5. ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ
Το σχολικό έτος 2014-2015 ένα από τα θέματα που απασχόλησαν το Εργαστήριο
Άλγεβρας ήταν ή διδασκαλία Άλγεβρας για 'Ολους.
Πίσω από αυτό το τίτλο βρίσκεται η έγνοια και η συνακόλουθη προσπάθεια όλα τα
παιδιά να μπορέσουν να προσεγγίσουν το μορφωτικό αγαθό της Άλγεβρας. Εστιάσαμε την
προσπάθεια μας στην υποστήριξη της διδασκαλίας της Άλγεβρας της Α΄Τάξης σε τρεις
τάξεις ισάριθμων Λυκείων: 5ο Λαμίας, 3ο Αλίμου, 2ο Αργυρούπολης όπου, αντίστοιχα,
δίδαξαν οι εκπαιδευτικοί Λεμονιά Ραχιώτου (Διευθύντρια), Αποστόλης Σίδερης και
Γιάννης Γιώτης.
Ένα από τα βασικά υλικά που χρησιμοποιήθηκαν ήταν τα φύλλα εργασίας που
εκπονήθηκαν και συζητήθηκαν στο Εργαστήριο. Στα φύλλα αυτά καλύπτονται οι βασικές
έννοιες και δεξιότητες ενώ πιο σύνθετες δεξιότητες-ασκήσεις καλύφθηκαν με πρωτοβουλία
των διδασκόντων.
Το όλο εχγείρημα παρουσιάτηκε στην 3η Ετήσια Ημερίδα του Εργαστηρίου που
πραγματοποιήθηκε στο Ίδρυμα Ευγενίδου (29-6-2015) υλικά της οποίας μπορούν να
βρεθούν στο Ιστολόγιο του Εργαστηρίου ( http://algebrateacherlab.blogspot.gr ).
Ελπίζοντας ότι τα φύλλα αυτά θα είναι χρήσιμα τα παραδίδουμε στην εκπαιδευτική
κοινότητα.
Σεπτέμβριος 2015
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 3
10. ΓΝΩΣΤΙΚΟ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:
Σύνολα αριθμών . Τοποθέτηση αριθμών πάνω στον
άξονα .
Πυκνότητα
ΤΑΞΗ:
A ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
Φύλλο εργασίας Πραγματικών Αριθμών Μέρος 1ο
Μια κυκλική ρόδα, με διάμετρο 1cm, κινείται επάνω σε έναν άξονα με μονάδα 1cm. Σε ένα σημείο της
έχει μια γραφίδα Γ που αφήνει σημάδι όταν ακουμπά στον άξονα. Η γραφίδα αφήνει σημάδι στο 0.
1. Κατασκευάστε έναν άξονα με μονάδα 1cm και βαθμολογήστε τον στα σημεία που ακουμπά η γραφίδα
Γ, όταν γνωρίζετε ότι περνάει από το 0.
2. Πάνω στον ίδιο άξονα τοποθετείστε τα σημεία: √3, -3.14, , 1.333…,
5
3
, 3.14,
√48
3
,
6
3
, συν 30ο
, 2 ,
√3 +
√48
3
, √3 ∙
√48
3
, √3 +
5
3
,
5
3
− 3.14.
3. Χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις σας από τις κατασκευές του ερωτήματος 2 χαρακτηρίστε με Σ
(σωστό) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις:
Α. Ο αριθμός -3.14 είναι άρρητος
Β. Ο αριθμός
√48
3
είναι ρητός
Γ. Ο αριθμός 2 είναι ρητός
Δ. Ο αριθμός 2 είναι πραγματικός
Ε. Ο αριθμός √3 +
√48
3
είναι άρρητος
ΣΤ. Ο αριθμός -3.14+
5
3
είναι άρρητος
Ζ. Ο αριθμός -3.14∙
5
3
είναι ρητός
Η. Ο αριθμός √3 ∙
√48
3
είναι φυσικός
Θ. Ο αριθμός √3 ∙
√48
3
είναι πραγματικός
Ι. Δεν υπάρχει άλλος ρητός αριθμός ανάμεσα στους αριθμούς
5
3
και
6
3
1
0
Γ
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 8
11. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………….
Φύλλο εργασίας Πραγματικών Αριθμών Μέρος 2ο
Δραστηριότητα 1η
Σας δίνονται οι παρακάτω αριθμοί
-2 , 4,
1
2
,
4
3
− , 25 , -1 , 0.6 ,
14
3
, 2 ,
6
3
, 5 , 0.3 ,
3
2
, 17 , 4 ,
13
3
1.1. Όπως έχουμε αναφέρει στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ⊆ ⊆ ⊆
. Αφού εντοπίσετε ποιοι από
τους παραπάνω αριθμούς είναι φυσικοί , ακέραιοι , ρητοί και άρρητοι , να τους τοποθετήσετε στο
παρακάτω διάγραμμα Venn και στη συνέχεια στον άξονα των πραγματικών αριθμών με την ίδια σειρά .
1.2. Μπορείτε να αναφέρετε έναν αριθμό o οποίος βρίσκεται μεταξύ των
13
3
και
16
3
;
……………………………………………………………………………………………………………
1.3. Μπορείτε να αναφέρετε έναν αριθμό o οποίος βρίσκεται μεταξύ των
13
3
και
14
3
;
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 9
12. ……………………………………………………………………………………………………………...
1.4. Μπορείτε να αναφέρετε δύο αριθμούς oι οποίοι βρίσκονται μεταξύ των
13
3
και
14
3
;
……………………………………………………………………………………………………………
1.5. Δώστε ανάλογο παράδειγμα με αριθμούς της επιλογής σας .
1.6. Εξηγήστε με ποιο κριτήριο επιλέξατε τους αριθμούς του προηγούμενου ερωτήματος .
1.7. Γενικεύοντας πόσους αριθμούς μπορείτε να βρείτε οι οποίοι βρίσκονται ανάμεσα στους δύο αριθμούς
που διαλέξατε ;
1.8. Πόσο εύκολο είναι να παρασταθούν όλοι αυτοί οι αριθμοί πάνω άξονα των πραγματικών αριθμών;
Δραστηριότητα 2η
στον Η/Υ.
Εκτελέστε την δραστηριότητα του αρχείου Geogebra για εντοπισμό της θέσης δεκαδικών αριθμών πάνω
στην αριθμογραμμή .
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 10
14. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Πιθανότητες
Σε ένα λούνα παρκ υπάρχει ο τροχός της τύχης που έχει έξι ίσους
κυκλικούς τομείς. Σε τρεις από αυτούς υπάρχει η ένδειξη «χάνεις»,
σε άλλους δύο υπάρχει η ένδειξη 3 € και σε έναν η ένδειξη 4 €.
