Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn đồ án tốt nghiệp ngành toán học với đề tài: Chỉnh hóa một bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ liệu Cauchy, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. Mục lục
Mục lục 1
Danh mục ký hiệu 3
Danh mục hình ảnh 4
Lời nói đầu 5
1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Một số định lý quan trọng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh 16
2.1 Giới thiệu lại bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Nghiệm của bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Chỉnh hoá bài toán (1) - (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Tính ổn định của (2.7) - (2.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Ví dụ minh hoạ 33
3.1 Mô phỏng hoá dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Quá trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận và kiến nghị 43
1

2. 2
Tài liệu tham khảo 44
Phụ lục 47

3. 3
Danh mục ký hiệu
1. N = {1, 2, 3, ...} là tập hợp các số tự nhiên.
2. R là tập hợp các số thực.
3. C là tập hợp các số phức.
4. L2(Ω) là tập hợp họ các hàm f : Ω → K(K = C hoặc K = C) có lũy thừa bậc 2
của môđun khả tích Lebesgue trên Ω.
5. ∆u là khai triển Laplace dạng 3 chiều của hàm u.
6. δzu là đạo hàm riêng theo biến z của hàm u.
7. (g, h)|z=0 là g và h tại giá trị z = 0.
8. H1(Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong L2(Ω) khả vi tới cấp 1.
9. ∂Ω là biên của miền giới hạn Ω.
10. H1
0 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong H1(Ω) mà vết của chúng bị triệt
tiêu trên ∂Ω.
11. ||·||X là chuẩn cảm sinh trong không gian X.
12. |||·|||X là chuẩn supremum trong không gian X.
13. C([0, c], X, ||·||X) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn
||·||X.
14. C([0, c], X, |||·|||X) là không gian các ánh xạ liên tục đi từ [0, c] vào X với chuẩn
|||·|||X.
15. D(A) là miền xác định của A.
16. ·, · H là tích vô hướng trên H.

4. 4
Danh sách hình vẽ
3.1 Hình minh hoạ cho hàm U(x, y, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Hình minh hoạ nghiệm chính xác với lưới M × N × K = 101 × 101 × 101 40
3.3 uα với ε = 1.0 × 10−1, α(ε) = εt, t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 uα với ε = 1.0 × 10−2, α(ε) = εt, t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 uα với ε = 1.0 × 10−4, α(ε) = εt, t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 uα với ε = 1.0 × 10−6, α(ε) = εt, t = 1.0 × 10−1 . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 uα với ε = 1.0 × 10−2, α(ε) =
ε
ln ε
0.05
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 uα với ε = 1.0 × 10−4, α(ε) =
ε
ln ε
0.05
. . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9 uα với ε = 1.0 × 10−6, α(ε) =
ε
ln ε
0.05
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10 uα với ε = 1.0 × 10−8, α(ε) =
ε
ln ε
0.05
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. 5
Lời nói đầu
Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với điều kiện biên Cauchy là một
bài toán đặt không chỉnh theo định nghĩa của Haramard [8] nghĩa là, nghiệm của bài
toán này là không tồn tại; ngay cả khi nghiệm của bài toán tồn tại thì nghiệm đó cũng
không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu dạng Cauchy. Một ví dụ cho tính không chỉnh của
bài toán nói trên là bài toán được tác giả Faker Bin Belgacem xét trong bài báo [4]. Mặc
dù tính không chỉnh của bài toán trên gây ra sự khó khăn trong việc tính toán số, nhưng
bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ liệu Cauchy là bài toán được
ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật như là các bài toán truyền sóng
âm, bài toán truyền sóng thuỷ động lực học và bài toán sóng điện từ (xem trong bài báo
[10], [11]). Ngoài ra, hầu hết các bài toán này đều được xét trong miền không gian 3
chiều (3D) với nguồn không thuần nhất. Trong thực tế, hàm nguồn còn phụ thuộc vào
hàm u chưa biết. Do đó, bài toán nêu trên cần được khảo sát và chỉnh hoá.
Trong khoá luận này, chúng tôi chứng minh chi tiết lại các bổ đề, định lý được nêu
trong bài báo [23], đồng thời hệ thống lại một số các kiến thức liên quan. Cụ thể, chúng
tôi khảo sát bài toán như sau
Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b) là một hình chữ nhật trong R2 với biên ∂Ω.
Chúng ta tìm một hàm u thoả mãn
∆u = f(u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], (1)
u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Ω × [0, c], (2)
gε
− u(·, ·, 0) + hε
− ∂zu(·, ·, 0) ≤ ε, (3)
trong đó ∆ là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biến z, f là một
hàm cho trước phụ thuộc vào biến u chưa biết, hai hàm gε và hε là hai hàm được cho
trong không gian L2(Ω) với · là chuẩn trong L2(Ω), ε là sai số nhiễu của (gε, hε) so
với dữ liệu Cauchy chính xác
(g, h) = (u, ∂zu)|z=0. (4)

