Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄
΄΄ Επανάληψη 6ης
Ενότητας κεφ. 36-40 ΄΄
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Παρουσιάσεις
 Επαναληπτικά
http://e-taksh.blogspot.gr

Συμεωνίδης Θόδωρος- 1 -
ΚΛΑΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.1 Η ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
Ένα ολόκληρο αντικείμενο ή ένα σύνολο αντικειμένων είναι μία ακέραιη μονάδα.
Π.χ. 1 πορτοκάλι, 1 τσάντα , 1σοκολάτα , 1βιβλίο
Πολλές φορές δε χρησιμοποιούμε ολόκληρη την ακέραιη μονάδα , αλλά μόνο
ένα κομμάτι της. Τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν μπορούμε να εκφράσουμε αυτό το
κομμάτι με έναν ακέραιο αριθμό. Αν π.χ. μοιράσω ένα πορτοκάλι σε 4 άτομα , πόσο
πορτοκάλι θα δώσω στον καθένα ;
Γι’ αυτές τις περιπτώσεις έχουμε επινοήσει τους κλασματικούς αριθμούς .Η λέ-
ξη κλάσμα είναι αρχαιοελληνική και σημαίνει κομμάτι . Αν λοιπόν θελήσουμε να
μοιράσουμε το πορτοκάλι του προηγούμενου παραδείγματος σε 4 άτομα τότε θα
κόψουμε το πορτοκάλι σε 4 ίσα μέρη και θα δώσουμε από 1 κομμάτι στον καθένα.
Ή αλλιώς λέμε ότι ο καθένας θα πάρει το
4
1
του πορτοκαλιού .
4
1
Ο παρονομαστής μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μο-
νάδα , στο παράδειγμά μας το πορτοκάλι το χωρίσαμε σε 4 ίσα μέρη . Ο αριθμητής
μας δείχνει πόσα κομμάτια θα πάρουμε , στην περίπτωσή μας ένα .
1.2 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
Ας ξαναγυρίσουμε στο αρχικό μας παράδειγμα . Καθαρίζουμε το πορτοκάλι και
βλέπουμε ότι αποτελείται από 12 φέτες . Αν είχε μόνο 4 φέτες δε θα υπήρχε πρόβλημα
γιατί ο καθένας θα έπαιρνε από 1 φέτα . Τι γίνεται όμως τώρα που έχουμε 12 φέτες ; Η
λύση του προβλήματος είναι απλή :
το
4
1
του 12 = 12 : 4 = 3
δηλαδή για να υπολογίσουμε την κλασματική μονάδα ενός αριθμού διαιρούμε
τον αριθμό μας με τον παρονομαστή .
παραδείγματα :
Το
5
1
του κιλού, πόσα γραμμάρια είναι; ( το κιλό έχει 1000 γραμμάρια , άρα ) 1000 :
5 =200
αριθμητής
παρονομαστής
κλασματική
γραμμή

Το
10
1
της ώρας, πόσα λεπτά είναι; ( η μία ώρα έχει 60 λεπτά ,άρα ) 60 : 10 = 6
Το
8
1
του χρόνου πόσες ημέρες είναι ; ( ο χρόνος έχει 360 ημέρες ,άρα )360 : 8 = 45
1.3 ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ
Αν κόψουμε μία πίτσα σε 4 κομμάτια και πάρουμε το 1 και κόψουμε την ίδια πίτσα σε 5
κομμάτια και πάρουμε 1 πότε θα φάμε μεγαλύτερο κομμάτι ;
4
1
5
1
Μεγαλύτερο είναι όπως φαίνεται το
4
1
γιατί χωρίσαμε σε λιγότερα κομμάτια .
Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκεί-
νη που έχει το μικρότερο παρονομαστή.
1.4 ΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κλασματικός αριθμός ή κλάσμα λέγεται κάθε αριθμός, που προκύπτει με την επα-
νάληψη μιας κλασματικής μονάδας.
π.χ. το κλάσμα
6
5
έγινε από το
6
1
(
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
=
6
5
)
Το κλάσμα
6
5
μας δείχνει ότι χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα μας π.χ. μία σοκολάτα
σε 6 ίσα μέρη και πήραμε τα 5 από αυτά .
Το παρακάτω παράδειγμα θα μας δείξει τη χρησιμότητα των κλασμάτων .Έστω
ότι έχουμε 5 σοκολάτες και θέλουμε να τις μοιράσουμε δίκαια σε 8 παιδιά . Είναι φα-
νερό ότι δεν μπορούμε να μοιράσουμε τις σοκολάτες . Αν όμως χωρίσουμε κάθε σοκο-
λάτα σε 8 ίσα μέρη τότε κάθε παιδί θα πάρει :
8
1
+
8
1
+
8
1
+
8
1
+
8
1
=
8
5
Αντί λοιπόν να κάνουμε τη διαίρεση 5:8 που είναι ατελής εκφράζουμε το πο-
σό με ένα κλάσμα . Κάθε κλάσμα λοιπόν δηλώνει μια διαίρεση .
κλπ.
100
1
10
1
5
1
4
1
3
1
2
1
π.χ. 

1.4 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΜΙΑΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ
Έχουμε μια σοκολάτα χωρισμένη σε 15 κομμάτια και θέλουμε να φάμε μόνο τα
5
3
της
σοκολάτας . Πόσα κομμάτια θα φάμε ;
Για να λύσουμε την απορία μας πρέπει να βρούμε πόσα κομμάτια είναι τα
5
3
της σοκο-
λάτας . Ο υπολογισμός γίνεται με τον παρακάτω τρόπο :
τα
5
3
του 15 = ( 15:5 ) χ 3 = 3 χ 3 = 9
δηλαδή για να υπολογίσουμε το κλάσμα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας
με τον παρονομαστή και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή .
παραδείγματα :
Τα
12
5
της ώρας, πόσα λεπτά είναι ; ( 1 ώρα = 60 λεπτά )
( 60 : 12 ) χ 5 = 5 χ 5 = 25 λεπτά
τα
10
6
του 450 = ( 450 : 10 ) χ 6 = 45 χ 6 = 270

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2.1 ΓΝΗΣΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγο-
νται γνήσια κλάσματα. Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη μονάδα.
π.χ.
6
2
< 1,
10
7
< 1
Το κλάσμα
6
2
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 6 μέρη
και πήραμε τα 2 ,δηλαδή λιγότερα από το σύνολο.
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό λέγο-
νται ισοδύναμα με την ακέραιη μονάδα. Αυτά έχουν την ίδια αξία με την
ακέραιη μονάδα.
π.χ.
5
5
= 1,
8
8
= 1,
12
12
= 1
Το κλάσμα
5
5
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 μέρη και
πήραμε τα 5 ,δηλαδή τα πήραμε όλα άρα ολόκληρη την ακέραιη μονάδα .
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή λέγο-
νται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία ακέραιη
μονάδα.
π.χ.
8
12
> 1,
7
14
> 1,
3
9
> 1
Το κλάσμα
8
12
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 8 μέρη και πήραμε τα 12 .
Αυτό φαινομενικά δε γίνεται γιατί δεν έχουμε 12 ,αλλά μόνο 8 κομμάτια . Η λύση στο
πρόβλημα είναι απλή : αν πάρω 2 ακέραιες μονάδες και τις κόψω σε 8 κομμάτια την κα-
θεμιά τότε θα έχω 8+8=16 κομμάτια και θα μπορέσω να πάρω 12.

2.2 ΑΠΛΑ ΚΑΙ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
 Απλό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται μόνο από αριθμητή και παρονο-
μαστή.
π.χ.
6
2
,
3
9
,
8
8
 Μεικτό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα
κλάσμα .
π.χ. 4
6
2
, 5
3
9
, 7
8
8
Το μεικτό κλάσμα μας δείχνει ότι παίρνουμε π.χ. 4 ακέραιες μονάδες και τα
6
2
μι-
ας ακόμη ακέραιης μονάδας. Δηλαδή χρειαζόμαστε συνολικά 5 ακέραιες μονάδες.
2.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής :
6
5
3
 Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 χ 6 = 30
 Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33
 Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή αφήνουμε
τον ίδιο.
6
5
3
=
5
33
4
6
2
=
6
2)64( x
=
6
26
5
3
2
=
3
2)35( x
=
3
17
2.Για να μετατρέψουμε ένα απλό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :
5
13
= 2
5
3
 Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή : 13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3
 Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής και
παρονομαστής μένει ο ίδιος
5
13
= 2
5
3
13:5=2
3 υπόλοιπο
παρονομαστής ο ίδιος

2.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το
ίδιο κομμάτι της ακέραιης μονάδας , π.χ.
5
3
=
10
6
. Αν δηλαδή κόψω μια πίτα σε 5
κομμάτια και πάρω τα 3 ή αν την κόψω σε 10 κομμάτια και πάρω τα 6 τότε θα έχω
πάρει την ίδια ποσότητα και στις δύο περιπτώσεις.
 Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή
να διαιρέσω τους όρους του κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής)
με τον ίδιο αριθμό .
χ2 χ3 χ4 χ5
6
2
=
12
4
=
18
6
=
24
8
=
30
10
Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
:2 :3 :4
60
24
=
30
12
=
20
8
=
15
6
Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
2.5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή του και τον παρο-
νομαστή του με τον ίδιο αριθμό .
Όταν οι όροι του κλάσματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομά-
ζεται ανάγωγο.
32
12
=
8
3
Για να γίνει απλοποίηση υπάρχουν δύο τρόποι :
 Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με οποιονδήποτε αριθμό ( συνήθως το 2)
και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να γίνει το κλάσμα ανάγωγο .
:2 :2 :2
64
24
=
32
12
=
16
6
=
8
3
διαιρούμε αριθμητή και πα-
ρονομαστή με το 4

 Βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη ( δηλαδή το μεγαλύτερο αριθμό που δι-
αιρεί και τους δύο όρους του κλάσματος ) και διαιρούμε απευθείας με αυτόν
.
:8
64
24
=
8
3
Με όποιο τρόπο κι αν κάνουμε την απλοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το
ίδιο .
Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό , το μετατρέπουμε σε μεικτό και
μετά κάνουμε απλοποίηση .

