toan hoc ve can thuc

1. ĐỉnhcaocủaviệchọclàcóthểTỰHỌC
TUYỂN TẬP BÀI TOÁN CĂN THỨC
Qua các kì thi tuyển sinh vào 10 năm 2014
Lê Minh An
Câu lạc bộ Toán Học – COOLMATH
Ngày 30 tháng 9 năm 2014
1 Các bài toán căn thức không chứa biến
1. Rút gọn biểu thức A =
5+
√
5
√
5+2
+
√
5
√
5−1
−
3
√
5
3+
√
5
. (TP. Hồ Chí Minh)
2. Thực hiện phép tính A =
4
√
3−1
−
2
√
2+
√
3
−
√
8. (Tỉnh Kon Tum)
3. Rút gọn biểu thức A =
2
√
7−
√
14
2−
√
2
−
√
28+
√
7−
√
5.
a (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Bà Rịa Vũng Tàu)
4. Rút gọn biểu thức A =
2+
√
3
7−4
√
3
−
2−
√
3
7+4
√
3
. (Tỉnh Đăk Lăk)
5. (Bài 1a) Rút gọn biểu thức A =
3
√
3−4
2
√
3+1
−
√
3+4
5−2
√
3
. (THPT Chuyên Bến Tre)
6. Cho biểu thức A = (4x5 +4x4 −5x3 +5x−2)2014 +2015. Tính giá trị A khi x =
1
2
√
2−1
√
2+1
.
a (Tỉnh Quảng Ngãi)
7. Cho a =
1−(
√
6−
√
2) 2+
√
3
6−4
√
2+ 3−2
√
2
. Tính giá trị biểu thức M = (a2 +a−1)2014.
a (THPT Chuyên tỉnh Quảng Nam)
8. CMR phương trình x4 +16x2 +32 = 0 có nghiệm xo = 2+ 2+
√
3− 6−3 2+
√
3.
a (Vòng 2 - THPT Chuyên Bình Dương)
1

2. ĐỉnhcaocủaviệchọclàcóthểTỰHỌC CLB Toán học COOLMATH Xuân Trường - Nam Định
9. CMR A < B biết
A =
1
1+
√
2
+
1
√
2+
√
3
+...+
1
√
120+
√
121
; B = 1+
1
√
2
+
1
√
3
...+
1
√
35
.
(Tỉnh Bình Định)
2 Các bài toán căn thức chứa biến
1. Rút gọn biểu thức B =
x
x+3
√
x
+
1
√
x+3
: 1−
2
√
x
+
6
x+3
√
x
, với x > 0.
a (TP. Hồ Chí Minh)
2. Cho x > 0,x = 1. Rút gọn biểu thức A =
4
√
x+1
+
2
1−
√
x
−
√
x−5
x−1
. (Tỉnh Bắc Ninh)
3. (Bài 1c) Rút gọn biểu thức A =
√
x
√
x+2
+
2
√
x−2
:
x+4
√
x+2
, với x ≥ 0,x = 4.
a (Tỉnh Quảng Ngãi)
4. Cho x > 0,x = 2. Rút gọn biểu thức A =
x
√
2
2
√
x+x
√
2
+
√
2x−2
x−2
. (TP. Đà Nẵng)
5. Cho a > 0,a = 4. Rút gọn biểu thức A =
a
a−2
√
a
+
a
√
a−2
:
√
a+1
a−4
√
a+4
.
a (Tỉnh Khánh Hòa)
6. Cho x > 0,x = 1. Rút gọn biểu thức A =
2
√
x
1−
√
x
−
4x
1−x
:
1
√
x
+
1
x+
√
x
a (Tỉnh Nam Định)
7. Cho x ≥ 0,x = 1, rút gọn biểu thức A =
4
√
x+1
+
2
1−
√
x
−
√
x−5
x−1
. (Tỉnh Bắc Giang)
8. Cho x > 0,x = 1, rút gọn biểu thức P =
1
√
x−1
:
1
√
x
−
1
x−
√
x
. (Tỉnh Hà Nam)
9. Rút gọn biểu thức A =
1
x+
√
x
+
2
√
x
x−1
−
1
x−
√
x
với x > 0, x = 1. (Tỉnh Tuyên Quang)
10. Rút gọn biểu thức P =
x
√
x−3
√
x+3x−9
x−9
−
x+3
√
x
√
x
. (Tỉnh Yên Bái)
11. Cho a,b là các số dương, rút gọn A =
a
√
a+b
√
b
√
ab
+
a−b
√
a+
√
b
. (Tỉnh Phú Thọ)
12. Cho biểu thức A =
1
√
x−1
−
√
x
x−1
:
1
√
x+1
.
(a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
(b) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 0.
Email: alm.maths@gmail.com 2 Lê Minh An

