Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
PHẠM LAN PHƯƠNG
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội – Năm 2015

2. Mục lục
Mở đầu 3
1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Không gian Wl,p(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Không gian Wl,p
0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 7
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), Cl(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Định nghĩa không gian C0,α(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Định nghĩa không gian Cl,α(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Định nghĩa phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Định lý nhúng vào Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Định lý nhúng của không gian Wl,p(Ω) . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 12
1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.3 Định lý Fredholm trong không gian Banach . . . . . . . . . 12
1.5.4 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 13
2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 14
2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet . . . . . . . . 14
2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . 25
2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 28
1

3. MỤC LỤC
2.3.1 Đánh giá max
Ω
|u| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω và ||u||W2,2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder Cl,α(Ω) . . . . . . 45
2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Cl,α(Ω) . 47
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
2

4. MỞ ĐẦU
Đối với một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta đã nghiên cứu
tính giải được của bài toán Dirichlet. Đối với phương trình elliptic dạng bảo
toàn, người ta đã đưa được nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W1,2(Ω)
và chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Đối với các phương trình
elliptic dạng không bảo toàn, người ta đã đưa vào các lớp nghiệm cổ điển trong
không gian Holder C2,β(Ω) và cũng chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của
nghiệm.
Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được
của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang
trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài
"Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai".
Luận văn được chia làm hai chương:
• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev,
Holder, các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính
trong không gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn,
trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Với
hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy
rộng trong không gian Sobolev W1,2(Ω), phát biểu và chứng minh tính giải được
Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian này. Đối với lớp hệ phương
trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm
đối với nghiệm của bài toán, phát biểu tính giải được Fredholm của bài toán
Dirichlet trong không gian Holder C2,β(Ω).
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
3

5. MỞ ĐẦU
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà
Tiến Ngoạn, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán
học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập
và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
bản luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015
Tác giả
Phạm Lan Phương
4

6. Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1 Không gian Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞
Định nghĩa 1.1. Lp(Ω) là không gian Banach gồm các hàm đo được u xác định
trên Ω và p - khả tích sao cho
Ω
|u(x)|p
dx < +∞.
Chuẩn của Lp(Ω) được định nghĩa bởi
||u||Lp(Ω) =


Ω
|u(x)|p
dx


1
p
,
trong đó |u(x)| là trị tuyệt đối hoặc mô đun của u(x).
Khi p = +∞, L∞(Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn
||u||∞ = sup
Ω
|u(x)| = ess sup
Ω
|u(x)| ≡ inf{M; |u(x)| ≤ M; hầu khắp nơi trong Ω}
Khi p = 2, L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)L2(Ω) =
Ω
u(x).v(x)dx,
(u, u) = ||u||2
=
Ω
|u(x)|2
dx.
Nhận xét 1.1. Nếu f ∈ L2(Ω); g ∈ L2(Ω) thì
Ω
fgdx ≤
Ω
|fg|dx ≤


Ω
|f|2
dx


1
2


Ω
|g|2
dx


1
2
5

7. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
(f, g là các hàm bình phương khả tích).
Nếu a ∈ L∞(Ω) và f, g ∈ L2(Ω) thì
Ω
afgdx ≤ ||a||∞
Ω
|fg| dx.
1.1.2 Không gian Wl,p
(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
Định nghĩa 1.2. Với ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
Wl,p
(Ω) = {u(x) ∈ Lp(Ω); Dα
u(x) ∈ Lp(Ω), ∀α : |α| ≤ l},
trong đó
α = (α1, α2, . . . , αn); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn;
Dαu = Dα1
1 Dα2
2 . . . Dαn
n ; Dj = ∂
∂xj
.
Khi đó, chuẩn của u(x) ∈ Wl,p(Ω) được định nghĩa bởi
||u||Wl,p(Ω) =


Ω |α|≤l
|Dα
u|p
dx


1
p
.
Một chuẩn tương đương là
||u||p
Wl,p(Ω)
=
|α|≤l
|Dα
u|p
Lp(Ω)
.
Nhận xét 1.2. Giả sử Ω ⊂ Rn; l ∈ N; 1 ≤ p < +∞ thì Wl,p(Ω) là một không gian
Banach.
Khi l = 1, p = 2 thì
W1,2
(Ω) = u ∈ L2(Ω); D1
u ∈ L2(Ω) .
Không gian W1,2(Ω) được trang bị tích vô hướng
(u, v) = (u, v)L2(Ω) +
1≤l≤n
∂u
∂xl
;
∂v
∂xl L2(Ω)
,
và chuẩn tương ứng
||u||2
W1,2(Ω) =
Ω
| u(x)|2
+ u(x)2
dx.
Khi đó W1,2(Ω) là không gian Hilbert.
Nhận xét 1.3. Nếu l < m thì
Wm,p
(Ω) ⊂ Wl,p
(Ω).
6

8. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.3 Không gian Wl,p
0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
a) Không gian C∞
0 (Ω)
C∞
0 (Ω) = {u(x) ∈ C∞
(Ω), supp u ⊂ Ω}.
b) Không gian Wl,p
0 (Ω)
Định nghĩa 1.3. Không gian Wl,p
0 (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C∞
0 (Ω)
trong chuẩn của không gian Wl,p(Ω).
Kí hiệu
Wl,p
0 (Ω) = C∞
0 (Ω).
Khi đó,
Wl,p
0 (Ω) = {u(x); u(x) ∈ Wl,p
(Ω), Dα
u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}.
Nhận xét 1.4. i) Đối với các hàm u(x) ∈ W1,p
0 (Ω), v(x) ∈ W1,p (Ω) ta có
Ω
uxi vdx = −
Ω
uvxi dx,
trong đó 1
p + 1
p = 1.
ii) Hai chuẩn tương đương trong W1,p(Ω)
||u||p
W1,p(Ω)
=
|α|≤l
||Dα
u||p
Lp(Ω)
,
||u||W1,p(Ω) =
|α|≤l
||Dα
u||Lp(Ω).
Hai chuẩn là tương đương, nếu tồn tại c1, c2 ∈ R∗
+ sao cho
c1||u|| ≤ |||u||| ≤ c2||u||.
iii) Hai chuẩn sau là tương đương trên Wl,p
0 (Ω)
||u|| = ||u||Lp(Ω) +
n
j=1
||Dju||Lp(Ω),
|||u||| =
n
j=1
||Dju||Lp(Ω),
trong đó Dju = Dxj u.
7

9. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
iv) Khi l = 1, p = 2
Chuẩn của W1,2
0 (Ω) xác định bởi
||u||2
W1,2(Ω) = ||u||2
L2(Ω) +
n
j=1
||uxj ||2
L2(Ω).
Chuẩn mới tương đương là
|||u|||2
W1,2
0 (Ω) = ||u||2
W1,2(Ω) =
Ω
n
i,j=1
aij(x)uxi uxj dx,
trong đó aij = aji, c1|ξ|2 ≤
n
i,j=1
aij(x)ξiξj ≤ c2|ξ|2, ∀ξ ∈ Rn.
1.2 Không gian Holder
Cho Ω là một tập mở trong Rn. Ta định nghĩa một số không gian
1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), Cl
(Ω)
Định nghĩa 1.4.
C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục trong Ω},
Cl
(Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα
u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l},
với l ∈ N.
Trong không gian Cl(Ω) xác định chuẩn
|u|l,Ω = sup
Ω
|α|≤l
Dα
u.
1.2.2 Định nghĩa không gian C0,α
(Ω)
Định nghĩa 1.5. C0,α(Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω
với |u|(α),Ω xác định
C0,α
(Ω) = {u(x) ∈ C0
(Ω); |u|(α),Ω = sup
x,y∈Ω
x=y
|u(x) − u(y)|
|x − y|α < +∞},
với 0 < α ≤ 1.
Chuẩn của C0,α(Ω) được định nghĩa bởi
|u|α,Ω = max
Ω
|u| + |u|(α),Ω.
Chú ý 1.1. Hàm u(x) ∈ C0,α(Ω) nếu u(x) ∈ C0,α(Ω ) với ∀Ω ⊂ Ω.
8

10. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.2.3 Định nghĩa không gian Cl,α
(Ω)
Định nghĩa 1.6.
Cl,α
(Ω) = {u(x) ∈ Cl,α
(Ω); Dα
u ∈ C0,α
; ∀|α| = l}.
Chuẩn trong Cl,α(Ω)
|u|l,α,Ω = |u|l,Ω +
(l)
|D(l)
u|(α),Ω.
1.3 Các định lý nhúng
1.3.1 Định nghĩa phép nhúng
Định nghĩa 1.7. (Phép nhúng)
Cho B1, B2 là hai không gian Banach.
Ta nói rằng B1 nhúng vào B2 và kí hiệu B1 → B2, nếu với u ∈ B1 thì u ∈ B2.
Định nghĩa 1.8. (Phép nhúng liên tục)
Một không gian Banach B1 được gọi là nhúng liên tục trong không gian
Banach B2, ký hiệu B1 → B2 , nếu B1 nhúng vào B2 và ||u||B2
≤ c||u||B1
, với c là
hằng số không phụ thuộc vào u ∈ B1.
Định nghĩa 1.9. (Phép nhúng hoàn toàn liên tục)
Một không gian Banach B1 được gọi là nhúng hoàn toàn liên tục trong không
gian Banach B2, nếu một tập bị chặn trong B1 là một tập tiền compact trong
B2.
1.3.2 Định lý nhúng vào Lp(Ω)
Định lý 1.1. Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤ p < q < +∞.
Khi đó, Lq(Ω) ⊂ Lp(Ω) và ánh xạ nhúng
j : Lq(Ω) → Lp(Ω)
là liên tục.
Chứng minh. Giả sử u ∈ Lq(Ω).
Ta cần chứng minh u ∈ Lp(Ω) hay
Ω
|u|p
dx < +∞.
Ta có
||u||p
Lp(Ω)
=
Ω
|u|p
dx =
Ω
1.|u|p
dx.
9

11. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có
||u||p
Lp(Ω)
≤
Ω
1
q
q−p
dx
q−p
q
Ω
(|u|p
)
q
p
dx
p
q
= (mes Ω)
q−p
q ||u||Lq(Ω)
p
q
< +∞ (1.1)
Vì Ω bị chặn và u ∈ Lq(Ω) nên
(mes Ω)
q−p
q < +∞.
Vậy u ∈ Lp(Ω).
Từ công thức (1.1) ta suy ra


