Tieu luan phung phap tinh

Học Phần Phương Pháp Tính GV: TS Võ Thanh Tùng
Học viên: Kiều Quang Vũ 1
Khóa 2014 - 2016
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 2
NỘI DUNG ............................................................................................................... 3
CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG........................... 3
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG .............................................................. 3
Bài 1: Phương pháp chia đôi .............................................................................. 3
Bài 2: Phương pháp lặp ...................................................................................... 3
Bài 3: Phương pháp Newton .............................................................................. 4
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ............................................................. 5
Bài 1: Phương pháp Gauss ................................................................................. 5
Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel.................................................................... 6
III. NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ.......................................................................... 6
Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange ............................................................... 6
Bài 2: Phương pháp nội suy Newton.................................................................. 7
IV. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN. ....................................... 8
Bài 1: Tìm đạo hàm gần đúng bằng phương pháp nội suy Newton................... 8
Bài 2: Phương pháp hình thang và Simson. ....................................................... 9
V. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN............................................ 9
Bài 1: Giải phương trình vi phân bằng cách khai triển chuổi Taylor................. 9
Bài 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler............................. 10
CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA ................................... 11
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 13
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 14

Khóa 2014 - 2016
LỜI MỞ ĐẦU
Các bài toán ứng dụng trong vật lý thường là không “đẹp” và không thể giải
theo các phương pháp tính đúng. Đồng thời với đó là các kết quả thực nghiệm đo
đạc cần được xử lý cũng như từ những số liệu này ta cần biểu diễn qua một hàm toán
học như thế nào? từ đó mới rút ra được những qui luật chung được. Để giải quyết
các vấn đề này bộ môn phương pháp tính sẽ cung cấp cho ta những kiến thức cũng
như những công cụ giải quyết các bài toán thực tế này. Trên cơ sở đó nhằm chuẩn bị
những kiến thức bước đầu cho quá trình nghiên cứu và xử lý số liệu trong quá trình
nghiên cứu vật lý tôi chọn đề tài luận “ Giải một số bài toán giải tích theo các phương
pháp gần đúng”
Trong tiểu luận này tôi không đề cập đến các lý thuyết về các phương pháp
mà chỉ đề cập đến việc giải quyết một số bài toán cơ bản nhất mà ta thường gặp. Đề
tài thực hiện theo ý kiến chủ quan của cá nhân nên sẽ không tránh khỏi những sai
lầm thiếu sót trong quá trình thực hiện nên mong thầy và các bạn học viên đóng góp
ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện.
Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn của Tiến sĩ Võ Thanh Tùng
và sự đóng góp ý kiến của các học viên chuyên ngành vật lý trường đại học khoa học
Huế để tiểu luận của tôi ngày càng hoàn thiện.

Khóa 2014 - 2016
NỘI DUNG
CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG
Bài 1: Phương pháp chia đôi
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình: f(x) = x4
+ 2x3
– x – 1 biết khoảng cách ly nghiệm là: x ϵ [0,1] với sai số không quá 10-3
Giải:
Ta có: f(0)= -1 ; f(1) =1  f(0).f(1) =(-1).1 = -1 < 0.
Nên phương trình đã cho có một nghiệm x ∈ [0;1].
Áp dụng phương pháp chia đôi
Bảng kết quả:
n an f(an) bn f(bn) xn =
2
n n
a b
f(xn) Sai số
0 0.5 -1.19 1.5 9.313 1.0 1.0000 0.50000
1 0.5 -1.19 1.0 1.000 0.75 -0.5898 0.25000
2 0.75 -0.59 1.0 1.000 0.875 0.0510 0.12500
3 0.75 -0.59 0.875 0.051 0.8125 -0.3039 0.06250
4 0.8125 -0.30 0.875 0.051 0.8438 -0.1356 0.03125
5 0.8438 -0.14 0.875 0.051 0.8594 -0.0446 0.01563
6 0.8594 -0.04 0.875 0.051 0.8672 0.0026 0.00781
7 0.8594 -0.04 0.8672 0.003 0.8633 -0.0211 0.00391
8 0.8633 -0.02 0.8672 0.003 0.8653 -0.0093 0.00195
9 0.8653 -0.01 0.8672 0.003 0.8663 -0.0033 0.00098
Áp dụng công thức tính sai số tính sai số tại n = 9
Δxn =
 