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
3.1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα τότε μπορεί να
συναντήσουμε τις 3 παρακάτω περιπτώσεις :
 Τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές , δηλαδή είναι ομώνυμα . Τότε η
σύγκριση είναι πολύ εύκολη γιατί μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το
μεγαλύτερο αριθμητή .
5
3
> 5
2
Ο λόγος που τα
5
3
είναι μεγαλύτερο είναι προφανής . Κόψαμε την ακέραιη
μονάδα σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 3 , ενώ στη δεύτερη περίπτωση πήραμε 2
κομμάτια από τα 5 .
 Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,
αλλά έχουν τους ίδιους αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση μεγαλύτερο
είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο αριθμητή
5
3
> 8
3
Ο λόγος που τα
5
3
είναι μεγαλύτερο είναι γιατί κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5
κομμάτια και πήραμε τα 3 ,ενώ στα
8
3
κόψαμε την ίδια ακέραιη μονάδα σε 8
κομμάτια ( άρα μικρότερα ) και πήραμε πάλι τρία αλλά πολύ μικρότερα κομμάτια
.
 Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,
αλλά έχουν και διαφορετικούς αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση θα
πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μετά να τα συγκρίνουμε .

3.2 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΩΝΥΜΑ
1. Έχουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα και θέλουμε να τα μετατρέψουμε σε
ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε .
2. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε το Ε.Κ.Π. των
παρονομαστών .
3. Στη συνέχεια διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές και σημειώνουμε το
αποτέλεσμα πάνω από το κλάσμα .
4. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον αριθμό που
σημειώσαμε πάνω από κάθε κλάσμα
5. Τα κλάσματά μας είναι πλέον ομώνυμα .
1.
5
3
,
8
2
2. Ε.Κ.Π.( 5, 8 ) = 40
40:5=8 40:8=5
3.
5
3
,
8
2
4.
85
83
x
x
,
58
52
x
x
5.
40
24
,
40
10

Συμεωνίδης Θόδωρος10
3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα,
προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή .
5
2
+
5
1
=
5
3
Αν κάποιο κλάσμα είναι μεικτό το μετατρέπουμε πρώτα σε απλό και μετά
κάνουμε τις πράξεις . Δεν ξεχνάμε στο τέλος να κάνουμε απλοποιήσεις και να
μετατρέψουμε τα απλά κλάσματα σε μεικτά αν είναι απαραίτητο .
2
4
2
- 1
4
3
=
4
10
-
4
7
=
4
3
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα , τα
κάνουμε πρώτα ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους
αριθμητές . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα
.
4 5
5
2
+
4
3
=
20
8
+
20
15
=
20
23
= 1
20
3
4 5
5
4
-
4
3
=
20
16
-
20
15
=
20
1
Αν θέλουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσμα με ακέραιο
μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με τον παρακάτω τρόπο :
5 1
4 -
5
2
=
1
4
-
5
2
=
5
20
-
5
2
=
5
18
= 3
5
3
ο παρονομαστής δεν αλλάζει
Για να μετατρέψουμε
έναν ακέραιο σε
κλάσμα αρκεί να
βάλουμε
παρονομαστή τη
μονάδα
Δεν ξεχνάμε να
βγάλουμε τις
ακέραιες μονάδες

Συμεωνίδης Θόδωρος11
3.2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε και τους
αριθμητές και τους παρανομαστές .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα
κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε
απλά κλάσματα .
5
4
×
8
3
=
40
12
=
10
3
3.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και
στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε
τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε
απλά κλάσματα .
5
4
:
8
3
=
5
4
×
3
8
=
15
32
= 2
15
2
Αντιστρέφουμε μόνο το δεύτερο κλάσμα και σε καμία περίπτωση δεν
αλλάζουμε τη σειρά των αριθμών
Αν έχουμε να κάνουμε διαίρεση με ακέραιο τον μετατρέπουμε σε κλάσμα και
κάνουμε την πράξη με τον ίδιο τρόπο :
3
2
: 4 =
3
2
:
1
4
=
3
2
χ
4
1
=
12
2
=
6
1
απλοποίηση
Βγάζουμε ακέραιες μονάδες

eva-edu
Όταν έχουμε ένα αριθμό και τον πολλαπλασιάζουμε με ένα άλλο
τότε ο αριθμός που βρίσκουμε ονομάζεται πολλαπλάσιο.
Για παράδειγμα πολλαπλάσια του 2 είναι: 2x0=0
2x1 =2
2x2=4
2x3=6
2x4=8
2x5=10
2x6=12
2x7=14
2x8=16
Άρα τα πολλαπλάσια του 2 είναι το 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να βρεις τα πολλαπλάσια του 3 και του 4

eva-edu
Όταν θέλουμε να δούμε πόσες φορές χωράει ακριβώς ένας
αριθμός σε ένα άλλο με υπόλοιπο μηδέν κάνουμε διαίρεση.
Μερικές φορές όμως η διαίρεση μας τρώει πολύ χρόνο.
Υπάρχουν κάποια «κολπάκια» που μας βοηθάνε να καταλάβουμε αν ένας
αριθμός χωράει ακριβώς ή όχι σε ένα άλλο. Αυτά τα «κολπάκια» τα
ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 2
Για να καταλάβουμε αν το 2 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το τελευταίο
του νούμερο. Αν αυτό είναι 0, 2, 4, 6, 8, τότε αυτός αριθμός λέμε ότι
διαιρείται με το 2.
π.χ. 2.340 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 0 άρα διαιρείται με το 2)
1.683 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαίρείται με το 2)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να εξετάσεις αν διαιρούνται με το 2 οι παρακάτω αριθμοί
2.180 -
1.321 -
2.134 -
146 -
147 -

eva-edu
Για να καταλάβουμε αν το 5 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το τελευταίο
του νούμερο. Αν αυτό είναι 0, 5 τότε αυτός αριθμός λέμε ότι διαιρείται με το
5.
1.683 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαιρείται με το 5)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.346 -
3.845 -
2.130 -
174-
550 -
665 –

eva-edu
Για να καταλάβουμε αν το 10 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το
τελευταίο του νούμερο. Αν αυτό είναι μόνο 0 τότε αυτός αριθμός λέμε ότι
διαιρείται με το 102.
2.553 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαιρείται με το 10)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.540 -
7.381 -
1.000 -
1.004 -
1.770 -
153 -
Να βρεις αν διαιρούνται με το 5 οι παρακάτω αριθμοί
2.134 –
1.555 –
1.640 –
1.783 –
2.445 –

eva-edu
Πολλαπλάσια του 2: 2x0=0 Πολλαπλάσια του 3:3x1=3
2x1 =2 3x2=6
2x2=4 3x3=9
2x3=6 3x4=12
2x4=8 3x5=15
2x5=10 3x6=18
2x6=12 3x7=21
2x7=14 3x8=24
2x8=16 3x9=27
Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
Τα πολλαπλάσια του 3 είναι τα 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,
24
Βλέπουμε ότι μερικά από τα πολλαπλάσια των δύο αριθμών
είναι ίδια . Όταν τα πολλαπλάσια είναι ίδια και στους δύο αριθμούς
τα λέμε κοινά.
Ποια πολλαπλάσια είναι κοινά;
Το μικρότερα από αυτά τα κοινά το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό
Πολλαπλάσιο ή Ε.Κ.Π.

eva-edu
Ασκήσεις
Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια
Τα πολλαπλάσια του 4 είναι τα: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα: 0,2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24
Τα κοινά πολλαπλάσια είναι τα …………………………………………………
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι το:…………………………………………..
Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια
Τα πολλαπλάσια του 4 είναι τα: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
Τα πολλαπλάσια του 3 είναι τα: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33
Τα κοινά πολλαπλάσια είναι τα …………………………………………………
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι το:…………………………………………..

eva-edu
Τα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή (δηλαδή το κάτω)
λέγονται ομώνυμα!!!
Για παράδειγμα:
4
1
4
3
4
2
4
5
4
6
Τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή (δηλαδή το κάτω)
λέγονται ετερώνυμα!!!
Για παράδειγμα:
2
1
3
2
7
3
6
1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να κυκλώσεις τα κλάσματα που είναι ομώνυμα
2
1
5
2
2
4
Γεια σου Εύα! Εμένα με λένε παρονομαστή !!!

eva-edu
Όταν πρέπει να προσθέσουμε κλάσματα που το κάτω
μέρος τους, ο παρονομαστής, είναι διαφορετικό βάζουμε
καπελάκια.
3 2
Παράδειγμα :
2
1
+ 3
2
=
Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που είναι μέσα στο
καπελάκι και με τον πάνω και με τον κάτω αριθμό.
3 2
Παράδειγμα :
2
1
+ 3
2
= 23
13
x
x
+ 32
22
x
x
=6
3
+ 6
4
= 6
43 
= 6
7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να κάνεις τις παρακάτω προσθέσεις
2
1
+ 4
2
=
2
3
+ 5
2
=

Κλάσματα
Ο αριθμός που
βρίσκεται πάνω
ονομάζεται
Αριθμητής.
Ο αριθμός που
βρίσκεται κάτω
ονομάζεται
Παρονομαστής.
Όταν ο αριθμητής είναι
μεγαλύτερος από τον
παρονομαστή το
κλάσμα είναι μεγαλύτερο
από τη μονάδα.
Όταν ο αριθμητής
είναι
μικρότερος από τον
παρονομαστή το
κλάσμα είναι μικρότερο
από τη μονάδα.
Μεικτός είναι ο αριθμός
που αποτελείται από
ένα ακέραιο μέρος
και ένα κλασματικό.
Για να μετατρέψω ένα μεικτό σε
κλάσμα, πολλαπλασιάζω τον
παρονομαστή με το ακέραιο μέρος
και προσθέτω τον αριθμητή. Αυτό
που βρίσκω το γράφω στον
αριθμητή. Για παρονομαστή
κρατώ τον ίδιο.
4 x 2 + 3 = 11 =
Για να μετατρέψω ένα κλάσμα σε
μεικτό διαιρώ τον αριθμητή με τον
παρονομαστή. Το πηλίκο της
διαίρεσης είναι το ακέραιο μέρος
του μεικτού και το υπόλοιπο είναι
ο αριθμητής του κλάσματος.
Παρονομαστή κρατώ τον ίδιο.
= 5 : 4 = 1 υ = 1
ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗ ΜΑΡΙΑ

