1. Dokumen menjelaskan cara menyelesaikan persamaan diferensial Bernoulli dengan mereduksi persamaan tersebut menjadi persamaan diferensial linier terlebih dahulu dengan melakukan substitusi variabel. Kemudian memberikan contoh soal dan penyelesaiannya. 2. Memberikan latihan soal tambahan untuk persamaan diferensial Bernoulli.

1. Dosen : Ir. Mohamad Jusuf, MSi

2. 4. Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum :
dy
dx
+ P( x) y = Q(x) 𝒚𝒏
Cara Menyelesaikan
*dibagi 𝑦𝑛
1
𝑦𝑛
dy
dx
+ P( x) 𝑦1−𝑛 = Q(x)
**dimisalkan u = 𝑦1−𝑛 → du = (1 – n) 𝑦−𝑛 dy →
d𝑢
dx
= (1 – n)𝑦−𝑛 dy
dx
1
1−𝑛
d𝑢
dx
=
1
𝑦𝑛
dy
dx
Persamaan difrensial akan menjadi
1
1−𝑛
d𝑢
dx
+ P(x)u = Q(x) ....... kalikan kedua sisi dengan (1-n)
d𝑢
dx
+ (1-n) P(x)u = (1-n)Q(x) ......... Pers diff Bernoulli orde 1 dalam u

3.  Untuk menentukan solusi dari PD bernoulli ini, maka
terlebih dahulu kita perlu mereduksinya menjadi PD
linier *dibagi 𝑦𝑛
 Caranya dengan mensubtitusikan
** 𝑦1−𝑛
= u
 Setelah menjadi PD Linier maka solusi umumnya
dapat ditetapkan sebagaimana cara untuk menetukan
solusi PD linier

4. Solusi umum
𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒 P(x) dx
u𝑒 P(x) dx = Q(x) 𝑒 P(x) dxdx + C
u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
{ 𝑄(𝑥) 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
dx + C}
dimana p(x) = (1-n) P(x)
q(x) = (1-n) Q(x)

5. Contoh :
1. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb
dy
dx
+
y
x
= (𝑥2
- 3x) 𝑦2
Jawab
*dibagi 𝑦2
1
𝑦2
d𝑦
dx
+
1
y
1
x
= (𝑥2
- 3x)
**dimisalkan u =
1
y
d𝑢
dx
= -
1
𝑦2
d𝑦
dx
−
d𝑢
dx
=
1
𝑦2
d𝑦
dx

6. Persamaan difrensial akan menjadi
−
d𝑢
dx
+ u
1
x
= (𝑥2 - 3x)
d𝑢
dx
+ u (-
1
x
) = (3𝑥 − 𝑥2
)
Solusi umum
u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
{ 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋)
dx + C}
= 𝑒− −
1
𝑥
𝑑𝑥
{ (3𝑥 − 𝑥2) 𝑒 −
1
𝑥
𝑑𝑥
dx + C} −
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒−𝑙𝑛𝑥
= 𝑥 { (3𝑥 − 𝑥
2
)
1
𝑥
𝑑𝑥 + C} =
1
𝑥
= 𝑥 { (3 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
= 𝑥 {3𝑥 -
1
2
𝑥2
+ C}
1
𝑦
= 3𝑥2
−
1
2
𝑥3
+ C𝑥
y =
1
3𝑥2 −
1
2
𝑥3+ C𝑥

7. 2. Diketahui persamaan Difrensial Bernoulli
dy
dx
− y = (1 − 𝑒3𝑥) 𝑦2
carilah solusi persamaan tersebut
Jawab
*dibagi 𝑦2
1
𝑦2
d𝑦
dx
-
1
y
= 1 − 𝑒3𝑥
**dimisalkan u =
1
y
d𝑢
dx
= -
1
𝑦2
d𝑦
dx
−
d𝑢
dx
=
1
𝑦2
d𝑦
dx