Ω
|u|p
dx


1
p
≤ (mes Ω)
q−p
q


Ω
|u|q
dx


1
pq
= (mes Ω)
q−p
q


Ω
|u|q
dx


1
q
.
Tức là
||u||Lp(Ω) ≤ (mes Ω)
q−p
q .||u||Lq(Ω). (1.2)
Từ (1.2) chứng tỏ ánh xạ j : Lq(Ω) → Lp(Ω) là liên tục và
||j|| ≤ (mes Ω)
q−p
q = (mes Ω)
1
p
−1
q .
1.3.3 Định lý nhúng của không gian Wl,p
(Ω)
Định lý 1.2. Cho Ω ⊂ Rn là tập bị chặn.
Khi đó, ta có các khẳng định sau
1. Nếu lp < n và
Với q ≤ np
n−pl, thì Wl,p(Ω) nhúng liên tục vào Lq(Ω),
Với q < np
n−pl, thì Wl,p(Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Lq(Ω).
2. Nếu lp > n và
Với β ≤ pl−n
p , thì Wl,p(Ω) nhúng liên tục vào Cβ(Ω),
Với β < pl−n
p , thì Wl,p(Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Cβ(Ω).
10

12. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.4 Một số bất đẳng thức
1.4.1 Bất đẳng thức Young
Ta có bất đẳng thức Young
|ab| ≤
|a|p
p
+
|b|q
q
, (1.3)
trong đó p, q ∈ R; p > 0; q > 0 thỏa mãn 1
p + 1
q = 1.
Nhận xét 1.5. i) Khi p = q = 2, bất đẳng thức (1.3) chính là bất đẳng thức
Cauchy.
ii) Thay a bởi ε
1
p a, b bởi ε−1
p b, với ε > 0. Khi đó (1.3) trở thành
|ab| ≤
ε|a|p
p
+
ε−q
p |b|q
q
≤ ε|a|p
+ ε−q
p |b|q
.
1.4.2 Bất đẳng thức Holder
Với u ∈ Lp(Ω); v ∈ Lq(Ω) và 1
p + 1
q = 1, ta có bất đẳng thức Holder
Ω
uvdx ≤


Ω
|u|p
dx


1
p


Ω
|u|q
dx


1
q
= ||u||p||u||q.
Nhận xét 1.6. i) Khi p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng
thức Schwarz
Ω
uvdx ≤
Ω
|uv|dx ≤


Ω
|u|2
dx


1
2


Ω
|u|2
dx


1
2
= ||u||L2(Ω)||u||L2(Ω).
ii) Trong trường hợp tổng quát với m là hàm u1, u2, . . . , um nằm trong không
gian Lp1 (Ω), Lp2 (Ω), . . . , Lpm (Ω), bất đẳng thức Holder có dạng
Ω
u1u2 . . . umdx ≤ ||u||p1 ||u||p2 . . . ||u||pm ,
với 1
p1
+ 1
p2
+ · · · + 1
pm
= 1.
11

13. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.4.3 Bất đẳng thức Poincare
Giả sử Ω là miền bị chặn và p ≥ 1. Khi đó, tồn tại số c = c(Ω) > 0 sao cho
Ω
|u(x)|2
dx ≤ c
Ω
n
j=1
|uxj (x)|2
dx;
với mọi hàm u(x) ∈ W1,2
0 (Ω).
1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính
1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact
Định nghĩa 1.10. Cho V1, V2 là hai không gian tuyến tính định chuẩn.
Ánh xạ T : V1 → V2 được gọi là compact nếu T biến các tập bị chặn trong V1
thành các tập tiền compact trong V2.
1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp
Định nghĩa 1.11. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
H . Khi đó, ánh xạ liên hợp T∗ cũng là tuyến tính bị chặn trong H , được xác
định bởi
(T∗
y, x) = (y, Tx)
với mọi x, y ∈ H .
Rõ ràng, ||T∗|| = ||T||, ở đây ||T|| = sup
x=0
||T(x)||
||x||
.
Nhận xét 1.7. Nếu T compact thì T∗ cũng compact.
1.5.3 Định lý Fredholm trong không gian Banach
Định lý 1.3. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.
T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.
Khi đó, nếu phương trình
x − Tx = 0
duy nhất nghiệm, thì với mọi y ∈ V , phương trình
x − Tx = y
có nghiệm duy nhất và toán tử (I − T)−1 là toán tử bị chặn.
12

14. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.4. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.
T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.
Khi đó, tập hợp các giá trị riêng của nó là đếm được và sẽ không có điểm tụ nào
ngoài λ = 0. Mỗi giá trị riêng khác không đều có bội hữu hạn.
1.5.4 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert
Định lý 1.5. Cho H là không gian Hilbert và T : H → H là ánh xạ compact.
Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R chứa vô hạn các phần tử trừ λ = 0, sao
cho nếu λ = 0, λ /∈ Λ thì các phương trình
λx − Tx = y, λx − T∗
x = y (1.4)
có nghiệm duy nhất xác định x ∈ H với mọi y ∈ H , và các ánh xạ ngược
(λI − T)−1, (λI − T∗)−1 đều bị chặn.
Nếu λ ∈ Λ, không gian rỗng của ánh xạ λI − T, λI − T∗ có chiều dương xác định
và phương trình (1.4) là giải được khi và chỉ khi y trực giao với không gian rỗng
của λI − T∗ trong trường hợp thứ nhất và λI − T trong các trường hợp khác.
13

15. Chương 2
Bài toán Dirichlet cho hệ phương
trình elliptic
2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet
a) Hệ phương trình elliptic
Với x ∈ Ω ⊂ Rn, xét hệ phương trình dạng bảo toàn
Lu ≡
∂
∂xi
[aij(x)uxj + Ai(x)u] + Bi(x)uxi + B(x)u =
∂fi
∂xi
+ f, (2.1)
ở đây, u, fi và f là các hàm vecto N phần tử
u =



u1
u2
...
uN


 ; fi =



fi1
fi2
...
fiN


 ; f =



f1
f2
...
fN


 ;
aij(x) là hàm vô hướng : aij(x).uxj = aij(x).E.uxj ;
Ai(x), Bi(x), B(x) là các ma trận vuông cấp N.
Giả sử rằng các hệ số aij của hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức
λ
n
i,j=1
ξ2
i ≤ aij(x)ξiξj ≤ µ
n
i=1
ξ2
i ; λ, µ = const > 0, (2.2)
với ∀x ∈ Ω; ∀ξi ∈ Rn.
Khi đó hệ (2.1) là hệ phương trình elliptic.
b) Bài toán Dirichlet
Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình (2.1) là bài toán tìm hàm vecto
14

16. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
u(x) trong Ω của hệ phương trình (2.1) và thỏa mãn điều kiện biên
u|S = ϕ|S, (2.3)
với ϕ(x) ∈ W1,2(Ω).
Ta giả sử thêm điều kiện
||aim
i , bim
i ||Lq(Ω), ||bim
||Lq
2
(Ω) < µ; q > n. (2.4)
Với mọi hàm fi(x), f(x) và ϕ(x) thỏa mãn
||fi||L2(Ω)||f||L 2ˆn
ˆn+2
(Ω), ||ϕ||W1,2(Ω) < ∞, (2.5)
ở đây
ˆn =
n với n > 2;
2 + ε với n = 2; ε > 0.
Các giả thiết fi, f, ϕ là cần thiết đối với sự tồn tại của nghiệm suy rộng thuộc
W1,2(Ω) của hệ (2.1).
2.1.2 Nghiệm suy rộng
1. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình elliptic
Hàm vecto u(x) ∈ W1,2(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) nếu với
mọi hàm vecto η(x) ∈ W1,2
0 (Ω), thỏa mãn đẳng thức tích phân
Ω
(aijuxj + Aiu − fi)ηxi − (Biuxi + Bu − f)η dx = 0. (2.6)
2. Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
Hàm u(x) ∈ W1,2(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu
u(x) là nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) và u(x)−ϕ(x) ∈ W1,2
0 (Ω).
2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất
của nghiệm suy rộng
2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất
Xét bài toán (2.1), (2.3) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4), (2.5). Do hàm
vecto u(x) ∈ W1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1), nên
L(u, η) ≡
Ω
aijuxj + Aiu ηxi − (Biuxi + Bu) η dx =
Ω
(fiηxi − fη) dx,
15

17. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
hay,
L(u, η) = (fi, ηxi ) − (f, η), (2.7)
với η(x) ∈ W1,2
0 (Ω) và thỏa mãn u(x) − ϕ(x) ∈ W1,2
0 (Ω).
Đặt
v(x) = u(x) − ϕ(x).
Với hàm này, từ đẳng thức (2.7) ta thu được
L(v, η) = −L(ϕ, η) + (fi, ηxi ) − (f, η), (2.8)
và từ (2.3) ta có
v|S = 0, (2.9)
với v ∈ W1,2
0 (Ω). Đến đây, thay vì xét hàm u, ta tìm hàm v ∈ W1,2
0 (Ω) thỏa mãn
đẳng thức (2.8). Từ đó, ta cũng suy ra được hàm u = v + ϕ là nghiệm suy rộng
của bài toán (2.1), (2.3).
Xét
l(η) = −L(ϕ, η) + (fi, ηxi ) − (f, η) (2.10)
là phiếm hàm tuyến tính trên W1,2(Ω).
Bước 1 Đánh giá |l(η)|.
Ta có
|l(η)| ≤ |L(ϕ, η)| +
i
(fi, ηxi ) + |(f, η)|
≤
Ω i,j
|aijϕxj ηxi| +
i
|Aiϕηxj | +
i
|Biϕxi η| + |Bϕη| dx+ (2.11)
+
i
|(fi, ηxi )| + |(f, η)|.
Với u ∈ W1,2(Ω), η ∈ W1,2
0 (Ω) bất kì, ˆc(q, Ω) và c(q, Ω) là các hằng số thì
||u||L 2q
q−2
(Ω) ≤ c(q, Ω)||u||W1,2(Ω), q ≥ ˆn
||η||L 2q
q−2
(Ω) ≤ c(q, Ω) mes
1
n
−1
q Ω|| η||L2(Ω)
≡ ˆc(q, Ω)|| η||L2(Ω), q ≥ ˆn.



