Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -
HÀ THỊ LY
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2015

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -
HÀ THỊ LY
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - 2015

3. Mục lục
Mở đầu 3
1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân. 5
1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 6
1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov 11
1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình
vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.4 Một số ví dụ về phương pháp số mũ . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . 26
1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . 28
1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . 30
1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov-Bagdanov để
nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực 34
2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái
niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . . 35
2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Tập ω - giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1

4. 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov . . . . . 39
2.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f(p, t) . . . . . . . 42
2.2.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Kết luận 52
2

5. Mở đầu
Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta
thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến
hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trường
hợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực
tuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khó
khăn, phức tạp. Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khác
nhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1]).
Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới
việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết
định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov
hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên
cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.
Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính
- Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũ
Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov.
- Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc
trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov và tính ổn định của hệ động lực tổng
quát trong không gian mêtric.
Bố cục luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Bagdanov để nghiên
cứu tính ổn định của các hệ động lực.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy -
người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi
trong việc hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,
3

6. trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều
tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục
học tập và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa
vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản
luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Hà Thị Ly
4

7. Chương 1
Sử dụng các phương pháp Lyapunov
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của các hệ phương trình vi phân.
Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một
trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Để
xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của
hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học
Nga A.M. Lyapunov. Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918
(xem [2]) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện
và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học
tự nhiên.
Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày
lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định
chuyển động của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4]) và
phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8]). Dựa vào các phương pháp cơ bản
này người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để áp
dụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10]). Một trong các
mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trong
bản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov
(xem [6], [11]). Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2.
Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trình
nghiên cứu gần đây là "bình luận" về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lại
trong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Trong khuôn khổ của một bản
luận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đề
này. Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ với
mục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này cho
bài toán nhiễu.
5

8. Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi xin đưa ra một số khái niệm về
tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương
trình vi phân
1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi
phân
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (1.1)
trong đó t ∈ R+, x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → B với D là miền đơn liên trong
không gian Banach B. Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm
của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau:
Định nghĩa 1.1. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định trên I, khả vi liên
tục theo t ∈ I) được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được
một đồng nhất thức trên I. Tức là
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), ∀t ∈ I.
Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0, x0) ∈ I × B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x(τ))dτ. (1.2)
Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng
nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.Sau đây ta ký hiệu:
S(ε,η) = (t, x) ∈ R+
× B : |t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ η ,
với ε > 0, η > 0 là lân cận đóng của điểm (t0, x0). Khi đó ta có định lý tồn tại
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau:
Định lý 1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàm f(t, x)
liên tục theo t, ||f(t, x0)|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f(t, x2) − f(t, x1)|| ≤ M||x2 − x1||, (1.3)
M là một hằng số hữu hạn.
Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy
nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0.
6

9. Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ε > 0, η > 0 sao cho trong miền
|t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ η, ta có:
||f(t, x)|| ≤ ||f(t, x0)|| + ||f(t, x) − f(t, x0)||
≤ ||f(t, x0)|| + Mη ≤ M1 < +∞.
Lấy δ = min ε, η
M1
và ký hiệu Cδ(B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t)
xác định trên |t − t0| ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup
|t−t0|≤δ
||x(t)||.
Gọi Bη (x0) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0||| ≤ η}.
Xét toán tử:
(Sx)(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x(τ))dτ.
Ta có:
||(Sx)(t) − x0|| = ||
t
t0
f(τ, x(τ))dτ|| ≤ ||t − t0|| sup
τ∈[t0,t]
||f(τ, x(τ))||
≤ δM1 ≤ η.
Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη.
Hơn nữa, với x1, x2 ∈ Bη, từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá:
||(Sx2)(t) − (Sx1)(t)|| ≤
t
t0
||f(τ, x2(τ)) − f(τ, x1(τ))||dτ
≤ M
t
t0
||x2(τ) − x1(τ)||dτ ≤ M(t − t0)|||x2 − x1|||.
Mặt khác ta lại có:
|| S2
x2 (t) − S2
x1 (t) || ≤ M
t
t0
|| (Sx2) (τ) − (Sx1) (τ) ||dτ
≤ M2
|||x2 − x1|||
t
t0
(τ − t0) dτ
=
[M (t − t0)]2
2!
|||x2 − x1|||.
Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:
|| (Sn
x2) (t) − (Sn
x1) (t) || ≤
[M (t − t0)]n
n!
|||x2 − x1|||
||Sn
x2 − Sn
x1|| ≤
[δM]n
n!
|||x2 − x1|||.
7

10. Do [δM]n
n! → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì Sn là toán tử co trong Bη. Do
đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta có thể suy ra rằng phương trình tích phân
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x(τ))dτ.
Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm duy nhất. Do đó tồn tại duy nhất nghiệm
x(t) ∈ Bη(x0).
Định lý 1.2. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy).
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện ||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r
r0
dr
L (r)
→ ∞, khi r → ∞,
khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian
vô hạn t0 ≤ t < ∞.
Chứng minh. Vì
||
x(t2) − x(t1)
t2 − t1
|| ≥
||x(t2)|| − ||x(t1)||
t2 − t1
⇒ ||
dx
dt
|| ≥
d||x||
dt
.
Mặt khác ta có
d (x)
dt
= f (t, x (t)) ,
và
f (t, x) ≤ L ( x ) ,
nên ta suy ra
L ( x ) ≥
d x
dt
.
Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0) đến điểm x
theo chiều tăng của t ta được:
t
t0
dr ≥
t
t0
d x
dt
·
1
L ( x )
dr
⇒ t − t0 ≥
x
x0
dr
L( x )
.
8

11. Bằng cách đổi biến p = x , ta có
p
p0
dp
L(p)
=
x
x0
d x
L( x )
.
Khi đó từ giả thiết của định lý
p
p0
dp
L(p)
→ ∞, khi p → ∞. Ta suy ra:
* Nếu p = x(t) → ∞ khi t → ∞ thì định lý được chứng minh.
* Ngược lại nếu r < ∞, ∀t ∈ R thì nghiệm đã được kéo dài.
1.1.2 Hệ rút gọn
Trong không gian Banach B xét hệ phương trình vi phân
dy
dt
= Y (t, y) , (1.4)
với Y ∈ C
(0,1)
ty (Ω) và Ω = {(t, y) |a < t < ∞, y ∈ B} .
Trong đó, mỗi điểm (t0, y0) đối với hệ (1.4) với điều kiện ban đầu y (t, t0, y0) =
y0. Trong phần này ta giới hạn chỉ xét nghiệm thực.
Giả sử η = η (t) (a < t0 < ∞) là nghiệm của hệ (1.4) và ta cần nghiên cứu tính
ổn định của nó. Gọi UH(η(t)) là lân cận của nghiệm đó sao cho UH(η(t)) ⊂ B với
t ∈ [0, +∞), trong đó
UH(η(t)) = {t0 ≤ t < +∞ : y − η (t) < H < ∞} .
Ta đặt
x = y − η (t) ,
tức x là nghiệm lệch của nghiệm y đối với nghiệm η.Vì
˙η ≡ Y (t, η (t)) ,
nên ta nhận được phương trình vi phân đối với x
dx
dt
= G (t, x) , (1.5)
trong đó,
G (t, x) = [Y (t, x + η (t)) − Y (t, η (t))] ∈ C
(0,1)
tx (H0) ,
H0 = {a < t < ∞, x < H1 < +∞} .
Hơn nữa, rõ ràng G (t, 0) = 0. Do đó, hệ (1.5) có nghiệm tầm thường x ≡ 0
tương ứng với nghiệm đã cho η = η (t). Hệ (1.5) được gọi là hệ rút gọn (hoặc
hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu). Như vậy, sự nghiên cứu tính ổn
định của nghiệm η = η (t) được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm
thường x ≡ 0.
9

12. 1.1.3 Các khái niệm về ổn định
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân chúng ta thường áp
dụng các phương pháp của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov hoặc
phương pháp hàm Lyapunov. Trước hết chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm về
sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.5) được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5) được
gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+; ∃δ = δ (t0, δ) > 0:
∀x0 ∈ H0; x0 < δ ⇒ x (t, t0, x0) < ε; ∀t ≥ t0.
Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2) có thể
chọn không phụ thuộc vào t0.
Định nghĩa 1.4. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ H0 và x0 < ∆ thì
lim
t→+∞
x (t, t0, x0 (t)) = 0.
Định nghĩa 1.5. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại ∆ = ∆ (t0) > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ H0 và
x0 < ∆ thì
lim
t→∞
x (t, t0, x0 (t)) = 0.
Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu như mọi nghiệm x (t) = x (t, t0, x0) của
phương trình (1.5) luôn thỏa mãn bất đẳng thức
x (t) ≤ M.e−λ(t−t0)
. x0 ; ∀t ≥ t0,
trong đó M,λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0.
Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định mũ đều khi t → ∞ nếu như số M ở trên không phụ thuộc
vào t0.
Nhận xét:
1. Nghiệm ổn định đều suy ra ổn định theo Lyapunov.
2. Nghiệm ổn định tiệm cận đều suy ra ổn định đều.
3. Nghiệm ổn định mũ suy ra ổn định tiệm cận và nghiệm ổn định tiệm cận suy
ra ổn định theo nghĩa Lyapunov.
Trên đây là một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình
vi phân. Mục tiếp theo chúng tôi trình bày các phương pháp để xét tính ổn định
nghiệm của phương trình vi phân. Trước tiên là phương pháp số mũ Lyapunov.
10

13. A. Phương pháp số mũ Lyapunov
1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng
Lyapunov
Cho một hàm giá trị phức f(t) xác định trên khoảng [t0, +∞).
Định nghĩa 1.8. Định nghĩa về giới hạn trên.
Số α được gọi là giới hạn trên của hàm f(t) khi t → +∞ nếu α là số lớn nhất
trong các giới hạn riêng của hàm f(t), ký hiệu α = lim
t→+∞
f(t).
Định nghĩa 1.9. Định nghĩa về số mũ đặc trưng Lyapunov.
Số (hoặc ký hiệu ±∞) được xác định bởi công thức
χ [f] = lim
t→∞
1
t
ln |f (t)| , (1.6)
được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm f(t) (hay số mũ đặc trưng).
Ví dụ 1.1. Áp dụng công thức (1.6) ta được
χ [tm] = 0; χ [exp (±) sin t] = 1;
χ [c = 0] = 0; χ [exp (−t exp sin t)] = −e−1;
χ exp t cos 1
t = 1; χ tt = ∞;
χ exp −t cos 1
t = −1; χ t−1 = −∞.
Quy ước: χ [0] = −∞.
Lưu ý một số tính chất:
1. χ [f] = χ [|f|] .
2. χ [cf] = χ [f] , |c| = 0.
3. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a thì χ [f] ≤ χ [F] .
Bổ đề 1.1. χ [f] = α = ±∞ khi và chỉ khi với mọi ε ≥ 0 hai điều kiện sau đồng
thời xảy ra
1. lim
t→∞
|f (t)|
exp (α + ε) t
= 0. (1.7)
2. lim
t→∞
|f (t)|
exp (α − ε) t
= ∞. (1.8)
11

14. Chứng minh. Điều kiện cần: Cho
χ [f] = lim
t→∞
1
t
ln |f (t)| = α. (1.9)
Từ (1.9) cho ε > 0 cố định, tồn tại T > 0 sao cho với mọi t > T, ta có
1
t
ln |f (t)| < α +
ε
2
.
Suy ra |f(t)| < exp α + ε
2 t.
Do đó, ta có
lim
t→∞
|f (t)|
exp α + ε
2 t exp ε
2t
≤ lim
t→∞
exp −
ε
2
t = 0.
Vậy điều kiện (1.7) là thỏa mãn.
Cho dãy tk → ∞ khi k → ∞, thực hiện đẳng thức (1.9), tồn tại N > 0 sao cho
với k > N, ta có
ln |f (tk)| > α −
ε
2
tk,
hoặc
|f (tk)| > exp α −
ε
2
tk.
Do đó, ta có
lim
k→∞
|f (tk)|
exp (α − ε) tk
= lim
k→∞
|f (tk)|
exp α − ε
2 tk
exp
ε
2
tk
≥ lim
k→∞
exp
ε
2
tk = ∞.
Vậy (1.8) đúng.
Điều kiện đủ. Từ (1.7) cho t đủ lớn để có |f (t)| < exp (α + ε) t và khi ε > 0 tùy
ý, ta có
χ [f] ≤ α.
Bây giờ ta cho dãy tk → ∞ khi k → ∞, thỏa mãn (1.8). Do đó với k đủ lớn thì
|f (tk) | > exp (α − ε) tk.
Ta có
χ [f] ≥ lim
k→∞
1
tk
ln |f (tk) | ≥ α − ε.
Do đó, ta có
χ [f] ≥ α.
Như vậy nếu điều kiện (1.7) và (1.8) đồng thời thỏa mãn thì χ [f] = α.
12

