Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp tích phân đầu của Mozhaev đối với sóng ba thành phần chỉ dẫn đến một đồng nhất thức mà không dẫn đến phương trình tán sắc như mong muốn

1. Mục lục
MỞ ĐẦU 3
Chương 1. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU 7
1.1 Phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần . . . 7
1.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Phương pháp tích phân đầu cho sóng ba thành phần . . . 14
1.2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. SÓNG RAYLEIGH HAI THÀNH PHẦN TRONG
MÔI TRƯỜNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC, CÓ BIẾN DẠNG
TRƯỚC: CHỊU ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) VÀ CẮT 22
2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 3. SÓNG RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN TRONG
MÔI TRƯỜNG MONOCLINIC VỚI MẶT PHẲNG ĐỐI
XỨNG x1 = 0 30
3.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1

2. KẾT LUẬN 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 40
2

3. MỞ ĐẦU
Sóng mặt Rayleigh [9] được phát hiện bởi Rayleigh từ hơn một
thế kỷ qua (vào năm 1885), đã và đang được nghiên cứu mạnh mẽ, bởi
những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều ngành khác nhau của khoa
học và kỹ thuật như: âm học, địa chấn học, khoa học vật liệu, khoa học
đánh giá không hư hỏng, công nghệ viễn thông...
Theo Destrade [4], xuất hiện cách đây khoảng 30 năm, các thiết
bị sóng mặt (Rayleigh) đã được sử dụng rộng rãi và hết sức thành công
trong ngành công nghiệp truyền thông.
Theo Hess [8], trong những năm gần đây sóng mặt (Rayleigh) tạo
ra bởi laze đã cung cấp những công cụ mới để nghiên cứu các tính chất
của vật liệu.
Có thể nói không quá rằng, sự phát hiện ra sóng mặt của Rayleigh
có ảnh hưởng to lớn và sâu rộng đến thế giới ngày nay, trải dài từ chiếc
mobile phone đến các nghiên cứu động đất, như Adams và các cộng sự
[2] đã nhấn mạnh.
Theo Malischewsky [6], vận tốc sóng Rayleigh là một đại lượng cơ
bản và quan trọng, thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà địa chất
học, khoa học vật liệu và các nhà nghiên cứu thuộc các lĩnh vực khác
của vật lý.
Vì vận tốc sóng Rayleigh là nghiệm của phương trình tán sắc, nên
phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu cơ bản khi nghiên
cứu sóng Rayleigh. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: nghiên cứu
sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh vào các tham số vật liệu (và các
tham số khác), đặc biệt nó được sử dụng để giải bài toán ngược: đánh
giá (không hư hỏng) các tham số vật liệu (và các tham số khác) thông
qua các giá trị đo được của vận tốc sóng.
Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng hoặc môi trường dị hướng
đơn giản (chẳng hạn môi trường đàn hồi trực hướng), để tìm phương
trình tán sắc của sóng Rayleigh ta sử dụng phương trình đặc trưng của
3

4. sóng. Vì nó là phương trình trùng phương nên ta dễ dàng tìm được biểu
thức nghiệm của nó. Tuy nhiên, đối với môi trường dị hướng phức tạp
hơn (chẳng hạn môi trường monoclinic [10]), phương trình đặc trưng của
sóng là bậc bốn đầy đủ. Do vậy, việc tìm biểu thức nghiệm của nó là rất
khó khăn, nếu không nói là không thể thực hiện được.
Để vượt qua khó khăn này, Mozhaev [7] đã đưa ra một phương
pháp được gọi là "phương pháp tích phân đầu" (Method of First Inter-
grals). Phương pháp này cho phép ta tìm được phương trình tán sắc của
sóng Rayleigh mà không cần sử dụng phương trình đặc trưng. Destrade
[3] cải tiến phương pháp tích phân đầu của Mozhaev [7] và đã ứng dụng
rất thành công vào các bài toán sóng Rayleigh hai thành phần. Theo
hướng này cũng cần kể đến nghiên cứu gần đây của Vĩnh và các cộng sự
[14].
Gần đây, Destrade [3] và Ting [12] đã khẳng định rằng: phương
pháp tích phân đầu trình bày bởi Mozhaev [7] không có hiệu lực với
sóng Rayleigh ba thành phần (chẳng hạn như sóng Rayleigh trong môi
trường monoclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = 0 hay x2 = 0, hoặc sóng
Rayleigh trong môi trường dị hướng tổng quát). Mới đây, Vĩnh và Nam
[1] đã áp dụng thành công phương pháp tích phân đầu cho sóng tựa
Rayleigh ba thành phần bắt nguồn từ sóng Stoneley truyền trong môi
trường đàn hồi có ứng suất trước. Các tác giả đã không xuất phát từ
phương trình đối với chuyển dịch như Mozhaev [7], mà dựa vào phương
trình đối với ứng suất, và không dừng lại ở hệ chín phương trình đại số
tuyến tính thuần nhất phụ thuộc lẫn nhau đối với chín ẩn số như Ting
[12], mà đi đến hệ gồm ba phương trình độc lập đối với ba ẩn số.
Mục đích chính của luận văn là:
1. Áp dụng phương pháp tích phân đầu tìm ra phương trình tán
sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh hai thành phần trong môi trường
không nén được có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt [5].
Bài toán này đã được Destrade và Ogden [5] nghiên cứu vào năm 2005. Vì
sử dụng phương pháp vectơ phân cực [13] nên phương trình tán sắc tìm
4

5. được là rất cồng kềnh. Do vậy, phương trình tán sắc đã không được viết
dưới dạng tường minh. Trong luận văn này, bằng cách sử dụng phương
pháp tích phân đầu, tác giả đã thu được phương trình tán sắc, được viết
dưới dạng tường minh. Quá trình rút ra phương trình tán sắc ngắn gọn
hơn so với phương pháp vectơ phân cực.
2. Sử dụng phương pháp tích phân đầu đã được trình bày trong [1]
tác giả luận văn đã tìm ra được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
ba thành phần trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng
x1 = 0, dạng tường minh. Kết quả này trùng với kết quả đã được tìm
ra gần đây bởi Ting bằng phương pháp khác [11] mà quá trình tìm ra
là phức tạp hơn. Trái ngược với kết luận của Destrade [3] và Ting [12],
luận văn khẳng định phương pháp tích phân đầu [1] hoàn toàn có hiệu
lực đối với sóng Rayleigh ba thành phần.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Phương pháp tích phân đầu
Chương này nhằm mục đích giới thiệu phương pháp tích phần đầu
cho sóng Rayleigh hai thành phần dựa trên phương trình đối với ứng
suất [3], và phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành
phần theo Mozhaev [7]. Chương này cũng dẫn ra chứng minh chi tiết
khẳng định: "Phương pháp tích phân đầu của Mozhaev đối với sóng ba
thành phần chỉ dẫn đến một đồng nhất thức mà không dẫn đến phương
trình tán sắc như mong muốn".
Chương 2. Sóng Rayleigh hai thành phần trong môi trường không
nén được có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt.
Chương 3. Sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường mono-
clinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0.
Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy
Phạm Chĩ Vĩnh người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong bộ môn
Cơ học và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học đã trang bị kiến
5

6. thức giúp em hoàn thành luận văn này.
Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận ở
xemina "Sóng và ứng dụng" tại bộ môn Cơ học, khoa Toán - Cơ - Tin
học. Tác giả luận văn đã nhận được những góp ý bổ ích từ các thành
viên của xemina.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Trịnh Thị Thanh Huệ
6

7. Chương 1
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU
1.1 Phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần
Trong mục này, phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành
phần được trình bày thông qua việc xét bài toán truyền sóng Rayleigh
trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0. Chú ý
rằng, bài toán này đã được công bố một cách vắn tắt bởi Destrade [3]
vào năm 2001.
1.1.1 Các phương trình cơ bản
Xét bán không gian x2 ≥ 0 được tạo bởi vật liệu monoclinic với
mặt phẳng đối xứng x3 = 0. Vật liệu được giả thiết là đàn hồi và nén
được.
Xét bài toán biến dạng phẳng:
ui = ui(x1, x2, t), i = 1, 2, u3 ≡ 0 (1.1)
trong đó ui là các thành phần của vectơ chuyển dịch.
Khi đó, phương trình chuyển động có dạng:
σ11,1 + σ12,2 = ρ¨u1
σ12,1 + σ22,2 = ρ¨u2
(1.2)
trong đó: σij(i, j = 1, 2) là các thành phần của tenxơ ứng suất, ρ là mật
độ khối lượng của vật liệu, dấu "," chỉ đạo hàm theo các biến không
gian, dấu "." chỉ đạo hàm theo thời gian. Các thành phần của tenxơ
ứng suất σij(i, j = 1, 2) liên hệ với các thành phần của tenxơ biến dạng
7

