Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang persamaan diferensial orde satu, meliputi definisi, bentuk umum persamaan diferensial orde satu, dan metode penyelesaian yang dapat digunakan seperti metode integral langsung dan metode pemisahan variabel. Kemudian disertai contoh soal dan pembahasan penyelesaian persamaan diferensial orde satu.
2. DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL
• Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai:
• Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa
dan persamaan diferensial parsial.
• Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde
tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
adalah orde 3 ;
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 adalah orde 2 ;
𝑑𝑥
𝑑𝑦
adalah orde 1
• Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial
adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde,
contohnya :
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
2+
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
5+
𝑦
𝑥2+1
= 𝑒𝑥
3. Persamaan diferensial orde satu dapat dinyatakan dalam bentuk :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde satu, akan
membahas dengan menggunakan metode :
Metode Integral Langsung
Metode Pemisahan Variabel
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
4. Dengan Metode Integral
Secara Langsung
*Bila persamaan dalam bentuk 𝑦′ = 𝑓(𝑥) maka persamaan
tersebut dapat diselesaikan dengan integral sederhana :
Contoh :
1. 𝑦′
= 3𝑥2
− 6𝑥 + 5𝑦 = 3𝑥2
− 6𝑥 + 5 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 + 𝑐
2. 𝑦′
= 2𝑥3
+ 4𝑥 + 2
*𝑦 = (2𝑥3 + 4𝑥 + 2)𝑑𝑥
*𝑦 =
1
2
𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑥 + 𝑐
5. Dengan Metode Pemisahan Variabel
Bila persamaan diferensial berbentuk 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) , yaitu
persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai
perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, maka
penyelesaian Persamaan Diferensial dengan cara memisahkan
variabelnya sehingga faktor ‘y’ bisa dikumpulkan dengan ‘dy’ dan
faktor ‘x’ dapat dikumpulkan dengan ‘dx’.
Contoh :
9𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑥 = 0 ,Dengan memisahkan variabelnya diperoleh :
9𝑦𝑑𝑦 = −4𝑥𝑑𝑥
Selanjutnya tiap ruas diintegralkan dan didapatkan solusi :
9
2
𝑦2
= −2𝑥2
+ 𝑐
9
2
𝑦2 + 2𝑥2 = 𝑐 ↔
𝑦2
2
+
2𝑥2
9
=
𝑐
9
𝑦 = −
4
9
𝑥2 +
2
9
𝑐