15. Chú ý 1.1. Từ bổ đề trên, nếu χ [f] = α thì khi t → ∞, |f(t)| sẽ tăng chậm hơn
bất kỳ hàm mũ y2 = e(α+ε)t nào với ε > 0 và theo một dãy tk → ∞ nào đó |f(t)|
sẽ tăng nhanh hơn bất kỳ hàm mũ y2 = e(α−ε)t.
Định lý 1.3. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các hàm fk(t), k = 1, 2, ..., n
không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các hàm đó và
trùng với số đó nếu chỉ có một hàm số có số mũ đặc trưng bằng với số lớn nhất
đó.
Chứng minh. 1. Giả sử max
k
χ [fk] = α = ±∞.
Xét
lim
t→∞
n
k=1
fk (t)
exp (α + ε) t
≤
n
k=1
lim
t→∞
|fk (t)|
exp (α + ε) t
= 0.
Do đó,
χ
n
k=1
fk (t) ≤ α. (1.10)
2. Giả sử α = χ [fl (t)] > χ [fk (t)] = αk, k = l.
Theo bổ đề (1.1), tồn tại một dãy tm → ∞ khi m → ∞ mà
lim
m→∞
|fl (tm)|
exp (α − ε) tm
= ∞.
Vì αk = −∞, ta có
n
k=1
fk (tm)
exp (α − ε) tm
≥
|fl (tm)|
exp (α − ε) tm
−
k=l
|fk (tm)|
exp (αk + ε) tm exp (α − αk − 2ε) tm
.
Vì 0 < ε < min
k=l
α − αk
2 số hạng thứ hai ở vế phải của bất đẳng thức cuối
cùng tiến đến 0 và số hạng đầu tiên tiến đến vô cùng khi m → ∞. Do đó,
χ
n
k=1
fk (t) ≥ α.
So sánh bất đẳng thức này với chứng minh ở mục 1, ta có
χ
n
k=1
fk (t) = α.
Chú ý 1.2. Bất đẳng thức (1.10) về hình thức vẫn đúng nếu tồn tại αk = +∞
hoặc −∞.
13

16. Định lý 1.4. Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn các hàm fk(t), k =
1, 2, ..., n không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của các hàm đó, tức là
χ
n
k=1
fk (t) ≤
n
k=1
χ [fk (t)]. (1.11)
Chú ý 1.3. Ta giả thiết rằng +∞ và −∞ là không có đồng thời trong số mũ
đặc trưng.
Chứng minh. Ta có
χ
n
k=1
fk (t) = lim
t→∞
1
t ln
n
k=1
fk (t) = lim
t→∞
1
t ln
n
k=1
|fk (t)|
= lim
t→∞
n
k=1
1
t ln |fk (t)| ≤
n
k=1
lim
t→∞
1
t ln |fk (t)| =
n
k=1
χ [fk (t)].
Vậy ta có (1.11).
Ví dụ 1.2. 1. χ ete−4t = χ e−3t = −3 hoặc χ ete−4t = χ et + χ e−4t =
1 − 4 = −3.
2. χ et cos te−t cos t = χ [1]. Trong khi đó,
χ et cos t
e−t cos t
< χ et cos t
+ χ e−t cos t
= 2.
Định nghĩa 1.10. Số mũ đặc trưng của f(t) được gọi là chặt nếu tồn tại giới
hạn hữu hạn
lim
t→∞
1
t
ln |f (t)| = α. (1.12)
Định lý 1.5. Hàm f(t) có số mũ đặc trưng chặt khi và chỉ khi
χ [f] + χ
1
f
= 0. (1.13)
Chú ý 1.4. Trong trường hợp này hiển nhiên f (t) = 0 với t > T.
Chứng minh. Điều kiện cần. Từ (1.12) ta có:
−χ [f] = − lim
t→∞
1
t
ln |f (t)| = lim
t→∞
1
t
ln
1
f (t)
= χ
1
f
.
Suy ra (1.13).
Điều kiện đủ. Ta có
χ
1
f
= lim
t→∞
1
t
ln
1
f (t)
= lim
t→∞
1
t
ln |f (t)|
(1.8)
= − lim
t→∞
1
t
ln |f (t)| = −χ [f] .
14

17. Định lý 1.6. Nếu một hàm f(t) có số mũ đặc trưng chặt thì số mũ đặc trưng
của tích của các hàm f(t) và g(t) bằng tổng các số mũ đặc trưng của chúng.
χ [fg] = χ [f] + χ [g] . (1.14)
Chứng minh. Theo Định lý 1.4, ta có
χ [fg] ≤ χ [f] + χ [g] .
Đồng thời ta có
χ [g] = χ gf
1
f
≤ χ [fg] − χ [f] ,
suy ra
χ [g] + χ [f] ≤ χ [fg] .
Bất đẳng thức này cùng với điều kiện đầu tiên cho (1.14).
Hệ quả 1.1. χ eαtf(t) = α + χ [f (t)].
Bây giờ ta xét số mũ đặc trưng của một tích phân. Một cách tự nhiên nó sẽ
liên quan đến số mũ đặc trưng của hàm dưới dấu tích phân.
Cho F (t) =
t
t0
eατ dτ.
Với α > 0, F (t) = 1
α eαt − eαt0
⇒ χ [F] = α.
Với α = 0, F (t) = t − t0 ⇒ χ [F] = α.
Với α < 0,F (t) = 1
α eαt − eαt0
⇒ χ [F] = 0.
Khi xét số mũ đặc trưng của tích phân, ta đặt
F (t) =



t
t0
f (τ) dτ, χ [f] ≥ 0,
t
∞
f (τ) dτ, χ [f] < 0.
Định lý 1.7. Số mũ đặc trưng của một tích phân không vượt quá số mũ đặc
trưng của hàm dưới dấu tích phân.
Chứng minh. Cho χ [f] = α = ±∞. Theo Bổ đề 1.1, với mọi ε > 0, ta có |f (t)| ≤
Me(α+ε)t, t ≥ t0, ở đây M là hằng số phụ thuộc ε.
1. Cho ε > 0 thì
|F (t)| ≤
t
t0
|f (τ)| dτ ≤
t
t0
Me(α+ε)τ
dτ
=
M
α + ε
e(α+ε)t
− e(α+ε)t0
<
M
α + ε
e(α+ε)t
.
15

18. Do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng, ta có χ [F] ≤ α + ε, trong đó ε tùy ý
kéo theo:
χ [F] ≤ α = χ [f] .
2. Bây giờ cho α < 0 và 0 < ε < |α|, thì
|F (t)| ≤
∞
t
|f (τ)| dτ ≤
∞
t
Me(α+ε)τ
dτ =
Me(α+ε)t
|α + ε|
.
Tương tự trên, ta có:
χ [F] ≤ α = χ [f] .
3. Phát biểu của định lý trên vẫn đúng cho α = +∞ hoặc α = −∞.
1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận
Ta xét ma trận
F (t) = {fij (t)} , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m; m ≤ n,
được xác định trên [t0, ∞).
Định nghĩa 1.11. Số (hoặc ký hiệu ±∞) được xác định bởi công thức
χ [F] = max
i,j
χ [fij] ,
được gọi là số mũ đặc trưng của ma trận F(t).
Bổ đề 1.2. Số mũ đặc trưng của một ma trận hữu hạn chiều trùng với số mũ
đặc trưng của chuẩn của nó, tức là
χ [F] = χ [ F ] .
Ở đây chuẩn của ma trận A có thể hiểu một trong ba chuẩn sau:
A I = max
j k
|ajk|;
A II = max
k j
|ajk|; A III =
m
j,k
ajk
2
1/2
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho ba chuẩn ở trên.
Ta có |fij| ≤ F (t) , t ∈ [t0, ∞) , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m.
Điều này rõ ràng là đúng với các chuẩn F (t) I và F (t) II và với chuẩn thứ
ba ta có
max
i
m
j=1
|fij (t)|2
1/2
≤ F (t) III.
16

19. Từ hai bất đẳng thức này, do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng, ta có
χ [F] ≤ χ [ F ] . (1.15)
Đồng thời
F (t) ≤
i,j
|fij (t)|.
Điều này rõ ràng đúng với hai chuẩn đầu và với chuẩn thứ ba ta sử dụng bất
đẳng thức
F (t) III ≤
i,j
|fij (t)|2
1/2
.
Từ hai bất đẳng thức cuối ta có
χ [ F ] ≤ χ [F] . (1.16)
So sánh (1.15) và (1.16) ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2. Cho x(t) là một hàm véc tơ xác định với t ∈ [t0, ∞), khi đó
χ [x] = lim
t→∞
1
t
ln x (t) .
Định lý 1.8. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các ma trận không vượt
quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của ma trận thành phần và trùng
với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất đó.
Chứng minh. Cho F (t) =
N
k=1
Fk (t), thì
F (t) =
N
k=1
Fk (t) .
Do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng và theo Định lý 1.3, ta có
χ [ F (t) ] ≤ χ
N
k=1
Fk (t) ≤ max
k
χ [ Fk (t) ] = max
k
χ [Fk (t)] .
Vậy điều đầu tiên của định lý được chứng minh.
Bây giờ cho χ [F1] > χ [Fk] , k > 1 và số mũ đặc trưng này được cho bởi phần
tử f
(1)
pq (t) của ma trận F1(t). Ở đây F (t) = {fij (t)} và Fk (t) = fk
ij
(t) . Theo quy
tắc cộng ma trận
fpq (t) = f(k)
pq
(t),
17

20. và theo Định lý 1.3, ta có
χ [fpq] = χ f(1)
pq
.
Đồng thời,
χ [F] ≥ χ [fpq] = χ [F1] = max
k
χ [Fk] .
So sánh bất đẳng thức này với kết quả đầu tiên của định lý, ta được
χ [F] = max
k
χ [Fk] .
Định lý 1.9. Số mũ đặc trưng của một tích hữu hạn các ma trận không vượt
quá tổng của các ma trận thành phần, tức là
χ
N
s=1
Fs (t) ≤
N
s=1
χ [Fs (t)].
Chứng minh. Cho F (t) =
N
s=1
Fs (t) do đó F (t) ≤
N
s=1
Fs (t) . Sử dụng định lý
(1.4) ta thu được
χ [F] = χ [ F ] ≤
N
s=1
χ [ Fs ] =
N
s=1
χ [Fs] .
Hệ quả 1.3. Số mũ đặc trưng của tổ hợp tuyến tính một số ma trận
s
CsFs (t), (Cs = 0) ,
không vượt quá số mũ đặc trưng lớn nhất trong số các số mũ của các ma trận
đó và trùng với với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất
đó.
1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ
phương trình vi phân tuyến tính
1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính
Đầu tiên ta chứng minh một định lý có tính tổng quát.
18

21. Định lý 1.10. Nghiệm không tầm thường của hệ chuẩn tắc
˙x = f (t, x) , x ∈ Rn
, f (t, x) ≤ L x ,
có số mũ đặc trưng hữu hạn.
Chứng minh. Cho x = (x, x)1/2
và xét nhiệm tầm thường x(t).Ta có
d x 2
dt = |( ˙x, x)| + |(x, ˙x)| = 2 |Re ( ˙x, x)|
= 2 |Re(f (t, x) , x)| ≤ 2L x 2
.
Do đó,
−2L ≤
d x 2
dt
x 2
≤ 2L.
Lấy tích phân bất đẳng thức cuối từ t0 đến t, ta được
−2L (t − t0) ≤ 2 ln x (t) − 2 ln x (t0) ≤ 2L (t − t0) .
Chia cho t và cho t → ∞, ta được
−L ≤ χ [ x ] ≤ L.
Bây giờ ta xét hệ tuyến tính
˙x = A (t) x, x ∈ Rn
, A ∈ C [t0, ∞) . (1.17)
Định lý 1.11. Nếu sup
t
A (t) ≤ M thì nghiệm không tầm thường x(t) của hệ
tuyến tính (1.17) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ χ [x] ≤ M.
Chứng minh. Vế phải của hệ tuyến tính thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.10
với hằng số L = M. Do đó, theo Định lý 1.10, ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.12. Các hàm véc tơ x1(t), x2(t), ..., xm(t) được định nghĩa trên khoảng
[t0, ∞), có các số mũ đặc trưng hữu hạn và khác nhau là độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Ta xét tổ hợp tuyến tính của các véc tơ này với một tập hợp các
hệ số không tầm thường. Theo Định lý 1.3, số mũ đặc trưng của tổng này bằng
max
i
χ [xi] = ±∞, do đó tổ hợp tuyến tính này không thể đồng nhất bằng 0.
Hệ quả 1.4. Các nghiệm của một hệ tuyến tính không thể có nhiều hơn n số
mũ đặc trưng khác nhau.
Định nghĩa 1.12. Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng riêng (tức là khác +∞
và −∞) của các nghiệm của một hệ vi phân được gọi là phổ của hệ đó.
19

22. Chú ý 1.5. Một hệ không tuyến tính có thể có một phổ hữu hạn
t ˙x = x ln x ⇒ x = exp ct.
Bổ đề 1.3. Số mũ đặc trưng của một nghiệm có thể được tính bằng cách dùng
dãy số nguyên theo công thức
χ [x] = lim
n→∞
1
n
ln |x (n)| , (1.18)
ở đây n là số tự nhiên.
Chứng minh. Rõ ràng
lim
n→∞
1
n
ln |x (n)| ≤ lim
n→∞
1
n
ln x (t) = χ [x] .
Nếu ta chỉ ra một dãy số nguyên nk → ∞, (k → ∞) mà
lim
x→∞
1
nk
ln x (nk) ≥ χ [x] , (1.19)
thì bổ đề sẽ được chứng minh vì dãy thỏa mãn đẳng thức (1.18).
Cho tk → ∞ là một dãy có giới hạn trên trong định nghĩa của số mũ đặc
trưng,
lim
k→∞
1
tk
ln x(tk) = χ [x] .
Xét tập hợp nk = [tk] và chứng tỏ dãy này là cần tìm. Thật vậy,
rk =
1
tk
ln x (tk) −
1
nk
ln x (nk)
=
ln ( x (t) )
t t=ξ∈(nk,tk)
(nk − tk)
=
x (t)
x (t) t
−
ln ( x (t) )
t2
t=ξ
(nk − tk) .
Chúng ta đánh giá giá trị của rk, sử dụng các dữ kiện:
a. x
d x(t)
dt ≤ M x 2
(xem định lý (1.10)),
b. Với t đủ lớn, bất đẳng thức ln x(t)
t ≤ 2M đúng.
Thậy vậy, ta có
−3M
nk
+
1
tk
ln x (tk) ≤
1
nk
ln x (nk) ≤
1
tk
ln x (tk) +
3M
nk
.
Theo nguyên lý hội tụ kẹp, lim
k→∞
1
nk
ln x (nk) tồn tại, và từ giới hạn ở vế trái
của bất đẳng thức cuối cùng ta có điều phải chứng minh.
20