8. ij(i, j = 1, 2) bởi công thức:



σ11 = C11 11 + C12 22 + 2C16 12
σ12 = C16 11 + C26 22 + 2C66 12
σ22 = C12 11 + C22 22 + 2C26 12
(1.3)
với Cij là các hằng số đàn hồi của vật liệu và:
11 = u1,1, 22 = u2,2, 2 12 = u1,2 + u2,1. (1.4)
Điều kiện tắt dần ở vô cùng:
u1 = u2 = 0 tại x2 = +∞. (1.5)
Điều kiện tự do đối với ứng suất tại mặt biên x2 = 0:
σ12 = σ22 = 0 tại x2 = 0. (1.6)
1.1.2 Sóng Rayleigh
Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng Ox1 với vận tốc c và tắt
dần theo hướng Ox2. Khi đó, ta tìm nghiệm dưới dạng:
uj = Uj(y)eik(x1−ct)
(j = 1, 2)
σj2 = iktj(y)eik(x1−ct)
(j = 1, 2)
(1.7)
trong đó k là số sóng, y = kx2.
Thay (1.7) vào (1.3)2, (1.3)3 và sử dụng (1.4) ta có:
t = iPU + QU, (1.8)
trong đó dấu ” ” là đạo hàm theo biến y và
U =
U1
U2
, t =
t1
t2
, P = −
C66 C26
C26 C22
, Q =
C16 C66
C12 C26
. (1.9)
Từ (1.8) suy ra:
U = −iP−1
t + iP−1
QU = iN1U + iN2t, (1.10)
trong đó:
N1 = P−1
Q =
−r6 −1
−r2 0 , N2 = −P−1
=
n66 n26
n26 n22
, (1.11)
8

9. với:
∆ = C22C66 − C2
26,
r6 = −
1
∆
C12 C16
C22 C26
= −
S16
S11
, r2 =
1
∆
C12 C26
C16 C66
= −
S12
S11
,
n26 = −
C26
∆
=
1
S11
S11 S16
S12 S22
, n22 =
C66
∆
=
1
S11
S11 S12
S12 S22
,
n66 =
C22
∆
=
1
S11
S11 S16
S16 S66
,
trong đó Sij là các hằng số độ mềm rút gọn của vật liệu [10].
Từ (1.2) vào (1.7) và tính đến (1.3)1, (1.4) ta được:
t1 = −i(C11 − ρc2
)U1 − iC16U2 − C16U1 − C12U2
t2 = iρc2
U2 − it1
(1.12)
Sử dụng (1.10) để biểu diễn U1, U2 qua U1, U2, t1, t2 rồi thay các
biểu thức đó vào (1.12)1 ta thu được:
t1 = −(η − ρc2
)U1 − ir6t1 − ir2t2, (1.13)
trong đó:
η = C11 − C12r2 − C16r6 =
1
∆
C11 C12 C16
C12 C22 C26
C16 C26 C66
=
1
S11
. (1.14)
Từ (1.10), (1.12)2 và (1.13) ta thu được hệ bốn phương trình vi
phân cấp một đối với bốn ẩn số là U1, U2, t1, t2. Dưới dạng ma trận nó
được viết như sau:
ξ = iNξ, (1.15)
trong đó:
ξ =


U1
U2
t1
t2

 , N =
N1 N2
K NT
1
, K =
−(η − ρc2
) 0
0 ρc2 , (1.16)
N1, N2 được xác định bởi (1.11). Chú ý rằng, dấu ” ” trong (1.15) chỉ
đạo hàm theo biến y = kx2.
9

10. Phương trình (1.15) được viết lại như sau:
U
t
=
iN1 iN2
iK iNT
1
U
t (1.17)
⇒
U = iN1U + iN2t
t = iKU + iNT
1
(1.18)
Khử U từ hệ (1.18) ta thu được hệ phương trình vi phân cấp hai
đối với ứng suất có dạng như sau:
αt − iβt − γt = 0, (1.19)
trong đó:
α = K−1
=



−1
η − ρc2
0
0
1
ρc2


 ,
β = K−1
NT
1 + N1K−1
=



2r6
η − ρc2
r2
η − ρc2
−
1
ρc2
r2
η − ρc2
−
1
ρc2
0


 ,
γ = N1K−1
NT
1 − N2 =




−r2
6
η − ρc2
+
1
ρc2
− n66
−r6r2
η − ρc2
− n26
−r6r2
η − ρc2
− n26
−r2
2
η − ρc2
− n22



 .
(1.20)
Chú ý rằng α, β, γ là các ma trận thực đối xứng.
1.1.3 Phương trình tán sắc
Giả sử f(y), g(y) là các hàm giá trị phức của biến thực y ∈
[0, +∞). Ta định nghĩa tích vô hướng của chúng như sau:
< f, g >=
+∞
0
(f¯g + ¯fg)dy, (1.21)
trong đó, ¯f, ¯g là các giá trị liên hợp của f, g.
Dưới dạng thành phần, phương trình (1.19) được viết như sau:
αkltl − iβkltl − γkltl = 0, (k, l = 1, 2). (1.22)
10

11. Nhân hai vế (1.22) với i¯tm ta có:
αklitl
¯tm + βkltl
¯tm + γkltl
¯itm = 0, (k, l, m = 1, 2). (1.23)
Lấy liên hợp hai vế (1.23) ta được:
αkl
¯it ltm + βkl
¯t ltm + γkl¯tlitm = 0. (1.24)
Cộng vế với vế (1.23) và (1.24) dẫn đến:
αkl( ¯it ltm + itl
¯tm) + βkl(¯t ltm + tl
¯tm) + γkl(¯tlitm + tl
¯itm) = 0. (1.25)
Đưa vào các ma trận vuông cấp 2: D, E, F mà các thành phần
của nó được xác định như sau:
Dlm =< itl , tm >; Elm =< tl, tm >; Flm =< tl; itm > (l, m = 1, 2).
(1.26)
Khi đó bằng cách lấy tích phân hai vế (1.25) theo y từ 0 → +∞
ta thu được bốn phương trình sau:
αklDlm + βklElm + γklFlm = 0 (k, m = 1, 2). (1.27)
Hay dưới dạng ma trận:
αD + βE + γF = 0. (1.28)
Ta sẽ chứng minh (1.27) tương đương với hệ ba phương trình ba
ẩn số. Trước hết ta sẽ chứng minh D, E, F là các ma trận phản đối xứng,
tức là:
Dlm = −Dml; Elm = −Eml; Flm = −Fml. (1.29)
Thật vậy, từ (1.21) và (1.26)3 ta có:
Flm =
+∞
0
(tl
¯itm + ¯tlitm)dy =
+∞
0
(−itl¯tm + ¯tlitm)dy,
Fml =
+∞
0
(tm
¯itl + ¯tmitl)dy =
+∞
0
(−itm¯tl + ¯tmitl)dy.
Suy ra: Flm + Fml = 0, hay Flm = −Fml ⇒ (1.29)3.
11

12. Từ (1.21) và (1.26)3 ta có:
Dlm =
+∞
0
(itl
¯tm − i¯t ltm)dy; Dml =
+∞
0
(itm
¯tl − i¯t mtl)dy
⇒ Dlm + Dml =
+∞
0
(itl
¯tm − i¯t ltm + itm
¯tl − i¯t mtl)dy
= (itl
¯tm−i¯t ltm+itm
¯tl−i¯t mtl)
+∞
0
−
+∞
0
(itl
¯t m−i¯t ltm+itm
¯t l−i¯t mtl)dy
= (itl
¯tm − i¯t ltm + itm
¯tl − i¯t mtl)
+∞
0
Từ điều kiện tắt dần ở vô cùng và điều kiện tự do đối với ứng suất
tại mặt biên x2 = 0 ta có:
ti(0) = ti(+∞) = 0, (i = 1, 2). (1.30)
Thay (1.30) vào phần tính toán trên suy ra:
Dlm + Dml = 0 hay Dlm = −Dml
tức là ta có (1.29)1.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
Elm + Eml = (tl¯tm + ¯tltm)
+∞
0
= 0.
Suy ra: Elm = −Eml hay (1.29)2 được chứng minh. Vậy các ma
trận cấp hai D, E, F là ma trận phản đối xứng, nên chúng có các dạng
sau:
D =
0 d
−d 0 , E =
0 e
−e 0 , F =
0 f
−f 0 , (1.31)
với d, e, f là các phần tử khác không.
Khi đó, (1.28) có dạng:
α11 α12
α12 α22
0 d
−d 0 +
β11 β12
β12 β22
0 e
−e 0 +
γ11 γ12
γ12 γ22
0 f
−f 0 = 0.
(1.32)
Hay dưới dạng thành phần:



