3. “Se una coppia di conigli mette al
mondo ogni mese una coppia di piccoli,
che dopo due mesi producono a loro
volta una nuova coppia di conigli,
quante coppie di conigli avremo dopo
un anno, se tutti rimangono in vita?”
Leonardo Pisano, Liber Abbaci, 1202
4. Nel 1202 apparve ad opera di Leonardo Pisano
un libro assai importante, dal titolo Liber Abbaci,
vale a dire il libro dell’abaco, cioè un manuale
per “far di conto”, un capolavoro nel campo
della letteratura matematica che ebbe molta
influenza nello sviluppo delle scienze
matematiche in Europa.
La particolarità del libro sta nel fatto che per
risolvere molti problemi della vita quotidiana si
ricorre allo strumento dell’algebra.
Fra gli altri viene proposto il problema delle
coppie dei conigli.
Il Liber Abbaci (1202)
8. Tra i numeri della succesione di Fibonacci esiste
una relazione per cui ogni termine successivo è
uguale alla somma dei due immediatamente
precedenti.
1+1 = 2 5+8 = 13 34+55 = 89
1+2 = 3 8+13 = 21 55+89 = 144
2+3 = 5 13+21 = 34 89+144 = 233
3+5 = 8 21+34 = 55 144 +233 = 377
Prima relazione nella successione
9. Più importante dal nostro punto di vista è il fatto
che il rapporto tra due termini successivi si
avvicina molto rapidamente a 1,618 e 0,618
ƒn / ƒn-1 = 0,618 ƒn / ƒn+1 = 1,618
1:1 = 1,000 1:1 = 1,000
1:2 = 0,500 2:1 = 2,000
2:3 = 0,667 3:2 = 1,500
3:5 = 0,600 5:3 = 1,666
5:8 = 0,625 8:5 = 1,600
8:13 = 0,615 13:8 = 1,625
13:21 = 0,619 21:13 = 1,615
21:34 = 0,618 34:21 = 1,619
Seconda relazione nella successione
11. Un aspetto interessante della progressione
analizzata precedentemente è che non
importa da quali numeri si comincia a contare.
Si possono prendere qualsiasi due numeri
(esempio, 4 e 123) e ritrovare le medesime
relazioni. I numeri di Fibonacci sono quelli (tra i
numeri interi) che più rapidamente tendono alla
Sezione Aurea.
ƒn = ƒn-1 + ƒn-2 ƒn / ƒn-1 = 1,618
4+123 = 127 123:4 = 30,750
123+127 = 250 127:123 = 1,032
127+250 = 377 250:127 = 1,968
250+377 = 627 377: 250 = 1,508
377+627 = 1004 627:377 = 1,663
1004+627 = 1631 1004:627 = 1,601
Peculiarità
12. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
….
Fibonacci: proprietà della Sequenza
13. 1,618 (o 0,618) è conosciuto come GOLDEN RATIO
1) ƒn = ƒn-1 + ƒn-2
2) ƒn / ƒn-1 = 1,618 e ƒn / ƒn+1 = 0,618
3) ƒn / ƒn-2 = 2,618 e ƒn / ƒn+2 = 0,382
4) ƒn / ƒn-3 = 4,236 e ƒn / ƒn+3 = 0,236
XY = 0,618 • XZ
X Y Z XZ / XY = XY / YZ = 1,618
Fibonacci: proprietà della Sequenza
14. Altre Curiosità
(0,618 x 0,618) = (1 - 0,618) = (0,618 / 1,618) = 0,382
(0.618 x 0,382) = (0,618 - 0,382) = (0,382 / 0,618) = 0,236
Fibonacci: proprietà della Sequenza
15. A M B
| 1-x | x |
Il segmento AB viene diviso dal punto M in modo tale che il rapporto tra le
due parti, la più piccola con la più grande (AM e MB), è uguale al rapporto
della parte più grande (MB) con tutto AB.
Se AB è di lunghezza 1, e chiamiamo x la lunghezza del segmento AB, allora
la definizione sopra fornita dà luogo alla seguente equazione:
1 - x = x , e cioè 1-x = x2
x 1
16. L’equazione precedente ha due soluzioni per x,
(-1-5)/2 and (5-1)/2.