23. Hệ quả 1.5. Đối với nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.17) các mệnh đề sau
đây luôn đúng.
a. Nếu các số mũ Lyapunov χ[x] < 0 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là
ổn định tiệm cận.
b. Nếu A(t) = (aij)n×n và phương trình đặc trưng |A − λI| = 0 có phần thực
của các giá trị riêng là âm, tức là Reλj(A) < 0 thì hệ đã cho là ổn định tiệm cận
theo số mũ đăc trưng Lyapunov.
1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov
Cho X(t) = {x1(t), x2(t), ..., xn(t)} là một cơ sở hoặc hệ nghiệm cơ bản của hệ
(1.17), σX là tổng của các số mũ đặc trưng của nó.
Định lý 1.13. (Lyapunov)
Cho hệ cơ bản X(t) bất kỳ, ta có bất đẳng thức
σX ≥ χ

e
t
t0
SpA(τ)dτ

 = lim
t→∞
1
t
t
t0
ReSpA (u) du. (1.20)
Chứng minh. Theo công thức Ostrogradskii-Liouville, ta có
DetX (t) = DetX (t0) exp
t
t0
SpA (τ) dτ.
Do đó,
χ [DetX] = χ

exp
t
t0
SpA (τ) dτ

 .
Định thức là tổng của n! số hạng, mà mỗi số hạng là tích của n phần tử của
ma trận từ các cột khác nhau. Từ đây và định lý (1.3) và (1.4), ta có
χ [DetX] ≤
m
s=1
rsαs = σX.
Điều này cho thấy (1.20) đúng.
Chú ý 1.6. Bất đẳng thức (1.20) được gọi là bất đẳng thức Lyapunov cho tổng
của các số mũ đặc trưng của hệ cơ bản hoặc cơ sở.
Hệ quả 1.6. Nếu với một số cơ sở đẳng thức Lyapunov đúng thì cơ sở này là
chuẩn tắc.
Chú ý 1.7. Tồn tại cơ sở chuẩn tắc sao cho đẳng thức Lyapunov không đúng.
21

24. 1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov
Xét hệ
˙x = A (t) x, (1.21)
ở đây x ∈ Rn, A ∈ C [t0, ∞) , sup
t≥t0
A (t) ≤ M,
và phép biến đổi
x = L(t)y, (1.22)
Trong đó L(t) là ma trận không suy biến và khả vi liên tục với t ≤ t0. Thay
(1.22) vào hệ (1.21) ta thu được hệ tuyến tính
˙y = B(t)y. (1.23)
B (t) = L−1
(t) A (t) L (t) − L−1
(t) ˙L (t) . (1.24)
Định nghĩa 1.13. Phép biến đổi (1.22) được gọi là phép biến đổi Lyapunov
nếu:
1. L ∈ C1 [t0, ∞).
2. L(t), L−1(t), ˙L(t) bị chặn với mọi t ≤ t0. Ma trận L(t) có các tính chất này
được gọi là ma trận Lyapunov.
Chú ý một số tính chất của phép biến đổi Lyapunov.
1. Các phép biến đổi Lyapunov tạo thành một nhóm.
2. Các phép biến đổi Lyapunov không làm thay đổi số mũ đặc trưng.
3.
lim
t→∞
1
t
t
t0
ReSpA (τ) dτ = lim
t→∞
1
t
t
t0
ReSpB (τ) dτ,
lim
t→∞
1
t
t
t0
ReSpA (τ) dτ = lim
t→∞
1
t
t
t0
ReSpB (τ) dτ.
Nhận xét 1.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng
˙x = A(t)x, t ≥ 0, x ∈ Rn
. (1.25)
Do phép biến đổi Lyapunov L(t) không làm thay đổi số mũ đặc trưng nên
chúng ta có thể ứng dụng tính chất này để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm
tầm thường của hệ (1.25) trong trường hợp sau đây. Giả sử nhờ phép biến đổi
Lyapunov hệ (1.25) có thể đưa được về hệ
˙y = By, trong đó B = (bij)m×n là ma trận hằng. (1.26)
Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj(B) của hệ (1.26)
đều có phần thực âm, tức là
Reλj(B) < 0, j = 1, 2, ..., n,
khi đó nghiệm tầm thường của (1.26) là ổn định tiệm cận thì từ tính giới nội của
L(t) và L−1(t) ta có thể suy ra tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường
của hệ (1.25).
22

25. 1.4.4 Một số ví dụ về phương pháp số mũ
Ví dụ 1.3. Xét phương trình tiến hóa (xem [3], [5]).
u(t) = T(t − s)x +
t
s
T(t − τ)F(τ, u(τ))dτ. (1.27)
Ta lấy
f(t, x) = F(t)x,
trong đó F : R+ → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn thỏa mãn điều kiện
+∞
0
F(t) dt < ∞, (1.28)
thì ta có thể nhận được một hệ động lực tuyến tính
u : ∆T × B → B,
trong đó ∆T = {(t, s) : T ≥ t ≥ s ≥ 0}.
Hệ động lực này được xác định bởi
U(t, s) : x → u(t).
Trong đó u(t) là nghiệm của (1.27). Hệ động lực này được gọi là họ toán tử
tiến hóa liên tục mạnh (xem [3]) có các tính chất sau đây:
a. Với mỗi (t, s) ∈ ∆T , U(t, s) : B → B là tuyến tính và bị chặn,
b. U(t, t) = I,
c. U(t, τ) = U(t, s)U(s, τ), ∀(t, s) ∈ ∆T .
Để nghiên cứu tính ổn định của họ các toán tử tiến hóa ta có thể áp dụng
phương pháp số mũ tổng quát hoặc số mũ Boole (xem [8]). Tuy nhiên trong
trường hợp đơn giản ta có thể sử dụng trực tiếp phương pháp số mũ Lyapunov.
Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho điều đó.
Ví dụ 1.4. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ



˙x = −2x + y +
1
1 + t2
xy,
˙y = −x − 2y +
1
2 + t2
(x2 + y2).
(1.29)
Ta thấy
+∞
0
1
1 + t2
dt < +∞;
+∞
0
1
2 + t2
dt < +∞, ∀t ∈ R+
. (1.30)
Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ (1.29) ta xét hệ thu gọn
˙x = −2x + y,
˙y = −x − 2y.
(1.31)
23

26. Ta có |A − λE| = (2 + λ)2 + 1. Khi đó ma trận A có 2 giá trị riêng là
λ1 = −2 + i; λ2 = −2 − i.
Hệ nghiệm cơ bản là
(x1(t), y1(t)) = (e−2t
cost, −e−2t
sint),
(x2(t), y2(t)) = (e−2t
sint, e−2t
cost).
Nghiệm tổng quát của hệ có dạng
x(t) = C1e−2tcost + C2e−2tsint,
y(t) = −C1e−2tsint + C2e−2tcost.
Vì
χ [x(t)] = lim
t→∞
1
t
ln e−2t
(C1cost + C2sint) = −2,
χ [y(t)] = lim
t→∞
1
t
ln e−2t
(−C1sint + C2cost) = −2,
nên
max{ χ [x(t)] , χ [y(t)]} = −2.
Từ đó ta có thể suy ra
|x(t)| ≤ M1e−2t
, |y(t)| ≤ M2e−2t
.
Nên nghiệm tầm thường (0, 0) của hệ (1.31) ổn định tiệm cận. Do vậy (1.29)
cũng ổn định tiệm cận tại nghiệm tầm thường (0, 0).
Nhận xét 1.2. Để sử dụng phương pháp số mũ đặc trưng cho các hệ phương
trình phi phân tuyến tính có nhiễu chúng ta có thể sử dụng phương pháp xấp xỉ
thứ nhất Lyapunov. Sau đây chúng tôi xin nhắc lại kết quả đó của Lyapunov.
Cùng với hệ (1.17) ta xét phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu
dx
dt
= A(t)x + f(t, x),
trong đó t ∈ R+, A ∈ C(R+, Mn(R) và f : R+ × Rn → Rn thỏa mãn điều kiện:
f(t, x) ≤ α(t) x ,
với α ∈ C(R+, R+) và
∞
0
α(t)dt < +∞. Khi đó trong [4] đã chứng minh kết quả
sau đây:
a. Nếu tất cả các số mũ đặc trưng χ[x(t)] của hệ tuyến tính (1.17) đều âm thì
nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận.
b. Nếu A ∈ Mn(R), (A(t) ≡ A) và Reλj < 0 với mọi j = 1, 2, ..., n thì nghiệm
tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận.
24

27. B. Phương pháp hàm Lyapunov
1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn
Trong thực tế, việc sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov có thể gặp nhiều
khó khăn nhất là đối với hệ phi tuyến (thực sự). Chẳng hạn, ta xét tính ổn định
tại nghiệm (1, 1) của hệ:
˙x = x(1 − y),
˙y = y(x − 1).
Việc sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov để xét tính ổn định của hệ trên
có thể cũng thực hiện được nhưng quá trình tính toán sẽ trở nên phức tạp hơn.
Để giải quyết khó khăn này người ta thường dùng phương pháp hàm Lyapunov
hay thường gọi là phương pháp trực tiếp. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày
lại một số định lý cơ bản về phương pháp hàm Lyapunov thường được sử dụng
trong lý thuyết ổn định.
1.5.1 Các hàm xác định dấu
Ta xét hàm số:
V = V (t, x) ∈ Ctx(Z0),
trong đó,
Z0 = {a < t < ∞, x < h} .
Ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu
xác định.
Định nghĩa 1.14. Hàm vô hướng thực hiện liên tục V (t, x) được gọi là không
đổi dấu (có dấu dương hay có dấu âm) trong Z0 nếu:
V (t, x) ≥ 0( hay V (t, x) ≤ 0), với (t, x) ∈ Z0.
Định nghĩa 1.15. Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn
tại một hàm vô hướng W(x) ∈ C( x < h) sao cho
V (t, x) ≥ W(x) > 0, với x = 0 và V (t, 0) = W(0) = 0.
25

28. Tương tự, hàm V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm
vô hướng W(x) ∈ C( x < h) sao cho
V (t, x) ≤ −W(x) < 0, với x = 0 và V (t, 0) = W(0) = 0.
Hàm xác định dương hay xác định âm gọi là có dấu xác định về phía W(x),
đôi khi có thể lấy
W(x) = inf
t
|V (t, x)| .
Ví dụ 1.5. Trong không gian thực R2= Oxy, hàm số
V = x2
+ y2
− 2αxy cos t,
là hàm xác định dương với |α| < 1 vì
V (t, x, y) ≥ x2
+ y2
− 2 |α| . |x| . |y| ≥ (1 − |α|) x2
+ y2
= W (x, y) .
Do |α| < 1 nên W(x, y) > 0 với x2 + y2 > 0, V = 0 với x = y = 0.
Khi |α| = 1 thì hàm V chỉ là hàm không đổi dấu dương.
Định nghĩa 1.16. Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi
x → ∞ trong Z0 nếu với t0 > a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên
[t0, ∞) khi x → ∞. Tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ (ε) > 0 sao cho:
V (t, x) < ε khi x < ε và t ∈ [t0, ∞) . (1.32)
Nhờ bất đẳng thức (1.32), ta kết luận hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc
cao khi x → ∞ sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó:
t0 ≤ t < ∞, x < h.
Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và
sao cho V (0) = 0 thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → ∞.
1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định
Giả sử X(t, x) ∈ C
(0,1)
tx (Z), Z = {a < t < ∞, x < H} và hệ vi phân:
dx
dt
= G(t, x), (1.33)
là hệ rút gọn, tức là G(t, 0) ≡ 0. Rõ ràng hệ (1.33) có nghiệm tầm thường x ≡ 0.Ta
đặt:
V = V (t, x) ∈ C
(1,1)
tx (Z0),
Z0 = {a < t < ∞, ||x| | ≤ h < H} ⊂ Z,
và
G (t, x) = column [G1(t, x), ..., Gn(t, x)] .
26