Η συμμετοχή σε κάθε γύρο του τροχού είναι 2 €. Από τις έως τώρα
γνώσεις και εμπειρία σας να εκτιμήσετε:
1. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να χάσει
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
2. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να κερδίσει 3 €
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
3. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να κερδίσει 4 €
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
4. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να χάσει
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
5. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να κερδίσει 3 €
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
6. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να κερδίσει 4 €
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
7. το συνολικό ποσό της συμμετοχής για 30 γυρίσματα του τροχού
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 12
15. 8. ποιο ποσό αναμένεται να εισπράξει συνολικά αν παίξει 30 φορές
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
9. αν το παιχνίδι ευνοεί τον παίκτη ή τον ιδιοκτήτη
…………………………………………………………………………………………………….………
………………………………………………………………………………………………….……
10. Να απαντήσετε αν είναι Σωστές ή Λάθος οι παρακάτω προτάσεις (με αιτιολόγηση):
α) «αν γυρίσουμε τον τροχό 6 συνεχόμενες φορές θα χάσουμε 3 φορές, θα κερδίσουμε από 3 € δύο
φορές και 4 € μία φορά»
β) «αν γυρίσουμε τον τροχό 10 φορές δεν είναι δυνατόν να χάσουμε και τις 10 φορές»
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
11. Να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση: «αν επαναλάβουμε το πείραμα 1000 (ή 10000, ή
100000 ή όσο περισσότερες φορές μπορούμε), τότε η πιθανότητα να χάσουμε είναι ……, η πιθανότητα
να κερδίσουμε 3 € είναι …… και η πιθανότητα να κερδίσουμε 4 € είναι ……»
Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στις παρακάτω ερωτήσεις:
Πώς θα ορίζατε την έννοια της πιθανότητας;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η πιθανότητα ενός ενδεχομένου;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
Ο τροχός: http://www.shodor.org/interactivate/activities/BasicSpinner/
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 13
17. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Δυνάμεις
Αν έχουμε το γινόμενο α⋅α το γράφουμε για συντομία 2
α (διαβάζεται «άλφα στο τετράγωνο»). Όμοια αντί
για α⋅α⋅α γράφουμε 3
α (διαβάζεται «άλφα στον κύβο») αντί για α⋅α⋅α⋅α γράφουμε 4
α (διαβάζεται
«άλφα στην τετάρτη») κ. ο. κ.
1. Να γράψετε με σύμβολα το «άλφα στην πέμπτη»: ………………….
2. Να γράψετε με σύμβολα το «βήτα στην εβδόμη»: ………………….
3. Να γράψετε με συντομία το α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α: ………………….
4. Να γράψετε με συντομία το x x x x x x x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ : …………….
5. Να συμπληρώσετε τις ισότητες γράφοντας το τελικό αποτέλεσμα:
3
2 = …….. 2
3 =…….. ( )
3
2
− =
……… ( )
2
3
− =
………
3
1 = ……… 1
3 = …………
Γενικά αντί για
έ
...
ν ϕορ ς
α⋅α⋅α ⋅α
γράφουμε ν
α . Δηλαδή:
έ
...
ν
ν ϕορ ς
α = α⋅α⋅α ⋅α
Το ν
α λέγεται ν-οστή δύναμη του α. Το α λέγεται βάση της δύναμης και το ν εκθέτης.
6. Να γράψετε την δύναμη με βάση x και εκθέτη 3:…………………………….
7. Να γράψετε την δύναμη με βάση p και εκθέτη 5:…………………………….
8. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το γινόμενο ( ) ( )
α⋅α⋅α ⋅ α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α : ……...
9. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το γινόμενο α4
α5
: …………………….
10. Να γράψετε ως γινόμενο δύο δυνάμεων του α τη δύναμη α6
: ………………….….
11. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το πηλίκο
α⋅α⋅α
α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α
: ……………
12. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το πηλίκο
α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α⋅α
α⋅α⋅α
: ……………
13. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το 0
α ≠ το πηλίκο
11
7
α
α
: ………………….
14. Να γράψετε ως μία δύναμη του 0
α ≠ το πηλίκο
7
11
α
α
: ………………………….
15. Για 0
α ≠ βρείτε το
11
11
α
α
: ………………..
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 15
18. 16. Να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε ως μία δύναμη το γινόμενο ν µ
α ⋅α : ……………………
17. Για 0
α ≠ να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε ως μία δύναμη το πηλίκο
ν
µ
α
α
όταν το ν είναι
μεγαλύτερο από τοµ: …………………………………………
18. Για 0
α ≠ να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε με την βοήθεια μίας δύναμης το πηλίκο
ν
µ
α
α
όταν το ν
είναι μικρότερο από τοµ: ………………………………………….
19. Για 0
α ≠ να βρείτε ένα συμβολισμό για να γράφουμε ως μία δύναμη το πηλίκο
ν
µ
α
α
όταν το ν είναι
μικρότερο από τοµ: ………………
20. Να συγκρίνετε τα
1
ν
α
και
1
ν
α
: ……………………………………..
Μέχρι στιγμής έχουμε ορίσει το ν
α όταν το ν είναι θετικός ακέραιος. Ορίζουμε ακόμη για 0
α ≠ το 0
α να
είναι το 1 και για ν θετικό ακέραιο το −ν
α να είναι το
1
ν
α
που είναι το ίδιο με το
1
ν
α
. Έτσι:
1 1
ν
−ν
ν
α = =
α α
21. Βρείτε τα 3
2−
= ……. 2
3−
= ……
3
3
2
=
……..
3
2
3
−
=
……..
0
3
4
=
…………..
22. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
1
2
1
2
2
−
+ =
………………………………………………………………….……………………..
(22
)-1
+20
+03
= ………………………………………………………………………………………..
Έχουμε πλέον ορίσει την δύναμη του α σε οποιοδήποτε ακέραιο εκθέτη. Απλώς αν ο εκθέτης είναι
μικρότερος ή ίσος του μηδενός η δύναμη ορίζεται για 0
α ≠ . Συνοψίζοντας έχουμε:
1 0 0
1
0
έ
... ί ό έ
ί ό έ
ν ϕορ ς
ν
−ν
α⋅α⋅ ⋅α αν ο ν ε ναι θετικ ς ακ ραιος
α= αν ν
= και α ≠
αν ον ε ναιαρνητικ ς ακ ραιος και α ≠
α
Για τις δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη επεκτείνονται οι ιδιότητες των δυνάμεων που έχουμε μάθει στο
Γυμνάσιο:
( )
ν
µ µν
α =
α , ( )
µ µ ν
αβ = α α ,
µ µ
µ
α α
=
β β
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 16
19. 23. Αν 3
27
α = και 3
31
β = τότε ( )
3
αβ = …………………………………………..
24. Αν 3
11
α = τότε 6
α =
…………………………………………………………….
25. Αν 4
αβ = τότε 2 2
α β =…………………………………………………………..
26. Αν 3
28
α = και 3
14
β = τότε
3
α
=
β
……………………………………………
Μερικές φορές αντί για πολλά γράμματα χρησιμοποιούμε το ίδιο γράμμα αλλά με τόνους: , ', '', '''
α α α α κ. ο.
κ. Επίσης χρησιμοποιούμε το ίδιο γράμμα αλλά με δείκτες: 1 2 3
, ,
α α α κ. ο. κ. Οι δείκτες είναι ονόματα και
δεν πρέπει να συγχέονται με τις δυνάμεις.
27. Δίνεται ότι: α1=3, α2=-1, α3=6, α4=-5, α5=-4, α6=7 και α7=0. Να συμπληρωθούν οι ισότητες:
1 3
α + α =…………………………………………………………………………………………
2 3 1
2 3 4
−
α + α + α =………………………………………………………………………………….
1 2 2 3 3 4
+ + +
α + α + α =………………………………………………………………………………
Συμπλήρωμα:
Μερικές ερωτήσεις κατανόησης:
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ αν είναι σωστές ή με Λ αν είναι λανθασμένες:
i. Ισχύει 5
( 2) 0
− > ……………………….
ii. Ισχύει 8
( 3) 0
− > ……………………….
iii. Ισχύει 8
3 0
− > ………………………….
iv. Ισχύει 7
3 0
− > ………………………….
v. Ισχύει ( 4)
( 3) 0
−
− > ………………………
vi. Ισχύει 0
3 0
− > …………………………..
vii. Ισχύει ( 1) 0
ν
− > , αν ν άρτιος……………
viii. Ισχύει ( 1) 0
ν
− < , αν ν περιττός………….
ix. Ισχύει ( 1) 0
ν
− =
, αν ν=0……………………
x. Αν 0
α ≠ τότε ισχύει 2
0
ν
α > , για κάθε φυσικό αριθμό ν………….
xi. Αν 2α
κ
= τότε 3
2 8
α
κ
+
= + …………………..