−α12d − β12e − γ12f = 0
α11d + β11e + γ11f = 0
α12d + β12e + γ12f = 0
α22d + β22e + γ22f = 0
(1.33)
12

13. Do phương trình thứ nhất và thứ ba của hệ trùng nhau nên hệ
trên tương đương với hệ ba phương trình:



α11d + β11e + γ11f = 0
α12d + β12e + γ12f = 0
α22d + β22e + γ22f = 0
(1.34)
Do d, e, f khác không nên định thức của hệ (1.34) phải bằng không,
tức là:
α11 β11 γ11
α12 β12 γ12
α22 β22 γ22
= 0 (1.35)
Đây chính là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi
trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0.
Do α12 = β22 = 0 nên (1.35) tương đương với:
β12(α11γ22 − α22γ11) + α22β11γ12 = 0 (1.36)
Sử dụng (1.20), phương trình (1.36) trở thành:
(η − X){[(η − X)(n66X − 1) + r2
6X] + X2
[(η − X)n22 + r2
2]}+
+ 2r6X2
(η − X)[(η − X)[(η − X)n26 + r2r6] = 0
(1.37)
(1.37) là phương trình bậc bốn đối với X = ρc2
.
Như vậy, điểm mấu chốt của phương pháp tích phân đầu cải tiến
(bởi Destrade) là phương trình vi phân cấp hai đối với các ẩn hàm có
giá trị bằng không trên biên. Cụ thể trong bài toán này chính là phương
trình vi phân cấp hai đối với vectơ t = [t1 t2]T
của các thành phần
tenxơ ứng suất (trên mặt phẳng x2 = 0).
Chính các điều kiện biên: t(0) = t(+∞) = 0 đã làm cho các ma
trận D, E, F trở thành các ma trận phản đối xứng, nên việc tìm phương
trình tán sắc trở nên đơn giản, ngắn gọn (không cần thông qua phương
trình đặc trưng của sóng).
Mozhaev [7] vì xuất phát từ phương trình vi phân cấp hai đối với
vectơ chuyển dịch u = [u1 u2]T
nên không sử dụng trực tiếp được điều
kiện tự do đối với ứng suất t(0) = 0. Do vậy, quá trình tìm ra phương
trình tán sắc dài và phức tạp hơn.
13

14. 1.2 Phương pháp tích phân đầu cho sóng ba thành phần
1.2.1 Các phương trình cơ bản
Phần này trình bày "Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh
ba thành phần" được giới thiệu bởi Mozhaev [7]. Xét môi trường đàn
hồi bất đẳng hướng nén được tổng quát, chiếm phần không gian x3 ≥ 0.
Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng
∂σij
∂xj
= ρ
∂2
ui
∂t2
, (i, j = 1, 2, 3). (1.38)
Phương trình trạng thái (xem [10]):






σ11
σ22
σ33
σ23
σ13
σ12






=






C11 C12 C13 C14 C15 C16
C12 C22 C23 C24 C25 C26
C13 C23 C33 C34 C35 C36
C14 C24 C34 C44 C45 C46
C15 C25 C35 C45 C55 C56
C16 C26 C36 C46 C56 C66












11
22
33
2 23
2 13
2 12






(1.39)
trong đó, σij là các thành phần của tenxơ ứng suất, ij là các thành phần
của tenxơ biến dạng được xác định bởi công thức
ij =
1
2
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
), (i, j = 1, 2, 3). (1.40)
Điều kiện tắt dần ở vô cùng
ui = σ3i = 0 (i = 1, 2, 3) tại x3 = +∞. (1.41)
Điều kiện tự do đối với ứng suất trên mặt biên x3 = 0
σ3i = 0 (i = 1, 2, 3) tại x3 = 0. (1.42)
1.2.2 Sóng Rayleigh
Giả sử sóng được truyền theo x1 và tắt dần theo hướng x3. Khi
đó, nghiệm được tìm dưới dạng
uj = Uj(kx3)eik(x1−ct)
, (1.43)
với k là số sóng, c là vận tốc sóng.
14

15. Thay (1.39) vào (1.38) có tính đến (1.40) và (1.43) ta thu được
phương trình
αikUk + iβikUk − γikUk = 0, (1.44)
(αik) =
C55 C45 C35
C45 C44 C34
C35 C34 C33
, (βik) =
2C15 C14 + C56 C13 + C55
C14 + C56 2C46 C36 + C45
C13 C36 + C45 2C35
,
(γik) =
C11 − ρc2
C16 C15
C16 C66 − ρc2
C56
C15 C56 C55 − ρc2
=
C11 C16 C15
C16 C66 C56
C15 C56 C55
− IX,
I là ma trận đơn vị, X = ρc2
. Chú ý dấu ” ” ở đây là để chỉ đạo hàm
theo biến y = kx3.
Nhân hai vế phương trình (1.44) với Uj (iUj), lấy liên hợp hai vế,
rồi cộng hai phương trình với nhau, sau đó lấy tích phân hai vế phương
trình thu được theo y từ 0 → +∞ ta có
αik < Uk , Uj > +βik < iUk, Uj > −γik < Uk, Uj > = 0
αik < Uk , iUj > +βik < iUk, iUj > −γik < Uk, iUj > = 0
(1.45)
trong đó tích vô hướng < ., . > xác định ở phương trình (1.21). Đặt
Akj =< Uk , Uj >, Bkj =< iUk, Uj >, Ckj =< Uk, Uj >,
Dkj =< Uk , iUj >, Ekj =< iUk, iUuj >, Fkj =< Uk, iUj >,
(1.46)
khi đó (1.45) có dạng
αikAkj + βikBkj − γikCkj = 0,
αikDkj + βikEkj − γikFkj = 0, (i, j = 1, 2, 3)
(1.47)
Sử dụng (1.21) và (1.46), ta dễ dàng chứng minh được các đẳng
thức sau
Akj + Ajk = uk ¯uj + ¯ukuj, Bkj + Bjk = 0, Ckj + Cjk = uk ¯uj + ¯ukuj,
Dkj − Bjk = −iuk + i¯ukuj, Ekj − Cjk = 0, Fkj + Fjk = 0.
(1.48)
1.2.3 Phương trình tán sắc
Để thu được phương trình tán sắc của sóng, Mozhaev [7] đã biến
đổi hệ (1.47) về hệ 18 phương trình tuyến tính thuần nhất của 18 ẩn
15

16. số. Quá trình biến đổi được Mozhaev giới thiệu qua bài báo [7] vào năm
1995. Mozhaev thu được phương trình tán sắc của sóng bằng cách cho
định thức của hệ này bằng 0. Quá trình biến đổi dẫn ra hệ 18 phương
trình 18 ẩn số của Mozhaev thực hiện như sau.
Trước tiên biểu diễn ma trận (Akj) thành hai phần
(Akj) = (A0
kj) + (∆Akj), (1.49)
trong đó
(A0
kj) =
0 A12 −A31
−A12 0 A23
A31 −A23 0
, (∆Akj) =
A11 0 ∆A5
∆A6 A22 0
0 ∆A4 A33
,
∆A4 = A23 + A32, ∆A5 = A31 + A13, ∆A6 = A12 + A21.
(1.50)
Chú ý rằng (A0
kj) là ma trận phản đối xứng.
Ta đưa vào kí hiệu a0
ij = αikA0
kj, khi đó ta có
(a0
ij) = [α1, α2, α3]
0 A12 −A31
−A12 0 A23
A31 −A23 0
, (1.51)
với αi là cột thứ i của ma trận (αij).
Đặt a∗
= [a0
11 a0
21 a0
31 a0
12 a0
22 a0
32 a0
13 a0
23 a0
33 ]T
, từ (1.51) ta suy ra
a∗
= [α]A, (1.52)
trong đó
[α] =


0 α3 −α2
α3 0 −α1
α2 −α1 0

 , A =
A23
A31
A12
. (1.53)
Kí hiệu ∆aij = αik∆Akj, khi đó
(∆aij) = [α1, α2, α3]
A11 0 ∆A5
∆A6 A22 0
0 ∆A4 A33
=
α1A11 + α2∆A6
α2A22 + α3∆A4
α3A33 + α1∆A5
T
.
(1.54)
Từ điều kiện tự do đối với ứng suất trên mặt biên x3 = 0 (1.42)
ta có
c55 c45 c35
c45 c44 c34
c35 c34 c33
U1
U2
U3
+ i
c15 c56 c55
c14 c46 c45
c13 c36 c35
U1
U2
U3
= 0, (1.55)
16