1
2n
b a


= 0.00098< 0,001
Vậy nghiệm gần đúng của bài toán là: x = 0.866
Bài 2: Phương pháp lặp
Giải phương trình x5
- 40x + 3 = 0; x ∈ [0,1], bằng phương pháp lặp với
sai số không quá 10-7
Giải:
Ta có: f(0) = 3; f(1) = -36  f(0).f(1) =3.(-36)= -108 < 0
Nên phương trình trên có nghiệm thuộc [0,1]

Khóa 2014 - 2016
Ta đưa phương trình đã cho về dạng: x =
5
3
40
x 
.
Đặt: g(x) =
5
3
40
x 
Ta thấy g(x) thoả mãn: 0 ≤ g(x) ≤ 1
0 ≤ g/
(x) =
4
8
x
≤ g/
(1) =
1
8
= q < 1 với x ∈ [0,1]
Xây dựng phép lặp với: 4
0
1
0.5
3
40
n
n
x
x
x 


 

Lập bảng:
N xn Sai số
0 0.5
1 0.07656250 6.10-2
2 0.07500086 2,23.10-4
3 0.07500079 0,097.10-7
Sai số: 3 3 2
| |
1
q
x x
q
  

= 0,097.10-7
Vậy nghiệm của bài toán là x = 0.07500079
Bài 3: Phương pháp Newton
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng phương trình: f(x) =
x4
- 2x – 4 = 0 biết khoảng cách ly nghiệm là: [1; 1,7], với sai số không quá 10-3
Giải:
Ta có: f(1)= - 5 < 0; f(1,7)= 0,9521 >0
f(x) liên tục trên [1 ;1,7]
f /
(x) = 4x3
– 2 ≥ 0 và f //
(x) = 12x2
> 0 với ∀ x ∈ [1;1,7];
nên chọn x0 = 1,7 thì phương pháp lặp Newton sẽ hội tụ
Xây dựng phép lặp Newton:
4
0
1
3
1
1
1
1,7
2 4
4 2
nn
n n
n
x
x x
x x
x






 
  
Ta có
x 1 1,7
f /
(x)

Khóa 2014 - 2016

1 1,7
min | '( )| 2X
m f x 
 
4
| ( )| | 2 4|
| |
2
n n n
n
f x x x
x x
m
 
  
Lập bảng ta có :
N xn Sai số
0 1.7
1 1.646062769 0,0164624
2 1.642944913 5,2612.10-5
Do mức độ sai số không quá 10-3
nên nghiệm của bài toán là: x = 1,643
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Phương pháp Gauss
Giải hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 2
2 1
2 5 6
4 2 2
x  

  
    
x x
x x x
x x
bằng phương pháp Gauss
Giải
A =
1 2 1
2 5 1
1 4 2
 
 
 
   
và b =
1
6
2
 
 
 
 
 
Ta có detA ≠ 0
Thực hiện phép biến đổi Gauss để chuyển về ma trận tam giác :
[A|b] =
1 2 1 1
2 5 1 6
1 4 2 2
 
 
 
   
 1 22h h  

1 2 1 1
0 1 1 4
1 4 2 2
 
 
 
   
1 31h h 

1 2 1 1
0 1 1 4
0 2 3 3
 
 
 
  
2 32h h 

1 2 1 1
0 1 1 4
0 0 1 11
 
 
 
 
 

1 2 3
2 3
3
2 1
4
11
x x x
x x
x
  

 
 

1
2
3
40
15
11
x
x
x
 

 
 
Vậy nghiệm của bài toán là: x1 = - 40; x2 = 15; x3 = 11.