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 17
21. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στην Ισότητα
Ποιο είναι πιο βαρύ ένα κιλό σίδερο ή ένα κιλό βαμβάκι;
Απάντηση: Είναι ίσα.
Ένα τούβλο ζυγίζει 1 Κιλό και μισό τούβλο. Πόσα κιλά ζυγίζουν τα δύο τούβλα;
Απάντηση:4 κιλά. Από την αρχική πρόταση προκύπτει πως αν αφαιρέσουμε μισό τούβλο από κάθε ζύγι, θα
βρούμε πως το μισό τούβλο ζυγίζει ένα κιλό.
Ιδιότητες του =
1. Αν α β
= τότε και αντίστροφα β α
=
συμβ. α β β α
= ⇔ =
Ασκήσεις
1. Συμπληρώστε τα παρακάτω κλάσματα ώστε να ισχύει το ίσον:
α)
12
17 17 17
= +
β)
12
17 17 17
−
=
γ)
12 7
17 17
+
= −
δ)
9
17 17
−
=
2. Αν α β
= και β γ
= τότε α γ
=
συμβ. (α β
= και β γ
= )⇒ α γ
=
3.
α β
γ δ
=
+
=
τότε α γ β δ
+ = +
συμβ. (α β
= και γ δ
= ) α γ β δ
⇒ + = +
Πόρισμα
α β
γ γ
=
+
=
τότε α γ β γ
+ = +
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 19
22. συμβ. (α β
= και γ δ
= )
α γ β γ
⇔ + = +
Συμπληρώστε
α β
γ δ
−
=
=
τότε……………..
συμβ………………
Συμπληρώστε
α β
γ γ
−
=
=
τότε……………..
συμβ………………
Ασκήσεις:
2. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 3. (μόνο το πρώτο κελί)
3. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 3 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒» ενώ στην άλλη
« ⇔ » , γιατί;
4. Αποδείξτε ότι 3 5 5 3
α α
+ = ⇔ = −
5. Αποδείξτε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πίνακα 3 την ιδιότητα του πίνακα 2.
4.
α β
γ δ
⋅
=
=
τότε α γ β δ
⋅ = ⋅
συμβ. (α β
= και γ δ
= ) α γ β δ
⇒ ⋅ = ⋅
Πόρισμα
α β
γ γ
⋅
=
=
0
γ ≠
τότε α γ β γ
⋅ = ⋅
συμβ. (α β
= και 0
γ ≠ ) α γ β γ
⇔ ⋅ = ⋅
Συμπληρώστε
α β
γ δ
÷
=
=
, 0
γ δ ≠
τότε……………..
συμβ………………
Συμπληρώστε
α β
γ γ
÷
=
=
0
γ ≠
τότε……………..
συμβ………………
Ασκήσεις:
6. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 4.
7. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 4 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒» ενώ στην άλλη
« ⇔ » , γιατί;
8. Αποδείξτε το αντίστροφο του πορίσματος στον πίνακα 4, δηλαδή
(α γ β γ
⋅ = ⋅ και 0
γ ≠ ) α β
⇒ =
9. Αποδείξτε την ισοδυναμία
8
3 8
3
α α
= ⇔ =
10. Αποδείξτε την ισοδυναμία 9 5 9
5
α
α
= ⇔ = ⋅
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 20
23. 11.
α γ
α δ β γ
β δ
= ⇔ ⋅ = ⋅ με , 0
β δ ≠
5. Αν 0
α β
⋅ =τότε και αντίστροφα 0
α = ή 0
β =
συμβ. ( )
0 0 0
ή
α β α β
⋅ = ⇔ = =
Αν 0
α β
⋅ ≠ τότε και αντίστροφα 0
α ≠ και 0
β ≠
συμβ. ( )
0 0 0
α β α καιβ
⋅ ≠ ⇔ ≠ ≠
Ασκήσεις
12. Αν ( ) ( )
1 2 3 0
x y
− ⋅ + =υπολογίστε τα ,
x y
13. Αν ( )
3 0
x y
⋅ + ≠ τι συμπεραίνουμε για τα ,
x y ;
Σχόλιο - Συζήτηση
Δίνεται η εξίσωση 2
x x
= . Ακολουθούν δύο διαφορετικές λύσεις της:
Α. 2 2
1
x x x x x
= ⇔ = ⇔ =
Β. ( )
2 2
0 1 0 0 1
x x x x x x x ή x
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = =
Σχολιάστε την ορθότητα ή μη των δύο λύσεων.
Γενικές ασκήσεις
14. Να γίνουν οι αναγωγές, όπου είναι δυνατόν:
α) 2 2
3x 4 4x 2x x
− + − + =
β) 3 2
x x
+ =
γ) 3 2 2 2 3 2 2 2
2x y xy x y x y xy 4x y
ω− + ω+ ω+ − ω =
15. Γράψτε την παράσταση
3
2 3 4 5 4
5
α β γ δ ζ
− + + − − ώστε ο 2ος και 3ος όρος να είναι σε παρένθεση
με το + μπροστά ενώ οι δύο τελευταίοι όροι σε παρένθεση με το – μπροστά.
16. Γράψτε το x y
− με τρείς τρόπους χρησιμοποιώντας πρόσημα και παρενθέσεις.
17. Αν 2
α = − και 4
β = συμπληρώστε
i) 3α = ii) 2
α + =
iii) 2
α + =
iv) 3 7
α
− + =
v) α β
⋅ =
vi) 2 3
α β
− =
vii)
3α
β
=
18. αν
2 3 2
3
α β
και
β γ δ
+ =
= −
ποια σχέση συνδέει τα α, γ, δ;
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 21
24. 19. Αν
3 2 9
2 2
α β γ
α β γ
+ + =
− + =
−
τότε: 4 3
α β γ
+ + =
20. Να κάνετε τις πράξεις,
( ) ( )
) 2 5 6 3 3 7 3 4
α + − − − − =
( )
( )
) 3 5 2 2
x x x
β − − − =
( ) ( )
1 1
) 3 3 1 4 2
2 3
x x x x
γ
+ + − − − − =
2 2 1 2 4
) 1 : 2
5 3 5 3 3
δ
− − − =
21. Να γίνουν οι πράξεις: α) ( )( ) ( )
5
2 3x y 3 x 1 y 2 4 xy 1
2
− + + + + − − + =
β)
x
1
2
x 1
+
=
+
γ)
3
y
2
1
3x
2
−
=
+
δ)
1
4
2 2
1 1
+ α
− α
− =
α + α −
22. Στη σχέση 3 4 9
x y
− + =αντικαταστήστε τα ,
x y από τις σχέσεις 3 1
x α
= − και 4 3
y α
= − .
Ακολούθως υπολογίστε το α .
23. Αν 2 1
α β
+ =
να βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) ( )
1 2 2
α α β α
Α
= + + +
24. α) Α=
3 2
a β
− κάντε πράξεις
β) αν 5x
α = και x
β = βρείτε το Α μόνο με τη βοήθεια του x.
25. Αν είναι
3 2 5
α β γ
= = και 20
α +β + γ = να βρείτε τους αριθμούς , ,
α β γ .
(Υπόδειξη: Θέτουμε
3
α
= λ∈)
Ερωτήσεις Κατανόησης
Α. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).
1. Αν α γ β δ
+ = + τότε ισχύει ότι α β και γ δ
= =
2. Αν
α γ
β δ
= τότε ισχύει ότι α γ και β δ
= =
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 22
25. 3. Αν α γ β γ
⋅ = ⋅ τότε ισχύει α β
= .