6. 6
Trong suốt khoá luận này, chúng tôi sẽ sử dụng những kí hiệu dưới đây. Không gian
Sobolev Hm(Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong L2(Ω) khả vi đến cấp s với
s ≤ m. H1
0 (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm trong H1(Ω) mà vết của chúng bị triệt
tiêu trên ∂Ω. Chúng ta sẽ dùng kí hiệu C([0, c], L2(Ω)), |||·||| cho các ánh xạ liên tục
đi từ [0, c] đến L2(Ω) trong không gian Banach, trong đó |||·||| là chuẩn supremum.
Đặt λmn và ψmn là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử A := −∆ được
xác định trên miền D(A) ⊂ H1
0 (Ω), với
λmn =
π
2
m
a
2
+
n
b
2
, ψmn = sin
mπ(x + a)
2a
sin
nπ(y + b)
2b
(5)
với mọi (m, n) ∈ N2. Sau đây, chúng tôi ký hiệu khai triển Fourier của các hàm v =
v(x, y), w = w(x, y, z), f = f(w, x, y, z) và ∂z ˆwmn(z) lần lượt là ˆvmn = κ v, ψmn ,
ˆwmn(z) = κ w(·, ·, z), ψmn , ˆfmn(w, z) = f(w(·, ·, z), ·, ·, z) và κ ∂zw(·, ·, z), ψmn , trong
đó κ = ||ψmn||−2= 1/(ab).
Sử dụng phương pháp tách biến, ta có nghiệm chính xác của bài toán (1) - (4) là
u(x, y, z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGmn(g, h, z) + ˆJmn(u, z) ψmn(x, y), (6)
trong đó
Gmn(g, h, z) =
ezλmn
2
gmn +
hmn
λmn
+
e−zλmn
2
gmn −
hmn
λmn
, (7)
Jmn(u, z) =
1
2λmn
z
0
e(z−s)λmn
− e(s−z)λmn ˆfmn(u, s)ds. (8)
Chúng ta có thể thấy rằng Gmn(g, h, z) và Jmn(u, z) trong (7) và (8) tăng nhanh theo
biến λmn vì sự tăng mạnh về giá trị của hàm ezλmn
. Do đó, việc tính toán số liệu của (6)
- (8) trong thực tế còn nhiều hạn chế, kể cả khi hệ số khai triển Fourier (gmn, hmn, fmn)
tiến nhanh về 0. Bài toán Cauchy đối với các phương trình elliptic là không chỉnh theo
định nghĩa của Hadamard, nghĩa là một sự biến đổi nhỏ trong dữ liệu Cauchy đã có thể
gây ra một sự sai khác rất lớn trong kết quả nghiệm của u(x, y, z) với z ∈ [0, c]. Việc
không ổn định trên tỉ lệ thuận với khoảng cách từ z đến biên z = 0. Vì vậy, rất khó
để giải quyết bài toán trên bằng cách sử dụng các phương pháp số đảo ngược cổ điển.
Để khắc phục tình trạng không chỉnh này, các phương pháp chỉnh hoá được đề xuất để
chỉnh hoá cho bài toán là thật sự cần thiết.

7. 7
Trước đây, đã có nhiều nghiên cứu về bài toán Cauchy cho các hình thức cụ thể của
phương trình elliptic (1). Trong trường hợp không có hàm ban đầu, nghĩa là f = 0,
bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình Laplace (xem [5], [6]). Với
f = −k2u (k là hằng số), (1) tiêu biến thành phương trình Helmholtz thuần nhất; đã
được nghiên cứu rộng rãi và nhiều kết quả liên quan đến các phương pháp định chế đã
được điều tra, ví dụ: nghiên cứu gần đây của Reginska và nhóm của cô [14], [15].
Gần đây, Nguyễn et al. [21] đã xét phương trình (1) trong không gian 2 chiều cho
phương trình Helmholtz đã được sửa đổi (hoặc phương trình Yukawa) với một hàm
nguồn thuần nhất, nghĩa là hàm nguồn là dạng f = k2u+r (r là một hàm). Sau đó, Trần
et al. [17] đã mở rộng kết quả của nhóm [21] để giải quyết bài toán trong mô hình 3D
cho phương trình Helmholtz, tức là phương trình (1) với hàm nguồn f = ±k2u + r kết
hợp với điều kiện biên Dirichlet và Neumann thuần nhất.
Các phương trình nói trên cũng được tổng quát hóa thành các giả thiết trừu tượng, ví
dụ [7], [21], [22] đã đề xuất nhiều sơ đồ chỉnh hoá cho phương trình toán tử. Trong [7],
Elden et al. đã áp dụng phương pháp chặt cụt để có được nghiệm ổn định và xử lý bài
toán xấp xỉ bằng phương pháp Krylov. Trong [22], các tác giả đề xuất một phương pháp
biến đổi bằng cách xây dựng mới những hàm hạch bị chặn để thay thế các đại lượng
không bị chặn của phần tử đại diện nghiệm và thu được các ước lượng sai số khác nhau
tương ứng với một số điều kiện tiên nghiệm của nghiệm chính xác.
Trong quá trình tìm hiểu, có rất ít kết quả về bài toán Cauchy cho các phương trình
elliptic phi tuyến trong không gian ba chiều. Trong khoá luận này, chúng tôi xem xét
bài toán (1) - (4) trong trường hợp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
∃K > 0, ∀u, v ∈ L2
(Ω), ∀z ∈ R, ||f(w, z) − f(v, z)||≤ K||w − v||. (9)
Trong bài luận này, ngoài việc dùng phương pháp tựa giá trị biên để chính hoá cho
bài toán (1) - (4), chúng tôi còn dùng máy tính để khảo sát tính hiệu quả của phương
pháp chỉnh hoá được dùng để giải quyết tính không chỉnh của bài toán thông qua các
bài toán trong phần ví dụ minh hoạ.
Khoá luận này được trình bày qua các chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức cần thiết như các định nghĩa,
định lý, mệnh đề liên quan đến các không gian hàm.
Chương 2: Chỉnh hóa một bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic với dữ

8. 8
liệu Cauchy
Chương này trình bày việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4), tính tồn tại nghiệm
duy nhất và tính ổn định của nghiệm chỉnh hoá.
Chương 3: Ví dụ minh họa
Chương này đưa ra các mô phỏng dữ liệu, thủ tục tính toán và ví dụ để minh
hoạ cho bài toán.

9. 9
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cần thiết cho khoá luận này.
1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (với K = R
hoặc K = C) và ánh xạ · X : X → R. Ta nói · X là một chuẩn trên X, nếu nó
có các tính chất sau
i) x X ≥ 0, với mọi x ∈ X và x X = 0 khi và chỉ khi x = 0,
ii) tx X = |t| x X, với mọi t ∈ K, với mọi x ∈ X,
iii) x + y X ≤ x X + y X, với mọi x, y ∈ X.
Không gian vectơ X cùng với chuẩn · X được gọi là không gian định chuẩn
và ký hiệu là (X, · X).
Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, · X) là một không gian định chuẩn, dãy {xn}+∞
n=1
trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn
tại một số nguyên dương Nε (phụ thuộc vào ε) sao cho xm − xn X < ε, với mọi
m, n ≥ Nε.
Định nghĩa 1.1.3. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một phần tử thuộc X.
Cho Ω là một tập đo được Lebesgue và một độ đo dương µ.