La prima è negativa, per cui non soddisfa le
condizioni del problema. La seconda
rappresenta proprio il rapporto di sezione
aurea ed è un numero irrazionale
corrispondente a circa 0,618.
Il reciproco di x (1/x) viene indicato con Ø e
corrisponde a 1+x, cioè circa 1,618. Molto
spesso questo rapporto viene indicato come
rapporto aureo e viene utilizzato nella
costruzione del rettangolo aureo.
La costruzione della sezione aure suggerisce la
possibilità di realizzare un processo di crescita in
cui si conservano costantemente i rapporti,
cioè la crescita dà luogo ad organismi che
rimangono sempre simili a se stessi.
18. Pare che questi rapporti fossero noti fin dai
tempi degli egizi, in quanto si ritrovano come
particolari rapporti armonici nello studio delle
dimensioni della piramide di Cheope.
La piramide di Keope
20. Nell’Arco di Trionfo di Costantino a Roma
l’altezza dell’arco divide l’altezza totale
secondo la sezione aurea, mentre i due archi
più piccoli giocano lo stesso ruolo nella
distanza fra la base e il listello inferiore.
L’arco di Costantino
21. In un'anfora greca (IV-III secolo a.C.) il diametro
maggiore sta al diamentro del collo come
1:0,618; il listello all'altezza dei manici divide
l'altezza totale in una proporzione aurea, che si
riduce anche nel rapporto tra la fascia
decorata a figure e la parte superiore del vaso.
Esistono molti esempi di questo genere,
appartenenti non solo al patrimonio
archeologico della Grecia e dell'impero
romano, ma anche dell'Egitto, della Persia e
dell'India.
Anfora Greca
23. Un altro approccio con la Sezione Aurea può
essere offerto dallo studio della Spirale
Logaritmica. La caratteristica della spirale
logaritmica è che la crescita del raggio per unità
angolare è proporzionale al raggio stesso,
cosicchè la distanza tra le volute aumenta
continuamente.
La spirale logaritmica
24. Per ottenere la "spirale aurea", si disegna una serie
di rettangoli aurei decrescenti uno dentro l'altro,
sezionando ogni rettangolo in un quadrato (avente
come lato il lato minore del rettangolo) e nel
rettangolo aureo rimanente.
Tracciando un arco di circonferenza in ogni
quadrato(di raggio uguale al lato del quadrato)
ed unendo tali archi otterremo una curva che si
avvicina alla "spirale logaritmica" (l'equazione
precisa della spirale aurea comprende il numero
aureo come fattore).
La spirale aurea
28. Il nautilus è un mollusco di grandi dimensioni la
cui peculiarità principale è che il suo guscio, in
sezione, rappresenta una perfetta spirale
logaritmica avvolta su uno stesso piano.
Per la sua perfezione ha da sempre destato
curiosità ed ammirazione negli scienziati che ne
hanno studiato a fondo la storia evolutiva ed i
segreti che la sua incredibile bellezza celavano.
La spirale e il Nautilus
29. Oltre al nautilus, parecchie varietà di
comuni organismi marini, dal plancton alle
lumache, presentano spirali auree nelle loro
fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie.
La parte inferiore delle onde del mare forma
delle spirali auree, inducendo i costruttori
navali a dare la stessa forma alle ancore.
Anche la maggior parte delle corna, delle
zanne, dei becchi e degli artigli si
avvicinano alla spirale aurea, così come
fanno le braccia a spirale della Via Lattea e
di molte altre galassie. La spirale aurea
compare nella coda delle comete e perfino
nella rete di alcuni ragni.
La spirale logaritmica in natura
31. Se osserviamo il regno dei vegetali, ci
colpisce la regolarità delle loro forme e
l’infinita loro varietà.
Von Ettingshausen e Prokorni, hanno
trasferito il metodo di Fibonacci in botanica.
Questi scienziati sono arrivati alla
conclusione che, poiché la crescita delle
piante avviene mediante divisione delle
cellule, le dimensioni fondamentali delle
piante delle diverse età, negli stessi periodi
dell'anno, devono per forza presentarsi
come la serie di Fibonacci.
