Ch de cuctri-gtln-gtnn

1. 1
Ph n 1:
C C TR TRONG I S :
M t s d ng toán thư ng g p:
▼ D ng 1: ưa v d ng bình phương
I. Phương pháp gi :
ưa v d ng
A2
≥0, ho c A2
+ c≥ c (v I c là h ng s ) d u b ng x y ra khi A=0
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm giá tr l n nh t c a P ( )1x x= −
L i gi i:
( )
2
1 1 1
1
2 4 4
P x x x x x
 
= − = − + = − − + ≤ 
 
ng th c x y ra khi
1
2
x = và
1
4
x =
Do ó giá tr l n nh t c a P là
1
4
t khi
1
4
x =
Ví d 2:
Tìm giá tr c a x bi u th c 2
1
2 2 5x x− +
có giá tr l n nh t
L i gi i:
Ta có:
( )
2
2
2
2 2 5 2 3 3
1 1
32 2 5
x x x
x x
− + = − + ≥
⇒ ≤
− +
Do ó, khi 2x = thì b êu th c 2
1
2 2 5x x− +
có giá tr l n nh t là
1
3
V í d 3:
V I x,y không âm; tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
2 3 2 2004,5P x xy y x= − + − +
L i gi i:
t ,x a y b= = v I , 0a b ≥ ta có:

2. 2
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
22 2
2 2
2
2
2 3 2 2004,5
2 1 3 2004,5
2 1 1 2 2 2003,5
1 1
1 2 2003,5
4 2
1
1 2 2003 2003
2
P a ab b a
a b a b
a b a b b b
a b b b
a b b
= − + − +
= − + + +
= − + + + + − +
 
= − − + − + + − 
 
 
= − − + − + ≥ 
 
Vì ( )
2
1 0a b− − ≥ và
2
1
0 ,
2
b a b
 
− ≥ ∀ 
 
1a b= +
3
2
a =
2003P = ⇔ ⇔
1
2
b =
1
2
b =
V y P t giá tr nh nh t là 2003 khi
3
2
x = và
1
2
y = hay
9
4
x = và
1
4
y =
III. Bài t p t gi i:
1) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 2 2
2 5 4 2P x y xy x= − − − +
2) Tìm giá tr nh nh t c a ( ) 2 2
, 2 6 12 45f x y x xy y x= − + − +
3) Cho hai s x,y tho mãn ng th c: 2 2
2
1
8 4
4
x y
x
+ + =
Xác nh x,y tích xy t giá tr nh nh t
4) Cho a là s c nh, còn x, y là nh ng s bi n thiên. Hãy tìm giá tr nh
nh t c a bi u th c: A = (x– 2y + 1)2
+ (2x + ay +5)2
Hư ng d n gi I và áp s :
1)Max P = 3 khi (x,y) = (1, -2)
2) ( ) ( )
2 2
, 6 5 9 9f x y x y y= − − + + ≥
3) Thêm 2
4 4xy x+ vào 2 v
K t qu : xy t GTNN là
1
2
− khi
1
2
x = ± 1y = ±
4) 0A ≥ khi a ≠ -4,
9
5
A = khi a = -4

3. 3
▼ D ng 2: s d ng mi n giá tr c a hàm s
I. Phương pháp gi :
Cho y = f(x) xác nh trên D
( )0y f D∈ ⇔ phương trình ( )0y f x= có nghi m 0a y b⇔ ≤ ≤
Khi ó min y = a, max y = b
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm Max và Min c a: 2
1
x
y
x
=
+
L i gi i:
T p xác nh D = R ⇒ 0y là m t giá tr c a hàm s
⇔ phương trình 0 2
1
x
y
x
=
+
có 1 nghi m x∈R
⇔ phương trình 2
0 0x y y x+ = có nghi m x∈R
⇔ phương trình 2
0 0 0x y x y− + = có nghi m x∈R
⇔ 0∆ ≥
⇔ 2
1 4 0y− ≥
⇔ 2
4y ≤
⇔
1 1
2 2
y− ≤ ≤
V y Min y =
1
2
− , Max y =
1
2
Ví d 2:
Xác inh các tham s a, b sao cho hàm s 2
ax
1
b
y
x
+
=
+
t giá tr l n nh t b ng
4, giá tr nh nh t b ng –1
L i gi i:
T p xác nh D = R
0y là m t giá tr c a hàm s ⇔ phương trình 0 2
ax+b
1
y
x
=
+
có nghi m x∈R
⇔ phương trình 2
0 0ax 0y x y b− + − = có nghi m x∈R (1)
• N u 0 0y = thì (1) ⇔ ax = -b có nghi m
a = b = 0
⇔
a ≠ 0
• N u 0 0y ≠ thì (1) có nghi m ⇔ 0∆ ≥
⇔ 2
0 04( ) 0a y b y− − ≥

4. 4
⇔ 2 2
0 04 4 0y by a− + + ≥
Theo 0y t giá tr l n nh t là 4, giá tr nh nh t là –1 nên phương
trình
2 2
0 04 4y by a− + + ph I có nghi m là –1 và 4 (do -1.4 = -4 < 0)
2
4
4
a−
= − 4a = ±
Theo nh lý Viet ta có : ⇔
3b = 3b =
V y v I a = 4, b = 3 ho c a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4
Ví d 3:
Tìm giá tr l n nh t c a hàm s :
3
4
2
12 ( )
36
x x a
y
x
− 
=  + 
L i gi i: Hàm s ã cho xác nh khi ( ) 0x x a− ≥
t 2
12 ( )
36
x x a
z
x
− 
=  + 
(1) thì 4 3
y z= , 0z ≥
0z là m t giá tr c a hàm s (1) ⇔ phương trình 0 2
12 ( )
36
x x a
z
x
−
=
+
có nghi m
hay phương trình 2
0 0(12 ) 12ax 36 0z x z− − − = có
nghi m (2)
• 0z =12 : (2) ⇔ ax = -36 có nghi m khi 0a ≠
• 0 12z ≠ : (2) có nghi m ⇔ 2
0 036 36 (12 ) 0a z z∆ = + − ≥
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
0
12 0
12 0
6 36 6 36
a z z
z z a
a z a
⇔ + − ≥
⇔ − − ≤
⇔ − + ≤ ≤ + +
Vì 0 0z ≥ nên 2
00 6 36z a≤ ≤ + +
V y max 2
6 36z a= + + ; max 2 34
(6 36)y a= + +
III. Bài t p t gi i:
1) Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c:
2
2
2 2
2 2
x x
y
x x
− +
=
+ +
2) Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c:
3 3 4 1 1
4 3 3 1 1
x x
y
x x
+ + − +
=
+ + − +
3) Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : 2 1
( )f x x x
x
= + + , x > 0
Hư ng d n gi I và áp s :

5. 5
1) Max 3 2 2y = + , Min 3 2 2y = −
2) k: 3 1x− ≤ ≤
t 2
2
3 2.
1
t
x
t
+ =
+
;
2
2
1
1 2.
1
t
x
t
−
+ =
+
v I t = tg [ ]0;1
2
ϕ
∈
Ta có
2
2
7 12 9
5 16 7
t t
y
t
+ +
= −
− + +
Max y
9
7
y = khi x = -3; min
7
9
y = khi x = 1
0 < x ≤ 0y (1)
2
0
1
y x x
x
= + + ⇔
x > 0 2 2
0 02 1 0y x y x− + =
(2)
i u ki n (2) có nghi m là 0 2y ≥
Áp d ng Vi-et ta ch ng minh ư c 1 2 0x x y< <
V y min f(x) = 2 v I x >0
▼ Dang 3: S d ng m t s b t ng th c quen thu c
► B t ng th c Cauchy
I. Ki n th c c n n m:
• Cho hai s a, b ≥ 0, ta coù:
ab
ba
≥
+
2
D u “ =” x y ra khi ⇔ a = b
• Cho n s a1, a2, … , an ≥ 0, ta có:
n
n
n
aaa
n
aaa
...
...
21
21
≥
+++
D u “=” x y ra ⇔ a1 = a2 = … = an
II. M t s bài t p ví d :
◦ Bi n pháp 1: Áp d ng b t ng th c tr c ti p.
Ví d 1:
Cho x > 0 ; y > 0 tho mãn i u ki n
2
111
=+
yx
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u
th c A = yx +
L i gi i:
3)Tìm nghi m c a h

6. 6
Vì x > 0 ; y > 0 nên
x
1
> 0 ;
y
1
> 0 ; 0;0 >> yx , theo b t Cauchy có:






+≤
yxyx
11
2
11
.
1
=> 4
4
11
≥=>≤ xy
xy
V n d ng b t Cauchy v i hai s dương x và y ta ư c
A = yx + ≥ 42.2 ≥yx = 4 ( D u “=” x y ra ⇔ x = y = 4)
V y min A = 4 ( khi và ch khi x = y = 4).
Nh n xét: không ph i lúc nào ta cũng có th dùng tr c ti p b t Cauchy i v i
các s trong bài. Dư i ây ta s nghiên c u m t s bi n pháp bi n i m t bi u
th c có th v n d ng b t Cauchy r i tìm c c tr c a nó.
Bi n pháp 1 : tìm c c tr c a m t bi u th c ta tìm c c tr c a bình phương bi u
th c ó.
Ví d 2:
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : A = .3753 xx −+−
L i gi i:
KX : .
3
7
3
5
≤≤ x
A2
= (3x – 5) + (7- 3x) + )37).(53(2 xx −−
A2
≤ 2 + ( 3x – 5 + 7 – 3x) = 4 ( d u “=” x y ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2).
V y max A2
= 4 => max A = 2 ( khi và ch khi x = 2).
Nh n xét: Bi u th c A ư c cho dư i d ng t ng c a hai căn th c. Hai bi u th c
l y căn có t ng không i (b ng 2). Vì v y, n u ta bình phương bi u th c A thì s
xu t hi n h ng t là hai l n tích c a căn th c. n ây có th v n d ng b t ng
th c Cauchy.
◦ Bi n pháp 2: Nhân và chia bi u th c v i cùng m t s khác 0.
Ví d 3:
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A =
x
x
5
9−
L i gi i:
KX : x ≥ 9

7. 7
A =
x
x
5
9−
=
30
1
10
3
99
5
3
3
9
2
1
5
3.
3
9
=
+−
=






+
−
≤
−
x
x
x
x
x
x
(d u “ =” x y ra khi và ch khi 183
3
9
=⇔=
−
x
x
).
V y max A =
30
1
( khi và ch khi x = 18).
Nh n xét: Trong cách gi i trên, x – 9 ư c bi u di n thành 3.
3
9−x
và khi vân
d ng b t Cauchy, tích 3.
3
9−x
ư c làm tr i tr thành t ng x
x
3
1
3
3
9
=+
−
có
d ng kx có th rút g n cho x m u, k t qu là m t h ng s . Con s 3 tìm ư c
b ng cách l y căn b c hai c a 9, s 9có trong bài.
Bi n pháp 3: Bi n i bi u th c ã cho thành t ng c a các bi u th c sao cho tích
c a chúng là m t h ng s .
1. Tách m t h ng t thành t ng c a nhi u h ng t b ng nhau.
Ví d 4 :
Cho x > 0, tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A = .
163
3
4
x
x +
L i gi i:
A = 3x + 4
333
16
....4
1616
x
xxx
x
xxx
x
≥+++=
A ≥ 4.2 = 8 ( d u “ =” x y ra khi và ch khi 2
16
3
=⇔= x
x
x
V y min A = 8 ( khi và ch khi x = 2).
Nh n xét: Hai s dương 3x và
x3
16
có tích không ph i là m t h ng s .Mu n kh
ư c x3
thì ph i có x3
= x.x.x do ó ta ph i bi u di n 3x = x + x + x r i dùng b t
Cauchy v i 4 s dương.
2. Tách m t h ng t ch a bi n thành t ng c a m t h ng s v i m t h ng t
ch a bi n sao cho h ng t này là ngh ch o c a h ng t khác có trong
bi u th c ã cho ( có th sai khác m t h ng s ).
Ví d 5:
Cho 0 < x < 2, tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = .
2
2
9
xx
x
+
−

8. 8
L i gi i:
A = 1
2
2
9
+
−
+
− x
x
x
x
A 71921
2
.
2
9
.2 =+=+
−
−
≥
x
x
x
x
( d u “=” x y ra
2
12
2
9
=⇔
−
=
−
⇔ x
x
x
x
x
).
V y min A = 7 ( khi và ch khi
2
1
=x ).
◦ Bi n pháp 4: Thêm m t h ng t vào bi u th c ã cho.
Ví d 6:
Cho ba s dương x, y, z tho mãn i u ki n x + y + z = 2. Tìm giá tr nh nh t c a
bi u th c :
P = .
222
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
L i gi i:
Áp d ng b t Cauchy i v i hai s dương
zy
x
+
2
và
4
zy +
ta ư c:
x
xzy
zy
xzy
zy
x
==
+
+
≥
+
+
+ 2
.2
4
..2
4
22
Tương t :
z
yx
yx
z
y
xz
xz
y
≥
+
+
+
≥
+
+
+
4
4
2
2
V y zyx
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++≥
++
+





+
+
+
+
+ 2
222
P ( ) 1
2
=
++
−++≥
zyx
zyx (d u “=” x y ra
3
2
===⇔ zyx ).
III. Bài t p t gi i:
1) Cho x + y = 15, tìm gía tr nh nh t, giá tr l n nh t c a bi u th c:
B = 34 −+− yx
2) Cho x, y, z ≥ 0 tho mãn i u ki n x + y + z = a.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = xy + yz + xz.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c B = x2
+ y2
+ z2
.