29. Hàm
˙V (t, x) =
∂V
∂t
+
n
j=1
∂V
∂xj
Xj(t, x),
được gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.33).
Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.33) thì ˙V (t, x) là đạo hàm toàn phần theo
thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là:
˙V (t, x) =
d
dt
V (t, x(t)).
Định lý 1.14. (Định lý thứ nhất của Lyapunov)
Nếu đối với hệ rút gọn (1.33), tồn tại hàm Lyapunov
V (t, x) ∈ C
(1,1)
(t,x)
(Z0), Z0 ⊂ Z,
là hàm xác định dương và có đạo hàm theo thời gian ˙V (t, x) theo hệ đó có dấu
không đổi âm thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0,(a < t < ∞) của hệ đã cho ổn
định theo Lyapunov khi t → +∞.
Chứng minh. Theo giả thiết của định lý, tồn tại hàm W(x) liên tục, xác định
dương sao cho:
V (t, x) ≥ W(x) > 0, với x = 0 và V (t, 0) = W(0) = 0.
Trong không gian Rn
x, xét mặt cầu Sε = {x ∈ Rn
x : x < ε} nằm hoàn toàn
trong Z0, trong đó 0 < ε ≤ h < H. Vì Sε là tập compact và hàm W(x) liên tục,
xác định dương. Do đó, theo định lý Weierstrass, tồn tại x∗ ∈ Sε mà cận dưới
của hàm đó đạt được tại một điểm x∗ ∈ Sε, tức là:
inf
x∈Sε
W(x) = W(x∗
) = α > 0.
Giả sử t0 ∈ (a, ∞) tùy ý. Hàm V (t0, x) liên tục theo x và do đó, V (t0, x) = 0
nên tồn tại lân cận x < δ < ε sao cho:
0 ≤ V (t0, x) < α, với x < δ.
Xét nghiệm khác 0 tùy ý x = x(t) với điều kiện ban đầu x(t0) < δ. Ta sẽ
chứng minh quỹ đạo của nghiệm đó nằm hoàn toàn trong mặt cầu Sε, tức là:
x(t) < ε, ∀t0 ≤ t < ∞. (1.34)
Thật vậy, khi t = t0 thì x(t0) < δ < ε. Giả sử, (1.34) không thỏa mãn với mọi
t ∈ [t0, ∞) và t1 > t0 là điểm đầu tiên nghiệm x(t) chạm biên Sε, tức là x(t) < ε
với t0 < t < t1 và x(t1) = ε.
27

30. Ký hiệu v(t) := V (t, x(t)). Vì v(t) = V (t, x(t)) ≤ 0 nên v(t) là hàm không tăng
dọc theo nghiệm x(t). Do đó,
α > V (t0, x(t0)) ≥ V (t1, x(t1)) ≥ W(x(t1)) ≥ α.
Điều này vô lý. Như vậy, nghiệm x(t) với t ∈ [t0, ∞) hữu hạn và luôn nằm
trong mặt cầu Sε. Vì ε < H, nghiệm đó xác định với t ∈ [t0, ∞) (kéo dài vô hạn
về bên phải).
Hơn nữa, x(t) < ε với t ∈ [t0, ∞) nếu x(t0) < δ. Điều đó có nghĩa là nghiệm
tầm thường x ≡ 0 ổn định theo Lyapunov khi t → ∞.
Hệ quả 1.7. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
dx
dt
= A(t)x, (A(t) ∈ C [t0, ∞)),
tồn tại hàm xác định dương V (t, x) có đạo hàm dọc theo nghiệm của hệ ˙V (t, x) ≤ 0
thì tất cả các nghiệm x(t) của hệ đó xác định và bị chặn trên nửa trục t ∈ [t0, ∞).
1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận
Định lý 1.15. Nếu đối với hệ rút gọn (1.33), tồn tại hàm Lyapunov
V (t, x) ∈ C
(1,1)
(t,x)
(Z0), Z0 ⊂ Z,
là hàm xác định dương và có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo
hàm theo thời gian ˙V (t, x) theo hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm thường
x ≡ 0 của hệ là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞.
Chứng minh. Vì giả thiết của định lý này mạnh hơn giả thiết của định lý thứ
nhất của Lyapunov, nên nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1.33) là ổn định.
Theo định nghĩa của sự ổn định tiệm cận, ta cần phải chứng minh với mỗi
nghiệm
x = x(t) = 0, (t0 ≤ t < ∞) ,
trong đó, x(t0) ≤ h < H với h đủ nhỏ, đẳng thức xảy ra
lim
t→+∞
x(t) = 0.
Ta xét hàm số:
v(t) = V (t, x(t)).
Vì theo giả thiết v(t) =
dV
dt
< 0, nên hàm số v(t) đơn điệu giảm và bị chặn
dưới, nó có giới hạn hữu hạn:
lim
t→+∞
v(t) = inf
t
v(t) = α ≥ 0. (1.35)
28

31. Ta chứng tỏ rằng α = 0.
Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó nghiệm khác không x(t) thỏa mãn bất đẳng
thức:
x(t) ≥ β > 0, t0 ≤ t < ∞, (1.36)
trong đó, β là số dương, tức quỹ đạo nghiệm còn nằm ngoài mặt cầu bán kính
β. Khi đó ta tìm được dãy {t1, t2, ..., tk, ..., +∞} sao cho lim
k→+∞
x(tk) = 0. (Nếu
tk → T < ∞ thì lim
k→+∞
x(tk) = x(T) = 0. Theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm
ta có x(t) ≡ 0, trái với giả thiết).
Do đó, nhờ sự tồn tại giới hạn vô cùng bé bậc cao của hàm V (t, x) khi x → 0.
Ta có:
lim
k→∞
v(tk) = lim
k→∞
V (tk, x(tk)) = 0.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết α > 0 trong công thức (1.35) vì nếu α là giới
hạn của hàm số v(t) khi t → 0 thì dãy bất kỳ tk → +∞, ta phải có v(tk) → α.
Tóm lại trong trường hợp α > 0 ta có bất đẳng thức (1.36) và ngoài ra ta có
thể giả thiết rằng x(t) ≤ h < H (nhờ tính ổn định của nghiệm tầm thường
x ≡ 0).
Giả sử W1(x) là hàm xác định dương, liên tục thỏa mãn bất đẳng thức:
ϕ(t) = V (t, x) ≤ −W1(x). (1.37)
Hàm đó tồn tại ˙V (t, x), vì theo giả thiết của định lý ˙V (t, x) là hàm xác định
âm. Ta ký hiệu:
γ = inf
β≤ x ≤h
W1(x).
Khi đó, lấy tích phân bất đẳng thức (1.37) với cận từ t0 đến t, β ≤ x ≤ h,
ta có:
v(t) = v(t0) +
t
t0
V (τ, x(τ))dτ ≤ v(t0)−
t
t0
W∗
(τ)d(τ),
trong đó, W∗(τ) = W1(x(τ)). Vì −W1(x) ≤ −γ với β ≤ x ≤ h nên
v(t) ≤ v(t0) −
t
t0
γdτ = v(t0) − γ(t − t0).
Từ bất đẳng thức trên ta thấy rằng với t đủ lớn thì
v(t) = V (t, x(t)) < 0,
điều đó trái với tính xác định dương của hàm V (t, x(t)). Tóm lại:
α = lim
t→+∞
V (t, x(t)) = 0. (1.38)
29

32. Bây giờ ta chứng minh rằng x(t) → 0 khi t → ∞.
Thật vậy, giả sử ε ≥ 0 bé tùy ý và
l = infW(x) > 0 với ε ≤ x ≤ h.
Từ công thức (1.38) ta suy ra rằng tồn tại thời điểm T > t0 sao cho:
V (T, x(T)) < l.
Do đó, nhờ tính đơn điệu giảm của hàm V (t, x(t)), ta có:
V (t, x(t)) < l với t ≥ T,
và do đó
x ≤ ε, ∀t ≥ T. (1.39)
Thật vậy, nếu thời điểm t1 > T nào đó thỏa mãn bất đẳng thức. Giả sử ngược
lại x(t1) ≥ ε , thì ta có: l > V (t1, x(t1)) ≥ W (x (t1)) ≥ l, điều này là vô lý.
Tóm lại, nhờ công thức (1.39) ta có lim
t→+∞
x(t) = 0 điều phải chứng minh.
Chú ý 1.8. Định lý thứ nhất và thứ hai của Lyapunov có thể thay thế điều
kiện xác định dương của hàm V (t, x) bằng điều kiện xác định âm nhưng khi đó
hàm ˙V (t, x) phải là hàm xác định dấu dương.
1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định
Định lý 1.16. Nếu đối với hệ rút gọn (1.33), tồn tại hàm Lyapunov
V (t, x) ∈ C
(1,1)
(t,x)
(Z0), Z0 ⊂ Z,
là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo thời gian
˙V (t, x) theo hệ là xác định dấu. Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận bất kỳ
x < ∆ ≤ h < H tìm được điểm (t0, x0) mà tại đó dấu của hàm ˙V (t, x) cùng dấu
với đạo hàm V (t, x), tức là:
V (t0, x0) ˙V (t0, x0) > 0,
thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1.33) là không ổn định theo nghĩa Lyapunov
khi t → ∞.
Chứng minh. Để xác định ta giả sử ˙V (t, x) là hàm xác định dương, tức là:
˙V (t, x) ≥ W1(x) > 0, (1.40)
với t0 ≤ t < ∞ và 0 < x < h, trong đó W1(x) là hàm liên tục, không đổi dấu
dương.
Vì theo giả thiết của định lý hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé khi x → 0,
nên V (t, x) bị chặn trong hình trụ hẹp, tức là: V (t, x) < M, với t0 ≤ t < ∞ và
x ≤ ∆0 < h, trong đó M, ∆0 là các hằng số dương nào đó.
30

33. Giả sử 0 < δ < ∆0 nhỏ tùy ý. Theo giả thiết của định lý tồn tại điểm (t0, x0)
trong đó 0 < x < δ sao cho:
V (t0, x0) = α > 0.
Ta đặt v(t) = V (t, x(t)), trong đó x (t) = 0 là nghiệm xác định bởi điều kiện
ban đầu x(t0) = x0, hơn nữa
0 < x (t0) < δ. (1.41)
Từ bất đẳng thức (1.40) hàm v(t) đơn điệu tăng cùng với t, do đó khi t ≥ t0
ta có:
V (t, x(t)) ≥ V (t0, x(t0)) = α > 0.
Ta sẽ chứng minh rằng với giá trị t = t1, (t1 ≥ t0) nào đó sẽ thỏa mãn bất
đẳng thức:
x (t1) ≥ ∆0. (1.42)
Thật vậy, giả sử x < ∆0 với t ≥ t0 khi đó nghiệm x(t) thác triển vô hạn bên
phải.
Vì hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nên từ bất đẳng
thức (1.41) và định lý thứ hai của Lyapunov ta suy ra rằng:
0 < β ≤ x (t) ≤ ∆0 với t0 ≤ t < ∞,
trong đó, β là số dương nào đó. Giả sử:
γ = inf
β≤ x ≤∆0
W1(x) > 0.
Khi đó, nhờ bất đẳng thức x (t) < ∆0 ta có
φ (t) = ˙V (t, x(t)) ≥ γ với t0 ≤ t < ∞.
Do đó, với t0 ≤ t < ∞ ta có:
V (t, x(t)) = V (t0, x(t0)) +
t
t0
˙V (τ, x (τ))dτ ≥ V (t0, x (t0)) + γ (t − t0),
điều đó trái với tính bị chặn của hàm V (t, x) trong miền t0 ≤ t < ∞, x < ∆0.
Vì δ > 0 tùy ý và ∆0 > 0 cố định nên theo bất đẳng thức (1.41), (1.42) ta
kết luận rằng nghiệm tầm thường x ≡ 0 không ổn định theo Lyapunov khi
t → ∞.
31

34. 1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov
Ví dụ 1.6. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ
˙x = −x + y − y3,
˙y = x − 2y + xy2.
Hệ này có nghiệm tầm thường là (0, 0), nên (0, 0) là điểm cân bằng của hệ.
Ta chọn hàm Lyapunov: V (x, y) = x2 + y2, khi đó V (x, y) là hàm xác định
dương.
Ta có
˙V (x, y) = 2x ˙x + 2y ˙y
= 2x(−x + y − y3
) + 2y(x − 2y + xy2
)
= −2x2
+ 2xy − 2yx3
+ 2xy − 4y2
+ 2xy3
= −2x2
+ 4xy − 4y2
= −2(x − y)2
− 2y2
.
Khi đó
˙V (x, y) < 0, với mọi (x, y) ∈ R2
(0, 0).
Nên hệ đã cho ổn định tiệm cận theo Lyapunov (theo định lý thứ hai của
Lyapunov về sự ổn định tiệm cận).
Ví dụ 1.7. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:
˙x = y + x3,
˙y = −x + y3.
(1.43)
Hệ này có nghiệm tầm thường là (0, 0), nên (0, 0) là điểm cân bằng của hệ.
Ta chọn hàm Lyapunov: V (x, y) = x2 + y2, khi đó V (x, y) là hàm xác định
dương.
Ta có
˙V (x, y) = 2x ˙x + 2y ˙y
= 2x(y + x3
) + 2y(−x + y3
)
= 2x4
+ 2y4
.
Khi đó
˙V (x, y) > 0, với mọi (x, y) ∈ R2
(0, 0).
Vậy hệ đã cho không ổn định theo Lyapunov (theo định lý thứ ba của Lya-
punov về sự không ổn định).
32