(2.12)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Holder ta có
|(f, η)| ≤ ||f||L 2ˆn
ˆn+2
(Ω)||η||L 2ˆn
ˆn−2
(Ω) ≤ ˆc(ˆn, Ω)||f||L 2ˆn
ˆn+2
(Ω)|| η||L2(Ω),
|(fi, ηxi )| ≤ ||f||L2(Ω)|| η||L2(Ω).
(2.13)
16

18. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
|L(ϕ, η)| ≤
Ω
aijϕxj ηxidx +
Ω
Aiϕηxi dx +
Ω
Biϕxi ηdx +
Ω
Bϕηdx
≤ µ
Ω
ϕ ηdx + µ
Ω
ϕ ηdx + µ
Ω
ϕηdx + µ
Ω
ϕηdx
≤ µ


Ω
| ϕ|2
dx


1
2


Ω
| η|2
dx


1
2
+ µ


Ω
|ϕ|
2q
q−2 dx


q−2
2q


Ω
| η|2
dx


1
2
+
+ µ


Ω
| ϕ|2
dx


1
2


Ω
|η|
2q
q−2 dx


q−2
2q
+


Ω
|ϕ|
2q
q−2 dx


q−2
2q


Ω
|η|
2q
q−2 dx


q−2
2q
≤ µ|| ϕ||L2(Ω)|| η||L2(Ω) + µ||ϕ||L 2q
q−2
(Ω)|| η||L2(Ω) + µ||η||L 2q
q−2
(Ω)|| ϕ||L2(Ω)+
+µ||ϕ||L 2q
q−2
(Ω)||η||L 2q
q−2
(Ω). (2.14)
Áp dụng (2.12) vào (2.14) ta được
|L(ϕ, η)| ≤ µ|| ϕ||L2(Ω)|| η||L2(Ω) + µ c(q, Ω)||ϕ||W1,2(Ω) || η||L2(Ω)+
+ µ ˆc(q, Ω)|| η||W1,2(Ω) || ϕ||L2(Ω) + µ c(q, Ω)||ϕ||W1,2(Ω) ˆc(q, Ω)|| η||W1,2(Ω)
≤ µ [1 + c(q, Ω) + ˆc(q, Ω) + c(q, Ω)ˆc(q, Ω)] ||ϕ||W1,2(Ω)|| η||L2(Ω)
≤ µ [(1 + c(q, Ω)) (1 + ˆc(q, Ω))] ||ϕ||W1,2(Ω)|| η||L2(Ω). (2.15)
Thay (2.13), (2.15) vào (2.11) ta được
|l(η)| ≤ {µ[(1+c(q, Ω))(1+ˆc(q, Ω))]||ϕ||W1,2(Ω)+||f||L2(Ω)+ˆc(ˆn, Ω)||f||L 2ˆn
ˆn+2
(Ω)
}|| η||L2(Ω)
≡ c(q, Ω, ϕ, f, f)|| η||L2(Ω). (2.16)
Bước 2 Chứng minh bất đẳng thức cơ bản thứ nhất với các toán tử elliptic.
Với hàm v(x) ∈ W1,2
0 (Ω) bất kì, ta có bất đẳng thức
||v||2
L 2q
q−2
(Ω) ≤ c2
(q) ε
n
q
|| v||2
L2(Ω) + ε− n
q−n (1 −
n
q
)||v||2
L2(Ω) , (2.17)
trong đó ε > 0 bất kỳ.
Xét hệ số B(x) có dạng
B(x) = B+
(x) − B−
(x),
với
B+
(x) = max{B(x) − B0; 0};
B−
(x) = −B0 + max{−B(x) + B0; 0};
17

19. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
và
B0 =
1
mes Ω
Ω
B(x)dx.
Ta định nghĩa
M = max



n
i=1
(Bi − Ai)2
Lq
2
(Ω)
; ||B+
||Lq
2
(Ω)



(2.18)
Trước hết, ta đi xét bổ đề sau
Bổ đề 2.1. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4) thỏa mãn. Khi đó, với hàm
v ∈ W1,2
0 (Ω) bất kỳ thì
Ω
| v|2
+
4
λ
B−
v2
dx ≤
4
λ
L(v, v) + c1(q)||v||2
L2(Ω), (2.19)
ở đây c1(q) =
M(2λ+1)n
λ2q 2c2(q)
q
q−n q−n
n .
Chứng minh. Theo điều kiện elliptic (2.2) ta có
Ω
(λ| v|2
+ B−
v2
)dx ≤ L(v, v) +
Ω
|Ai − Bi||vvxi | + B+
v2
dx
≤ L(v, v) +
Ω
ε| v|2
+
1
4ε
i
(Ai − Bi)2
+ B+
v2
dx, (2.20)
ở đây, ε là số dương tùy ý.
Áp dụng bất đẳng thức Holder cho hai phần tử cuối trong tích phân vế phải bất
đẳng thức (2.20) ta được
Ω
1
4ε
i
(Ai − Bi)2
+ B+
v2
dx ≤
≤


Ω
1
4ε
i
(Ai − Bi)2
+ B+
q
2
dx


2
q


Ω
|v|
2q
q−2 dx


q−2
q
≤
≤
1
4ε
i
(Ai − Bi)2
+ B+
Lq
2
(Ω)
||v||2
L 2q
q−2
(Ω) ≤
≤

 1
4ε
i
(Ai − Bi)2
Lq
2
(Ω)
+ ||B+
||Lq
2
(Ω)

 ||v||2
L 2q
q−2
(Ω)
18

20. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
≤ M
1
4ε
+ 1 ||v||2
L 2q
q−2
(Ω).
Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức (2.20) ta rút ra
Ω
λ| v|2
+ B−
v2
dx ≤ L(v, v) + ε
Ω
| v|2
dx + M(
1
4ε
+ 1)||v||2
L 2q
q−2
(Ω)
⇔
Ω
λ
2
| v|2
+ B−
v2
dx ≤ L(v, v) +
M(4ε + 1)
4ε
||v||2
L 2q
q−2
(Ω)
⇔
Ω
| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) +
M(4ε + 1)
4ε
.
2
λ
||v||2
L 2q
q−2
(Ω)
⇔
Ω
| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) +
M(4ε + 1)
2ελ
||v||2
L 2q
q−2
(Ω). (2.21)
Đặt ε = λ
2 , bất đẳng thức (2.21) trở thành
Ω
| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) +
M(2λ + 1)
λ2
||v||2
L 2q
q−2
(Ω). (2.22)
Kết hợp (2.17) và (2.22), rút ra
Ω
| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) +
M(2λ + 1)
λ2
c2
(q) ε
n
q
|| v||2
L2(Ω)+
+ε− n
q−n (1 −
n
q
)||v||2
L2(Ω)
≤
2
λ
L(v, v) +
M(2λ + 1)
λ2
c2
(q)ε
n
q
|| v||2
L2(Ω) +
M(2λ + 1)
λ2
c2
(q)ε− n
q−n (1 −
n
q
)||v||2
L2(Ω).
Đặt ε = λ2
q
2M(2λ+1)c2(q)n
, bất phương trình trên trở thành
Ω
| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) + c2
(q)
M(2λ + 1)
λ2
λ2q
2M(2λ + 1)c2(q)n
n
q
||v||2
L2(Ω)+
+
M(2λ + 1)
λ2
c2
(q)
λ2q
2M(2λ + 1)c2(q)n
−n
q−n
(1 −
n
q
)||v||2
L2(Ω)
⇔
Ω
| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) +
1
2
Ω
| v|2
dx+
+
M(2λ + 1)c2(q)
λ2
λ2q
2M(2λ + 1)c2(q)n
−n
q−n
(1 −
n
q
)||v||2
L2(Ω)
19

21. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
⇔
Ω
| v|2
+
4
λ
B−
v2
dx ≤
4
λ
L(v, v) + c1(q)||v||2
L2(Ω),
với c1(q) =
2M(2λ+1)c2
(q)
λ2
λ2
q
2M(2λ+1)c2(q)n
−n
q−n
.
Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.
Ta cần sử dụng bất đẳng thức (2.19) để đánh giá nghiệm suy rộng của bài toán
Dirichlet (2.1), (2.3).
Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta có
L(v, v) = L(ϕ, v) + (fi, vxi ) − (f, v) ≡ l(v),
với v = u − ϕ.
Khi đó, (2.19) trở thành
Ω
| v|2
+
4
λ
B−
v2
dx ≤
4
λ
l(v) + c1(q)||v||2
L2(Ω)
≤
4
λ
c(q, Ω, ϕ, f, f)||v||L2(Ω) + c1(q)||v||2
L2(Ω)
≤
1
2
||v||2
L2(Ω) +
8
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) + c1(q)||v||2
L2(Ω)
≤
1
2
Ω
|v|2
L2(Ω) +
8
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) + c1(q)||v||2
L2(Ω).
Rút gọn hai vế của bất đẳng thức trên ta được
Ω
1
2
| v|2
+
4
λ
B−
v2
dx ≤
8
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) + c1(q)||v||2
L2(Ω). (2.23)
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (2.23) với 2, ta được
Ω
| v|2
+
8
λ
B−
v2
dx ≤
16
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) + 2c1(q)||v||2
L2(Ω). (2.24)
Đến đây, ta có thể triệt tiêu được phần tử ||v||2
L2(Ω) ở vế phải bất đẳng thức
(2.24).
a) Thật vậy, vì v ∈ W1,2
0 (Ω) nên
||v||L2(Ω) ≤ c0 mes
1
n (Ω)||v||2
L2(Ω) (2.25)
Mà B−(x) = −B0. Từ hai điều này, (2.22) trở thành
Ω
| v|2
−
8
λ
B0v2
dx ≤
16
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) + 2c1(q)||v||2
L2(Ω).
20

22. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
⇔
Ω
| v|2
dx ≤
16
λ2
c(q, Ω, ϕ, f, f)2
+ 2c1(q)c2
0 mes
2
n Ω|| v||4
L2(Ω) +
Ω
8
λ
B0v2
dx.
⇔
Ω
| v|2
dx ≤
16
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f)+2c1(q)c2
0 mes
2
n Ω|| v||4
L2(Ω)+
8
λ
B0c2
0mes
2
n Ω|| v||4
L2(Ω).
⇔
Ω
| v|2
dx ≤
16
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) + 2c1(q) +
8
λ
B0 c2
0 mes
2
n Ω
Ω
| v|2
dx.
⇔
Ω
1 − 2c1(q) +
8
λ
B0 c2
0 mes
2
n Ω | v|2
dx ≤
16
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f). (2.26)
Đặt
δ ≡ 2c1(q) +
8
λ
B0 c2
0 mes
2
n Ω < 1,
ta rút ra được
Ω
(1 − δ)| v|2
dx ≤
16
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f).
Suy ra
Ω
| v|2
dx ≤
16
(1 − δ)λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f). (2.27)
b) Trường hợp ϕ ≡ 0, thì v ≡ u là nghiệm của (2.1).
Khi đó (2.24) và (2.27) tương ứng trở thành
Ω
| u|2
+
8
λ
B−
u2
dx ≤
16
λ2
||f||L2(Ω) + c(n, Ω)||f||L 2n
n+2
(Ω)
2
+ (2.28)
+2c1(q)||u||2
L2(Ω),
và
Ω
| v|2
dx ≤
16
(1 − δ)v2
||f||L2(Ω) + c(n, Ω)||f||L 2n
n+2
(Ω)
2
. (2.29)
c) Trường hợp ϕ = 0.
Khi đó, u = v+ϕ là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.3) thì (2.22) và (2.25)
trở thành
Ω
| u|2
+
8
λ
B−
u2
dx ≤
32
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f)+
+2
Ω
| ϕ|2
+
8
λ
|B−
| + 4c1(q) ϕ2
dx + 8c1(q)||u||2
L2(Ω)
21

23. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
≡ c2
1(q, Ω, ϕ, f, f) + 8c1(q)||u||2
L2(Ω). (2.30)
và
Ω
| u|2
dx ≤
32
(1 − η)λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) + 2
Ω
| ϕ|2
dx
≡ c2(q, Ω, ϕ, f, f). (2.31)
Trong các bất đẳng thức trên, hằng số c(q, Ω, ϕ, f, f) được cho bởi (2.16) và c1(q)
được cho bởi (2.19). Bất đẳng thức (2.30) là bất đẳng thức cơ bản đối với nghiệm
của bài toán (2.1), (2.3). Trường hợp ϕ ≡ 0, thì bất đẳng thức (2.28) là bất đẳng
thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm của bài toán.Khi điều kiện δ < 1, ta có thể
sử dụng các bất đẳng thức (2.29) và (2.31).
d) Tiếp theo ta chỉ ra rằng với n ≥ 3, trường hợp q = n vẫn giữ lại một số dạng
cơ bản của bài toán Dirichlet.
Thật vậy, giả sử điều kiện (2.2) được thỏa mãn và
n
i=1
a2
i ,
n
i=1
b2
i , a
Ln
2
(Ω)
≤ µ; n ≥ 3. (2.32)
Ta viết
Bi(x) − Ai(x) = ci(x) + ci (x),
A+
(x) = c (x) + c (x).
(2.33)
với ci(x), c (x) là các hàm bị chặn và ci (x), c (x) tương ứng thuộc Ln(Ω) và Ln
2
(Ω).
Giả sử rằng
max
n
i=1
[ci(x)]2
, |c (x)| ≤ Mε,
n
i=1
(ci )2
, c
Ln
2
(Ω)
≤ ε .
(2.34)
Rõ ràng, trong trường hợp tổng quát Mε không bị chặn khi ε → 0; và Mε trên
ε xác định bởi µ trong (2.32) và toán tử L. Với toán tử L, ta có bất đẳng thức
tương tự với (2.19). Việc rút ra bất đẳng thức này giống như việc suy ra bất
đẳng thức (2.19), cụ thể: ta cần đánh giá các phần tử vế phải của bất đẳng thức
(2.20) bằng việc áp dụng các phương trình (2.33).
Ta có
Ω
λ| v|2
+ B−
v2
dx ≤ L(v, v) +
Ω
ε| v|2
+ [
1
4ε
i
(Ai − Bi)2
+ A+
]v2
dx
22

24. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
≤ L(v, v) +
Ω
ε| v|2
+
1
4ε
i
(ci(x) + ci (x))2
+ (c (x) + c (x)) v2
dx
≤ L(v, v) +
Ω
ε| v|2
dx +
Ω
1
4ε
i
(ci(x))2
+ c (x) v2
dx+
+
Ω
1
4ε
i
(ci (x))2
+ c (x) v2
dx
≤ L(v, v) +
Ω
ε| v|2
dx +
λ + 1
λ
Mε ||v||2
L2(Ω) +
λ + 1
λ
ε ||v||2
L 2n
n−2 (Ω)
.
Đặt ε = λ
2 , bất đẳng thức trên trở thành
Ω
λ| v|2
+ B−
v2
dx ≤ L(v, v)+
Ω
λ
2
| v|2
dx+
λ + 1
λ
Mε ||v||2
L2(Ω)+
λ + 1
λ
ε ||v||2
L 2n
n−2 (Ω)
.
Suy ra
Ω
λ
2
| v|2
+ B−
v2
dx ≤ L(v, v) +
λ + 1
λ
Mε ||v||2
L2(Ω) +
λ + 1
λ
ε ||v||2
L 2n
n−2 (Ω)
.
Khi đó
Ω
| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) +
2(λ + 1)
λ2
Mε||v||2
L2(Ω) +
2(λ + 1)
λ2
ε ||v||2
L 2n
n−2
(Ω).
(2.35)
Mà v ∈ W2,1
0 (Ω) nên theo bất đẳng thức (2.12) ta có
||v||L 2n
n−2
(Ω) ≤ c(n, Ω)|| v||L2(Ω).
Suy ra,
||v||2
L 2n
n−2
(Ω) ≤ c2
(n)|| v||2
L2(Ω).
Khi đó
2(λ + 1)
λ2
ε ||v||2
L 2n
n−2
(Ω) ≤ ε
2(λ + 1)
λ2
c2
(n)|| v||2
L2(Ω). (2.36)
Ta chọn ε sao cho
ε
2(λ + 1)
λ2
c2
(n) ≤ δ1 < 1. (2.37)
Kết hợp (2.36) và (2.37) ta có
2(λ + 1)
λ2
ε ||v||2
L 2n
n−2
(Ω) ≤ δ1|| v||2
L2(Ω). (2.38)
23

25. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Thế (2.38) vào (2.35) ta được
Ω
(1 − δ1)| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
L(v, v) +
2(λ + 1)
λ2
Mε||v||2
L2(Ω). (2.39)
Đặt v = u − ϕ, bất đẳng thức trên trở thành
Ω
(1 − δ1)| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
l(v) +
2(λ + 1)
λ2
Mε||v||2
L2(Ω). (2.40)
Thay (2.16) vào bất đẳng thức (2.40) ta được
Ω
(1 − δ1)| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
2
λ
c(q, Ω, ϕ, f, f)|| v||L2(Ω)+
+
2(λ + 1)
λ2
Mε||v||2
L2(Ω). (2.41)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào (2.41) ta rút ra
Ω
(1 − δ1)| v|2
+
2
λ
B−
v2
dx ≤
ε
2
|| v||2
L2(Ω) +
1
2ε
2
λ2
c2
(q, Ω, ϕ, f, f)+
+
2(λ + 1)
λ2
Mε||v||2
L2(Ω).
Đặt ε = 1 − δ1, đồng thời rút gọn hai vế bất phương trình trên ta thu được kết
quả
Ω
(1−δ1)
2 | v|2 + 2
λB−v2 dx ≤
≤
2
λ2(1 − δ1)
c2
(q, Ω, ϕ, f, f) +
2(λ + 1)
λ2
Mε||v||2
L2(Ω). (2.42)
Vậy (2.42) chính là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của
hệ phương trình (2.1) trong W1,2
0 (Ω).
Hệ quả 2.1. Nếu ϕ ≡ 0 thì v ≡ u là nghiệm của phương trình (2.1).
Khi đó
Ω
1−δ1
2 | v|2 + 2
λB−v2 dx ≤
≤
2
λ2(1 − δ1)
||f||L2(Ω) + c(n, Ω)||f||L 2n
n+2
(Ω)
2
+
2(λ + 1)
λ2
Mε ||v||2
L2(Ω). (2.43)
Từ đây, ta thấy sự tương ứng của bất đẳng thức trên với nghiệm suy rộng
u(x) ∈ W1,2(Ω) của bất đẳng thức (2.30).
Nếu
1 − δ1
2
−
2
λ
λ + 1
λ
Mε − min
Ω1
a−
(x) c2
0 mes
2
n Ω1 ≥ δ2 > 0, (2.44)
24

26. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
giữ lại một số thành phần của (2.1) với Ω1 ⊂ Ω, từ (2.43) ta được
Ω1
| v|2
dx ≤
2
δ2λ2(1 − δ1)
||f||L2(Ω) + c(n, Ω)||f||L 2n
n+2
(Ω)
2
, (2.45)
với v là nghiệm suy rộng của (2.1) trong W1,2
0 (Ω).
Ở đây, (2.45) giống (2.26), thỏa mãn trong hai trường hợp: (i) với miền Ω1 có
độ đo đủ nhỏ hoặc (ii) với toán tử Lu−λu, λ ≥ λ0 đủ lớn. Tuy nhiên, trong phần
này, độ đo đủ nhỏ của Ω1 và độ lớn của λ0 không chỉ phụ thuộc vào µ mà còn
phụ thuộc vào ε và Mε .
2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng
Từ bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của hệ (2.1), áp
dụng các phương pháp như của phần một phương trình, ta có các định lý kiểu
Fredholm về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng.
Định lý 2.1. Cho hệ (2.1) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4) và (2.5) trên
miền Ω bị chặn. Khi đó có hai khả năng
i) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ 0 (i = 1, . . . , n), và điều kiện biên
ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u = 0.
ii) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ 0 (i = 1, . . . , n), và điều kiện biên
ϕ ≡ 0 chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0. Khi đó, với mọi hàm f, fi, ϕ
trong W1,2(Ω), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ W1,2(Ω) của bài toán (2.1),
(2.3).
Chứng minh. Ta đưa vào W1,2
0 (Ω) một tích vô hướng mới
[v, w] =
Ω
aijvxi wxj + B−
vw dx.
Theo điều kiện elliptic (2.2) và c1(q) + 4
λ ≤ 0, nếu v ∈ W1,2
0 (Ω) thì
[v, v] ≥ λ
Ω
| v|2
≥ λ1||v||2
W1,2(Ω), (2.46)
với λ1 = λ
c2
0 mes
2
n (Ω)+1
.
Mặt khác, từ điều kiện (2.2) và (2.3) ta có
[v, v] ≤
Ω
µ| v|2
dx + ||B−
||Lq
2
(Ω)||v||L 2q
q−2
(Ω),
25

27. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
kết hợp với (2.15) ta có
[v, v] ≤ c1||v||2
W1,2(Ω). (2.47)
Từ (2.46) và (2.47) rút ra
λ1||v||2
W1,2(Ω) ≤ [v, v] ≤ c1||v||2
W1,2(Ω).
Khi đó, chuẩn trong tích vô hướng mới tương đương với chuẩn trong W1,2
0 (Ω).
Thay vì tìm nghiệm u của bài toán (2.1), (2.3), ta chỉ cần tìm hàm v = u − ϕ từ
(2.8), (2.9). Ta viết đồng nhất thức (2.8) dưới dạng
[v, η] +
Ω
aijvηxi − bivxi η − B+
vη dx = l(η), (2.48)
với l(η) được xác định như trong (2.10). Đặt
l1(v, η) =
Ω
aijvηxi − bivxi η − B+
vη dx.
Do giả thiết (2.15), ta nhận được
|l1(v, η)| ≤ µ ||v||L 2q
q−2
(Ω)|| η||L2(Ω)+
+|| v||L2(Ω)||η||L 2q
q−2
(Ω) + ||v||L 2q
q−2
(Ω)||η||L 2q
q−2
(Ω) , (2.49)
và theo (2.17), dẫn tới bất đẳng thức
|l1(v, η)| ≤ c2(q)||v||W1,2(Ω)||η||W1,2(Ω), (2.50)
với c2(q) = µc(q)[2 + c(q)].
Từ đó, suy ra |l1(v, η)| là một phiếm hàm tuyến tính của η trong W1,2
0 (Ω) khi cố
định một phần tử tùy ý v(x) ∈ W1,2
0 (Ω). Theo định lý Riesz, phiếm hàm |l1(v, η)|
được biểu diễn dưới dạng
|l1(v, η)| = [Av, η], ∀η ∈ W1,2
0 (Ω), (2.51)
ở đó A là một toán tử bị chặn trong W1,2
0 (Ω).
Từ (2.46) và (2.50),
||Av||2
W1,2(Ω) ≤
1
λ1
[Av, Av] =
1
λ1
l1(v, Av) ≤
≤
c2(q)
λ1
||v||W1,2(Ω)||Av||W1,2(Ω).
26

28. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Suy ra
||Av||W1,2(Ω) ≤
c2(q)
λ1
||v||W1,2(Ω). (2.52)
Bây giờ, ta chứng minh A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian
W1,2
0 (Ω). Thật vậy, giả sử {vm(x)}, m = 1, 2, . . . là một dãy hội tụ trong W1,2
0 (Ω)
sao cho
||vm||W1,2(Ω) ≤ c, m = 1, 2, . . . .
Do toán tử A bị chặn nên {Avm}, m = 1, 2, . . . , thuộc W1,2
0 (Ω). Ngoài ra, do
W1,2
0 (Ω) được nhúng vào Lp(Ω) với p < 2n
n−2, là hoàn toàn liên tục, nên các dãy
con {vm}, {Avm} hội tụ tới các phần tử v(x) và Au(x) trong W1,2(Ω) và L 2q
q−2
(Ω)
tương ứng. Ta có
[Avl − Avm, Avl − Avm] = l1(vl − vm, Avl − Avm). (2.53)
Áp dụng (2.49) vào vế phải (2.53) ta có
[Avl − Avm, Avl − Avm] ≤ c ||vl − vm||L 2q
q−2
(Ω) + ||Avl − Avm||L 2q
q−2
(Ω) .
Do đó, {Avm} hội tụ trong W1,2
0 (Ω). Từ đó, suy ra A là toán tử hoàn toàn liên
tục trong W1,2
0 (Ω).
Với các giả thiết của ϕ, f, f thì vế phải của (2.48) là hàm tuyến tính trong
W1,2
0 (Ω). Do đó, với mọi F ∈ W1,2
0 (Ω) và η thì
l(η) = [F, η]. (2.54)
Áp dụng (2.51) và (2.54) vào đẳng thức (2.48) ta có
[v + Av, η] = [F, η]. (2.55)
Với η ∈ W1,2
0 (Ω) bất kỳ, (2.55) tương úng với phương trình toán tử
v + Av = F (2.56)
trong W1,2
0 (Ω).
Do A là toán tử tuyến tính compact trong W1,2
0 (Ω), nên theo định lý Fredholm,
phương trình (2.56) có nghiệm duy nhất v với F ∈ W1,2
0 (Ω) bất kỳ nếu phương
trình thuần nhất
w + Aw = 0 (2.57)
có nghiệm duy nhất w ≡ 0.
27

29. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Định lý 2.2. Tồn tại một số đếm được các giá trị λ = λ1, . . . , trong mặt phẳng
phức λ sao cho bài toán
∂
∂xi
(aijuxj + Aiu) + Biuxi + Bu = λu, u|S = 0,
có nghiệm khác không trong W1,2(Ω). Tập hợp tất cả các giá trị riêng {λk} tạo
thành phổ của bài toán (2.1), (2.3). Mỗi giá trị λ có bội hữu hạn và |λk| → ∞
khi k → ∞.
2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng
2.3.1 Đánh giá max
Ω
|u|
Trong phần này, ta sẽ đánh giá max
Ω
|u|. Muốn thế, giả sử rằng các điều kiện
(2.2), (2.4) và
||fi||Lq(Ω), ||f||Lq
2
(Ω) ≤ µ < ∞, q > n, (2.58)
được thỏa mãn.
Ngoài ra, ta giả thiết rằng ϕ(x) ≡ 0, khi đó
u|S = 0. (2.59)
Ta cần chỉ ra rằng nếu u(x) ∈ W1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của (2.1) thì tích phân
Ω
|u|4
dx,
Ω
|u|2
| u|2
dx,
là hữu hạn.
Do u(x) ∈ W1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1) nên nó thỏa mãn đẳng
thức tích phân
Ω
[(aijuxj +Aiu−fi)ηxi −(Biuxi +Bu − f)η]dx = 0, (2.60)
với mọi hàm η(x) ∈ W1,2(Ω).
Đặt η(x) = u(x)φ(x), với φ(x) là hàm bất kì sao cho
u(x)φ(x) ∈ W1,2
0 (Ω).
Khi đó (2.60) trở thành
Ω
aijuxi uxj φ +
1
2
aijvxj φxi + (Aiu − fi)(uxi φ + uφxi ) − (Biuxi + Bu − f)uφ dx = 0,
(2.61)
28

30. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
với v(x) = |u(x)|2. Ta xét hàm φ có dạng
φ(x) ≡ φ(r)
(x) ≡ min{v(x), r}, r > 0.
Nhận thấy u(x)φ(r)(x) ∈ W1,2
0 (Ω).
Ta có
Ω
aijuxj uxi φ(r)
+ aijvxj φ
(r)
xi dx = −
Ω
(Aiu − fi) (uxi φ + uφxi ) −
− (Biuxi + Bu − f) uφ dx
⇔
Ω
aij | u|2
φ(r)
+
1
2
| φ(r)
|2
dx =
Ω
(−Aiu + fi)(uxi φ + uφxi )+
+(Biuxi + Bu − f)uφ dx. (2.62)
Theo điều kiện elliptic (2.2) thì
Ω
aij | u|2
φ(r)
+
1
2
| φ(r)
|2
dx ≥ λ
Ω
| u|2
φ(r)
+
1
2
| φ(r)
|2
dx.
Khi đó ta rút ra
λ
Ω
| u|2
φ(r)
+
1
2
| φ(r)
|2
dx ≤
Ω
[(−Aiu + fi)(uxi φ + uφxi ) + (Biuxi + Bu − f)uφ] dx.
⇔ λ
Ω
| u|2φ(r) + 1
2| φ(r)|2 dx ≤
≤
Ω i


i,m
(aim
i )2.|u| + |fi|

 |uxi |φ(r)
+ |u|.|φ
(r)
xi | +
+
i,m
(bim
i )2.|uxi | +


i,m
(bim
i )2.|u| + |f|

|u|φ(r)
dx
≤
Ω
ε| u|2
φ(r)
+
1
ε
i


i,m
(aim
i )2.
√
v + |fi|


2
φ(r)
+
ε
2
| φ(r)
|2
+
+
1
2ε
i,i,m
(bim
i )2
vφ(r)
+
i,m
(bim)2vφ(r)
+ |f|
√
vφ(r)
dx.
29

31. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Đặt ε = λ
2 , bất đẳng thức trên trở thành
2ε
Ω
| u|2
φ(r)
+
1
2
| φ(r)
|2
dx ≤
Ω
ε| u|2
φ(r)
+
ε
2
| φ(r)
|2
+
+
2
ε
i


i,m
(aim
i )2
vφ(r)
+ (fi
i )2
φ(r)
+ 2
i,m
(aim
i )2.
√
v + |fi|


2
φ(r)
)+
+
1
2ε
i,i,m
(bim
i )2
vφ(r)
+
i,m
(bim)2vφ(r)
+ |f|
√
vφ(r)
dx,
hay
ε
Ω
| u|2
φ(r)
+
1
2
| φ(r)
|2
dx ≤
Ω
2
ε
i i,m
(aim
i )2
vφ(r)
+ (fi
i )2
φ(r)
+
+
1
2ε
i,i,m
(bim
i )2
vφ(r)
+
i,m
(bim)2vφ(r)
+ |f|
√
vφ(r)
dx. (2.63)
Áp dụng bất đẳng thức Holder cho các phần tử của vế phải (2.52) ta có
Ω
(aim
i )2
vφ(r)
dx ≤


Ω
|aim
i |q
dx


2
q


Ω
( vφ(r))
2q
q−2 dx


q−2
q
,
Ω
(fi
i )2
φ(r)
dx ≤


Ω
|fi
i |
4q
q+2 dx


1
2
+1
q


Ω
(φ(r)
)
2q
q−2 dx


q−2
q
,
Ω
|bim
|vφ(r)
dx ≤


Ω
|bim
|
q
2 dx


2
q


Ω
( vφ(r))
2q
q−2 dx


q−2
q
,
Ω
(bim
i )
2
vφ(r)
dx ≤


Ω
|bim
i |q
dx


2
q


Ω
( vφ(r))
2q
q−2 dx


q−2
q
,
Ω
|f1
|
√
vφ(r)
dx ≤


Ω
|f1
|
4q
q+6 dx


1
4
+ 3
2q


Ω
( vφ(r))
2q
q−2 dx


3
2
q−2
2q
.
30

32. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Mặt khác, với hàm u ∈ W1,2(Ω) bất kì, ta có bất đẳng thức


Ω
|u|
2q
q−2 dx


q−2
q
≤ ε
Ω
| u|2
dx + cε


Ω
|u|dx


2
,
và
∂
∂xi
vφ(r)
2
≤ 4φ(r)
|uxi |2
.
Từ hai bất đẳng thức trên ta suy ra


Ω
( vφ(r))
2q
q−2 dx


q−2
q
≤ ε
Ω
4φ(r)
| u|2
dx + cε


Ω
vdx


2
.
Áp dụng các bất đẳng thức trên vào bất đẳng thức (2.51) ta thu được
ε
Ω
| u|2φ(r)+1
2| φ(r)|2 dx ≤
≤



2
ε
i


Ω
|aim
i |q
dx


2
q
+
1
2ε


Ω
|bim
i |q
dx


2
q
+


Ω
|bim
|
q
2 dx


2
q





Ω
( vφ(r))
2q
q−2 dx


q−2
2q
+
2
ε
i


Ω
|fi
i |
4q
q+2 dx


1
2
+1
q


Ω
(φ(r)
)
2q
q−2 dx


q−2
q
+


Ω
|f|
4q
q+6 dx


1
4
+ 3
2q


Ω
( vφ(r))
2q
q−2 dx


3
2
q−2
2q
. (2.64)
Áp dụng điều kiện (2.4) vào bất đẳng thức (2.64) ta thu được
ε
Ω
| u|2
φ(r)
+
1
2
| φ(r)
|2
dx ≤ µ


ε
Ω
4φ(r)
| u|2
dx + cε


Ω
vdx


2


 +
+
2
ε
n
i=1
||fi||4
L 4q
q+2
(Ω)


