The document is about algebra and solving equations. It discusses the history and importance of equations, defines key terms like solutions and sets of solutions. It also provides examples of solving different types of equations step-by-step, including linear equations, quadratic equations through factoring, completing the square, and the quadratic formula. The document emphasizes that solving equations involves finding the value(s) of the variable that satisfy the equality.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: Jimmy Astupillo

2. ECUACIONES I
Semana 12

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Las ecuaciones nos
sirven para calcular
valores desconocidos,
de ahí la palabra
“incógnita”
C U R S O D E Á L G E B R A
Las ecuaciones son conocidas de
hace mucho tiempo, ya aparecían
en el Papiro de Rhind del siglo XVI
a.n.e
"Un montón y un séptimo del
mismo es igual a 24".
Gracias al desarrollo de las
ecuaciones se ha logrado el
avance en la arquitectura,
escultura, mecánica y las
demás ciencias, siendo una
parte fundamental en el
desarrollo tecnológico

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
✓ Aplicar las propiedades de las
ecuaciones cuadráticas.
✓ Resolver ecuaciones de primer
grado
✓ Resolver ecuaciones de segundo
grado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Arco parabólico Tacna
LAS MATEMÁTICAS EN LA ARQUITECTURA
El Arco Parabólico se encuentra en el
Paseo Cívico de la ciudad de Tacna,
en honor a los héroes del pacífico:
Miguel Grau y Francisco Bolognesi.
Tiene una altura de 18 m
y forma parabólica.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones
matemáticas, donde existe al menos una variable o
incógnita.
Ejemplos:
I) 𝑥2
= 25
II) 𝑥 − 1 0
= 1
III)
1
𝑥 − 2
= 0
Solución
Es el valor de la incógnita que verifica la igualdad.
Ejemplos:
I)En la ecuación 𝑥2 = 25, tenemos que 𝑥 = 5 es solución
porque:
52= 25
II)En 𝑥 − 1 0
= 1, tenemos que 𝑥 = 8 es solución
porque:
8 − 1 0
= 1
III) La ecuación
1
𝑥 − 2
= 0 no tiene soluciones.

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Conjunto solución (C.S)
Es el conjunto conformado por todas las soluciones
de una ecuación
Ejemplos:
I) 𝑥2
= 25
La ecuación tiene como
conjunto solución 𝐶. 𝑆 = −5; 5
II) 𝑥 − 1 0 = 1
La ecuación tiene como
conjunto solución 𝐶. 𝑆 = ℝ − 1
III)
1
𝑥 − 2
= 0
La ecuación tiene como
conjunto solución 𝐶. 𝑆 = 𝜙
Clases de ecuaciones
Por su conjunto solución
1) Ecuación compatible: Tiene al menos una solución
I) Si el número de soluciones es finito, se denomina
compatible determinado.
𝑥2
= 25 𝐶. 𝑆 = −5; 5
II) Si el número de soluciones es infinito, se denomina
compatible indeterminado.
𝑥 − 1 0
= 1 𝐶. 𝑆 = ℝ − 1
2) Ecuación incompatible: No tiene solución.
1
𝑥 − 2
= 0 𝐶. 𝑆 = 𝜙

7. ECUACIONES
POLINOMIALES

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ecuación polinomial
Es aquella ecuación que presenta la siguiente forma
general
𝑎0𝑥𝑛
+ 𝑎1𝑥𝑛−1
+ 𝑎2𝑥𝑛−2
+ ⋯ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0
donde:
𝑎0; 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 son los coeficientes (𝑎0 ≠ 0)
𝑥 es la incógnita
El grado del polinomio determina el grado
de la ecuación
NOTA:
Ejemplos
• 3𝑥 + 2 = 0 Ecuación lineal o de primer grado
• 5𝑥2 − 8𝑥 − 3 = 0 Ecuación cuadrática
• 2𝑥3 + 9𝑥 − 5 = 0 Ecuación cúbica
I) Ecuación lineal
Llamadas ecuaciones polinomiales de primer grado.
Su forma general es: 𝐴𝑥 + 𝐵 = 0 ; 𝐴 ≠ 0
Resolución
Despejamos las variables en un miembro y en el otro
miembro las constantes; de ahí se encuentra el valor
de la variable.
Ejemplo
3𝑥 + 2 = 0 3𝑥 = −2 𝑥 = −
2
3
∴ 𝐶. 𝑆 = −
2
3
NOTA: Resolver una ecuación es encontrar su C.S