10. 10
Định nghĩa 1.1.4. Họ các hàm f : Ω → K có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞) của
môđun khả tích Lebesgue trên Ω, nghĩa là
Ω
|f (z)|p
dµ < ∞
được gọi là không gian Lp (Ω).
Ta có các Bất đẳng thức quan trọng sau:
Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức H¨older). Nếu f, g là các hàm đo được, xác
định trên tập đo được Lebesgue Ω và p, q là hai số thực thỏa mãn 1 < p < +∞,
1
p
+
1
q
= 1 thì
Ω
|f (z) g (z)| dµ ≤


Ω
|f (z)|p
dµ


1
p


Ω
|g (z)|q
dµ


1
q
·
Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu f, g là các hàm đo được, xác
định trên tập đo được Lebesgue Ω và p là số thực thỏa mãn 1 ≤ p < +∞ thì


Ω
|f (z) + g (z)|p
dµ


1
p
≤


Ω
|f (z)|p
dµ


1
p
+


Ω
|g (z)|p
dµ


1
p
·
Trong không gian hàm Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, các hàm bằng nhau hầu khắp nơi được
xem là như nhau. Ta có định lý sau khẳng định rằng không gian hàm Lp (Ω) là không
gian tuyến tính định chuẩn
Định lý 1.1.7. Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ cùng với các phép toán cộng các
hàm và phép nhân vô hướng một hàm với một số là một không gian vectơ định
chuẩn, với chuẩn được cho như sau
f p =


Ω
|f (z)|p
dµ


1
p
, với 1 ≤ p < +∞,
f ∞ = ess sup
z∈ Ω
|f (z)| , với p = +∞.
Định lý 1.1.8. Không gian Lp (Ω) với các chuẩn · p và · ∞ được định nghĩa
như trong định lý 1.1.7 là các không gian Banach.

11. 11
Cho (X, d) là một không gian metric, một ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ
Lipschitz nếu tồn tại một hằng số không âm α sao cho
d(f(x), f(y)) < αd(x, y), với mọi x, y ∈ X. (1.1)
Hằng số α nhỏ nhất thoả mãn (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz đối với f, kí hiệu là
L. Nếu L < 1 thì ta nói f là ánh xạ co, nếu f = 1 thì ta nói f là ánh xạ không dãn.
Khái niệm không gian mêtric đầy đủ: Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu cho
một dãy xn gồm các phần tử sao cho nếu n, m càng lớn thì xn và xm càng gần nhau
(tính chất này được gọi là tính chất Cauchy) thì tồn tại một phần tử x trong X sao cho
xn càng ngày càng gần với x (tính chất này gọi là hội tụ về x).
Định lý 1.1.9. Định lý ánh xạ co: Cho không gian mêtric đầy đủ X. Cho f : X →
X. Nếu tồn tại 0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y).
Khi đó tồn tại duy nhất x0 thỏa mãn f(x0) = x0, và nếu ta xét dãy xn như sau
x1 = f(x0), xn = f(xn−1) với mọi n ∈ N, n ≤ 2 thì xn hội tụ về x.
1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ tuyến tính . Ánh xạ · , · H :
H × H → K (với K = R hoặc K = C) được gọi là tích vô hướng trên H nếu
i) x, y H = y, x H, với mọi x, y ∈ H,
ii) x + y, z H = x, z H + y, z H, với mọi x, y, z ∈ H,
iii) αx, y H = α x, y H, với mọi x, y ∈ H, với mọi α ∈ K,
iv) x, x H ≥ 0, với mọi x ∈ H và x, x H = 0 khi và chỉ khi x = 0.
x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y.
Không gian vectơ tuyến tính H cùng với tích vô hướng · , · H được gọi là không
gian tiền Hilbert.
Hơn nữa, khi K = R thì · , · H là một dạng song tuyến tính xác định dương.
Bây giờ, chúng ta đặt x H = x, x. H, với mọi x ∈ H. Thì (H, · H) là một
không gian định chuẩn. Chuẩn · H này là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng
· , · H trên H.

12. 12
Định nghĩa 1.2.2. Cho H là một không gian tiền Hilbert với tích vô hướng · , · H
và chuẩn cảm sinh · H. Khi đó, ta gọi H là không gian Hilbert nếu (H, · H) là
không gian Banach.
Chúng ta có thể thấy, không gian L2 ((−a, a) × (−b, b)) với tích vô hướng cho bởi
công thức f, g L2((−a,a)×(−b,b)) =
b
−b
a
−a
|f(x, y)g(x, y)|dxdy với mọi f, g ∈ L2((−a, a) ×
(−b, b)) là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian C([0, T], L2(Ω)) gồm tất cả những hàm liên tục
u : [0, T] → L2(Ω) với chuẩn
||u||C([0,T],L2(Ω))= sup
t∈[0,T]
||u(t)||X< ∞.
Định nghĩa 1.2.4. Không gian Ck([0, T], L2(Ω)), k ∈ N là không gian bao gồm
tất cả các hàm u : [0, T] → L2(Ω) khả vi liên tục tới cấp k.
Từ đây, nếu không có sự nhầm lẫn thì chúng ta hiểu H là một không gian Hilbert
được định nghĩa như trong (1.2.1) và (1.2.2). Ta có mệnh đề như sau
Mệnh đề 1.2.5. i) | x, y H| ≤ x H y H, với mọi x, y ∈ H (Bất đẳng thức
Cauchy - Schwarz),
ii) x ± y 2
H = x 2
H + y 2
H ± 2Re x, y H, với mọi x, y ∈ H,
iii) x + y 2
H + x − y 2
H = 2 x 2
H + 2 y 2
H, với mọi x, y ∈ H (Đẳng thức hình bình
hành).
Định nghĩa 1.2.6. Hai vectơ x, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếu x , y H =
0 và ký hiệu là x⊥y. Một họ các vectơ S = {xi}i∈I ⊂ H được gọi là hệ trực giao
trong H nếu các phần tử trong S trực giao với nhau từng đôi một. Ta nói S là hệ
trực chuẩn nếu mọi phần tử thuộc S đều có chuẩn bằng 1.
Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.7. Mọi họ các vectơ gồm các vectơ khác vectơ không và là hệ trực
giao trong H đều là hệ độc lập tuyến tính.
Định lý 1.2.8 (Đẳng thức Pythagore). Nếu {x1, x2, . . . , xn} là một hệ trực
giao trong H thì
n
i=1
xi
2
H
=
n
i=1
xi
2
H.

