Ôn thi Toán

NGUY N ð C TU N
T ÔN LUY N THI
MÔN TOÁNMÔN TOÁNMÔN TOÁNMÔN TOÁN
Hà n i, 1 - 2005

T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 1
Chương 1: Phương trình và b t phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI
I. Cách gi i
1) Phương trình b c nh t: ax + b = 0, a,b ∈IR.
• N u a ≠ 0 thì phương trình có nghi m duy nh t x = -
a
b
.
• N u a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghi m.
• N u a = b = 0 thì phương trình nghi m ñúng v i m i x ∈IR.
2) Phương trình b c hai: ax2
+ bx + c = 0, a ≠ 0.
• N u ∆= b2
– 4ac < 0 phương trình vô nghi m.
• N u ∆ = 0 phương trình có nghi m kép == 21 xx -
a2
b
.
• N u ∆ > 0 phương trình có hai nghi m phân bi t =2,1x
a2
b ∆±−
.
II. ð nh lí Viét và h qu v d u các nghi m
1) ð nh lí Viét : N u phương trình ax2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m 21 x,x thì
S = =+ 21 xx -
a
b
và P = =21 x.x
a
c
.
2) H qu : Phương trình b c hai ax2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m:
Trái d u ⇔ 0
a
c
< Cùng d u ⇔




>
≥∆
0
a
c
0
Cùng dương









>−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
Cùng âm









<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
III. ð nh lí v d u c a tam th c b c hai
Cho tam th c b c hai f(x) = ax2
+ bx + c, a ≠ 0 ta có
1. ð nh lí thu n:
• N u ∆ = b2
– 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x.
• N u ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ -
a2
b
.
• N u ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghi m phân bi t x1 < x2 và
a.f(x) > 0 v i x ngoài ]x;x[ 21 .
a.f(x) < 0 v i 21 xxx << .
2. ð nh lí ñ o: N u t n t i s α sao cho a.f(α) < 0 thì tam th c có hai nghi m phân bi t
và s α n m trong kho ng hai nghi m ñó: 21 xx <α< .

IV. ng d ng
1. ði u ki n ñ f(x) = ax2
+ bx + c không ñ i d u v i m i x
f(x) > 0 v i ∀ x










<∆
>



>
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x) ≥ 0 v i ∀ x










≤∆
>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x) < 0 v i ∀ x










<∆
<



<
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x) ≤ 0 v i ∀ x










≤∆
<



≤
==
⇔
0
0a
0c
0ba
2. So sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và 21 xx <α< là: a.f(α) < 0.
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và α n m ngoài kho ng hai
nghi m:



>α
>∆
0)(f.a
0
- N u α n m bên ph i hai nghi m: α<< 21 xx ⇒







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
- N u α n m bên trái hai nghi m: 21 xx <<α







>−=
>α
>∆
⇒
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m
n m ngoài ño n [ βα; ] là: f(α).f(β ) < 0.
3. ði u ki n ñ f(x) có nghi m th a mãn x > α:
• Trư ng h p 1: f(x) có nghi m 21 xx <α< ⇔ a.f(α) < 0.
• Trư ng h p 2: f(x) có nghi m 21 xx <<α ⇔







<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0
• Trư ng h p 3: f(x) có nghi m 21 xx <=α




<α
=α
⇔
2
S
0)(f
( Làm tương t v i trư ng h p x < α và khi x y ra d u b ng)
Ngoài ra ta chú ý thêm ñ nh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi ñó ñi u ki n ñ
phương trình f(x) = m có nghi m là minf(x)≤ m≤maxf(x).

B ng tóm t t ñ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai
N u 0<∆ N u 0=∆ N u 0>∆
a.f(x) > 0 v i ∀ x a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ -
a2
b a.f(x) > 0 v i x ngoài ]x;x[ 21
a.f(x) < 0 v i 21 xxx <<
B ng tóm t t so sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
ði u ki n ñ f(x) = ax2
+ bx + c có hai nghi m phân bi t và
α n m gi a kho ng hai nghi m
21 xx <α<
α n m ngoài kho ng hai nghi m



>α
>∆
0)(f.a
0
α<< 21 xx α<< 21 xx
a.f(α ) < 0







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0







>−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
Ví d 1. Tìm m ñ phương trình 08mx)4m(2x 22
=+++− có 2 nghi m dương.
Ví d 2. Xác ñ nh a ñ bi u th c 3a3x)1a(2x)1a( 2
−+−−+ luôn dương
Ví d 3. Tìm m ñ b t phương trình m2xx2
≥−+ nghi m ñúng v i m i x.
Ví d 4. Tìm m ñ phương trình m2mxx2
++ = 0 có hai nghi m 21 x,x th a mãn
-1< 21 xx <
Ví d 5. Tìm m ñ phương trình 01m2mx2x 22
=−+− có nghi m th a mãn
4xx2 21 ≤≤≤−
Ví d 6. Cho phương trình 2m3x)2m(x2
−+++ =0
Tìm m ñ phương trình có hai nghi m phân bi t nh hơn 2
Ví d 7. Tìm m ñ phương trình 02mmx2x2
=++− có nghi m l n hơn 1
Ví d 8. Tìm m ñ phương trình 02m2m9mx6x 22
=+−+− có nghi m 3xx 21 ≤≤