4. Αν ( ) ( )
α γ β α γ δ
− ⋅ = − ⋅ τότε ισχύει ότι β δ
=
5. Η ισότητα
( )( )
1 2
2
1
x x
x
x
− −
= −
−
ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
6. Ισχύει η ισοδυναμία: ( ) ( )
1 2 0 1 2
x x x ή x
− ⋅ − ≠ ⇔ ≠ ≠ .
7. Αν 0
β ≠ και 0
α
β
= τότε 0
α = .
8. Αν 1
α β
⋅ =τότε 0 0
α και β
≠ ≠ .
9. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: 2 2
x x
− =
10. Για κάθε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: a β β α
− = −
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 23
27. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Ταυτότητες και στην Απόδειξη
Δραστηριότητα 1η
.
Έχουμε δύο τετράγωνα με πλευρές α και β αντίστοιχα. Ένα τρίτο τετράγωνο έχει πλευρά α+β.
1. Να εξετάσετε αν τα δύο πρώτα τετράγωνα μαζί έχουν το ίδιο εμβαδόν με το τρίτο τετράγωνο
2. Ανοίξτε το «Ταυτότητα α+β.ggb», στο οποίο βλέπετε τα τρία τετράγωνα και δικαιολογήστε την απάντησή σας.
3. Μετακινήστε τα τετράγωνα, για να συγκρίνετε το συνολικό εμβαδόν των δύο πρώτων τετραγώνων με εκείνο του
τρίτου.
4.Μεταβάλετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων α και β. Ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα;
5.Μπορείτε τώρα να συγκρίνετε τις ποσότητες (α+ β)2
και 𝛼2
+ 𝛽2
;
6.Μπορείτε να βρείτε κατά πόσο υπολείπεται η μία ποσότητα από την άλλη; Αναζητήστε το στη γεωμετρική
ερμηνεία.
7.Με βάση τις παρατηρήσεις σας συμπληρώστε την ταυτότητα (α+ β)2
= α2
+β2
+.....και αποδείξτε την αλγεβρικά με
τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας.
Δραστηριότητα 2η
Χρησιμοποιώντας το αρχείο α+β3.ggb να εξετάσετε με όμοιο τρόπο με εκείνον της δραστηριότητας 1 αν ισχύει η
ισότητα: (𝛼 + 𝛽)3
= 𝛼3
+ 𝛽3
για οποιεσδήποτε τιμές των
α, β.
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 25
29. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Βασικές έννοιες της διάταξης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών
Δραστηριότητα 1η
:
Να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β και να βρείτε το πρόσημο της διαφοράς τους σε κάθε μια από τις
παρακάτω περιπτώσεις:
α=12 , β=3
i) 12 …. 3 και 12-3 …..0
ii) 3 …. 12 και 3- 12 …..0
α=5 ,και β=-4
i) -4 …. 5 και -4 –5…. 0
ii) 5 …. -4 και 5 – (-4)…0
α=-20 , β=-8
i) -20 …. -8 και -20- (-8) ….0
ii) -8 …. -20 και -8- (-20) ….0
α) Υπάρχει σχέση μεταξύ της διάταξης των αριθμών α και β και του προσήμου της διαφοράς τους;
β) Τα προηγούμενα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β;
γ) Τι θα συμβαίνει στην περίπτωση που οι αριθμοί α και β είναι ίσοι μεταξύ τους;
Να περιγράψετε αλγεβρικά τη σχέση της διάταξης μεταξύ δυο αριθμών α και β με το πρόσημο της
διαφοράς τους α-β .
Δραστηριότητα 2η
:
Για τα προηγούμενα ζεύγη αριθμών α, β να προσδιορίσετε το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου
και του πηλίκου τους .
α=12 , β=3
i) α + β
ii) α⋅ β
iii)
α
β
α=5 ,και β=-4
i) α + β
ii) α⋅ β
iii)
α
β
α=-20 , β=-8
i) α + β
ii) α⋅ β
iii)
α
β
α) Τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου τους σε σχέση με το
πρόσημο των αριθμών α, β;
β) Τα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β;
γ) Τι συμβαίνει στην περίπτωση της διαφοράς α-β;
δ) Αν γνωρίζετε το πρόσημο α) του αθροίσματος, β) του γινομένου ή γ) του πηλίκου δυο αριθμών α και β ,
μπορείτε να προσδιορίσετε το πρόσημο των α και β; Εξηγείστε.
Να διατυπώσετε και να περιγράψετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματά σας.
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 27
30. Δραστηριότητα 3η
:
Με βάση τη θέση των αριθμών α,
β και γ στον άξονα του σχήματος,
να βρείτε το πρόσημο της
παράστασης 𝛢 =
𝛼−𝛾
𝛽(𝛾+4)
Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας
Δραστηριότητα 4η
:
Έστω ότι α και β είναι δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν 𝛼 ≥ 0 𝜅𝛼𝜄 𝛽 > 0 ,
α) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του γινόμενου τους α. β ;
β) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματός τους α+ β;
Δραστηριότητα 5η
:
Ένας μαθητής κάνει το συλλογισμό «Κάθε αριθμός α είναι ομόσημος με τον εαυτό του. Άρα, το
γινόμενο 𝛼. 𝛼 είναι πάντα θετικό ως γινόμενο ομόσημων ή μηδέν αν α=0, συνεπώς θα ισχύει (1).
Οπότε, αν β είναι ένας άλλος πραγματικός αριθμός , τότε θα ισχύει (2). Από (1) και (2) θα ισχύει
(3) . Με βάση τις σχέσεις (1), (2) και (3) , θα ισχύει και η ανισότητα (4) για κάθε πραγματικό αριθμό χ».
Ένας άλλος συμμαθητής του υποστηρίζει ότι ο ισχυρισμός (4) δεν ισχύει πάντα. Ποιος έχει δίκιο;
Εφαρμογές
1) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς ισχυρισμοί.
α) 𝛼𝜈 𝜒 < 1 , τότε το πρόσημο της παράστασης 𝜒 − 1 είναι ……………..
β) 𝛼𝜈 − 1 < 𝜒 < 1 , τότε 𝜒 − 1 … 0 𝜅𝛼𝜄 𝜒 + 1 … .0
2) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μια από τις προτάσεις:
Για κάθε αριθμό α ισχύει:
1) 2𝛼 ≥ 𝛼 2) 𝛼 + 2 ≥ 𝛼 3) 𝛼 − 2 ≤ 𝛼
3) Να συμπληρώσετε τα κενά με κατάλληλο σύμβολο της διάταξης
α) 𝛼𝜈 𝜒 ≠ 1, 𝜏ό𝜏𝜀 (𝜒 − 1)2
… .0
β) 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝜒 ∈ 𝑅, (𝑥 − 1)2
+ (2𝑥 − 4)2
… .0
γ) 𝑎2
+ (𝛽 − 1)2
≤ 0 ⇔ 𝛼 … . .0 𝜅𝛼𝜄 𝛽 … .1
4) Αν 𝛼 > 1 > 𝛽 να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης: 𝛼𝛽 + 1 − 𝛼 − 𝛽
5) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει
i) (𝛼 − 2)2
+ (𝛽 + 2)2
= 0 𝛼2
+ (2 − 𝛽)2
> 0 𝛼2
+ 𝛽2
− 2(𝛼 − 𝛽) + 2 = 0
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 28
32. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Φύλλο Εργασίας στα διαστήματα
Δραστηριότητα 1η
.
Δίπλα σε κάθε ένα διάστημα να γράψετε τις ανισοτικές σχέσεις που το περιγράφουν:
Διάστημα Ανισοτική σχέση που ισχύει για τα
στοιχεία του x
( )
2 5
,
[ )
2 5
,
( ]
2 5
,
[ ]
2 5
,
( )
2,+∞
[ )
2,+∞
( )
2
,
−∞
( ]
2
,
−∞
Δραστηριότητα 2η
.