13. 13
Từ đây ta có
Định lý 1.2.9. Cho {x1, x2, . . . , xn} là một hệ trực chuẩn gồm n vectơ của H.
Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H có hình chiếu trực giao lên không gian vectơ con sinh
bởi {x1, x2, . . . , xn} là
y =
n
i=1
x, xi xi.
Định lý 1.2.10 (Trực giao hóa Gram-Schmidt). Cho {xn}n∈N là một hệ độc
lập tuyến tính trong H. Khi đó tồn tại một hệ trực chuẩn {en}n∈N sao cho
Lin {e1, e2, . . . en, . . .} = Lin {x1, x2, . . . xn, . . .}.
Định lý 1.2.11. Cho {xn}n∈N là một hệ trực giao trong H. Khi đó, chuỗi
+∞
n=1
xn
hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi
+∞
n=1
xn
2
H hội tụ trong R và
+∞
n=1
xn
2
H
=
+∞
n=1
xn
2
H.
Ngoài ra, nếu {xn}n∈N là một hệ trực chuẩn trong H thì
+∞
n=1
αnxn
2
H
=
+∞
n=1
|αn|2
.
Định nghĩa 1.2.12. Hệ trực chuẩn {xn}n∈N trong H được gọi là một cơ sở trực
chuẩn của H nếu không gian vectơ sinh bởi hệ này trù mật trong H.
Ta có định lý:
Định lý 1.2.13. Cho {xn}n∈N là một hệ trực chuẩn trong H. Khi đó, các mệnh
đề sau là tương đương
i) {xn}n∈N là cơ sở trực chuẩn.
ii) Với mọi x ∈ H, ta có x =
+∞
n=1
x, xn H xn.
iii) Với mọi x, y ∈ H, ta có x, y H =
+∞
n=1
x, xn H y, xn H.
iv) Với mọi x ∈ H, ta có x 2
H =
+∞
n=1
| x, xn H|2
(Đẳng thức Parseval).

14. 14
1.3 Một số định lý quan trọng khác
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số định lý của giải tích hàm nhiều biến.
Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức Gr¨onwall). Nếu u, k : [α, +∞) → [0, +∞) thoả
mãn
u(t) ≤ a +
t
α
k(s)u(s)ds, ∀t ≥ α, a ≥ 0
thì
u(t) ≤ ae
t
α
k(s)ds
, ∀t ≥ α.
Định lý 1.3.2 (Định lý Green). (xem trong [2]) Cho C là đường cong đơn đóng,
trơn từng khúc, hướng dương trong mặt phẳng và cho D là miền bị chặn bởi C.
Nếu P và Q có đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa D thì
C
Pdx + Qdy =
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dA.
Tiếp theo đây, chúng ta sơ lược về một số lý thuyết liên quan đến việc chỉnh hóa bài
toán không chỉnh theo định nghĩa của Hadamard.
Cho X, Y là những không gian định chuẩn và ánh xạ K : X −→ Y (tuyến tính hoặc
không tuyến tính). Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh (well-posed) nếu thỏa mãn
i) Tính tồn tại: với mọi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y,
ii) Tính duy nhất: với mọi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X sao cho Kx = y,
iii) Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, nghĩa là với mọi dãy (xn) ⊂ X
thỏa Kxn −→ Kx (n −→ ∞) thì xn −→ x (n −→ ∞).
Bài toán không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên gọi là bài toán không chỉnh.
Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộng không gian
nghiệm. Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thông tin về nghiệm bị
thiếu và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệm duy nhất. Yêu cầu quan
trọng nhất là sự ổn định nghiệm, bởi vì nếu thiếu điều này thì dù một sai số nhỏ của dữ
liệu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm. Điều này làm cho chúng ta không
thể nào tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ liệu có được do đo đạc đều phải đi
kèm với sai số.

15. 15
Hầu hết các bài toán ngược trong thực tế đều không chỉnh do không thỏa tính chất
ổn định của nghiệm và dẫn tới nghiệm tính được (trên dữ liệu bị nhiễu) thường "khác
xa" với nghiệm chính xác. Để khắc phục điều này, người ta xét bài toán khác, "tương
tự" bài toán gốc, sao cho đó là bài toán chỉnh, đồng thời nghiệm của bài toán chỉnh xấp
xỉ với nghiệm của bài toán gốc.
Việc làm đó được gọi là chỉnh hóa. Phương pháp chỉnh hóa càng tốt nếu sai số của
nghiệm thu được so với nghiệm của bài toán gốc càng nhỏ.

