Xt a gym-a_1_5

Μ α θ η μ α τ ι κ ά Α ' Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Ε Ρ Ο Σ Α ‘ : Α Ρ Ι Θ Μ Η Τ Ι Κ Η - Α Λ Γ Ε Β Ρ Α
ΚΕΦ ΑΛ Α ΙΟ 1ο - Οι φυσικοί αριθμοί
§ 1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - Μ.Κ.Δ. - Ε.Κ.Π. –
Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
(1 διδ. ώρα)
Τριάντης Χρήστος - Μαθηματικός Εσπερινό Γ/σιο & ΓΕΛ Αγρινίου

Στην παράγραφο αυτή, ο μαθητής:
• Γνωρίζει ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι
• Γνωρίζει και χρησιμοποιεί τα κριτήρια διαιρετότητας με το 2, το 4, το 5
και το 10 καθώς και με το 3 και το 9
• Αναλύει δύο ή περισσότερους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων
παραγόντων και βρίσκει μ’ αυτόν τον τρόπο το Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π.
αυτών.

Το τοπικό γραφείο της UNICEF θα μοιράσει 150 τετράδια, 90
στυλό και 60 γόμες σε πακέτα δώρων, ώστε τα πακέτα να είναι
τα ίδια και να περιέχουν και τα τρία είδη.
Μπορεί να γίνουν 10 πακέτα δώρων; Αν ναι, πόσα από κάθε είδος θα έχει κάθε
πακέτο;
Πόσα όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη;
Πόσα το πολύ όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη;
Οι αριθμοί 150, 90 και 60 διαιρούνται με το 10 οπότε μπορούν να γίνουν 10
πακέτα δώρων .
Είναι 15 0: 1 0 = 15 , 9 0: 10 = 9 και 6 0: 1 0 =6 οπότε το κάθε πακέτο θα
περιέχει 15 τετράδια, 9 στυλό και 6 γόμες.
Τόσα όσοι είναι οι αριθμοί που διαιρούν και τους τρείς αριθμούς 150, 90, 60 ,
δηλαδή όσοι είναι οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 150, 90, 60.
ΔΡΑΣΤΗ Ρ Ι ΟΤ Η ΤΑ
Πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών
150, 90, 60.

Θ υ μ ό μ α σ τ ε - Μ α θ α ί ν ο υ μ ε
0 , α ,2α,3α,4α, .. ., λ·α,...
Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α:
είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από
τον πολλαπλασιασμό του α με όλους
τους φυσικούς αριθμούς.
Κάθε μη μηδενικός φυσικός αριθμός
διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
α · 0 , 1 , 2 , 3, 4 , . . .,λ,.. .
λα
* Το λ είναι φυσικός αριθμός
=
Αν α φυσικός με α ≠ 0 τότε ο
α διαιρεί τον λ·α
Π.χ.1 Ο αριθμός 7 διαιρεί τον 707 αφού
707 = 7·101 = πολ(7)
Π.χ.2 Ο αριθμός 3 διαιρεί τον 3·α + 9 αφού
3·α + 9 = 3·α + 3·3 = 3·(α + 3) = πολ(3)

Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν
άλλο, είναι πολλαπλάσιό του.
Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλον, θα
διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.
Αν ο φυσικός α διαιρείται από τον
φυσικό β τότε α = λ·β = πολ(β)
Αν ο φυσικός α διαιρεί τον φυσικό
β τότε ο α διαιρεί και τον λ·β
Π.χ. Αν ένας αριθμός κ διαιρείται από τον 7 τότε κ = πολ(7)
* Το λ είναι φυσικός αριθμός
Π.χ. Αν ένας φυσικό αριθμός α διαιρεί τον φυσικό αριθμό κ οπότε ο α διαιρεί
και τους αριθμούς 2κ, 3κ, 4κ, …

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων μη μηδενικών αριθμών
ονομάζουμε
το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών αυτών.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να βρείτε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών 3 και 4.
Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4:
Πολλαπλάσια του 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...
Πολλαπλάσια του 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
Κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4 : 0, 12, 24, 36, ...
Επειδή, το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιο είναι το 12, γράφουμε:
ΕΚΠ(3, 4) = 12.
Λ ύ σ η

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.
Κάθε μη μηδενικός αριθμός α έχει δύο τουλάχιστον διαιρέτες:
την μονάδα (1) και τον εαυτό του (α).
Κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1, που έχει δύο μόνο διαιρέτες, τον
εαυτό του και το 1, λέγεται πρώτος αριθμός.
Π.χ.
Κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1, που δεν είναι πρώτος λέγεται
σύνθετος.
Οι αριθμοί 0 και 1 δεν είναι ούτε πρώτοι αλλά ούτε σύνθετοι.
Ο φυσικός αριθμός 11 είναι πρώτος ενώ ο 8 δεν είναι πρώτοςΠ.χ.
Οι διαιρέτες του 8 είναι οι:
1, 2, 4, 8
Οι διαιρέτες του 11 είναι οι:
1, 11

Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι
είναι περιττοί (μονοί).
Οι 25 μικρότεροι πρώτοι αριθμοί
2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97
Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι
• δεν υπάρχει μέγιστος πρώτος αριθμός, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι
άπειροι στο πλήθος
• δεν υπάρχει ένας απλός κανόνας που να δίνει τους διαδοχικούς πρώτους
αριθμούς.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ Το “ Κό σ κ ι ν ο τ ο υ Ε ρ α τ ο σ θ έ ν η ”
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ του 1 και του 100.
Με την απλή μέθοδο του Ερατοσθένη, γνωστή
ως “Κόσκινο του Ερατοσθένη”, βρίσκουμε όλους
τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι
από δοσμένο αριθμό.
Λ ύ σ η

Στον διπλανό πίνακα
σημαδεύουμε το 2 που
είναι πρώτος αριθμός
και διαγράφουμε όλα
τα πολλαπλάσιά του.

Στον διπλανό πίνακα
σημαδεύουμε το 2 που
είναι πρώτος αριθμός
και διαγράφουμε όλα
τα πολλαπλάσιά του.
Μετά σημαδεύουμε το
3 που είναι πρώτος
αριθμός και
διαγράφουμε όλα τα
πολλαπλάσιά του.

Μετά κάνουμε το ίδιο
για το 11, το 13, κ.τ.λ.

Μ’ αυτό τον τρόπο
διαγράφονται όλοι οι
σύνθετοι αριθμοί και
μένουν μόνο οι πρώτοι,
από το 1 έως το 100.

• Από το 234 π.Χ. και επί περίπου 40 χρόνια, διετέλεσε υπεύθυνος βιβλιοθήκης
της Αλεξάνδρειας και δίδαξε στο Μουσείο της.
• Στα περίφημα “Γεωγραφικά” που παρουσίασε την πρώτη ακριβή μαθηματική
μέτρηση της περιμέτρου (μεσημβρινού) της Γης, ως 250.000 στάδια (=39.400 -
41.000 km, έναντι της πραγματικής 40.000 km) (Κλεομήδης, Στράβων).
• Επίσης, υπολόγισε την απόσταση της σελήνης 780.000 στάδια και του Ήλιου
804.000.000 στάδια.
• Μέτρησε την κλίση του άξονα της γης με μεγάλη ακρίβεια και έφτιαξε έναν
κατάλογο που περιελάμβανε 675 αστέρες.
O Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνεια της Λιβύης το 276 π.Χ.
και πέθανε στην Αλεξάνδρεια το 197 π.Χ..
• Διακρίθηκε ως Μαθηματικός, Φυσικός, Γεωγράφος, Αστρονόμος,
Ιστορικός και Φιλόλογος.
Ερα τοσθέ ν ης

Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών α και β ονομάζεται
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) των α και β και συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β).
Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν είναι ΜΚΔ(α, β) = 1,
δηλαδή, όταν ο μόνος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα.
Δύο οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί α και β έχουν έναν τουλάχιστον κοινό
διαιρέτη, το 1.

Οι διαιρέτες του 4 είναι: 1, 2, 4
Οι διαιρέτες του 15 είναι: 1, 3, 5, 15
Οι κοινοί διαιρέτες των 4 και 15 είναι: 1
1.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Να δείξετε ότι οι αριθμοί 4 και 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Οι αριθμοί 4 και 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους
ΜΚΔ(4,15)=1

Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4: 0, 12, 24, 36, ...
Πολλαπλάσια του 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...
Πολλαπλάσια του 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...
2. Δύο πλοία επισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά 3 ημέρες, το δεύτερο
ανά 4 ημέρες.
Αν ξεκίνησαν από το νησάκι ταυτόχρονα, σε πόσες ημέρες θα ξαναβρεθούν
στο λιμάνι του νησιού;
Λ ύ σ η
Επειδή, το μικρότερο μη μηδενικό, από τα κοινά πολλαπλάσια, είναι το 12,
γράφουμε: ΕΚΠ(3, 4) = 12.
Δηλαδή, ακριβώς μετά από 12 ημέρες θα ξαναβρεθούν τα δύο πλοία στο
λιμάνι του νησιού και αυτό θα επαναλαμβάνεται κάθε 12 ημέρες.

