1. Riflessione focale nella parabola
Gianmarco Bramanti
11 aprile 2013
1 La geometria della riflessione da un paraboloide
In questo paragrafo dimostriamo due propriet`a che riguardano la riflessione di onde piane
da una superficie paraboloide ottenuta come rivoluzione della superficie di una parabola
intorno al suo asse, la prima propriet`a `e che i raggi paralleli all’asse convergono tutti nel
fuoco della sezione parabolica, la seconda `e che le onde riflesse pervengono in fase nel fuo-
co. Ricordiamo come questa semplice propriet`a geometrica rende le parabole dei preziosi
strumenti di amplificazione nella ricezione di segnali direzionalmente stabili (mostreremo
nel sottoparagrafo dedicato alle caustiche l’importanza della direzionalit`a). Consideria-
mo a questo scopo la seguente figura:
per costruire questa figura ho anzitutto tracciato una parabola di equazione (x − 1)2 +
y2 = (y + 1)2 che corrisponde alla definizione sintetica della parabola di fuoco A = (0, 1)
e direttrice x = −1 ovvero l’equazione esprime la semplice condizione che la parabola in
questione `e il luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice. Ho poi tracciato
dei segmenti equidistanti lungo le rette di equazioni y = 1,y = 2,... LG,MH,... che
rappresentano i fronti d’onda incidenti, ho quindi tracciato le rette verticali, che rap-
presentano i raggi ortogonali ai fronti d’onda, per i punti L,M,... ed ho ancora indicato
i punti di intersezione di queste rette con la retta direttrice indicandoli con L1, M1,....
Dimostriamo in primo luogo che le semirette uscenti da G,H,.. e per il fuoco, che con-
tengono i segmenti GA,HA, etc... indicano la direzione ed il verso di propagazione dei
raggi riflessi, dove i raggi incidenti corrispondenti sono le semirette parallele all’asse y
per i medesimi punti G,H,... allo scopo basta ricordare la propriet`a che la retta tangente
ad una parabola in un punto `e la bisettrice fra il segmento che congiunge il punto al
fuoco e la retta parallela all’asse della parabola. Il tutto `e illustrato in dettaglio nella
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2. seguente figura: Per la propriet`a test´e ri-
cordata risultano uguali gli angoli A ˆBE ed E ˆBC e conseguentemente gli angoli F ˆBD
ed F ˆBA ma poich´e la retta f per B ed F `e la retta ortogonale alla superficie riflettente,
allora per la legge di Snell la retta b e la semiretta g, che contengono i segmenti FD ed
FA rappresentano rispettivamente il raggio incidente ed il raggio riflesso dalla parabo-
la. Torniamo adesso a considerare la figura iniziale: consideriamo i cammini ottici dai
punti I2, J2, H2, K2 del fronte d’onda h (passante per i punti Q ed R) al fuoco A e
notiamo che poich´e AI=II1, AJ = JJ1, etc... allora i cammini ottici in considerazione
sono rispettivamente pari alle lunghezze dei segmenti: I1I2,J1J2, ... che sono segmenti
congruenti fra loro. Per questa ragione la fase con cui i punti della sezione QR del fronte
d’onda h perverranno, in un tempo successivo, al punto A risulta eguale per tutti i punti
di provenienza, in altri termini i ’fotoni passanti’ (ricordo che il concetto di fotone come
corpuscolo vettore della luce `e un’astrazione del tutto valida nei limiti di applicabilit`a
dell’ottica geometrica che stiamo considerando in questa sede) per i punti del fronte
d’onda h perverrano nel punto A simultaneamente. Consideriamo adesso la parte del
fronte d’onda h esterno alla parabola: prolungamento ideale della porzione QR, se la
parabola fosse stata trasparente questo rappresenterebbe effettivamente lo stato attuale
del fronte d’onda, inizialmente rettilineo a distanza infinita, ma siccome la parabola non
`e trasparente i fotoni che lo traccerebbero sono stati gi`a riflessi dalla parabola ad un
tempo precedente, possiamo chiederci quale sia il fronte d’onda reale corrispondente ai
raggi gi`a riflessi. E’ facile riconoscere che questa immagine `e null’altro che il segmento
d’arco circolare QZR di centro A. Ovvero il fronte d’onda che ad un tempo infinitamente
remoto corrispondeva con una retta infinitamente lontana, in direzione delle y positive,
parallela all’asse x si `e propagato fino al tempo attuale assumendo la forma QRZQ. Ana-
logamente i punti S,T,U,W,W1 rappresentano le immagini dei punti H,I,J,K,R toccate
dal fronte d’onda in tempi precedenti equi-intervallati come sono equispaziati i fronti
h,g,f,e,d ed i corrispondenti prolungamenti circolari passanti di centro A passanti per i
punti H,I,J,K,R.