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
II) Ecuación cuadrática
Llamadas ecuaciones polinomiales de segundo grado.
Su forma general es:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Resolución
1) Por factorización:
a) Se factoriza el polinomio cuadrático.
b) Se utiliza el siguiente teorema.
𝑎𝑏 = 0 ↔ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0
c) Se encuentran las soluciones de la ecuación.
d) Se encuentra el conjunto solución.
Ejemplo 1
Resolver :
3𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0
Resolución
Factorizando
3𝑥
𝑥
−5
+2
3𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 0
3𝑥 − 5 = 0 ∨ 𝑥 + 2 = 0
𝑥 =
5
3
∨ 𝑥 = −2
∴ 𝐶. 𝑆 =
5
3
; −2
3𝑥2
+ 𝑥 − 10 = 0

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 2
Resolver :
Resolución
4𝑥2
− 28𝑥 + 49 = 0
4𝑥2 − 28𝑥 + 49 = 0
Factorizando
2𝑥
2𝑥
−7
−7
2𝑥 − 7 2𝑥 − 7 = 0
2𝑥 − 7 = 0 ∨ 2𝑥 − 7 = 0
𝑥 =
7
2
∨
∴ 𝐶. 𝑆 =
7
2
𝑥 =
7
2
Ejemplo
Resolver :
Resolución
4𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0
4𝑥2
− 4𝑥 = 5
Despejando :
Se forma T.C.P
+1 +1
2𝑥 − 1 2
Queda: 2𝑥 − 1 2 = 6
Teorema: 𝑥2
= 𝑎 → 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = − 𝑎
2𝑥 − 1 = 6 ∨ 2𝑥 − 1 = − 6
𝑥 =
1 + 6
2
∨ 𝑥 =
1 − 6
2
∴ 𝐶. 𝑆 =
1 + 6
2
;
1 − 6
2
2) Por completación de cuadrados:

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
3) Por fórmula general:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Tenemos:
÷ 𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑐
𝑎
Se busca un T.C.P.
+
𝑏
2𝑎
2
𝑏
2𝑎
2
𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑐
𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2
4𝑎2 −
𝑐
𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
×
4𝑎
4𝑎
Teorema: 𝑥2 = 𝑎 → 𝑥 = ± 𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2 = ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 1
Resolver : 2𝑥2
+ 4𝑥 − 3 = 0
Resolución
Tenemos
2𝑥2
+ 4 𝑥 − 3 = 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Como: 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(4) ± (4)2−4 2 −3
2(2)
𝑥 =
−4 ± 16 + 24
4
=
−4 ± 40
4
𝑥 =
−2 ± 10
2
Luego:
𝑥1 =
−2 + 10
2
∨ 𝑥2 =
−2 − 10
2
Entonces
𝐶. 𝑆 =
−2 + 10
2
;
−2 − 10
2
=
−4 ± 2 10
4
2 1
2
40 = 4 10
= 4 10 = 2 10

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 2
Resolver : 3𝑥2
+ 𝑥 − 10 = 0
Resolución
Tenemos
3𝑥2
+ 𝑥 − 10 = 0
1
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Como: 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(1) ± (1)2−4 3 −10
2(3)
𝑥 =
−1 ± 1 + 120
6
=
−1 ± 121
6
𝑥 =
−1 ± 11
6
Luego:
𝑥1 =
−1 + 11
6
∨ 𝑥2 =
−1 − 11
6
𝑥1 =
10
6
∨ 𝑥2 =
−12
6
=
5
3
= −2
Entonces
𝐶. 𝑆 =
5
3
; −2

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 3
Resolver : 9𝑥2
+ 12𝑥 + 4 = 0
Resolución
Tenemos
9𝑥2
+ 12𝑥 + 4 = 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Como: 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(12) ± (12)2−4 9 4
2(9)
𝑥 =
−12 ± 144 − 144
18
=
−12 ± 0
18
𝑥 =
−12 ± 0
18
Luego:
𝑥1 =
−12 + 0
18
∨ 𝑥2 =
−12 − 0
18
𝑥1 =
−12
18
∨ 𝑥2 =
−12
18
=
−2
3
Entonces
𝐶. 𝑆 =
−2
3
=
−2
3

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 4
Resolver : 𝑥2
− 6𝑥 + 10 = 0
Resolución
Tenemos
𝑥2
− 6 𝑥 + 10 = 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Como: 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−6) ± (−6)2−4 1 10
2(1)
𝑥 =
6 ± 36 − 40
2
=
6 ± −4
2
𝑥 =
6 ± 2𝑖
2
Luego:
𝑥1 =
6 + 2𝑖
2
∨ 𝑥2 =
6 − 2𝑖
2
𝑥1 = 3 + 𝑖 ∨ 𝑥2 = 3 − 𝑖
Entonces
𝐶. 𝑆 = 3 + 𝑖; 3 − 𝑖
1
−4 = 4 −1
= 4 −1 = 2𝑖