3. ĐỉnhcaocủaviệchọclàcóthểTỰHỌC CLB Toán học COOLMATH Xuân Trường - Nam Định
(Tỉnh Nghệ An)
13. Cho biểu thức A =
2
√
x−2
+
3
2
√
x+1
−
5
√
x−7
2x−3
√
x−2
:
2
√
x+3
5x−10
√
x
. (x > 0, x = 4)
(a) Rút gọn biểu thức A.
(b) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
(THPT Chuyên Thái Bình)
14. Cho biểu thức A =
√
x−1
x2 −x
:
1
√
x
−
1
√
x+1
với x > 0, x = 1.
(a) Rút gọn A.
(b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4+2
√
3.
(Tỉnh Thanh Hóa)
15. Cho a ≥ 0,a = 1 và Q =
a+2
√
a+1
a−1
·
1
√
a−1
−
2
√
a
a
√
a−a+
√
a−1
.
(a) Rút gọn Q.
(b) CMR khi a > 1 thì Q < 1.
(THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định)
16. Cho x > 0,x = 1 và P =
x−2
x+2
√
x
+
1
√
x+2
:
√
x+1
√
x−1
.
(a) CMR P =
√
x+1
√
x
.
(b) Tìm các giá trị của x để 2P = 2
√
x+5.
(TP. Hà Nội)
17. (Bài 1b) Cho biểu thức B =
√
x+2
x+2
√
x+1
−
√
x−2
x−1
(x+
√
x), với x > 0,x = 1.
(a) Rút gọn biểu thức B.
(b) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên.
(THPT Chuyên Bến Tre)
18. Cho biểu thức P =
x2 +
√
x
x−
√
x+1
−
2x+
√
x
√
x
+2, với x > 0.
(a) Rút gọn P.
(b) Tìm x để 1
P có giá trị nguyên.
(THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Kon Tum)
Email: alm.maths@gmail.com 3 Lê Minh An

4. ĐỉnhcaocủaviệchọclàcóthểTỰHỌC CLB Toán học COOLMATH Xuân Trường - Nam Định
19. Cho biểu thức A =
a2 +
√
a
a−
√
a+1
−
2a+
√
a
√
a
+1, với a > 0.
(a) Rút gọn A.
(b) Tìm các giá trị của a để A = 2.
(c) Tìm GTNN của A.
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định)
20. Cho biểu thức A =
2
√
a
√
a+3
+
√
a
√
a−3
−
√
3a+3a−9 :
2
√
a−2
√
a−3
−1 .
(a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. Rút gọn A.
(b) Tính giá trị của A với a = 4.
(THPT Chuyên Cần Thơ)
21. Cho biểu thức A =
x+2
√
x+4
x
√
x−8
+
x+2
√
x+1
x−1
: 3+
1
√
x−2
+
2
√
x+1
.
(a) Rút gọn A.
(b) Tìm giá trị của x để A > 1.
(THPT Chuyên Ngoại Ngữ ĐHQG HN)
22. Cho x ≥ 0,x = 1. Rút gọn biểu thức A =
10
√
x
x+3
√
x−4
−
2
√
x−3
√
x+4
+
√
x+1
1−
√
x
.
a (THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương)
23. Cho x > 0,y > 0 và x = y. Rút gọn biểu thức
A =
x
√
x+y
√
y
√
x+
√
y
−
√
xy : (x−y)+
2
√
y
√
x+
√
y
.
(Vòng 2 - THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Bà Rịa Vũng Tàu)
24. Cho x > 0,x = 9. Rút gọn biểu thức A =
x+
√
x−6
x−9
+
x−17
√
x+19
x+
√
x−12
−
x−5
√
x
x+4
√
x
.
a (Vòng 2 - THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ)
25. CMR biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của x
P =
2x
x+3
√
x+2
+
5
√
x+1
x+4
√
x+3
+
√
x+10
x+5
√
x+6
.
(THPT Chuyên ĐHKH Huế)
Email: alm.maths@gmail.com 4 Lê Minh An