9. 9
3) Cho x, y, z là các s dương tho mãn i u ki n x + y + z ≥ 12. Tìm giá tr
nh nh t c a bi u th c P = .
x
z
z
y
y
x
++
4) Cho a, b, c là các s dương tho mãn i u ki n a + b + c = 1. Tìm giá tr
nh nh t c a bi u th c A = .
)1)(1)(1(
)1)(1)(1(
cba
cba
−−−
+++
5) Cho x, y tho mãn i u ki n x + y = 1 và x > 0. Tìm giá tr l n nh t c a
bi u th c B = x2
y3
.
6) Tìm giá tr nh nh t c a
xy yz zx
A
z x y
= + + v i x, y, z là các s dương và:
a) 1x y z+ + = b) 2 2 2
1x y z+ + =
7) Tìm giá tr l n nh t c a 3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
A
a b b c c a
= + +
+ + + + + +
v i a, b, c là
các s dương và abc = 1.
8)Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a
A x y z xy yz zx= + + + + + bi t r ng 2 2 2
3x y z+ + = .
9) Tìm giá tr nh nh t c a 3 3x y
A = + v i x + y = 4.
10) Tìm giá tr nh nh t c a 4
4 1A x x= − +
Hư ng d n gi i và áp s :
1.
KX : x ≥ 4, y ≥ 3
B ≥ ⇒8 min B = 8 ( khi và ch khi x = 4, y = 11 ho c x = 12, y = 3). max B2
=
16 nên max B = 4 ( khi và ch khi x = 8, y = 7).
2
.a. xy + yz + xz ≤ x2
+ y2
+ z2
(áp d ng b t Cauchy cho 2 s , r i c ng l i theo
v ).
Suy ra: 3(xy + yz + xz) ≤ ( x + y + z )2
Hay 3A ≤ a2
b. B = x2
+ y2
+ z2
= ( x + y + z )2
– 2( x + y + z )
B = a2
– 2A
B min ⇔ A max.
3.
P2
= .
222222
y
xz
x
zy
z
yx
x
z
z
y
y
x
+++++
Áp d ng b t Cauchy cho 4 s dương:
.4
...
44
222
x
yz
zyxx
z
z
yx
z
yx
y
x
=≥+++
Còn l i: tương t
C ng v v i v l i, ta ư c P2
≥ 4(x + y + z) – (x + y + z) = 3(x + y + z)

10. 10
P2
≥ 3.12 = 36
Min P = 6.( khi và ch khi x = y = z = 4).
4.
a + b + c = 1 ⇒ 1 – a = b + c > 0. Tương t 1 – b > 0, 1 – c > 0.
Có: 1 + a = 1 + (1 – b – c) = (1 – b) + (1 – c) ≥ ( )( )cb −− 112
Suy ra (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ ( ) ( ) ( )222
1118 cba −−−
A ≥ 8
V y min A = 8.
5. N u y ≤ 0 thì B ≤ 0.
N u y > 0 thì
1 = x + y =
3125
108
108
5
33322
325
32
≤⇒≥++++ yx
yxyyyxx
hay B ≤
3125
108
Suy ra max B =
3125
108
.
6.
Theo b t ng th c Cô-si
2. . 2
xy yz xy yz
y
z x z x
+ ≥ = tương t 2
yz zx
z
x y
+ ≥ ; 2
zx xy
x
y z
+ ≥
Suy ra 2A ≥ 2(x+y+z) = 2 ; min A = 1 v i
1
3
x y z= = =
b) Ta có
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
x y y z z x
A
z x y
= + + +
Hãy ch ng t 2
3A ≥ .
Min A = 3 v i x = y = z =
3
3
.
7.
D ch ng minh ( )3 3
a b ab a b+ ≥ + v i a > 0, b > 0. Do ó:
( )3 3
1 ( ).a b ab a b abc ab a b c+ + ≥ + + = + +
1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
max 1 1
a b c
A
ab a b c bc a b c ca a b c abc a b c
A a b c
+ +
≤ + + = =
+ + + + + + + +
= ⇔ = = =
8.
◦ Tìm giá tr l n nh t:
Áp d ng b t ng th c ( ) ( )2 2 2 2
3x y z x y z+ + ≤ + + ,ta ư c ( )
2
9x y z+ + ≤ nên

11. 11
3x y z+ + ≤ (1)
Ta có b t ng th c 2 2 2
xy yz zx x y z+ + ≤ + + mà 2 2 2
3x y z+ + ≤ nên
3xy yz zx+ + ≤ (2)
T (1) và (2) suy ra 6A ≤ . Ta có max 6 1A x y z= ⇔ = = = .
◦ Tìm giá tr nh nh t : t x + y + z = m thì
( ) ( )2 2 2 2
2 3 2m x y z xy yz zx xy yz zx= + + + + + = + + +
Do ó
2
3
2
m
xy yz xz
−
+ + = . Ta có
2
3
2
m
A m
−
= + nên
( )
22
2 2 3 1 4 4.
2.
A m m m
A
= + − = + − ≥ −
⇒ ≥ −
2 2 2
1
min 2
3
x y z
A
x y z
+ + =
= − ⇔ 
+ + =
, ch ng h n x = -1, y = -1, z = 1.
9.
4
3 3 2 3 3 2 3 2 3x y x y x y
A +
= + ≥ = =
10.
Ta có x x≤ (x y ra d u b ng khi và ch khi 0x ≥ ) nên 4 4 .x x− ≥ − Do ó
4
4 1A x x≥ − + .
Áp d ng b t ng th c côsi v i b n s không âm
4 4 44
1 1 1 4 4 4 1 2.x x x x x+ + + ≥ = ⇒ − + ≥ −
4
min 2 1A x= − ⇔ = và 0 1x x≥ ⇔ = .
► B t ng th c Bunhiacopski:
I. Ki n th c c n n m:
• Cho a, b, c, d tuỳ ý, ta có
(a2
+ b2
)(c2
+ d2
) ≥ (ac + bd)2
D u b ng x y ra khi: ad = bc.
• Cho a1, … , an và b1, … , bn tuỳ ý, ta có:
(a1
2
+ … + an
2
)(b1
2
+ … + bn
2
) ≥ ( a1b1 + … + anbn)2
D u b ng x y ra khi:
n
n
b
a
b
a
== ...
1
1
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm giá tr l n nh t c a : P = xx −+− 5413
L i gi i:
KX : 1 ≤ x ≤ 5
Áp d ng b t Bunhiacopski có:

12. 12
P2
≤ ( 32
+ 42
)(x – 1 + 5 – x) = 100
Suy ra max P = 10 khi ⇔
−
=
−
4
5
3
1 xx
x =
25
61
.
Ví d 2:
Cho a, b, c > 0. Tìm min P =
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
345
.
L i gi i:
P =
( ) ( ) )345(
345
3453
3
4
4
5
5
++−





+
+
+
+
+
++=++−+
+
++
+
++
+ bacacb
cba
ba
c
ca
b
cb
a
= ( ) ( ) ( )[ ] )345(
345
.
2
1
++−





+
+
+
+
+
+++++
bacacb
accbba
≥ ( ) ( )345345
2
1 2
++−++ ( theo b t Bunhiacopski).
Vaäy min P = ( ) ( )345345
2
1 2
++−++ khi và ch khi
345
bacacb +
=
+
=
+
.
T ng quát:
Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng:
( ) ( )222222
2
1
zyxxzyzxyz
ba
c
y
ca
b
x
cb
a
++−++≥
+
+
+
+
+
.
(c ng vào v trái (x2
+ y2
+z2
) r i tr i (x2
+ y2
+z2
), sau ó áp d ng b t
Bunhicopski).
Ví d 3:
Cho a, b, c > 0. Tìm min P =
ac
b
cb
bc
ba
ca
+
+
+
+
+
+
+ 433
L i gi i:
P = 106
4
2
3
2
3
−





+
+
+





+
+
+
+





+
+
+
ac
b
cb
ac
ba
ca
P = 10
664332323
−





+
++
+





+
++
+





+
++
ac
acb
cb
acb
ba
cba
P = ( ) 10
211
323 −





+
+
+
+
+
++
accbba
cba
P = ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 6102.21110
211
.2
2
=−++≥−





+
+
+
+
+
+++++
accbba
cacbba
V y min P = 6 khi và ch khi (a + b)2
= (b + c)2
= (c + a)2
hay a = b = c.
Cơ s :

13. 13
Ch n γβα ,, sao cho:
)323()(4)(3)(3 cbamacbcbacbaca ++=++=+++=+++ γβα .
T ó suy ra 2,6,2 ==== mγβα .
III. Bài t p t gi i:
1. Cho a, b, c > 0. Tìm giá tr nh nh t c a:
a) P =
ac
ba
cb
ba
ba
cb
+
+
+
+
+
+
+
+ 54893
.
b) Q =
ac
ba
cb
ba
ba
cb
+
+
+
+
+
+
+
+ 5243
.
c) R =
cba
c
cba
b
cba
ca
3
8
2
4
2
3
++
−
++
+
++
+
.
2. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a 2 2
A x y= +
bi t r ng ( ) ( )
22 2 2 2
2 3 2 1.x x y y+ − + − =
3. Tìm giá tr nh nh t c a :
2 2 2
a b c
A
b c c a a b
= + +
+ + +
v i a, b, c là các s dương và a + b + c =6.
4. Tìm giá tr nh nh t c a
2 1
2
A
x x
= +
−
v i 0 < x < 2.
5. Cho a, b, c > 0 và abc = 1
Tìm giá tr nh nh t c a
( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1
A
a b c b a c c a b
= + +
+ + +
Hư ng d n gi và áp s :
1. Câu a và câu b làm tương t ví d 3
Câu c không th làm như ví d 3 ư c, ta làm như sau:
t a + 2b + c = x
a + b + 2c = y
a + b + 3c = z
t ó suy ra c = z – y; b = x + y – 2y; a = 5y – x – 3z.
khi ó R =
z
y
y
z
y
x
x
y
z
yz
y
yzx
x
xy 8
88
44
1
2888442
+−−++−=
−
+
−+
+
−
.
R i áp d ng b t ta tìm ư c min R.
2.
T gi thi t suy ra
( ) ( )
22 2 2 2 2
4 3 0.x y x y x+ − + + = − ≤
Do ó ( )( )2
4 3 0 1 3 0 1 3.A A A A A− + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
min 1 0, 1.
max 3 0, 3.
A x y
A x y
= ⇔ = = ±
= ⇔ = = ±
3.

14. 14
Áp d ng b t ng th c Bunhiacópki cho 3 c p s
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2a b c
b c a c a b
b c a c a b
        + + + + + + +         + + +       
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
2
.
2
a b c
b c a c a b
b c a c a b
a b c
a b c a b c
b c a c a b
a b c a b c
b c a c a b
 
≥ + + + + + 
+ + + 
 
⇒ + + + + ≥ + +   + + + 
+ +
⇒ + + ≥
+ + +
Suy ra min A = 3.
4.
Áp d ng b t ng th c Bunhiacopski
( )( ) ( )
22 2 2 2
a b m n am bn+ + ≥ +
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 1 2 1
2 2 2
2 2
2 2 1 3 2 2.
2 1
2 12min 2 3 2 2 2 4 4
2 2
A x x x x
x x x x
A
x xA x x x
x x xx
        = + − + ≥ − +            − −       
⇒ ≥ + = +
−= + ⇔ = ⇔ = ⇔ = − +
− −
( )
22
4 4 8 2 8 2 2 2x x x x⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − (chú ý x > 0).
V y
3
min 2 2 2 2 2
2
A x= + ⇔ = − .
5.
t
1 1 1
, ,a b c
x y z
= = =
thì
, , 0
1
x y z
xyz
>

=
Khi ó
2 2 2
x y z
A
y z z x x y
= + +
+ + +
Áp d ng b t ng th c Bunhiacopski, bi n i tương ương ta ư c:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
x y z x y z
A
y z z x x y
+ + + +
≥ =
+ + + + +
M t khác theo BDT côsi ta có: 33 3x y z xyz+ + ≥ =
V y

15. 15
3
min
2
1
1 .
x y z
y z z x x y
A x y z
xyz
x y z a b c

= = + + +

= ⇔ = =
 =


⇔ = = = ⇔ = =
► B t ng th c Bernoulli
I. Ki n th c c n n m
)0,1(
1
>≥
+−≥
x
xx
α
ααα
(1)
D u “ =” x y ra khi x =1
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Cho x, y > 0 sao cho x + y = 1. Tim giá tr nh nh t :
a. P = x2
+ y2
b. Q = x5
+ y5
L i gi i:
a.
Áp d ng b t Bernoulli ta có:
(2x)2
≥ 1 – 2 + 2(2x)
(2y)2
≥ 1 – 2 + 2(2y)
C ng v theo v :
4P ≥ -2 + 4(x + y) = 2
P ≥
2
1
.
V y min P =
2
1
khi và ch khi x = y =
2
1
.
b.
Áp d ng b t Bernoulli ta có:
(2x)5
≥ 1 – 5 + 5(2x)
(2y)5
≥ 1 – 5 + 5(2y)
C ng v theo v ta có:
32Q ≥ -8 + 10(x + y) = 2
Q ≥
16
1
V y min Q =
16
1
. Khi và ch x = y =
2
1
.
T ng quát:
S = xm
+ ym
, m ≥ 1 v i x + y = 1.