16. 16
Chương 2
Chỉnh hoá một bài toán không chỉnh
Trong chương 2, chúng tôi trình bày lại việc tìm nghiệm của bài toán, chứng minh
nghiệm đó không chỉnh theo định nghĩa Haramard [8] và chỉnh hoá bài toán bằng
phương pháp tựa giá trị biên (quasi-boundary value).
2.1 Giới thiệu lại bài toán
Cho a, b, c > 0 và Ω = (−a, a) × (−b, b) là một hình chữ nhật trong R2 với biên ∂Ω.
Chúng ta tìm một hàm u thoả mãn:
∆u = f(u, x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω × [0, c],
u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ Ω × [0, c],
gε − u(·, ·, 0) + hε − ∂zu(·, ·, 0) ≤ ε,
trong đó ∆ là toán tử Laplace dạng ba chiều, ∂z là đạo hàm riêng theo biến z, f là một
hàm cho trước phụ thuộc vào biến u chưa biết sao cho f thoả mãn điều kiện Lipschitz
(9), hai hàm gε và hε là hai hàm được cho trong không gian L2(Ω) với chuẩn · trong
L2(Ω), ε là sai số nhiễu của (gε, hε) so với dữ liệu Cauchy chính xác
(g, h) = (u, ∂zu)|z=0.
Trong suốt khoá luận này, chúng tôi xét tích vô hướng f, g với mọi f, g ∈ L2(Ω),
Ω = [−a, a] × [−b, b] như sau
f, g =
b
−b
a
−a
f(x, y).g(x, y)dxdy. (2.1)
Tiếp sau đây chúng tôi sẽ đi tìm nghiệm chính xác của bài toán (1) - (4).

17. 17
2.2 Nghiệm của bài toán (1) - (4)
Áp dụng phương pháp tách biến, ta có
∆u = f(u, x, y, z).
Lấy tích vô hướng 2 vế với ψmn được nêu ở (5) ta thu được
uxx, ψmn(·, ·) + uyy, ψmn(·, ·) + uzz, ψmn(·, ·) = f(u, ·, ·, z), ψmn(·, ·) . (2.2)
Xét
uzz, ψmn(·, ·) =
d2
dz2
u(·, ·, z), ψmn(·, ·) = umn(z), (2.3)
uxx, ψmn(·, ·) =
b
−b
a
−a
uxx(x, y, z)ψmn(x, y)dxdy
=
b
−b
a
−a
uxx(x, y, z) sin
mπ(x + a)
2a
sin
nπ(y + b)
2b
dxdy
= −
mπ
2a
2 b
−b
a
−a
u(x, y, z) sin
mπ(x + a)
2a
sin
nπ(y + b)
2b
dxdy
= −
mπ
2a
2 b
−b
a
−a
u(x, y, z)ψmn(x, y)dxdy
= −
mπ
2a
2
u(·, ·, z), ψmn(·, ·)
= −
mπ
2a
2
umn(z), (2.4)
uyy, ψmn(·, ·) =
b
−b
a
−a
uyy(x, y, z)ψmn(x, y)dxdy
=
b
−b
a
−a
uyy(x, y, z) sin
mπ(x + a)
2a
sin
nπ(y + b)
2b
dxdy
= −
nπ
2b
2 b
−b
a
−a
u(x, y, z) sin
mπ(x + a)
2a
sin
nπ(y + b)
2b
dxdy

18. 18
= −
nπ
2b
2 b
−b
a
−a
u(x, y, z)ψmn(x, y)dxdy
= −
nπ
2b
2
u(·, ·, z), ψmn(·, ·)
= −
nπ
2b
2
umn(z), (2.5)
trong đó umn(z) = u(·, ·, z), ψmn(·, ·) .
Từ (2.3), (2.4), và (2.5), (2.2) trở thành
−
mπ
2a
2
umn(z) −
nπ
2b
2
umn(z) + umn(z) = ˆfmn(u, z)
hay
−λ2
mnumn(z) + umn(z) = ˆfmn(u, z), (2.6)
trong đó ˆfmn(u, z) = f(u(·, ·, z), ·, ·, z), ψmn(·, ·) .
Giải phương trình vi phân (2.6), ta thu được nghiệm
umn(z) =
eλmnz
2λmn
z
0
ˆfmn(u, s)
eλmns
ds +
eλmnz
2
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
−
e−λmnz
2λmn
z
0
ˆfmn(u, s)
e−λmns
ds +
e−λmnz
2
ˆgmn −
ˆhmn
λmn
.
Suy ra
u(x, y, z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
(Gmn(g, h, z) + Jmn(u, z))ψmn(x, y),
trong đó
Gmn(g, h, z) =
eλmnz
2
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
+
e−λmnz
2
ˆgmn −
ˆhmn
λmn
,
Jmn(u, z) =
1
2λmn
z
0
e(z−s)λmn
− e(s−z)λmn ˆfmn(u, s)ds,
ˆfmn(u, z) = f(u(·, ·, z), ·, ·, z), ψmn(·, ·) ,
ˆgmn = g, ψmn(·, ·) ,
ˆhmn = h, ψmn(·, ·) .
Bước tiếp theo, chúng tôi sẽ đề xuất nghiệm chỉnh hoá cho bài toán (1) - (4).

19. 19
2.3 Các kết quả chính của việc chỉnh hoá bài toán (1) - (4)
2.3.1 Chỉnh hoá bài toán (1) - (4)
Cho T là một hằng số với T ≥ c. Với mỗi tham số chỉnh hoá α > 0 phụ thuộc vào ε,
chúng tôi xây dựng một hàm uε,α thoả mãn
uα
(x, y, z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
(Gα
mn(g, h, z) + Jα
mn(u, z))ψmn(x, y) (2.7)
trong đó
Gα
mn(g, h, z) =
e−(T−z)λmn
2(αλmn + e−Tλmn )
gmn +
hmn
λmn
+
e−zλmn
2
gmn −
hmn
λmn
,(2.8)
Jα
mn(uα
, z) =
1
2λmn
z
0
e−(T−z+s)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e(s−z)λmn
fmn(uα
, s)ds, (2.9)
với mọi (x, y, z) ∈ Ω × [0, T]. Ở đây, α > 0 là tham số chỉnh hoá phụ thuộc vào ε.
Trước khi đi vào các kết quả chính, chúng tôi xét một số bổ đề quan trọng như sau
Bổ đề 2.3.1. Cho p ≥ 0, q > 0 và q ≥ p ta có
e−pλ
αλ + e−qλ
≤ B(α ln
D
α
)
p
q
−1
với mọi λ > 0 và α ∈ (0, D), trong đó B = max{1, q}, D = min{1, q}.
Chứng minh. Xem phần phụ lục trang 47.
Bổ đề 2.3.2. Cho φ, ϕ, σ, ς ∈ L2
(Ω) và ω, v ∈ C([0, T], L2
(Ω)) tuỳ ý. Khi đó ta có
các bất đẳng thức sau đây
|Gα
mn(ϕ, ς, z) − Gα
mn(φ, σ, z)|2
≤ C1(α ln
D
α
)
−2z
T (|ϕmn − φmn|2
+|ςmn − σmn|2
) (2.10)
và
|Jα
mn(w, z) − Jα
mn(v, z)|2
≤
z
λ2
mn
z
0
e−2(T−z+s)λmn
(αλmn + e−Tλmn )2
+ e2(s−z)λmn
|fmn(ω, s) − fmn(v, s)|2
ds, (2.11)
trong đó C1 = B2 max 1, λ−2
min với λmin là giá trị nhỏ nhất của λmn được nêu
trong (5), B, D được đề cập đến trong bổ đề (2.3.1) và K là hằng số Lipschitz
trong (9).