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I
I. Phương trình trùng phương 0a,0cbxax 24
≠=++ (1)
ð t t = 2
x ≥ 0 phương trình (1) tr thành: at2
+ bt + c = 0 (2)
• PT (1) có nghi m khi và ch khi (2) có ít nh t m t nghi m không âm.
• PT (1) có ñúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có ñúng m t nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có m t nghi m b ng 0 và m t
nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có hai nghi m dương phân
bi t.
Ví d 1. Cho phương trình: x4
+ (1-2m)x2
+ m2
– 1 = 0.
a)Tìm các giá tr c a m ñ phương trình vô nghi m.
b)Tìm các giá tr c a m ñ phương trrình có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 2. Tìm m sao cho ñ th hàm s y = x4
-2(m+4)x2
+ m2
+ 8
c t tr c hoành l n lư t t i 4 ñi m phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD.
II. Phương trình ch a giá tr tuy t ñ i
1) Các d ng cơ b n:
| a | = b



±=
≥
⇔
ba
0b
| a | = | b | ba ±=⇔
| a | ≤ b



≤
≥
⇔ 22
ba
0b
| a | ≥ b








≥
≥
<
⇔
22
ba
0b
0b
| a | ≥ | b | 22
ba ≥⇔
Ví d 1. Gi i phương trình | x2
– 3x + 2 | - 2x = 1.
Ví d 2. Gi i b t phương trình x2
- | 4x – 5 | < 0.
Ví d 3. Gi i và bi n lu n phương trình | 2x – m | = x.
Ví d 4. Gi i phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3.
Ví d 5. Gi i và bi n lu n b t phương trình | 3x2
-3x – m | ≤ | x2
– 4x + m |.
2)Phương pháp ñ th :
a) Cách v ñ th hàm s y = | f(x) | khi ñã bi t ñ th hàm s y = f(x).
- Chia ñ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n ñ th n m phía trên tr c hoành (1) và
ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành (2).
- V ph n ñ th ñ i x ng v i ph n ñ th (2) qua tr c hoành ñư c ph n ñ th
(3).
- ð th hàm s y = | f(x) | là ñ th g m ph n ñ th (1) và ph n ñ th (3) v a
v .
b) ð nh lí: S nghi m c a phương trình g(x) = h(m) là s giao ñi m c a ñư ng th ng
n m ngang y = h(m) v i ñ th hàm s y = g(x). Khi g p phương trình có tham s ta tách riêng
chúng v m t v c a phương trình r i v ñ th hàm s y = g(x) và ñư ng th ng y = h(m) r i áp
d ng ñ nh lí trên ñ bi n lu n.
Ví d 6. Tìm m ñ phương trình | x2
– 1 | = m4
– m2
+1 có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 7. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.

Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T
I.Các d ng cơ b n
D ng 1: )x()x(f1n2 ϕ=+ , n ∈ N*
⇔ f(x) = [ )x(ϕ ]2n+1
D ng 2: )x()x(fn2 ϕ= , n ∈ N*
⇔



ϕ=
≥ϕ
n2
)]x([)x(f
0)x(
D ng 3:





ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f ,





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
D ng 4:










ϕ>
≥ϕ



<ϕ
≥
⇔ϕ>
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f ,










ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f
Ví d 1. Gi i phương trình 1x23x2x2
+=+−
Ví d 2. Gi i b t phương trình x12xx2
<−−
Ví d 3. Gi i b t phương trình x26x5x2 2
−>−+
Ví d 4. Tìm m ñ phương trình có nghi m 3mxx2mx 2
−+=−
II. Các phương pháp gi i phương trình, b t phương trình vô t không cơ b n
1) Phương pháp lũy th a hai v :
- ð t ñi u ki n trư c khi bi n ñ i
- Ch ñư c bình phương hai v c a m t phương trình ñ ñư c phương trình tương ñương
(hay bình phương hai v c a m t b t phương trình và gi nguyên chi u) n u hai v c a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi n ñ i căn th c AA2
= .
Ví d 5. Gi i phương trình 4x31x +−=+
Ví d 6. Gi i b t phương trình x78x23x −+−≥+
Ví d 7. Gi i b t phương trình 15x5x3 >+−
Ví d 8. Gi i b t phương trình x1x2x ≤+−+
Ví d 9.Gi i phương trình 2x21x6x8x2 22
+=−+++
Ví d 10.Gi i b t phương trình 1x1x3x23x4x 22
−≥+−−+−
2)Phương pháp ñ t n ph :
- Nh ng bài toán có tham s khi ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
- Chú ý các h ng ñ ng th c 222
bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba 22
−+=− , …
Ví d 11.Gi i b t phương trình x2x71x10x5 22
−−≥++
Ví d 12.i i phương trình 47x1x7x28x =+−+++++
Ví d 13.Gi i phương trình 4x415x42x2x 2
−+−=−++
Ví d 14.Gi i phương trình
x
2x2x3
x
4
x9
2
2
2 −+
=+
Ví d 15.Gi i b t phương trình 4
x2
1
x2
x2
5
x5 ++<+