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Resumen:
Las raíces de 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 están dadas
por:
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Esto es:
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
∨ 𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
Donde:
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
A ∆ se le denomina discriminante
NOTA:
Si los coeficientes de la ecuación 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
son números reales, entonces:
I) Si ∆ > 0: La ecuación presenta dos raíces reales y
diferentes.
𝐶. 𝑆 = 𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥1; 𝑥2 ⊂ ℝ
II) Si ∆= 0: La ecuación presenta dos raíces reales e
iguales.
𝑥1 = 𝑥2 = 𝛼 𝐶. 𝑆 = 𝛼
III) Si ∆ < 0: La ecuación presenta dos raíces no
reales (complejas conjugadas).
𝑥1 = 𝑚 + 𝑛𝑖 𝑥2 = 𝑚 − 𝑛𝑖
;

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
II.3) Teorema de Cardano - Viette:
Si 𝑥1; 𝑥2 son las raíces de la ecuación:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Se cumple:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
Suma de raíces
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Producto de raíces
NOTA: Para calcular la diferencia de raíces.
𝑥1 + 𝑥2
2
− 𝑥1 − 𝑥2
2
= 4𝑥1. 𝑥2
Ejemplo:
Si 𝛼; 𝛽 son las raíces de la ecuación 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 36 = 0
tal que:
1
𝛼
+
1
𝛽
=
5
12
. Halle el valor de p.
Resolución:
Por el teorema de Cardano – Viette, tenemos:
𝛼 + 𝛽 = −
𝑏
𝑎
= −
𝑝
1
𝛼 + 𝛽 = −p
𝛼. 𝛽 =
𝑐
𝑎 =
36
1
𝛼. 𝛽 = 36
Como:
1
𝛼
+
1
𝛽
=
𝛼 + 𝛽
𝛼. 𝛽
5
12
=
−𝑝
36
𝑝 = −15

18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Raíces simétricas: Decimos que 𝑥1; 𝑥2 son raíces
simétricas si
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Teorema: Si una ecuación cuadrática
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
tiene raíces simétricas, entonces 𝑏 = 0
Ejemplo:
Si la ecuación 2𝑥2
+ (𝑎 − 2)𝑥 + (𝑎 + 4) = 0
tiene raíces simétricas, calcule 𝑎
Como la ecuación tiene raíces simétricas, por
teorema:
𝑎 − 2 = 0 𝑎 = 2
Raíces recíprocas: Decimos que 𝑥1; 𝑥2 son raíces
simétricas si
𝑥1. 𝑥2 = 1
Teorema: Si una ecuación cuadrática
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
tiene raíces simétricas, entonces 𝑎 = 𝑐
Ejemplo:
Si la ecuación (2𝑛 + 3)𝑥2
+ (3𝑛 − 4)𝑥 + (𝑛 + 8) = 0
tiene raíces simétricas, calcule 𝑛
Como la ecuación tiene raíces recíprocas, por teorema:
2𝑛 + 3 = 𝑛 + 8 𝑛 = 5

19. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
II.4) Reconstrucción de ecuación cuadrática
La ecuación cuadrática cuyas raíces son 𝑥1; 𝑥2 es:
𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 = 0
𝑥2
− 𝑥1 + 𝑥2 𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0
S P
Nos queda:
𝑥2
− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
Donde:
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑃 = 𝑥1. 𝑥2
Suma de raíces
Producto de raíces
Ejemplo:
Encuentre la ecuación cuadrática cuyas raíces son
𝑥1 = 1 + 5 ; 𝑥2 = 1 − 5
Resolución:
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = 1 + 5 + 1 − 5 = 2
𝑃 = 𝑥1. 𝑥2 = 1 + 5 1 − 5 = 12
− 5
2
= −4
Tenemos:
La ecuación cuadrática pedida es:
𝑥2
− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥2
− 2𝑥 + (−4) = 0
𝑥2
− 2𝑥 − 4 = 0

20. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
II.4) Ecuaciones equivalentes
C U R S O D E Á L G E B R A
Se llaman ecuaciones equivalentes, si sus conjuntos
soluciones son iguales.
Ejemplo:
2𝑥 − 10 = 0
Dadas las ecuaciones:
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
Tenemos que:
2𝑥 − 10 = 0 𝐶. 𝑆 = 5
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0 𝑥 − 5 2
= 0
𝑥 − 5 = 0 𝐶. 𝑆 = 5
La ecuaciones son equivalentes
Teorema: Si las ecuaciones
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 = 0
; 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0
; 𝑚. 𝑛. 𝑝 ≠ 0
Son equivalentes, entonces
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
=
𝑐
𝑝
Ejemplo:
Si las ecuaciones:
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 = 0 ∧ 2𝑥2
+ 8𝑥 + 𝑐 = 0
Son equivalentes, calcule 𝑏. 𝑐
Por teorema:
1
2
=
𝑏
8
=
3
𝑐
𝑏 = 4
𝑐 = 6
𝑏. 𝑐 = 24
Tienen el
mismo C.S

21. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e