Khóa 2014 - 2016
Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel
Giải hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1,5 0,2 0,1 0,4
0,1 1,5 0,1 0,8
0,3 0,2 0,5 0,2
x x x
x x x
x x x
  

   
   
bằng phương pháp
Gauss – Seidel
Giải
Phương trình trên có thể viết lại như sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
15 2 4
15 8
9 6 15 6
x x x
x x x
x x x
  

   
    
Ta có: A =
15 2 1
1 15 1
9 6 15
 
   
  
Áp dụng phương pháp Gauss – Seidel ta suy ra được
( ) ( 1) ( 1)
1 2 3
( ) ( ) ( 1)
2 1 3
( ) ( ) ( )
3 1 2
1
( 2 4)
15
1
( 8)
15
1
( 9 6 6)
15
m m m
m m m
m m m
x x x
x x x
x x x
 


   


  


   

||C||∞ = max(0 +
2
15
+
1
15
,
1
15
+ 0 +
1
15
, 1
9
15
+
6
15
+ 0) = 1
Chọn vecto x0 = (0, 0, 0) tìm nghiệm gần đúng đến x(6)
. Ta có bảng sau:
n
 
1
n
x  
3
n
x  
3
n
x
0 0 0 0
1 0.266666667 0.551111111 -0.339555556
2 0.362785185 0.534881975 -0.403718321
3 0.364898818 0.530745366 -0.406641144
4 0.364542125 0.530526732 -0.406514582
5 0.364504536 0.530532664 -0.406489656
6 0.364503666 0.530534267 -0.406488492
Vậy nghiệm x1 = 0.364503666, x2 = 0.530534267, x3 = -0.406488492
III. NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ.
Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange
Cho hàm số f(x) thoả mãn:

Khóa 2014 - 2016
xi 1 2 3 4 5
f(xi) 3 2 7 -1 0
Tìm hàm nội suy Lagrange của f(x); tính f(3,5).
Giải:
Áp dụng phương pháp nội suy Lagrange ta có bảng sau
ym xm 1 2 3 4 5 Dm
m
m
y
D
3 1 x-1 -1 -2 -3 -4 24(x-1)
 
3
24 1x 
2 2 1 x-2 -1 -2 -3 -6(x-2)
 
1
3 2x


7 3 2 1 x-3 -1 -2 4(x-3)
 
7
4 3x 
-1 4 3 2 1 x-4 -1 -6(x-4)
 
1
6 4x 
0 5 4 3 2 1 x-5 24(x-5) 0
ωm(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
Hàm nội suy Lagrange của f(x) được cho bởi:
   
0
n
m
n
m m
y
L x x
D


 
= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)[
 
1
8 1x 
+
 
1
3 2x


+
 
7
4 3x 
+
 
1
6 4x 
]
= 70 -
2 3 4
521 1963 81 41
4 24 24 24
x x x x
  
 f(3,5) = (3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4)(3,5 – 5)[
   
1 1
8 3,5 1 3 3,5 2

 
   
7 1
4 3,5 3 6 3,5 4
 
 
] ≈ 4.21094
Bài 2: Phương pháp nội suy Newton
Cho hàm f(x) và bảng xác định một số giá trị của hàm f(x):
x 1,01 1,09 1,14 1,21 1,28
f(x) 1,17520 1,30254 1,38631 1,50946 1,21730
Tính gần đúng f(1,134).

Khóa 2014 - 2016
Giải
Áp dụng phương pháp nội suy Newton ta có bảng sai phân:
xn f(xn) f(xn,xn+1) f(xn,xn+1,xn+2) f(xn,xn+1,xn+2,xn+3) f(xn,xn+1,xn+2,xn+3,xn+4)
1.01 1.1752
1.5918
1.09 1.30254 0.6435
1.6754 0.2779
1.14 1.38631 0.6990 -838.6903
1.7593 -226.7243
1.21 1.50946 -42.3786
-4.1737
1.28 1.2173
Theo công thức Newton tiến ta có:
f(x) = -1276,04 + 4609,04x -6231,13x2
+ 3739,58x3
- 840,31x4
f(1.134) = -1276,04 + 4609,04×1.134 -6231,13×1.1342
+ 3739,58×1.1343
-
840,31×1.1344
Vậy f(1.134) = 1.37398
IV. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN.
Bài 1: Tìm đạo hàm gần đúng bằng phương pháp nội suy Newton
Tính giá trị đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại x = 1.1, nếu giá trị của hàm được
cho trong bảng sau:
xi 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
yi = f(xi) 1.266 1.326 1.393 1.469 1.553 1.647
Giải
Ta sử dụng phương pháp nội suy Newton tìm hàm y = f(x)
Ta có bảng sai phân như sau:
n Xn f(Xn) Δn 𝛥 𝑛
2
𝛥 𝑛
3
𝛥 𝑛
4
𝛥 𝑛
5
1 1 1.266
0.06
2 1.1 1.326 0.007
0.067 0.002
3 1.2 1.393 0.009 -0.003
0.076 -0.001 0.006
4 1.3 1.469 0.008 0.003
0.084 0.002
5 1.4 1.553 0.01
0.094
6 1.5 1.647