Bài 4: H PHƯƠNG TRÌNH ð I X NG
I. H phương trình ñ i x ng lo i 1
1)Khái ni m: Là h mà m i phương trình không ñ i khi ta thay x b i y và thay y b i x.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
Bi n ñ i h phương trình v d ng: H ñã cho ⇔



=
=+
Py.x
Syx
(1)
Khi ñó x, y là nghi m c a phương trình: 0PStt2
=+− (2)
N u ∆ = S2
– 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghi m t1 ≠ t2 nên h phương trình (1) có hai
nghi m phân bi t (t1, t2), (t2, t1).
N u ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghi m kép t1 = t2 nên h (1) có nghi m duy nh t (t1, t2).
ði u ki n ñ h (1) có ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0





≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S2
Ví d 1.Gi i h phương trình



=+
=+
26yx
2yx
33




=+
=+
35yyxx
30xyyx



=++
=−−
1xyyx
3xyyx
22
Ví d 2.Tìm m ñ h sau có nghi m




+−=+
=−++
6m4myx
m1y1x
2



=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22
II. H phương trình ñ i x ng lo i 2
1)Khái ni m: Là h phương trình mà trong h phương trình ta ñ i vai trò x, y cho nhau
thì phương trình n tr thành phương trình kia.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
Tr v v i v hai phương trình c a h ta ñư c phương trình có d ng:
(x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.
Ví d 3.Gi i các h phương trình




=+
=+
x40yxy
y40xyx
23
23




=−
=−
22
22
x4xy
y4yx






+=
+=
x
1
xy2
y
1
yx2
2
2
Ví d 4.Tìm m ñ h sau có nghi m:




=−+
=−+
m1xy2
m1yx2




+−=
+−=
mxxy
myyx
2
2

Bài 5: M T S H PHƯƠNG TRÌNH D NG KHÁC
I. H vô t
Ví d 1. Gi i h phương trình




=+
=++
4yx
28xy2yx 22
Ví d 2. Gi i và bi n lu n




=−
=++
ayx
axyyx




=−−+
=−++
1xyxy
2yxyx




=+−
=−−
2yx2
2y2x
Ví d 5. Tìm m ñ h có nghi m




=++
=++
1x1y
my1x
II. H h u t







=++
=+
−+
22
y
x4
yx
1
x
y2
1yx
3
22
22



=−
=−
2)yx(xy
7yx 33




+=+
+=+
)x1(5y1
x16yy4x
22
33
Ví d 9. Tìm a ñ h có nghi m



=+++
+=−
02yxxy
)xy1(ayx




=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22
Ví d 11.Tìm m ñ h có hai nghi m phân bi t:



=+−
=+
2x2yx
myx
22




=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22




+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33
33
==========================================================

Chương 2: Phương trình lư ng giác, mũ, logarit
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
I. Phương trình lư ng giác cơ b n
Khi gi i các phương trình lư ng giác cu i cùng d n ñ n phép gi i các phương trình
lư ng giác cơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau ñây:
Phương trình ði u ki n có nghi m ðưa v d ng Nghi m
sinx = m 1m1 ≤≤− sinx = sinα



π+α−π=
π+α=
2kx
2kx
cosx = m 1m1 ≤≤− cosx = cosα α± + k2π
tgx = m m i m tgx = tgα α + kπ
cotgx = m m i m cotgx = cotgα α + kπ
b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( Zk ∈ ) . ðơn v góc thư ng dùng là radian.
ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm lư ng giác t i các góc ñ c bi t. ðư ng
tròn lư ng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng hơn.

Ví d 1. Gi i phương trình:
a) sin3x =
2
2
; b) sin(2x -
5
π
) = 1; c) sin( πx ) = 0.
a) cos2x = cos
5
π
; b) cos(3x -
3
π
) = cos(x +
2
π
); c) cosx = sin(2x +
4
π
).
Ví d 3. Gi i phương trình: 0)
3
8
xcos
3
(cos2
=
π
−
π
.
Ví d 4. Gi i phương trình: )xsin3cos()xsincos( π=π
Ví d 5. Gi i phương trình: 1)x2(sinxcos 22
=−
II. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , 0ba 22
≠+
Chia hai v c a phương trình (1) cho 22
ba + , ta ñư c:
(1) ⇔
222222
ba
c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
(2)
ð t
22
ba
a
+
= sin ϕ ;
22
ba
b
+
= cosϕ .
Khi ñó phương trình lư ng giác có d ng: cos(x - ϕ ) =
22
ba
c
+
(3)
Phương trình có nghi m khi và ch khi: 222
22
cba1
ba
c
≥+⇔≤
+
Khi ñó t n t i [ ]π∈α ;0 sao cho
22
ba
c
cos
+
=α nên ta có:
(1) ⇔ α=ϕ− cos)xcos( ⇔ π+α±ϕ= 2kx ; Zk ∈
Ví d 6. Gi i phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví d 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1
a) Gi i phương trình v i m = - 3 .
b) Tìm m ñ phương trình vô nghi m.
Ví d 8. Gi i phương trình: 1xsin3xcosxsin32xcos 22
=++
Ví d 9. Tìm α ñ phương trình sau có nghi m x ∈ IR:
2)xsin(xcos3 =α++
Ví d 10. Gi i phương trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin +=−
Ví d 11. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m 