20. 20
Chứng minh.
Ta có
Gα
mn(ϕ, ς, z) − Gα
mn(φ, σ, z)
=
e−(T−z)λmn
2(αλmn + e−Tλmn )
ϕmn +
ςmn
λmn
+
e−zλmn
2
ϕmn −
ςmn
λmn
−
e−(T−z)λmn
2(αλmn + e−Tλmn )
φmn +
σmn
λmn
−
e−zλmn
2
φmn −
σmn
λmn
=
e−(T−z)λmn
αλmn + e−Tλmn
+ e−zλmn
ˆϕmn − ˆφmn
2
+
e−(T−z)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e−zλmn
ˆςmn − ˆσmn
2λmn
.
Do đó, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta thu được
Gα
mn(ϕ, ς, z) − Gα
mn(φ, σ, z)
2
≤
e−2(T−z)λmn
αλmn + e−Tλmn
+ e−2zλmn
| ˆϕmn − ˆφmn|2
+
|ˆςmn − ˆσmn|2
λ2
mn
.
(2.12)
Áp dụng bổ đề 2.3.1 với p = T − z và q = T, ta được
e−2(T−z)λmn
αλmn + e−Tλmn
+ e−2zλmn
≤ 2B2
α ln
D
α
−2z
T
, ∀α ∈ (0, D), (2.13)
do e−2zλmn
≤ 1 ≤ α ln
D
α
− z
T
≤ B α ln
D
α
− z
T
trong đó B và D được định nghĩa ở 2.3.1.
Do đó, (2.12) trở thành
Gα
mn(ϕ, ψ, z) − Gα
mn(φ, σ, z)
2
≤ 2B2
α ln
D
α
−2z
T
| ˆϕmn − ˆφmn|2
+
|ˆςmn − ˆσmn|2
λ2
mn
,
hay
Gα
mn(ϕ, ψ, z) − Gα
mn(φ, σ, z)
2
≤ C1 α ln
D
α
−2z
T
| ˆϕmn − ˆφmn|2
+|ˆςmn − ˆσmn|2
,
(2.14)
trong đó C1 = B2 max{1, λ−2
min}.

21. 21
Bên cạnh đó, để chứng minh (2.11), bằng cách thế w và v vào (2.9), ta thu được
ˆJα
mn(wα
, z) − ˆJα
mn(vα
, z) =
1
2λmn
z
0
e−(T−z+s)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e(s−z)λmn ˆfmn(wα
, s)ds
−
1
2λmn
z
0
e−(T−z+s)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e(s−z)λmn ˆfmn(vα
, s)ds
=
1
2λmn
z
0
e−(T−z+s)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e(s−z)λmn
( ˆfmn(wα
, s) − ˆfmn(vα
, s))ds.
Do đó
ˆJα
mn(wα
, z) − ˆJα
mn(vα
, z)
2
≤
z
4λ2
mn
z
0
e−(T−z+s)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e(s−z)λmn
2
| ˆfmn(wα
, s) − ˆfmn(vα
, s)|2
ds
≤
z
2λ2
mn
z
0
e−2(T−z+s)λmn
(αλmn + e−Tλmn )2
+ e2(s−z)λmn
| ˆfmn(wα
, s) − ˆfmn(vα
, s)|2
ds.
Từ đó ta có
ˆJα
mn(wα
, z) − ˆJα
mn(vα
, z)
2
≤
z
λ2
mn
z
0
e−2(T−z+s)λmn
(αλmn + e−Tλmn )2
+ e2(s−z)λmn
| ˆfmn(wα
, s) − ˆfmn(vα
, s)|2
ds.
(2.15)
Kết hợp (2.14) và (2.15) ta được điều phải chứng minh.
2.3.2 Tính ổn định của (2.7) - (2.9)
Định lý 2.3.3. Với mỗi α ∈ (0, D) và φ, σ ∈ L2(Ω), bài toán (2.7) - (2.9) kết hợp
với dữ liệu (φ, σ) có nghiệm duy nhất wα ∈ C([0, T], L2(Ω)). Hơn nữa, nếu vα là
nghiệm chính xác ứng với dữ liệu (ϕ, ς) ∈ L2(Ω) × L2(Ω), thì khi đó
||wα
(z) − vα
(z)||≤ Q1 α ln
D
a
−2z
T
(||ϕ − φ||+||ς − σ||), (2.16)
trong đó Q1 là một hằng số dương, bài toán (2.7) - (2.9) là bài toán chỉnh.
Chứng minh.
Việc chứng minh định lý được chia làm các bước như sau