Πολλαπλασιασμός & Διαίρεση
Κλασμάτων
Πολλαπλασιασμός
Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα πρέπει να μετατρέψω ό,τι έχω σε
κλάσμα. Έπειτα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές μεταξύ τους και
γράφω το αποτέλεσμα ως αριθμητή. Πολλαπλασιάζω τους
παρονομαστές και γράφω το αποτέλεσμα ως παρονομαστή.
x = = Απλοποιώ =
Διαίρεση
Για να διαιρέσω δύο κλάσματα πρέπει να μετατρέψω ό,τι έχω σε
κλάσμα. Έπειτα, αντιστρέφω το δεύτερο κλάσμα (δηλαδή ο αριθμητής
γίνεται παρονομαστής και αντίστροφα). Αντί για διαίρεση κάνω
πολλαπλασιασμό.
: = x = = =
ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗ ΜΑΡΙΑ

Χρυσούλα Παγκάλου
ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ
π.χ. 4 x 6 = 24 Το 24 είναι πολλαπλάσιο του 4
24 : 4 = 6 Το 4 είναι διαιρέτης του 24
π.χ. Το 3 είναι διαιρέτης και του 12 και του 18,
αφού 12 : 3 = 4 και 18 : 3 = 6
π.χ. Το 2 διαιρεί ακριβώς και το 2 και το 4 και το 6 και το 8 κλπ.
Θυμάμαι ότι πολλαπλάσια είναι
οι αριθμοί που προκύπτουν αν
πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό
με άλλους αριθμούς.
Εγώ, φίλε μου, θα σου πω ότι διαιρέτης ενός
αριθμού ονομάζεται ο αριθμός που χωράει
ακριβώς σε αυτόν και μάλιστα η διαίρεσή τους
είναι τέλεια.
Κι εγώ, με τη σειρά μου, σας ενημερώνω
ότι όπως κάποιοι αριθμοί έχουν κοινά
(ίδια) πολλαπλάσια, έτσι και κάποιοι
αριθμοί έχουν κοινούς (ίδιους) διαιρέτες.
Το 12 και το 18 είναι πολλαπλάσια
του 3 και το 3 είναι διαιρέτης και
του 12 και του 18. Άρα, μπορεί
ένας αριθμός να είναι διαιρέτης σε
πολλούς άλλους αριθμούς.

Το 5 διαιρεί ακριβώς και το 5 και το 10 και το 15 και το 20 κλπ.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Όλοι οι αριθμοί σίγουρα είναι διαιρέτες του εαυτού τους και
των πολλαπλάσιών τους, αφού και ο πολλαπλασιασμός με τη διαίρεση είναι
αντίστροφες πράξεις. Επίσης, το 1 (η μονάδα) είναι διαιρέτης όλων των
αριθμών:
π.χ. 1 x 4 = 4, 2 x 4 = 8, 3 x 4 = 12, 4 x 4 = 16, 5 x 4 = 20, κλπ.
Οι αριθμοί 4, 8, 12, 16, 20 κλπ είναι πολλαπλάσια του 4 και το 4 είναι
διαιρέτης του εαυτού του και των πολλαπλάσιών του, αφού:
4 : 4 = 1, 8 : 4 = 2, 12 : 4 = 3, 16 : 4 = 4, 20 : 4 = 5, κλπ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Βρίσκω ποιοι αριθμοί από τους παρακάτω διαιρούνται ακριβώς και με το 2
και με το 4 και με το 8:
30, 32, 40, 48, 64, 70, 74, 80, 84, 90
Με το 2 διαιρούνται ακριβώς: ……………………………………………………………………………
2. Βρίσκω ποιοι αριθμοί από τους παρακάτω διαιρούνται ακριβώς και με το 2
και με το 5 και με το 10:
20, 35, 40, 50, 65, 70, 85, 90, 105, 110
Μη φοβάστε! Θα σας πω κολπάκια, που τα
λένε κριτήρια διαιρετότητας και θα βρίσκετε
κατευθείαν αν κάποιος αριθμός είναι διαιρέτης
κάποιου άλλου! (κοιτάξτε την επόμενη σελίδα!!!!)

Διαιρέτες και πολλαπλάσια
Γιάννης Φερεντίνος

Ποιοι αριθμοί λέγονται
πολλαπλάσια;
• Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί
τους οποίους σχηματίζουμε πολλαπλασιάζοντας
τον αριθμό με διάφορους ακέραιους αριθμούς
Π.χ. για να βρούμε τα πέντε πρώτα πολλαπλάσια
του 8, πολλαπλασιάζουμε το 8 με το 1, το 2, το
3, το 4 και το 5 και παίρνουμε αντίστοιχα
8, 16, 24, 32, 40

Κοινά πολλαπλάσια
• Δύο ή περισσότεροι αριθμοί μπορούν να
έχουν κοινά (ίδια) πολλαπλάσια.
• Μπορούμε να τα βρούμε γράφοντας τα
πολλαπλάσια κάθε αριθμού με τη σειρά ή
τοποθετώντας τα πολλαπλάσια κάθε
αριθμού στην αριθμογραμμή ή κάνοντας
πίνακα.

Παράδειγμα
Τα πολλαπλάσια του 4 είναι :
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ….
Τα πολλαπλάσια του 6 είναι :
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ….
Άρα τα κοινά τους πολλαπλάσια είναι 12, 24, 36, ….

Τι είναι οι διαιρέτες ενός
αριθμού;
• Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι φυσικοί
αριθμοί με τους οποίους διαιρείται ακριβώς
ο αριθμός.
Π.χ. διαιρέτες του 36 είναι οι αριθμοί:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 και 36

Ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο
• Μπορούμε να αναλύσουμε έναν αριθμό σε
γινόμενο με τέτοιο τρόπο, ώστε να μην
αναλύεται περισσότερο, χρησιμοποιώντας
την προπαίδεια και αναλύοντας κάθε
παράγοντα όσο γίνεται.
Π.χ. το 180 αναλύεται ως εξής:
180 = 2*90 = 2*2*45 = 2*2*3*15 = 2*2*3*3*5
Παρατηρούμε ότι δεν αναλύεται άλλο.
Το γινόμενο αυτό ονομάζεται
γινόμενο πρώτων παραγόντων

Ανάλυση με δενδρόγραμμα
180
2 * 90
2 * 2 * 45
2 * 2 * 3 * 15
2 * 2 * 3 * 3 * 5

Παράδειγμα εύρεσης γινομένου
πρώτων παραγόντων
180 2 Το 2 στο 180 χωράει 90
90 2 Το 2 στο 90 χωράει 45
45 3 Το 2 δε χωράει στο 45.Το 3 χωράει 15
15 3 Το 3 στο 15 χωράει 5
5 5 Το 3 δε χωράει στο 5. Το 5 χωράει 1
1
180 = 2*2*3*3*5
Όταν φτάνουμε στο 1
σταματάμε

Χαράλαμπος Δ. Δημόπουλος
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ
Έχουμε και λέμε :
 Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4,
6, 8 (όλοι δηλαδή οι ζυγοί αριθμοί)
 Με το 3 διαιρούνται οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι 3, 6, 9 (π.χ. 2.868  2+8+6+8=
24  2+4=6)
 Με το 4 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δύο τελευταία τους
ψηφία διαιρούνται με το 4 ή που τελειώνουν σε 00 (π.χ.
612  12:4=3, αλλά και οι 900, 1.200, 45.600 κλπ.
 Με το 5 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5
(π.χ. 3.125, 6.450)
 Με το 9 διαιρούνται οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι 9 (π.χ. 9.936  9+9+3+6=27 
2+7=9)
 Με το 10, 100, 1.000, 10.000 κλπ. διαιρούνται οι αριθμοί
που τελειώνουν σε 0, 00, 000, 0000 αντίστοιχα κλπ.
Πιστεύω, όταν λέει κριτήρια να εννοεί
κάποιους εύκολους κανόνες, γιατί αλλιώς
νομίζω ότι μπλέξαμε…
Τα κριτήρια αυτά μας βοηθούν, να
βρίσκουμε τους διαιρέτες ενός αριθμού με το
μυαλό μας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Κριτήρια διαιρετότητας
Όλοι οι αριθμοί διαιρούν ακριβώς τα πολλαπλάσιά τους και φυσικά
τον εαυτό τους.
π.χ. ο αριθμός 7 διαιρεί ακριβώς το 7, που είναι ο εαυτός του, αλλά
και όλα τα πολλαπλάσιά του, όπως τα γνωρίζουμε και από την
προπαίδεια. Δηλαδή το 7 διαιρεί ακριβώς και τους αριθμούς: 14, 21,
28, 35, 42, … κλπ.
Μπορούμε όμως, να διαπιστώσουμε με απλό τρόπο και αν ένας
οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 4, το 5, το
6, το 9, το 10, το 100 κλπ.
Με το 2: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το τελευταίο ψηφίο τους
είναι: 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8 δηλαδή ένας οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός.
Με το 3: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι: 3 ή 6 ή 9 π.χ. 117: 3 διαιρείται γιατί 1+1+7=9
Με το 4: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τα δυο τελευταία ψηφία
τους διαιρούνται με το 4 ή τελειώνουν σε δυο μηδενικά.
Με το 5: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το τελευταίο ψηφίο τους
είναι: 5 ή 0.
Με το 6: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που είναι ζυγοί και διαιρούνται
παράλληλα και με το 3. (Δηλαδή είναι ζυγοί και ταυτόχρονα το
μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων τους είναι: 3 ή 6 ή 9).
Με το 9: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το μονοψήφιο άθροισμα
των ψηφίων τους είναι: 9 π.χ. 216 : 9 διαιρείται γιατί 2+1+6=9
Με το 10: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τελειώνουν τουλάχιστον
σε ένα 0.
Με το 100: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τελειώνουν τουλάχιστον
σε δυο μηδενικά (…00).
Με το 1000: Διαιρούνται όλοι εκείνοι οι αριθμοί, που τελειώνουν
τουλάχιστον σε 3 μηδενικά (…000) κλπ.
Εύκολα, ε;
Έτσι, θα βρίσκετε γρήγορα
και το Ε.Κ.Π.