La sezione Aurea in botanica
32. In effetti, se misuriamo lo stelo di una pianta
da un germoglio all'altro (figura a sinistra),
allora troviamo il rapporto AB:BC:CD:DE,
ossia la serie di Fibonacci.
Ma questa regola vale a quanto pare non
solo per la crescita di un germoglio della
pianta, bensì per l'intera ramificazione.
La sezione Aurea in botanica
33. Anche la lunghezza e la larghezza della
foglia di rosa, come si vede dall'immagine a
sinistra, sono in rapporto aureo
La sezione Aurea in botanica
35. Fin dall'antichità gli studiosi hanno cercato
di ricondurre la bellezza e la perfezione della
natura a rapporti armonici.
Servendosi di riga e compasso, i geometri
greci erano in grado di dividere una linea in
due segmenti, in modo che il rapporto fra il
segmento più lungo e quello più corto fosse
identico al rapporto fra l'intera linea e il
segmento più lungo.
36. Queste regole matematiche sono
riscontrabili fin dall'antichità in tutte le
discipline artistiche, anche i vasi e le statue
raffiguranti esseri umani erano costruiti
secondo la proporzione divina.
Nelle statue dell'antica Grecia, ad
esempio, l'ombelico divideva l'altezza del
corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento
superiore veniva diviso all'altezza del collo in
altri due segmenti dello stesso genere. Gli
occhi, infine, dividevano in maniera
analoga la testa.
37. A partire dal Rinascimento anche la
tradizione europea delle belle arti ha fatto
frequente e deliberato uso della
proporzione divina nella forma delle tele,
nelle dimensioni delle figure e in altri
particolari.
Anche i compositori se ne sono serviti nelle
loro partiture musicali. In questo caso, il
tempo sostituisce lo spazio come
dimensione da dividere. L'uso musicale della
proporzione divina non fu intenzionale fino al
Novecento: questo convalida l'idea che la
proporzione è naturalmente piacevole.
38. Nell'Ottocento si scoprì che un'elevata
percentuale di comuni oggetti rettangolari
(le carte da gioco, le finestre, le copertine
dei libri, le cartelle) si avvicinavano ai
rettangoli aurei.
Da allora i disegnatori commerciali ed i
grafici pubblicitari si sono serviti volutamente
delle dimensioni auree per disegnare
involucri, vetrine e manifesti.
39. La spirale logaritmica
e il corpo umano
ALESSANDRO IMPERATORI | PISA | 21-22 giugno 2001
41. Qui sotto vengono riportate le proporzioni
dell'indice della mano che evidenziano le
relazioni tra gli elementi della sua struttura
ossea (2, 3, 5 ,8 sono numeri di Fibonacci)
La spirale logaritmica e il corpo umano
42. La scienza delle dimensioni ideali dell’uomo
era gia’ nota agli scultori della Grecia e
della Roma antica.
Leonardo Da Vinci indicava la regola che
l’uomo, se in piedi con gambe chiuse e
braccia distese in orizzontale, può essere
inscritto in un cerchio il cui centro cade sulle
parte genitali.
La Lunghezza totale del corpo viene dalla
vita tagliata in due segmenti di cui il piu’
lungo e’ una sezione aurea.
La spirale logaritmica e il corpo umano
43. Lo scultore greco Policleto (ca. 420 a.C.)
affermava che nell'uomo perfetto la
lunghezza complessiva del corpo viene
divisa dai fianchi secondo la sezione aurea.
La distanza tra i genitali e la laringe viene
tagliata dall'ombelico in un rapporto aureo,
mentre quella tra la testa e l'ombelico è
analogamente tagliata dalla laringe.
La spirale logaritmica e il corpo umano
44. Nel grafico a sinistra si può osservare come si
ottiene, tramite la sequenza aurea, la spirale
senza punto di partenza, e come,
sovrapponendo quest'ultima al disegno di
Leonardo - dividendo così perfettamente il
corpo a metà la spirale vada ad intersecare
la gamba ed il braccio contenuti nella sfera;
ed il rettangolo si allinei ai piedi,
all'ombelico, alla testa ed al braccio
contenuti nel quadrato.