17. suy ra
Ui = −i
d0
ik
det(αrs)
Uk = −idikUk, (1.56)
trong đó d13 = 1, d23 = d33 = 0,
d11 =
c15 c45 c35
c14 c44 c34
c13 c34 c33
, d21 =
c55 c15 c35
c45 c14 c34
c35 c13 c33
, d31 =
c55 c45 c15
c45 c44 c14
c35 c34 c13
,
d12 =
c56 c45 c35
c46 c44 c34
c36 c34 c33
, d22 =
c55 c56 c35
c45 c46 c34
c35 c36 c33
, d32 =
c55 c45 c56
c45 c44 c46
c35 c34 c36
.
Từ (1.48)1 và (1.56) ta có
Akj + Ajk = Uk
¯U j + Uj
¯U k
= dkmdjn(Um
¯Un + ¯UmUn)
= dkmdjnWmn,
(1.57)
với Wmn = Um
¯Un + ¯UmUn.
Từ (1.56) và (1.57) ta có
∆a∗
= ΛAW, (1.58)
trong đó ∆a∗
= [∆a11 ∆a21 ∆a31 ∆a12 ∆a22 ∆a32 ∆a13 ∆a23 ∆a33 ]T
,
ΛA =






α1
d1md1n
2
+ α2d1md2n
α2
d2md2n
2
+ α3d2md3n
α3
d3md3n
2
+ α1d3md1n






, (1.59)
W = [W11 W22 W33 W23 W13 W12]T
.
Đặt aij = αikAkj, a = [a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ]T
, từ
(1.49), (1.52), (1.58) ta có
a = [α]A + ΛAW. (1.60)
Hoàn toàn tương tự ta có
c = [γ]C + ΛCW, (1.61)
17

18. trong đó cij = γikCkj, c = [c11 c21 c31 c12 c22 c32 c13 c23 c33]T
,
C = [C23, C31, C12]T
,
ΛC =


γ1/2 0 0 0 0 γ2
0 γ2/2 0 γ3 0 0
0 0 γ3/2 0 γ1 0

 ,
[γ] có dạng (1.53) trong đó α thay bởi γ.
Chú ý rằng B là ma trận phản đối xứng nên tương tự như trên ta
có
b = [β]B (1.62)
trong đó bij = βikBkj, b = [b11 b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33]T
,
B = [B23, B31, B12]T
, [β] có dạng (1.53) trong đó α thay bởi β.
Thay (1.60) và (1.61) vào (1.47)1 ta được
[α] [β] [γ] [0] [ΛA − ΛC]
U
W
= 0, (1.63)
trong đó U =




A
B
C
F



 là ma trận 12×1, F =
F23
F31
F12
. (Chú ý rằng F là ma
trận phản đối xứng).
Biến đổi tương tự như trên với phương trình (1.47)2 và sử dụng
(1.48) ta có
[0] [α] − [β] − [γ] [ΛE − ΛD]
U
W
= 0, (1.64)
trong đó
ΛE =


β1/2 0 0 0 β3 0
0 β2/2 0 0 0 β1
0 0 β3/2 β2 0 β3

 ,
ΛD =


αkdk1 0 0 0 αkdk3 αkdk2
0 αkdk2 0 αkdk3 0 0
0 0 αkdk3 αkdk2 αkdk1 0

 .
18

19. Vậy hệ phương trình chuyển động (1.38) được dẫn về dạng
[α] [β] −[γ] [0] [ΛA − ΛC]
[0] [α] −[β] −[γ] [ΛE − ΛD]
U
W
= 0. (1.65)
với α, β, γ, ΛA, ΛC, ΛE, ΛD, U, W được xác định như trên.
Đây là hệ 18 phương trình 18 ẩn số. Mà theo Mozhaev, định thức
của các hệ số của hệ phương trình (1.65) chính là phương trình tán sắc
của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi dị hướng tổng quát. Tiếp
theo, ta sẽ chứng minh đây không phải là phương trình (tán sắc), mà
thực chất chỉ là một đồng nhất thức. Phần trình bày này dựa trên bài
báo của Ting [12].
Thật vậy, bằng cách đưa vào kí hiệu tích vô hướng
(g, h) =
+∞
0
(ghT
+ ¯g¯hT
)d(kx3). (1.66)
phương trình (1.47) được Ting viết lại như sau
(Q − XI)(u, i¯u) + (R + RT
)(u , ¯u) − T(u , i¯u) = 0,
(Q − XI)(u, ¯u ) − (R + RT
)(iu , ¯u ) − T(u , ¯u ) = 0.
(1.67)
trong đó Q, R, T được xác định bởi phương trình (3.4) trong [12].
Kí hiệu
A = (u , ¯u ), B = (iu , ¯u ), C = (u, ¯u , )
D = (u , i¯u), E = (u , ¯u), F = (u, i¯u),
khi đó hệ phương trình (1.67) trở thành
(Q − XI)F + (R + RT
)E − TD = 0
(Q − XI)C − (R + RT
)B − TA = 0
(1.68)
Dễ dàng chứng minh được F, B là hai ma trận phản đối xứng và
E = CT
.
Ta biểu diễn C dưới dạng tổng của một ma trận đối xứng và một
ma trận phản đối xứng. Cụ thể là
C = (u, ¯u ) =
(u, ¯u ) + (u, ¯u )T
2
+
(u, ¯u ) − (u, ¯u )T
2
= −W+W∗
, (1.69)
19

20. trong đó −W là ma trận đối xứng, W∗
là ma trận phản đối xứng.
Mặt khác
E = CT
= (−W + W∗
)T
= −WT
+ W∗T
= −W − W∗
. (1.70)
Ta lại có
D = (u , i¯u) = −(iu , ¯u ) + 2N1W = −B + 2N1W. (1.71)
Kí hiệu vế trái của (1.68)1 là (Zij)3×3. Ta sẽ chứng minh Tr(Z) =
0, điều này có nghĩa là 3 phương trình



Z11 = 0
Z22 = 0
Z33 = 0
(1.72)
của hệ 9 phương trình đầu của (1.68) phụ thuộc tuyến tính. Do đó, hệ 18
phương trình (1.68) là phụ thuộc tuyến tính, nên định thức của hệ (1.68)
đồng nhất bằng 0, tức là định thức của hệ (1.65) đồng nhất bằng 0. Đó
chính là điều phải chứng minh. Sau đây, ta sẽ chứng minh Tr(Z) = 0.
Trước hết, ta sẽ chứng minh vết của tích của một ma trận đối xứng
với một ma trận phản đối xứng bằng 0. Thật vậy, giả sử A đối xứng, B
phản xứng ta có
Tr(AB) =
n
i,j=1
AijBji = −
n
i,j=1
AjiBij ⇒
n
i,j=1
AijBji +
n
i,j=1
AjiBij = 0
⇔ 2Tr(AB) = 0 hay Tr(AB) = 0
Mặt khác, theo [12] ta lại có
N1 = −N2RT
= −T−1
RT
⇒ TN1 = −RT
Chú ý rằng B, F, R − RT
là ma trận phản đối xứng.
Ta có
Tr(Z) = Tr[(Q − XI)F + (R + RT
)E − TD]
= Tr[(Q − XI)F] + Tr[(R + RT
)E] − Tr(TD)
= Tr[(Q−XI)F]+Tr[−(R+RT
)W]+Tr[−(R+RT
)W∗
)]
20

21. −Tr(−TB) − Tr(2TN1W).
Do Q − XI, R + RT
, T là ma trận đối xứng [12], F, B, W∗
là ma
trận phản đối xứng nên
Tr[(Q − XI)F] = 0, Tr[−(R + RT
)W∗
)] = 0, Tr(−TB) = 0.
Suy ra
Tr(Z) = Tr[−(R + RT
)W] − Tr(2TN1W)
= Tr(−RW − RT
W + 2RT
W) = Tr[(RT
− R)W.
Vì RT
− R là ma trận phản đối xứng, W là ma trận đối xứng
⇒ Tr(Z) = Tr[(RT
− R)W = 0.
Vậy định thức của hệ (1.65) là một đồng nhất thức.
Như vậy, ta đã chứng minh được phương trình tán sắc của sóng
Rayleigh ba thành phần được tìm bằng phương pháp tích phân đầu của
Mozhaev [7] thực chất là một đồng nhất thức. Tức là, phương pháp tích
phân đầu được giới thiệu bởi Mozhaev [7] không có hiệu lực với sóng
Rayleigh ba thành phần. Tuy nhiên, trong chương ba tác giả luận văn
đã sử dụng thành công phương pháp tích phân đầu tìm phương trình tán
sắc của sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường monoclinic với
mặt phẳng đối xứng x1 = 0, trái với khẳng định gần đây của Destrade
[3] và Ting [12].
21