35. Ví dụ 1.8. Xét tính ổn định hệ:
˙x = x(1 − y),
˙y = y(x − 1).
(1.44)
Đây là hệ phương trình thú mồi dạng Lotka- Volterra đơn giản nhất. Hệ này
có các điểm cân bằng là (0, 0) và (1, 1). Sau đây ta sẽ nghiên cứu tính ổn định
của hệ tại điểm cân bằng (1, 1).
Đặt
u = x − 1,
v = y − 1.
Khi đó hệ có dạng
˙u = −uv − v,
˙v = uv + v.
Ta xét tính ổn định tại điểm cân bằng (0, 0) của hệ trên.
Chọn hàm
V (u, v) = u + v − ln(1 + u) − ln(1 + v) + α.
Chứng minh V (u, v) là hàm xác định dương.
M0(0, 0) là điểm cực tiểu.
V (M0) = α > 0, ∀α ∈ R+
.
Ta có
∂V
∂u
=
u
u + 1
;
∂V
∂v
=
v
v + 1
;
∂2V
∂u2
=
−1
(u + 1)2
;
∂2V
∂u∂v
= 0;
∂2V
∂v2
=
−1
(v + 1)2
;
∂2V
∂v∂u
= 0;
Xét



∂V
∂u
= 0,
∂V
∂v
= 0.
Khi đó ta có (0, 0) là nghiệm.
Chứng minh ˙V (u, v) ≤ 0.
˙V = ˙u + ˙v −
1
1 + u
˙u −
1
1 + v
˙v
=
u
u + 1
˙u +
v
v + 1
˙v
=
u
u + 1
(−uv − v) +
v
v + 1
(uv + u) = −uv + vu = 0.
Vậy hệ ổn định tại (1, 1) (theo định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định).
33

36. Chương 2
Sử dụng phương pháp số đặc trưng
Lyapunov-Bagdanov để nghiên cứu
tính ổn định của các hệ động lực
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất của
hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric. Để thuận tiện cho việc trình
bày chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây:
- Không gian mêtric M là một tập tùy ý M = ∅ trên đó đựợc trang bị mêtric
ρ (mêtric ρ là mêtric thỏa mãn 3 tính chất (xem [6], [7])).
- Thang thời gian đều G được xác định bởi một nhóm con của R hoặc
G = {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ Z} .
- Nửa nhóm G+ là nửa nhóm được xác định bởi
G+
= {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ N} .
- Hình cầu mở S(q, δ) được xác định bởi
S(q, δ) = {p|p ∈ M, q − p < δ} .
Nội dung của chương này gồm hai phần:
* Phần đầu tiên trình bày các định nghĩa về hệ động lực trên thang thời gian
đều, tập bất biến, tập ω - giới hạn của hệ động lực, chuyển động ổn định theo
Lagrange, điểm đứng yên và một số tính chất liên quan.
* Phần thứ hai trình bày khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov -
Bagdanov, tính ổn định của tập V của hệ động lực f(p, t) và một số ví dụ để làm
sáng tỏ hơn ứng dụng của số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov dùng
để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu.
Để thuận tiện cho việc trình bày trong phần thứ hai này chúng tôi chỉ xét hệ
động lực trên thang thời gian R (t ∈ R).
34

37. 2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một
vài khái niệm mở đầu
2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều
Ta gọi [M, G, f] là hệ động lực trên thang thời gian đều trong đó:
M là không gian mêtric.
G là thang thời gian đều.
f là một hàm ánh xạ từ không gian tích M × G vào M, có các tính chất.
(I) f(p, e) = p, với e là phần tử đơn vị của G, p là phần tử bất kỳ của M.
(II) f(f(p, g1), g2) = f(p, g1.g2), với mọi g1, g2 ∈ G và p ∈ M.
(III) Với mọi ε > 0 bất kỳ , cho p ∈ M , g ∈ G tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi
q ∈ S(p, δ) thực hiện bất đẳng thức ρ(f(p, g), f(q, g)) < ε.
Giả sử A ⊆ M, K ⊆ G. Ta ký hiệu
f(A, K) = {f(p, g) : p ∈ A, g ∈ K} ,
A
= f(A, G),
+
A
= f(A, G+).
Hàm f(p, g) với điểm p cố định gọi là một chuyển động. Tập f(p, G) gọi là quỹ
đạo chuyển động của điểm p.
2.1.2 Định nghĩa tập bất biến
Tập A ⊆ M gọi là tập bất biến nếu f(A, g) = A, với mọi phần tử g ∈ G.
Định lý 2.1. Tập bất biến là một tập tạo nên gồm từ hợp của một số các quỹ
đạo hoàn toàn và ngược lại, tập hợp các quỹ đạo hoàn toàn lập nên một tập bất
biến.
Chứng minh. A tập bất biến ta chứng minh A = ∪
p∈A
f(p, G).
Do f(p, G) ⊆ A vì vậy ∪
p∈A
f(p, G) ⊆ A.
Giả sử ngược lại p ∈ A ta suy ra p ∈ ∪
p∈A
f(p, G), do đó A ⊆ ∪
p∈A
f(p, G).
Vậy tập A bất biến thì nó được lập nên từ các quỹ đạo hoàn toàn.
Bây giờ ta chứng minh hợp bất kỳ của các quỹ đạo hoàn toàn lập nên tập bất
biến. Thật vậy, trước tiên ta thấy rằng f(f(p, G), g) = f(p, G) với bất kỳ g ∈ G
và p ∈ M nếu f(p, G) là tập bất biến, (sau đây ta sẽ chứng minh) nên ta có điều
khẳng định trên. Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 2.2. Hợp bất kỳ của các tập bất biến là một tập bất biến. Giao bất
kỳ của các tập bất biến là một tập bất biến. Phần bù của tập bất biến cũng là
tập bất biến.
35

38. Chứng minh. Giả sử Ai, i ∈ I là các tập bất biến. Ta chứng minh ∪
i∈I
Ai là tập
bất biến. Trước hết ta lấy phần tử g bất kỳ ∈ G và p ∈ ∪
i∈I
Ai, khi đó tồn tại
i0 ∈ I để p ∈ Ai0 , do đó f(p, g) ∈ Ai0 . Vậy f(p, g) ∈ ∪
i∈I
Ai.
Như vậy ta có f( ∪
i∈I
Ai, g) ⊆ ∪
i∈I
Ai, với mọi g ∈ G. Bây giờ ta lấy g bất kỳ của
G thì g−1 ∈ G.
Khi đó, theo trên f( ∪
i∈I
Ai, g−1) ⊆ ∪
i∈I
Ai, tác dụng g vào cả hai bên ta có
∪
i∈I
Ai ⊆ f( ∪
i∈I
Ai, g).
Vậy ta có ∪
i∈I
Ai = f( ∪
i∈I
Ai, g) với mọi g ∈ G.
Nếu Ai, i ∈ I là bất biến ta chứng minh ∩
i∈I
Ai là bất biến.
Lấy g ∈ G và p ∈ ∩
i∈I
Ai ta có p ∈ Ai , với mọi i ∈ I. Khi đó f(p, g) ∈ Ai với mọi
i ∈ I. Như vậy f(p, g) ∈ ∩
i∈I
Ai do đó ta có f( ∩
i∈I
Ai, g) ⊆ ∩
i∈I
Ai.
Cũng tương tự như trên, ta chứng minh được rằng ∩
i∈I
Ai ⊆ f( ∩
i∈I
Ai, g), với g
bất kỳ thuộc G.
Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 2.3. Bao đóng của tập bất biến cũng là tập bất biến.
Chứng minh. Giả sử A là tập bất biến, ta chứng minh bao đóng của nó A cũng
là tập bất biến. Lấy p ∈ A , lúc đó f(p, g) ∈ A với mọi g ∈ G. Giả sử p ∈ AA
và g bất kỳ trong G, khi đó tồn tại {pn} mà lim
n→∞
pn = p, trong đó pn ∈ A, nên
f(pn, g) ∈ A, cho qua giới hạn ta có
f(p, g) ∈ A.
Vậy ta có f(A, g) ⊆ A với bất kỳ g ∈ G.
Áp dụng phép biến đổi ngược ta có A ⊆ f(A, g−1), với bất kỳ g ∈ G , cho nên
ta có A = f(A, g−1).
2.1.3 Tập ω - giới hạn của hệ động lực
Định nghĩa 2.1. Điểm q ∈ M gọi là ω - giới hạn của chuyển động f(p, g) nếu
với mọi lân cận Uq, với mọi p ∈ G , tồn tại phần tử g∗ ∈ G sao cho g∗ > g và
f(p, g∗) ∈ Uq. Tập hợp tất cả các điểm ω - giới hạn của chuyển động f(p, g), ta
ký hiệu Ωp.
Tương tự ta có định nghĩa điểm α - giới hạn của chuyển động, f(p, g), q ∈ M
gọi là α - giới hạn của chuyển động f(p, g), nếu với mọi lân cận Uq, với mọi g ∈ G,
tồn tại phần tử g∗ ∈ G sao cho g∗ < g và f(p, g∗) ∈ Uq. Tập hợp tất cả các điểm
α - giới hạn của chuyển động f(p, g), ta ký hiệu là Ap.
36

39. Định lý 2.4. Tập Ωp là những tập đóng và bất biến.
Chứng minh. *) Tập Ωp là tập đóng.
Lấy dãy {qn} ∈ Ωp, qn → q, ta chứng minh q ∈ Ωp. Thật vậy, lấy ε bất kỳ và
g0 bất kỳ, ta chứng minh tồn tại g∗ > g0 sao cho ρ(f(p, g∗), q) < ε.
Vì lim
n→∞
qn = q, nên với
ε
2
, tồn tại N sao cho với mọi n > N, ta có
ρ(qn, q) <
ε
2
,
ρ(f(p, g∗
), q) <
ε
2
.
Vì qn ∈ Ωp nên với
ε
2
, tồn tại g∗ > g0 sao cho ρ(f(p, g∗), qn) <
ε
2
.
Vì vậy ρ(f(p, g∗), q) ≤ ρ(f(p, g∗), qn) + ρ(qn, q) < ε.
Vậy q ∈ Ωp nên Ωp là tập đóng.
*) Tập Ωp là tập bất biến.
Giả sử q ∈ Ωp, g0 ∈ G và ε > 0. Từ điều kiện (III) của hệ động lực ta tìm được
δ > 0 sao cho ρ(f(q, g0), f(p, g0)) < ε đối với bất kỳ q ∈ S(p, δ). Vì q ∈ Ωp nên
đối với δ > 0 đã chỉ ra ở trên và g ∈ G bất kỳ, tồn tại g∗ sao cho g.g−1
0 < g∗ và
f(p, g∗) ∈ S(p, δ). Khi đó, f(p, g∗.g0) ∈ S(f(p, g0), ε). Đồng thời vì g∗ > g.g−1
0 do
đó điểm f(p, g0) ∈ Ωp. Vậy Ωp là tập bất biến, định lý được chứng minh.
Định lý 2.5. Nếu q ∈ f(p, G) thì Ωp = Ωq.
Chứng minh. Giả sử q = f(p, g0) ∈ f(p, G), q, ∈ Ωq . Ta chứng minh q, ∈ Ωp.
Thật vậy, vì q, ∈ Ωq) nên với mọi ε > 0 và g∗ ∈ G nên tồn tại g ∈ G sao cho
g > g−1
0 .g∗ và f(q, g) ∈ S(q,, ε). Khi đó f(p, g0.g) ∈ S(q,, ε) với g0.g > g∗ chứng tỏ
q, ∈ Ωp. Vì vậy ta có Ωq ⊆ Ωp. Nhưng vì q ∈ f(p, G) nên f(p, G) = f(q, G) tức là
p ∈ f(q, G). Vậy nên ta lại có Ωp ⊆ Ωq. Vậy định lý được chứng minh xong.
Định lý 2.6. Nếu q ∈
+
p thì Ωq ⊆ Ωp.
Chứng minh. Giả sử r ∈ Ωq, ta chứng minh r ∈ Ωp.
Với r, ε và g ∈ G nên tồn tại g∗ ∈ G sao cho g∗ > g và p1 = f(p, g∗) ∈ S(r, ε).
Giả sử ε > 0 ta tìm được δ > 0 sao cho S(p1, ε1) ⊆ S(r, ε). Theo tính chất (III)
của hệ động lực đối với q và g∗ ta tìm được δ > 0 sao cho với mọi s ∈ S(q, δ),
ρ(f(q, g∗
), f(s, g∗
)) < ε1.
Vì q ∈
+
p nên tồn tại g1 ∈ G+ sao cho ρ(f(p, g1), q) < δ.
Khi đó theo cách chọn δ của ta thì
ρ(f(p, g1.g∗
), p1) < ε1.
Vì vậy f(p, g1.g∗) ∈ S(r, ε), mà trong đó do g∗ > g, g1 > ε do đó ta có g1.g∗ > g.
Tức là p1 ∈ Ωp. Định lý được chứng minh xong.
37

