Chuong05

1,708 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,708
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
50
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Chuong05

  1. 1. CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
  2. 2. Đặt vấn đề <ul><li>Trong toán học, đã có phương pháp tính đạo hàm và tính phân xác định </li></ul><ul><li>Thực tế, thường gặp các trường hợp : </li></ul><ul><ul><li>Hàm y=f(x) chỉ được cho ở dạng bảng, công thức tường minh của y là chưa biết. </li></ul></ul><ul><ul><li>Hàm f(x) đã biết, nhưng phức tạp </li></ul></ul><ul><ul><li>Hoặc viết chương trình máy tính để tính tích phân xác định. </li></ul></ul><ul><ul><li>Chọn giải pháp: “Tính gần đúng” </li></ul></ul>
  3. 3. 5.1 Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Áp dụng công thức Taylor: </li></ul>Đặt h = x-x 0   x=x 0 +h: Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h 2 . Khi đó (5.1) Có thể lấy công thức (5.1) để tính gần đúng f’(x 0 ) khi |h| khá bé
  4. 4. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Sai số: </li></ul>Với |f’’(x)|<=M,  x  [x 0 ,x 0 +h] Ví dụ: Cho f(x)=2x 4 +x-1. Tính f’(1)? Giải: Chọn h=0.001, ta có: Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05  x  [1;1,001]
  5. 5. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Áp dụng đa thức nội suy </li></ul><ul><ul><li>Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy P n (x), với n+1 mốc a=x 0 <x 1 <x 2 <…<x n =b </li></ul></ul><ul><ul><li>f’(x)  P n ’(x) với x  [a,b] </li></ul></ul><ul><ul><li>Sai số: </li></ul></ul>
  6. 6. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Đa thức nội suy Lagrange với 2 mốc nội suy: </li></ul>
  7. 7. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều: x i+1 -x i = h </li></ul>Với Lưu ý
  8. 8. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Trường hợp 3 mốc: x 0 , x 1 , x 2 với x 1 -x 0 =x 2 -x 1 = h </li></ul>
  9. 9. 5.2. Tính gần đúng tích phân <ul><li>Cần tính </li></ul><ul><li>Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), thì I có thể tính: </li></ul><ul><li>Trường hợp: </li></ul><ul><li>- f(x) chỉ được cho ở dạng bảng hoặc f(x) </li></ul><ul><li>- Hoặc f(x) đã biết nhưng tính toán phức tạp </li></ul><ul><li> Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn </li></ul>
  10. 10. Tính gần đúng tích phân <ul><li>Sử dụng đa thức nội suy </li></ul><ul><ul><li>Phân hoạch [a,b] thành m đoạn con [a 0 ,a 1 ],[a 1 ,a 2 ],…,[a m-1 ,a m ] (với a=a 0 , b=a m ), trên [a i , a i+1 ] thay f(x) bởi đa thức nội suy p i (x) </li></ul></ul>Chia thành m đoạn a 0 =a b=a m a 1 a 2 a i a i+1
  11. 11. Tính gần đúng tích phân <ul><li>5.2.1 Công thức hình thang </li></ul><ul><ul><li>Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia: x 0 =a<x 1 <…<x n =b, h=x i+1 -x i =(b-a)/n </li></ul></ul>Chia thành n đoạn x i X i+1 x 0 =a b=x n f(x) x 1 x 2
  12. 12. Công thức hình thang <ul><li>Thực ra, trên đoạn [x i , x i+1 ], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P 1 (x) </li></ul>Đặt x = x i +th  dx = hdt. Với x  [x i , x i+1 ]  t  [0,1] Vậy: sai số: Với c  [x i , x i +h]
  13. 13. Công thức hình thang <ul><li>I i gần bằng diện tích hình thang x i ABx i+1 </li></ul>x i x i+1 f(x) h y i+1 y i r i (h) A B
  14. 14. Tính gần đúng tích phân. <ul><li>Công thức hình thang tổng quát: </li></ul><ul><li>Sai số toàn phần: </li></ul><ul><li>Với M = sup|f’’(x)| , x  [a,b] </li></ul>
  15. 15. 5.2. Tính gần đúng tích phân. <ul><li>Ví dụ: Tính gần đúng </li></ul>Số phép phân hoạch [1,5] thành 4 phần bằng nhau
  16. 16. 5.2. Tính gần đúng tích phân. <ul><li>5.2.2 Công thức Simpson (công thức parapol): </li></ul><ul><li>Phân hoạch [a,b] thành 2n đọan con bằng nhau bởi các điểm chia a=x 0 <x 1 <x 2 <……<x 2n =b </li></ul>x 0 =a b=x 2n Chia thành 2n đoạn f(x) x 1 x 2
  17. 17. 5.2.3 Công thức Simpson (tt) <ul><li>Xét đoạn kép [x 2i-2 , x 2i ]. Xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2 P i (x). Ta có: </li></ul>Sai số: Nếu |f’(x)| ≤ M,  x  [x 2i-2 , x 2i ] thì:
  18. 18. Công thức Simpson tổng quát Sai số tòan phần: Người ta chứng minh được Với M thỏa: |f (4) (x)| ≤ M  x  [a,b] (*)

×