22. Chương 2
SÓNG RAYLEIGH HAI THÀNH PHẦN
TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC,
CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC: CHỊU ĐỒNG THỜI
KÉO (NÉN) VÀ CẮT
2.1 Các phương trình cơ bản
Xét vật thể đàn hồi không nén được mà ở trạng thái tự nhiên là
đẳng hướng, và chiếm bán không gian X2 ≥ 0. Giả sử vật thể chịu biến
dạng trước như sau [5]:
ˆx1 = µ1X1 + κµ2X2; ˆx2 = µ2X2; ˆx3 = µ3X3, (2.1)
trong đó: Xk là tọa độ của điểm ở trạng thái tự nhiên, ˆxk là tọa độ của
điểm đó ở trạng thái ban đầu, µk, κ là các hằng số dương.
Biến dạng trước (2.1) là sự tổ hợp của biến dạng kéo (nén) và biến
dạng cắt, được thực hiện như sau:
Đầu tiên, vật thể chịu kéo (nén) theo ba trục tọa độ với các độ
giãn chính µk (µ1µ2µ3 = 1). Sau đó, vật thể chịu biến dạng cắt đặc trưng
bởi hằng số κ (xem hình 1).
Chú ý rằng, ở trạng thái ban đầu vật thể chiếm bán không gian
ˆx2 ≥ 0.
Với biến dạng trước (2.1) phương trình chuyển động đối với nhiễu
chuyển dịch (bỏ qua lực khối) là [5]:
∂ˆsji
∂ˆxj
= ρ
∂2
ˆui
∂t2
(2.2)
22

23. 1
1
1
(a)
2
3
(b) (c)
Hình 1. Trạng thái vật thể có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt
trong đó ρ là mật độ khối lượng, ˆui là các thành phần của vectơ nhiễu
chuyển dịch và ˆsij là các thành phần của tenxơ nhiễu ứng suất được xác
định bởi công thức sau [5]:
ˆsij = ˆBijkl
∂ˆul
∂ˆxk
+ p
∂ˆui
∂ˆxj
− ˆpδij, (2.3)
trong đó p là nhân tử Lagrange ở trạng thái ban đầu, ˆp là nhiễu của p,
ˆBijkl là các thành phần của tenxơ môđun hằng số đàn hồi được xác định
như sau
ˆBijkl = ΩipΩjqΩkrΩlsBpqrs, (2.4)
với
[Ωij] =
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0 0 1
, (2.5)
Biijj = λiλjWij, Bijkl = Bklij, (Wi = ∂W/∂λi, Wij = ∂2
W/∂λi∂λj),
Bijij = (λiWi − λjWj)λ2
i /(λ2
i − λ2
j), i = j,
Bijji = Bjiij = Bijij − λiWi, i = j,
(2.6)
W = W(λ1, λ2, λ3) là thế năng biến dạng đàn hồi và λk, θ được xác định
bởi [5]:
λ1 ± λ2 = (µ1 ± µ2)2 + κ2µ2
2, λ3 = 1/(µ1µ2),
tan 2θ = 2µ2
2κ/(µ2
1 − µ2
2 + κ2
µ2
2).
(2.7)
23

24. Điều kiện không nén được đối với nhiễu chuyển dịch
ˆui,i = 0, (i = 1, 2, 3). (2.8)
Điều kiện tự do đối với nhiễu ứng suất trên mặt biên ˆx2 = 0
ˆs2i = 0, (i = 1, 2, 3) tại ˆx2 = 0. (2.9)
Điều kiện tắt dần ở vô cùng
ˆui = ˆs2i = 0, (i = 1, 2, 3) tại ˆx2 = +∞. (2.10)
2.2 Sóng Rayleigh
Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng ˆx1 với vận tốc v, số sóng
k, tắt dần theo hướng ˆx2. Khi đó, nghiệm được tìm dưới dạng



ˆum(ˆx1, ˆx2, t) = Um(kˆx2)eik(ˆx1−vt)
ˆsmj(ˆx1, ˆx2, t) = kSmj(kˆx2)eik(ˆx1−vt)
ˆp(ˆx1, ˆx2, t) = ikP(kˆx2)eik(ˆx1−vt)
(2.11)
Thay (2.11) vào phương trình chuyển động (2.2) có tính đến phương
trình trạng thái (2.3) ta thu được hệ 3 phương trình đối với Uk (k =
1, 2, 3), trong đó phương trình thứ ba chỉ chứa U3 (không chứa U1, U2),
còn hai phương trình đầu không chứa U3. Vì vậy, không mất tính tổng
quát ta giả sử U3 = 0 (xem [4]). Do U3 = 0 và các đại lượng cần tìm
không phụ thuộc vào ˆx3 nên hệ phương trình chuyển động (2.2) trở thành
iS11 + S21 = −XU1
iS12 + S22 = −XU2
(2.12)
với X = ρv2
và dấu " " chỉ đạo hàm theo biến y = kˆx2.
Từ phương trình trạng thái (2.3) và tính đến (2.11) ta suy ra



S11 = i( ˆB1111 + p)U1 + ˆB1121U1 + i ˆB1112U2 + ˆB1122U2 − iP
S12 = i ˆB1211U1 + ( ˆB1221 + p)U1 + i ˆB1212U2 + ˆB1222U2
S21 = i ˆB2111U1 + ˆB2121U1 + i( ˆB2112 + p)U2 + ˆB2122U2
S22 = i ˆB2211U1 + i ˆB2212U2 + ˆB2221U1 + (p + ˆB2222)U2 − iP
(2.13)
24

25. Đặt τ1 = −iS21, τ2 = −iS22 ⇒ S21 = iτ1, S22 = iτ2, hệ phương
trình (2.13) trở thành



S11 = i( ˆB1111 + p)U1 + ˆB1121U1 + i ˆB1112U2 + ˆB1122U2 − iP
S12 = i ˆB1211U1 + ( ˆB1221 + p)U1 + i ˆB1212U2 + ˆB1222U2
iτ1 = i ˆB2111U1 + ˆB2121U1 + i( ˆB2112 + p)U2 + ˆB2122U2
iτ2 = i ˆB2211U1 + i ˆB2212U2 + ˆB2221U1 + (p + ˆB2222)U2 − iP
(2.14)
Thay (2.11)1 vào điều kiện không nén được (2.8) ta suy ra
U2 = −iU1 (2.15)
Thay (2.15) vào (2.14)3 ta suy ra
U1 = − i
ˆB1121 − ˆB2122
ˆB2121
U1
− i
ˆB2121 − ( ˆB2121 − ˆB1221 − p)
ˆB2121
U2 + i
1
ˆB2121
τ1
(2.16)
Mặt khác, trừ vế với vế phương trình (2.14)1 cho (2.14)4 ta có
S11 =i( ˆB1111 + p − ˆB1122)U1 + i( ˆB1112 − ˆB1222)U2+
+ ( ˆB1121 − ˆB2122)U1 + ( ˆB1122 − ˆB2222 − p)U2 + iτ2
(2.17)
Thay (2.14)2, (2.16) vào (2.12) và sử dụng S21 = iτ1, S22 = iτ2 suy
ra hệ phương trình (2.12) tương đương với hệ phương trình sau



( ˆB1122 − ˆB1111 − p)U1 + ( ˆB1222 − ˆB1112)U2 + i( ˆB1121 − ˆB2122)U1
+i( ˆB1122 − ˆB2222 − p)U2 − τ2 + iτ1 = −XU1
− ˆB1112U1 − ˆB1212U2 + i( ˆB1221 + p)U1 + ˆB1222U2 + iτ2 = −XU2
(2.18)
Từ (2.18)1 và sử dụng (2.15) và (2.16) ta tính được
τ1 =i[X +
( ˆB1121 − ˆB2122)2
ˆB2121
− ( ˆB1111 + ˆB2222 − 2 ˆB1122 − 2 ˆB1221)
− 2 ˆB2121 + 2( ˆB2121 − ˆB1221 − p)]U1
+ i{( ˆB1222 − ˆB1112) +
ˆB1121 − ˆB2122
ˆB2121
[ ˆB2121 − ( ˆB2121 − ˆB1221 − p)]}U2
− i
ˆB1121 − ˆB2122
ˆB2121
τ1 − iτ2.
(2.19)
25

26. Tương tự thay (2.15) và (2.16) vào (2.18)2 ta suy ra
τ2 =i{( ˆB1222 − ˆB1112) +
ˆB1121 − ˆB2122
ˆB2121
[ ˆB2121 − ( ˆB2121 − ˆB1221 − p)]}U1
+ i{X − ˆB1212 +
1
ˆB2121
[ ˆB2121 − ( ˆB2121 − ˆB1221 − p)]2
}U2
− i
1
ˆB2121
[ ˆB2121 − ( ˆB2121 − ˆB1221 − p)]τ1.
(2.20)
Đặt
ˆα := ˆB1212, ˆγ := ˆB2121, 2ˆβ := ˆB1111 + ˆB2222 − 2 ˆB1122 − 2 ˆB1221
ˆν12 := ˆB1222 − ˆB1112, ˆν21 := ˆB1121 − ˆB2122.
(2.21)
Dễ dàng chứng minh được rằng:
ˆσ22 = ˆB2121 − ˆB1221 − p (2.22)
trong đó
ˆσ22 = σ1 sin2
θ + σ2 cos2
θ (2.23)
với
σi = λi
∂W
∂λi
− p, i = 1, 2, 3 (không lấy tổng theo i) (2.24)
Thay (2.21) và (2.22) vào (2.15), (2.16), (2.19) và (2.20) ta có hệ
phương trình sau