16. 16
*. Theo (1), v i m i 0>≥ βα , ta có:
xx
β
α
β
αβ
α
+−≥ 1 (1’)
t xtxt =⇔= ββ
1
(1’) ⇔
D u “=” x y ra khi t = 1.
Ví d 2:
Cho x, y > 0, sao cho x3
+ y3
= 1. Tìm min P = 3
10
3
10
yx + .
L i gi i:
Theo (2), ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 2)(2.
9
10
9
2
2
2
9
10
9
10
12
2
9
10
9
10
12
333
10
3
3
33
10
3
3
33
10
3
=++−≥⇒
+−≥
+−≥
yxP
yy
xx
V y P ≥ 9
2
1
Hay min P = 9
2
1
khi và ch khi x = y = 3
2
1
*. T (2) thay t b i
0t
t
, ta ư c:
D u “=” x y ra khi t = t0 v i t0 là i m t giá tr nh nh t.
Bài toán:
Cho 0,,,;.(1.. >≥=+ dcbaybxa βαββ
)
Tìm min P = αα
ydxc .. +
βα
β
α
β
α
tt +−≥ 1 (2)
ββααα
β
α
β
α
tttt ..1 00
−
+





−≥ (3)

17. 17
t
Yyd
Xxc
=
=
α
α
Bài toán tr thành : Cho ββ
ynxm .. + = p (m,n > 0)
Tìm min A = αα
yx +
L i gi i:
Theo b t (3), ta có:
ββααα
ββααα
β
α
β
α
β
α
β
α
yyyy
xxxx
.1
.1
00
00
−
−
+





−≥
+





−≥
C ng l i : A ≥ ( ) ( )...1 0000
ββαββααα
β
α
β
α
yyxxyx −−
+++





−
Ch n (x0 , y0) tho mãn:
ββ
ynxm .. + = p
n
y
m
x βαβα −−
= 00
.
Khi ó: A ≥ ( ) ..1 0
00
m
x
yx
βα
αα
β
α
β
α −
++





− p.
V y min A = ( ) ..1 0
00
m
x
yx
βα
αα
β
α
β
α −
++





− p khi và ch khi x = x0, y = y0.
▼ D ng 4: Áp d ng b t ng th c trong tam giác và phuơng pháp t a , vectơ.
I. Phương pháp gi i:
V i 3 i m A, B, C, b t kì trong m t ph ng ta có: AB BC AC+ ≥ ( ng
th c khi B n m gi a A và C).
• V i hai véc tơ b t kì a và b ta có:
a b a b± ≤ + . ng th c khi a và b cùng hư ng ( )1
• N u ( )1 2,a a a= và ( )1 2b b b= +
( )1 ⇔ ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b± + ± ≤ + + +

18. 18
CB
A
ng th c x y ra khi 1 1
2 2
.
.
a k b
a k b
=

=
( )k R∈
D ng toán tìm giá tr l n nh t c a hàm s :
( ) ( )2 2 2 2
y f x a g x b= + + + v i
( ) ( ) ( )
, 0a b
f x g x k k R
≠

± = ∈
S d ng b t ng th c tam giác: gi s ( ) ( )f x g x k− = .
Trong m t ph ng Oxy xét i m: ( )( ) ( )2 2
,M f x a OM f x a⇒ = + và
2 2
( ( ), ) ( )N g x b ON g x b− ⇒ = + .
Ta có: ( )
22 2 2
( ) ( ) ( )MN f x g x a b k a b= − + + = + + .
Vì 2 2
( )OM ON MN y k a b+ ≥ ⇔ ≥ + + .
ng th c x y ra khi M, N, O th ng hàng . ( ) . ( ) 0a f x b g x⇔ + = .
V y Min 2 2
( )y k a b= + + .
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 2
1 1, .A a a a a a R= + + + − + ⊥ ∀ ∈
L i gi i:
D th y bi u th c không thay i khi thay a b i a− , do ó ch c n gi i v i 0a ≥ .
• Khi 0a = : 2A = .
• Khi 0a > : Xét ABC∆ có:
1
2
3
AB
AM MB
CM a
AMC
π

= = =

=

 =

Theo nh lí hàm côsi:
2 2 2
1 2.1. .cos 1 .
3
AC a a a a
π
= + − = + −
2
1.AC a a⇒ = − +
Tương t 2
1BC a a= + + , 2.AB =
Khi ó: 2 2
1 1 2 2.AC BC AB a a a a A+ ≥ ⇒ + + + − + ≥ ⇔ ≥
ng th c x y x y ra khi 0a = . V y 2MinA = khi 0.a =
Ví d 2:
Tìm giá tr nh nh t c a: 2 2 2 2
2 2 2 2 .y x px p x qx q= − + + − +
L i gi i:
3
πM

19. 19
Ta có: 2 2 2 2
( ) ( ) .y x p p x q q= − + − +
Xét i m ( , ); ( , ).M x p p N x q q− −
Ta có: 2 2
( ) ( ) .MN p q p q= − + +
Vì 2 2
( ) ( ) .OM ON MN y p q p q+ ≥ ⇔ ≥ − + +
Min⇒ 2 2
( ) ( ) .y p q p q= − + +
Khi , ,M N O th ng hàng ( ) ( ) 0 .
p q q p
q x p q x q x
p q
+
⇔ − + − = ⇔ =
+
Ví d 3:
Tìm giá tr nh nh t c a: 2 2
cos 2.cos 5 cos 4.cos 8.y x x x x= − + + + +
L i gi i:
Trong m t ph ng Oxy , xét i m
(2;1 cos ); (4,3)M x N−
Ta có: (2,2 cos )MN x= + như v y .y OM MN= +
Do 0 1 cos 2x≤ − ≤ nên [ ]M AB∈ v i (2,0)A và
(2,2)B .
Ta có: 2 2
4 3 5.OM MN ON+ ≥ = + =
ng th c x y ra khi , ,O M N th ng hàng
6 4.(1 cos ) 0x⇔ − − =
1 2
cos 2 .
2 3
x x k
π
π⇔ = − ⇔ = ± +
V y Min 5y = khi
2
2 .
3
x k
π
π= ± +
Ví d 4:
Cho 3 s th c a, b, c tho mãn h sau
2 2
2
1
2 ( ) 6
a c
b b a c
 + =

+ + =
( )
( )
1
2
Tìm giá tr nh nh t c a ( ).M b c a= −
L i gi i:
T gi thi t ta có: 2 2 2
2 2 2 2 8a c b ab bc+ + + + =
2 2
( ) ( ) 4
2 2
b b
a c⇔ + + + =
Do ( )
2 2
(1) 2 ( 2 ) 4c a⇔ + − =
Xét ( ; ); (2 ; 2 )
2 2
b b
x a c y c a+ + −

20. 20
Ta có: 2x = , 2y = , . .( ).x y b c a= −
Mà . .x y x y≤ cùng hư ng:
2 2 2 2
2
.( ) 2
2 2 .( ) 2.( ) 1
2 2
10
b b b a ca c
b a c a c a c
c c
b
+ = −+ +

⇔ = ⇔ + = − + ⇒ + =
−  =
(do (1) và (2) )
2 2
2 2
10
2
10
1 3 1 3 1
( , , ) ( , 10, );( , 10, )
10 10 10 1010
2
10
1
b
a c
a c
a b c
b
a c
a c
 =

 + = −

 + =
⇔ ⇒ = − − −
 = −

 + =

 + =
Max⇒ ( ) 4M b c a= − = khi ( , , )a b c như trên.
III. Bài t p t gi i:
1)Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
4 4 2
1 sin cos 2cos 2y x x x= + + + +
2)Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : 2 2
1 3 1y x x x x= − + + − +
3)Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s :
4 4 2 2
4 4 2 2
2 1
x y x y
y
y x y x
   
= + − + −   
   
4)Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1f x x x x x x x= − + + + + + + − − +
Hư ng d n gi và áp s :
1.
Ta có: ( ) ( )
2 22 2
1 1 cos 1 1 cosy x x= + − + + +
x
y
O
1
1
2
B
N
2
A
M

21. 21
Xét i m M(1, 1-cos2
x), N(2, 2) ta có: ( )2
1,1 cosMN x= +
Ta có: y = OM + MN
V i M thu c o n [AB] v i A(1, 0) và B(1, 1)
Ta có miny = ON = 2 2
2 2 2 2+ =
D u “=” x y ra khi O, M, N th ng hàng
( )2
2 2 1 cos 0x− − = 2
cos 0x⇔ =
Và maxy = OA + AN = 1+ 2
1 2 1 5+ = +
D u “=” x y ra khi M trùng v i A 2
cos 1x⇔ =
2.
Ta có:
22
1 3 3 1
2 4 2 4
y x x
  
= − + + − +       
Xét i m
1 3
,
2 2
M x
 
−  
 
và
3 1
,
2 2
N x
 
− −  
 
Hai i m M, N n m hai bên Ox. Ta có: y = OM + ON ≥ MN
2 2
3 1 3 1
min
2 2 2 2
3 1
min 2 2
4 4
y MN
y
   
= = − + + +      
   
 
= + = 
 
D u “=” x y ra khi M, O, N th ng hàng:
( )
1 1 3 3
0
2 2 2 2
3 1 2 3 1
x x
x x
  
− − − − =       
⇔ + = ⇔ = −
3.
4 4 2 2
4 4 2 2
2 1
x y x y
y
y x y x
   
= + − + −   
   
ch n
2 2
2 2
x y
u
y x
= + [ )2;u ∈ +∞
hàm s y(x) tr thành
f(u) = u2
– 2u – 3
phác h a th hàm f(u) trong mi n [ )2;+∞ ta thu
ư c k t qu :
max f(u) không t n t i
min f(u) = f(2) = -3
O
( )f u
u
M
2
3−

22. 22
C
'
C
M
'
MA
B
C
'
C
M
'
M
V y: max y(x) không t n t i
min y(x) = -3 t ư c khi
2 2
2 2
2
x y
y x
+ =
2
2
1
x
y
⇒ = ⇒ m i i m (x; y) thu c 2 ư ng phân giác y = x và y = -x
(tr g c O(0; 0))
4.
Hàm s f(x) có th vi t l i dư i d ng:
( ) ( )
2 22 2
22 3 1 3 1
1
2 2 2 2
f x x x x x x x
      
= + − + + + + + − + +               
(1)
Xét trên m t ph ng t a các i m
( )
3 1 3 1
0,1 , , , ,
2 2 2 2
A B C
   
− − −      
   
Và i m M(x,x) n m trên ư ng phân giác th nh t.
D th y ABC là tam giác u, v i tâm là g c t a . Theo công th tính
kho ng cách gi a hai i m trên m t ph ng t a , ta có v ph i c a (1) chính là
MA + MB + MC.
B : N u ABC là tam giác u, thì v i m i i m M c a m t ph ng tam giác, ta
luôn có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC, trong ó O là tâm tam giác u.
Ch ng minh:
N u M là i m trong tam giác. Xét phép quay R(A,600
), khi ó
'
'
M M
B C
C C
A A
→
→
→
→
⇒ MC = M’C’, MA = MM’
V y MA + MB + MC = MM’
+ MB + M’
C’
≥ BC’
M t khác n u g i O là tâm tam giác u ABC thì
OA + OB + OC = BC’
⇒ MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC

23. 23
N u M ngoài tam giác, ch ng minh tương t .
Theo b ta có
f(x) ≥ 3 (do OA = OB = OC)
V y min f(x) = 3.
▼ Dang 5 :Phương pháp s d ng th hàm s :
I. Phuơng pháp gi i:
Phương pháp này thư ng dùng tìm c c tr c a các hàm s sau:
2. Các hàm s qui v tam th c b c hai.
3. Các hàm s ch a d u giá tr tuy t i.
4. Các bài toán chuy n ư c thành toán hình h c b ng cách dùng công th c
dài o n th ng: 2 2
( ) ( )A B A BAB x x y y= − + − .
ây là các bài toán mà trong ó ( )f x cho dư i d ng căn b c hai mà làm
dư i căn bi u di n ư c thành dài m t o n th ng nào ó. ây là ưu
th c a phương pháp th .
5. Các hàm s ( , )u x y v i ,x y tho mãn trư c i u ki n.
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s sau:
21 1
) ( ) ( ) 3.( ) 1.
3
1
) ( ) .(2 sin ).( sin ).
15
x x
a y x
x
b y x x b x
+ +
= + +
= + −
L i gi i:
a) t
1 1
2.
x
u x
x x
+
= = + ≥
Hàm ( )y x tr thành: 2
( ) 3 1.y u u u= + +
Theo th hàm ( )y u trên [2; ).+∞
Ta ư c max ( )y u = không có.
miny(u)=y(2)=11.
b) t sin 1 1.u x u= ⇒ − ≤ ≤
Hàm ( )y x thành
1
( ) .(2 ).( ).
15
y u u b u= + −
D a vào th ta có k t qu :
max ( ) (1) 1
7
min ( ) ( 1)
15
y u y
y u y
= =
= − =

24. 24
Khi 2 1.
1 0
1.
x
x
x
≥
− ≥ ⇔  ≤ −
Khi 2
1 0 1 1.x x− ≤ ⇔ − ≤ ≤
Khi 1x ≤ − ho c 1.x ≥
Khi 1 1.x− ≤ ≤
Khi 1x ≥ ho c 1.x ≤ −
Khi 1 1.x− ≤ ≤
Khi 3x ≤ − ho c 1.x ≥ −
Khi 3 1.x− ≤ ≤ −
Khi 4 3.x− ≤ ≤ −
Khi 4 3.x− ≤ ≤ −
Ví d 2:
Tìm giá tr nh nh t c a: 2 2
( 1) .y x x= + −
L i gi i:
Tao có 2
1.y x x= + −
G i 2
1 1y x x= + − và 2
2 1y x x= − + +
thì 1
2
y
y
y

= 

V th c a y ta th y min ( 1) 1.y y= − = −
Ví d 3:
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a: ( )( )2 2
6 9 2 9y x x x x x= + + + + + trong
5
[ 4; ]
4
− − .
L i gi i:
Ta có: ( 3)( 1).y x x x= + + +
Do
( 3).( 1)
( 3).( 1)
x x
x x
+ +
− + +
Ta ch xét nh ng giá tr c a
5
4; .
4
n
 
∈ − −  
Ta ư c
2
2
5 3
3 3
x x
y
x x
 + +
= 
− − −
V th 2
1 5 3y x x= + +
2
2 3 3y x x= − − −
D a vào th :
2
1
3 3
max ( ) .
2 4
min ( 3) 3.
y y
y y
= − = −
= − = −
2
2
1
1
x x
y
x x
 + −

⇒ = 
 + −
2
2
1
1
x x
y
x x
 + −
⇒ = 
− + +
Khi 4 3.x− ≤ ≤ −
Khi
5
3 .
4
x− ≤ ≤ −
Y2
Y1

25. 25
III. Bài t p tương t :
1.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a 1 3 2 2y x x x= − + − − + v i
2 4.x− ≤ ≤
2.Tìm giá tr nh nh t c a: 2 2
4 12 13 4 28 53.y x x x x= − + + − +
3.Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : 2 5u x y= − + + bi t ,x y tho :
2 2
36 16 9.x y+ =
Hương d n và áp s :
1.
V i 2 1x− ≤ ≤ − thì (1 ) (3 ) (2 2) 6.y x x x= − + − − − =
V i 1 1x− ≤ ≤ thì 4 2.y x= − +
V i 1 3x≤ ≤ thì 2 .y x= −
V i 3 4x≤ ≤ thì 6.y = −
Ta v th c a hàm s 1 3 2 2y x x x= − + − − + v i 2 4.x− ≤ ≤
T th max 6 2 1.y x= ⇔ − ≤ ≤ −
min 6 3 4.y x= − ⇔ ≤ ≤
2.
Ta có: 2 2 2 2
(2 3) (0 2) (2 7) (0 2) .y x x= − + − + − + −
Trên m t ph ng to Oxy , xét
(2 ,0)M x , (3,2)A , (7,2)B
như v y .y MA MB= +
,A B n m cùng phía so v i Ox nên l y
'A i x ng A qua .Ox
'A B c t Ox t i H ta có: '(3, 2)A −
2 2
' ' (7 3) (2 2) 4 2.y MA MB MA MB A B= + = + ≥ = − + + =
ng th c x y ra khi
5
2 5 .
2
M H x x≡ ⇔ = ⇔ =
V y min 4 2y = khi
5
.
2
x =

