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1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: PLANA DE ÁLGEBRA

2. DESIGUALDADES
E INTERVALOS
Semana 15

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Desigualdades e
Intervalos
Las desigualdades se usan todo el tiempo en el mundo
que nos rodea sólo debemos saber dónde buscar
Piensa en las siguientes situaciones: Límites de velocidad
en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas de crédito,
el número de mensajes de texto que puedes enviar desde
tu celular cada mes, el tiempo que te toma llegar a la
escuela
Situación Desigualdad Matemática
Límite de
velocidad
Velocidad legal en la autopista ≤ 90 kilómetros por hora
Tiempo de viaje Tiempo necesario para caminar hasta la escuela l ≥ 18
minutos
Mensajes de
texto
Número de mensajes permitido al mes ≤ 250

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
Realizar operaciones con
intervalos.
Aplicar las propiedades en
las desigualdades.
Entender la definición de un
intervalo y sus gráficos.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
DESIGUALDAD
Es la comparación entre dos cantidades reales por medio de los signos >, <, ≥, ≤.
5 > 3
Ejemplos:
6 < 9
7 ≥ 4
5 mayor que 3
6 menor que 9
𝑎 < 𝑏 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒: 𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏
se lee
−3 < 4 −3 menor que 4
se lee
𝑎 > 𝑏 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒: 𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏
Ejemplos:
se lee
9 > 4 9 mayor que 4
se lee
Definición: 𝑎 ≥ 𝑏 ↔ 𝑎 > 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏
↔ 7 > 4 ∨ 7 = 4
V ∨ F = V
1 ≤ 1
2 ≤ 8
Definición: 𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏
↔ 2 < 8 ∨ 2 = 8
V ∨ F = V
↔ 1 < 1 ∨ 1 = 1
F ∨ V = V
5 ≥ 5 ↔ 5 > 5 ∨ 5 = 5
F ∨ V = V
Definición:

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
LEY DE TRICOTOMÍA Para cualquier número real 𝑎, cumple solo una de las siguientes relaciones.
𝑎 < 0 𝑎 = 0 𝑎 > 0
∨ ∨
Número negativo
𝑎 es negativo ↔ 𝑎 < 0
Número neutro
𝑎 es neutro ↔ 𝑎 = 0
Número positivo
𝑎 es positivo ↔ 𝑎 > 0
Ejemplos Nota Ejemplos
−3 es negativo ↔ −3 < 0
2 − 7 es negativo ↔ 2 − 7 < 0
5 es positivo ↔ 5 > 0
3 − 2 es positivo ↔ 3 − 2 > 0
−0 = 0
+0 = 0

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
RECTA NUMÉRICA REAL Es una recta geométrica que nos permite ordenar a los números reales.
0 1 2 3 4 +∞
−∞
Números positivos ℝ+
2 𝜋 4,6
Números negativos ℝ−
−1
−2
−3
−4
−0,5
−2,4
− 17
Número neutro
INTERVALO Decimos que I es un intervalo 𝐼 ⊂ ℝ , si y solo si es el conjunto de todos los números reales que están
comprendidos entre dos extremos, que pueden ser finitos o ideales.
+∞
−∞ 𝑎 𝑏
extremos
Existen dos clases de intervalos: Acotados y no acotados.
NOTA

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
INTERVALOS
ACOTADOS INTERVALO ABIERTO 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = 𝑎; 𝑏
+∞
−∞ 𝑎 𝑏
Grafique 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 3 < 𝑥 < 7 = 3; 7
+∞
−∞ 3 7
INTERVALO CERRADO 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑎; 𝑏
+∞
−∞ 𝑎 𝑏
Grafique 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 = 1; 4
+∞
−∞ 1 4
INTERVALO SEMIABIERTO 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 = ‫ۦ‬𝑎; ሿ
𝑏
+∞
−∞ 𝑎 𝑏
𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 = ሾ𝑎; ۧ
𝑏
+∞
−∞ 𝑎 𝑏
Grafique 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 2 < 𝑥 ≤ 5 = ‫ۦ‬2; ሿ
5
+∞
−∞ 2 5
𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 4 ≤ 𝑥 < 9 = ሾ4; ۧ
9
+∞
−∞ 4 9