U = −i
ˆν21
ˆγ
U1 − i
ˆγ − ˆσ22
ˆγ
U2 + i
1
ˆγ
τ1
U2 = −iU1
τ1 = i[X−2(ˆβ + ˆγ−ˆσ22)+
ˆν2
21
ˆγ
]U1 + i[ˆν12+
ˆν21
ˆγ
(ˆγ−ˆσ22)]U2 − i
ˆν21
ˆγ
τ1 − iτ2
τ2 = i[ˆν12 +
ˆν21
ˆγ
(ˆγ − ˆσ22)]U1 + i[X − ˆα +
1
ˆγ
(ˆγ − ˆσ22)2
]U2 − i
1
ˆγ
(ˆγ − ˆσ22)τ1
(2.25)
hay dưới dạng ma trận nó có dạng:
ξ = iNξ, ξ := [U1 U2 τ1 τ2]T
(2.26)
26

27. trong đó
N =
N1 N2
K NT
1
, N1 =
−
ˆν21
ˆγ
−
ˆγ − ˆσ22
ˆγ
−1 0
, N2 =
1
ˆγ
0
0 0
,
K =




= X − 2(ˆβ + ˆγ − ˆσ22) +
ˆν2
21
ˆγ
ˆν12 +
ˆν21
ˆγ
(ˆγ − ˆσ22)
ˆν12 +
ˆν21
ˆγ
(ˆγ − ˆσ22) X − ˆα +
1
ˆγ
(ˆγ − ˆσ22)2



 .
(2.27)
2.3 Phương trình tán sắc
Kí hiệu
U = [U1 U2]T
, τ = [τ1 τ2]T
nên ta có
ξ =
U
τ
Khi đó, phương trình (2.26) được viết lại như sau
U
τ
= i
N1 N2
K NT
1
U
τ (2.28)
với N1, N2, K được xác định ở (2.27) và chú ý rằng N2, K là ma trận đối
xứng.
Từ phương trình ma trận (2.28) ta có thể viết lại dưới dạng hệ
phương trình sau
U = iN1U + iN2τ
τ = iKU + iNT
1 τ
(2.29)
Khử U từ phương trình (2.29)2 ta đưa về phương trình vi phân
cấp hai đối với biến τ
Gτ + iHτ + Jτ = 0 (2.30)
trong đó G, H, J là các ma trận đối xứng được xác định như sau
G = K−1
, H = K−1
NT
1 + N1K−1
, J = N1K−1
NT
1 − N2. (2.31)
27

28. Đặt ˆG = ˆγ|K|G, ˆH = ˆγ|K|H, ˆJ = ˆγ|K|J với |K| = det K ta có
ˆG11 = (X − ˆα)ˆγ + (ˆγ − ˆσ22)2
,
ˆG12 = ˆG21 = −ˆν12ˆγ − ˆν21(ˆγ − ˆσ22),
ˆG22 = [X − 2(ˆβ + ˆγ − ˆσ22)]ˆγ + ˆν2
21,
ˆH11 = −2ˆν21(X − ˆα) + 2ˆν12(ˆγ − ˆσ22),
ˆH12 = ˆH21 = (−X + ˆα)ˆγ + ˆν12ˆν21
− (ˆγ − ˆσ22)2
− (ˆγ − ˆσ22)[X − 2(ˆβ + ˆγ − ˆσ22)],
ˆH22 = 2ˆν12ˆγ + 2ˆν21(ˆγ − ˆσ22),
ˆJ11 = ˆν2
12 − (X − ˆα)[X − 2(ˆβ + ˆγ − ˆσ22)],
ˆJ12 = ˆJ21 = ˆν21(X − ˆα) − ˆν12(ˆγ − ˆσ22),
ˆJ22 = (X − ˆα)ˆγ + (ˆγ − ˆσ22)2
.
(2.32)
Khi đó, phương trình (2.30) được viết lại thành
ˆGτ + i ˆHτ + ˆJτ = 0 (2.33)
trong đó ˆG, ˆH, ˆJ là các ma trận đối xứng có các thành phần được xác
định bởi (2.32).
Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 1.1.3 (phương pháp tích
phân đầu cho sóng hai thành phần) suy ra phương trình tán sắc có dạng
ˆG11
ˆH11
ˆJ11
ˆG12
ˆH12
ˆJ12
ˆG22
ˆH22
ˆJ22
= 0 (2.34)
28

29. Khai triển (2.34) và tính dến (2.32), phương trình tán sắc có dạng:
− 2[ˆγ(ˆν12 + ˆν21) − ˆν21ˆσ22] [Xˆγ − ˆαˆγ + (ˆγ − ˆσ22)2
](−ˆγˆν12 + Xˆν21
− ˆαˆν21 + ˆν12ˆσ22) − ˆν2
12 − (X − ˆα)[X − 2(ˆβ + ˆγ − ˆσ22)] [−ˆγ(ˆν12 + ˆν21)
+ ˆν21ˆσ22] + [Xˆγ + ˆν2
21 − 2ˆγ(ˆβ + ˆγ − ˆσ22)] − 2(ˆγˆν12 − Xˆν21 + ˆαˆν21
− ˆν12ˆσ22)2
− ˆν2
12 − (X − ˆα)[X − 2(ˆβ + ˆγ − ˆσ22)]
[ˆγ(ˆα + 2ˆβ + ˆγ) + ˆν12ˆν21 − 2(ˆβ + ˆγ)ˆσ22 + ˆσ2
22
+ X(−2ˆγ + ˆσ22)] + [Xˆγ − ˆαˆγ + (ˆγ − ˆσ22)2
] 2(ˆγˆν12 − Xˆν21
+ ˆαˆν21 − ˆν12ˆσ22)[ˆγ(ˆν12 + ˆν21) − ˆν21ˆσ] + [Xˆγ − ˆαˆγ + (ˆγ − ˆσ22)2
]
[ˆγ(ˆα + 2ˆβ + ˆγ) + ˆν12ˆν21 − 2(ˆβ + ˆγ)ˆσ22 + ˆσ2
22 + X(−2ˆγ + ˆσ22)] = 0.
(2.35)
Đây là phương trình bậc bốn đầy đủ đối với X = ρv2
.
Phương trình tán sắc (2.35) của sóng Rayleigh hai thành phần
trong môi trường không nén được, có biến dạng trước: chịu đồng thời
kéo (nén) và cắt, lần đầu tiên được viết một cách tường minh.
29

30. Chương 3
SÓNG RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN TRONG
MÔI TRƯỜNG MONOCLINIC VỚI MẶT
PHẲNG ĐỐI XỨNG x1 = 0
3.1 Các phương trình cơ bản
Xét bán không gian x2 ≥ 0 được tạo bởi vật liệu monoclinic với
mặt phẳng đối xứng x1 = 0 [10]. Khi đó, phương trình trạng thái có
dạng [10]:






σ11
σ22
σ33
σ23
σ13
σ12






=






C11 C12 C13 C14 0 0
C12 C22 C23 C24 0 0
C13 C23 C33 C34 0 0
C14 C24 C34 C44 0 0
0 0 0 0 C55 C56
0 0 0 0 C56 C66












11
22
33
2 23
2 13
2 12






(3.1)
với ij là các thành phần của tenxơ biến dạng được xác định như sau:
ij =
1
2
(ui,j + uj,i). (3.2)
Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng:
σij,j = ρ¨ui, i, j = 1, 2, 3, (3.3)
trong đó σij là các thành phần của tenxơ ứng suất, dấu ”, ” là đạo hàm
theo biến không gian và dấu ”.” là đạo hàm theo thời gian.
Giả sử biên của bán không gian là tự do đối với ứng suất. Khi đó
σi2 = 0, i = 1, 2, 3 tại x2 = 0. (3.4)
Điều kiện tắt dần ở vô cùng
ui = σi2 = 0, i = 1, 2, 3 tại x2 = +∞. (3.5)
30