8. Persamaan difrensial akan menjadi
−
d𝑢
dx
− u = 1 − 𝑒3𝑥
d𝑢
dx
+ u = 𝑒3𝑥− 1
Solusi umum
u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
{ 𝑄(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋)
dx + C}
= 𝑒− 1𝑑𝑥
{ ( 𝑒3𝑥− 1 ) 𝑒 1𝑑𝑥
dx + C}
= 𝑒−𝑥 { 𝑒3𝑥
− 1 . 𝑒𝑥
dx + C}
= 𝑒−𝑥 { ( 𝑒4𝑥−𝑒𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
=
1
4
𝑒3𝑥 − 1 + C𝑒−𝑥
1
𝑦
=
1
4
𝑒3𝑥
− 1 + C𝑒−𝑥
y =
1
1
4𝑒3𝑥−1 + C𝑒−𝑥

9. 3. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb
dy
dx
+ y = (2 - 3x) 𝑦4
Jawab
*dibagi 𝑦4
1
𝑦4
d𝑦
dx
+ 𝑦−3 = (2 – 3x)
**dimisalkan u = 𝑦−3 du = (-3) 𝑦−4dy
1
−3
d𝑢
dx
=
1
𝑦4
d𝑦
dx

10. Persamaan difrensial akan menjadi
1
−3
d𝑢
dx
+ u = (2 - 3x)
d𝑢
dx
- 3u = (6 - 9x)
Solusi umum
u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
{ 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋)
dx + C}
= 𝑒− −3𝑑𝑥
{ (−6 + 9𝑥) 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
dx + C}
= 𝑒3𝑥
{ (−6 + 9𝑥) 𝑒−3𝑥
dx + C}
= 𝑒3𝑥 {
−(−6+9𝑥)
3
𝑒−3𝑥 + C}
1
𝑦3 = (2 – 3x) – 1 + C𝑒3𝑥
y =
1
3
1− 3𝑥−𝐶𝑒3𝑥

11. 4. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb
dy
dx
+
2
x
y = 3x 𝑦3
Jawab
*dibagi 𝑦3
1
𝑦3
dy
dx
+
2
x
𝑦−2
= 3x
**dimisalkan u = 𝑦−2 du = (-2) 𝑦−3dy
1
−2
d𝑢
dx
=
1
𝑦3
d𝑦
dx

12. Persamaan difrensial akan menjadi
1
−2
d𝑢
dx
+
2
x
u = 3x
d𝑢
dx
-
4
x
u = = -6x
Solusi umum
u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
{ 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋)
dx + C}
= 𝑒− −
4
x dx { (−9𝑥) 𝑒 −
4
x dxdx + C}
= 𝑒4𝑙𝑛𝑥
{ (−9𝑥) 𝑒−4𝑙𝑛𝑥
dx + C}
= 𝑥4
{ (−9𝑥) 𝑥−4
dx + C}
1
𝑦2 = 𝑥4
( −
9
−2
𝑥−2
+ C)
=
9
2
𝑥2
+ C 𝑥4
y =
1
9
2
𝑥2 + C 𝑥4

13. 5. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb
x
dy
dx
+ y = x 𝑦2lnx
Jawab
*dibagi x → bentuk umum
dy
dx
+ P( x) y = Q(x) 𝑦𝑛
dy
dx
+ y
1
x
= 𝑦2
lnx ..... dibagi
1
𝑦2
1
𝑦2
dy
dx
+
1
y
1
x
= lnx
**dimisalkan u =
1
y
du = -
1
𝑦2dy
d𝑢
dx
= −
1
𝑦2
d𝑦
dx

14. Persamaan difrensial akan menjadi
-
d𝑢
dx
+
1
x
u = lnx
d𝑢
dx
-
1
x
u = = - lnx
Solusi umum
u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
{ 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋)
dx + C}
= 𝑒− −
1
x dx {− 𝑙𝑛𝑥 .
1
x
dx + C} 𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
𝑢2
= 𝑒𝑙𝑛𝑥 {−
1
2
(𝑙𝑛𝑥)2 + C} 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥
= x {−
1
2
(𝑙𝑛𝑥)2 + C} d𝑢 =
1
x
𝑑𝑥
1
y
= −
1
2
x (𝑙𝑛𝑥)2
+ Cx 1
2
𝑢2
=
1
2
(𝑙𝑛𝑥)2
y = −
1
2x(𝑙𝑛𝑥)2 + Cx

15. Latihan soal 7
1. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb
x dy + n ydx = 𝑦5
(n x − 𝑦5
)
2. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb
dy
dx
+
y
x
= 𝑦7(𝑥2 - n x)