40. 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange
Ta đã biết ký hiệu p = f(p, G),
+
p = f(p, G+) .
Định nghĩa 2.2. Chuyển động f(p, g) là ổn định dương (ổn định) theo nghĩa
Lagrange nếu +
p ( p) là tập compact.
Định lý 2.7. Nếu G là một nhóm có hướng và chuyển động f(p, g) là ổn định
theo Lagrange theo hướng dương thì Ω = ∅.
Chứng minh. Giả sử ngược lại Ω = ∅, tức là với mọi p, ∈ M, tồn tại gp, sao cho
với mọi g > gp thì f(p,, g) /∈ U(p,). Vậy bây giờ ta xét tất cả những điểm nằm
trong +
p . Do +
p là compact, nên từ một phủ mở bất kỳ ta có thể trích ra
một phủ con hữu hạn. Giả sử đó là U(p1), U(p2), ..., U(pN ).
Do G là có hướng nên đối với e, gp1 , gp2 , ..., gpN ta có thể chọn được phần tử
g ∈ G sao cho g > g thì f(p, g) /∈
+
p , do đó f(p, g) /∈ f(p, G) với g ∈ G+, điều này
vô lý, vậy giả thiết phản chứng trên là sai, tức là Ωp = ∅.
Định lý 2.8. Nếu G là một nhóm có hướng và chuyển động f(p, g) là ổn định
theo Lagrange theo hướng dương thì với mọi ε > 0 và với mọi g ∈ G luôn luôn
tồn tại g∗ > g sao cho ρ(f(p, g∗), Ωp) < ε.
Chứng minh. Giả sử ngược lại tồn tại ε1 > 0 và g0 ∈ G sao cho với mọi g > g0
thì ta có
ρ(f(p, g), Ωp) > ε1.
Do G có hướng và f(p, g) ổn định Lagrange nên Ωp = ∅.
Giả sử tồn tại q ∈ Ωp, khi đó với
ε1
2
và g0 sao cho ρ(f(p, g), Ωp) ≤ ε1, vậy mâu
thuẫn với giả thiết phản chứng. Định lý được chứng minh.
2.1.5 Điểm đứng yên
Định nghĩa 2.3. Điểm p hay quỹ đạo f(p, g) gọi là điểm đứng yên nếu với mọi
g ∈ G ta có f(p, g) = p.
Định lý 2.9. Tập hợp tất cả các điểm đứng yên là tập đóng.
Chứng minh. Giả sử {pn} là dãy các điểm đứng yên và lim
n→∞
pn = p, ta chứng
minh p là điểm đứng yên. Lấy g bất kỳ trong G ta có f(pn, g) = pn, khi đó cho
qua giới hạn ta có lim
n→∞
f(pn, g) = lim
n→∞
pn hay f(p, g) = p. Vậy định lý được chứng
minh.
Định lý 2.10. Không một quỹ đạo nào khác điểm đứng yên lại có thể rơi vào
điểm đứng yên tại một phần tử g ∈ G.
38

41. Chứng minh. Giả sử p đứng yên, q không phải là quỹ đạo đứng yên, q = p và
tồn tại g1 ∈ G để f(q, g1) = p. Ta chứng minh điều này là vô lý. Thật vậy, vì
f(q, g1) = p nên f(q, g1.g−1
1 ) = f(p, g−1
1 ), do đó q = f(p, g−1) = p. Vậy mâu thuẫn
do đó định lý được chứng minh.
Định lý 2.11. Nếu đối với bất kỳ số δ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại q ∈ S(p, δ) sao cho
f(q, g) ⊆ S(p, δ) thì p là điểm đứng yên.
Chứng minh. Giả sử ngược lại p không đứng yên, khi đó tồn tại g0 ∈ G sao cho
p = f(p, g0). Giả sử ρ(p, f(p, g0)) = α > 0. Khi đó với
δ
2
, điểm p và g0 ta tìm được
số α > δ > 0 sao cho với mọi q ∈ S(q, δ) thì
ρ(f(p, g0), f(q, g0)) <
δ
2
.
Đồng thời vì f(q, G) ⊆ S(p, δ) nên ρ(p, f(q, g0)) <
δ
2
.
Vậy ρ(p, f(p, g0)) < ρ(p, f(q, g0)) + ρ(f(p, g0), f(q, g0)) tức là α <
δ
2
+
δ
2
= δ < α .
Vô lý, vậy giả thiết phản chứng là sai.
Trên đây là một vài khái niệm mở đầu cần dùng cho sau này và một số kết
quả ban đầu.
2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov
Trong các công trình nghiên cứu (xem [11]) của nhà toán học Nga IU.C.Bagdanov,
phương pháp số đặc trưng tổng quát đã được nghiên cứu một cách có hệ thống
và các kết quả nhận được đã áp dụng cho việc nghiên cứu tính ổn định của điểm
cân bằng của các phương trình vi phân.
Trong phần tiếp theo của luận văn chúng tôi sẽ trình bày lại một số kết quả
đã biết và tiếp tục phát triển phương pháp số đăc trưng Lyapunov - Bagdanov
để nghiên cứu tính ổn định của các tập bất biến của một hệ động lực tổng quát
trong không gian mêtric.
2.2.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 2.4. Hệ động lực là một ánh xạ thuộc lớp C1.
Φ : R × V → V,
trong đó V là tập mở trong M.
Ta thường ký hiệu Φ (t, x) = Φtx, thì Φt là nhóm biến đổi một tham số, tức là:
a.Φ|t=0 : V → V là ánh xạ đồng nhất.
b. ΦtΦs = Φt+s, ∀t, s ∈ R.
39

42. Ví dụ 2.1. Giả sử B là không gian Banach, R+ là tập số thực dương và ánh xạ
φ : R+ × B → B được xác định bởi φtx = φ(t, x) = T(t)x, ∀x ∈ B, t ∈ R+ trong đó
(T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
Khi đó (B, R+, φ) là một hệ động lực. Thật vậy, ta có
φ0x = φ(0, x) = T(0)x = x, ∀x ∈ B, t ∈ R+
.
Nên φ0x là ánh xạ đồng nhất.
∀t, s ∈ R+, x ∈ B ta có
φtφsx = φt(φsx) = φ(T(s)x) = T(t)T(s)x = T(t + s)x = φt+sx.
Định nghĩa 2.5. Giả sử x0 ∈ V là một điểm cố định cho trước. Ta xét ánh xạ
φ : M → V xác định bởi biểu thức
φ (t) = φtx0, t ∈ M.
Khi đó ánh xạ φ được gọi là chuyển động (của x0).
Định nghĩa 2.6. Ảnh của ánh xạ φ : M → V trên V được gọi là đường cong
pha.
Bản thân V được gọi là không gian pha mở rộng.
Giả sử M là một không gian mêtric với khoảng cách ρ, còn f(p, t) là một hệ
động lực xác định trên M. Giả sử V ⊂ M là một tập bất kỳ. Ta ký hiệu:
S (V, ε) = {p ∈ M : ρ (p, V ) < ε} .
S [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) ≤ ε} .
S0 [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) = ε} .
Định nghĩa 2.7. Giả sử V ⊂ M, hàm số v xác định, liên tục trong lân cận của
S(V, ε) được gọi là v - hàm Lyapunov của tập V , nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
a.v (p) = 0 ⇔ p ∈ V.
b.v (p) → +∞ khi ρ (V, p) → ε.
c.v (p) > 0 với p ∈ S (V, ε) V.
Chúng ta sẽ xét hàm d xác định trên J+ × J+ nhận tất cả các giá trị thực,
tức là d : J+ × J+ → J (J là trục thực) đồng thời với tất cả các giá trị
γ, γ1, γ2, γ3 (0 < γ1 < γ2 < γ3) bất kỳ và γ > 0 thì
1.d (γ, γ) = 0.
2.0 < d (γ1, γ2) = −d (γ2, γ1) .
3.d (γ2, γ) > d (γ1, γ) .
4.d (γ1, γ2) + d (γ2, γ3) ≥ d (γ1, γ3) .
40

43. Từ 2) và 4) ta suy ra rằng:
|d (γ2, γ) − d (γ1, γ)| ≤ 2 |d (γ2, γ1)| .
Thật vậy, với γ2 ≤ γ ≤ γ1, ta có
|d (γ2, γ)| ≤ |d (γ2, γ1)| ,
|d (γ, γ1)| ≤ |d (γ2, γ1)| .
Do đó,
|d (γ2, γ) − d (γ1, γ)| = |d (γ2, γ) + d (γ, γ1)|
≤ |d (γ2, γ)| + |d (γ, γ1)|
≤ |d (γ2, γ1)| + |d (γ2, γ1)|
≤ 2 |d (γ2, γ1)| .
Đồng thời chúng ta nhận thấy rằng nếu {γn} là dãy số dương thỏa mãn
lim
n→∞
d (γn, γ) = −∞ thì {γn} → 0 và nếu lim
n→∞
d (γn, γ) = +∞ thì {γn} → +∞.
Sau này với các hàm d có các tính chất 1) đến 4) chúng ta sẽ gọi là d - hàm.
Giả sử V là một tập bất biến trong M, v là v - hàm của của tập V còn d là
d - hàm. Đối với mỗi điểm p ∈ S (V, ε) V , mà đối với nó có thể chỉ một nửa quỹ
đạo của chuyển động f(p, t) được chứa trong miền giá trị của v - hàm, J ⊂ M,
chúng ta xác định số đặc trưng vd như sau:
vdp =



lim
t→+∞
1
t d [v (f (p, t)) , v(p)] nếu f p, J+ ⊂ S (V, ε) và f p, J− ⊂ S (V, ε) ,
lim
t→+∞
1
t d [v (f (p, t)) , v(p)] nếu f p, J− ⊂ S (V, ε) và f p, J+ ⊂ S (V, ε) ,
max lim
t→+∞
1
t d [v (f (p, t)) , v(p)] , lim
t→+∞
1
t d [v (f (p, t)) , v(p)]
nếu f (p, J) ⊂ S (V, ε) .
ở đây, S(V, ε) là miền xác định của hàm v.
Sử dụng định nghĩa của số đặc trưng tổng quát và bất đẳng thức (4) của
phần d - hàm chúng ta có thể chứng minh được rằng:
* Nếu f p, J+ ⊂ S (V, ε) , f p, J− ⊂ S (V, ε) thì ∀q ∈ f p, J+ ta có vdp = vdq.
* Nếu f p, J− ⊂ S (V, ε) , f p, J+ ⊂ S (V, ε) thì ∀q ∈ f p, J− ta có vdp = vdq.
* Nếu f(p, J) ⊂ S (V, ε) thì ∀q ∈ f (p, J) ta có vdp = vdq.
Việc chứng minh tính chất này được tiến hành hoàn toàn tương tự như trong
công trình [12].
Nhận xét 2.1. Số đặc trưng tổng quát hoặc là số hữu hạn hoặc là số −∞ hay
+∞.
Nhờ số đặc trưng tổng quát này chúng ta có thể chứng minh một số dấu hiệu
về tính ổn định của tập V của hệ động lực f(p, t).
41

44. 2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f(p, t)
Định nghĩa 2.8. .
* Tập V ⊂ M được gọi là ổn định theo Lyapunov nếu với ε > 0 bất kỳ sẽ tìm
được số δ > 0 sao cho
f S (V, δ) , J+
⊂ S (V, ε) .
* Tập V ⊂ M được gọi là miền hút, nếu tồn tại số δ > 0 sao cho ρ(f(p, t), V )
dần đến 0 khi t → +∞ đối với mọi p ∈ S(V, δ).
* Tập V ⊂ M được gọi là có tính hút đều, nếu tồn tại số δ > 0 sao cho
ρ(f(p, t), G) dần đến 0 khi t → +∞, tức là ∀η > 0 tồn tại T = T(η) > 0 sao cho
f (S (V, δ)) ⊂ S (V, η) , ∀t > T.
* Tập V ⊂ M được gọi là ổn định tiệm cận, nếu nó là ổn định và là tập hút
(miền hút).
* Tập V ⊂ M được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó là ổn định và là miền
hút đều.
* Tập V ⊂ M được gọi là không ổn định nếu tồn tại số ε0 > 0 sao cho đối với
δ > 0 bất kỳ có thể tìm được điểm p ∈ S(V, δ) và t > 0 sao cho
f (p, t) ∈ S0 [V, ε0] .
Từ nay về sau chúng ta sẽ giả thiết rằng tập V là tập bất biến, đóng và tồn
tại p > 0 sao cho S[V, p] là tập compact trong M. Chúng ta thấy số r > 0 như
vậy luôn luôn tìm được nếu trong M tồn tại tập mở U chứa V và sao cho [U] là
compact.
Từ sự tồn tại lân cận compact của tập V ta suy ra rằng nếu tập V là ổn định
tiệm cận thì nó sẽ là ổn định tiệm cận đều.
Từ nay về sau chúng ta luôn luôn giả thiết rằng nếu V là ổn định tiệm cận
thì V sẽ là ổn định tiệm cận đều.
Chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất bổ trợ sau đây:
Bổ đề 2.1. Nếu tập V là không ổn định, thì tồn tại số ε0 > 0, sao cho đối với
bất kỳ ε ∈ [0, ε0] luôn luôn tìm được điểm q ∈ S0[V, ε] mà đối với nó ta có
f (p, J−) ⊂ S [V, ε0] .
Chứng minh. Giả sử V là tập không ổn định. Chúng ta chọn ε > 0 sao cho các
điều kiện sau được thực hiện:
a. Tập S[V, ε0] là tập compact.
b. Đối với δ > 0 tồn tại p ∈ S(V, δ) sao cho f(p, t) ∈ S0[V, ε0] với t ≥ 0 nào đó.
Sự tồn tại ε0 > 0 suy ra từ tính chất không ổn định của tập V và sự tồn tại
lân cận compact S(V, r).
Giả sử {δn} là dãy số dương bất kỳ, hội tụ đến 0 và ε ∈ (0, ε0].
42