Nansy Tzg
Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10 …………………………..
Στο μάθημα αυτό μάθαμε για τα κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10, δηλαδή
πότε ένα αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 5 και το 10.
Όλα αυτά μας χρειάζονται ώστε να ξέρουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με αυτούς, ώστε
να μη χάνουμε χρόνο σε περιπτώσεις που θέλουμε οι διαιρέσεις να είναι τέλειες.
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2 όταν το
τελευταίο του ψηφίο είναι 0, 2 ,4, 6 ,8.
Παράδειγμα 1: το 256 διαιρείται ακριβώς με το 2,
γιατί το τελευταίο του ψηφίο είναι 6.
Παράδειγμα 2 : το 378 είναι πολλαπλάσιο του 2 ,
γιατί το τελευταίο του ψηφίο είναι 8.
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5
όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.
Παράδειγμα 1: το 250 διαιρείται ακριβώς με το 5, γιατί το τελευταίο του ψηφίο
είναι 0.
Παράδειγμα 2 : το 375 είναι πολλαπλάσιο του 5 , γιατί το τελευταίο του ψηφίο
είναι 5.
Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 10
όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
Παράδειγμα 1: το 250 διαιρείται ακριβώς με το 10, γιατί
το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
Παράδειγμα 2 : το 370 είναι πολλαπλάσιο του 10 , γιατί
το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
Το πιο σημαντικό όμως που θα πρέπει να θυμάσαι είναι:
Έστω ότι έχω να κάνω μια διαίρεση όπου:
δ= ο διαιρέτης, Δ= ο διαιρετέος, π = το πηλίκο, υ = το υπόλοιπο
τότε πάντα ισχύει: δ X π + υ = Δ και 0 < υ < δ
Δηλαδή: Όταν πολλαπλασιάζω τον διαιρέτη με το πηλίκο και προσθέτω το υπόλοιπο, βρίσκω
τον διαιρετέο. Το υπόλοιπο όταν η διαίρεση είναι ατελής θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το
μηδέν και μικρότερο από τον διαιρέτη.
Δ δ
υ π

Nansy Tzg
1. Χωρίς να κάνω καμία πράξη βρίσκω με ποιο αριθμό διαιρούνται ακριβώς οι
παρακάτω αριθμοί:
18, 27, 35, 42, 60, 86, 100, 125, 2.522, 8, 14, 26, 70, 95, 120
275, 9.580, 72.148, 451.672, 1.024.536
 Διαιρούνται ακριβώς με το 2: ……………………………………………………………………………………….
 Διαιρούνται ακριβώς με το 5: ……………………………………………………………………………………….
 Διαιρούνται ακριβώς με το 10: ……………………………………………………………….…………………….
2. Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο αριθμό που διαιρείται ακριβώς:
με το 2 με το 5 με το 10
……, 12, ……. ……, 25, ……. ……, 60, …….
……, 278 , ……… ………, 480 , ……… …….…, 4,350 , ………
……..…, 3.984, ……….. ……..…, 8.315, ……….. …….…..…, 256.730, ……….…..
3. Συμπληρώνω τα κενά με τον πιο κοντινό αριθμό, έτσι ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια.
με το 5 με το 10
14 → 26 →
4.654 → 3.789 →
72.419 → 85.943→
540.282 → 123.471→
1.742.398 → 6.254.732→
4. Συμπληρώνω τις προτάσεις και εξηγώ πως σκέφτηκα.
Αν διαιρέσω έναν αριθμό:
 με το 2, το υπόλοιπο θα είναι: …….. ή ……..
γιατί ……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
 με το 5, το υπόλοιπο θα είναι:
…….. …….. …….. …….. ……..
γιατί ……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
 με το 10, το υπόλοιπο θα είναι:
…….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. ……..
γιατί ……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………

Nansy Tzg
5. Στο πρόγραμμα αθλητικών δραστηριοτήτων του δήμου μας συμμετέχουν
περισσότερα από 120 παιδιά και λιγότερα από 140. Αν τα παιδιά
χωριστούν σε πεντάδες ή δεκάδες δεν περισσεύει κανένα. Πόσα είναι τα
παιδιά που συμμετείχαν στο πρόγραμμα;
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. Ο Μάνος μαζί με την αδερφή του έχουν πάρα πολλά επιτραπέζια παιχνίδια. Είναι
περισσότερα από 15 και λιγότερα από 25, ενώ το πλήθος τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο
του 10. Πόσα επιτραπέζια παιχνίδια έχουν;
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
7. Δυο αριθμοί έχουν γινόμενο 18. Το πηλίκο τους είναι 2 και το άθροισμα τους 9. Ποιοι
αριθμοί είναι; …………………………………………………………………………………………………….………..
……………………………………………………………………………………………………………………..………………
Όνομα: ………………………………………………………………………………………………….
Καλή ξεκούραση!

Κριτήρια διαιρετότητας.............
salloumy

Είμαι μάγος;
Ρώτησέ με όποιον αριθμό θέλεις και θα σου
απαντήσω αν διαιρείται ή όχι με τους
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Είστε όμως καλά παιδιά γι’ αυτό θα μοιραστώ τα
μυστικά μου μαζί σας

Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 2;
• Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που το
τελευταίο τους ψηφίο είναι το
0, 2, 4, 6, 8,
• Παράδειγμα...
• 3020
• 456
• 23138
• 345

τελευταίο τους ψηφίο είναι το 0 ή 5
• 3020
• 456
• 23100
• 345

Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 10,
100, 1000;
• Με το 10, 100, 1000, κλπ, διαιρούνται οι
αριθμοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι
το 0 ή 00 ή 000 κλπ
• 3020
• 4500
• 23102
• 345000
Με το 10
Με το 10, και το 100
Με το 10, το 100 και το 1000

• Με το 4 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δυο
τελευταία τους ψηφία διαιρούνται με το 4
ή είναι 00
• 3020
• 4500
• 23102
• 345084
Το 4 διαιρεί το 20
Τελειώνει σε 00

Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το
25;
• Με το 25 διαιρούνται οι αριθμοί που τα
δυο τελευταία τους ψηφία διαιρούνται με
το 25 ή είναι 00
• 3025
• 4500
• 23102
• 345075
Τελειώνει σε 00

άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται
με το 3
• 3021
• 4500
• 23102
• 345084
3 + 2 + 1 = 6
4 + 5 = 9
το 3 διαιρεί το 9
3 + 4 + 5 + 8 + 4 = 24
2 + 3 + 1 + 2 = 8
Το 3 δεν διαιρεί το 8

άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται
με το 9
• 3024
• 4500
• 23102
• 34308
3 + 2 + 4 = 9
4 + 5 = 9
το 9 διαιρεί το 9
3 + 4 + 3 + 8 = 18
2 + 3 + 1 + 2 = 8
Το 9 δεν διαιρεί το 8

τελευταίο τριψήφιο τμήμα τους
διαιρείται με το 8, ή είναι 000
• 3160
• 4000
• 23102
• 345088
Το 160 διαιρείται με το 8
Τα τρία τελευταία ψηφία
είναι 000
Το 088 διαιρείται με το 8
Το 102 δεν διαιρείται με το 8

Το κριτήριο για το 7;
• Πάρε το τελευταίο ψηφίο και
διπλασίασέ το. Αφαίρεσέ το από τα
υπόλοιπα. Αν το αποτέλεσμα που
βρήκες χωράει στο 7 τότε ο αριθμός
διαιρείται με το 7
Π.χ 133 Παίρνω το τελευταίο ψηφίο
και το διπλασιάζω 3*2= 6. Το
αφαιρώ από τα υπόλοιπα ψηφία 13-
6= 7. Το 7 διαιρείται με το 7, άρα
διαιρείται και με τον 133

Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το
11;
• Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν το
άθροισμα των διψήφιων τμημάτων που
προκύπτουν αν τον χωρίσουμε από δεξιά
προς τα αριστερά είναι ένας αριθμός που
διαιρείται με το 11, Παράδειγμα...
• 3168
• 4147
• 23102
• 415008
31 + 68 =99
41 + 47 = 88
41+ 50 + 08 =99
2 + 31 + 02 =35
Δεν διαιρείται

Αν ένας αριθμός διαιρείται από
άλλους δυο, θα διαιρείται και από
το γινόμενό τους
Για παράδειγμα ο αριθμός 12
διαιρείται και με το 3 και με το 2 άρα
διαιρείται και με το 6
Επίσης ο αριθμός 520 διαιρείται και
με το 4 και με το 2 άρα διαιρείται και
με το 8

Χρησιμοποιήστε όλα αυτά τα
μυστικά !!!!!!
Θα σας λύσουν πολλά
προβλήματα!!!!!!!!!!!

ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
Πολλαπλάσια ενός αριθμού
Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό
αυτό με άλλους ακέραιους αριθμούς, π.χ. τα πολλαπλάσια του 5 είναι 5x0=5, 5x1=5, 5x2=10,
5x3=15 κλπ.
Παράδειγμα:
Να βρεθούν τα πολλαπλάσια του 3.
Π3= { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... }
Κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών- που δεν είναι μηδέν- ονομάζουμε κάθε αριθμό
που διαιρείται ακριβώς με καθέναν από τους αριθμούς αυτούς.
Παράδειγμα:
Να βρεθεί το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων των αριθμών 3 και 4.
Π3= { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... }
Π4= { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ... }
Το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων των αριθμών 3 και 4 είναι:
Π3,4= { 0, 12, 24,36, ... }
ΑΣΚΗΣΕΙΣ- ΤΕΤΡΑΔΙΟ
1. Να γραφούν πέντε όροι σε καθένα από τα παρακάτω σύνολα.
α. Π5= { ____________________________________ }
β. Π6= { ____________________________________ }
γ. Π4= { ____________________________________ }
δ. Π15= { ____________________________________ }
2. Να διαγραφούν οι όροι που δεν ανήκουν σε καθένα από τα παρακάτω σύνολα.
α. Π8= { 40, 72, 18, 36, 42, 56, 64 }
β. Π15= { 45, 120, 50, 60, 75, 80, 90 }
γ. Π9= { 90, 53, 45, 24, 27, 30, 81 }
δ. Π7= { 14, 24, 35, 42, 70, 48 }
3. Να γραφτούν τα πολλαπλάσια…
α. … του 4 που δεν υπερβαίνουν το 40.
β. … του 6 που δεν υπερβαίνουν το 70.
γ. … του 5 που δεν υπερβαίνουν το 54.
δ. … του 10 που δεν υπερβαίνουν το 125.
ε. … του 15 που δεν υπερβαίνουν το 120.
στ. … του 12 που δεν υπερβαίνουν το 96.