La spirale logaritmica e il corpo umano
45. Per quanto riguarda il capo, la fronte divide
l’altezza totale (ab nell’illustrazione a sinistra)
determinando la sezione aurea (ac).
La fronte (cd), il naso (ce) e la parte inferiore
del viso (cf) sono della stessa lunghezza.
La bocca divide la parte inferiore del viso
determinando a sua volta una sezione
aurea.
La spirale logaritmica e il corpo umano
48. L’analisi tecnica si concentra sullo studio del
comportamento del mercato attraverso
l’esame delle serie storiche dei prezzi e dei
volumi non solo da un punto di vista grafico,
ma anche con l’ utilizzo di indicatori, espressi
da elaborazioni sui medesimi dati, che
evidenziano talune particolarità
dell’andamento rilevando i momenti più
opportuni per l’intervento sui mercati.
Cosa è l’Analisi Tecnica
51. I prezzi non si muovono in linea retta ma
attraverso una serie successiva di massimi e
minimi. I prezzi tendono a ritracciare una
certa percentuale del movimento
precedente prima di riprendere la tendenza
originaria.
Questi movimenti di prezzo controtendenza
tendono a rispettare certi parametri
percentuali ben definiti riconducibili ai valori
di Fibonacci.
Rintracciamenti
53. Molto spesso una correzione ritraccia il
movimento precedente secondo una
percentuale di Fibonacci: 23,6%, 38,2%, 50%,
61,8% e 76,4%.
50% è anch’esso un rapporto di Fibonacci
ottenuto dividendo 1 per 2
0%
38,2%
50%
61,8%
100%
Rintracciamenti
54. Le percentuali di reazione al movimento
principale non sono caratterizzate dalla
medesima significatività.
I ritracciamenti più importanti sono il 50% di
un dato movimento, mentre un livello
minimo è 38,2%. La rottura del 61,8% segnala
un potenziale trend reversal.
38,2 % Minimo
50% Tipico
61,8% Trend Reversal
Percentuali di Rintracciamento
58. Con la stesso principio applicato per i
Ritracciamenti possono essere disegnate le
0%
FAN LINES. Queste sono dei livelli di resistenza
o supporto dinamici che, per il fatto di
essere inclinati, cambiano progressivamente
di valore con il passare del tempo.
Il fattore tempo, che non è considerato dai
Ritracciamenti, viene ora introdotto dalle
FAN LINES che sono una combinazione di
PREZZO e TEMPO
50%
38 61,8%
,2
%
100%
Fan Lines
62. Gli Archi di Fibonacci utilizzano le
percentuali dei ritracciamenti in modo simile
a quello considerato per le Fan Lines.
I livelli dinamici di reazione al movimento
principale sono rappresentati da tre Archi
(38,2%, 50% e 61,8%) che identificano sia dei
livelli di PREZZO che di TEMPO dove supporti
o resistenze dovrebbero entrare in funzione.
Archi di Fibonacci
63. Caterpillar (46.31, 47.88, 46.00, 46.00) 62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
61,8%
46
45
44
43
50%
42
41
40
39
38
70000
38,2%
60000
50000
40000
30000
20000
10000
1998 February March April May June July August September October November December 1999
Archi di Fibonacci
65. La sezione Aurea può anche essere
applicata alla DIMENSIONE TEMPORALE per
prevedere quando un trend in essere
potrebbe cambiare direzione.
Un ciclo puo essere definito come il periodo
che separa dei massimi e/o dei minimi
rilevanti in un grafico. Se proiettiamo tale
periodo in avanti moltiplicandolo per i valori
di Fibonacci (0,618, 1, 1,618 e 2,618)
potremo trovare degli obbiettivi temporali
dove dovrebbero verificarsi altrettanti
massimi e/o minimi rilevanti.
Cicli di Fibonacci
66. Ciclo di 61
mesi
61,8%
100%
161,8%
261,8%
Cicli di Fibonacci
67. Ciclo di 59
giorni
61,8%
100%
161,8%
261,8%
Cicli di Fibonacci