Στο παρακάτω σχήμα:
Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος:
α) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Β
συμπεριλαμβανομένου.
β) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α μη συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Γ
συμπεριλαμβανομένου.
γ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά του Α (μη συμπεριλαμβανομένου);
δ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται δεξιά του Α συμπεριλαμβανομένου και αριστερά του Γ μη
συμπεριλαμβανομένου.
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 30
33. Δραστηριότητα 3η
Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.
Στήλη Α Στήλη Β
1. 0 2
x
< < Α. [ )
7,
x∈ − +∞
2. 0.5
x <
Β.
3 8
10 10
x
< ≤
3. 7 x
− < Γ. ( ]
0.15,2.13
x∈
4.
3
2
7
x
− ≤ < Δ.
3
2,
7
x
∈ −
5. [ ]
0.3,0.8
x∈
Ε.
1
,
2
x
∈ −∞
6.
10
,
3
x
∈ −∞
ΣΤ.
3
32,
3
x
∈ −
7. [ )
3,
x∈ +∞ Ζ. ( )
0,2
x∈
8. 11 7
x
− ≤ < − Η. [ )
11, 7
x∈ − −
9.
15
2,13
100
x
< ≤
Θ. 3
x ≥
10. 5 1
2
3
x
− < < I.
10
3
x
≥
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Δραστηριότητα 4η
Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
Ανισότητα που ικανοποιεί ο
πραγματικός αριθμός x.
Διάστημα στο οποίο ανήκει ο
πραγματικός αριθμός x.
7
x <
7 x
− ≥
3
2 3
x
− ≤ ≤ −
1
0
2
x
≥ ≥
0 x
≤
( 4, )
∈ − +∞
x
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 31
34. Δραστηριότητα 5η
Να εκφράσετε υπό μορφή ενός διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τις παρακάτω εκφράσεις:
Έκφραση για το x Σύνολο που περιγράφει την έκφραση:
3 2
x ή x
≥ < − ( ) ( )
, 2 3,
−∞ − ∪ +∞
10 2 0
x ή x
− ≤ < − ≥ [ ] [ )
10, 2 0,
− − ∪ +∞
10 2 0
x ή x
− ≤ < − <
10 0
x x
− ≤ <
και
10 20
x x
− ≤ − <
και
10 2 5 7
x x
− ≤ < − < <
και
Δραστηριότητα 6η
Να περιγραφούν με την βοήθεια διαστημάτων οι παρακάτω σχέσεις:
1. x 3
≤ ή x>5……………………………………………………………………………………
2. 0 x 2 ή 3 x 7
< ≤ ≤ < …………………………………………………………………………
3. 2 x 3 ή 3 x 5
− < ≤ > > ………………………………………………………………………..
4. 0<x<3 και x<2………………………………………………………………………………...
5. x 0 2 x 7
≥ και − ≤ < …………………………………………………………………………
6. 1 x 2 x 5
− < και − < ≤ …………………………………………………………………………
7. x<3 και x>3……………………………………………………………………………………..
Δραστηριότητα 7η
Να περιγραφούν με ανισότητες οι παρακάτω σχέσεις
1. ( )
x , 4 ( 4, )
∈ −∞ − ∪ − +∞ …………………………………………………………………………
2. ( ) ( ]
, 2 7,10
x∈ −∞ ∪ ………………………………………………………………………….
3. [ )
5,7 9,
x
∈ − ∪ +∞
……………………………………………………………………………
4. [ ] [ )
5,0 0,2
x∈ − ∪ …………………………………………………………………………………
Δραστηριότητα 8η
Να γράψετε την ανισοτικές σχέσεις και τα διαστήματα που προκύπτουν από τα παρακάτω διαγράμματα.
Ανισοτική σχέση Διάστημα
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 32
35. Ανισοτική σχέση Διάστημα
Ανισοτική σχέση Διάστημα
Ανισοτική σχέση Διάστημα
Δραστηριότητα 9η
Να γράψετε 20 αριθμούς του διαστήματος ( )
0 1
, .
Δραστηριότητα 10η
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;
[ ] [ ]
2 4 2 4
, ,
⊆ [ ] [ )
2 4 2 4
, ,
⊆ [ ] [ )
2 4 2
, ,
⊆ +∞ [ ] ( )
2 4 5
, ,
⊆ −∞ Σ
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 33
37. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
ΜΕΡΟΣ 1ο
1) Πότε ισχύει κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς α και –α;
i) α > -α …………….………….………
ii) α <-α …………….…………………..…
iii)α =-α ……………………..…………
• Ποια η σχέση ανάμεσα σε |𝛼| και |−𝛼|;
……..………………………………………………………………………….
2)
Βρείτε στον άξονα τους πραγματικούς αριθμούς x, έτσι ώστε:
• |𝑥| = 2
• −2 < 𝑥 < 2
• να απέχουν από το μηδέν απόσταση μικρότερη από 2
• |𝑥| < 2
Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………....
Θυμόμαστε από το Γυμνάσιο:
Απόσταση δυο σημείων Α και Β:
………………………………………………………………………………………………………..
Παράσταση πραγματικών αριθμών με σημεία ενός άξονα x΄x:
• Τοποθετείστε σε αντίστοιχα σημεία Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η του παραπάνω άξονα τους αριθμούς:
2, -2,
1
2
, −
1
2
, √2, −√2
• Βρείτε τις αποστάσεις των παραπάνω σημείων από το 0
……………………………………………………………………………………………………………
………………………….………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Αν ο πραγματικός αριθμός α αντιστοιχεί σε σημείο Κ του άξονα x΄x, τότε η απόσταση του Κ από το
Ο ονομάζεται ………………………………………………………… του α και παριστάνεται
με…………………….
• Βρείτε τις τιμές: |2| = . . . , |−2| = . . ., �
1
2
� = . . ., �−
1
2
� = . . ., �√2� = . . ., �−√2� = . . ., |0| = . . ..
• Τι παρατηρείτε;
……………………………………………………………………………………………………………
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 35
38. Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
3) Βρείτε στον άξονα τους πραγματικούς αριθμούς x, έτσι ώστε:
• |𝑥| = 2
• x < −2 ή x > 2
• να απέχουν από το μηδέν απόσταση μεγαλύτερη από 2
• |x| > 2
Τι παρατηρείτε;
……………………………………………………………………………………………………………
………………....................................................................................................................................
Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………...………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..
4) i) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x ;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
ii) Να διατυπώσετε λεκτικά τον ορισμό
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
5) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού 𝑥 − 2 ;
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Ασκήσεις:
Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:
𝛼) 𝐴 = |𝑥 − 1|, 𝛽) 𝐵 = 2|𝑥 − 1| + 1, 𝛾) 𝛤 = |𝑥 − 1| + |𝑥 + 2| , με − 2 < 𝑥 < 1, δ) 𝛥 = |𝑥 − 3| −
|𝑥 − 4|, ε) 𝛦 =
|𝑥|
𝑥
+
|𝜓|
𝜓
, 𝑥 ∙ 𝜓 ≠ 0
ΜΕΡΟΣ 2o
6) Είναι προφανές ότι ισχύει |𝑥| = |𝑥 − 0|
Πώς θα ερμηνεύατε γεωμετρικά το |𝑥 − 2|;
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………...................................
7) Πώς θα ορίζαμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών α, β;
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………....................................
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 36
39. ………………………………………………………………………………………
| 𝛼 − 𝛽| =
8) Να συγκρίνετε τις απόλυτες τιμές |𝛼 − 𝛽| … |𝛽 − 𝛼|
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας: ……………………………………………...
..……………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………
9) Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α
και Β αντίστοιχα
Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας τις απαραίτητες επεξηγήσεις:
• Το μήκος του διαστήματος [𝛼, 𝛽], είναι ……………………………………………………………..
