanze dai due fuochi è una costante.
15. È anche possibile descrivere tutte le sezioni coniche in termini di un singolo
fuoco e una direttrice, che è una retta non contenente il fuoco. Una conica è
definita come il luogo dei punti la cui distanza dal fuoco divisa per la loro
distanza dalla direttrice è una costante positiva, chiamata eccentricità e.
16. L'eccentricità è un parametro numerico che si può associare ad ogni sezione
conica la cui importanza è legata al fatto di caratterizzare le classi di similitudine
di queste curve piane, e può anche essere espressa come il rapporto costante tra
la distanza di un punto della conica dal fuoco e la distanza dello stesso punto
dalla direttrice.
CIRCONFERENZA
ELLISSE
PARABOLA
IPERBOLE
APPLICAZIONE
17. Un vertice è un punto dove la derivata
prima è nulla. In una conica corrisponde
sempre ad un massimo o minimo locale di
curvatura, si può perciò definire un vertice
più specificamente come un punto estremo
di curvatura.
In una circonferenza ogni punto è un
vertice.
In un’ellisse sono presenti quattro vertici, i
due punti opposti più distanti ed i due più
vicini.
In una parabola è presente un solo vertice.
In un’iperbole sono presenti due vertici,
ovvero i due punti d’intersezione con la
retta che congiunge i fuochi.
18. Un asse di simmetria è una linea immaginaria che divide una figura in due
parti, in cui ogni punto di una delle due parti ha un punto simmetrico ed
equidistante dall’asse appartenente all’altra parte.
Un cerchio possiede infiniti assi di simmetria: tutti i suoi diametri.
Un’ellisse possiede due assi di simmetria perpendicolari tra loro, chiamati
asse maggiore (che congiunge i due opposti punti più distanti della curva e
che contiene i fuochi) e asse minore (che congiunge i due punti opposti più
vicini).
Un’iperbole possiede due assi di simmetria perpendicolari tra loro: uno che
congiunge i due vertici e che contiene i fuochi (asse maggiore), e uno
equidistante dai fuochi (asse minore).
Una parabola possiede un solo asse di simmetria che contiene il fuoco e il
vertice.
19. Un centro di simmetria è un punto immaginario tale che ogni punto di una
curva ha un punto simmetrico ed equidistante dal centro appartenente alla
curva.
In un cerchio il centro corrisponde con i due fuochi.
Il centro di un’ellisse o di un’iperbole corrisponde all’intersezione fra gli assi
e al punto medio tra i fuochi.
Una parabola è un caso limite in cui il centro è un punto all'infinito.
20.
21. Una sezione conica (o conica) è una curva ottenuta
come intersezione di un doppio cono con un piano. In
geometria analitica, una conica può essere definita
come una curva piana algebrica di grado 2.
46. In natura, approssimazioni di parabole si trovano in
molte situazioni diverse. Il più noto della parabola nella
storia della fisica è la traiettoria di una particella o
corpo in movimento sotto l'influenza di un campo
gravitazionale uniforme senza resistenza dell'aria.
La traiettoria parabolica dei proietti è stata scoperta
sperimentalmente (e in seguito matematicamente) da
Galileo nel primi del ‘700, che ha eseguito esperimenti
con sfere che rotolano su piani inclinati. Per gli oggetti
estesi nello spazio la traiettoria del centro di massa
dell'oggetto costituisce una parabola.
47. Approssimazioni di parabole trovano anche nella forma
dei cavi principali su un ponte sospeso semplice. I cavi
che sostengono il ponte sono puramente in tensione,
senza dover trasportare altre forze. Analogamente, le
strutture di archi parabolici sono puramente in
compressione.
48. Il riflettore parabolico è uno specchio riflettente che
concentra la luce o altre radiazioni elettromagnetiche in un
punto focale comune, o viceversa, collima la luce da una
sorgente puntiforme al fuoco in un fascio parallelo. Il
principio del riflettore parabolico è stato scoperto nel 3°
secolo aC da Archimede, il quale, secondo una leggenda,
avrebbe costruito specchi parabolici per difendere Siracusa
dalla flotta romana, concentrando i raggi del sole per
appiccare il fuoco ai ponti delle navi romane. Il principio è
stato applicato ai telescopi nel 17 ° secolo. Oggi, riflettori
paraboloidi sono utilizzati nel forno a microonde e
nell’antenna parabolica di ricezione e trasmissione.
49. La parabola è utilizzata anche in architettura. Per
esempio, lo Studio Ovale della Casa Bianca è formato
essenzialmente da due Parabole una di fronte all'altra.
Due persone, ciascuna in piedi in uno dei punti focali a
21 metri di distanza l’uno dall’altro, possono sussurrare
segretamente l'un l'altro, nonostante presenza di altre
persone.
50. La forza centrifuga che spinge un liquido confinato in
un contenitore che ruota intorno all'asse centrale verso
le pareti del contenitore, forma una superficie
parabolica. Questo è il principio alla base del telescopio
a specchio liquido.
Gli aeromobili utilizzati per creare uno stato di assenza
di peso per scopi di sperimentazione seguono una
traiettoria parabolica per brevi periodi, al fine di
seguire il percorso di un oggetto in caduta libera, che
produce lo stesso effetto di gravità zero.
Le curve stradali sono in genere di forma parabolica.
51. In un dato giorno, i raggi del sole colpiscono la
meridiana con un cono di luce. L'intersezione di questo
cono con il piano orizzontale del terreno forma una
sezione conica. Nella maggior parte delle latitudini
popolate, questa sezione conica è un'iperbole. In
termini pratici, l'ombra di un palo traccia un’iperbole a
terra nel corso di un giorno. La raccolta di tali iperboli
per un intero anno in un determinato luogo è stato
chiamato pelekinon dai Greci, in quanto assomiglia a
un’ascia a doppia lama.
52. Un’iperbole è la base per risolvere problemi di
trilaterazione, ovvero individuare la differenza nei
tempi di arrivo dei segnali sincronizzati tra il punto ed i
punti dati. Tali problemi sono importanti in navigazione:
un veicolo è in grado di individuare la propria posizione
dalla differenza nei tempi di arrivo dei segnali GPS.
53. Se una sorgente luminosa viene posta in un fuoco di
uno specchio ellittico, tutti i raggi di luce sul piano
dell'ellisse si riflettono al secondo fuoco.
Uno specchio cilindrico con sezione ellittica può essere
utilizzato per focalizzare la luce di una lampada
fluorescente lineare lungo una linea della carta; tali
specchi sono utilizzati in alcuni scanner di documenti.
Le onde sonore si riflettono in modo simile: in una
grande sala ellittica una persona in piedi in un fuoco
può sentire una persona in piedi nell’altro fuoco molto
bene. Tale camera si chiama una camera di sussurro.
54. La soluzione generale per un oscillatore armonico in
due o più dimensioni è un ellisse. È il caso, per
esempio, di un pendolo lungo libero di muoversi in due
dimensioni, di una massa attaccata ad un punto fisso
ad una molla perfettamente elastica, o di qualsiasi
oggetto che si muove sotto l'influenza di una forza di
attrazione che è direttamente proporzionale alla sua
distanza da un attrattore fisso. Diversamente dalle
orbite kepleriane, queste "orbite armoniche" hanno il
centro di attrazione nel centro geometrico dell'ellisse, e
hanno equazioni di moto abbastanza semplici.