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ( Ε.Κ.Π.)
Όπως ήδη γνωρίζουμε, το Ε.Κ.Π. πολλών αριθμών το βρίσκουμε με σύντομο τρόπο, αφού
πάρουμε το μεγαλύτερο από αυτούς τους αριθμούς και δούμε αν είναι πολλαπλάσιο των
άλλων. Αν όχι, παίρνουμε το διπλάσιό του, το τριπλάσιό του κλπ.
π.χ. Ε.Κ.Π.(2, 5, 20) = 20 Ε.Κ.Π. (2, 5, 15) = 30 δηλαδή το
διπλάσιο του 15
Μερικές φορές όμως, αν δεν είναι ούτε το τριπλάσιο ούτε το τετραπλάσιο κλπ. για να το
βρίσκουμε πιο εύκολα και να μην ψάχνουμε πολλή ώρα, εργαζόμαστε ως εξής:
π.χ. Ε.Κ.Π. (2, 3, 4, 5, 12)
(παρατηρούμε ότι δεν είναι ούτε το διπλάσιο του 12 ούτε το τριπλάσιο του 12 ούτε το
τετραπλάσιο)
Τοποθετούμε τους αριθμούς 2 3 4 5 12 με τη σειρά και δίπλα στα δεξιά τους, τραβάμε
μια κάθετη γραμμή:
2 3 4 5 12 2
1 3 2 5 6 2
1 3 1 5 3 3
1 1 1 5 1 5
1 1 1 1 1 Ε.Κ.Π. = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Ξεκινάμε, κάνοντας διαιρέσεις και παίρνοντας ως διαιρέτη το μικρότερο αριθμό που
χωράει στους αριθμούς αριστερά (εκτός από το 1), όπως είναι το 2 και το γράφουμε δεξιά
από την κάθετη γραμμή και διαιρούμε όλους τους αριθμούς που διαιρούνται με το 2
ακριβώς, γράφοντας από κάτω τους, πόσες φορές χωράει το 2 στον καθένα από
αυτούς, δηλαδή το πηλίκο που βρίσκουμε.
Αν δε χωρούσε το 2 τότε θα δοκιμάζαμε με το 3, αν όχι και με το 3 θα δοκιμάζαμε
με το 4 κλπ.
Όταν δε χωράει ακριβώς, ξαναγράφουμε από κάτω τον αριθμό όπως είναι.
Αρχίζουμε, λέγοντας ότι το 2 στο 2 χωράει 1 φορά, οπότε γράφω κάτω από το 2 τον
αριθμό 1, το 2 στο 3 δε χωράει, οπότε από κάτω ξαναγράφω το 3, το 2 στο 4 χωράει 2
φορές, οπότε κάτω από το 4 γράφω το 2, το 2 στο 5 δε χωράει ακριβώς, οπότε το 5 το

ξαναγράφω από κάτω όπως είναι. Το 2 στο 12 χωράει 6 φορές, οπότε κάτω από το 12
γράφω το 6.
Συνεχίζω στη δεύτερη σειρά με τον αριθμό 2 ως διαιρέτη, δεξιά από την κάθετη γραμμή
και βλέπω πάλι πόσες φορές χωράει το 2 σε όλους τους αριθμούς και επαναλαμβάνω την
ίδια διαδικασία.
Δηλαδή, το 1 το ξαναγράφω από κάτω, το 2 στο 3 δε χωράει, οπότε από κάτω ξαναγράφω
το 3, το 2 στο 2 χωράει 1 φορά, οπότε κάτω από το 2 γράφω το 1, το 2 στο 5 δε χωράει
ακριβώς, οπότε το 5 το ξαναγράφω από κάτω όπως είναι και το 2 στο 6 χωράει 3 φορές,
οπότε κάτω από το 6 γράφω το 3.
Παρατηρώντας τώρα όλους τους αριθμούς στην 3η
σειρά, διαπιστώνω ότι ο μικρότερος
αριθμός - εκτός από το 1 - είναι το 3, οπότε ως διαιρέτη, βάζω δεξιά από την κάθετη
γραμμή τον αριθμό 3 και συνεχίζω με τον ίδιο τρόπο, όπως έκανα και με το 2.
Δηλαδή, το 1 το αφήνω από κάτω όπως είναι και λέω το 3 στο 3 χωράει 1 φορά, οπότε
κάτω από το 3 γράφω το 1, το 1 το αφήνουμε όπως είναι, το 3 στο 5 δε χωράει ακριβώς,
οπότε το 5 το ξαναγράφουμε από κάτω και το 3 στο 3 χωράει 1 φορά, οπότε κάτω από το
3 γράφουμε 1.
Παρατηρούμε ότι στην 4η
σειρά παντού υπάρχει η μονάδα (1) εκτός από το 5, οπότε τώρα
δεξιά από την κάθετη γραμμή βάζουμε κατευθείαν το 5 και από κάτω ξαναγράφουμε
παντού το 1 και στο 5 λέμε ότι χωράει 1 φορά και κάτω από το 5 γράφουμε το 1.
Έτσι, παρατηρούμε ότι όλη η 5η
σειρά έχει τον αριθμό 1 και σταματάμε. Δηλαδή, τη
διαδικασία αυτήν τη συνεχίζουμε μέχρι όλα τα πηλίκα που βρίσκουμε αριστερά να
είναι η μονάδα (1).
Εκεί, τελειώνει η διαδικασία αυτή με το Ε.Κ.Π. το οποίο το βρίσκουμε τώρα
πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς δεξιά από την κάθετη γραμμή μεταξύ τους.
Δηλαδή, 2 x 2 x 3 x 5 = 60
4 x 3
12 x 5
Ε.Κ.Π. (2, 3, 4, 5, 12) = 60
ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ: Βρίσκω στο τετράδιό μου με αυτόν τον τρόπο: το Ε.Κ.Π.
( 4, 7, 8) , το Ε.Κ.Π. (3, 6, 7), το Ε.Κ.Π. (5, 7, 20)

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ
ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ( Ε.Κ.Π.)
Πολλαπλάσια ενός αριθμού
Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν (τα αποτελέσματα-γινόμενα)
αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άλλους ακέραιους αριθμούς.
π.χ. τα πολλαπλάσια του 5 είναι 5x0=0, 5x1=5, 5x2=10, 5x3=15 κλπ.
Κοινά πολλαπλάσια δυο ή περισσότερων αριθμών
Κοινά πολλαπλάσια ονομάζουμε τα πολλαπλάσια που είναι ίδια σε δυο ή περισσότερους
αριθμούς.
π.χ. Να βρεθεί το σύνολο των κοινών πολλαπλάσιων των αριθμών 3 και 4.
(Γράφω από κάτω τα αποτελέσματα της προπαίδειας του 3 και του 4:
Π3 = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... }
Π4 = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ... }
Το σύνολο των κοινών πολλαπλάσιων των αριθμών 3 και 4 είναι:
Π3,4 = { 0, 12, 24, 36, ... }
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσοτέρων αριθμών ονομάζεται
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και συμβολίζεται με τη συντομογραφία Ε.Κ.Π.
π.χ. Στα πολλαπλάσια που βρήκαμε στο παραπάνω παράδειγμα των αριθμών 3 και 4 τα
κοινά πολλαπλάσιά τους είναι οι αριθμοί (εκτός του 0) 12, 24, 36 κλπ.
Αφού ο μικρότερος αριθμός από αυτούς είναι το 12, τότε το ελάχιστο κοινό
πολλαπλάσιο των αριθμών 3 και 4 είναι το 12.
Άρα Ε.Κ.Π. (3,4) = 12
ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ
ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (Ε.Κ.Π.)
Α) Ε.Κ.Π. (3, 5, 15): Παίρνω το μεγαλύτερο από τους αριθμούς. Εδώ είναι ο αριθμός
15. Ελέγχω αν αυτός ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο των άλλων αριθμών, δηλαδή,
διαιρείται και με το 3 και με το 5. Βλέπω ότι πράγματι διαιρείται ακριβώς και με το 3,
αφού 15:3=5 και με το 5, αφού 15:5=3 και φυσικά και με τον εαυτόν του, όπως κάθε
αριθμός, αφού 15:15=1, οπότε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5 και 15 είναι το 15.
Β) Αν έχω να βρω το Ε.Κ.Π. (3, 5, 6, 15), παίρνω και πάλι το μεγαλύτερο αριθμό, αλλά
παρατηρώ ότι δε διαιρείται ακριβώς με το 6, οπότε τότε παίρνω το διπλάσιο του 15
που είναι το 30 και βλέπω ότι ο αριθμός 30 διαιρείται ακριβώς και με το 3 (30:3=10)
και με το 5 (30:5=6) και με το 6 (30:6=5) και με το 15 (30:15=2). Άρα το Ε.Κ.Π. των
αριθμών 3, 5, 6 και 15 είναι το διπλάσιο του 15, δηλαδή το 30.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν επομένως δε διαιρείται ακριβώς ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς,
των οποίων ψάχνω το Ε.Κ.Π. με τους άλλους, τότε τον διπλασιάζω και δοκιμάζω, αν δε
διαιρείται και πάλι, τότε τον τριπλασιάζω κλπ. Συνεχίζουμε έτσι μέχρι να βρούμε ένα

πολλαπλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού που είναι παράλληλα και πολλαπλάσιο των
υπόλοιπων αριθμών.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΜΠΕΔΩΣΗ
1. Να βρείτε
το Ε.Κ.Π. αφού βρείτε τα πολλαπλάσιά τους πρώτα:
α) Ε.Κ.Π. ( 2, 3) = .......
Π2 =…………………………………………………………………………………………………………………………..
Π3 =……………………………………………………………………………………………………………………………
β) Ε.Κ.Π. ( 4, 6 , 8) = ...........
Π4 =……………………………………………………………………………………………………………………………
Π6 =……………………………………………………………………………………………………………………………
Π8 =………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) Ε.Κ.Π. ( 3, 5, 15) = ..............
Π3 =………………………………………………………………………………………………………………………………….
Π5 =…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Π15 =…………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5, 9, 15 και το Ε.Κ.Π. των
αριθμών 2, 4, 6, 8 με το σύντομο τρόπο, εξετάζοντας το μεγαλύτερο από
αυτούς αν είναι πολλαπλάσιο ή το διπλάσιό του το τριπλάσιό του κλπ.