 π
∈
2
;0x :
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví d 12. Gi i phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
Ví d 13. Gi i phương trình: 0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos 22
=+−−

III. Phương trình ñ ng c p, phương trình ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx
1) Phương trình ñ ng c p b c cao ñ i v i sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà t t c các s
h ng có t ng s mũ c a cosx và c a sinx ho c ñ u là s t nhiên ch n ho c ñ u là s t
nhiên l thì phương trình ñó ñư c g i là “ ñ ng c p” ñ i v i cosx và sinx. G i k là s l n
nh t trong các t ng s mũ nói trên ñư c g i là b c c a phương trình.
Cách gi i: - Xét trư ng h p cosx = 0 th vào phương trình
- Khi 0xcos ≠ chia hai v phương trình cho cosk
x sau ñó ñ t
n ph t = tgx.
Ví d 14. Gi i phương trình: 2sin3
x = cosx
Ví d 15. Gi i phương trình: xsin2)
4
x(sin3
=
π
+
Ví d 16. Tìm m ñ phương trình có nghi m:
msin2x + cos2x + sin2
x +m = 0.
Ví d 17: Tìm m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m x n m trong kho ng 




 ππ
−
2
;
2
:
3sin4
x – 2(m+2)sin2
x.cos2
x + (1 – m2
)cos4x = 0.
2) Phương trình ñ i x ng sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà các s h ng có
ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx ñư c g i là phương trình ñ i x ng ñ i
v i cosx và sinx. Ví d phương trình: 0cxsin.xcosb)xsinx(cosa =++± .
Cách gi i: ð t t = sinx + cosx, ta có 2t ≤ . Khi ñó: sinx.cosx =
2
1t2
−
N u ñ t t = sinx - cosx, ta có 2t ≤ . Khi ñó: sinx.cosx =
2
t1 2
−
Ví d 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).
a) Gi i h phương trình v i m = - 1.
b) Tìm m ñ phương trình có nghi m.
Ví d 19. Gi i phương trình: x2sin
2
3
xcosxsin1 33
=++
Ví d 20. Gi i phương trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1 33
=++
Ví d 21. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m 




 ππ
∈
4
3
,
4
x :
.mxsinxcos 33
=+

IV. Phương trình ñưa v d ng tích
Các phương trình lư ng giác không có d ng như nh ng phương trình ñã trình bày các
m c trư c, ngư i ta thư ng nghĩ t i phân tích chúng thành nh ng phương trình cơ b n.
Vi c phân tích thành tích th c ch t là ñi tìm th a s chung c a các s h ng có trong
phương trình. ð làm ñư c ñi u ñó, chúng ta c n ph i thành th o các công th c lư ng giác, các
h ng ñ ng th c ñ i s ñáng nh và cũng c n ph i có kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a
các s h ng có trong phương trình.
• Th các nghi m ñ c bi t như 1xsin ±= ,
2
1
xsin ±= , 1xcos ±= ,
2
1
xcos ±=
và phương trình có ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng ñ ng th c sin2
x + cos2
x
= 1.
• Dùng các công th c bi n ñ i như h b c, bi n ñ i t ng thành tích , bi n ñ i tích
thành t ng, hàm s lư ng giác c a hai góc có liên quan ñ c bi t. Chú thêm m t
s bi n ñ i sau ñây:
x2sin
2
tgxgxcot =+ , x2gcot2tgxgxcot =− ,
x2sin
1
x2gcotgxcot =−
• ð t các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m ñã th ñư c).
Tham kh o thêm b ng h các bi u th c có nhân t chung.
f(x) Bi u th c ch a th a s f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x, ...
cosx sin2x, tg2x, cotgx, ...
1+cosx
2
x
cos2
,
2
x
gcot 2
, sin2
x, tg2
x
1-cosx
2
x
sin2
,
2
x
tg2
, sin2
x, tg2
x
1+sinx
cos2
x, cotg2
x, )
2
x
4
(cos2
−
π
, )
2
x
4
(sin2
+
π
1-sinx
cos2
x, cotg2
x, )
2
x
4
(cos2
+
π
, )
2
x
4
(sin2
−
π
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx
Ví d 1.Gi i phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
Ví d 2.Gi i phương trình: sin2
x + sin2
2x + sin2
3x =
2
3
Ví d 3.Gi i phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x =
2
1
( cos2x + cos4x).
Ví d 4.Gi i phương trình: 2sin3
x + cos2x + cosx = 0
Ví d 5.Gi i phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
Ví d 6.Gi i phương trình: x2sin1
tgx1
tgx1
+=
−
+
Ví d 7.Gi i phương trình 





−
π
=−
2
x
4
sin4x2sinx4cos.xsin 22
.