Κριτήρια Διαιρετότητας
Κριτήρια Διαιρετότητας με τους 2, 3, 4, 5, 9, 10 ή 25 λέγονται οι κανόνες με
τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν
ένας φυσικός αριθμός διαιρείται κάποιον από τους αριθμούς αυτούς.

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10,
αν λήγει σε 0.
αν λήγει σε 0, 2, 4, 6 ή 8.
αν λήγει σε 0 ή 5.
αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
αν τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν
αριθμό που διαιρείται με το 4.
Π.χ. 0, 10, 20, 30, 240, 500,
2.340
Π.χ. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 36,
1.392, 2.014
Π.χ. 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30,
135, 640, 3.195
Π.χ. 0, 3, 6, 9, 12, 15, 21,
42, 99, 333, 121.113
Π.χ. 0, 9, 18, 27, 90, 99,
279, 36.278.154
αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
Π.χ. 0, 516, 312, 908, 2000
αν τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν
αριθμό που διαιρείται με το 25.
Π.χ. 0, 975, 3.450, 2100

2
3
3
5
45
5
1
15
Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι διαιρέτες του και εκτελούμε τις
αντίστοιχες διαιρέσεις.
Παράδειγμα
Να αναλυθεί ο φυσικός αριθμός 90 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Λύση
90 ή
Οπότε: 90 = 2·3·3·5
90
45
15
5
1
2
3
3
5
= 2·32·5

Εύρεση ΕΚΠ και ΜΚΔ με χρήση της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και
• για να βρούμε το ΕΚΠ των αριθμών παίρνουμε τους κοινούς και τους μη
κοινούς παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη.
• για να βρούμε το ΜΚΔ παίρνουμε τους κοινούς παράγοντες με το
μικρότερο εκθέτη.
Παράδειγμα Να βρεθούν ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 54 και 60.
60 = 6 · 10
= 2 · 3 · 2 · 5
= 22· 3 ·5
54 = 6 ·9
= 2 ·3 · 3 ·3
= 2 · 33
ΕΚΠ (54,60)= 22·33·5 = 540 ΜΚΔ(54,60)= 21·31 = 2 · 3 = 6
Αρχικά, αναλύουμε τους αριθμούς 54 και 60 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων

Άσκηση 1
Εξετάστε με ποιους από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 9, 10 και 25 διαιρείται ο 450.
• Με το 2 διαιρείται διότι λήγει σε 0
• Με το 3 διαιρείται διότι το (άθροισμα ψηφίων) = 4 + 5 + 0 = 9 = πολ(3)
• Με το 4 δεν διαιρείται διότι τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον
αριθμό 50 που δεν διαιρείται με το 4.
• Με το 5 διαιρείται διότι γιατί λήγει σε 0
• Με το 9 διαιρείται διότι το (άθροισμα ψηφίων)= 4 + 5 + 0 = 9 = πολ(9)
• Με το 10 διαιρείται διότι λήγει σε 0
• Με το 25 διαιρείται διότι τα δυο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον
αριθμό 50 που διαιρείται με το 25.
Απάντηση

450 = 45 · 10
= 5 ·9 ·2 ·5
= 2·3·3·5·5
Άσκηση 1
Εξετάστε με ποιους από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 9, 10 και 25 διαιρείται ο 450.
= 2 ·(3·3·5·5) = πολ(2)
= 3 ·(2·3·5·5) = πολ(3)
= 5 ·(2·3·3·5) = πολ(5)
= 9 ·(2·5·5) = πολ(9)
= 25 ·(2·3·3) = πολ(25)
= 10 ·(3·3·5) = πολ(10)
β΄ τρόπος

Άσκηση 2
Επιλέξτε το Σ ή το Λ αν η πρόταση είναι Σωστή ή Λανθασμένη αντίστοιχα.
EKΠ (11, 6) = 17 Σ Λ
Το διπλάσιο ενός πρώτου αριθμού είναι πρώτος αριθμός Σ Λ
Δύο αριθμοί που έχουν ΜΚΔ το 24, έχουν και άλλους
κοινούς διαιρέτες εκτός από τη μονάδα.
Σ Λ
EKΠ (5, 10) = 10 Σ Λ
Αν το ΕΚΠ(α, β) = β, ο β είναι πολλαπλάσιο του α. Σ Λ
ΜΚΔ(10, 4) =7 Σ Λ
Αν κ ,λ είναι πρώτοι αριθμοί τότε ΜΚΔ(κ,λ) = 1 Σ Λ
Δύο πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί, είναι πρώτοι αριθμοί. Σ Λ

Xt a gym-a_1_5

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Xt a gym-a_1_5

Similar to Xt a gym-a_1_5 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Xt a gym-a_1_5