.……………………………………………………………………………………………………………
διότι……………………………………………………………………………………..……………………
………………………………………………………………….….…………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
• Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ, είναι ο ………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
διότι ……………………………………………………………………………………………………….
...………………………………….……………………………………………………..……………………
………………………………………………………………………. και ονομάζεται κέντρο του [𝛼, 𝛽]
10) Να διαβάσετε (λεκτικά) τις σχέσεις χωρίς να χρησιμοποιείτε την έκφραση
Απόλυτη Τιμή:
|𝑥 − 4| = 3 ..………………………………………………………………………………………………..
|𝑥 + 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………
|𝑥 − 4| < 3 …………………………………………………………………………………………………
|𝑥 − 4| > 3………………………………………………………………………………………………….
|𝑥 − 4| > - 5 ………………………………………………………………………………………………..
| 𝑥 + 4| < - 5 ……………………………….…………………………………………..…………..............
11) Μπορείτε να βρείτε τις τιμές του x που ικανοποιούν κάθε μία από τις επόμενες σχέσεις;
|𝑥 − 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………
|𝑥 + 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………
|𝑥 − 4| < 3 …………………………………………………………………………………………………
|𝑥 − 4| > 3 …………………………………………………………………………………………………
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 37
40. |𝑥 − 4| > - 5 ……………………………………..……………………………………………....................
|𝑥 + 4| < -5 ……………………………….…………………………………………………..……………
Ασκήσεις:
1. Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία
Α και Β αντίστοιχα
α) Αν θέλετε να χωρίσετε το παραπάνω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα μέρη, να υπολογίσετε
πόσο θα είναι το μήκος του καθενός από αυτά
β) Να βρείτε τους αριθμούς γ και δ (συναρτήσει των α και β), πο που αντιστοιχούν στα σημεία Μ
και Ν του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, έτσι ώστε ΑΜ = ΜΝ = ΝΒ
Τι μπορείτε να συμπεράνετε τότε για τα μήκη των διαστημάτων [𝛼, 𝛾], [𝛾, 𝛿] και [𝛿, 𝛽];
2. Η απόσταση ενός πραγματικού αριθμού x από το 1 δεν ξεπερνά τις 2 μονάδες.
Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του x
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 38
41. Απόλυτη τιμή και πράξεις
ΣΥΝΤΑΚΤΕΣ: Γιώτης Γιάννης, Πετεινάρα Αλεξία
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 39
42. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Δραστηριότητα 1η
:
1.1 Στον παρακάτω πίνακα Α, συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.
Πίνακας Α.
1 2 3 4 5 6 7
α β α⋅β |α| |β|
Απόλυτο γινομένου
|α⋅β|
Γινόμενο
απολύτων
|α|⋅|β|
σύγκριση του |α⋅β|
με το
|α|⋅|β|
Πρόσημο
των α, β
2 3
-2 -3
2 -5
-2 5
1.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «<» ή «>».
Τι παρατηρείτε;……………………………………………………………………………………………..
1.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.
1.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που
συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;
Δικαιολογήστε την απάντησή σας ...............................................................................................................
1.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας; …………………………………………………….
1.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α⋅β| … |α|⋅|β| για ……. α, β ∈R
1.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;
Α΄ΤΡΟΠΟΣ
Αν α<0 και β<0 , τότε αβ>0, άρα |α⋅β|=αβ=(-α)(-β)=|α|⋅|β|
Αν α<0 και β>0 , τότε αβ<0, άρα |α⋅β|=-αβ=(-α) β=|α|⋅|β|
Αν α>0 και β<0 , τότε αβ<0, άρα |α⋅β|=-αβ= α(-β)=|α|⋅|β|
Αν α>0 και β>0 , τότε αβ>0, άρα |α⋅β|=αβ=|α|⋅|β|
Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 62 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 40
43. Δραστηριότητα 2η
:
2.1 Στον παρακάτω πίνακα B. συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.
Πίνακας Β.
1 2 3 4 5 6 7
Α β α+β |α| |β|
Απόλυτο τιμή του
αθροίσματος
|α+β|
Άθροισμα απολύτων
τιμών |α|+|β|
σύγκριση του
|α+β| με το |α|+|β|
Πρόσημο
των α, β
-4 -6
4 6
-4 6
4 -6
2.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «<» ή «>».
Τι παρατηρείτε; ……………………………………………………………………………………………
2.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.
2.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που
συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;
Δικαιολογήστε την απάντησή σας …………………………………………………………………………
2.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας; ……………………………………………………..
2.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α+β| … |α|+|β| για ……. α, β ∈R
2.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;
Α΄ΤΡΟΠΟΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (ΒΛΕΠΕ ΠΙΝΑΚΑ)
Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 63 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ
2.8 Πότε ισχύει η ισότητα : |α +β| =|α| + |β|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Αν |α|= α και |β|> β να αποδείξετε ότι αβ≤0.
2. |α| ≤2 και |β| ≤3 να αποδειχθεί ότι α) |2α+3β| ≤13 β) |5α-2β+1| ≤17
3. Για κάθε πραγματικό αριθμό χ να αποδείξετε:
4. Άσκηση Β1,Β3/σελ.68
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 41
44. Απόλυτη τιμή και διάταξη
Συντάκτες: Αρμάος Πέτρος, Μανιατοπούλου Αμαλία
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 42
45. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή και Διάταξη
Σε ένα υπό κατασκευή κτίριο, ύψους 50 μέτρων από την επιφάνεια
του εδάφους, με υπόγεια βάθους 20 μέτρων από την επιφάνεια του
εδάφους, οι εργάτες μετακινούνται στο κατάλληλο ύψος με μία
πλατφόρμα επιβίβασης – αποβίβασης. Προκειμένου οι εργάτες να
γνωρίζουν σε ποιο σημείο βρίσκονται κάθε στιγμή, υπάρχει
ηλεκτρονική ένδειξη για το ύψος σε μέτρα σε σχέση με την
επιφάνεια του εδάφους, θετική όταν βρίσκονται πάνω από αυτή και
αρνητική όταν βρίσκονται κάτω από αυτή.
Α. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:
1. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 9 m,
μεταξύ ποιων υψών κινείται;
Απ.: ......................................................................................................................
2. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους
απόσταση μικρότερη από 7 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται;
Απ.: ......................................................................................................................
3. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους
απόσταση μεγαλύτερη από 9 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας;
Απ.: ......................................................................................................................
4. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση
μεγαλύτερη από 7 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας;
Απ.: ......................................................................................................................
5. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή
προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m πάνω από την
επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της.
Απ.: ......................................................................................................................
6. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή
προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m κάτω από την
επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της.
Απ.: ......................................................................................................................
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 43
46. Β.
1. Nα μεταφέρετε την κίνηση της πλατφόρμας στον άξονα ψ΄ψ, συμβολίζοντας
με ψ τη θέση της πλατφόρμας.
2. Απαντήστε στις ερωτήσεις Α1- Α6 με αλγεβρικό τρόπο
Α1 : ( ,0) 9 9 9 9
d x x x
< ⇔ < ⇔ − < <
Α2 : ………………………………………………………………..
Α3 : ………………………………………………………………..
Α4 : ………………………………………………………………..
Α5 : ………………………………………………………………..
Α6 : ………………………………………………………………..
3. Γενίκευση: α) Αν x <θ με θ>0, τότε……………………………….
β) Αν x >θ με θ>0, τότε……………………………….