Ε. Κ. Π. ( 3, 5, 9, 15 ) = ………………..
Ε.Κ.Π. (2, 4, 6, 8 ) = ……………………..

Παρουσίαση :
Βελισσάριος Κ. Ψυχογυιός
Δάσκαλος

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ 6 ΒΗΜΑΤΑ.
Βήμα 1ο
: εάν οι αριθμοί μου είναι:
 Μεικτοί → τους μετατρέπω σε απλά κλάσματα
(πολλαπλασιάζω το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή, στο
γινόμενο προσθέτω τον αριθμητή ,το άθροισμα αυτό το γράφω στη
θέση του αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)→ προχωρώ
στο βήμα 2ο
 Απλά κλάσματα → προχωρώ στο βήμα 2ο
Βήμα 2ο
: εάν τα κλάσματα είναι:
 ετερώνυμα → τα μετατρέπω σε ομώνυμα ( βρίσκω το Ε.Κ.Π των
παρανομαστών, πολλαπλασιάζω με τον κατάλληλο αριθμό και των
αριθμητή και τον παρονομαστή ) → προχωρώ στο βήμα 3ο
 ομώνυμα → προχωρώ στο βήμα 3ο
Βήμα 3ο
: κάνω την πράξη που μου ζητείται (πρόσθεση ή αφαίρεση)
Βήμα 4ο
: εάν το αποτέλεσμα είναι:
 Ανάγωγο κλάσμα → προχωρώ στο βήμα 5ο
 Δεν είναι ανάγωγο κλάσμα → το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς
διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή, διαιρώ τον αριθμητή
και τον παρονομαστή με το Μ.Κ.Δ τους) → προχωρώ στο βήμα 5ο
Βήμα 5ο
: εάν το ανάγωγο κλάσμα είναι:
 Καταχρηστικό → το μετατρέπω σε μεικτό αριθμό (διαιρώ τον
αριθμητή με τον παρονομαστή: πηλίκο- στο ακέραιο μέρος, το
υπόλοιπο- στον αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο) →
προχωρώ στο βήμα 6ο
 Γνήσιο → προχωρώ στο βήμα 6ο
Βήμα 6ο
: γράφω την απάντηση. Arabadzi Nadezda

ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΒΗΜΑ ‐ ΒΗΜΑ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
velipsi

ΒΗΜΑ 1Ο
Α.ΠΡΟΣΘΕΤΩ – ΑΦΑΙΡΩ ΜΕΙΚΤΟΥΣΑ.ΠΡΟΣΘΕΤΩ ΑΦΑΙΡΩ  ΜΕΙΚΤΟΥΣ
Τους  μετατρέπω σε απλά κλάσματα   (πολλαπλασιάζω το ακέραιο μέρος με τον
παρονομαστή, στο γινόμενο προσθέτω τον αριθμητή ,το άθροισμα αυτό το γράφω ρ μ ή, γ μ ρ ρ μη ή , ρ μ γρ φ
στη θέση του αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)
π.χ
7512
2
7
3
5
2
1
3
3
2
1 
Β.ΠΡΟΣΘΕΤΩ – ΑΦΑΙΡΩ  ΑΠΛΑ  ΚΛΑΣΜΑΤΑ
31 35π.χ                                ή
5
3
3
1

8
3
8
5

ΠΡΟΧΩΡΩ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ
ΚΑΡΤΕΛΑΚΑΡΤΕΛΑ

ΒΗΜΑ 2Ο
Αν τα απλά κλάσματα ή αυτά που προκύπτουν από τους μεικτούς είναι :Αν τα απλά κλάσματα ή αυτά που προκύπτουν από τους μεικτούς είναι :
Α. ΕΤΕΡΩΝΥΜΑ
τα μετατρέπω σε ομώνυμα ( βρίσκω το Ε.Κ.Π των παρονομαστών,
πολλαπλασιάζω με τον κατάλληλο αριθμό και τον αριθμητή και τον
παρονομαστή ) ΒΛΕΠΩ ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑ
Προσθέτω ή αφαιρώ τους αριθμητές αφήνοντας ίδιο τον παρονομαστή.ρ ή φ ρ ς ρ μη ς φή ς ρ μ ή
Γράφω το αποτέλεσμα.
π.χ. 149531

15151553

Β. ΟΜΩΝΥΜΑ
Εκτελώ την πράξηΕκτελώ την πράξη
Προσθέτω ή αφαιρώ τους αριθμητές αφήνοντας ίδιο τον παρονομαστή.
Γράφω το αποτέλεσμα.ρ φ μ
π.χ ή
12
7
12
3
12
4

12
3
12
5
12
8

121212 121212

ΒΗΜΑ 3Ο
Αν το αποτέλεσμα είναι κλάσμα:
Α. Καταχρηστικό
το μετατρέπω σε μεικτό αριθμό (διαιρώ τον αριθμητή με τον παρονομαστή:
πηλίκο στο ακέραιο μέρος το υπόλοιπο στον αριθμητή τον παρονομαστή τονπηλίκο- στο ακέραιο μέρος, το υπόλοιπο- στον αριθμητή, τον παρονομαστή τον
αφήνω ίδιο)
π χ 1273
1 0
5415
1 1
π.χ
4
1
1
8
2
1
8
7
8
3
 8
1 0
6
5
1
6
4
6
15
 6
1 1
Β. Γνήσιο
Ολοκληρώνω την πράξη μου γράφοντας την απάντηση.
π.χ
15
7
15
4
15
3

9
1
9
4
9
5

Και κάτι τελευταίο……
ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑ

Προσέχω να δω αν το τελικό μου αποτέλεσμα είναι κλάσμα :
Α Α άΑ. Ανάγωγο.
∆ηλαδή κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί γιατί οι όροι του
(αριθμητής και παρονομαστής) είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.
π.χ.
7
13
,
6
5
,
3
2
,
2
1
Β. Μη ανάγωγο κλάσμα .
∆ηλαδή κλάσμα που μπορεί να απλοποιηθεί.
Τότε το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες του αριθμητή και τουΤότε το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες του αριθμητή και του
παρονομαστή, διαιρώ τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Μ.Κ.∆ τους)
π.χ. (Διαίρεσα το 9 και το 12 με το Μ.Κ.Δ που είναι το 3)345
9
χ ( ρ μ )
41212
 1 2
Παρουσίαση :
Βελισσάριος Κ ΨυχογυιόςΒελισσάριος Κ. Ψυχογυιός
∆άσκαλος

Καλογερά Ευτυχία
ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
A. ΓΝΗΣΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
38 24 14 7
---- - ---- = ---- = ----
40 40 40 20
B. ΜΕΙΚΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α΄ τρόπος:
12 8 4
9 ---- - 2 ---- = 7 ----
15 15 15
Β΄ τρόπος:
5 2 5 2 3 3
5 ---- - 2 ---- = (5 - 2) + (---- - ----) = 3 + ---- = 3 ----
6 6 6 6 6 6
Γ΄ τρόπος:
7 6 23 14 9 1
2 ---- - 1 ---- = ---- - ---- = ---- = 1 ----
8 8 8 8 8 8
Γ. ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΚΛΑΣΜΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΟ
2 2
4 ---- - 1 = 3 ----
3 3
ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΟΜΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Αφαιρώ τους αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει ίδιος.
Εάν χρειαστεί, απλοποιώ το κλάσμα, ώστε να γίνει ανάγωγο, να
μην απλοποιείται δηλ. άλλο. Η απλοποίηση γίνεται διαιρώντας
αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
14 : 2 7
---- = -----
40 : 2 20
Αφαιρώ τους ακεραίους μεταξύ τους, τα κλάσματα μεταξύ τους
και δημιουργείται νέος μεικτός.
Μέσα σε παρένθεση αφαιρώ τους ακεραίους και σε άλλη
παρένθεση αφαιρώ τα κλάσματα.
Αφαιρώ μετατρέποντας τους μεικτούς σε καταχρηστικά
κλάσματα. Το αποτέλεσμα, που θα είναι καταχρηστικό
κλάσμα, το μετατρέπω σε μεικτό με τη γνωστή
διαδικασία.
Αφαιρώ τους ακεραίους και το κλάσμα παραμένει ίδιο.