26. 26
3.
T i u ki n 2 2 2 2 2
36 16 9 (6 ) (4 ) 3 .x y x x+ = ⇔ + =
t
1
6 6
4 1
4
x X
x X
y Y
y Y

== 
⇔ 
=  =

Ta có 2 2 2
3 .X Y+ = (1)
(1) là phương trình ư ng tròn ( )» trong h tr c to Oxy có tâm O bán kính
3.R =
Hàm
1 1
2 5 5.
3 4
u x y u X Y= − + + ⇔ = − + +
4
4( 5).
3
Y X u⇔ = + − ta g i phương trình này là phương trình ư ng th ng
d ư ng th ng luôn song song v i ư ng th ng
4
3
Y X= và c t Oy t i
(0;4( 5)).P u −
-Ta v hai ư ng th ng 1 2,Y Y song song v i ư ng th ng
4
3
Y X= và ti p xúc
( )» .
- 1 2,Y Y c t Oy l n lư t t i N và M khi ó maxu là giá tr xác nh khi P N≡ hay
4( 5)m naxu= − trong ó (0; ).M m
Min u xác nh khi P N≡ t c là 4(min 5)n u= − trong ó (0; )N m do M i
x ng N qua O nên .m u= −
-K 1OH Y⊥ l y 1OH Y⊥ (3;0), (3;4),A B OAB OHM∆ = ∆ 5.m OM OB⇒ = = =
Khi ó
25
max .
5 4(max 5) 4
5 4(min 5) 15
min .
4
u
u
u
u

== − 
⇔ 
− = −  =


27. 27
Ph n 2: C C TR TRONG HÌNH H C PH NG
▼ D ng 1: V n d ng quan h gi a ư ng xiên và ư ng vuông góc, quan h gi a ư ng
xiên và hình chi u.
I. Ki n th c c n nh :
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Cho tam giác ( 90 ).o
ABC A = M là i m chuy n ng trên c nh BC . V
, ( , ).MD AB ME AC D AB E AC⊥ ⊥ ∈ ∈ Xác nh v trí c a i m M o n th ng DE có dài
nh nh t.
L i gi i:
V ( )AH BC H BC⊥ ∈ H c nh và AH không i.
T giác AEMD có 90o
A E D= = = nên AEMD là hình
ch nh t.
Suy ra DE AM= mà AM AH≥ (không i)
D u " "= x y ra .M H⇔ ≡
Ví d 2:
Cho tam giác .ABC Qua nh A c a tam giác hãy d ng
ư ng th ng d c t c nh BC sao cho t ng các kho ng cách t B và t C n d có giá tr nh
nh t.
L i gi i:
G i M là giao i m c a d và c nh .BC
V , ( ; )BH d CK D H K d⊥ ⊥ ∈
MAB MAC ABCS S S+ =
. .
2 2
ABC
BH AM CK AM
S+ =
2 ABCS
BH CK
AM
+ =
BH CK+ nh nh t
2 ABCS
AM
⇔ nh nh t AM⇔ nh nh t
Gi s AB AC≤ thì trong hai ư ng xiên ,AM AC ư ng xiên AC có hình chi u không nh
hơn, do ó AM AC≤ (h ng s )
D u " "= x y ra .M C⇔ ≡
Ví d 3:
Ta có AH d⊥ , A d∉ , B d∈ ,C d∈ , H d∈ .
a) .AB AH≥ D u " "= x y ra khi .B H⇔ ≡
b) .AB AC BH HC≤ ⇒ ≤

28. 28
Cho hình bình hành ABCD .Qua A v ư ng th ng d không c t hình bình hành. G i ', ', 'B C D
l n lư t là hình chi u vuông góc c a các i m , ,B C D trên ư ng th ng d .
Xác nh v trí c a ư ng th ng d t ng ' ' 'BB CC DD+ + có giá tr l n nh t.
L i gi i:
G i O là giao i m c a AC và BD .
'O là hình chi u vuông góc c a O trên d .
' , 'DD d BB d⊥ ⊥
' 'DD BB⇒
' 'DD BB⇒ là hình thang.
Mà ' , 'OO d DD d⊥ ⊥
' 'OO DD⇒ và O là trung i m BD ( ABCD là
hình bình hành).
Do ó 'OO là ư ng trung bình c a hình thang
' 'DD B B
' '
' ' ' 2. '
2
BB DD
OO BB DD OO
+
⇒ = ⇒ + = .
' , ' ' 'OO d CC d OO CC⊥ ⊥ ⇒ và O là trung i m AC .( ABCD là hình bình hành).
Do ó 'OO là ư ng trung bình c a 'ACC
'
' ' 2. '
2
CC
OO CC OO⇒ = ⇒ =
A d∈ và 'OO d⊥ nên 'OO OA≤
Do ó ' ' ' 4. ' 4.BB CC DD OO OA+ + = ≤ (không i)
D u " "= x y ra "O A d⇔ ≡ ⇔ vuông góc AC t i A .
Ví d 4:
Cho n a ư ng tròn ( ; )O R ư ng kính .AB M là i m trên n a ư ng tròn. Xác nh v trí M
:
a) Di n tích tam giác MAB l n nh t.
b) Chu vi tam giác MAB l n nh t.
L i gi i:
V , .MH AB H AB⊥ ∈
a)
.
2
MAB
MH AB
S =
.MH R=
Ta có , .MH AB O AB⊥ ∈
Do ó MH OM R≤ =
Nên 2
MABS R≤ (không i)
D u " "= x y ra H O M⇔ ≡ ⇔ là trung i m AB
b) 90o
AMB = ( AMB là góc n i ti p ch n n a ư ng tròn)
MAB vuông t i M có . .MH AB MH AB MA MB⊥ ⇒ =
MAB vuông t i M theo nh lí Pitago có:
2 2 2 2
4 .MA MB AB R+ = =
,MABP MA MB AB= + + AB không i
2 2 2
( ) 2 .MA MB MA MB MA MB+ = + +

29. 29
Do ó MABP l n nh t MA MB⇔ + l n nh t
2
( )MA MB⇔ + l n nh t .MA MB⇔ l n nh t
MABS⇔ l n nh t M⇔ là trung i m AB (câu a)
Ví d 5:
Cho n a ư ng tròn ( )O ư ng kính 2 .AB R= K hai ti p tuy n Ax, By c a n a ư ng tròn
( )O và ti p xúc v i ( )O t i i m M c t Ax t i D c t By t i E. Xác nh v trí c a M trên n a
ư ng tròn ( )O sao cho:
a) AD BE+ t giá tr nh nh t.
b) .OD OE t giá tr nh nh t.
L i gi i:
a) V , .DH By H By⊥ ∈
T giác ADHB có 90O
A B H= = = nên ADHB là hình ch nh t 2DH AB R⇒ = =
Ta có ,AD MD BE ME= = (tính ch t hai ti p tuy n c a ( )○ c t nhau t i m t i m).
Do ó AD BE MD ME DE+ = + = mà DE DH≥ (vì ,DH By E By⊥ ∈ )
Do v y 2AD BE R+ ≥ (không i)
D u " "= x y ra E H DE AB⇔ ≡ ⇔
OM AB M⇔ ⊥ ⇔ là trung i m AB .
b) DA và DM là ti p tuy n c a( )○ OD⇒ là phân giác AOM .
Tương t OE là phân giác MOB .
AOM và MOB k bù.
Do ó 90o
EOD =
ODE vuông t i O , OM DE⊥ nên
. .OD OE OM DE=
. .OD OE R DE=
.OD OE nh nh t DE⇔ nh nh t M⇔ là trung i m AB (câu a).
▼ Dang 2: V n d ng các b t ng th c trong tam giác và quy t c các i m :
I. Ki n th c c n n m:
• Tam giác ABC có
a) .AB AC BC AB AC− < < +
b) .ABC ACB AC AB≤ ⇔ ≤
• Tam giác ABC và tam giác ' ' 'A B C có
' ', ' 'AB A B AC A C= = thì: ' ' '.BC B C A A≤ ⇔ ≤
• Quy t c ba i m , ,A B C .
a) .BC AB AC≤ +
D u" "= x y ra [ ]A BC⇔ ∈
b) .BC AB AC≥ −
D u" "= x y ra , ,A B C⇔ th ng hàng.

30. 30
Quy t c n i m 1 2; ;...; nA A A
Ta có 1 1 2 2 3 3 4 1...n n nA A A A A A A A A A−≤ + + + +
D u " "= x y ra 1 2 1; ;...; ;n nA A A A−⇔ th ng hàng và s p x p theo th t ó.
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Cho hai i m A và B n m trong n a m t ph ng b là ư ng th ng d ,hai i m ,M N thu c d và
dài MN không i. Xác nh v trí hai i m ,M N ư ng g p khúc AMNB t giá tr nh
nh t.
L i gi i
D ng hình bình hành 'BNMB (hình bên) 'BB MN a⇒ = = (không i); ', 'NB MB B= c nh.
G i 'A là i m i x ng c a A qua ư ng th ng d .
Ta có 'AM A M= , 'A c nh.
Xét ba i m ', , 'A M B ta có ' ' ' 'A M MB A B+ ≥
Do ó ' 'AM MN NB A M MN MB+ + = + +
( ' ')A M MB MN= + +
' 'A B a≥ = không i
D u " "= x y ra [ ' '].M A B⇔ ∈
Ví d 2:
Cho góc nh n xOy . A là i m n m trong góc ó. Hãy tìm trên hai tiaOx và Oy l n lư t hai
i m B vàC sao cho chu vi tam giác ABC nh nh t.
L i gi i:
G i 1A và 2A l n lư t là i m i x ng c a A qua hai tiaOx vàOy .
A c nh, xOy c nh nên 1A và 2A c nh.
Theo tính ch t i x ng tr c ta có:
1 ;AB A B= 2 .AC A C=
ABCP AB BC AC= + +
1 2A B BC A C= + +
Xét các i m 1 2, , ,A B C A ta có 1 2 1 2A B BC A C A A+ + ≥
Do ó 1 2ABCP A A≥ (không i)
D u " "= x y ra 1 2, , ,A B C A⇔ th ng hàng và s p x p theo th t ó.
Ví d 3:
Cho hình vuông ABCD . , , ,M N P Q là nh c a t giác MNPQ l n lư t thu c các
c nh , , ,AB BC CD DA ( MNPQ g i là t giác n i ti p hình vuông). Tìm i u ki n t giác MNPQ có
chu vi nh nh t.
L i gi i:
G i , ,E F G l n lư t là trunh i m c a các o n th ng
, , .MQ MP NP
AMQ vuông góc t i A có
AE là trung i m nên
1
2
AE MQ= 2 .MQ AE⇒ =

31. 31
Tương t 2NP GC=
M t khác ,EF FG l n lư t là ư ng trung bình
c a các tam giác MPQ và NPM
nên
1
2
EF PQ= và
1
2
FG MN=
Suy ra 2PQ EF= và 2 .MN FG=
Do ó MNPQP MN NP PQ QM= + + +
2 2 2 2FG GC EF AE= + + +
2( )AE EF FG GC AC= + + + ≥ (không i )
(Xét các i m , , , ,A E F G C )
D u " "= x y ra , , , ,A E F G C⇔ th ng hàng.
MN AC PQ⇔ và .MQ BD NP
Khi ó MNPQ là hình ch nh t.
Ví d 4:
Cho ư ng tròn( ; )O R ư ng kính AB c nh,C là m t i m c nh n m gi a A và .O M di ng
trên ư ng tròn( ; ).O R Tìm v trí c a M trên ( ; )O R tương ng lúc dài CM l n nh t, nh nh t.
L i gi i:
Xét ba i m , ,C O M ta có OM CO CM CO OM− ≤ ≤ +
OA OM OB R= = =
Do ó CA CM CB≤ ≤
CM CB≤ (không i)
D u " "= x y ra M B⇔ ≡
V y khi M B≡ thì o n th ngCM có dài l n nh t.
M t khácCM CA≥ (không i)
D u " "= x y ra M A⇔ ≡
V y khi M A≡ thì o n th ng CM có dài nh nh t.
Ví d 5:
Cho hai ư ng tròn ngoài nhau( ; )O R và( '; ').O R A n m trên ư ng tròn( )O , B n m trên ư ng
tròn( ').O Xác nh v trí các i m ,A B o n th ng AB có dài l n nh t, nh nh t.
L i gi i:
( ')OO c t( )O t i ,C D và c t( ')O t i , .E F
Xét ba i m , ',A O B , ta có
' ' ' 'O A O B AB O A O B− ≤ ≤ +
Xét ba i m , , 'O A O , ta có
' ' 'O O OA O B OA OO− ≤ ≤ +
Mà OA OC OD R= = = và
' ' ' 'O B O E O F R= = =
Do ó ' ' ' 'OO OD O E AB OC OO O F− − ≤ ≤ + +
DE AB EF⇒ ≤ ≤
* AB EF≤ (không i)
D u " "= x y ra ,A C⇔ ≡ B F≡

32. 32
V y AB có dài l n nh t khi A C≡ và B F≡
* AB DE≥ (không i)
D u " "= x y ra A D⇔ ≡ và B E≡
V y AB có dài nh nh t khi A D≡ và B E≡ .
▼ Dang 3: V n d ng b t ng th c trong ư ng tròn.
I. Ki n th c c n nh :
- ư ng kính dây cung l n nh t c a ư ng tròn.
- Trong ư ng tròn ( )O : AB và CD
là hai dây cung, H và K l n lư t là
hình chi u vuông góc trên AB và CD .
Ta có OH OK AB CD≥ ⇔ ≤
AB CD AOB COD⇔ ≤ ⇔ ≤
Ví d 1:
Cho ư ng tròn ( ; );O R AC là ư ng kính.BD là dây cung c a ( ; )O R và BD vuông góc v i AC .
Xác nh v trí c a dây BD di n tích t giác ABCD l n nh t.
L i gi i
AB CD⊥ (gt)
Nên
1
. .
2
ABCDS AC BD R BD= =
Mà BD là dây cung c a ( ; )O R
do ó 2BD R≤
V y 2
2ABCDS R≤ .
D u " "= x y ra BD là ưòng kính c a ( )O .
Ví d 2:
Cho n a ư ng tròn ( ; )O R ư ng kính AB . M là i m di ng trên n a ư ng tròn. Qua M
v ti p tuy n v i ư ng tròn, g i D,C l n lư t là hình chi u, c a A; B trên ti p tuy n y. Xác
nh v trí c a i m M di n tích cùa t giác ABCD có giá tr l n nh t.
L i gi i
Ta có AD DC⊥ (gt)
BC DC⊥ (gt) AD BC⇒
ABCD⇒ là hình thang mà 90o
D =
nên ABCD là hình thang vuông.
OM DC⊥ nên OM AD và O là trung i m AB
Nên OM là ư ng trung bình c a hình thang ABCD
2
AD BC
OM
+
⇒ =
Do ó . .
2
ABCD
AD BC
S DC OM DC
+
= =
V AE BC⊥ . T giác ADCE là hình ch nh t
( 90 )O
ADC DCE AEC= = = DC AE⇒ =
90O
AEC = E⇒ thu c ư ng tròn ư ng kính AB.