ε
Ω
| φ(r)
|2
dx + cε


Ω
vdx


2


 +
+||f||4
L 4q
q+6
(Ω)


ε
Ω
4| u|2
φ(r)
dx + cε


Ω
vdx


2



3
2
.
31

33. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Suy ra
Ω
| u|2
φ(r)
+ | φ(r)
|2
dx ≤ c





Ω
|u|2
dx


2
+
n
i=1
||fi||4
L 4q
q+2
(Ω) + ||f||4
L 4q
q+6
(Ω)


 .
Do đó,
Ω
| u|2
φ(r)
+ | φ(r)
|2
+ |φ(r)
|2
dx ≤ c1





Ω
|u|2
dx


2
+
n
i=1
||fi||4
L 4q
q+2
(Ω) + ||f||4
L 4q
q+6
(Ω)


 ,
với c1 là biểu thức phụ thuộc vào r.
Cho r → ∞, φ(r) = |u|2, tích phân trên trở thành
Ω
|u|2
| u|2
+ | |u|2
|2
+ |u|4
dx ≤ c1


Ω
||u||4
L2(Ω)dx +
n
i=1
||fi||4
L 4q
q+2
(Ω) + ||f||4
L 4q
q+6
(Ω)

 .
(2.65)
Tích phân này với nghiệm suy rộng u ∈ W1,2(Ω) của bài toán Dirichlet là hữu
hạn.
Khi đó, ta sẽ đánh giá max
Ω
|u| qua định lý sau
Định lý 2.3. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), (2.58) được thỏa mãn. Giả
sử, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W1,2(Ω) có các tích phân
Ω
|u|4
dx,
Ω
|u|2
| u|2
dx, (2.66)
hữu hạn. Khi đó max
Ω
|u(x)| bị chặn bởi một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ
trong (2.2), (2.4), (2.58), phụ thuộc vào ||u||Lq(Ω) và khoảng cách từ Ω đến S.
Mặt khác, nếu u(x) ∈ W1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.59) thì
max
Ω
|u(x)| bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ, µ trong (2.2),
(2.4), (2.58), và ||u||L2(Ω).
Chứng minh.
Bước 1
Giả sử Ω ⊂⊂ Ω.
Đánh giá max
Ω
|u| mà không sử dụng giả thiết u|S = 0 trên S với tích phân (2.66)
hữu hạn.
Đặt φ(x) = max{2[v(x) − k]ζ2(x), 0},
32

34. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
với k ≥ 0 và ζ(x) là hàm trơn không âm thỏa mãn 0 < ζ(x) < 1 khi x ∈ Kρ ⊂ Ω
và bằng 0 khi x /∈ Kρ ⊂ Ω.
Từ đánh giá ở phần trên ta thu được
λ
Ak,ρ
2| u|2
(v − k)ζ2
+ | v|2
ζ2
dx ≤ ε.
Ak,ρ
| u|2
(v − k)ζ2
+ | v|2
ζ2
dx+
+cε
Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
+ (D2
+ E)(v2
+ 1)ζ2
dx, (2.67)
trong đó,
Ak,ρ = {x ∈ Kρ, v(x) > k},
D(x) =
i,i,m
|aim
i (x)| + |fi
i (x)| + |bim
i (x)| ,
E(x) =
i,m
|bim
i (x)| +
i
|fi
(x)|.
Theo điều kiện (2.4) và (2.58), ta thấy ||D(x)||Lq(Ω) và ||E(x)||Lq
2
(Ω) bị chặn.
Khi đó,
Ak,ρ
(D2
+ E)(v2
+ 1)ζ2
dx ≤ c
Ak,ρ
[(vζ)2
+ ζ2
]dx = c
Ak,ρ
(vζ)2
dx + c
Ak,ρ
ζ2
dx
≤ c



Ak,ρ
(vζ)
2q
q−2 dx



q−2
2q
+ c



Ak,ρ
ζ
2q
q−2 dx



q−2
2q
≤ 2c



Ak,ρ
|ζ(v − k)|
2q
q−2 dx



q−2
2q
+ cmes1−2
q Ak,ρ + 2k2
cmes1−2
q Ak,ρ
≤ 2c



Ak,ρ
|ζ(v − k)|
2q
q−2 dx



q−2
2q
+ c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ
≤ 2c||ζ(v − k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ) + c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ.
Đặt ε = λ
2 , cùng với bất đẳng thức này, bất đẳng thức (2.67) trở thành
2ε
Ak,ρ
2| u|2
(v − k)ζ2
+ | v|2
ζ2
dx ≤ ε
Ak,ρ
| u|2
(v − k)ζ2
+ | v|2
ζ2
dx+
33

35. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
+cε
Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
+ 2c||ζ(v − k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ) + c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ dx.
⇔ ε
Ak,ρ
3| u|2
(v − k)ζ2
+ | v|2
ζ2
dx ≤ cε
Ak,ρ
(v−k)2
| ζ|2
+2c||ζ(v−k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ)+
c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ dx.
Suy ra
Ak,ρ
| v|2ζ2dx ≤
≤ c1



Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
dx + ||ζ(v − k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ) + k2
mes1−2
q Ak,ρ


 , (2.68)
với c1 là hằng số.
Vì u(x) ∈ W1,2
0 (Ω) nên
||u||L 2q
q−2 (Ω)
≤ c(q)(mes Ω)
1
n
−1
q ||u||L2(Ω),
ta suy ra được
||u||2
L 2q
q−2 (Ω)
≤ c(q)(mes Ω)2( 1
n
−1
q
)
||u||2
L2(Ω),
ở đây q ≥ n với n > 2 và q > 2 với n = 2, c(q) là hằng số phụ thuộc vào q và n.
Thay u = ζ(v − k) ta có
||(v − k)ζ||2
L 2q
q−2 (Ak,ρ)
≤ c(q)(mes Ak,ρ)2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
| v|2
ζ2
+ (v − k)| ζ|2
dx,
hay
||(v − k)ζ||2
L 2q
q−2 (Ak,ρ)
≤ c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
| v|2
ζ2
+ (v − k)| ζ|2
dx.
Khi đó bất đẳng thức (2.68) trở thành
Ak,ρ
| v|2
ζ2
dx ≤ c1
Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
dx + c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
| v|2
ζ2
dx+
+c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
+ c1k2
mes1−2
q Ak,ρ, (2.69)
Với mọi giá trị của ρ thỏa mãn
c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
≤
1
2
, (2.70)
34

36. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
bất đẳng thức (2.69) trở thành
1 − c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
| v|2
ζ2
dx ≤ c1 − c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
dx+
+c1k2
mes1−2
q Ak,ρ.
Suy ra,
1
2
Ak,ρ
| v|2
ζ2
dx ≤ c1 − c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
dx + c1k2
mes1−2
q Ak,ρ.
Khi đó,
Ak,ρ
| v|2
ζ2
dx ≤ γ



Ak,ρ
(v − k)2
| ζ|2
dx + k2
mes1−2
q Ak,ρ


 . (2.71)
Trong bất đẳng thức này, k ≥ 1, hằng số ρ thỏa mãn bất đẳng thức (2.70), và
tập Kρ ⊂ Ω. γ là hằng số được xác định bởi n, N, q(q > n), γ, mu trong (2.2), (2.4)
và (2.58) với q >n.
Theo Định lí 5.3, chương 2, [1], từ bất đẳng thức (2.71) ta có thể đánh giá
max
Ω
|u(x)| trong miền Ω bất kỳ bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào
n, N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.58), và ||u||L2(Ω).
Bước 2
Đánh giá max
Ω
|u(x)| với u(x) ∈ W1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet.
Đặt φ(x) = max{2[v(x) − k], 0}, và v = |u|2, k > 0.
Chứng minh tương tự như bước 1 ta thu được kết quả
Ak
| v|2
dx ≤ γ


Ak
(v − k)2
dx + k2
mes1−2
q Ak

 , (2.72)
với k>1.
Ở đây, Ak = {x ∈ Ω; v(x) > k}.
Theo Định lí 5.1, chương 2, [1], từ (2.72) ta đánh giá được max
Ω
|u(x)| bị chặn
trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.58), và
||u||L2(Ω).
2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω
Ta có định lý sau
35

37. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Định lý 2.4. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), (2.58) thỏa mãn hệ phương
trình (2.1). Khi đó, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W1,2(Ω) bất kì của hệ (2.1) cũng
đánh giá được trên không gian C0,α(Ω) với α > 0. Ở đây, |u|α,Ω được đánh giá
bằng một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.58), trên
M = ess max
Ω
|u|, và khoảng cách từ Ω đến S.
Chứng minh. Muốn đánh giá |u|α,Ω, ta cần chỉ ra rằng nghiệm suy rộng
u(x) ∈ W1,2(Ω) của hệ (2.1) thuộc lớp hàm B(¯Ω, ...).
Giả sử u(x) ∈ W1,2(Ω) và M = max
Ω
|u| < ∞.
Để đơn giản, giả sử rằng 0 ≤ ul(x) ≤ 1 với l = 1, . . . , N.
Ta có thể thay ul(x) trong hệ (2.1) bằng hàm
ul
=
ul + M
2M
.
Đặt
ϕl
+(u) = 10Nul
+
N
r=1
(ur
)2
,
ϕl
−(u) = 10N(1 − ul
) +
N
r=1
(ur
)2
, l = 1, . . . , N.
Giả sử φ(x) là hàm bị chặn trong W1,2
0 (Ω) và ei là vecto đơn vị có độ dài l. Với
η = 5Nφ(x)ei, đồng nhất thức (2.6) trở thành
Ω
(aijuxj + Aiu − fi)(5Nφxi ei
) − (Biuxi + Bu − f)(5Nφ(x)ei
) dx = 0.
Với η = uφ(x), đẳng thức (2.6) trở thành
Ω
(aijuxj + Aiu − fi)(uxi φ + uφxi ) − (Biuxi + Bu − f)uφ dx = 0.
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được
Ω
aijuxj 5Nφxi ei
+ (Aiu − fi)5Nφxi ei
− (Biuxi + Bu − f)(uφ + 5Nφei
)+
+aijuxj uxi φ + (Aiu − fi)(uxi φ + uφxi ) dx = 0.
⇔
Ω
[aijuxj uxi φ + 5aijuxj Nφxi ei
+ (Aiu − fi)(5Nφxi ei
+ uxi φ + uφxi )−
36

38. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
−(Biuxi + Bu − f)(uφ + 5Nφei
)]dx = 0.
Đặt w = 10uNei. Ta rút ra, wj = 10Nuxj ei.
Khi đó,
Ω
[aijuxj uxi φ +
1
2
aijwjφxi + (Aiu − fi)(5Nφxi ei
+ uxi φ + uφxi )−
−(Biuxi + Bu − f)(uφ + 5Nφei
)]dx = 0,
với φ(x) ∈ W1,2
0 (Ω).
Đặt φ = max{2(w−k)ζ2; 0}, với k là số bất kỳ và ζ(x) là hàm trơn có giá compact
với giá trị thuộc [0; 1] trong hình cầu Kρ ⊂ Ω.
Đồng thời áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho đẳng thức trên ta thu được kết
quả
λ
Ω
2| u|2
(w − k)ζ2
+ | w|2
ζ2
dx ≤ ε
Ak,ρ
| u|2
(w − k)ξ2
+ | w|2
ξ2
dx+
+cε
Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
+ (D2
+ E)(w2
+ 1)ζ2
dx, (2.73)
Đặt w = |u|2, biến đổi (2.73) ta thu được
λ
Ω
2| u|2
(w − k)ζ2
+ | w|2
ζ2
dx ≤ ε
Ak,ρ
| u|2
(w − k)ζ2
+ | w|2
ζ2
dx+
+cε
Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
+ (D2
+ E)(u4
+ 1)ζ2
dx, (2.74)
trong đó,
Ak,ρ = {x ∈ Kρ, w(x) > k},
D(x) =
i,i,m
|aim
i (x)| + |fi
i (x)| + |bim
i (x)| ,
E(x) =
i,m
|bim
i (x)| +
i
|fi
(x)|.
Theo điều kiện (2.4) và (2.5), ta thấy ||D(x)||Lq(Ω) và ||E(x)||Lq
2
(Ω) bị chặn.
Khi đó,
Ak,ρ
(D2
+ E)(u4
+ 1)ζ2
dx ≤ c
Ak,ρ
[(u2
ζ)2
+ ζ2
]dx = c
Ak,ρ
(u2
ζ)2
dx + c
Ak,ρ
ζ2
dx
37

39. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
≤ c



Ak,ρ
(u2
ζ)
2q
q−2 dx



q−2
q
+ c



Ak,ρ
ζ
2q
q−2 dx



q−2
q
≤ 2c



Ak,ρ
|ζ(u2
− k)|
2q
q−2 dx



q−2
q
+ cmes1−2
q Ak,ρ+
+2k2
cmes1−2
q Ak,ρ
≤ 2c



Ak,ρ
|ζ(u2
− k)|
2q
q−2 dx



q−2
2q
+ c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ
≤ 2c||ζ(u2
− k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ) + c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ. (2.75)
Đặt ε = λ
2 , kết hợp với bất đẳng thức (2.75) , bất đẳng thức (2.74) trở thành
2ε
Ak,ρ
2| u|2
(w − k)ζ2
+ | w|2
ζ2
dx ≤ ε
Ak,ρ
| w|2
(w − k)ζ2
+ | u|2
ζ2
dx+
+cε
Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
+ 2c||ζ(w − k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ) + c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ dx.
⇔ ε
Ak,ρ
3| u|2
(w − k)ζ2
+ | w|2
ζ2
dx ≤ cε
Ak,ρ
(w−k)2
| ζ|2
+2c||ξ(w−k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ)+
+c(2k2
+ 1)mes1−2
q Ak,ρ dx.
Suy ra
Ak,ρ
| w|2
ζ2
dx ≤
≤ c1



Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
dx + ||ζ(w − k)||2
L 2q
q−2
(Ak,ρ) + k2
mes1−2
q Ak,ρ


 , (2.76)
với c1 là hằng số.
Áp dụng bất đẳng thức
||u||L 2q
q−2 (Ω)
≤ c(q)(mes Ω)
1
n
−1
q ||u||L2(Ω),
38

40. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
||u||2
L 2q
q−2 (Ω)
≤ c(q)(mes Ω)2( 1
n
−1
q
)
||u||2
L2(Ω).
Với u = ζ(w − k) thì
||(w − k)ζ||2
L 2q
q−2 (Ak,ρ)
≤ c(q)(mes Ak,ρ)2( 1
n
−1
q
)
+
Ak,ρ
| w|2
ζ2
+ (w − k)| ζ|2
dx.
hay
||(w − k)ζ||2
L 2q
q−2 (Ak,ρ)
≤ c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
| w|2
ζ2
+ (w − k)| ζ|2
. (2.77)
Từ (2.77), bất đẳng thức (2.76) trở thành
Ak,ρ
| w|2
ξ2
dx ≤ c1
Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
dx + c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
| w|2
ζ2
dx+
c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
+ c1k2
mes1−2
q Ak,ρ. (2.78)
Với mọi giá trị của ρ thỏa mãn
c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
≤
1
2
, (2.79)
bất đẳng thức (2.78) có dạng
1 − c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
| w|2
ζ2
dx ≤
≤ c1 − c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
dx + c1k2
mes1−2
q Ak,ρ.
Suy ra,
1
2
Ak,ρ
| w|2
ζ2
dx ≤ c1 − c1c2ρ2( 1
n
−1
q
)
Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
dx + c1k2
mes1−2
q Ak,ρ.
Khi đó, ta thu được bất đẳng thức
Ak,ρ
| w|2
ζ2
dx ≤ γ



Ak,ρ
(w − k)2
| ζ|2
dx + k2
mes1−2
q Ak,ρ


 , (2.80)
với w = wl
+, l = 1, . . . , N, k bất kỳ sao cho Kρ ⊂ Ω.ở đây, γ là hằng số phụ thuộc
vào n, q, λ, µ trong (2.2), (2.4), (2.58) và M.
39

41. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Chứng minh tương tự, ta cũng thu được bất đẳng thức (2.70) hoặc w = wl
−, l =
1, . . . , N. Từ đây, ta thấy u(x) thuộc lớp hàm
B2N
2 (Ω, M1, δ1, δ2, δ3, γ, ∞,
1
q
),
mà đã được đưa vào trong [1]. Khi đó, theo Định lí 8.1, Chương 2, [1], ta đánh
giá được |u|α,Ω với Ω ⊂ Ω bằng một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và µ trong
(2.2), (2.4), (2.58), phụ thuộc vào M max
Ω
|u| và khoảng cách từ Ω tới S. Vậy,
định lí được chứng minh xong.
2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω và ||u||W2,2(Ω)
Để đánh giá |u|1,α,Ω trong Ω ⊂ Ω bất kỳ, ta giả thiết rằng nghiệm suy rộng
u ∈ W1,2(Ω) của hệ (2.1) có đạo hàm suy rộng cấp hai và tích phân
Ω
| u|4
+ (1 + | u|2
)
n
i,j=1
u2
xixj
dx
là hữu hạn. Giả sử rằng các hệ số aij, ami
i , và fi
i là các hàm khả vi thỏa mãn bất
đẳng thức
∂aij
∂xk
,
∂aim
i
∂xk
,
∂fi
i
∂xk Lq(Ω)
≤ µ, q > n. (2.81)
Ta cũng giả sử điều kiện elliptic (2.2) thỏa mãn và
aim
i , bim
i , fi
i , fi
Lq(Ω)
≤ µ, q > n. (2.82)
Lấy vi phân hệ (2.1) theo xk và viết dưới dạng
∂
∂xi
aij(x)uik
xj
+ aik;mj
i umj
+ fik
i = 0. (2.83)
Ở đây,
aik;mj
i = δk
i bim
j + aim
i δk
j +
∂aij
∂xk
δm
i ,
fik
i = δk
i (fi
+ bim
um
) +
∂fi
i
∂xk
+
∂aim
i
∂xk
um
,
với uik = ui
xk
.
Các phương trình (2.83), l = 1, . . . , N và k = 1, . . . , n, có cấu tạo giống hệ (2.1)
với các hàm uik. Ta thấy rằng các hệ số aij(x), aik;mj
i umj(x) và fik
i (x) thỏa mãn
giả thiết của Định lý 2.3 và 2.4. Do đó, với các nghiệm uik cũng thỏa mãn các
tính chất trong Định lý 2.3 và 2.4.
Ta đi xét định lý sau
40

42. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Định lý 2.5. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.82) và (2.83) thỏa mãn. Cho
u(x) ∈ W2,2(Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) với tích phân sau
Ω
| u|4
+ (1 + | u|2
)
n
i,j=1
u2
xixj
dx,
là hữu hạn.
Khi đó, |u|l,α,Ω với α > 0, Ω ⊂ Ω bất kì, bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc
vào n, N, M, q, λ, và µ trong (2.2), (2.82) và (2.83), phụ thuộc vào đại lượng
Ω
| u|4
dx,
và theo khoảng cách từ Ω đến S.
Chứng minh. Ta cần tìm các đánh giá đối với ||u||W2,2(Ω) và || u||L4(Ω), giả
thiết rằng điều kiện elliptic (2.2)thỏa mãn và các hệ số của hệ (2.1) bị chặn. Khi
đó
∂aij
∂xk
; aim
i ; bim
i
Lq(Ω)
≤ µ, q > n,
bim
i ; ∂aim
i
∂xi
Lq
2
(Ω) ≤ µ,
i
∂fi
∂xi
, f
L2(Ω)
≤ µ, q = max(q, 4).



(2.84)
Để đơn giản, ta giả thiết điều kiện biên
u|S = 0. (2.85)
Bước 1
Đánh giá ||u||W2,2(Ω).
Ta coi hệ (2.1) là tập hợp các phương trình có dạng
∂
∂xi
aij(x)uk
xj
= Fl
(x), l = 1, . . . , N, (2.86)
ở đây,
F(x) = −
∂
∂xi
(Aiu − fi) − Biuxi − Bu + f,
F = (F1
, . . . , FN
).
Theo Bổ đề 8.1 Chương 3, [1], trong từng phương trình (2.86), hàm ul, l = 1, . . . , N
khả vi liên tục thì
||ul
||2
W2,2(Ω) ≤ c ||Lul
||2
L2(Ω) + ||ul
||2
L2(Ω) .
41

43. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Lấy tổng tất cả các bất đẳng thức này theo l = 1, . . . , N ta có
||u||2
W2,2(Ω) ≤ c ||u||2
L2(Ω) + ||F||2
L2(Ω) , (2.87)
với c là hằng số phụ thuộc vào hàm cong trơn từng mảnh S, phụ thuộc vào các
hằng số λ, µ trong (2.2) và đại lượng
∂aij
∂xk Lq(Ω)
,
ở đây q > n.
Muốn đánh giá ||u||W2,2(Ω), trước hết ta đánh giá ||F||L2(Ω).
Ta có
||F||L2(Ω) = −
∂
∂xi
Aiu − Biuxi − Bu +
∂fi
∂xi
+ f
≤ −
∂
∂xi
Aiu − Biuxi − Bu +
n
i=1
∂fi
∂xi
+ ||f||
≤
∂aim
i
∂xi
u + aim
i uxi + bim
i uxi + bim
u +
n
i=1
∂fi
∂xi
+ ||f||
≤
∂aim
i
∂xi
+ bim
u + aim
i + bim
i uxixi +
n
i=1
∂fi
∂xi
+ ||f||
≤
∂aim
i
∂xi
+ bim
u
L2(Ω)
+ aim
i + bim
i uxi L2(Ω) +
n
i=1
∂fi
∂xi
+ ||f||
≤