22. 22
- Bước 1: Chứng minh bài toán (2.7) - (2.9) có nghiệm duy nhất.
- Bước 2: Chứng minh tính ổn định của nghiệm của bài toán (2.7) - (2.9).
Bước 1.
Xét hàm số
F[w](z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(φ, σ, z) + ˆJα
mn(w, z) ψmn, (2.17)
trong đó w ∈ C [0, T], L2(Ω) và z ∈ [0, T], ˆGα
mn và ˆJα
mn được định nghĩa bởi (2.8) và
(2.9). Bằng phương pháp quy nạp, chúng tôi sẽ chứng minh
∀l ∈ N, ||Fl
[w](z) − Fl
[v](z)||≤
(Qz)2l
1.3.5... (2l − 1)
|||w − v|||, (2.18)
với mọi w, v ∈ C([0, T], L2
(Ω)), Q không phụ thuộc vào l.
Sử dụng (2.11), ta được
||F[w](z) − F[v](z)||2
= ||Jα
(w, s) − Jα
(v, s)||2
≤
z
λ2
mn
z
0
e−2(T−z+s)λmn
(αλmn + e−Tλmn )2
+ e2(s−z)λmn
| ˆfmn(w, s) − ˆfmn(v, s)|2
ds
≤
2B2z
λ2
mn
α ln
D
α
−2T
z
z
0
||w(s) − v(s)||2
ds
≤ Q2
z
z
0
||w(s) − v(s)||2
ds ≤ (Qz)2
|||w − v|||2
,
trong đó
Q = C2/(α ln
D
α
), (2.19)
C2 = 2B2
K2
λ−2
min, (2.20)
|||·||| là chuẩn supremum trong C([0, T]L2
(Ω)). (2.21)
Như vậy, (2.18) đúng với l = 1. Bây giờ giả sử (2.18) đúng với l = k, k ∈ N, k ≥ 1,
chúng tôi sẽ chứng minh (2.18) cũng đúng với l = k + 1. Thật vậy, theo giả thiết quy
nạp, chúng tôi thu được kết quả sau
||Fk+1
[w](z) − Fk+1
[v](z)||2
= F[Fk
[w]](z) − F[Fk
[v]](z) 2
≤ Q2
z
z
0
||Fk
[w](s) − Fk
[v](s)||2
ds

23. 23
≤ Q2
z
z
0
(Qs)2k
1.3.5... (2k − 1)
|||w − v|||2
ds
≤
(Qz)2k+2
1.3.5...(2k − 1)(2k + 1)
|||w − v|||2
.
Suy ra, (2.18) đúng với l = k + 1. Như vậy, (2.18) đúng với mọi l ∈ N.
Do lim
l→+∞
(QT)2l
1.3.5... (2l − 1)
= 0 nên tồn tại l0 > 0 sao cho
(QT)2l
1.3.5... (2l − 1)
< 1. Khi đó Fl0
là ánh xạ co. Áp dụng định lý điểm bất động trong không gian Banach, phương trình
Fl0
[w] = w có nghiệm duy nhất là wα ∈ C([0, T], L2(Ω)). Hơn nữa, ta có F(Fl0
(wα
)) =
F(wα
) hay Fl0
(F(wα
)) = F(wα
). Áp dụng tính duy nhất của điểm bất động ta suy
ra F(wα) = wα. Nói cách khác, bài toán (2.7) - (2.9) có nghiệm duy nhất wα thuộc
C([0, T], L2(Ω)).
Bước 2. Chứng minh tính ổn định
Trong bước này, chúng tôi chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán (2.7) - (2.9)
thông qua đánh giá (2.16). Bằng việc thay thế (ϕ, ς) bởi (φ, σ) trong (2.7), sau đó lấy
tích vô hướng với ψmn, chúng tôi thu được
vα
(z) , ψmn = ˆGα
mn (ϕ, ς, z) + ˆJα
mn (wα
, z) ,
wα
(z) , ψmn = ˆGα
mn (φ, σ, z) + ˆJα
mn (vα
, z) .
Khi đó
vα
(x, y, z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(ϕ, ς, z) + Jα
mn(wα
, z) ψmn(x, y), (2.22)
wα
(x, y, z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(φ, σ, z) + Jα
mn(vα
, z) ψmn(x, y). (2.23)
Do đó
wα
(x, y, z) − vα
(x, y, z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(φ, σ, z) − ˆGα
mn(ϕ, ς, z)
+Jα
mn(wα
, z) − Jα
mn(vα
, z) ψmn(x, y)
=
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(φ, σ, z) − ˆGα
mn(ϕ, ς, z) ψmn(x, y)
+
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆJα
mn(wα
, z) − ˆJα
mn(vα
, z) ψmn. (2.24)

24. 24
Từ (2.24) suy ra
||wα
(z) − vα
(z)||2
=
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(φ, σ, z) − ˆGα
mn(ϕ, ς, z)
+ ˆJα
mn(wα
, z) − ˆJα
mn(vα
, z)
2
≤ 2
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(φ, σ, z) − ˆGα
mn(ϕ, ς, z)
2
+2
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆJα
mn(wα
, z) − ˆJα
mn(vα
, z)
2
.
Dùng bổ đề 2.3.2 và đẳng thức Parseval, ta được
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(ϕ, ς, z) − ˆGα
mn(φ, σ, z)
2
≤ C1 α ln
D
α
−2z
T
||ϕ − φ||+||ς − σ||
2
. (2.25)
Sử dụng kết quả của bổ đề 2.3.1 với p = T − z + s, q = T ta có
e−2(T−z+s)λmn
αλmn + e−Tλmn
2
+ e2(s−z)λmn
≤ 2B2
α ln
D
α
−2(z−s)
T
, ∀α ∈ (0, D). (2.26)
Do đó, kết hợp 2.26 với kết quả ở (2.11) trong bổ đề 2.3.2 ta được
+∞
m=1
+∞
n=1
| ˆJα
mn(wα
, z) − ˆJα
mn(vα
, z)|2
≤
+∞
m=1
+∞
n=1
z
λ2
mn
z
0
e−2(T−z+s)λmn
(αλmn + e−Tλmn )
2
+ e2(s−z)λmn
| ˆfmn(wα
, s) − ˆfmn(vα
, s)|2
ds
≤
+∞
m=1
+∞
n=1
2B2z
λ2
mn
z
0
α ln
D
α
−2(z−s)
T
| ˆfmn(wα
, s) − ˆfmn(vα
, s)|2
ds
≤
2B2z
λ2
min
z
0
α ln
D
α
−2(z−s)
T
||f(wα
(s), s) − f(vα
(s), s)||2
ds
≤
2B2z
λ2
min
z
0
α ln
D
α
−2(z−s)
T
K2
||wα
(s) − vα
(s)||2
ds. (2.27)