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. Các k t qu cơ b n
1) Hàm s mũ: y = ax
, .1a0 ≠<
• T p xác ñ nh: IR.
• T p giá tr : IR+
. (ñ th luôn n m phía trên tr c hoành)
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ th :
2) Hàm s logarit: y = logax , .1a0 ≠<
a) Các tính ch t:
• T p xác ñ nh: IR*
(x > 0 ).
• T p giá tr : IR
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ th :
Chú ý: Trong các b t phương trình mũ, logarit, cơ s a l n hơn hay bé
hơn 1 quy t ñ nh chi u c a b t phương trình. Vì v y ph i chú ý ñ n chi u c a b t phương trình
trong quá trình bi n ñ i.

b)Các công th c chú ý:
• bloga có nghĩa



≠<
>
⇔
1a0
0b
•
alog
blog
blog
c
c
a = ( Công th c ñ i cơ s v i 0b > , 1a0 ≠< , 1c0 ≠< ).
• blog
n
m
blog a
m
an = ( V i b > 0 và 1a0 ≠< )
• |b|log.k2blog a
k2
a = v i Zk ∈ .
II. Các phương trình, b t phương trình có d ng cơ b n
1) Phương trình mũ:
Cho .1a0 ≠<
D ng 1:



=
>
⇔=
blog)x(f
0b
ba
a
)x(f
D ng 2: ba )x(f
< (v i b > 0)










>
<<



<
>
⇔
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
D ng 3: ba )x(f
>
- N u 0b ≤ b t phương trình nghi m ñúng v i m i x thu c t p xác ñ nh
c a b t phương trình.
- N u b > 0, khi ñó b t phương trình tương ñương v i:










<
<<



>
>
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
D ng 4:










>
<<



<
>
⇔<
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa )x(g)x(f

2)Phương trình logarit
D ng 1: b
a a)x(fb)x(flog =⇔= .
D ng 2:










>
<<



<<
>
⇔<
b
b
a
a)x(f
1a0
a)x(f0
1a
b)x(flog
D ng 3:










<<
<<



>
>
⇔>
b
b
a
a)x(f0
1a0
a)x(f
1a
b)x(flog
D ng 4:










<<
<<



<<
>
⇔<
)x(f)x(g0
1a0
)x(g)x(f0
1a
)x(glog)x(flog aa
Ví d 1. Cho phương trình: 1mm
5
1 24
3x4x2
+−=





+−
a)Gi i phương trình khi m = 1.
b)Tìm m ñ phương trình có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 2. Gi i b t phương trình: 2)3x8x5(log 2
x >+−
Ví d 3. Tìm m ñ phương trình sau có hai nghi m phân bi t: x)m99(log 3x
2 =+
0)x2cosx(coslog)xsinx(coslog
x
1x =++−
Ví d 5. Gi i b t phương trình: [ ] 1)729(loglog x
3x ≤−
Ví d 6. Gi i b t phương trình: )x3(log)x5(log
3
1
3
1 −<−

III. Các phương trình, b t phương trình không cơ b n
• Ph i ñ t ñi u ki n.
• Nh ng bài toán có tham s , ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
• Nh ng bài toán phương trình, b t phương trình mũ, logarit mà n x v a s
mũ c a lũy th a, v a h s , thư ng chuy n v vi c phân tích thành th a s ,
nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t ñ i v i phương trình; xét d u
c a tích ñ i v i b t phương trình.
• Khi bài toán ph c t p, có nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau
ta có th ñ t n ph ñ ñưa bài toán tr lên ñơn gi n hơn.
Ví d 7. Gi i phương trình: 1x1x2xx
9
4
1
4.69
3
1
4.3 +++
−=+
Ví d 8. Gi i phương trình: xxx
6242.33.8 +=+
Ví d 9. Gi i b t phương trình: 3
)x5(log
)x35(log
a
3
a
>
−
−
(v i 1a0 ≠< ).
Ví d 10. Gi i phương trình: 2
93
32
27 )3x(log
2
1x
log)6x5x(log −+




 −
=+−
Ví d 11. Gi i phương trình: 0)2xlg(lg)xlg(lg 3
=−+
x2x)3x2x5(log.x3x2x5log.x 22
6
1
2
6
2
+=−−−−−
Ví d 13. Gi i b t phương trình: )3x(log
2
1
2xlog6x5xlog
3
1
3
1
2
3 +>−++−
Ví d 14. Gi i phương trình: 1)x7(log)1x(log)1x(log
2
1
2
1
2
1 =−−++−
Ví d 15. Gi i phương trình: 25)1x(lg)1x(lg 3224
=−+−
Ví d 16. Gi i phương trình: 4)21x23x6(log)x4x129(log 2
3x2
2
7x3 =+++++ ++
Ví d 17. Tìm m ñ phương trình sau ñây có hai nghi m trái d u:
01m4)4m2(16)3m( xx
=++−++