Ω
∂aim
i
∂xi
+ bim
u
2
dx


1
2
+


Ω
aim
i + bim
i uxi
2
dx


1
2
+
+
n
i=1
∂fi
∂xi
+ ||f||.
42

44. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Theo bất đẳng thức Holder thì
Ω
∂aim
i
∂xi
+ bim
u
2
dx =
Ω
∂aim
i
∂xi
+ bim
2
u2
dx
≤


Ω
∂aim
i
∂xi
+ bim
2q
2
dx


2
q


Ω
|u|2 q
q−2 dx


2q−2
2q
≤
∂aim
i
∂xi
+ bim
2
Lq
2
(Ω)
|u|,
với
|u| =
||u||L 2q
q−2
(Ω) nếu n ≤ 4,
max
Ω
|u| nếu n = 2, 3.
Theo điều kiện (2.84) thì
∂aim
i
∂xi
+ bim
2
Lq
2
(Ω)
≤ 2µ.
Suy ra
Ω
|
∂aim
i
∂xi
+ bim
u
2
dx ≤ 2µ|u|2
,
với
|u| =
||u||L 2q
q−2
(Ω) nếu n ≤ 4,
max
Ω
|u| nếu n = 2, 3.
Chứng minh tương tự ta được
Ω
aim
i + bim
i uxi
2
dx ≤ 2µ|| u||2
L 2q
q−2
(Ω).
Khi đó
||F||L2(Ω) ≤ c || u||L 2q
q−2
(Ω) + |u| +
n
i=1
∂fi
∂xi
L2(Ω)
+ ||f||L2(Ω) , (2.88)
với
|u| =
||u||L 2q
q−2
(Ω) nếu n ≤ 4,
max
Ω
|u| nếu n = 2, 3.
43

45. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
và c là hằng số phụ thuộc vào µ và q trong (2.84).
Mặt khác, với u ∈ W2,2
0 (Ω), ta có
|| u||L 2q
q−2
(Ω) + |u| ≤ ε||u||W2
2 (Ω) + cε||u||L2(Ω), (2.89)
với ε đủ nhỏ và cε là hằng số phụ thuộc vào ε và Ω.
Từ (2.85), (2.86), (2.87) rút ra
||u||W2
2 (Ω) ≤ c

||u||L2(Ω) +
n
i=1
∂fi
∂xi
L2(Ω)
+ ||f||L2(Ω)

 , (2.90)
với c là hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ, µ trong (2.2) và (2.72) trên S.
Bước 2
Đánh giá
Ω
| u|4dx.
Theo (2.86) ta có
∂
∂xi
aij(x)ul
xj
= Fl
(x).
Nhân hai vế của phương trình trên với −ul| u|2 ta được
∂
∂xi
aij(x)ul
xj
−ul
| u|2
= Fl
(x) −ul
| u|2
.
Lấy tổng hai vế với l = 1, . . . , n ta được
−
∂
∂xi
aij(x)uxj u| u|2
= −F(x)u| u|2
. (2.91)
Lấy tích phân hai vế (2.91) trên Ω ta được
−
Ω
∂
∂xi
aij(x)uxj (u| u|2
)dx = −
Ω
F(x)u| u|2
dx. (2.92)
Tích phân từng phần vế trái đẳng thức (2.92), ta có
Ω
aijuxj uxi | u|2
+ 2aijuuxj (uxk uxkxl ) dx = −
Ω
F(x)u| u|2
dx. (2.93)
Theo điều kiện (2.2), từ (2.93) ta rút ra
λ
Ω
| u|4
dx ≤
Ω

ε| u|4
+
c
ε
|u|2
k,l
u2
xkxl
+ ε| u|4
+
c
ε
|u|2
|F|2

 dx,
44

46. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
với ε > 0.
Đặt ε = λ
4 , thì
4ε
Ω
| u|4
dx ≤
Ω

ε| u|4
+
c
ε
|u|2
k,l
u2
xkxl
+ ε| u|4
+
c
ε
|u|2
|F|2

 dx.
⇔ 2ε
Ω
| u|4
dx ≤
Ω

c
ε
|u|2
k,l
u2
xkxl
+
c
ε
|u|2
|F|2

 dx.
Suy ra
Ω
| u|4
dx ≤
c
2ε2
Ω

|u|2


k,l
u2
xkxl
+ |F|2



 dx
≤
c
2ε2
(max
Ω
|u|)2
Ω


k,l
u2
xkxl
+ |F|2

 .dx
Vì max
Ω
|u| = M;
k,l
u2
xkxl
< c < ∞ nên
Ω
| u|4
dx ≤ cM2

||u||2
L2(Ω) +
n
i=1
∂fi
∂xi
2
L2(Ω)
+ ||f||2
L2(Ω)

 , (2.94)
với c là hằng số phụ thuộc vào n, N, λ, µ, q trong (2.2), (2.84) trên S.
2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder Cl,α
(Ω)
Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn
Lu ≡ aij(x)uxixj + Bjuxj + B(x)u = f(x), (2.95)
ở đây u, f là các hàm vecto N phần tử;
aij(x) là các hàm vô hướng aij(x)uxixj = aij(x).E.uxixj ;
Bj(x), B(x) là các ma trận vuông cấp N.
Ta cũng giả thiết rằng các hệ số aij(x) của hệ (2.95) cũng thỏa mãn điều kiện
elliptic (2.2)
λ
n
i,j=1
ε2
i ≤ aij(x)εiεj ≤ µ
n
i,j=1
; λ, µ = const > 0,
45

47. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
với mọi x ∈ Ω; εi ∈ Rn.
Đối với hệ (2.95) ta giả thiết thêm điều kiện
∂aij
∂xi
, aij, bkm
i , bkm
l−2,β,Ω
≤ µ. (2.96)
Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Holder Cl,α(Ω) với
l ≥ 2 của hệ (2.95), được chứng minh tương tự như trong phần một phương
trình.
Ta đưa ra đánh giá tiên nghiệm cho |u|l,β,Ω của hệ (2.95).
Định lý 2.6. Giả sử hệ (2.95) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2). Khi đó, với
u ∈ Cl,α(¯Ω), 1 ≥ 2 ta có đánh giá
|u|l,β,Ω ≤ c(l) |fi|l−1,β,Ω + |f|l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max
Ω
|u| , l ≥ 2, (2.97)
trong đó, c(l) được xác định bởi l và λ trong (2.2) và các hệ số của hệ (2.95),
giá trị của µ trong bất đẳng thức (2.96) và cũng xác định bởi biên S trong không
gian Cl,β.
Chứng minh. Do điều kiện (2.96), ta viết hệ (2.95) dưới dạng bảo toàn
∂
∂xi
(aijuk
xj
) = fk
− B(x)uk
− Bi(x)uk
xi
+
∂
∂xi
aij(x)uk
,
hay
∂
∂xi
(aijuk
xj
) = ˜fk, k = 1, . . . , N, (2.98)
Với mỗi uk ∈ Cl,α(Ω) của phương trình (2.98) ta có
|uk
|l,β,Ω ≤ c(l) | ˜fk|l−2,β,Ω + max
Ω
|uk
| + |uk
|l,β,S . (2.99)
Nếu ta mở rộng biểu thức | ˜fk|l−2,β,Ω trong bất đẳng thức này bằng việc áp dụng
các tính chất của chuẩn Cl,β
|v + w|l,β,Ω ≤ |v|l,β,Ω + |w|l,β,Ω,
|vw|l,β,Ω ≤ |v|l,β,Ω|w|l,β,Ω,
(2.100)
và kết hợp với giả thiết (2.96) ta thu được
|uk|l,β,Ω ≤
≤ c (l)
N
i=1
|ui
|l−1,β,Ω + |f|l−2,β,Ω +
N
i=1
|ui
|l,β,S + max
Ω
|uk
| . (2.101)
46

48. Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Mặt khác, với u ∈ Cl,β ta có bất đẳng thức
|u|l−1,β,Ω ≤ ε|u|l,β,Ω + c(ε, l) max
Ω
|u|, (2.102)
với ε là số dương bất kì và c(ε, l) → ∞ khi ε → ∞, u ∈ Cl,β(Ω).
Thế (2.102) vào (2.101) ta được
|uk|l,β,Ω ≤ c (l)
N
i=1
ε|ui|l−1,β,Ω + c(ε, l) max
Ω
|ui| +
+|f|l−2,β,Ω +
N
i=1
|ui
|l,β,S + max
Ω
|uk
| .
Lấy tổng các kết quả trên với k = 1, . . . , N và chọn ε đủ nhỏ, ta thu được
|u|l,β,Ω ≤ c (l) |f|l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max
Ω
|u| .
2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian
Cl,α
(Ω)
Trong phần này, ta vẫn giả sử rằng các hệ số của hệ (2.95) thỏa mãn bất
đẳng thức (2.96)
Định lý 2.7. Giả sử biên S ∈ Cl,β, l ≥ 2, và thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.96).
Khi đó ta có hai khả năng sau
i) Hoặc hệ phương trình (2.95) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm
không tầm thường u = 0.
ii) Hoặc hệ phương trình (2.95) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 chỉ có nghiệm
duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0. Khi đó với mọi
f ∈ Cl−2,β
(Ω), ϕ ∈ Cl,β
(S),
tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ Cl,α(Ω) của bài toán (2.1), (2.3).
Định lý 2.8. Tồn tại một số đếm được các giá trị λ = λ1, λ2, . . . trên mặt phẳng
phức λ, sao cho bài toán
aijuxixj + Biuxj + Bu = λu, u|S = 0
có nghiệm khác không trong Cl,β(Ω). Tập hợp các giá trị {λk} tạo thành phổ của
bài toán (2.1), (2.3). Mỗi λk có bội hữu hạn và |λk| → ∞ khi k → ∞.
47

49. KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây
- Các không gian Sobolev, Holder, định lý nhúng, định lý Fredholm về tính
giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach và không gian
Hilbert.
- Khái niệm nghiệm suy rộng đối với hệ phương trình elliptic cấp hai dạng bảo
toàn, tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet và các tính chất định tính
về độ trơn của nó.
- Đối với lớp hệ phương trình không bảo toàn, trình bày lớp nghiệm cổ điển trong
không gian Holder, các đánh giá tiên nghiệm, phát biểu và chứng minh định lý
về tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian Holder.
48

50. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] O. Ladyzhenskaya, N. Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic
equations, Univerrsity of Southern California.
[2] D.Gillarg, N. Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of
second order, Springer .
49