3 4 3 4 3 1 1
8 - 5 ---- = 7 ---- - 5 ---- = (7 - 5) + (---- - ----) = 2 + ---- = 2 ----
4 4 4 4 4 4 4
2 5 2 3
6 - ---- = 5 ---- - ---- = 5 ----
5 5 5 5
8 6
5 3 40 18 22 11
---- - ---- = ---- - ---- = ---- = ---- (Ε.Κ.Π. = 24)
6 8 24 24 24 12
Α΄ τρόπος:
1 2
19 6 19 12 7
10 ---- - 4 ---- = 10 ---- - 4 ---- = 6 ---- (Ε.Κ.Π. = 20)
20 10 20 20 20
Β΄ τρόπος:
4 9
8 2 32 18 14 14
12 ---- - 2 ---- = (12 - 2) + (---- - ----) = 10 + ---- = 10 ---- (Ε.Κ.Π. = 36)
9 4 36 36 36 36
ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
1. Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα με τη γνωστή διαδικασία.
2. Αφαιρώ τα κλάσματα σύμφωνα με όσα έχω διδαχθεί στα ομώνυμα
κλάσματα.
Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και
μετά λύνω σύμφωνα με όσα έχω
διδαχθεί.
α΄τρόπος: Όταν αφαιρώ ακέραιο με μεικτό ή κλάσμα, παίρνω μία
ακέραιη μονάδα από τον ακέραιο και τη μετατρέπω σε κλάσμα
(αριθμητής και παρονομαστής ο ίδιος αριθμός για να δείχνει ακέραιη
μονάδα - παρονομαστή βάζω αυτόν που έχει και το δεύτερο
κλάσμα). Και στη συνέχεια, αφαιρώ με το γνωστό τρόπο.
5
Π. χ. 6 = 5 ---- (αφού το δεύτερο κλάσμα έχει παρονομαστή το 5)
5

Γ΄ τρόπος:
2 1
5 8 47 20 94 20 74 2
7 ---- - 1 ---- = ---- - ---- = ---- - ---- = ---- = 6 ---- (Ε.Κ.Π. = 12)
6 12 6 12 12 12 12 12
4 1
3 8 23 32 23 9 1
8 - 5 ---- = ---- - ---- = ---- - ---- = ---- = 2 ----
4 1 4 4 4 4 4
5 1
2 6 2 30 2 28 3
6 - ---- = ---- - ---- = ---- - ---- = ---- = 5 ----
5 1 5 5 5 5 5
Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και μετά αφαιρώ ακέραιο
με ακέραιο και κλάσμα με κλάσμα με τη βοήθεια
παρενθέσεων.
1. Κάνω τους μεικτούς καταχρηστικά.
2. Μετά κάνω τα κλάσματα ομώνυμα.
3. Αφαιρώ με το γνωστό τρόπο.
4. Μετατρέπω το αποτέλεσμα σε μεικτό αριθμό.
β΄τρόπος: Όταν αφαιρώ ακέραιο με μεικτό ή
κλάσμα, φτιάχνω την ακέραιη μονάδα κλάσμα με
παρονομαστή το 1. Ξέρω ότι το κλάσμα είναι μία
διαίρεση… άρα:
8
8 = ---- (8:1 = 8)
1
Έτσι, έχω κλάσματα ετερώνυμα και λύνω με τη
γνωστή διαδικασία. Αν το δεύτερο κλάσμα είναι
μεικτός, το κάνω καταχρηστικό.

8 2 8 x 2 16 4
---- x ---- = -------- = ---- = ----
9 4 9 x 4 36 9
2 3 17 7 17 x 7 119 19
3 ---- x 1 ---- = ---- x ---- = -------- = ---- = 5 ----
5 4 5 4 5 x 4 20 20
2 8 5 8 x 5 40 1
2 ---- x 5 = ---- x ---- = -------- = ---- = 13 ----
3 3 1 3 x 1 3 3
3 7 3 7 x 3 21 3
7 x ---- = ---- x ---- = ------- = ---- = 3 ----
6 1 6 1 x 6 6 6
Πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και τους
παρονομαστές και απλοποιώ το αποτέλεσμα, αν
χρειαστεί. Στον πολλαπλασιασμό δε μετατρέπω
τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.
Όταν πρέπει να πολλαπλασιάσω μεικτούς
αριθμούς, τους μετατρέπω πάντα σε
καταχρηστικά κλάσματα και λύνω όπως
παραπάνω.
Κάθε ακέραιο μπορώ να τον μετατρέψω σε κλάσμα βάζοντάς του ως παρονομαστή το 1.
5
---- = 5 : 1 = 5 . Έτσι, κάνω το μεικτό καταχρηστικό, τον ακέραιο κλάσμα και μετά πολλαπλασιάζω με τη
1 συνήθη διαδικασία. Το αποτέλεσμα, που είναι καταχρηστικό, το μετατρέπω σε μεικτό
αριθμό.
Μετατρέπω τον ακέραιο σε κλάσμα και μετά
πολλαπλασιάζω με τον τρόπο που διδάχτηκα. Στο
τέλος, κάνω και τις απαραίτητες αλλαγές στο
αποτέλεσμα.
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
14 12 26 9
---- + ---- = ---- = 1 ----
17 17 17 17
Α΄ τρόπος:
3 10 13 1
4 ---- + 2 ---- = 6 ---- = 7 ----
12 12 12 12
Β΄ τρόπος:
3 10 3 10 13 12 1 1 1
4 ---- + 2 ---- = (4 + 2) + (---- + ----) = 6 + ---- = 6 + ---- + ---- = 6 + 1 + ---- = 7 ----
12 12 12 12 12 12 12 12 12
Γ΄ τρόπος:
3 10 51 34 85 1
4 ---- + 2 ---- = ---- + ---- = ---- = 7 ----
12 12 12 12 12 12
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Προσθέτω τους αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει
ίδιος. Όταν το αποτέλεσμα είναι καταχρηστικό κλάσμα, διαιρώ
(26 : 17) και φτιάχνω μεικτό αριθμό. Το πηλίκο μπαίνει
ακέραιη μονάδα και το υπόλοιπο μπαίνει αριθμητής:
26 17 9
9 1 1 -----
17
Προσθέτω τους ακεραίους μεταξύ τους, τα κλάσματα μεταξύ
τους και δημιουργείται νέος μεικτός. Αν το κλάσμα του μεικτού
είναι καταχρηστικό, βγάζω την ακέραιη μονάδα που κρύβει με
διαίρεση (βλ. πάνω) ή με τον ακόλουθο τρόπο:
13 12 1 1 1 1
----- = ----- + ----- = 1 + ----- 6 + 1 + ---- = 7 ----
12 12 12 12 12 12
Μέσα σε παρένθεση προσθέτω τους ακεραίους και σε άλλη
παρένθεση προσθέτω τα κλάσματα. Στο τέλος, κάνω τις
αλλαγές που πρέπει στο αποτέλεσμα.
Προσθέτω μετατρέποντας τους μεικτούς σε
καταχρηστικά κλάσματα. Πολλαπλασιάζω τον ακέραιο με
τον παρονομαστή και αυτό που βρίσκω το προσθέτω με
τον αριθμητή.
3 51
4 ---- = (4 x 12) + 3 = ----
12 12
Το αποτέλεσμα, που θα είναι καταχρηστικό κλάσμα, το
μετατρέπω σε μεικτό με τη γνωστή διαδικασία.
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

3 6 2
3 3 7 9 18 14 41 17
---- + ---- + ---- = ---- + ---- + ---- = ---- = 1 ----
8 4 12 24 24 24 24 24
8 4 12 2
4 2 6 2
2 1 3 2
1 1 3 3
1 1 1 Ε.Κ.Π. (8, 4, 12)=
2x2x2x3 = 24
Α΄ τρόπος:
3 1
3 7 9 7 16 1
2 ---- + 1 ---- = 2 ---- + 1 ---- = 3 ---- = 4 ----
5 15 15 15 15 15
Β΄ τρόπος:
2 1
8 15 16 15 31 18 13 13 13
5 ---- + 2 ---- = (5 + 2) + (---- + ----) = 7 + ---- = 7 + ---- + ---- = 7 + 1 + ---- = 7 ----
9 18 18 18 18 18 18 18 18
Γ΄ τρόπος:
2 1
3 8 9 20 18 20 38 2 1
1 ---- + 1 ---- = ---- + ---- = ---- + ----= ---- = 3 ---- = 3 ----
6 12 6 12 12 12 12 12 6
1. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.
2. Διαιρώ το Ε.Κ.Π. με κάθε ένα παρονομαστή και το αποτέλεσμα της
διαίρεσης το βάζω σε κάθε καπελάκι (24:8=3, 24:4=6, 24:12=2).
3. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζω τον αριθμό που βρίσκεται στο
καπελάκι με τον αριθμητή και τον παρονομαστή και έτσι δημιουργώ ένα
νέο κλάσμα (3x3, 3x8).Τα νέα κλάσματα είναι πλέον ομώνυμα, αφού
έχουν παρονομαστή το Ε.Κ.Π. που είχα βρει την αρχή.
4. Προσθέτω τα κλάσματα σύμφωνα με όσα έχω διδαχθεί στα ομώνυμα
κλάσματα.
Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και μετά λύνω
σύμφωνα με όσα έχω διδαχθεί.

ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
Ομώνυμα και Ετερώνυμα Κλάσματα
Δύο ή περισσότερα κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα, όταν έχουν ίδιους παρονομαστές και
ετερώνυμα, όταν έχουν διαφορετικούς παρονομαστές.
π.χ. ομώνυμα:
3 9 5
, ,
8 8 8
 ετερώνυμα:
3 2 4 7
, , ,
4 6 7 3

Μετατροπή ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα
α. Δύο ή περισσότερα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε ισοδύναμά τους ομώνυμα, αν
πολλαπλασιαστούν οι όροι καθενός μ’ έναν κατάλληλο αριθμό.
 Να τραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα:
3
4
και
5
9
.
Πολλαπλασιάζοντας τους όρους κάθε κλάσματος με τον παρονομαστή του άλλου έχουμε:
3 9 27
4 9 36



και
5 4 20
9 4 36



ή πιο σύντομα
χρησιμοποιώ «καπελάκια»:
3
4
=
5
9
=
β. Για τη μετατροπή ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα συνήθως ακολουθούμε την
παρακάτω πορεία:
Ι. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών που θέλουμε να μετατρέψουμε σε ομώνυμα.
ΙΙ. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το πηλίκο της διαίρεσης του Ε.Κ.Π.
(των παρονομαστών) με τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος.
 Να τραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα:
2 3 2
, ,
5 4 8
α. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών των κλασμάτων: Ε.Κ.Π>(5, 4 ,8 )= 40
β. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και τοποθετούμε το εκάστοτε
αποτέλεσμα στο «καπελάκι» του αντίστοιχου κλάσματος.
40 : 5 = 8, 40 : 4 = 10 40 : 8 = 5
2 16
5 40