4. Εργασία για το σπίτι: Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
Απόλυτη
τιμή
Ανισότητα Γεωμετρική ερμηνεία Διάστημα
3
x < -3<x<3
x∈(-3,3)
3
x ≥
2
x ≤
3 2
x − <
3 2
x − ≥
3
x < −
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 44
47. 3
x ≥ −
2 1
x + < −
2 1
x + > −
https://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4ickdKUElndHVOTWs/view?usp=sharing
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 45
49. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Φύλλο Εργασίας στην τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών
Δραστηριότητα 1η
1.1
• Θυμάστε τους τετράγωνους αριθμούς;
• Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100;
• Το 144 είναι τετράγωνος αριθμός;
• Να εξηγήσετε πώς εξετάζουμε αν ένας αριθμός είναι τετράγωνος.
• Ξέρατε ότι…
1.2
• Ο κ. Ισίδωρος έχει ένα χωράφι σχήματος τετραγώνου με εμβαδόν 81 m2
. Πρέπει
να περιφράξει με σύρμα τη βορινή πλευρά του χωραφιού. Πόσα μέτρα σύρμα θα
πρέπει να αγοράσει;
Να λύσετε το παραπάνω πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης.
• Αν το χωράφι του κ. Ισίδωρου έχει εμβαδόν 27 m2
, πόσα μέτρα σύρμα θα πρέπει
να αγοράσει;
1.3
Να αποδειχθεί ότι για κάθε x 0
≥ ισχύει: 2 1 0
x x
+ + ≥
Δραστηριότητα 2η
.
2.1
Να εξηγήσετε γιατί δεν ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς η τετραγωνική ρίζα
του -1 και κατά συνέπεια οποιουδήποτε αρνητικού αριθμού.
2.2 Ορίζεται η 2
( 3)
− ;……….. Ισχύει ότι 2
( 3) 3
− =
− ;………………………….
Δραστηριότητα 3η
3.1
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 47
50. Να βρείτε τις ρίζες: 2
5 , ( )
2
5
− , 2
α
Τι παρατηρείτε;
3.2
α) Να βρείτε το ανάπτυγμα )
(
2
7 3
−
β) Να βρείτε τη ρίζα του 16 6 7
−
3.3
α) Αν 0
x > , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 2
25 4
A x x x
= − −
β) Αν 0
y < , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 2
36 9 2
B y y y
= − +
Δραστηριότητα 4η
4.1
Παρατηρώντας τον παρακάτω πίνακα να απλοποιήσετε τις ρίζες και να βρείτε τις
τιμές των παρακάτω παραστάσεων.
50 18 8
Α
= − − 3 32 128 18
Β
= − + 5 1 5 1
Γ
= − ⋅ +
32 50 98
2
+ +
∆ = ( 12 48 27) 3
Ε
= + −
4.2
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) ;
• 3 4 6 2
⋅ = ⋅
•
−
=
β
α
β α
1
• α β α β
⋅ = ⋅ με
,
α β ∈
• 2014 2014 2014
⋅ =
4.3
Να εξετάσετε αν 100 36 64
= + .
Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το άθροισμα τετραγωνικών ριζών;
Ισχύει κάτι ανάλογο για τη διαφορά τετραγωνικών ριζών; Δώστε ένα παράδειγμα.
Δραστηριότητα 5η
Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 48
53. Φύλλο εργασίας
ΓΝΩΣΤΙΚΟ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:
Νιοστές Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
ΤΑΞΗ: ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………………
Δραστηριότητα 1η
Ερώτημα 1.1
Ποια είναι η πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν 64;
Απάντηση:…………………………………………..
Άρα 64 =..........
Ποια είναι η πλευρά κύβου με όγκο 64;
Απάντηση:…………….............................................
Άρα 3
64 =......
Ερώτημα 1.2
Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας συμπληρώνοντας τα κενά στην ακόλουθη
πρόταση:
Η νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με v
a και είναι ο μη
αρνητικός αριθμός ..… που όταν υψωθεί στη .................δίνει τον...............
Δραστηριότητα 2η
Ερώτημα 2.1
Να εξετάσετε αν ορίζονται οι παρακάτω ρίζες και στην περίπτωση που υπάρχουν να
υπολογιστούν.
( )
5 2
− 5
=……………. 5
2 5
= …………… ( )
4 2
− 4
= …………… 4
2 4
= …..…..
Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες αληθεύουν:
4
10000 = 10……………………. 4
10000
− = -10 …………………………….
Ερώτημα 2.2
Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας τις ακόλουθες προτάσεις
Αν ν άρτιος και α≥0 τότε ν
a ν
=………..
Αν ν άρτιος και α∈ R τότε ν
a ν
=………
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 51
54. Αν ν περιττός και α‹0 τότε ν
a ν
=………
Αν ν περιττός και α›0 τότε ν
a ν
=………
Δραστηριότητα 3η
Ερώτημα 3.1
Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις :
Α) 3
64 = …………………. 6
64 = …………………..
Β) 4 4
⋅ =
…………………... 4
16 = …………………..
Ερώτημα 3.2
Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας την ακόλουθη ισότητα
µ ν
α =.....................
Ερώτημα 3.3
Να αποδείξετε τα συμπεράσματα σας , συμπληρώνοντας τις ακόλουθες ισότητες.
(
µ ν
α )μν
= ..........................................................................
( µν
α ) μν
= ...........................................................................
Δραστηριότητα 4η
Ερώτημα 4.1
Να απλοποιηθούν ακόλουθες παραστάσεις :
3 2
8 = ……………………………………. ( )
6 4
8 = ………………………………….
Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………
Ερώτημα 4.2
Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας την ακόλουθη πρόταση
ν ρ µ ρ
α
⋅ ⋅
= .....................
Ερώτημα 4.3
Να αποδείξετε τα συμπεράσματα σας , συμπληρώνοντας τις ακόλουθες ισότητες.
ν ρ µ ρ
α
⋅ ⋅
= .... ......
a
ν
= ................................................
Δραστηριότητα 5η
Ερώτημα 5.1
Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις :
α) Να λυθεί η εξίσωση x5
=32
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 52
55. β) Ποια είναι η τιμή του α ώστε ο αριθμός 32α
να είναι ρίζα της εξίσωση x5
=32
;
Ερώτημα 5.2
Τι σημαίνει a
µ
ν
;
Εφαρμογές
1) Να απλοποιήσετε την παράσταση
4 8
4
4
)
4
( β
α
− ………………………………………………………………………
2) Να υπολογίσετε τα α, b ∈ έτσι ώστε 4 4
2
)
3
(
)
1
( −
+
− b
a = 0
3)Να απλοποιήσετε την παράσταση
3 5 4
2
2
2 ………………………………………………………………………..
4) Να υπολογίσετε το γινόμενο
2 4
4 3
3
α
α
α ⋅
⋅ ……………………………………………………………………
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 53
57. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Φύλλο Εργασίας στις εξισώσεις
ΓΝΩΣΤΙΚΟ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:
Κεφάλαιο 3.1 : Εξισώσεις 1ου
βαθμού –Παραμετρική
Εξίσωση
ΤΑΞΗ:
Α
ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………..
Δραστηριότητα 1η
Ερώτημα 1.1
Να λυθούν οι εξισώσεις :
2x=4 2 4
x =
-4x=2 2x=α αx=3
1
4
2
x = 0x=3
Ερώτημα 1.2
Να λυθούν οι εξισώσεις :
2x=10
1
10 0
2
x −
+ =
10 0
2
x
+ =
5 14 7
(3 9)
2 4 2
x
x
−
+ = − −
Ερώτημα 1.3
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις ακόλουθες προτάσεις :
• Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β έχει μοναδική μοναδική λύση όταν :
Α. 0 και β 0
a
= ≠ Β. 0 και β 0
a ≠ ≠ Γ. 0 και β
a R
≠ ∈ Δ. 0 και β=0
a =
• Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β είναι αδύνατη (δεν έχει λύση) όταν :
Α. 0 και β 0
a
= ≠ Β. 0 και β 0
a ≠ ≠ Γ. 0 και β
a R
≠ ∈ Δ. 0 και β=0
a =
• Μία εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής αχ = β είναι ταυτότητα ή αόριστη (έχει άπειρες
λύσεις ) όταν :
Α. 0 και β 0
a
= ≠ Β. 0 και β 0
a ≠ ≠ Γ. 0 και β
a R
≠ ∈ Δ. 0 και β=0
a =
Δραστηριότητα 2η
Ερώτημα 2.1
Δίνεται η εξίσωση 1ου
βαθμού : (4-μ2
)χ=2μ(μ-2)(μ+1)
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 55
58. Για μ=1 η εξίσωση γράφεται ........................................................... και έχει λύση :
…………………………………………………………………………………….