31. 3.2 Sóng Rayleigh
Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng x1 và tắt dần theo hướng
x2. Khi đó, nghiệm được tìm dưới dạng
uj = Uj(kx2)eik(x1−ct)
j = 1, 2, 3
σj2 = ktj(kx2)eik(x1−ct) (3.6)
trong đó c là vận tốc sóng, k là số sóng.
Thay (3.6) vào (3.1)6, (3.1)2, (3.1)4 ta có



t1 = iC56U1 + C66U1 + iC66U2
t2 = iC12U1 + C22U2 + C24U3
t3 = iC14U1 + C24U2 + C44U3
(3.7)
Chú ý rằng, dấu ” ” chỉ đạo hàm theo biến y = kx2.
Đặt t = [t1 t2 t3]T
, U = [U1 U2 U3]T
ta đưa phương trình (3.7)
về dạng
t = iQU + PU (3.8)
với
P =
C66 0 0
0 C22 C24
0 C24 C44
, Q =
C56 C66 0
C12 0 0
C14 0 0
(3.9)
Từ (3.8) suy ra
U = iN1U + N2t (3.10)
trong đó N1, N2 được xác định như sau
N1 = −P−1
Q =







0 −1 −
C56
C66
C24C14 − C12C44
C22C44 − C2
24
0 0
C12C24 − C14C22
C22C44 − C2
24
0 0







,
N2 = P−1
=







1
C66
0 0
0
C44
C22C44 − C2
24
−C44
C22C44 − C2
24
0
−C44
C22C44 − C2
24
C22
C22C44 − C2
24







(3.11)
31

32. Để đơn giản trong cách viết ta kí hiệu
r2 =
C(1, 4|2, 4)
C(2, 4)
, r4 = −
C(1, 2|2, 4)
C(2, 4)
, s6 =
C56
C66
,
n66 =
1
C66
, n22 =
C44
C(2, 4)
, n24 =
−C24
C(2, 4)
, n44 =
C22
C(2, 4)
,
với C(1, 4|2, 4) =
C12 C14
C24 C44
, C(2, 4) =
C22 C24
C24 C44
.
Khi đó, (3.11) trở thành
N1 =
0 −1 −s6
−r2 0 0
−r4 0 0
, N2 =
n66 0 0
0 n22 n24
0 n24 n44
(3.12)
Từ (3.1)1,3,5 , (3.2), (3.3), (3.6) ta có



−C11U1 + iC12U2 + iC14U3 + t1 = −ρc2
U2
it1 + t2 = −ρc2
U1
−C55U3 + iC56U1 − C56U2 + t3 = −ρc2
U3
(3.13)
Sử dụng (3.10), phương trình (3.13) trở thành



t1 = (
C11C22C44 − C11C2
24 + 2C12C14C24 − C2
12C44 − C2
14C22
C22C44 − C2
24
− ρc2
)U1−
−i
C12C44 − C14C24
C22C44 − C2
24
t2 − i
C14C22 − C12C24
C22C44 − C2
24
t3
t2 = −ρc2
U2 − it2
t3 = (
C55C66 − C2
56
C66
− ρc2
)U3 − i
C56
C66
t1
(3.14)
Đặt: η =
C(1, 2, 4)
C(2, 4)
, µ =
C(5, 6)
C66
, X = ρc2
ta đưa phương trình
(3.14) về dạng
t = KU + iNT
1 t (3.15)
trong đó
K =
η − X 0 0
0 −X 0
0 0 µ − X
(3.16)
và N1 được xác định bởi (3.12).
32

33. Kết hợp (3.10) và (3.15) ta có
U
t =
iN1 N2
K iNT
1
U
t (3.17)
hay
U = iN1U + N2t
t = KU + iNT
1 t
(3.18)
Từ (3.18)2 ta được
U = K−1
t − iK−1
NT
1 t (3.19)
Thay (3.19) vào phương trình (3.18)1 ta có
αt − iβt − γt = 0 (3.20)
trong đó α, β, γ là các ma trận thực đối xứng được xác định như sau
α = K−1
, β = K−1
NT
1 + N1K−1
, γ = N1K−1
NT
1 + N2. (3.21)
3.3 Phương trình tán sắc
Viết phương trình (3.20) dưới dạng thành phần ta được
αkltl − iβkltl − γkltl = 0 (k, l = 1, 2, 3) (3.22)
Nhân cả hai vế phương trình (3.22) với i¯tm (m = 1, 2, 3)
αklitl
¯tm + βkltl
¯tm + γkltl
¯itm = 0 (3.23)
Lấy liên hợp hai vế phương trình (3.23)
αkl
¯it ltm + βkl
¯t ltm + γkl¯tlitm = 0 (3.24)
Cộng vế với vế hai phương trình (3.23) và (3.24) ta suy ra
αkl(itl
¯tm + ¯it ltm) + βkl(tl
¯tm + ¯t ltm) + γkl(tl
¯itm + ¯tlitm) = 0 (3.25)
Đưa vào kí hiệu:
< f, g >=
+∞
0
(f¯g + ¯fg)dy
33

34. Đặt:
Alm =< itl , tm >, Blm =< tl, tm >, Clm =< tl, itm > . (3.26)
Lấy tích phân hai vế phương trình (3.25) theo y từ 0 → +∞ ta
thu được hệ 9 phương trình sau
αklAlm + βklBlm + γklClm = 0. (3.27)
Dưới dạng ma trận (3.27) có dạng
αA + βB + γC = 0 (3.28)
trong đó α, β, γ xác định bởi (3.21), A, B, C là các ma trận vuông cấp
ba với các thành phần được xác định bởi (3.26).
Hoàn toàn tương tự ta sẽ chứng minh A, B, C là các ma trận phản
đối xứng, tức là Alm = −Aml, Blm = −Bml, Clm = −Cml. Thật vậy, ta
có
Clm =< tl, itm >=
+∞
0
(tl
¯itm + ¯tlitm)dy =
+∞
0
(−itl¯tm + ¯tlitm)dy
Cml =< tm, itl >=
+∞
0
(tm
¯itl + ¯tmitl)dy =
+∞
0
(−itm¯tl + ¯tmitl)dy
⇒ Clm + Cml = 0 ⇔ Clm = −Cml.
Alm =< itl , tm >=
+∞
0
(itl
¯tm + ¯it ltm)dy =
+∞
0
(itl
¯tm − i¯t ltm)dy
Aml =< itm, tl >=
+∞
0
(itm
¯tl + ¯it mtl)dy =
+∞
0
(i tm¯tl − i¯t mtl)dy
⇒ Alm + Aml =
+∞
0
(itl
¯tm − i¯t ltm + itm
¯tl − i¯t mtl)dy
= (itl
¯tm−i¯t ltm+itm
¯tl−i¯t mtl)
+∞
0
−
+∞
0
(itl
¯t m−i¯t ltm+itm
¯t l−i¯t mtl)dy
Do điều kiện (3.5) và (3.4) nên suy ra
Alm + Aml = 0 hay Alm = −Aml.
34

35. Hoàn toàn tương tự trong cách chứng minh ta suy ra Blm = −Bml. Vậy
A, B, C là các ma trận phản đối xứng cấp 3. Do đó, chúng có dạng sau
A =
0 a1 a2
−a1 0 a3
−a2 −a3 0
, B =
0 b1 b2
−b1 0 b3
−b2 −b3 0
, C =
0 c1 c2
−c1 0 c3
−c2 −c3 0
trong đó a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 khác 0.
Mặt khác, nhân cả hai vế của phương trình (3.28) với ma trận
K = α−1
ta dẫn về phương trình tương đương sau
A + ˆβB + ˆγC = 0 (3.29)
trong đó
ˆβ = Kβ =







0
G
X
−F
µ − X
−G
η − X
0 0
−F
η − X
0 0







,
ˆγ = Kγ =



(η − X)(−
1
X
+ ˆQ66) 0 0
0 −X ˆQ22 −X ˆQ24
0 (µ − X) ˆQ24 (µ − X) ˆQ44



(3.30)
với kí hiệu:
ˆQ66 = n66 +
s2
6
µ − X
, ˆQ22 = n22 +
r2
2
η − X
, ˆQ24 = n24 +
r2r4
η − X
,
ˆQ44 = n44 +
r2
4
η − X
, ψ =
1
X
−
r2
η − X
, ξ =
r4
η − X
+
s6
µ − X
,
F = [(µ − X)r4 + (η − X)s6], G = η − (1 + r2)X.
(3.31)
Từ (3.30) ta có
ˆβ11 = ˆβ22 = ˆβ33 = ˆβ23 = ˆβ32 = ˆγ12 = ˆγ13 = ˆγ21 = ˆγ31 = 0.
35