33. 33
AE⇒ là dây cung c a ư ng tròn ( )O .
2DC R⇒ ≤ (trong ư ng tròn ư ng kính là dây cung l n nh t)
Do ó 2
.2 2ABCDS R R R≤ =
D u " "= x y ra AE⇔ là ư ng kính c a ( )O
OM AB M⇔ ⊥ ⇔ là trung i m AB .
Ví d 3:
Cho tam giác u ABC n i ti p trong ư ng tròn ( ; )O R . M là i m di ng trên trên ( )O . Xác
nh các v trí c a i m M t ng MA MB MC+ + t giá tr l n nh t.
L i gi i
Xét M thu c cung BC.
Trên dây MA l y i m D sao cho
MD MB MBD= ⇒ cân.
60o
BMA BCA= = (hai góc n i ti p cùng ch n AB )
Do dó MBD u.
,BD MB⇒ = 60o
DBM =
60o
ABD ABC DBC DBC= − = −
60o
MBC MBD DBC DBC= − = −
Suy ra ABD MBC= .
Xét MBC và DBA có
MB BD= , MBC ABD= , BC AB= ( ABC u)
Do ó MBC = DBA(c.g.c)
Suy ra MC DA=
Ta có MA MD DA MB MC= + = +
2.MA MB MC MA⇒ + + = .
MA là dây cung c a ( ; )O R 2MA R⇒ ≤
( ư ng kính là dây cung l n nh t c a ư ng tròn)
Do ó 4MA MB MC R+ + ≤ (không i)
D u " "= x y ra MA⇔ là ư ng kính c a ( )O
M⇔ là trung i m cung BC.
L p lu n tương t ta có ba v trí MA MB MC+ + t giá tr l n nh là trung i m các cung
BC; AC; AB.
Ví d 4:
Cho ư ng tròn ( ; )O R ; BC là dây cung c nh ( 2BC R≠ ). A là i m chuy n ng trên cung
l n BC. Xác nh v trí c a A chu vi tam giác ABC l n nh t.
L i gi i
.ABCP AB AC BC= + +
BC không i.
Trên tia i tia AB l y i m D sao cho AD AC=
ADC cân t i A 2BAC ADC⇒ =
BAC không i ADC⇒ không i.
BDC không i, BC c nh

34. 34
D⇒ thu c cung ch a góc có s o
1
4
s BC c a ( )O
d ng trên o n th ng BC.
ABCP l n nh t ( )max ( )maxAB AC AB CD⇔ + ⇔ +
maxBD⇔ ⇔ BD là ư ng kính
c a cung ch a góc nói trên.
Khi ó 90o
BDC = .
Mà 90o
ABC BDC ACB ACD+ = + =
BDC ACD= ( )AC AD=
Do ó ABC ACB AB AC= ⇔ = ⇔ A là trung i m cung l n BC.
Ví d 5 :
Cho ư ng tròn ( ; )O R .A i m c nh trong ư ng tròn ( A O≠ ). Xác nh v trí c a di m B
trên ư ng tròn ( )O sao cho OBA l n nh t.
L i gi i
V dây BC c a ư ng tròn ( )O qua A.
OBC cân ( )OB OC=
180
2
o
BOC
OBC
−
=
v OH BC⊥ ( )H BC∈
A BC∈ nên OH OA≤ (không i)
D u " "= x y ra H A⇔ ≡ AB OA⇔ ⊥ t i A.
Ta có OBAl n nh t BOC⇔ nh nh t
BC⇔ nh nh t ⇔ dây BC nh nh t
⇔ OH l n nh t H A⇔ ≡ AB OA⇔ ⊥ t i A.
▼ D ng 4:V n d ng b t ng th c i s
I. Ki n th c c n n m:
● B t ng th c côsi cho 2 s dương:
Cho 2 s dương a và b ta có:
2
a b
ab
+
≥
D u “=” x y ra khi và ch khi a=b .
● B t ng th c Bunhiacopxki Sraxo (B.C.S):
Cho 4 s th c a,b,x,y ta có:
( ) ( )( )2 2 2 2 2
ax by a b x y+ ≤ + +
D u “=” x y ra khi và ch khi ax=by.
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Cho o n th ng AB=a. C là i m trên o n th ng AB. V các hình vuông ABCD và CBFG.
Xác nh v trí di m C ACDE CBFGS S+ t giá tr nh nh t.
L i gi i:
t AC = x

35. 35
Ta có CB a x= − (0 x a≤ ≤ )
2
ACDES x= , 2
( )CBFGS a x= −
2 2
( )ACDE CBFGS S x a x+ = + −
2 2 2
2x a ax x= + − +
2 2
2
2( )
4 2
a a
x ax= − + +
2 2 2
2
2 2 2
a a a
x
 
= − + ≥ 
 
(không i)
D u " "= x y ra 0
2 2
a a
x x⇔ − = ⇔ =
Ví d 2:
Cho o n th ng BC c nh. A là i m di ng sao cho tam giac ABC nh n. AA’ là ư ng cao
và H là tr c tâm c a tam giác ABC. Xác nh v trí i m A
'. 'AA HA t giá tr l n nh t.
L i gi i:
Xét 'A BH và 'A AC có ( )' ' 90 , ' 'o
BA H AA C A BH A AC= = =
(hai góc nh n có c nh tương ng vuông góc)
Do ó
' '
' ' '. ' ' . ' .
' '
HA A B
A BH A AC AA HA A B A C
A C AA
⇒ = ⇒ =∼
Ta có 2
' . ' ' ( ' ) ' . 'A B A C A B BC A B A B BC A B= − = −
2
2
( ' . ' )
4 2
BC BC
A B BC A B= − − +
22 2
' .
4 2 4
BC BC BC
A B
 
= − − ≤ 
 
V y
2
AA'.HA' .
4
BC
≤ (không i)
D u " "= x y ra '
2
BC
A B⇔ =
'A⇔ là trung i m BC A⇔ thu c trung tr c BC.
V y ABC nh n nên A n m ngoài ư ng tròn ư ng kính BC.
Ví d 3:
Trong các t giác n i ti p hình ch nh t cho trư c. Tìm t giác có t ng bình phương các c nh
nh nh t.
L i gi i:
AMQ có 90o
A = theo nh lí Pitago ta có 2 2 2
QM AM AQ= +
Tương t 2 2 2
MN BM BN= + , 2 2 2
NP CN CP= + , 2 2 2
PQ DP DQ= +
Do ó 2 2 2 2 2 2 2 2 2
MN NP PQ BM BN CN CP DP DQ+ + = + + + + +
Ta có
2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 1
2 2 2
AM BM AM BM AM BM
AM BM AB
+ + − +
+ = ≥ =

36. 36
Ch ng minh tương t ta có
2 2 21
2
CP DP CD+ ≥
2 2 21
2
DQ AQ AD+ ≥
Do ó ( )2 2 2 2 2 2 2 21
2
MN NP PQ QM AB BC CD DA+ + + ≥ + + + (không i)
D u " "= x y ra
AM BM
BN CN
CP DP
DQ AQ
=
 =
⇔ ⇔
=
 =
MNPQ là hình thoi.
Ví d 4:
Cho i m A c nh n m ngoài ư ng tròn ( );O R . Qua A v ư ng th ng d c t ư ng tròn ( )O
t i hai i m B;C.Xác nh vi trí c a d t ng AB AC+ t giá tr nh nh t.
L i gi i:
V cát tuy n ADE qua O
Xét ABE và ACD có A (chung); AEB ACD=
(hai góc n i ti p cùng ch n cung BD)
Do ó . .
AB AE
ABE ACD AB AC AE AD
AD AC
⇒ = ⇒ =∼
Mà ( )( )
2
2 2 2
.AE AD OA OE OA OE OA OE OA R= + − = − = −
Ta có ( 2 . )AB AC AB AC AB AC+ = + −
2
( ) 2 . 2 .AB AC AB AC AB AC= − + ≥
2 2
2 OA R= − (không i)
D u " "= x y ra d⇔ là ti p tuy n c a ( );O R .
Ví d 5:
Cho n a ư ng tròn ( );O R ư ng kính AB. M là i m chuy n ng trên n a ư ng tròn. Xác
nh v trí i m M 3MA MB+ t giá tr l n nh t.
L i gi i:
90o
AMB = (góc n i ti p ch n n a ư ng tròn)
MAB có 90o
M = nên theo nh lí Pitago ta có
2 2 2 2
4MA MB AB R+ = =
Áp d ng B T 2 2 2 2
( )( )ax by a b x y= ≤ + +
Ta có: ( )2 2
3 3 (1 3)MA MB MA MB MA MB+ = + ≤ + +
2 2 21
2
BN CN BC+ ≥

37. 37
2
4.4 4 .R R= =
3 4MA MB R= ≤ (không i)
D u " "= x y ra 3.MA MB⇔ =
MAB⇔ là n a tam giác u
⇔ s 60o
MA = .

38. 38
Ph n 3:
C C TR TRONG LƯ NG GIÁC
▼ D ng 1: S d ng b t ng th c c a hàm Sinx va Cosx.
I. Phương pháp gi i:
Thông thư ng gi i m t bài c c tr ta s d ng các b t ã ư c ch ng minh. Tương t ,
lư ng giác v n có nh ng b t riêng bi t.
i v i hàm s ơn gi n ch có sin và cos. Ta s d ng:
1 1
1 1
Sinx
Cosx
− ≤ ≤

− ≤ ≤
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm GTLN, GTNN c a hàm s :
a) y = 1 - 2 sin3x
b) y = 1 - 1 sin x−
L i gi i:
a) Vì 0≤ sin3x ≤1 nên 1≥1 - 2 sin3x ≥1-2 = -1.
D u b ng x y ra khi : sin3x = 0⇔ sin3x = 0⇔ 3x = kπ ⇔ x =
3
kπ
Vâ GTLN c a hàm s là 1 và GTNN c a hàm s là -1t i x =
3
kπ
Vì -1≤ sinx≤1 nên 2 ≥1- sinx ≥0 ⇔ 2 ≥ 1 sin x− ≥0 ⇔ 1+ 2 ≥1+ 1 sin x− ≥1.
1+ 1 sin x− = 1 + 2 khi sinx = -1 ⇔ x = 2
2
k
π
π− +
1+ 1 sin x− = 1 khi sinx = 1 ⇔ x = 2
2
k
π
π+
Vâ GTLN c a hàm s là 1+ 2 t i x = x = 2
2
k
π
π− + và GTNN c a hàm s là 1 t i x =
2
2
k
π
π+ .
V n có th s d ng m t s kĩ năng cơ b n tìm c c tr :
Ví d 2:
Tìm GTLN c a sin12
x + cos12
x
L i gi i:
Cách 1:
Vì -1≤sinx≤1 và -1≤cosx⇒ 1 nên ta có : sin12
x ≤ sin2
x và cos12
x ≤ cos2
x
⇒ sin12
x + cos12
x ≤ sin2
x + cos2
x = 1
Cách 2:

39. 39
Ta sin12
x + cos12
x = 1 – 2sin6
x.cos6
x ≤1.
V y GTLN cu sin12
x + cos12
x là 1.
Ví d 3:
Tìm GTLN, GTNN cu : sinx + sin
2
3
x
π 
+ 
 
( Bài t p c n qua bư c bi n i)
L i gi i:
Ta có sinx + sin
2
3
x
π 
+ 
 
= 2sin
3
x
π 
+ 
 
.cos
3
π
= sin
3
x
π 
+ 
 
.
Mà
-1≤ sin
3
x
π 
+ 
 
≤1 nên GTNN c a sinx + sin
2
3
x
π 
+ 
 
là -1 và GTLN là 1.
Ví d 4:
Tìm GTLN , GTNN c a bi u th c : 2 2
( )(1 )
(1 )(1 )
a b ab
a b
+ −
+ +
∀ a,b
L i gi i:
( i v i bài t p này, ban u không ph i là d ng lư ng, ta ph i ưa v lư ng giác qua
các phép bi n i tìm c c tr ).
t a= tan x
b= tan y
Ta có:
2 2
( )(1 )
(1 )(1 )
a b ab
a b
+ −
+ +
= 2 2
(tan tan )(1 tan .tan )
(1 tan )(1 tan )
x y x y
x y
+ −
+ +
=
2 2
sin( ) c ( )
.
cos .cos cos .cos
1 1
.
cos cos
x y os x y
x y x y
x y
+ +
=
1
2
sin 2( )x y+ ≤
1
2
( vì sin 2( )x y+ ≤1) ⇒ -
1
2
≤ 2 2
( )(1 )
(1 )(1 )
a b ab
a b
+ −
+ +
≤
1
2
V y GTNN c a bi u th c là -
1
2
và GTLN là
1
2
.
▼ D ng 2: Hình thành bình phương
I. Phương pháp gi i:
D a trên s chuy n i qua l i gi a sin và cos, s d ng các công th c lư ng giác.
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm GTLN c a bi u th c A= cosA.cosB.cosC

40. 40
L i gi i : Ta có: cosA.cosB.cosC = [ ]
1
( ) ( ) cos
2
cos A B cos A B C+ + − =
[ ]
1
cos ( ) cos
2
C cos A B C− + − = 2 21 1
cos . ( ) ( )
2 4
cos C C cos A B cos A B
 