Chương 3: Kh o sát hàm s và các bài toán liên quan
Bài 1: KH O SÁT HÀM S
Sơ ñ kh o sát hàm s
1) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s (Xét tính ch n l , tính tu n hoàn (n u có)).
2) Kh o sát s bi n thiên hàm s
a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s
• Tính ñ o hàm
• Tìm các ñi m t i h n
(ði m t i h n thu c TXð và t i ñó )x(f′ không xác ñ nh ho c b ng 0)
• Xét d u c a ñ o hàm trong các kho ng xác ñ nh b i các ñi m t i h n.
(Gi a hai ñi m t i h n k nhau thì )x(f′ gi nguyên m t d u)
• Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng
(ð ng bi n n u )x(f′ >0, ngh ch bi n n u )x(f′ <0).
b) Tính các c c tr (suy ra ngay t ph n xét chi u bi n thiên)
c) Tìm các gi i h n c a hàm s
• Khi x d n t i vô c c ( +∞→x và −∞→x )
• Khi x d n t i bên trái và bên ph i, các giá tr c a x t i ñó hàm s không
xác ñ nh ( oxx +→ , oxx −→ )
• Tìm ti m c n (n u là hàm s phân th c)
- N u
∞→x
lim ∞=)x(f thì x = xo là m t ti m c n ñ ng c a hàm s
- Ti m c n xiên: y = ax + b . Trong ñó
x
)x(f
lima
x ∞→
= ; ]ax)x(f[limb
x
−=
∞→
(khi +∞→x ( −∞→x ), oxx +→ ( oxx −→ ) thì ñó là ti m c n bên ph i (trái))
d) Xét tính l i, lõm và tìm ñi m u n c a ñ th hàm s (n u là hàm s ña th c)
• Tính ñ o hàm c p 2
• Xét d u c a ñ o hàm c p 2
• Suy ra tính l i, lõm và ñi m u n c a ñ th (l p b ng l i lõm)
( n u 0)x(f <′′ v i )b;a(x ∈∀ thì ñ th hàm s l i trên kho ng ñó)
e) L p b ng bi n thiên (ghi t t c các k t qu tìm ñư c vào b ng bi n thiên)
3)V ñ th
• Chính xác hóa ñ th (tìm giao ñi m c a ñ th v i các tr c t a ñ và nên
l y thêm m t s ñi m c a ñ th , nên v ti p tuy n m t s ñi m ñ c bi t)
• V ñ th (ñ c l i các ví d m u SGK t trang 80 ñ n trang 97).

BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N KH O SÁT HÀM S
I. Tìm giao ñi m c a hai ñư ng
Gi s hàm s )x(fy = có ñ th là (C) và hàm s )x(gy = có ñ th là )C( 1 . Rõ ràng
)y;x(M ooo là giao ñi m c a (C) và )C( 1 khi và ch khi )y;x( oo là nghi m c a h phương trình



=
=
x(gy
)x(fy
Do ñó ñ tìm hoành ñ các giao ñi m c a (C) và )C( 1 ta gi i phương trình: )x(g)x(f = (1)
S nghi m c a phương trình chính là s giao ñi m c a hai ñ th (C) và )C( 1 .
N u ,...x,x 1o là các nghi m c a (1) thì các ñi m ))...x(f;x(M)),x(f;x(M 111ooo là các
giao ñi m c a (C) và )C( 1 .
Bài toán: Tìm m ñ ñ th hàm s c t ñư ng th ng t i m t s ñi m th a mãn yêu c u bài toán.
Ví d 1. Bi n lu n theo m s giao ñi m c a ñ th các hàm s
2x
3x6x
y
2
+
+−
= và mxy −=
Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a phương trình m2x3x 23
=−+
Ví d 3. V i giá tr nào c a k thì ñư ng th ng 2kkxy +−= c t ñ th hàm s
1x
1xx
y
2
−
−+
=
t i hai ñi m phân bi t.
Ví d 4. Tìm k ñ ñư ng th ng y = kx + 1 c t ñ th
2x
3x4x
y
2
+
++
= t i hai ñi m phân bi t
Ví d 5. Tìm m ñ ñư ng th ng mxy +−= c t ñ th
1x
1xx
y
2
−
−+
= t i hai ñi m phân bi t
Ví d 6. Tìm m ñ ñ th hàm s
1x
mxmx
y
2
−
++
= c t tr c hoành t i 2 ñi m phân bi t có hoành
ñ dương.
Ví d 7. Tìm m ñ ñư ng th ng y = m c t ñ th hàm s
)1x(2
3x3x
y
2
−
−+−
= t i hai ñi m A và B
sao cho ñ dài ño n AB = 1.
Ví d 8. Tìm m ñ ñ th 1mxx3xy 23
+++= c t ñư ng th ng y = 1 t i 3 ñi m phân bi t.
Ví d 9 . Tìm m ñ ñ th
3
2
mxmxx
3
1
y 23
++−−= c t tr c hoành t i 3 ñi m phân bi t.
Ví d 10. Tìm a ñ ñư ng th ng 1)1x(ay ++= c t ñ th hàm s
2x
1
1xy
+
++= t i hai ñi m
có hoành ñ trái d u.