36. Khi đó, (3.29) trở thành



−b1
ˆβ12 − b2
ˆβ13 = 0
a1 − b3
ˆβ13 + c1ˆγ11 = 0
a2 + b3
ˆβ12 + c2ˆγ11 = 0
−a1 − c1ˆγ22 − c2ˆγ23 = 0
b1
ˆβ21 − c3ˆγ23 = 0
a3 + b2
ˆβ21 + c3ˆγ22 = 0
a2 + b3
ˆβ12 + c2ˆγ11 = 0
−a2 − c1ˆγ32 − c2ˆγ33 = 0
−a3 + b1
ˆβ31 − c3ˆγ33 = 0
b2
ˆβ31 + c3ˆγ32 = 0
(3.32)
Từ chứng minh ở mục 1.2 suy ra hệ 9 phương trình (3.32) 9 ẩn số
a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 là hệ phụ thuộc tuyến tính. Ta thực hiện
phép biến đổi cộng vế với vế phương trình (3.32)2 và (3.32)4, phương
trình (3.32)3 và (3.32)7, phương trình (3.32)6 và (3.32)8 đồng thời giữ
nguyên phương trình (3.32)1, (3.32)5 và (3.32)9 ta được hệ sáu phương
trình 6 ẩn số đối với b1, b2, b3, c1, c2, c3:



−b1
ˆβ12 − b2
ˆβ13 = 0
b1
ˆβ21 − c3ˆγ23 = 0
b2
ˆβ31 + c3ˆγ32 = 0
−b3
ˆβ13 + c1(ˆγ11 − ˆγ22) − c2ˆγ23 = 0
b3
ˆβ12 − c1ˆγ32 + c2(ˆγ11 − ˆγ33) = 0
b1
ˆβ31 + b2
ˆβ21 + c3(ˆγ22 − ˆγ33) = 0
(3.33)
Nhận xét: Hệ phương trình (3.33) chia thành hai nhóm.
• Nhóm 1 gồm 4 phương trình (3.33)1, (3.33)2, (3.33)3 và (3.33)6 với
3 ẩn số b1, b2, c3.
• Nhóm 2 gồm 2 phương trình còn lại (3.33)4, (3.33)5 với 3 ẩn số
b3, c1, c2.
• Nhóm 1 có phương trình (3.33)3 là tổ hợp tuyến tính của phương
36

37. trình (3.33)1 và (3.33)2. Cụ thể là:
Vế trái (3.33)2.(µ − X) − Vế trái (3.33)1.
µ − X
η − X
.X
= Vế trái (3.33)3.
(3.34)
Do đó, hệ 4 phương trình nhóm 1 tương đương với hệ 3 phương trình
độc lập tuyến tính (3.33)1, (3.33)2 và (3.33)6 của 3 ẩn số b1, b2, c3:



−b1
ˆβ12 − b2
ˆβ13 = 0
b1
ˆβ21 − c3ˆγ23 = 0
b1
ˆβ31 + b2
ˆβ21 + c3(ˆγ22 − ˆγ33) = 0
(3.35)
Để hệ (3.35) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các
hệ số của hệ phương trình này phải bằng không, tức là:
−ˆβ12 −ˆβ13 0
ˆβ21 0 −ˆγ23
ˆβ31
ˆβ21 ˆγ22 − ˆγ33
= 0 (3.36)
Đây chính là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi
trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0.
Khai triển (3.36) ta có:
−ˆβ12
ˆβ21ˆγ23 + ˆβ21
ˆβ13(ˆγ22 − ˆγ33) + ˆβ31
ˆβ13ˆγ23 = 0 (3.37)
Thay (3.30) vào phương trình (3.37) ta suy ra
−
G
X
G
η − X
X ˆQ24 −
G
η − X
F
µ − X
[X ˆQ22 + (µ − X) ˆQ44]
−
F
η − X
F
µ − X
X ˆQ24 = 0
(3.38)
hay
[XF2
+ (µ − X)G2
] ˆQ24 + FG[X ˆQ22 + (µ − X) ˆQ44] = 0. (3.39)
Sử dụng (3.31) vào (3.39) ta có:
(n24 +
r2r4
η − X
) + FG[X(n22 +
r2
2
η − X
) + (µ − X)(n44
+
r2
4
η − X
)] = 0
(3.40)
37

38. ⇔ FG{X[n22(η − X) + r2
2] + (µ − X)[n44(η − X) + r2
4]}+
+ [XF2
+ (µ − X)G2
][n24(η − X) + r2r4] = 0
(3.41)
Phương trình (3.41) là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0. Đó là
phương trình bậc bốn đối với X.
Phương trình tán sắc thu được hoàn toàn trùng với kết quả đã
được công bố gần đây bởi Ting [11] vào năm 2002. Do Ting sử dụng
phương pháp khác nên quá trình tìm ra phương trình tán sắc của ông là
phức tạp hơn.
38

39. KẾT LUẬN
Trong luận văn này, tác giả đã nghiên cứu hai bài toán:
Bài toán 1: Sóng Rayleigh hai thành phần trong môi trường không
nén được có biến dạng trước: đồng thời chịu kéo (nén) và cắt.
Bài toán 2: Sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường mon-
oclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = 0.
Tác giả đã áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm ra phương
trình tán sắc dạng tường minh của các sóng. Đối với bài toán thứ nhất,
lần đầu tiên phương trình tán sắc của sóng được viết dưới dạng tường
minh. Đối với bài toán thứ hai, phương trình tán sắc thu được hoàn toàn
trùng với kết quả tìm ra gần đây bởi Ting [11] tuy nhiên quá trình tìm ra
phương trình tán sắc của Ting phức tạp hơn do tác giả sử dụng phương
pháp khác. Kết quả của bài toán thứ hai cho thấy rằng: Phương pháp
tích phân đầu là một công cụ tốt không chỉ cho sóng Rayleigh hai thành
phần mà cả sóng Rayleigh ba thành phần, trái ngược với nhận định gần
đây của Destrade [3] và Ting [12].
Hướng nghiên cứu tiếp theo:
- Áp dụng phương pháp tích phân đầu để nghiên cứu sóng Rayleigh
ba thành phần mà hiện nay chưa có phương trình tán sắc dạng tường
minh.
- Đối với sóng Rayleigh ba thành phần đã có phương trình tán sắc
dạng tường minh (tìm bằng phương pháp khác phương pháp tích phân
đầu) thì sẽ áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương trình
tán sắc có số bậc thấp hơn số bậc của phương trình tán sắc được tìm ra
bằng các phương pháp khác.
39

40. Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Thị Nam (2007), "Áp dụng phương pháp
tích phân đầu để tìm phương trình tán sắc của sóng Stoneley", Hội
nghị Cơ học lần thứ 8, Hà Nội, pp. 654-663.
[2] S. D. M. Adam et al. (2007)," Rayleigh Waves Guided by Topogra-
phy", Proc. R. Soc. London, Ser. A, 463, pp. 531-550.
[3] M.Destrade (2001), "The explicit secular equation for surface acous-
tic waves in monoclinic elastic crystals", Journal of the Acoustic
Society of America, 109, pp. 1398-1402.
[4] M. Destrade (2004), "Rayleigh waves in anisotropic crystals rotat-
ing about the normal to a symmetry plane", Jourmal of Applied
Mechanics, 71(4), pp. 516 - 520.
[5] M. Destrade, R. W. Ogden (2005), "Surface waves in a stretched
and sheared incompressible elastic material", International Journal
of Non-Linear Mechanics, 40, pp. 241 - 253.
[6] P. Malischewsky (2004), "A note on Rayleigh-wave velocities as a
function of the material parameters", Geoficica international, 43,
pp. 507 - 509.
[7] V. G. Mozhaev (1995), "Some new ideas in the theory of sur-
face acoustic waves in anisotropic media", IUTAM Symposium on
Anisotropy, Inhomogeneity and Nonlinerity in Solids, edited by D.
F. Parker and A. H. England, pp. 455 - 462.
40

41. [8] P. Hess (2002), "Surface acoustic waves in materials science",
Physics Today, 55(3), pp. 42 - 47.
[9] L. Rayleigh (1885), "On waves propagated along the plane surface
of an elastic solid", Proc. R. Soc. London, 17, pp. 4 - 11.
[10] T. C. T. Ting (1996), "Anisotropic elasticity: theory and applica-
tions", Oxford university press, pp. 509 - 511.
[11] T. C. T. Ting (2002), "Explicit secular equation for surface waves
in monoclinic materials with the symmetry plane at x1 = 0, x2 = 0
or x3 = 0", Proc. R. Soc. Lond. A, 458, pp. 1017 - 1031.
[12] T. C. T. Ting (2004), "Explicit secular equation for surface waves in
an anisotropic elastic half - space from Rayleigh to today", Surface
waves in anisotropic and laminated bodies and defects detection,
NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., Kluwer Academic Publisher,
Dordrecht, 163, pp. 95 - 116.
[13] T. C. T. Ting (2005), "The polarization vectors at the interface and
the secular equation for stoneley waves in monoclinic bimaterials",
Proc. R. Soc. A, 461, pp. 711 - 731.
[14] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue, Dinh Van Quang, Nguyen
Thi Khanh Linh, Nguyen Thi Nam (2010), "Method of first inter-
grals and interface Surface Waves", Vietnam Journal of Mechanics,
VAST, 32(2), pp. 107 - 120.
41