Για μ=-4 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και έχει λύση :
……………………………………………………………………………………..
Για μ=2 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και είναι ………
…………........................................
Για μ=-2 η εξίσωση γράφεται ...........................................................και………………
........................................................
Ερώτημα 2.2
Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας :
Δίνεται η εξίσωση: μ2
(x-1)-2=3μ+x, μ∈ , όπου .......ειναι ο άγνωστος της και .......... η παράμετρος.
Μετά από την εκτέλεση των πράξεων γράφεται στη μορφή .....................................................
Α) Για ποιες τιμές του μ έχει μοναδική λύση ;Να βρείτε τη μοναδική λύση.
………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………..…………………………………………………
…………………………………………..
Β) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση είναι ταυτότητα ή αόριστη ;
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………
Γ) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση είναι αδύνατη ;
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………
Ερώτημα 2.3
Να λύσετε την εξίσωση : λ2
x-6+λ=3λ+9x για τις διάφορες τιμές του λ
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Εργασία για το σπίτι : Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α Λυκείου:
Άσκηση 1ii), iv) σελ.83
Άσκηση 3 σελ.83
Άσκηση 4 σελ.83 (να λυθεί και μέσα στην τάξη)
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 56
59. Η εξίσωση xν
=α
Συντάκτες: Αρμάος Πέτρος, Καννάβης Χρήστος
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 57
60. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Φύλλο Εργασίας στην εξίσωση xν
=α
Μέρος 1ο
Δραστηριότητα 1η
:
Υπολογίστε τις δυνάμεις του πίνακα.
𝒙 𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟒
𝒙𝟓 𝒙𝟔
𝒙𝟕
2
-2
1.1 Τι συμπέρασμα βγάζετε για το πρόσημο του αριθμού 𝑥𝜈
όταν:
Α) Ο αριθμός x είναι θετικός και ο αριθμός ν περιττός.
Β) Ο αριθμός x είναι θετικός και ο αριθμός ν άρτιος.
Γ) Ο αριθμός x είναι αρνητικός και ο αριθμός ν περιττός.
Δ) Ο αριθμός x είναι αρνητικός και ο αριθμός ν άρτιος.
1.2 Να βρείτε τις λύσεις των εξισώσεων:
Α) 𝑥2
= 4
Β) 𝑥3
= 8
Γ) 𝑥2
= −4
Δ) 𝑥3
= −8
Δραστηριότητα 2η
:
2.1 Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.
Στήλη Α Στήλη Β
1. 2
16
x = Α. ύ
δ νατη
Α
2. 3
27
x = Β. 3 125 5
x =
− − =
3. 12
5
x = − Γ. 4 4
x ή x
= = −
4. 3
8
x = − Δ. 3
27 3
x
= =
5. 6
64
x = Ε. 3
8 2
x =
− =
−
6. 3
125
x = − ΣΤ.
6 6
64 2 64 2
x ή x
= = =
− =
−
1. 2. 3. 4. 5. 6.
2.2 Με βάση τα παραπάνω, μπορείτε να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης 𝑥𝜈
= 𝛼 ;
Αν ν περιττός και 𝛼 > 0
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 58
61. 2.3
Προσπαθήστ
ε να
ερμηνεύσετε
γιατί η
εξίσωση
𝑥3
= −8 έχει
μοναδική
λύση τη 𝑥 = −√8
3
= −2
Δραστηριότητα 3η
:
1. Να λύσετε τις εξισώσεις
i. 𝑥2
= 4
ii. 𝑥2
= −4
iii. 𝑥4
− 16 = 0
iv. 𝑥4
+ 16 = 0
2. Να λύσετε τις εξισώσεις
i. 𝑥3
= 27
ii. 𝑥3
= −27
iii. 𝑥7
− 128 = 0
iv. 𝑥7
+ 128 = 0
Μέρος 2ο
Η εξίσωση 𝒙𝝂
= 𝜶𝝂
Δραστηριότητα 1η
:
1.1 Να λύσετε τις εξισώσεις:
i. 𝑥4
= 24
ii. 𝑦12
= (−5)12
iii. (−𝑥)6
− 46
= 0
iv. 𝑥8
= −28
v. 𝑥5
= (
2
3
)5
vi. 𝑥15
= −215
vii. −𝑥7
+ 27
= 0
1.2 Με βάση την 1.1 μπορείτε να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης 𝑥𝜈
= 𝛼𝜈
;
1.3 Να
λύσετε τις
εξισώσεις
i. (𝑥 + 1)3
= 8
ii. (−2𝑥 + 3)2
= 16
iii. 𝑥5
+ 𝑥2
= 0
Αν ν άρτιος και 𝛼 > 0
Αν ν άρτιος και 𝛼 < 0
Αν ν περιττός και 𝛼 < 0
Αν ν ακέραιος και 𝜶 = 𝟎
Αν ν περιττός
Αν ν άρτιος
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 59
62. iv. −𝑥7
= 𝑥2
v. (1 − 2𝑥)5
− (2𝑥 − 1)2
= 0
1.4 Ένας αριθμός υψωμένος εις την εβδόμη ισούται με τον ίδιο αριθμό υψωμένος εις την τρίτη. Ποιος είναι
αυτός ο αριθμός;
https://drive.google.com/file/d/0BzGnEZIa2oE1UHV5N3JtbVVmNlE/view?usp=sharing
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 60
64. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………
Φύλλο Εργασίας στις εξισώσεις 2ου
βαθμού
Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ: 𝜶𝒙𝟐
+ 𝜷𝒙 + 𝜸 = 𝟎, 𝜶 ≠ 𝟎
Μέρος 1ο
Δραστηριότητα 1η
: Η τετραγωνική εξίσωση
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η λύση της εξίσωσης 𝑥2
+ 10𝑥 = 39 σε ένα χειρόγραφο του 1342
Δίνεται το τετράγωνο ΑΓΕΗ το oποίο χωρίζεται σε τέσσερα σχήματα από τις ΘΔ και ΒΖ που είναι
παράλληλες προς τις πλευρές του, έτσι ώστε 𝛢𝛣 = 𝛥𝛦 = 5 και 𝛣𝛤 = 𝛤𝛥 = 𝑥
1. Να αναγνωρίσετε τα τέσσερα γεωμετρικά σχήματα που σχηματίζονται στο εσωτερικό του τετραγώνου
ΑΓΕΗ: ……………………………………...................................................................................................
2. Να εκφράσετε τα εμβαδά των ΑΒΚΘ, ΒΓΔΚ, ΚΔΕΖ και ΑΓΕΗ ως συνάρτηση του x.
Να σημειώσετε επάνω στα τέσσερα εσωτερικά σχήματα το εμβαδόν τους.
3. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της ισότητας 𝑥2
+ 10𝑥 = 39
4. Πόσο είναι το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΓΕΗ; …………………………………………………………...
5. Πόσο είναι το μήκος της πλευράς του ΑΓΕΗ; ……………………………………………………………..
6. Μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς x; ………………………………………………………..
Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 62