II. Vi t phương trình ti p tuy n
Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C)
a) Phương trình ti p tuy n c a ñư ng cong (C) t i ñi m ))x(f;x(M ooo
)xx)(x(fyy ooo −′=−
b) Phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m )y;x(M 111 và ti p xúc v i (C)
ðư ng th ng d ñi qua )y;x(M 111 có d ng )xx(kyy 11 −=− 11 y)xx(ky +−=⇔
ð cho ñư ng th ng d ti p xúc v i (C), h phương trình sau ph i có nghi m:



=′
+−=
k)x(f
y)xx(ky 11
H phương trình này cho phép xác ñ nh hoành ñ ox c a ti p ñi m và h s góc )x(fk ′=
Chú ý: Hai ñ th hàm s )x(fy = và )x(gy = ti p xúc v i nhau n u và ch n u h
phương trình sau ñây có nghi m:



′=′
=
)x(g)x(f
)x(g)x(f
c) Phương trình ñư ng th ng có h s góc k và ti p xúc (C).
Phương trình ñư ng th ng có h s góc k có d ng bkxy += ti p xúc v i ñ th (C), ta gi i
phương trình k)x(f =′ tìm ñư c hoành ñ các ti p ñi m ,...x,x,x 21o T ñó suy ra phương
trình các ti p tuy n ph i tìm:
)xx(kyy ii −=− ( i = 0, 1, ...)
Bài toán : Vi t phương trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t phương c a ti p tuy n ho c ñi qua
m t ñi m cho trư c nào ñó.
Ví d 1. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s 22
)x2(y −= bi t ti p
tuy n ñó ñi qua ñi m A(0 ; 4)
Ví d 2. Vi t phương trình các ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng 3x
4
1
y += và ti p xúc
v i ñ th hàm s 2x4x3x)x(fy 23
+−+−==
Ví d 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s 1x3xy 3
++−= bi t ti p tuy n
ñó song song v i ñư ng th ng 1x9y +−=
Ví d 4. T g c t a ñ có th k ñư c bao nhiêu ti p tuy n c a ñ th hàm s
1x3xy 23
++= Vi t phương trình các ti p tuy n ñó.

Ví d 5. Cho hàm s
2
3
x3x
2
1
y 24
+−−= có ñ th là (C)
a) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) t i các ñi m u n.
b) Tìm ti p tuy n c a (C) ñi qua ñi m )
2
3
;0(A
Ví d 6. Cho hàm s
2x
2x3
y
+
+
= có ñ th là (C).
Ch ng minh r ng, không có ti p tuy n nào c a ñ th (C) ñi qua giao ñi m c a hai ti m c n c a
ñ th ñó.
Ví d 7. Cho hàm s
1x
1
xy
+
−= có ñ th là (C)
Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p ñi m mà ti p tuy n t i ñó song song v i nhau.
Ví d 8. Cho hàm s
2x
4m2mxx
y
2
+
−−+
= có ñ th (C)
Gi s ti p tuy n t i )C(M∈ c t hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ
Ví d 9. Vi t phương trình ti p tuy n v i ñ th hàm s
2x
5x4x
y
2
−
+−
= bi t r ng ti p tuy n ñi
qua ñi m A(1;1).
Ví d 10. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th
1x
1xx
y
2
+
−−
= bi t ti p tuy n song song v i
ñư ng th ng y = x− .
Ví d 11. Cho hàm s
1x
1xx
y
2
+
−−
= có ñ th là (C)
Tìm t t c các ñi m trên tr c tung mà t ñó có th k ñư c 2 ti p tuy n v i ñ th (C)
Ví d 12. Tìm a ñ ñ th
1x
ax3x
y
2
+
++
= có ti p tuy n vông góc v i ñư ng th ng y = x.
Ví d 13. Tìm m ñ ñ th 2223
m4x)1m4(mx2y ++−= ti p xúc v i tr c hoành.
Ví d 14. Tìm m ñ ñ th
2x
1m2mx3mx
y
2
+
+++
= ti p xúc v i ñư ng th ng y = m.
Ví d 15. Tìm a ñ ti m c n xiên c a ñ th
ax
3x)1a(x2
y
2
+
−++
=
ti p xúc v i parabôn 5xy 2
+= .