− − − + −  
+ 21
1 sin ( )
8
A B − − 
=
1
8
2
2 21 1 1
cos ( ) sin ( )
2 2 8
C cos A B A B
 
− − − − −  
≤
1
8
D u b ng x y ra khi cosC =
1
( )
2
cos A B− cosC =
1
2
⇔
sin( )A B− = 0 A B=
⇔ A B= =C = 60o
.
V y GTLN c a bi u th c A là
1
8
khi ∆ ABC u
▼ Dang 3: S d ng các b t ng th c lư ng giác trong tam giác.
I. Phương pháp gi i:
Trong tam giác ABC nh n:
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
cot .cot cot cot cot cot 1
tan tan tan tan .tan .tan
A B B C C A
A B B C C A
A B C A B C
∗ + + =
∗ + + =
∗ + + =
a) tanA+ tanB+ tanC 3 3≥
b) tan tan tan 3
2 2 2
A B C
+ + ≥
c)
1
tan .tan .tan
2 2 2 3 3
A B C
≤
d)
3
cos cos cos
2
A B C+ + ≤
► Ch ng minh:
a) Áp d ng b t Côsi cho 3 s dương:
3tanA tanB tanC 3 tan .tan .tan
3tanA tanB tanC 3 tanA tanB tanC
3 2(tanA tanB tanC) 27(tanA tanB tanC) (tanA tanB tanC) 27
tanA tanB tanC 3 3
A B C+ + ≥
⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥
⇔ + + ≥
( pcm)

41. 41
b) Áp d ng b t ng th c: ( ) ( )
2
3a b c ab bc ac+ + ≥ + + ta coù:
2
tan tan tan 3 tan tan tan tan tan tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B B C C A   
+ + ≥ + +   
   
= 3
⇔ tan tan tan
2 2 2
A B C
+ + ≥ 3 ( pcm)
c) Áp d ng b t Côsi 2 2 23tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B B C C A A B C
+ + ≥
⇔
3
2 2 2 1
tan tan tan
2 2 2 3
A B B  
≤  
 
⇔
1
tan tan tan
2 2 2 3 3
A B B
≤ ( pcm)
D u b ng x y ra khi ∆ ABC u.
Cách 1:
Xét cos cos cos 60A B C cos+ + + = 2
2 2
A B A B
cos cos
+ −   
   
   
+
60 60
2
2 2
C C
cos cos
   + −
   
   
60
2
2 2
A B C
cos cos
  + + 
≤ + =   
    
60 60
4 .
4 4
A B C A B C
cos cos
+ + + + − −
= 4 60cos≤
1
cos cos cos 2
2
A B C⇔ + + + ≤
3
cos cos cos
2
A B C⇔ + + ≤ ( pcm)
Cách 2: ( ng d ng tích vô hư ng ch ng minh)
L y các vectơ 1e , 2e , 3e như hình v và có dài là 1: 1 2 3e e e= = =1.
Hi n nhiên ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
1 2 3
1 2 2 3 3 1
0
3 2 , 2 , 2 , 0
e e e
cos e e cos e e cos e e
+ + ≥
⇔ + + + ≥
3
cos cos cos
2
A B C⇔ + + ≤ ⇒ pcm
D u b ng x y ra khi 1 2 3e e e+ + = 0 ABC⇔ ∆ ABC⇔ ∆ u
Có th s d ng các b t th c trên ho c khai thác thêm các b t sau trong tam giác (ph i
ch ng minh trư c khi áp d ng):
) tan tan tan 3 3n n n n
e A B C+ + ≥
3 3
)sin sin sin
2
f A C B+ + ≤
A
B C

42. 42
2 2 2
)cot cot cot 3
3
)
4
g A B C
h cos A cos B cos C
+ + ≥
+ + ≥
2 2 2
3
)sin sin sin
2 2 2 2
3
)
2 2 2 2
3
)sin sin sin
2 2 2 4
A B C
i
A B C
j cos cos cos
A B C
k
+ + ≤
+ + ≤
+ + ≥
2 2 2
)tan tan tan 9m A B C+ + ≥ (∆ nh n)
2 2 2
) tan tan tan 1
2 2 2
3 3
)sin .sin .sin
8
1
)sin .sin .sin
2 2 2 8
3 3
) os . os . os
2 2 2 8
A B C
n
o A B C
A B C
p
A B C
q c c c
+ + ≥
≤
≤
≤
2 2 2 9
) os os os
2 2 2 4
A B C
l c c c+ + ≤
II. M t s bài t p ví d :
Ví d 1:
Tìm GTNN c a bi u th c:
A= 2 2 2
sin sin sin
2 2 2
A B C
+ + sin .sin .sin
2 2 2
A B C

43. 43
L i gi i:
Ta có A=
1 cos 1 cos 1 cos
sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2
A B C A B C− − −
+ + +
=
3 1
1 4sin .sin .sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C 
− + + 
 
(vì cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C+ + = + )
=1− sin .sin .sin
2 2 2
A B C 1
1
8
≥ − =
7
8
V y giá tr nh nh t c a bi u th c là :
7
8
.
Ví d 2:
Tìm GTNN c a bi u th c B= 6 6 6
tan tan tan
2 2 2
A B C
+ +
L i gi i:
Không s d ng gián ti p các b t th c cm trên, ta s d ng các b t toán h c
quen thu c.
Ta có:
( )6 6 6 3 3 3 3 3 3
tan tan tan tan tan .tan tan .tan tan 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B B C C A
+ + ≥ .
N u x = tan tan
2 2
A B
, y = tan tan
2 2
B C
, z = tan tan
2 2
C A
, thì x+y+z = 1.
Áp d ng BCS v i hai dãy , ,x y z vaø 3 3 3
, ,x y z ta có:
( )( ) ( )
23 3 3 2 2 2
x y z x y z x y z+ + + + ≥ + +
( )
22
3
x y z + +
≥  
  
=
1
9
( )3 3 3 1
2
9
x y z⇔ + + ≥
T (1) và (2) 6 6 6 1
tan tan tan
2 2 2 9
A B C
⇒ + + ≥ . D u b ng x y ra khi x = y = z
⇔ A=B=C .
V y GTNN c a B là
1
9
.
1. Tìm GTLN c a bi u th c D= tan .tan .tan
4 4 4
A B C

44. 44
2. Cho
, , 0
. .
a b c
a Sinx b Siny c
≥

+ =
Tìm GTLN c a bi u th c
E=
2 2
os osc x c y
a b
+ .
▼ D ng 4: Bi u th c ch a các hàm s lư ng giác.
I. Phương pháp gi i:
Gi s các góc A, B, C tho mãn hai i u ki n:
1)
)
( ) ( ) 2
2
A B
f A f B f
+ 
+ ≥  
 
ho c 2
( ). ( )
2
A B
f A f B f
+ 
≥  
 
ng th c x y ra khi A=B;
2) 3( ) 2
3 2
C
f C f f
π
π
 
+  
+ ≥   
   
 
ho c 2 3( ).
3 2
C
f C f f
π
π
 
+  
≥   
   
 
ng th c x y ra khi C=
3
π
.
Khi c ng ho c nhân (1), (2) ta s có b t ( ) ( ) ( ) 3
3
f A f B f C f
π 
+ + ≥  
 
(3)
ho c 3
( ). ( ). ( )
3
f A f B f C f
π 
≥  
 
(4)
ng th c x y ra khi A=B=C. Tương t ta cũng có b t v i chi u ngư c l i
Xét các VD sau:
Ví d 1:
Trong tam giác ABC, tìm GTNN c a bi u th c
1 1 1
1 sin 1 sin 1 sinA B C
+ +
+ + +
L i gi i:
Ta có:
1 1
1 sin 1 sinA B
+
+ +
4
2 sin sinA B
≥
+ +
(áp d ng
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
)
( )
4 4
2 2 sin sin
2 2 sin .
2 2
A B A BA B
cos
≥ =
+ −+ +
+
(áp d ng BCS)
2
1 sin
2
A B
≥
+
+
⇒ ≥
1 1 2
+ (5)
1+ sinA 1+ sinB A + B
1+ sin
2
(có d ng (1))

45. 45
Tương t
sin 60 60
≥
1 1 2
+ (6)
1+ sinC 1+ C+
1+ sin
2
.C ng (5) và (6) ta có:
1 1 1 1
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 60A B C
+ + +
+ + + +
1 1
2
60
 
 
 ≥ +
 
 
 
A + B C+1+ sin 1+ sin
2 2
4
1 sin 60
≥
+
( Cũng làm tương t các bư c (5), (6))
Suy ra
1 1 1
1 sin 1 sin 1 sinA B C
+ +
+ + +
3
1 sin 60
≥
+
4
3 2
2 3
=
+
V y GTNN c a bi u th c là 4
3 2
2 3+
. D u b ng x y ra khi ABC∆ u.
Ví d 2:
Trong tam giác ABC, tìm GTNN c a bi u th c
1 1 1
1 . 1 . 1
sin sin sinA B C
     
+ + +     
     
L i gi i:
Ta có:
1 1
1 . 1
sin sinA B
   
+ +   
   
1 1 1
1
sin sin sin .sinA B A B
= + + +
2
2 1
1
sin .sin sin .sinA B A B
 
≥ + +  
 
2
1
1
sin .sinA B
 
= + 
  ( ) ( )
2
2
1
cos A B cos A B
 
 = +
 − − + 
( )
2
2
2 1
1 1
1 sin
2
A Bcos A B
 
   
 ≥ + = + + − +   
 
2
1
1
60
sin
2
C
 
 
≥ + 
+  
 
(có d ng (1))

46. 46
Tương t
2
1 1 1
1 . 1 1
60sin sin 60
sin
2
CC
 
    
+ + ≥ +    
+      
 
(8)
Nhân (7) và (8) ta ư c
1 1 1 1
1 . 1 . 1 . 1
sin sin sin sin 60A B C
       
+ + + +       
       
2
1 1
1 . 1
60sin sin
2 2
A B C
   
   
≥ + +   + +          
4
1
1
sin 60
 
≥ + 
 
Suy ra
1 1 1
1 . 1 . 1
sin sin sinA B C
     
+ + +     
     
3
1
1
sin 60
 
≥ + 
 
3
2
1
3
 
= + 
 
V y GTNN c a bi u th c là
3
2
1
3
 
+ 
 
khi ABC∆ u.
▼ D ng 5: S dung o hàm
I . Ki n th c c n n m:
gi i các d ng bài toán này c n s d ng t i m t s cong th c tính o
hàm sau ây:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
'
' '.
'
os ' '.
1
tan '
'
tan '
Sinx Cosx
Sinu u Sinx
Cosx Sinx
C u u Sinx
x
Cos x
u
u
Cos u
=
=
= −
= −
=
=
II. M t s bài t p ví d :
.Ví d 1:
Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s
( ) 3cos3 2cos2 9cos 2y f x x x x= = + + +
L i gi i:
L i gi i:
TX : D=R
Ta có ( ) ( ) ( )3 2
3 4cos 3cos 2 2cos 1 9cos 2y f x x x x x= = − + − + +
3 2
12cos 4cosx x= +

47. 47
10
243
16
8−
0
t t = cos x , 1 1t− ≤ ≤
Ta có ( ) 3 2
12 4y g t t t= = +
( )' ' 2
' 2
36 8
0 36 8 0
y g t t t
y t t
= = +
= ⇔ + =
( )4 9 2 0
0
2
9
t t
t
t
⇔ + =
=
⇔
 = −

B ng bi n thiên
t
-1
2
9
− 0 1
( )'
g t + 0 - 0 +
( )g t
Căn c vào b ng bi n thiên ta ư c:
max f(x) = max g(t) = 16
min f(x) = min g(t) = -8
Ví d 2:
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
( ) 2 2
cos 2cos 5 cos 4cos 8y f x x x x x= = − + + + +
L i gi i:
TX : D=R
t t = cos x, 1 1t− ≤ ≤
Ta có ( ) 2 2
2 5 4 8y g t t t t t= = − + + + +
Dg(x)= [-1,1]
( )' '
2 2
1 2
2 5 4 8
t t
y g t
t t t t
− +
= = +
− + + +
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
1 4 8 2 2 5
2 5 4 8
t t t t t t
t t t t
− + + + + − +
=
− + + +

48. 48
2 2 5+
2 13+
5
'
0y =
( ) ( )2 2
1 4 8 2 2 5 0t t t t t t⇔ − + + + + − + =
( ) ( )2 2
2 2 5 1 4 8 0t t t t t t⇔ + − + = − + + = (do 1 1t− ≤ ≤ )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2 22 2
2 2 5 1 4 8
2 1 0
24 12 0
2 1
1
1
2
2
2 1
t t t t t t
t t
t
t
t
t
t
 + − + = − + +
⇔ 
+ − ≥
+ =
⇔ 
− ≤ ≤

= −
⇔ ⇔ = −
− ≤ ≤
B ng bi n thiên
t
-1
1
2
− 1
( )'
g t + 0 -
( )g t
Căn c vào b ng bi n thiên ta có
max f(x) = max g(x) = 2 13+
min f(x) = min g(x) = 5
Ví d 3:
Cho cos 2 cos 2 1, ,x y x y R+ = ∀ ∈ .Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :
2 2
tan tanA x y= +
L i gi i:
Ta có: 2 2
tan tanA x y= + ( ) ( )2 2
tan 1 tan 1 2x y= + + + −
2 2
2
2
1 1 2 2
2 2
cos cos 1 cos2 1 cos2
2cos 2 2cos2 2
cos 2 cos2 2
x y x y
x x
x x
= + − = + −
+ +
− +
=
− + +
t cos2t x= v i 1 1t− ≤ ≤ , ta có :

49. 49
( )
( )
( )
2
2
22
2 1
( ) , 1 1
2
6 2 1 1
'( ) 0
22
t t
A f t t
t t
t
f t t
t t
− +
= = − ≤ ≤
− + +
−
⇒ = = ⇔ =
− + +
t
1−
1
2
1
'( )f t − 0 +
( )f t
2
3
V y min A
2
3
= khi ,
6
x
π
π= ± + ∈»k k
( )g x nh nh t 2 1
sin
3
x⇔ = ⇒ min ( )g x
2
1 1 5 5
3
3 3 3 3
 