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
INTERVALOS
NO
ACOTADOS 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 = 𝑎; +∞
+∞
−∞ 𝑎
Grafique 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 2 < 𝑥 = 2; +∞
+∞
−∞ 2
𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 = ሾ𝑎; ۧ
+∞
+∞
−∞ 𝑎
Grafique 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 4 ≤ 𝑥 = ሾ4; ۧ
+∞
+∞
−∞ 4
𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 < 𝑏 = −∞; 𝑏
+∞
−∞ 𝑏
Grafique 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 < 5 = −∞; 5
+∞
−∞ 5
𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≤ 𝑏 = ‫ۦ‬−∞; ሿ
𝑏
+∞
−∞ 𝑏
Grafique 𝐼 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≤ 6 = ‫ۦ‬−∞; ሿ
6
+∞
−∞ 6

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
OPERACIONES CON INTERVALOS
C U R S O D E Á L G E B R A
UNIÓN 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵
𝐴 = 1; 7
Ejemplos
; 𝐵 = 3; 9
Si:
Encuentre 𝐴 ∪ 𝐵
+∞
−∞ 1 3 7 9
𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = ሾ1; ۧ
9
Si: 𝐴 = ሾ2; ۧ
5 ; 𝐵 = ‫ۦ‬7; ሿ
9
Encuentre 𝐴 ∪ 𝐵
+∞
−∞ 2 5 7 9
𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = ሾ2; ۧ
5 ∪ ‫ۦ‬7; ሿ
9
Si: 𝐴 = 3; 8 ; 𝐵 = ሾ4; ۧ
+∞
Encuentre 𝐴 ∪ 𝐵
+∞
−∞ 3 8
4
𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = ‫ۦ‬3; ۧ
+∞
A
B
A B A
B

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
INTERSECCIÓN 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵
OPERACIONES CON INTERVALOS
Ejemplos
𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
Encuentre 𝐴 ∩ 𝐵
+∞
−∞ 1 3 7 9
𝐴 ∩ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = ‫ۦ‬3; ሿ
7
Si: 𝐴 = ሾ2; ۧ
5 ; 𝐵 = ‫ۦ‬7; ሿ
9
Encuentre 𝐴 ∩ 𝐵
+∞
−∞ 2 5 7 9
No hay elementos comunes
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙
Si: 𝐴 = 3; 8 ; 𝐵 = ሾ4; ۧ
+∞
Encuentre 𝐴 ∩ 𝐵
+∞
−∞ 3 8
4
𝐴 ∩ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = ሾ4; ۧ
8
𝑨
𝑩
𝑨 𝑩 𝑨
𝑩

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OPERACIONES CON INTERVALOS
DIFERENCIA 𝐴 − 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵
Ejemplos
𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
Encuentre 𝐴 − 𝐵
+∞
−∞ 1 3 7 9
𝑨 − 𝑩
𝐴 − 𝐵 = ሾ1; ሿ
3
Si: 𝐴 = ሾ2; ۧ
5 ; 𝐵 = ‫ۦ‬7; ሿ
9
Encuentre 𝐴 − 𝐵
+∞
−∞ 2 5 7 9
𝐴 − 𝐵 = ሾ2; ۧ
5
Si: 𝐴 = 3; 8 ; 𝐵 = ሾ4; ۧ
+∞
Encuentre 𝐴 − 𝐵
+∞
−∞ 3 8
4
𝑨 − 𝑩
𝐴 − 𝐵 = ‫ۦ‬3; ۧ
4
𝑨 − 𝑩
𝑨
𝑩
𝑨 𝑨
𝑩
𝑩

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OPERACIONES CON INTERVALOS
COMPLEMENTO 𝐴𝐶 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∉ 𝐴
Ejemplos
𝐴 = ሾ1; ۧ
7
Si: . Encuentre 𝐴𝐶
+∞
−∞ 1 7
𝐴𝐶 = ‫ۦ‬−∞; ۧ
1 ∪ ሾ7; ۧ
+∞
A
𝑨𝑪 𝑨𝑪
𝐴 = 3; +∞
Si: . Encuentre 𝐴𝐶
+∞
−∞ 3
A
𝑨𝑪
𝐴𝐶 = ‫ۦ‬−∞; ሿ
3
Si: 𝐴 = 1; 3 ∪ ሾ4; ۧ
+∞
Encuentre 𝐴𝐶
+∞
−∞ 3
1 4
𝐴𝐶
= ‫ۦ‬−∞; ሿ
1 ∪ ሾ3; ۧ
4
𝑨 𝑨
𝑨𝑪 𝑨𝑪