3 30
4 40

2 10
8 40


Λαμπριάδου Μαρία
ΚΛΑΣΜΑΤΑ
α) Πρόσθεση και αφαίρεση
Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω κλάσματα πρέπει πρώτα να τα κάνω
ομώνυμα.
Αυτό γίνεται βρίσκοντας το Ε.Κ.Π.
Αν έχω μεικτούς αριθμούς, προσθέτω χωριστά τους ακεραίους και χωριστά τα
κλάσματα π.χ.
12
8
10
12
3
6
12
5
4 
Αν έχω να αφαιρέσω μεικτούς, υπάρχουν 2 τρόποι:
1) Μετατρέπω τους μεικτούς σε κλάσματα και κάνω την αφαίρεση
π.χ.
8
4
2
8
20
8
10
8
30
8
2
1
8
6
3 
2) Αφαιρώ τον ακέραιο από τον ακέραιο και το κλάσμα από το κλάσμα
π.χ.
8
4
2
8
2
1
8
6
3 
9
6
2
9
8
3
9
14
5
9
8
3
9
5
6 
9-
8
5
8
8
3
8
8
8
8
3

β) Πολλαπλασιασμός
Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή
με αριθμητή και το γινόμενο το γράφουμε στον αριθμητή και
παρονομαστή με παρονομαστή και το γινόμενο το γράφουμε στον
παρονομαστή.
π.χ.
20
6
4
2
5
3
X
Αν έχω να πολλαπλασιάσω μεικτούς τους μετατρέπω πρώτα σε κλάσματα.
γ)Διαίρεση
Για να διαιρέσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με
τον αντίστροφο του διαιρέτη. Αν έχουμε μεικτούς τους μετατρέπουμε σε
κλάσματα.
π.χ.
5
4
:
15
13
1
15
28
3
7
5
4
7
3
 X

Λαμπριάδου Μαρία
Ασκήσεις

6
5
9
4
…………………………………………………………………………………………

2
1
3
9
5
2 ……………………………………………………………………………………….

6
2
8
7
……………………………………………………………………………………………

2
1
8
7
2
12 ……………………………………………………………………………………..

4
3
5
2
7 ………………………………………………………………………………………

6
5
4
3
X ………………………………………………………………………………………

5
3
2
1
7 X ………………………………………………………………………………….
6
5
: 
4
3
……………………………………………………………………………………….
5: 
3
2
4 ……………………………………………………………………………………….

Διαχείριση πληροφορίας –
Σύνθετα προβλήματα

Πώς λύνουμε σύνθετα προβλήματα;
• Όταν αντιμετωπίζουμε σύνθετα προβλήματα,
χρησιμοποιούμε ορισμένες τεχνικές, που μας
βοηθούν να τα λύσουμε.

Τέτοιες τεχνικές είναι:
I. Βρίσκουμε ενδιάμεσα ερωτήματα που μας
διευκολύνουν
II. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα με απλούστερα
(π.χ. το κλάσμα 60/400, το γράφουμε σαν
δεκαδικό 0,15 ή ποσοστό 15%), ώστε το
μέγεθος ή η μορφή των αριθμών να μη μας
δυσκολεύουν
III. Αν αποτύχουμε στη λύση, ψάχνουμε για
άλλους διαφορετικούς τρόπους λύσης

Παράδειγμα
Ο Γιώργος έχει μια συλλογή από 720 γραμματόσημα,
τοποθετημένα σε 3 άλμπουμ. Στο α΄ έχει βάλει τα
11/24 της συλλογής του, στο β΄ έχει τοποθετήσει
τα 4/15 της συλλογής.
Πόσα γραμματόσημα περιέχει κάθε άλμπουμ;
Τι μέρος της συλλογής περιέχεται στο γ΄ άλμπουμ;

Λύση
• Για να βρούμε πόσα γραμματόσημα περιέχει
το α΄ άλμπουμ, πρέπει να υπολογίσουμε τα 11/24
του 720
που είναι 720:24= 30 και 11*30=330 γραμματόσημα
• Για να βρούμε πόσα γραμματόσημα έχει
το β΄ άλμπουμ, πρέπει να υπολογίσουμε τα 4/15
του 720
που είναι 720:15=48 και 4*48=192 γραμματόσημα
Επομένως τα 2 άλμπουμ μαζί έχουν: 330+192=522 γρ
• Άρα το γ΄ άλμπουμ έχει: 720-522=198
γραμματόσημα

Λύση
• Το γ΄ άλμπουμ, λοιπόν περιέχει τα 198/720
ή απλοποιώντας τα 11/40 ή (198:720=0,275)
τα 0,275 ή τα 27,5% της συλλογής
γραμματοσήμων

gkatsao
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τάξη: Ε2΄ Όνομα: ………………………
ΜΕΘΟΔΟΣ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
1. Διαβάζω το πρόβλημα τουλάχιστο 2 φορές
2. Το διαβάζω χωρίς αριθμούς
3. Σκέφτομαι ξανά την ερώτηση
Σκέφτομαι τι ξέρω και τι ζητώ
4. Σκέφτομαι τι θα βρω πρώτα και τι στη συνέχεια
(και με ποια πράξη)
5. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις
6. Ελέγχω αν το αποτέλεσμά μου είναι ΛΟΓΙΚΟ.
7. Γράφω την απάντηση
 Συμπλήρωσε ό,τι λείπει και λύσε το πρόβλημα:
Ένας κτηνοτρόφος έχει 50 κατσίκες και 12 αγελάδες. Η κάθε
κατσίκα τού δίνει (κατά μέσο όρο) 2 λίτρα γάλα την ημέρα, ενώ η
κάθε αγελάδα 10 λίτρα. Πόσο γάλα παίρνει από τα ζώα του ο
κτηνοτρόφος σε ένα μήνα (30 ημέρες);
1. Διαβάζω το πρόβλημα 2 φορές.
2. Διαβάζω το πρόβλημα χωρίς αριθμούς: « Ένας κτηνοτρόφος έχει μερικές
κατσίκες και μερικές αγελάδες. Η κάθε …………………………………………………….................
…………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………
3. Σκέφτομαι την ερώτηση: «Πόσο γάλα ………………………………………………………… ……………
………………………………………………………………
4. Σκέφτομαι τι ξέρω:
Ξέρω πόσες κατσίκες και πόσες …………………… έχει ο κτηνοτρόφος.
Ξέρω πόσο γάλα δίνει η κάθε ……………………… και πόσο η κάθε ………………………
Σκέφτομαι τι ζητώ:
Ζητώ πόσο ………………………………………………………… ……………………………………… …………………
5. Σκέφτομαι ότι πρώτα θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι κατσίκες κάθε ημέρα
(πολλαπλασιασμός), στη συνέχεια θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι
………………….………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………..
ΧΩΡΙΣΑΡΙΘΜΟΥΣ

gkatsao
……………………………………………………………………………………………………… …………..………………………
….………………………………………………………………………………………………………………………………………..
6. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις τους:
7. Είναι το αποτέλεσμά μου ΛΟΓΙΚΟ; ΝΑΙ ΟΧΙ
8. Απάντηση:
Σε ένα μήνα ο κτηνοτρόφος παίρνει από τα ζώα του ……… λίτρα γάλα.
Λύσε τώρα ακριβώς (μα ακριβώς) με τον ίδιο τρόπο και γράφοντας παρόμοια, το
επόμενο πρόβλημα στο τετράδιο των Μαθηματικών σου!
Ένας ελαιοπαραγωγός έβγαλε από τα
περιβόλια του 5.450 κιλά ελιές βρώσιμες και
2.142 λίτρα λάδι. Πούλησε τις ελιές προς 2 €
το κιλό και το λάδι προς 3 € το λίτρο. Πόσα
χρήματα εισέπραξε συνολικά;

Γιώργος Κατσαούνος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ:
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
9Ο
Δ. Σ. Αθηνών 4-12-09 Τάξη: Ε2΄
1. Είχα τετρακόσια πενήντα ευρώ. Ξόδεψα το ένα πέμπτο αυτών των χρημάτων.
Πόσα χρήματα ξόδεψα;
2. Είχα εξακόσια τριάντα τρία ευρώ. Ξόδεψα τα δύο τρίτα από τα χρήματα αυτά.
Πόσα χρήματα μου έμειναν;
3. Αγόρασα ένα ηλεκτρικό ψυγείο αξίας πεντακοσίων ενενήντα ευρώ. Έδωσα ως
προκαταβολή τα δύο πέμπτα της αξίας του. Πόσα χρήματα μου μένουν ακόμη
να πληρώσω;
4. Αγόρασα μια τηλεόραση αξίας εξακοσίων τριάντα ευρώ. Έδωσα ως
προκαταβολή τα τέσσερα ένατα της αξίας της. Το υπόλοιπο ποσό θα το
αποπληρώσω σε πέντε ισόποσες μηνιαίες δόσεις. Πόσα χρήματα θα πληρώνω
το μήνα;
ΟΔΗΓΙΕΣ: Να μεταφέρεις και να λύσεις το κάθε πρόβλημα στο τετράδιό σου, ως
εξής:
 Να γράψεις τα προβλήματα με τους αριθμούς τους με ψηφία και να
υπογραμμίσεις όσες λέξεις είναι σημαντικές για τη λύση του καθενός.
 Αρχικά να διαβάσεις το πρόβλημα πολλές φορές, κατόπιν να το διαβάσεις
χωρίς αριθμούς και τέλος να σκεφτείς (χωρίς αριθμούς) τι θα βρεις στην αρχή, τι στη
συνέχεια κλπ.
 Να γράψεις τις πράξεις οριζόντια (τις κάθετες να τις κάνεις στο πίσω μέρος
αυτής της σελίδας) και σε κάθε αποτέλεσμα θα γράφεις «τι είναι» ο αριθμός που
βρήκες (π.χ. λίτρα, €).
 Στο τέλος να γράψεις μια ολοκληρωμένη απάντηση, χρησιμοποιώντας μέρος
της ερώτησης.
Το πρώτο πρόβλημα μάς δείχνει το δρόμο για να λύσουμε το δεύτερο,
το δεύτερο μάς φανερώνει τον τρόπο για να λύσουμε το τρίτο και το
τρίτο μάς βοηθά στη λύση του τέταρτου!
…Και μόλις λύσουμε και τα τέσσερα, ελάτε να σας δείξω την τυχερή
μου δεκάρα!

Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄

Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄

Similar to Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