III. S ñ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s
Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm trên kho ng (a;b)
a) Hàm s f(x) ñ ng bi n trên (a;b) 0)x(f ≥′⇔ v i )b;a(x ∈∀
b) Hàm s f(x) ngh ch bi n trên (a;b) 0)x(f ≤′⇔ v i )b;a(x ∈∀
Bài toán : Yêu c u tìm m ñ cho hàm s ñ ng bi n, ngh ch bi n trong m t kho ng nào ñó
Chú ý: C n n m v ng các ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai
Ví d 1. Cho hàm s 1x)1m2(3mx3xy 23
+−+−=
Xác ñ nh m sao cho hàm s ñ ng bi n trên t p xác ñ nh.
Ví d 2. Cho hàm s 1mmx2x2y 2
−++=
Xác ñ nh m sao cho hàm s ñ ng bi n trong kho ng );1( +∞−
Ví d 3. Cho hàm s m4x)1m(x3xy 23
++++=
Tìm m ñ hàm s ngh ch bi n trên (-1,1)
Ví d 4. Cho hàm s
1x
2x)1m(2x
y
2
+
+++
=
Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trong kho ng );0( +∞
Ví d 5. Cho hàm s 2mx)1m2(mxx
3
1
y 23
+−−+−=
Tìm m ñ hàm s ngh ch bi n trên (-2;0).
Ví d 6. Cho hàm s
1x
mx3x2
y
2
−
+−
=
Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên ),3( +∞
Ví d 7. Cho hàm s 1x)2m(m3x)1m(3xy 23
+−+−−=
Tìm m ñ hàm s ñ ng bi n trên t p h p các giá tr c a x sao cho 2x1 ≤≤

IV.C c ñ i và c c ti u
Cho hàm s y = f(x) , xo thu c t p xác ñ nh c a hàm s . N u khi x ñi qua xo ñ o hàm ñ i
d u thì xo là m t ñi m c c tr c a hàm s .
o N u ñ i d u t + sang – thì xo là ñi m c c ñ i c a hàm s .
o N u ñ i d u t - sang + thì xo là ñi m c c ti u c a hàm s .
ð tìm các ñi m c c tr c a hàm s ta có hai quy t c:
o Tìm các ñi m t i h n sau ñó xét d u c a ñ o hàm )x(f′
o Gi i phương trình )x(f′ = 0. G i ix là các nghi m. Xét d u c a )x(f ′′
Bài toán : Tìm m ñ hàm s y = f(x) có c c tr và các ñi m c c tr th a mãn ñi u ki n nào ñó.
- Tìm ñi u ki n m ñ cho ñ o hàm c a hàm s có ñ i d u (s l n ñ i d u b ng s c c tr )
- Tìm t a ñ c a các ñi m c c tr r i ñ t ti p ñi u ki n c a m ñ th a mãn ñi u ki n mà
bài toán yêu c u.
Ví d 1. Tìm m ñ hàm s
mx
1mxx
y
2
+
++
= ñ t c c ñ i t i x = 2.
Ví d 2. Cho hàm s mmxx3x)2m(y 23
++++=
V i giá tr nào c a m, hàm s có c c ñ i và c c ti u.
Ví d 3. Ch ng minh r ng hàm s
2x
mx2x
y 2
2
+
++
= luôn có m t c c ñ i và m t c c ti u.
Ví d 4. Cho hàm s 1x)1m2(3mx3xy 23
+−+−=
Xác ñ nh m sao cho hàm s có m t c c ñ i và m t c c ti u. Tính t a ñ c a ñi m c c
ti u.
Ví d 5. Cho hàm s 1m2mx2xy 24
+−+−=
Bi n luân theo m s c c tr c a hàm s .
Ví d 6. Cho hàm s
1mx
1m2mxx
y
2
+
+++
=
Xác ñ nh m sao cho hàm s có c c tr và ti m c n xiên c a ñ th ñi qua g c t a ñ .
Ví d 7. Cho hàm s
2x
4m2mxx
y
2
+
−−+
=
Xác ñ nh m ñ hàm s có hai c c tr .
Ví d 8. Tìm a và b ñ các c c tr c a hàm s
bx9ax2xa
3
5
y 232
+−+=
ñ u là nh ng s dương và
9
5
xo −= là ñi m c c ñ i.

Ví d 9. Cho hàm s 1mmx2x2y 2
−++=
Xác ñ nh m sao cho hàm s có c c tr trong kho ng ),1( +∞−
Ví d 10. Xác ñ nh m sao cho hàm s
1x
1m4x)m42(mx
y
2
−
−+−+
=
Có c c tr trong mi n x > 0.
mx
mxmx
y
2
+
++
= .
Tìm m ñ hàm s không có c c tr .
Ví d 12. Cho hàm s 4x)3m2m(mx3xy 223
+−++−= .
Tìm m ñ ñ th hàm s có c c ñ i, c c ti u n m hai phía tr c tung.
1x
mxx
y
2
+
++
= .
Tìm m ñ ñ th hàm s có c c ñ i, c c ti u n m hai phía tr c tung
Ví d 14. Tìm t t c các giá tr c a tham s m ñ hàm s
mx
m4mx)3m2(x
y
22
+
++++
= có hai
c c tr và giá tr c a ñi m c c tr tương ng trái d u nhau.
mx
1mx)1m(x
y
2
−
+−++
= có hai c c tr và giá tr c a ñi m c c tr tương
ng cùng d u nhau.

Ôn thi Toán

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ôn thi Toán

Similar to Ôn thi Toán (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Ôn thi Toán