= − + = 
 
Do ó :
1 3 4 8
1 1
3 5 3 5
y y+ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤
V y max
8
5
y = ; min
4
3
y =
► . M t s bài t p d ng tương t :
1.Tìm giá tr l n nh t c a hàm s :
2 21 1
1 cos 5 2sin
2 2
y x x= + + +
2.Tìm giá tr nh nh t c a:
2 2
2 2
2 2
1 1
sin cos
sin cos
y x x
x x
   
= + + +   
   
3.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s :
1

50. 50
2 2
( ) 2sin 3sin cos 5cosy f x x x x x= = + +
4.Tim giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s :
2
4sin 2 sin 2
4
y x x
π 
= + + 
 
5.Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :
1 1
,0
sin cos 2
y x
x x
π
= + < <
6.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s :
( )( )( ) 2sin cos 2cos sinf x x x x x= + −
7. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s :
4 2
4 2
3cos 4sin
3sin 2cos
x x
y
x x
+
=
+
8.Cho tam giác ABC tìm giá tr l n nh t c a:
( )3 cos 3 cos cosP B A C= + +
9.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
4 4 2 2
cot cot 2tan .tan 2P a b a b= + + +
10.Cho , ,α β δ tho mãn i u ki n :
2 2 2
cos cos cos 1α β δ+ + =
Tìm giá tr l n nh t c a:
2 2 2
1 cos 1 cos 1 cosy α β δ= + + + + +
11.Tìm giá tr nh nh t c a hàm s
( )
3
2 2
1
cos sin
cos sin
y x x
x x
= + +
12.Tìm giá tr nh nh t c a hàm s
10 10
cos siny x x= +
13. Cho ∆ ABC. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
M= cos2A + cos2B – cos2C
14. Tìm GTLN và GTNN c a hàm s
2 cos
sin cos 2
x
y
x x
+
=
+ −
15. Tìm GTLN và GTNN c a hàm s
2
2
cos sin cos
sin 1
x x x
y
x
+
=
+
(1)
16. nh m hàm s ( )4 4
2 sin cos sin cos cos2y x x m x x x= + + (1)

51. 51
có giá tr l n nh t không l n hơn 2
17. Tìm GTLN và GTNN c a hàm s cos siny x x= +
18. Tìm giá tr l n nh t c a hàm s
( )2 2
4
3sin 1 4sin
cos
x x
y
x
−
= v i 0
6
x
π
< <
19. Cho ABC∆ có 3 góc nh n, tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P = tanA.tanB.tanC
20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
1 tan tan 1 tan tan 1 tan tanM A B B C C A= + + + + +
v i A, B, C >0 và A + B + C =
2
π
21. Trong m i tam giác ABC,nh ng tam giác nào làm cho bi u th c sau t
giá tr l n nh t:
Hư ng d n và áp s :
1. Ta có: 2 21 5 1
1 cos sin
2 4 2
y x x= + + +
Áp d ng B T Bunhiacopski cho 4 s , ta có:
2 21 5 1
1 cos sin
2 4 2
x x+ + + 2 2 2 21 5 1
1 1 . 1 cos sin
2 4 2
x x≤ + + + +
9 1 22
2
4 2 2
≤ + =
V y max
22
2
y =
D u “=” x y ra khi : 2 21 5
1 cos sin
2 4
x x+ =
2. Ta có:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
sin cos 1 1 sin cos
sin cos cos cos
x x x x
x x x x
         
+ + + ≤ + + + +         
           
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
sin cos sin cos
sin cos 2 sin cos
x x x x
x x x x
     
⇒ + + + ≥ + + +     
     
3 3 3
3 3 3
sin sin sin
cos cos cos
A B C
M
A B C
+ +
=
+ +

52. 52
2
2 2
1 1
1
2 sin .cosx x
 
≥ + 
 
( )
2
2
2
1 4 1 25
1 1 4
2 sin 2 2 2x
 
≥ + ≥ + = 
 
V y min
25
2
y =
D u “=” x y ra khi:
2 2
sin cos
4sin 2 1
x x
x
x
π
π
 =
⇔ = ± +
=
k
3.Ta có : 2 2
2sin 3sin cos 5cosy x x x x= + +
( )
3 5
1 cos2 sin 2 1 cos2
2 2
x x x= − + + +
( )
7 3
sin 2 +cos2x
2 2
x= +
7 3 2
cos 2
2 2 4
x
π 
= + − 
 
Ta có:
( ) ( )
3 2 3 2 3 2
1 cos 2 1 cos 2
4 2 2 4 2
1 7 3 2 1
7 3 2 cos 2 7 3 2
2 2 2 4 2
x x
x
π π
π
   
− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤   
   
 
⇔ − ≤ + − ≤ + 
 
V y max ( )1
7 3 2
2
y = + ,min ( )1
7 3 2
2
y = −
4. Ta có: 2
4sin 2 sin 2
4
y x x
π 
= + + 
 
( )2 1 2cos sin 2 +cos2x
=2+sin 2x - cos2x
=2+ 2 sin 2
4
x x
x
π
= − +
 
− 
 
V i 1 sin 2 1 2 2 2 2
4
x y
π 
− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + 
 
V y max 2 2y = + , min 2 2y = −
5. V i 0
2
x
π
< < cos 0x⇒ > và sin 0x >

53. 53
Áp d ng B T Cauchy, ta có:
1 1
sin cos
y
x x
= +
2 2 2
2 2
sin cos sin 2x x x
≥ = ≥
D u “=” x y ra khi:
sin 2 1
1 1
cos sin 2
x
x x
=


=
tan 1 0,
4 2
x x
π π 
⇔ = ⇔ = ∈ 
 
6.Ta có: ( )( )( ) 2sin cos 2cos sinf x x x x x= + −
2 2
4sin cos 2sin 2cos sin cosx x x x x x= − + −
( )2 2
3sin cos 2 cos sinx x x x= + −
3
sin 2 2cos2
2
x x= +
( )
1
4cos2 3sin 2
2
x x= +
5 4 3
cos2 sin 2
2 5 5
x x
 
= + 
 
t
4 3
cos ,sin
5 5
α α= = v i 0
2
π
α< <
Ta có : ( ) ( )
5 5
( ) cos2 cos sin 2 sin cos 2
2 2
f x x x xα α α= + = −
V i ( ) ( )
5 5 5
1 cos 2 1 cos 2
2 2 2
x xα α− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤
5 5
( )
2 2
f x⇔ − ≤ ≤
V y max
5
( ) ;
2
f x = min
5
( )
2
f x = −
7. Ta có:
( )
( )
22 24 2
4 2 4 2
3 1 sin 4sin3cos 4sin
3sin 2cos 3sin 2 1 sin
xx x
y
x x x x
− ++
= =
+ + −
4 2
4 2 4 2
3sin 2sin 3 1
1
3sin 2sin 2 3sin 2sin 2
x x
x x x x
− +
= = +
− + − +
t
2
4 2 2 1 5
( ) 3sin 2sin 2 3 sin
3 3
g x x x x
 
= − + = − + 
 
( )g x l n nh t 2
sin 1x⇔ = ⇒ max
2
1 5
( ) 3 1 3
3 3
g x
 
= − + = 
 

54. 54
8. Ta có: 3 cos 6cos cos
2 2
A C A C
P B
+ −
= +
2
2
2
3 cos 6sin cos
2 2
3 1 2sin 6sin
2 2
2 3 sin 6sin 3
2 2
3 5 3 5 3
2 3 sin
2 2 2 2
B A C
B
B B
B B
B
−
= +
 
≤ − + 
 
≤ − + +
 
≤ − − + ≤  
 
Suy ra : max
5 3
2
P = khi
cos 1
302
3 120
sin
2 2
A C
A C
B B
−
=  = = 
⇔ 
= =

9. Ta có: ( )
2
4 4 2 2 2 2
cot cot cot cot 2cot .cota b a b a b+ = − +
( )
2
2 2 2 2 2 2
cot cot 2cot .cot 2tan .tan 2P a b a b a b⇒ = − + + +
( ) ( )
22 2 2 2 2 2
cot cot 2 cot .cot tan .tan 2cot .cot .tan .tan
4cot .cot .tan .tan 2
a b a b a b a b a b
a b a b
= − + + −
+ +
( ) ( )
2 22 2
cot cot 2 cot .cot tan .tan 4 2 6a b a b a b= − + − + + ≥
D u “=” x y ra khi và ch khi :
cot cot 0
cot .cot tan .tan 0 cot 1 4
a b a b
a b
a b a b a
π− = = 
⇔ ⇔ = = 
− = = 
V y min 6P =
10. Áp d ng B T Bunhiacopski cho 6 s , ta có:
2 2 2
1 cos 1 cos 1 cosα β δ+ + + + +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 . 1 cos 1 cos 1 cosα β δ≤ + + + + + + +
2 2 2
3. 3 cos cos cosα β δ≤ + + +
vì 2 2 2
cos cos cos 1α β δ+ + = nên ta có :
2 2 2
1 cos 1 cos 1 cosα β δ+ + + + + 3. 4≤ 2 3=
V y max 2 3y =

55. 55
D u “=” x y ra khi: 2 2 2
1 cos 1 cos 1 cosα β δ+ = + = +
2 2 2
2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos
1
cos cos cos
3
1
cos cos cos
3
α β δ
α β δ
α β δ
⇔ + = + = +
⇒ = = =
⇔ = = = ±
11.Ta có ( )
3
2 2
1
cos sin
cos sin
y x x
x x
= + +
3
2
1
2 cos
4 1
sin 2
2
x
x
π  
= − +  
    
 
 
3
2
4
2 2 cos
4 sin 2
x
x
π 
= − + 
 
vì 3
cos 1 cos 1
4 4
x x
π π   
− ≥ − ⇒ − ≥ −   
   
3
2 2 cos 2 2
4
x
π 
⇔ − ≥ − 
 
và 2
2
4
0 sin 2 1 4
sin 2
x
x
≤ ≤ ⇒ ≥
suy ra 3
2
4
2 2 cos 4 2 2
4 sin 2
y x
x
π 
= − + ≥ − 
 
D u “=” x y ra
2
cos 1
4
sin 2 1
x
x
π  
− = −  
⇔  
 =
5
4
x
π
⇔ =
V y min 4 2 2y = −
12. Ta có: 10 10
cos siny x x= +
5 5
1 cos2 1 cos2
2 2
x x+ −   
= +   
   
( ) ( )
5 5
5
1
1 cos2 1 cos2
2
x x = + + −
 

56. 56
( 2 3 4 5
5
1
1 5cos2 10cos 2 10cos 2 5cos 2 cos 2
2
x x x x x= + + + + +
)2 3 4 5
1 5cos2 10cos 2 10cos 2 5cos 2 cos 2x x x x x+ − + − + −
( )2 41
2 20cos 2 10cos 2
32
x x= + +
( )2 41
1 10cos 2 5cos 2
16
x x= + +
( )
221
5 cos 2 1 4
16
x = + −
  
M t khác 2 2
0 cos 2 1 1 1 cos 2 2x x≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤
( )
22
1 1 cos 2 4x⇔ ≤ + ≤
( )
22
5 5 1 cos 2 20x⇔ ≤ + ≤
( ) ( ) ( )
221 1 1
5 4 5 1 cos 2 4 20 4
16 16 16
x ⇔ − ≤ + − ≤ −
  
1
1
16
y⇔ ≤ ≤
V y max y =1, d u “=” x y ra khi x=0
min y =
1
16
, d u “=” x y ra khi x=
4
π
13.
Ta có
M= cos2A + cos2B – cos2C
= 2cos(A+B)cos(A-B) + 1 – 2cos2
C
= -2cosC cos(A-B) + 1 – 2cos2
C
= -2[cos2
C + cos(A-B) cosC +
1
4
cos2
(A-B)] +
1
2
[cos2
(A-B)]
+1
= -2[cosC +
1
2
cos(A-B)]2
+
1
2
[1 - sin2
(A-B)] +1
=
3
2
-2[cosC +
1
2
cos(A-B)]2
-
1
2
sin2
(A-B)]
3
2
≤
D u “=” x y ra
( )
( )
1
cos cos 0
2
sin 0
C A B
A B

+ − =
⇔ 
 − =

57. 57
1
cos 0
2
0
C
A B

+ =
⇔ 
 − =
1
cos 6
2
2
3
A B
C
A B C
π
π

= = = − 
⇔ ⇔ 
 = = 
V y max M =
3
2
ng v i ∆ ABC có
A = B =
6
π
và C =
2
3
π
14. Vì sin cos 2 cos
4
x x x
π 
+ = − 
 
sin cos 2 2
sin cos 2 0
x x
x x
⇒ + ≤ <
⇔ + − <
hay sin cos 2 0x x+ − ≠ x R∀ ∈
Do ó
2 cos
sin cos 2
x
y
x x
+
=
+ −
(1)
( )sin cos 2 2 cosy x x x⇔ + − = +
( )sin 1 cos 2 2y x y x y⇔ + − = + (2)
(1) có nghi m i v i x ⇔ (2) có nghi m i v i x
( ) ( )
2 22
2 2
2
1 2 2
2 2 1 4 8 4
2 10 3 0
5 19 5 19
2 2
y y y
y y y y
y y
y
⇔ + − ≥ +
⇔ − + ≥ + +
⇔ + + ≤
− − − +
⇔ ≤ ≤
V y min y =
5 19
2
− −
và max y =
5 19
2
− +
15. Ta có :
( )
24 4 2 2 2 2
sin cos sin cos 2sin cosx x x x x x+ = + −
2
21 1
1 2 sin 2 1 sin 2
2 2
1 1 cos 4 3 1
1 cos4
2 2 4 4
x x
x
x
 
= − = − 
 
− 
= − = + 
 

58. 58
Và
1 1
sin cos cos2 sin 2 cos2 sin4
2 4
x x x x x x= =
Nên
( )
3 1
1 2 cos4 sin4
4 4 4
4 6 2cos4 sin4
2cos4 sin4 4 6
m
y x x
y x m x
x m x y
 