1.1 Caso di raggi non paralleli all’asse del paraboloide: costruendo una catacaustica
per comprendere quanto speciale sia il caso della parabola e dell’incidenza normale `e
istruttivo considerare una situazione pi`u generale. Consideremo ad esempio il caso in
cui la direzione di provenienza dei raggi non `e parallela all’asse del paraboloide. Con-
sidero nella fattispecie la riflessione dei raggi lungo una sezione piana passante per il
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3. vertice del paraboloide e che contiene altres`ı la direzione dei raggi luminosi e l’asse del
paraboloide, tratter`o questa situazione come caso particolare della seguente situazione
pi`u generale: mi chiedo quale sia il punto a cui tende il punto di intersezione dei raggi
riflessi da due punti vicini, di una curva pensata come traccia di una superficie riflettente
cilindrica, quando i due punti tendono a coincidere. La costruzione che risponde a questa
domanda `e data dall’inviluppo delle rette riflesse. Sia dunque R = r(s) una curva di
vettore tangente: ˆt(s) = v(s)
v(s) dove v(s) = r (s) consideriamo che nel punto di coordinata
curvilinea s incida un raggio la cui direzione sia data dal versore ˆi, la direzione del raggio
riflesso sar`a data dal versore ˆρ(s) = 2(ˆi · ˆt)ˆt −ˆi se indichiamo con ˆρ = (xρ, y(ρ)) la retta
riflessa ha equazione f(x, y, s) = −yρ(s)(x − x(s)) + xρ(s)(y − y(s)) = 0 e per trovare
la curva di inviluppo di questi raggi basta considerare i punti delle stesse rette che ve-
rificano simultaneamente l’equazione ∂f(x,y,s)
∂s = 0 eliminando il parametro s si ottiene
l’equazione detta equazione catacaustica (dalla parola greca kat´a - contro e caustica)
cata- `e qui un prefisso che specifica che la caustica `e associata alla riflessione (per distin-
guerla ad esempio dalla caustica di rifrazione inviluppo di raggi rifratti). Applichiamo
questo schema dapprima alla parabola nel caso appena studiato. Abbiamo in primo
luogo: ˆi) = (0, −1), ˆt = (1, 2s), da cui:
ˆρ(s) =
−4s
√
1 + 4s2
(1, 2s)
√
1 + 4s2
− (0, −1) =
−4s
1 + 4s2
,
1 − 4s2
1 + 4s2
(1)
Otteniamo allora il sistema di inviluppo:
(4s2 − 1)(x − s) − 4s(y − s2) = 0
8s(x − s) − (4s2 − 1) − 4(y − s2) + 8s2 = 0
risulta facilmente:
(4s2 − 1)x/s + 4y = 0
8sx − 4y = 1
e sommando risulta x = 0 e quindi y = 1/4 che `e appunto il caso della parabola. Ri-
sulta che per una direzione di incidenza differente il sistema ha soluzioni che dipendono
da s. Un esempio costruito in modo particolarmente semplice con Geogebra `e raffigurato
dalla seguente figura: il vettore indica la direzione di
provenienza dei raggi incidenti mentre le rette sono le direzioni dei raggi riflessi (non si
considerano le riflessioni multiple). Dal punto di vista fisico le catacaustiche sono ben
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4. visualizzabili per esempio sul fondo di una tazza si osserva talvolta una figura che `e
reminiscente della ipo-cicloide tracciata dalla rotazione di una circonferenza di diametro
pari a met`a del raggio della superficie riflettente (si dimostra infatti che questa ipocicloi-
de `e la catacaustica della circonferenza esterna, vedi ad esempio Hilbert-Cohn Vossen,
’Geometria intuitiva’ Bollati Boringhieri prima edizione collana gli Archi, pagina 363) va
osservato che in generale data una superficie al variare della direzione dei raggi incidenti
i punti di convergenza esplorano un intero intervallo del raggio riflesso. In conclusione
abbiamo dimostrato che in generale ogni piccolissima porzione di curva produce un suo
specifico fuoco quando illuminata da una certa direzione, ma questo fuoco differisce ge-
neralmente da quello di altre porzioni di curva; nel caso della parabola illuminata da
raggi paralleli al suo asse, invece, il fuoco `e esattamente identico per tutte le diverse
porzioni di curva. Nel caso generale di una superficie riflettente non `e generalmente vero
che i raggi riflessi da punti diversi si intersecano, questo succede solamente per i raggi
riflessi da punti schierati lungo due linee mutuamente ortogonali, altrimenti in generale
ha senso considerare solamente il punto di minima distanza fra i raggi riflessi, questi
punti di distribuiscono fra le due superfici (associate ai punti di effettiva incidenza fra
raggi riflessi) che si chiamano superfici focali.