Khóa 2014 - 2016
Áp dụng công thức :

  
          
2
(1) 0 0 0
0 0 0 1 0 12
( ) ( ) ( )(x x ) ... ( )...(x x )
1!h 2!h !h
n
n nn
y y y
x y x x x x x x
n
(1)
trong đó h = x2 - x1 = 0,1
Thay các giá trị vào (1) ta có:
f(x) = 5 𝑥5
−
125 𝑥4
4
+
8371 𝑥3
108
−
68449 𝑥2
720
+
3142423 𝑥
54000
−
14758
1125
f /
(x) = 25 𝑥4
− 125 𝑥3
+
8371 𝑥2
36
−
68449 𝑥
360
+
3142423
54000
 f /
(1.1) = 0.6294074074074
f //
(x) = 100 𝑥3
− 375 𝑥2
+
8371 𝑥
18
−
68449
360
 f //
(1.1) = 0.775
Bài 2: Phương pháp hình thang và Simson.
Cho tích phân: I = ∫
𝟏
𝒙 𝟐+𝟏
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 . Hãy chia đoạn [0,1] thành n = 10 đoạn con
bằng nhau rồi tính gần đúng tích phân theo công thức hình thang và công thức
Simson.
Giải:
Hàm f(x) =
1
𝑥2+1
∀ x ∈ [0,1]
Chia đoạn [0,1] thành 10 đoạn con bằng nhau nên h =
1−0
10
= 0.1
Ta lập bảng:
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
f(x) 1 0.990099 0.961538 0.917431 0.862069 0.8 0.735294
x 0.7 0.8 0.9 1.0
f(x) 0.671141 0.609756 0.552486 0.5
+ Áp dụng công thức bậc thang có:
I =
ℎ
2
(y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9) + y10)
I ≈ 0.784981 với sai số: Δ = 0.0004
+ Áp dụng công thức Simson có:
I =
ℎ
3
(y0 + y10 + 2( y2 + y4 + y6 + y8 ) + 4(y1+ y3 + y5 + y7 + y9))
I ≈ 0.785398 với sai số Δ = 0.0005625
V. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.
Bài 1: Giải phương trình vi phân bằng cách khai triển chuổi Taylor
Cho phương trình vi phân:y’ = x + y với y(0) = 1. Sử dụng khai triển chuổi
Talor tìm nghiệm của bài toán và tính gần đúng nghiệm tại x = ± 0.1 và x = ± 0.2
Giải
a) Tìm nghiệm bài toán theo khai triển Taylor

Khóa 2014 - 2016
y = f(x) = f(x0) +
𝑓′(𝑥0)
1!
(𝑥 − 𝑥0) +
𝑓′′(𝑥0)
2!
(𝑥 − 𝑥0)2
+ ⋯
Theo giả thiết bài toán: x0 = 0, y0 = f(x0) = 1
 𝑦(1)(0) = 𝑓′(0) = 1
𝑦(2)
= 𝑓′′(𝑥) = 1 + 𝑦(1)
 𝑦(2)
(0) = 𝑓′′(0) = 2
𝑦(3)
= 𝑓′′′(𝑥) = 𝑦(2)
 𝑦(3)(0) = 𝑓′′′(0) = 2
𝑦(4)
= 𝑦(3)
= 2
……….
y(n)
= y(n-1)
= 2
y = 1 +
𝑥
1!
+ 2.
𝑥2
2!
-2.
1
3!
x3
+….. = 1 – x + 2×(
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
-
1
3!
x3
+…..+1 - 1 )
y = 2ex
– x – 1
y(-0.1) = 2𝑒−0.1
+ 0.1 − 1 = 0.909675
y(-0.2) = 2𝑒−0.2
+ 0.2 − 1 = 0.837462
y(0.1) = 2𝑒0.1
− 0.1 − 1 = 1.11034
y(0.2) = 2𝑒0.2
− 0.2 − 1 = 1.24281
Bài 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler
Cho phương trình vi phân: 𝒚′
= 𝒙 + 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
với y(0) = 0. Sử dụng
phương pháp Euler tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng [-0.2,
0] bước nhảy h = - 0.05 tại x = - 0.15
Giải
Áp dụng công thức Euler cải tiến ta có:
y0 = 0
yn+1 = yn +
𝑘1+𝑘2
2
;
k1 = h×f(xn, yn) = - 0.05×f(xn, yn);
k2 = h×f(xn + h, yn +k1) =- 0.05×f(xn - 0.05, yn - 0.05×f(xn, yn);)
Ta lập bảng tìm các giá trị nghiệm gần đúng ứng với các bước nhảy h = - 0.05:
n xn k1 k2 y(xn)
0 0 0 0.002375 0
1 -0.05 0.002375 0.004499 0.001187
2 -0.1 0.004499 0.006371 0.004625
3 -0.15 0.00637 0.007986 0.010059
4 -0.2 0.007985 0.009343 0.017238
Từ bảng ta thấy tại x = - 0.15 thì y có giá trị là 0,010059.