⇔ = + + 
 
⇔ = + +
⇔ + = −
PT trên có nghi m i v i x
( )
22 2
2 2
2 2
2 4 6
16 48 32 0
6 4 6 4
4 4
m y
y y m
m m
y
⇔ + ≥ −
⇔ − + − ≤
− + + +
⇔ ≤ ≤
Do ó
2
6 4
max
4
m
y
+ +
=
Ta có
2
6 4
max 2 2
4
m
y
+ +
≤ ⇔ ≤
2
2
4 2
4 4
0
m
m
m
⇔ + ≤
⇔ + ≤
⇔ =
16.
Ta có
(1) ( )2 2
sin 1 cos sin cosy x x x x⇔ + = + (do sin2
x +1≠ 0 )
1 cos2 1 cos2 1
1 sin2
2 2 2
cos2 2y 1 cos 2 sin2
x x
y x
y y x x x
− + 
⇔ + = + 
 
⇔ − + = + +
( )1 cos2 sin2 3 1y x x y⇔ + + = − (2)
(1) có nghi m i v i x ⇔ (2) có nghi m i v i x
( ) ( )
2 22
1 1 3 1y y⇔ + + ≥ −
2 2
2
2 2 9 6 1
8 8 1 0
y y y y
y y
⇔ + + ≥ − +
⇔ − − ≤
2 6 2 6
4 4
− +
⇔ ≤
v y
2 6
max
4
y
+
= và
2 6
min
4
y
−
=

59. 59
17. Tìm GTLN và GTNN c a hàm s cos siny x x= +
L i gi i:
Ta có
cos siny x x= +
( )( )2 2
1 cos 1 sin 1 1 cos sinx x x x= + ≤ + + (B T
Bunhiacopski)
( )2 cos siny x x⇒ ≤ +
m t khác cos sin 2 cos 2
4
x x x
π 
+ = − ≤ 
 
suy ra 2 2y ≤
D u “=” x y ra
cos sin
4cos 1
4
x x
x
x
π
π
 =

⇔ ⇔ =  
− = 
 
V y max 2 2y = khi
4
x
π
=
Ta có 0 cos 1x≤ ≤ ( K y xác nh)
và 0 sin 1x≤ ≤
2
2
2 2
cos cos cos
sin sin sin
1 cos sin cos sin
x x x
x x x
x x x x y
 ≤ ≤
⇒ 
≤ ≤
⇒ = + ≤ + =
nên 1y ≥ , d u “=” x y ra khi x = 0
V y min y = 1 khi x = 0
18. Tìm giá tr l n nh t c a hàm s
( )2 2
4
3sin 1 4sin
cos
x x
y
x
−
= v i 0
6
x
π
< <
L i gi i:
Vì
1
0 0 sin
6 2
x x
π
< < ⇒ < <
2 21
0 sin 1 4sin 0
4
x x⇒ < < ⇒ − >
Áp d ng B T cô-si cho 2 s 2
3sin x và 2
1 4sin x− ta ư c

60. 60
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
22
2 2
4
2 2
3sin 1 4sin
3sin 1 4sin
2
1 sin
3sin 1 4sin
2
cos
3sin 1 4sin (1)
4
x x
x x
x
x x
x
x x
+ −
≥ −
 −
⇔ ≥ − 
 
⇒ ≥ −
Chia 2 v c a (1) cho 4
cos x ( vì 4
0 cos 0
6
x x
π
< < ⇒ > )
Ta ư c
( )2 2
4
3sin 1 4sin 1
4cos
x x
y
x
−
= ≤
d u “=” x y ra 2 2 2 1
3sin 1 4sin sin
7
x x x⇔ = − ⇔ =
ta tìm ư c 0 0,
6
x
π 
∈ 
 
thì 2 1
sin
7
x =
V y
1
max
4
y =
19.
Ta có 2 2
1 2cos 1 3siny x x= + + +
2 21 1
3 6cos 2 6sin
3 2
x x= + + +
Áp d ng B T Bunhiacopski ta có :
( )
( )
2 21 1
3 6cos 2 6sin
3 2
5 55
5 6
6 6
y x x
y
 
≤ + + + + 
 
⇒ ≤ + =
D u “=” x y ra
2 2
2 2
2 2
2 2
3. 3 6cos 2. 2 6sin
3.(3 6cos ) 2.(2 6sin )
9 18cos 4 12(1 cos )
7
30cos 7 cos
30
x x
x x
x x
x x
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ + = + −
⇔ = ⇔ =
V y
55
max
6
y =
20.
Ta có A + B + C = π

61. 61
tan( ) tan( )
A B C
A B C
π
π
⇔ + = −
⇒ + = −
tan tan
tan
1 tan .tan
A B
C
A B
+
⇒ = −
−
tan tan tan (1 tan .tan )A B C A B⇔ + = − −
tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C⇔ + + = (1)
Vì ABC∆ có 3 góc nh n tan ,tan ,tan 0A B C⇒ >
Áp d ng B T cô-si cho 3 s tgA, tgB, tgC
3
tan tan tan 3 tan tan tanA B C A B C+ + ≥ (2)
t (1) và (2) ta ư c
3
tan .tan .tan 3 tan tan tanA B C A B C≥
3
2
(tan .tan .tan ) 27 tan .tan .tan
(tan .tan .tan ) 27
tan .tan .tan 3 3
A B C A B C
A B C
A B C
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
D u “=” x y ra khi tanA = tanB = tanC
A B C⇔ = = hay ABC∆ u
21.
Vì A + B + C =
2
π
( )
2
tan tan
2
A B C
A B C
π
π
⇔ + = −
 
⇒ + = − 
 
( )
tan tan 1
cot
1 tan tan tan
tan tan tan 1 tan tan
tan tan tan tan tan tan 1
A B
C
A B C
A B C A B
A B B C C A
+
⇔ = =
−
⇔ + = −
⇔ + + =
M t khác áp d ng B T Bunhiacôpski ta ư c
( )( )2 2 2
1 1 1 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tanM A B B C C A≤ + + + + + + +
( )3 3 1 2 3= + =
d u b ng x y ra khi
tanA tanB = tanB tanC = tanC tanA
tan tan tanA B C⇔ = =
6
A B C
π
⇔ = = = (do A + B + C =
2
π
)
Ta có: sin sin 2sin cos 2cos cos 2cos
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
A B
+ − −
+ = = ≤ (1)

62. 62
Áp d ng B T :
33 3
2 2
a b a b+ + 
≥  
 
, d u “=” x y ra khi a b=
Ta có:
3
3 3
sin sin sin sin
cos
2 2 2
A B A B C + +
≤ ≤  
 
( theo(1) )
3 3
3
sin sin
cos
2 2
A B C+
⇔ ≤ (2)
Tương t :
3 3
3
sin sin
cos
2 2
B C A+
≤ (3)
3 3
3
sin sin
cos
2 2
C A B+
≤ (4)
C ng (2),(3),(4) ta có:
3 3 3 3 3 3
sin sin sin cos cos cosA B C A B C+ + ≤ + +
⇔
3 3 3
3 3 3
sin sin sin
cos cos cos
A B C
M
A B C
+ +
=
+ +
1≤
D u “=” x y ra khi
sin sin sin
3cos 1
2
A B C
A B CA B
π
= =

⇔ = = = −
=
V y max 1M = ⇔ ABC là tam giác u

63. 63
Ph n 5 :
BÀI T P TR C NGHI M
Bài 1:
Cho a + b ≥ 1, giá tr nh nh t c a bi u th c a3
+ b3
là
A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 2
Bài 2:
Giá tr l n nh t c a hàm s
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
là
A.
1
3
B. 3 C.
3
2
D.5
Bài 3:
Giá tr nh nh t c a hàm s
2
2
2 1
2 1
x x
y
x x
− +
=
+ +
:
A.
1 5
2
+
B.
1 5
2
−
C.
9 4 2
7
+
D.
9 4 2
7
−
Bài 4:
Cho a + b = 1, giá tr nh nh t c a bi u th c a4
+ b4
là
A) 2 B) 1 C) 1/8 D) 1/4
Bài 5:
Cho a, b, c >0 tho mãn
1 1 2
a c b
+ = , giá tr nh nh t c a
2 2
a b c b
a b c b
+ +
+
− −
là
A.1 B.2 C.3 D.4
Bài 6:
Giá tr nh nh t c a hàm s ( )
2
2
2 1
1
x x
f x
x x
+ −
=
− +
Bài 7:
GTNN, GTLN c a hàm s
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
− +
A. Min y = 1, max y = 6
B. Min y = -6, max y = -1
C. Min y =2, max y = 5
D. Min y = -5, max y = -2
A) 0 B) 2 C) 3 D) 4
Bài 8:
Cho a, b, c >0, giá tr nh nh t c a bi u th c
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
là
A) 1 B) 1/2 C) 3/2 D) 2
Bài 9:

64. 64
Cho a, b, c, d >0. Giá tr nh nh t c a bi u th c
a b b c c d d a
b c d c d a d a b a b c
+ + + +
+ + +
+ + + + + + + +
là
A) 8/3 B)1/3 C) 2/3 D) 1
Bài 10:
Cho hàm s 6 5
cos siny x x= − . Giá tr l n nh t c a y là
A) -1 B) 0 C) 1/2 D) 1
Bài 11:
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s 2
1
1
x
y
x x
+
=
+ +
l n lư t là
A) max y = 1, min y = -1/3 B) max y = 2, min y = 1/2
C) max y = 1/2, min y = 1/3 D) max y = 3, min y = 1/3
Bài 12:
Gi s x, y, z là nh ng s dương thay i th a x + y + z = 1. Giá tr l n
nh t c a bi u th c
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
là
A) 3/4 B) 1/3 C) 1 D) 2
Bài 13:
Cho các s dương x, y, z sao cho xyz = 1 và n là s nguyên dương. Giá tr nh
nh t c a bi u th c
1 1 1
2 2 2
n n n
x y z+ + +     
+ +     
     
là
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Bài 14:
Cho sin sin sin 0x y z+ + = . Giá tr l n nh t c a bi u th c
2 4 6
sin sin sinP x x x= + + là
A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2
Bài 15:
Giá tr nh nh t c a bi u th c:
( ) ( )2 2 2 2 2 2
4cos cos sin 4sin sin sinx y x y x y x y+ − + + − là
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4
Bài 16:
Giá tr l n nh t c a bi u th c
( )( )
( ) ( )
2 22 2
1
1 1
x y xy
x y
+ −
+ +
là
A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2
Bài 17:
Cho x, y, z dương và x + y + z = 1. Giá tr l n nh t c a
S = xyz(x+y)(y+z)(z+x) là
A) 8/729 B) 1/729 C) 0 D) 1/2
Bài 18:

65. 65
Cho x, y thay i sao cho
0 3
0 4
x
y
≤ ≤

≤ ≤
.
giá tr l n nh t c a bi u th c (3-x)(4-y)(2x+3y) là
A) 1 B) 6 C) 2 D) 0
Bài 19:
Giá tr nh nh t c a bi u th c
2 2 2 2
2 12 37 6 6 18a b a b a b a b+ − − + + + + − +
A) 2 B) 5/2 C) 3 D) 5
Bài 20:
Cho x2
+ y2
= 1. Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a P = x + y l n lư t là
A) max P = 1, min P = 0 B) max P = 0, min P = - 2
C) max P = 2 , min P = 1 D) max P = 2 , min P = - 2
Bài 21:
Cho x2
+ y2
= u2
+ v2
= 1.Giá tr l n nh t c a P= ( ) ( )x u v y u v− + + là
A) 2 B) 1 C) 0 D) - 2
Bài 22:
Cho ∆ ABC giá tr l n nh t c a
2 2 2
2 2 2
sin sin sin
cos cos cos
A B C
P
A B C
+ +
=
+ +
là
A) 0 B) 1/2 C) 2 D) 3
Bài 23:
Cho x, y, z là 3 góc nh n th a x + y + z = 90o.
Giá tr l n nh t c a bi u
th c
5 tan tan 5 tan tan 5 tan tanP x y y z z x= + + + + + là
A) 2 B) 3 C) 4 3 D) 2 2
Bài 24:
Cho
, 0
1
x y
x y
>

+ =
, giá tr nh nh t c a
22
1 1
P x y
x y
  
= + + +  
   
là
A) 25/2 B) 1/2 C) 1 D) 2
Hư ng d n và áp án :
1. T gi thi t 1a b+ ≥ bi n i tương ương ta ư c
3 3 2
3 3 1a b b b+ ≥ − +
mà
2
2 1 1 1
3 3 1 3
2 4 4
b b b
 
− + = − + ≥ 
 
2.B
3.D

66. 66
4. T a + b = 1 suy ra a2
+ 2ab + b2
=1
m t khác a2
– 2ab + b2
≥ 0
t ó ta có 2 2 1
2
a b+ ≥ bình phương hai v , k t h p v i bdt
4 2 2 4
2 0a a b b− + ≥ ta ư c 4 4 1
8
a b+ ≥ .
5. T gi thi t ta có
2ac
b
a c
=
+
v y :
( )2 2
2 33 3
4
2 2 2 2 2
ac a ca b c b a b c a
a b c b a c ac
+ ++ + + +
+ = + = ≥
− −
6.C
7.A
8. t P =
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
Ta có 2(P + 3) = ( ) ( ) ( )
1 1 1
9a b b c c a
a b b c C a
 
+ + + + + + + ≥    + + + 
(Bunhiacopski cho 3 c p s )
Suy ra P ≥ 3/2
9. A
10. D
11. A
12. Áp d ng bunhiacopski cho ba c p s tìm ư c max = ¾
13. Ta có
1 1
2 2
n
na a
a a
+ + 
≥ ⇒ ≥ 
 
Áp d ng ta tìm ư c min = 3
14. D
15. C
16. B
17. Áp d ng côsi cho 3 s :
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3
3
1 3
2 3
x y z xyz
x y y z z x x y y z z x
= + + ≥
= + + + + + ≥ + + +
Nhân v theo v , bi n i tìm ư c max = 8/729
18. Có th vi t l i bi u th c ã cho thành: ( )( )( )
1
6 2 12 3 2 3
6
x y x y− − +
Áp d ng côsi cho ba s tìm ư c max = 36.
19. D
20. D
21. A
22. D

67. 67
23. C
24. Áp d ng B.C.S cho 2 c p s (1, 1) và
1 1
,x y
x y
 
+ + 
 
Sau ó bi n i tương ương ta ư c
2 22
1 1 1 1
1
2
x y
xy x y
    
+ ≤ + + +    
    
vì
2
1
2 4
x y
xy
+ 
≤ = 
 
2
1
4
1
1 25
xy
xy
⇒ ≥
 
⇒ + ≥ 
 
v y min = 25/2