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝟏) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℝ ↔ 𝑎 ± 𝑛 < 𝑥 ± 𝑛 < 𝑏 ± 𝑛
Ejemplos
𝑎) 4 < 𝑥 < 7 4 + 3 < 𝑥 + 3 < 7 + 3
𝑏) 2 < 𝑥 ≤ 6
7 < 𝑥 + 3 < 10
2 − 5 < 𝑥 − 5 ≤ 6 − 5
−3 < 𝑥 − 5 ≤ 1
𝑐) − 3 ≤ 𝑥 ≤ 0 −3 + 1 ≤ 𝑥 + 1 ≤ 0 + 1
−2 ≤ 𝑥 + 1 ≤ 1
4 < 𝑥 < 7
2 < 𝑥 ≤ 6
−3 ≤ 𝑥 ≤ 0
+3
−5
+1
TEOREMAS EN DESIGUALDADES
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟐) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑛 > 0 ↔
𝑎. 𝑛 < 𝑥. 𝑛 < 𝑏. 𝑛
𝑜
𝑎
𝑛
<
𝑥
𝑛
<
𝑏
𝑛
Ejemplos
𝑎) 1 < 𝑥 < 4
× 3 1.3 < 𝑥. 3 < 4.3
1 < 𝑥 < 4 3 < 3𝑥 < 12
𝑏) − 6 ≤ 𝑥 < 12
÷ 6 −
6
6
≤
𝑥
6
<
12
6
−6 ≤ 𝑥 < 12 −1 ≤
𝑥
6
< 2

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟑) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑛 < 0 ↔
𝑎. 𝑛 > 𝑥. 𝑛 > 𝑏. 𝑛
𝑜
𝑎
𝑛
>
𝑥
𝑛
>
𝑏
𝑛
Ejemplos
𝑎) 2 < 𝑥 < 4
× (−4) 2. −4 > 𝑥. −4 > 4. (−4)
2 < 𝑥 < 4 −8 > −4𝑥 > −16
𝑏) − 8 ≤ 𝑥 < 4 ÷ (−2) −8
−2
≥
𝑥
−2
>
4
−2
−8 ≤ 𝑥 < 4 4 ≥ −
𝑥
2
> −2
Ejemplo
𝑎) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−3; ሿ
4 encuentre la variación de 3𝑥 − 2
Resolución
Como 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−3; ሿ
4 −3 < 𝑥 ≤ 4
× 3 −3.3 < 𝑥. 3 ≤ 4.3
−9 < 3𝑥 ≤ 12
−2 −9 − 2 < 3𝑥 − 2 ≤ 12 − 2
−11 < 3𝑥 − 2 ≤ 10
3𝑥 − 2 ∈ ‫ۦ‬−11; ሿ
10

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo
𝑎) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ −6; 4 encuentre la variación de −2𝑥 + 5
Resolución
−6 ≤ 𝑥 ≤ 4
× (−2) −6. −2 ≥ 𝑥. (−2) ≥ 4. (−2)
12 ≥ −2𝑥 ≥ −8
+5 12 + 5 ≥ −2𝑥 + 5 ≥ −8 + 5
17 ≥ −2𝑥 + 5 ≥ −3
−2𝑥 + 5 ∈ −3; 17
Ejemplo
𝑎) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−1; ۧ
2 encuentre la variación de
Resolución
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−1; ۧ
2 −1 < 𝑥 < 2
× 2 −2 < 2𝑥 < 4
−3 < 2𝑥 − 1 < 3
−1
−3
3
<
2𝑥 − 1
3
<
3
3
−1 <
2𝑥 − 1
3
< 1
∈ ‫ۦ‬−1; ۧ
1
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 ∈ −6; 4
2𝑥 − 1
3
÷ 3
2𝑥 − 1
3

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟒) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑛 < 𝑦 < 𝑚 ↔ 𝑎 + 𝑛 < 𝑥 + 𝑦 < 𝑏 + 𝑚
Ejemplos
a) Si 2 < 𝑥 < 6
4 < 𝑦 < 7
+
6 < 𝑥 + 𝑦 < 13
b) Si −2 ≤ 𝑥 ≤ 8
3 ≤ 𝑦 < 7
+
1 ≤ 𝑥 + 𝑦 < 15
¿Cómo se calcula 𝑥 − 𝑦?
Ejemplos
a) Si 2 < 𝑥 < 6
4 < 𝑦 < 7
6 > 𝑥 > 2
× −1 −4 > −𝑦 > −7
+
2 > 𝑥 − 𝑦 > −5
b) Si −2 ≤ 𝑥 ≤ 8
3 ≤ 𝑦 < 7
8 ≥ 𝑥 ≥ 2
× −1 −3 ≥ −𝑦 > −7
+
5 ≥ 𝑥 − 𝑦 > −5