Khóa 2014 - 2016
CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA
Để kiểm tra kết quả tính toán ở trên tôi viết các chương trình bằng ngôn ngữ
lập trình Mathematica. Những chương trình này được chứa trong thư mục
"Mathematica". Trong thư mục này gồm 5 thư mục con chứa các chương trình theo
thứ tự bố cục của phần giải theo lý thuyết nêu ở trên.
Một số lưu ý khi sử dụng chương trình:
- Chương trình được viết theo Font chữ VNI Window nên khi chạy chương
trình để thuận tiện trong việc quan sát kết quả chương trình nên thực hiện như sau:
+ Bôi đen tất cả: Ctrl + A.
+ Chọn: Format/font sẽ xuất hiện hộp thoại "Font" chọn font VNI - Times như
hình
- Để kết quả được chính xác sau mỗi lần nên làm như sau: chọn Valuation/Quit
Kernel/Local sẽ xuất hiện hộp thoại Quit Kernel chọn quit để xóa các dữ liệu lưu
trong bộ nhớ khỏi ảnh hưởng các lần tính sau.

Khóa 2014 - 2016
- Kết quả tính toán nằm ở cuối chương trình sau đường nét đứt.
- Khi làm việc với chương trình chỉ nên thay đổi phần được bôi đỏ không nên
thay đổi các câu lệnh không được bôi đỏ sẽ dẫn đến kết quả không chính xác hoặc
chương trình không chạy được.

Khóa 2014 - 2016
KẾT LUẬN
Trong quá trình giải các bài toán bằng phương pháp gần đúng tôi thấy mỗi
phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng. Song song với cách giải thông
thường tôi tiến hành viết một số chương trình bằng Mathematica để kiểm tra tính
đúng đắn của bài.
Đối với phần kiểm tra kết quả bằng Mathematica tôi viết một số chương trình
như sau:
- Giải gần đúng phương trình: phương pháp chia đôi, phương pháp newton.
- Giải hệ phương trình: giải chính xác và giải gần đúng bằng pháp lặp đơn.
- Bài toán nội suy: Nội suy hàm theo phương pháp Lagrange và Newton.
- Tính gần đúng tính phân: Phương pháp bậc thang (Truce) và phương pháp
Simson.
- Giải phương trình vi phân: Phương pháp Euler cải cải tiến và phương pháp
Runge - Kutta.

Khóa 2014 - 2016
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M.P. Cherkasova, Collected Problems in Numerical Method, Translated and
edited from the Russian by Dr. G.L.THOMAS University of London King's College
and Dr. R. S.ANDERSSEN Computer Center, The Australian National University
Canberra, Australia.
[2] TS Võ Thanh Tùng, Bộ bài giảng phương pháp, Đại học Khoa học Huế.
[3] Tạ Văn Dĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản giáo dục, 1999.
[4] Trương Vĩnh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trường, Giáo trình phương pháp
tính, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh.
[5] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính, Trường Đại Học Bách
Khoa Đà Nẵng.
[6] Các thông tin về phương pháp số và mathematica trên mạng internet.

Tieu luan phung phap tinh

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Tieu luan phung phap tinh

Similar to Tieu luan phung phap tinh (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Tieu luan phung phap tinh