5. ĐỉnhcaocủaviệchọclàcóthểTỰHỌC CLB Toán học COOLMATH Xuân Trường - Nam Định
26. Cho a,b là các số thực dương phân biệt. Rút gọn biểu thức
A =
a
√
a−b
√
b
a
√
b−b
√
a
−
a
√
a+b
√
b
a
√
b+b
√
a
−
a
b
−
b
a
√
a+
√
b
√
a−
√
b
−
√
a−
√
b
√
a+
√
b
.
(Vòng 2 - THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa)
27. Tính
x
y
biết x > 1,y < 0 và
(x+y)(x3 −y3) (1−
√
4x−1)2
(1−
√
4x−1)(x2y2 +xy3 +y4)
= −6.
a (THPT Năng Khiếu ĐHQG TP. HCM)
28. Cho các số thực dương a,b với a = b. Chứng minh đẳng thức
(a−b)3
(
√
a−
√
b)3
−b
√
b+2a
√
a
a
√
a−b
√
b
+
3a+3
√
ab
b−a
= 0.
(THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)
3 Một số biến đổi thường gặp
• a = (
√
a)2
Ví dụ:
– Biểu thức a+
√
a−6 cần xem đó như một tam thức bậc 2 và có thể tách thành tích.
a+
√
a−6 = (
√
a)2
+
√
a−6 = (
√
a)2
+3
√
a−2
√
a−6
=
√
a(
√
a+3)−2(
√
a+3) = (
√
a+3)(
√
a−2)
– Hằng đẳng thức:
a−b = (
√
a)2
−(
√
b)2
= (
√
a−
√
b)(
√
a+
√
b);
a±2
√
a+1 = (
√
a)2
±2
√
a+1 = (
√
a±1)2
.
– Biểu thức a ±
√
a + 1, a ±
√
ab + b, a ± 2
√
a + 4, ... là các bình phương thiếu của tổng
(hiệu). Xuất hiện biểu thức loại này thì khả năng cao là sẽ cần sử dụng các hằng đẳng thức
tổng (hiệu) hai lập phương.
x3
±y3
= (x±y)(x2
xy+y2
).
• a
√
a = (
√
a)3
Ví dụ:
a
√
a+b
√
b = (
√
a)3 +(
√
b)3 = (
√
a+
√
b)(a−
√
ab+b)
a
√
a−1 = (
√
a)3 −13 = (
√
a−1)(a+
√
a+1)
Email: alm.maths@gmail.com 5 Lê Minh An

6. ĐỉnhcaocủaviệchọclàcóthểTỰHỌC CLB Toán học COOLMATH Xuân Trường - Nam Định
4 Một số bài toán phụ thường gặp sau khi rút gọn biểu thức
BT1: Tính giá trị biểu thức rút gọn với giá trị x tương ứng.
Cho M =
√
x
√
x−2
, tính giá trị của M khi
1. x = 9+4
√
5− 9−4
√
5; 2. x =
8
√
2−1
−
8
√
2+1
; 3. |x−1| = 5.
BT2: Tìm x (nguyên) để biểu thức rút gọn có giá trị nguyên.
1. Tìm x ∈ Z để từng biểu thức sau là số nguyên: A =
3
√
x−2
; B =
√
x+1
√
x−3
; C =
2
√
x
3−
√
x
2. Tìm x ∈ Z để M =
3
√
x−2
là số nguyên dương.
3. Tìm mọi giá trị của x để biểu thức M =
−5
√
x+2
√
x+3
là số nguyên.
BT3: Tìm x để biểu thức rút gọn thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức.
1. Cho N =
√
x+1
√
x+2
. Tìm x để
a) N =
2
5
; b) N =
3
4
; c) N =
4
5
; d) N =
2
√
x−3
6
2. Tìm x ∈ Z để biểu thức
a) A =
3
√
x−2
có giá trị âm. b) B =
2
√
x
3−
√
x
có giá trị dương.
3. Cho A =
1−x
√
x
, tìm x để A = 1−
√
x.
4. Cho P =
√
x−1
√
x+1
, tìm x để P <
1
2
5. Cho M =
√
x+1
√
x+2
, tìm x để M >
2
5
6. Cho A =
√
x
x+
√
x+1
. CMR A ≤
1
3
7. Cho M =
√
x+1
√
x+2
. So sánh M, M2.
BT4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức rút gọn.
1. Tìm GTNN của biểu thức
M =
√
x−1
√
x+1
; N =
x+
√
x+1
√
x
; P =
x+16
√
x+3
;
A = x−
√
x+1; B = x+
√
x+1; C = x−3
√
x−1+2012;
2. Tìm GTLN của biểu thức
M =
3
√
x+3
; N =
√
x+2
√
x+1
; A =
√
x−x; B =
3
x−3
√
x+2
Email: alm.maths@gmail.com 6 Lê Minh An