45. Theo điều kiện b), đối với mỗi δn, có thể chọn được pn ∈ S(V, δn) và tn ≥ 0
sao cho f(pn, tn) ∈ S0[V, ε] và f(pn, t) ∈ S[V, ε] với tất cả t ∈ [0, tn].
Chúng ta ký hiệu qn = f(pn, tn).
Vì rằng S0[V, ε] là tập compact nên từ dãy {qn} có thể trích ra được dãy con
hội tụ. Để đỡ phức tạp trong việc ký hiệu, ta giả thiết chính dãy {qn} là hội tụ.
Và giả sử rằng lim
n→∞
qn = q. Rõ ràng theo giả thiết, q ∈ S0[V, ε]. Chúng ta sẽ chỉ
ra rằng
f (p, J−) ⊂ S [V, ε] .
Trước tiên chúng ta giả thiết rằng dãy {tn} là không giới nội. Thật vậy, giả
sử dãy {tn} là hội tụ và q = f(p, t0), ở đây p = lim
n→∞
pn và t0 = lim
n→∞
tn. Vì p ∈ V
và V là tập bất biến nên f(p, t0) ∈ V , mặt khác q ∈ S0[V, ε], trong đó ε > 0. Điều
này mâu thuẫn vì V = S0 [V, ε].
Như vậy, dãy {tn} là không giới nội. Do đó ta có thể xem rằng {tn} → +∞.
Giả sử t là một số không dương bất kỳ. Ta luôn luôn có thể chọn được n sao
cho −t ≤ tn nên 0 ≤ t + tn . Do đó ta có thể chọn tm sao cho 0 ≤ t + tm ≤ tm
với m ≥ n. Khi đó, do cách chọn số tm, chúng ta có f(pm, tm + t) ∈ S[V, ε] với tất
cả m ≥ n. Nhưng f(pm, tm + t) = f(qm, t). Có nghĩa là f q, J− ⊂ S [V, ε]. Do đó,
f (p, J−) ⊂ S [V, ε].
Bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 2.1. Nếu tập V là không ổn định thì tồn tại số ε0 > 0 sao cho đối với
bất kỳ số ε ∈ (0, ε0] ta sẽ tìm được điểm q ∈ S0[V, ε] mà đối với nó thì tập Aq = V
và Aq ⊂ S[V, ε].
Chứng minh. Thật vậy, do f (p, J−) ⊂ S [V, ε], nên f(q, t) là ổn định theo Lagrange
theo hướng âm. Có nghĩa là Aq = V và Aq ⊂ S[V, ε].
Định lý 2.12. Nếu tập V là không ổn định thì đối với ε > 0 bất kỳ, ta có thể
tìm được điểm q ∈ S (V, ε) V , sao cho vdq ≥ 0 đối với v - hàm bất kỳ xác định
trên tập hợp S(V, ε) và d - hàm bất kỳ.
Chứng minh. Giả sử tập V là không ổn định và ε > 0 là số dương bất kỳ. Chúng
ta chọn 0 < δ < min(ε, ε0), ở đây ε0 thỏa mãn điều kiện của bổ đề trên.
Khi đó ta có thể tìm được điểm q ∈ S0 [V, δ] ⊂ S (V, ε) sao cho đối với điểm q
này f q, J− ⊂ S [V, δ] ⊂ S (V, ε).
Từ đó ta suy ra rằng, với v - hàm bất kỳ xác định trên tập S(V, ε) và dãy số
không dương nào đó {tn} → −∞, thì dãy v [f (q, tn)] là giới nội, tức là tồn tại
0 < λ < +∞ sao cho v (f (q, tn)) < γ đối với tất cả các số tự nhiên n.
Bây giờ ta giả sử d là d - hàm bất kỳ. Từ tính giới nội của dãy {v (f (q, tn))}
và tính chất 3) của d - hàm ta suy ra rằng với bất kỳ số tự nhiên n ta có
d [v (f (q, tn)) , v (q)] ≤ d [γ, v (q)] = c = const.
43

46. Vì rằng v(q) > 0, nên đối với bất kỳ tn < 0 ta có
1
tn
d [v (f (q, tn)) , v (q)] ≥
c
tn
.
Do đó
lim
t→−∞
1
t
d [v (f (q, tn)) , v (q)] ≥ 0.
Theo định nghĩa của số đặc trưng tổng quát ta có vdq ≥ 0.
Định lý 2.13. Nếu đối với bất kỳ số ε > 0 ta tìm được điểm q ∈ S (V, ε) V sao
cho vdq > 0 đối với một v - hàm nào đó xác định trên tập S(V, ε) và đối với một
v - hàm nào đó thì tập V là không ổn định.
Chứng minh. Giả sử đối với v - hàm nào đó xác định tên tập S(V, ε) và với một
d - hàm nào đó. Giả sử ε > 0 là số dương bất kỳ ta tìm được điểm q ∈ S (V, ε) V
sao cho vdq > 0. Khi đó có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau được thỏa
mãn:
a. lim
t→+∞
1
t d [v (f (q, t)) , v (q)] > 0.
b. lim
t→−∞
1
t d [v (f (q, t)) , v (q)] > 0.
Nếu a) được thỏa mãn thì tồn tại dãy {tn} → +∞ sao cho
1
tn
d [v (f (q, t)) , v (q)] > α = const > 0.
Với n > N (N là một số tự nhiên đủ lớn), ta có
d [v (f (q, tn)) , v (q)] → +∞,
khi n → ∞. Do v(q) > 0 nên do sự tiệm cận của hàm d tới +∞ chỉ có thể xảy ra
khi v(f(q, tn)) → +∞ (khi n → ∞) và do đó theo tính chất của hàm v ta suy ra
ρ(f(q, tn)), V ) → ε và như vậy tập V là không ổn định.
Nếu bất đẳng thức b) được thỏa mãn thì
1
t
d [v (f (q, t)) , v (q)] > a = const > 0.
với t < −τ và τ > 0, tức là:
d [v (f (q, t)) , v (q)] → −∞,
khi t → −∞. Do tính chất của hàm d ta suy ra điều này chỉ xảy ra nếu v(f(q, t)) →
0 khi t → −∞. Từ đó ta suy ra rằng, ρ(f(q, t), V ) → 0 khi t → −∞. Vì thế quỹ
đạo f(q, J) có điểm α - giới hạn nằm trong tập V . Khi đó theo kết quả đã được
chứng minh trong (xem [11]) thì tập V là không ổn định.
44

47. Từ định lý 2.12 và 2.13 ta suy ra rằng nếu với ε > 0 bất kỳ ta tìm được điểm
q ∈ S (V, ε) V mà đối với nó vdq > 0 với một v - hàm nào đó xác định trên S(V, ε)
và đối với một d - hàm nào đó thì vdq ≥ 0 đối với v - hàm bất kỳ, xác định trên
S(V, ε) và đối với một d - hàm bất kỳ.
Định lý 2.14. Nếu tồn tại v - hàm, xác định trên S(V, ε) nào đó và d - hàm
nào đó sao cho vdp < 0 đối với tất cả các điểm p ∈ S (V, η) V thì tập hợp V là
ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Tính ổn định của tập V có thể trực tiếp suy ra từ định lý 2.12.
Chúng ta sẽ chứng minh V là một miền hút.
Thật vậy, vì rằng tập V là ổn định nên tồn tại số dương η với (0 < η < ε) sao
cho f S (V, η) , J+ ⊂ S (V, ε) khi đó đối với p ∈ S (V, η) V ta có vdp < 0 (theo
giả thiết) và từ đó ta suy ra rằng
lim
t→+∞
1
t
d [v (f (p, t)) , v (p)] < a = const < 0.
Do đó
d [v (f (p, t)) , v (p)] → −∞,
khi t → +∞ đối với tất cả các điểm p ∈ S (V, η) V .
Vì rằng v(p) > 0 nên sự tiệm cận của d đến −∞ chỉ có thể xảy ra trong trường
hợp v(f(p, t)) → 0 khi t → +∞. Khi đó ρ(f(p, t), V ) → 0 khi t → +∞ đối với tất
cả các điểm p ∈ S(V, η) và do đó tập V là miền hút.
Định lý 2.15. (xem [6])
Nếu tập V là ổn định tiệm cận, thì tồn tai v - hàm xác định trên tập S(V, ε),
tồn tại hàm d thỏa mãn các điều kiện 1), 2), 3), 4) và tồn tại số δ > 0 sao cho
vdp < −1,
đối với tất cả p ∈ WV , trong đó W = f S (V, δ) , J+ ⊂ S (V, ε).
Chứng minh. Giả sử tập V là ổn định tiệm cận. Khi đó V là miền hút. Do đó
có thể chọn ε1 > 0 sao cho ρ(f(p, t), V ) dần đến 0 khi t → +∞ đối với tất cả
ρ ∈ S(V, ε1). Từ tính ổn định tiệm cận của tập V ta suy ra tồn tại số ε2 > 0 sao
cho trong S(V, ε2)V không chứa quỹ đạo của hệ động lực f(p, t). Chúng ta chọn
ε = min (ε1, ε2, r) (ở đây r > 0 sao cho S[V, r] là compact trong M). Do tính ổn
định của tập V , đối với
ε
2
tồn tại số δ > 0, sao cho W = f S (V, δ) , J+ ⊂ S V, ε
2 .
Do W là tập bất biến dương nên bao đóng W cũng là tập bất biến dương, đồng
thời W ⊂ S V, ε
2 ⊂ S [V, ε] nên ta suy ra ρ(f(p, t), V ) → 0 khi t → +∞ đối với
mọi p ∈ W.
Chúng ta xác định trên tập W hàm liên tục v có các tính chất sau:
45

48. a. Tồn tại các hàm liên tục, tăng thực sự xác định trên J+, đồng thời
α(0) = β(0) = 0 sao cho
α (ρ (p, V )) ≤ v (p) ≤ β (ρ (p, V )) ,
đối với các p ∈ W.
b. Với tất cả p ∈ W và t ≥ 0 thực hiện bất đẳng thức
v (f (p, t)) ≤ v (p) exp(−t).
Sự tồn tại hàm v có tính chất này suy ra từ sự ổn định tiệm cận đều của tập
V .
Giả sử F là thác triển của hàm v trên toàn bộ không gian M, sao cho F(p) > 0
với tất cả p ∈ MV .
Chúng ta đặt
v (p) =
F (p) , p ∈ S V, ε
2 ,
ε
2
F(p)
ε−ρ(p,V )
, p ∈ S (V, ε) S V, ε
2 .
(2.1)
Như vậy hàm v vừa được xác định là v - hàm.
Thật vậy, hàm v liên tục trên S(V, ε), vì rằng v(p) = v(p) với p ∈ W nên
v(p) = 0 khi và chỉ khi p ∈ V . Từ (2.1) ta suy ra rằng v(p) ∈ ∞ khi ρ(p, V ) → ε.
Đồng thời từ công thức (2.1) và tính chất b) của hàm v ta suy ra rằng v(f(p, t))
là hàm giảm thực sự với t ≥ 0 đối với bất kỳ p ∈ WV .
Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng hàm d. Giả sử γ ≥ 0. Ảnh ngược v−1(γ) tại số
γ của ánh xạ v chúng ta sẽ gọi là tập mức của hàm v, tức là
v−1
(γ) = {p ∈ S (V, ε) : v (p) = γ} .
Đối với bất kỳ γ ≥ 0 tập v−1(γ) = V vì rằng nếu p ∈ S(V, ε)V thì
f p, J− ⊂ S (V, ε), tức là tìm được thời điểm to < 0 sao cho
ρ (f (p, t0) , V ) = ε và ρ (f (p, t) , V ) < ε,
đối với mọi t > t0. Đồng thời, ρ(f(p, t), V ) → 0 khi t → +∞ , do đó với quỹ đạo
f(p, J) được chứa toàn bộ trong S(V, ε)V thì dọc theo nó hàm v nhận tất cả
các giá trị dương. Dễ dàng suy ra rằng tập v−1(γ) là tập đóng, compact. Giả sử
0 < γ1 < γ2. Chúng ta ký hiệu
v−1
[γ1, γ2] = ∪
γ1≤γ≤γ2
v−1
(γ) .
Dễ dàng có thấy rằng tập v−1 [γ1, γ2] là khác rỗng, đóng và compact.
Bây giờ đối với mỗi điểm p ∈ D = S (V, ε) V ta xác định tập T(p, γ2, γ1) theo
quy tắc
T (p, γ2, γ1) = t ≥ 0 : f (p, t) ∈ v−1
[γ1, γ2] .
46