18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑛 < 𝑦 < 𝑚 ↔ 𝑎. 𝑛 < 𝑥. 𝑦 < 𝑏. 𝑚
𝟓) Si 𝑎, 𝑏, 𝑚, 𝑛 son números positivos, además
Ejemplos
a) Si 3 < 𝑥 < 7
5 < 𝑦 < 9
×
15 < 𝑥. 𝑦 < 63
b) Si 2 ≤ 𝑥 ≤ 6
4 ≤ 𝑦 < 5
×
8 ≤ 𝑥. 𝑦 < 30
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ∧ 𝑛 < 𝑦 < 𝑚 ↔ 𝑚í𝑛(𝐴) < 𝑥. 𝑦 < 𝑚á𝑥(𝐴)
𝟔) Si 𝐴 = 𝑎𝑛; 𝑎𝑚; 𝑏𝑛; 𝑏𝑚 , además
Ejemplo
a) Si −4 < 𝑥 < 5
−7 < 𝑦 < 4
×
𝑥𝑦
< <
Mín(A) Máx(A)
Donde
𝐴 = −4 −7 ; −4 4; 5 −7 ; 5.4
𝐴 = 28; −16; −35; 20
Mín(A) = −35
−35
; Máx(A) = 28
28

19. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟕) Si 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 →
1
𝑎
>
1
𝑥
>
1
𝑏
Ejemplos
𝑎) 2 < 𝑥 < 6
1
2
>
1
𝑥
>
1
6
𝑏) − 3 ≤ 𝑥 < −2
−1
−1
−
1
3
≥
1
𝑥
> −
1
2
𝑐)
1
7
≤ 𝑥 ≤ 5
−1
7 ≥
1
𝑥
≥
1
5
Observación
Si −5 < 𝑥 < 8 ∧ 𝑥 ≠ 0, ¿cuál es la variación de
1
𝑥
?
Para ello se requiere de dividir en regiones
−5 < 𝑥 < 8 ∧ 𝑥 ≠ 0 −5 < 𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥 < 8
−1
−
1
5
>
1
𝑥
>
1
0
∨
1
0
>
1
𝑥
>
1
8
no existe
−
1
5
>
1
𝑥
∨
1
𝑥
>
1
8
1
𝑥
∈ −∞; −
1
5
∪
1
8
; +∞

20. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟖)
1
𝑥
> 0
𝑆𝑖 𝑥 > 0
𝟗)
1
𝑥
< 0
𝑆𝑖 𝑥 < 0
Ejemplo
𝑥 − 2 > 0 1
𝑥 − 2
> 0
−1
Ejemplo
𝑥 + 4 < 0 1
𝑥 + 4
< 0
−1
Tenga en cuenta que
6 < 𝑥
𝑆𝑖
1
6
>
1
𝑥
> 0
8 ≤ 𝑥
𝑆𝑖
1
8
≥
1
𝑥
> 0
𝑥 < −4
𝑆𝑖 0 >
1
𝑥
> −
1
4
𝑥 ≤ −7
𝑆𝑖 0 >
1
𝑥
≥ −
1
7

21. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Observación
Si 𝑥 < 6 ∧ 𝑥 ≠ 0, ¿cuál es la variación de ?
1
𝑥
Para ello se requiere de dividir en regiones
𝑥 < 6 𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥 < 6
1
𝑥
< 0 ∨ 1
0
>
1
𝑥
>
1
6
no existe
1
𝑥
< 0 ∨
1
𝑥
>
1
6
1
𝑥
∈ −∞; 0 ∪
1
6
; +∞
−1
Observación
Si 𝑥 > −5 ∧ 𝑥 ≠ 0, ¿cuál es la variación de ?
1
𝑥
Para ello se requiere de dividir en regiones
𝑥 > −5 𝑥 > 0 ∨ 0 > 𝑥 > −5
1
𝑥
> 0 ∨ 1
0
<
1
𝑥
< −
1
5
no existe
1
𝑥
> 0 ∨
1
𝑥
< −
1
5
1
𝑥
∈ −∞; −
1
5
∪ 0; +∞
−1

22. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝟏𝟎) Todo número real 𝑥 cumple: 𝑥2 ≥ 0
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplos
a) Si 𝑥 𝜖 ℝ, encuentre la variación de 2𝑥2
+ 5
Como 𝑥 𝜖 ℝ 𝑥2 ≥ 0
+5 2𝑥2
≥ 0
+5 +5
2𝑥2
+ 5 ≥ 5
× 2 𝑥2 ≥ 0
2 ×
2
2𝑥2 ≥ 0
∴ 2𝑥2
+ 5 ∈ ሾ5; ۧ
+∞
b) Si 𝑥 𝜖 ℝ, encuentre la variación de 𝑥2 + 2𝑥 + 3
Completando cuadrados, tenemos
𝑥2
+ 2𝑥 + 3 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 2
𝒙 + 𝟏 𝟐
𝑥2
+ 2𝑥 + 3 = 𝑥 + 1 2
+2
Como 𝑥 𝜖 ℝ (𝑥 + 1)2
≥ 0
+2 (𝑥 + 1)2
≥ 0
+2 +2
𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟑
∴ 𝑥2 + 2𝑥 + 3 ∈ ሾ2; ۧ
+∞

23. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟏𝟏) Si 𝑎 𝑦 𝑏 son números positivos, entonces:
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 → 𝑎2 < 𝑥2 < 𝑏2
Ejemplos
𝑎) 2 < 𝑥 < 9 22 < 𝑥2 < 92
2 < 𝑥 < 9 → 4 < 𝑥2 < 81
𝑏) 3 ≤ 𝑥 ≤ 7 32
≤ 𝑥2
≤ 72
3 ≤ 𝑥 ≤ 7 → 9 ≤ 𝑥2
≤ 49
𝑐) 4 ≤ 𝑥 < 6 42 ≤ 𝑥2 < 62
4 ≤ 𝑥 < 6 → 16 ≤ 𝑥2 < 36
𝟏𝟐) Si 𝑎 𝑦 𝑏 son números negativos, entonces:
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 → 𝑎2 > 𝑥2 > 𝑏2
Ejemplos
𝑎) − 5 < 𝑥 < −3 (−5)2
> 𝑥2
> (−3)2
−5 < 𝑥 < −3 → 25 > 𝑥2 > 9
𝑏) − 7 ≤ 𝑥 ≤ −2 (−7)2
≥ 𝑥2
≥ (−2)2
−7 ≤ 𝑥 ≤ −2 → 9 ≤ 𝑥2
≤ 49
𝑐) − 9 < 𝑥 ≤ −1 (−9)2> 𝑥2 ≥ (−1)2
−9 < 𝑥 ≤ −1 → 81 > 𝑥2 ≥ 1

24. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟏𝟑) Si 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 𝑏 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 → 0 ≤ 𝑥2 < 𝑚á𝑥 𝑎2; 𝑏2
Ejemplos
𝑎) − 2 < 𝑥 < 3 0 ≤ 𝑥2 < 𝑚á𝑥 −2 2; 32
−2 < 𝑥 < 3 → 0 ≤ 𝑥2 < 9
𝑏) − 5 ≤ 𝑥 ≤ 3 0 ≤ 𝑥2
≤ 𝑚á𝑥 −5 2
; 32
−5 ≤ 𝑥 ≤ 3 → 0 ≤ 𝑥2
≤ 25
𝑐) − 4 ≤ 𝑥 < 7 0 ≤ 𝑥2 < 𝑚á𝑥 −4 2; 7 2
−4 ≤ 𝑥 < 7 → 0 ≤ 𝑥2 < 49
𝑑) − 3 ≤ 𝑥 < 2 0 ≤ 𝑥2
≤ 𝑚á𝑥 −3 2
; 2 2
−3 ≤ 𝑥 < 2 → 0 ≤ 𝑥2
≤ 9
𝑒) − 1 < 𝑥 ≤ 4 0 ≤ 𝑥2
≤ 𝑚á𝑥 −1 2
; 4 2
−1 ≤ 𝑥 < 4 → 0 ≤ 𝑥2
≤ 16
𝑓) − 6 < 𝑥 ≤ 5 0 ≤ 𝑥2 < 𝑚á𝑥 −6 2; 5 2
−6 < 𝑥 ≤ 5 → 0 ≤ 𝑥2 < 36
𝑔) − 8 ≤ 𝑥 < 8 0 ≤ 𝑥2
≤ 𝑚á𝑥 −8 2
; 8 2
−8 ≤ 𝑥 < 8 → 0 ≤ 𝑥2 ≤ 64

25. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e