2 La geometria della riflessione da un ellissoide
Profondi tratti di analogia con la situazione del paraboloide presenta la situazione dell’el-
lissoide, illustrata dalla figura seguente: in questo caso i raggi che
vanno dal fuoco ad un punto e da questo al secondo fuoco possono sempre essere pensati
come raggio incidente e riflesso, ed il motivo geometrico sta nella propriet`a della retta
tangente l’ellisse in un punto di bisecare l’angolo fra le rette uscenti dal punto per i due
fuochi, analogamente il cammino ottico `e una costante pari alla somma delle costante
delle distanze dei punti dell’ellisse dai fuochi. Il caso della parabola pu`o essere pensato
come caso limite dell’ellisse, tuttavia una propriet`a consimile pu`o essere illustrata anche
nel caso delle iperboli. I fronti d’onda uscenti da un fuoco dopo la riflessione appaiono
come fronti d’onda uscenti dall’altro fuoco. (notare che nel caso delle ellissi esiste invece
un intervallo di tempo dopo la riflessione, in cui i fronti sono convergenti nell’altro fuoco
e divergono da esso dopo averlo raggiunto) ma nel caso dei raggi riflessi da iperboli i
fuochi sono virtuali e non reali e quindi i raggi riflessi non raggiungono il secondo fuoco.
Naturalmente anche nel caso dell’ellisse e delle iperboli i raggi uscenti da punti diversi
dal fuoco non convergono in un solo punto, ma danno luogo ad una linea di punti pi`u
luminosi (o pi`u caldi si la luce traporta energia) detta caustica di riflessione associata alla
superficie ed al punto. Molte caustiche di riflessione sono state studiate dal matematico
Tschirnaus.
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5. 3 Propriet`a speciali dei fuochi da un punto di vista geometrico diffe-
renziale
E’ un teorema generale dell’ottica geometrica che la linea spezzata che rappresenta i rag-
gi che congiungono due punti passando per tutti i punti di riflessione verifica propriet`a
geodetiche, cio`e la sua lunghezza `e stazionaria nel senso che per una piccola variazione
dei vertici della spezzata rispetto ai punti di riflessione la lunghezza del cammino in
generale risulter`a crescente, decrescente o costante, questa circostanza, che pu`o essere
dimostrata a partire dal principio di Fermat (la luce segue cammini di tempo minimo
fra due punti) riceve piena luce nel contesto dell’ottica fisica: dal momento che i raggi
luminosi possono essere pensati come le traiettorie di gruppi d’onde coerenti e rappresen-
tano il luogo delle fasi stazionarie in accordo al principio generale di Feynman secondo
cui le particelle elementari seguono, nel limite classico, quelle traiettorie che corrispon-
dono al luogo delle interferenze coerenti (costruttive) della fase lungo tutti i possibili
cammini fra due punti. Nella geometria differenziale i punti per cui passano infinite
geodetiche di uguale lunghezza sono punti speciali, per esempio nella sfera sono tali i
punti diametralmente opposti. Coppie di punti di tal fatta, in geometria differenziale,
prendono il nome di coppie di punti coniugati. In generale, a meno che la variet`a non
sia particolarmente simmetrica le coppie di punti coniugati di una variet`a sono piuttosto
unici che rari, questo dell’ellisse `e infatti il caso. Questa particolare definizione della
geometria differenziale nasce proprio dall’ottica geometrica in questa disciplina, infat-
ti, si defiscono punti coniugati quelle coppie di punti tali che tutti i raggi uscenti da
un punto hanno immagine nell’altro nei limiti di validit`a dell’ottica gaussiana. L’ottica
gaussiana `e un’ottima approssimazione di quello che succede nel caso di lenti sottili,
ovvero di lenti che sono formate da piccole porzioni (rispetto al raggio di curvatura)
di superfici diottriche. In generale non appena si considerano lenti reali ed occorrono
spessori importanti le aberrazioni ottiche associate alla dipendenza del fuoco e quindi
del punto coniugato dal punto della superficie diventano significative ed i fuochi vengono
nuovamente sostituiti da caustiche, e le immagini anzich´e punti risultano costituite da
regioni spaziali di massima intensit`a.
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