49. Rõ ràng thấy rằng ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) = V . Chúng ta xét sup ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1).
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng với các giá trị γ1 và γ2 cố định thì tồn tại 0 < τ < +∞
sao cho sup ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) ≤ τ. Thật vậy, vì rằng v xác định và liên tục trên tập
compact S(V, ε) và v(p) = 0 với p ∈ V , nên chúng ta luôn luôn tìm được η > 0
sao cho v(p) < γ1 đối với tất cả p ∈ S(V, η).Do đó
∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) ≤ τ < +∞.
Ngoài ra dễ dàng suy ra rằng ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) > 0. Thật vậy, vì rằng hàm v
nhận tất cả các giá trị dương nên có thể tìm được điểm p ∈ D sao cho v(p) = γ2.
Vì rằng ρ(f(p, t), V ) → 0 khi t → +∞ đối với tất cả p ∈ D cho nên chúng ta có thể
tìm được thời điểm t1 > 0 sao cho v(f(p, t1) = γ1 và do đó ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) ≥ t1 > 0.
Giả sử 0 < γ1 ≤ γ2. Chúng ta đặt
d (γ2, γ1) =



sup ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) , γ2 = γ1,
0.
(2.2)
d (γ1, γ2) = −d (γ2, γ1) . (2.3)
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng d là d - hàm (thỏa mãn các tính chất 1),2),3),4)).
Thật vậy, các điều kiện 1) và 2) của định nghĩa d - hàm được suy ra từ (2.2) và
(2.3). Điều kiện 3) được suy ra từ tính chất sau đây, với γ2 > γ1 > γ
∪
p∈D
T (p, γ2, γ) ⊃ ∪
p∈D
T (p, γ1, γ) ,
và do đó d(γ2, γ) ≥ d(γ1, γ). Trong các trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự.
Giả sử 0 < γ1 < γ2 < γ3. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng
∪
p∈D
T (p, γ3, γ1) = ∪
p∈D
T (p, γ3, γ2) ∪ ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) . (2.4)
Giả sử t0 ∈ ∪
p∈D
T (p, γ3, γ1) khi đó chúng ta tìm được điểm p0 sao cho t0 ∈
T(p0, γ3, γ1) tức là γ1 ≤ v(f(p0, t0)) ≤ γ3. Ta ký hiệu v(f(p0, t0)) = γ0. Rõ ràng
rằng γ2 ≤ γ0 ≤ γ3 hay là γ1 ≤ γ0 ≤ γ2. Trong trường hợp thứ nhất thì t0 ∈
∪
p∈D
T (p, γ3, γ2), trong trường hợp thứ hai −t0 ∈ ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1). Điều ngược lại
thì hiển nhiên. Từ (2.4) ta suy ra rằng
sup ∪
p∈D
T (p, γ3, γ1) ≤ sup ∪
p∈D
T (p, γ3, γ2) + sup ∪
p∈D
T (p, γ2, γ1) ,
tức là d(γ3, γ1) ≤ d(γ3, γ2)+d(γ2, γ1) và do đó tính chất 4) của định nghĩa d - hàm
được thực hiện.
47

50. Giả sử p ∈ WV . Chúng ta xét T[p, v(p), v(f(p, t))], t > 0. Vì rằng trên tập
WV hàm v(p) giảm thực sự dọc theo mỗi nửa quỹ đạo , do đó v(f(p, t)) < v(p).
Chúng ta ký hiệu v(p) = γ2 và v(f(p, t)) = γ1. Giả sử γ1 < γ < γ2. Do tính chất
giảm thực sự của v dọc theo nửa quỹ đạo f(p, J+) nên ta tìm được 0 < t < t mà
v(f(p, t)) = γ. Do đó
T(p, v(p), v(f(p, t))) = [0, t].
Khi đó
sup ∪
p∈D
T (p, v (p) , v (f (p, t))) ≥ t,
và
d (v (p) , v (f (p, t))) ≥ t.
Do (2.3)
d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ −t,
lim
t→∞
1
t
d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ −1.
Vì rằng f p, J− ⊂ S (V, ε) V với p ∈ WV nên
vdp = lim
t→∞
1
t
d (v (f (p, t)) , v (p)) ,
với tất cả p ∈ WV và do đó sup
p∈WV
vdp ≤ −1.
Định lý 2.16. (xem [6])
Nếu tập V là ổn định tiệm cận thì tồn tại ε > 0 sao cho vdp ≤ 0 đối với mọi
p ∈ WV , ở đây W = f S (V, δ) , J+ ⊂ S (V, ε) còn δ là một số dương nào đó, v
là v - hàm nào đó xác định trên tập S(V, ε) còn d là d - hàm.
Chứng minh. Giả sử tập V là ổn định tiệm cận. Chúng ta chọn ε > 0 giống như
trong định lý trên. Do tính ổn định của tập V đối với ε đã chọn tồn tại δ > 0
sao cho W = f S (V, δ) , J+ ⊂ S (V, ε). Giả sử p ∈ WV , v là v - hàm của tập V
còn d là d - hàm. Khi đó vì f p, J− ⊂ S (V, ε) nên
vdp = lim
t→∞
1
t
d (v (f (p, t)) , v (p)) .
Do ρ(f(p, t), V ) → 0 khi t → ∞ nên v(f(p, t)) → 0 khi t → +∞ theo tính chất
của hàm v, do đó
d (v (p) , v (f (p, t))) < 0,
khi t > T. Khi đó
lim
t→∞
1
t
d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ 0,
đối với bất kỳ p ∈ WV .
48

51. Chúng ta nhận thấy rằng như trong hai định lý cuối, nếu tập V ổn định tiệm
cận thì ta có thể khẳng định rằng vdp ≤ 0 chỉ trên tập WV , ở đây W = S(V, ε)
còn S(V, ε) là miền xác định của hàm v. Một vấn đề đặt ra một cách tự nhiên là
trong trường hợp nào thì có thể khẳng định vdp ≤ 0 trên toàn bộ WV ?
Giả sử tập V là miền hút và tồn tại ε > 0 sao cho f(p, J+) ⊂ S (V, ε) đối với
p ∈ S(V, ε) bất kỳ ở đây 0 < ε < ε0. Khi đó tập V là ổn định tiệm cận và tồn tại
0 < η ≤ ε0 sao cho vdp ≤ 0 đối với p ∈ S(V, η)V đối với v - hàm nào đó xác định
trên S(V, η) và d - hàm nào đó.
Thật vậy, từ tính ổn định của tập V với ε1 > 0 trong lân cận S(V, ε1)V không
chứa quỹ đạo của hệ động lực f(p, t).
Giả sử η = min(ε1, ε0). Khi đó f(p, J+) ⊂ S (V, ε) đối với p ∈ S(V, η) bất kỳ,
còn f p, J− ⊂ S (V, ε). Do đó
vdp = lim
t→∞
1
t
d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ 0.
2.2.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.2. Xét phương trình tích phân
x(t) = x +
t
0
x(τ)(1 − x(τ))dτ (*), trong đó x ∈ R, t ∈ (0, +∞).
Thử lại một cách trực tiếp ta thấy phương trình (*) có nghiệm
x(t) =
etx
(et − 1)x + 1
, t ∈ R+
, x ∈ R.
Xét ánh xạ φ : R+ × R → R được xác định bởi
(t, x) → φtx = x(t) =
etx
(et − 1)x + 1
.
Khi đó (R, R+, φ) là một hệ động lực. Thật vậy:
Ta có, φ0x =
e0x
(e0 − 1)x + 1
= x nên φ0x là ánh xạ đồng nhất.
Ta cần chứng minh φtφsx = φt+sx, ∀t, s ∈ R+, x ∈ R.
Vì φsx =
esx
(es − 1)x + 1
nên
φtφsx = φt(φsx) =
etφsx
(et − 1)φsx + 1
=
et+sx
(et+s − 1)x + 1
= φt+sx.
Ta nhận thấy rằng hệ (*) có hai điểm cân bằng là x(t) ≡ 0 và x(t) ≡ 1.
Xét tập A = {(p, t)|φ(p, t) ≡ 1, ∀p ∈ B, t ∈ R+}, dễ dàng thấy A là tập bất biến,
vì rằng φtp = 1, ∀p ∈ A. Hơn nữa
lim
t→∞
φt(x) = lim
t→∞
etx
(et − 1)x + 1
= 1.
Nên hệ (*) ổn định theo định lý 2.11.
49

52. Ví dụ 2.3. Giả sử (T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach
B. Xét f : R+ × B → B là ánh xạ liên tục mạnh và thỏa mãn điều kiện
f(t, x) − f(t, y) ≤ α(t) x − y ,
với t ∈ R+, x, y ∈ B bất kỳ. Ở đây α : R+ → R là liên tục, bị chặn và thỏa mãn
điều kiện
+∞
0
α(t)dt < +∞.
Xét phương trình tiến hóa
u(t) = T(t)x +
t
0
T(t − τ)f(τ, u(τ))dτ, (2.5)
với x ∈ B, t ≥ 0. Bằng phương pháp ánh xạ co ta có thể chỉ ra rằng phương
trình (2.5) có nghiệm duy nhất u = u(t). Bây giờ ta ký hiệu M = B, G = R+ và
φ : R+ × B → B được xác định bởi
φt : x → u(t).
Khi đó ta có hệ động lực (M, G, φ) có tính chất (T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục
mạnh, ổn định mũ thì vị trí cân bằng x = 0 của hệ động lực này là ổn định tiệm
cận.
Thật vậy, trước hết ta chứng minh φ = φtx là một hệ động lực. Tức là:
φ0x = x,
φt+sx = φtφsx,
trong đó ∀x ∈ B, t, s ∈ R+.
Ta có φ0x = u(0) = T(0)x = x nên φ = φ0x là ánh xạ đồng nhất, với mọi x ∈ B,
với mọi t, s ∈ R+, x ∈ B ta có:
[φt+s] x = T(t + s)x +
t+s
0
T(t + s − τ)f(τ, u(τ))dτ
= T(t) T(s)x +
s
0
T(s − τ)f(τ, u(τ))dτ +
t+s
s
T(s − τ)f(τ, u(τ))dτ
= T(t) T(s)x +
s
0
T(s − τ)f(τ, u(τ))dτ +
t+s
s
T(t + s − τ)f(τ, u(τ))dτ
= T(t)φsx +
t+s
s
T(t + s − τ)f(τ, u(τ))dτ = φt (φsx) = [φtφs] x.
Tiếp theo ta nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng x = 0.
Ta xét tập bất biến là V = {0} trong không gian Banach B, chọn hàm v(p) =
p . Khi đó v(p) là v - hàm Lyapunov vì
50

53. i. v(p) = 0 ⇐⇒ p = 0 ∈ V .
ii. Do ρ(V, p) → ∞ nên v(p) → +∞.
iii. v(p) = p nên hiển nhiên có v(p) > 0.
Chọn hàm d = lnλ1 − lnλ2 với λ1 > λ2 > 0. Khi đó d là d - hàm. Thật vậy
i. d(λ, λ) = lnλ − lnλ = 0.
ii. d(λ1, λ2) = lnλ1 − lnλ2 = −(lnλ2 − lnλ1) = −d(λ2, λ1).
iii. ∀λ1 > λ2 ⇒ lnλ1 > lnλ2 hay d(λ1, λ) > d(λ2, λ).
iv. d(λ1, λ2) + d(λ2, λ3) = lnλ1 − lnλ2 + lnλ2 − lnλ3 ≥ lnλ1 − lnλ3 = d(λ1, λ3).
Do (T(t))t≥0 là ổn định mũ, tức là tồn tại M0 ≥ 1, λ > 0 sao cho
T(t) ≤ M0e−λt
với mọi t ≥ 0 nên ta có:
u(t) ≤ T(t) . x +
t
0
T(t − τ)f(τ, u(τ)) dτ
≤ M0e−λt
x +
t
0
M0e−λ(t−τ)
α(τ) u(τ) dτ.
Từ đó ta suy ra rằng:
u(t) eλt
≤ M0 x +
t
0
M0eλτ
α(τ) u(τ) dτ.
Theo bổ đề Gronwall - Bellman (xem [4], [8]), ta có
u(t) eλt
≤ M0 x .eM0
t
0
α(τ)d(τ)
≤ M2.
Do đó,
u(t) ≤ M2.e−λt
.
Hay
ln u(t) ≤ ln(M2.e−λt
) = −λt,
nên
lim
t→∞
1
t
ln u(t) ≤ lim
t→∞
−λt
t
= −λ < 0, với mọi λ > 0.
Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Nhận xét 2.2. Trong trường hợp tổng quát chúng ta có thể nghiên cứu hệ động
lực φt : S(V, ε) → B được xác định như sau
φt : x → u(t),
với t ∈ R+ và x ∈ S(V, ε) = {x| x < ε}.
Khi đó ta có thể xác định hàm v : S(V, ε) → B như sau:
v( x ) =
x
ε − x
.
51

54. Kết luận
Bản luận văn này đã trình bày lại một cách hệ thống các nội dung sau đây :
Phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. Sau đó đã
trình bày cách phát triển các phương pháp đó thành phương pháp số đặc trưng
tổng quát Lyapunov - Bagdanov để nghiên cứu tính ổn định của tập bất biến
cho hệ động lực tổng quát.
Đóng góp nhỏ của luận văn này là xây dựng được các ví dụ minh họa cho
khả năng ứng dụng của các phương pháp trên cho hệ động lực tổng quát.
52

55. Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết
ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, (2000).
[2] A.M Lyapunov, Bài toán tổng quát về ổn định chuyển động Tuyển tập các
công trình V.6.T.2, (1956) (Bằng tiếng Nga).
[3] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial
Diffirential Equations, Springer - Verlag, Beclin - NewYork (1983).
[4] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka"
Moscow (Russian) (1967).
[5] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems
differential equations, Amer. Math.Soc (1999).
[6] L.A Chelusheva, Về lý thuyết số đặc trưng tổng quát của các phương trình
vi phân T.4 N9 trang 1610 - 1627 (Bằng tiếng Nga).
[7] J.D.Murray, Mathematical Biology Spatial Modeds and Biomedical Applica-
tions, Third Edition, Springer (2001).
[8] Ju. L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equa-
tions in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode
Island, (1974).
[9] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear
evolution Equations, Springer Verlog NewYork (2000).

56. Tài liệu tham khảo 54
[10] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trực tiếp của Lyapunov về lý
thuyết ổn định, Mosscow (1988) (Bằng tiếng Nga).
[11] U.X Bagdanov, Phương pháp định tính của lý thuyết dao động Tuyển tập
các công trình Kiev, (1970) (Bằng tiếng Nga).
[12] U.X Bagdanov, Về dấu hiệu biểu thị tính ổn định tiệm cận nhờ số vd−
bé, Tạp chí phương trình vi phân (Differential Equations), 1966, TII, N3
(Bằng tiếng Nga).