25. 25
Từ (2.25) và (2.27), suy ra
||wα
(z) − vα
(z)||2
≤ C3 α ln
D
α
−2z
T
(||ϕ − φ||+||ς − σ||)2
+C4c
z
0
α ln
D
α
−2(z−s)
T
||wα
(s) − vα
(s)||2
ds,
(2.28)
trong đó C3 = 2C1, C4 = 2C2, C1 được định nghĩa ở bổ đề 2.3.2 và C2 được định nghĩa
bởi (2.20). Bất đẳng thức (2.28) được viết lại như sau
α ln
D
α
2z
T
||wα
(z) − vα
(z)||2
≤ C3(||ϕ − φ||+||ς − σ||)2
+C4c
z
0
α ln
D
α
2s
T
||wα
(s) − vα
(s)||2
ds.
(2.29)
Áp dụng bất đẳng thức Gr¨onwall ta được
α ln
D
α
2z
T
||wα
(z) − vα
(z)||2
≤ C3eC4z
||ϕ − φ||+||ς − σ||
2
.
Do đó
||wα
(z) − vα
(z)||≤ Q1 α ln
D
α
− z
T
(||ϕ − φ||+||ς − σ||),
trong đó Q1 = C3eC4T .
Phần chứng minh định lý 2.3.4 đến đây là kết thúc.
2.3.3 Đánh giá sai số
Định lý 2.3.4. Giả sử bài toán (1) - (4) có nghiệm chính xác duy nhất u ∈
C([0, c], H1
0 (Ω))∩C1([0, c], L2(Ω)); với mỗi ε ∈ (0; D) và (gε, hε) thoả mãn (3), nghiệm
chỉnh hoá uε,α ∈ C([0, c], L2(Ω)) được xây dựng từ bài toán (2.7) - (2.9) tương ứng
với dữ liệu Cauchy (gε, hε). Tham số chỉnh hoá α = α(ε) được chọn phụ thuộc vào
ε sao cho
lim
ε→0
α(ε) = 0 và lim
ε→0
ε
α(ε)
< ∞, (2.30)
thì ta có các kết quả sau
(1) Nếu u thoả mãn
+∞
m=1
+∞
n=1
c
0
e2(c−s)λmn
|fmn(u, s)|2
ds < ∞ (2.31)

26. 26
thì
|||uε,α
− u|||≤ Q1ε α ln
D
α
−z
T
+ P1α
c−z
T ln
D
α
−T +z−c
T
. (2.32)
(2) Nếu u thoả mãn
∃γ > 0, sup
z∈[0,c]
∞
m=1
∞
n=1
e2(γ+c−z)λmn
|λmnˆumn(z) + ∂z ˆumn(z)|2
<∞ (2.33)
thì bài toán (2.7) - (2.9) với T ≥ c + γ, ta có đánh giá
|||uε,α
− u|||≤ Q1ε α ln
D
α
− z
T
+ P2α
γ+c−z
T ln
D
α
γ+c−z
T
−1
, (2.34)
trong đó Q1 được định nghĩa ở định lý 2.3.3, D được định nghĩa trong bổ đề 2.3.1,
P1 = M1κ−1 e2C2c
, (2.35)
M1 =
3B2E1 max{κ, c}
4
, (2.36)
E1 = ||∂xu(c)||+||∂yu(c)||+||∂zu(c)||+
+∞
m=1
+∞
n=1
c
0
e2(c−s)
| ˆfmn(u, s)|2
ds, (2.37)
P2 = 2M2κ−1e2C2c
, (2.38)
M2 = B sup
z∈[0,c]
+∞
m=1
+∞
n=1
e2(γ+c−z)λmn
|λmnˆumn(z) + ∂z ˆumn|2
< ∞. (2.39)
Chứng minh.
Trước hết chúng tôi chứng minh phát biểu (1).
Xét uα là nghiệm chỉnh hoá ứng với dữ liệu chính xác g, h. Sử dụng bất đẳng thức
tam giác, ta có
||uε,α
(z) − u(z)||≤ ||uε,α
(z) − uα
(z)||+||uα
(z) − u(z)||. (2.40)
Áp dụng định lý 2.3.3 cùng với giả thiết ở (3) và (4), ta được
||uε,α
(z) − uα
(z)||≤ Q1 α ln
D
α
− z
T
(||gε
− g||+||hε
− h||) ≤ Q1ε α ln
D
α
− z
T
. (2.41)
uα
(z) − u(z) =
+∞
m=1
+∞
n=1
ˆGα
mn(g, h, z) + ˆJα
mn(uα
, z) − ˆGmn(g, h, z) − ˆJmn(u, z) ψmn
=
+∞
m=1
+∞
n=1
y Hmn + ˆJα
mn(uα
, z) − ˆJα
mn(u, z) ψmn, (2.42)

27. 27
trong đó
Hmn = ˆGα
mn(g, h, z) − ˆGmn(g, h, z) + ˆJα
mn(u, z) − ˆJmn(u, z), ∀z ∈ [0, c].
Ta lại có
ˆGα
mn(g, h, z) − ˆGmn(g, h, z) =
e−(T−z)λmn
2(αλmn + e−Tλmn )
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
−
e−zλmn
2
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
=
−αλmnezλmn
2(αλmn + e−Tλmn )
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
, (2.43)
ˆJα
mn(u, z) − ˆJmn(u, z) =
1
2λmn
z
0
e−(T−z+s)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e(s−z)λmn ˆfmn(u, s)
− e(z−s)λmn
− e(s−z)λmn ˆfmn(u, s) ds
=
1
2λmn
z
0
−αλmne(z−s)λmn
αλmn + e−Tλmn
ˆfmn(u, s)ds. (2.44)
Từ (2.44) và (2.44) suy ra
Hmn =
−αλmnezλmn
2(αλmn + e−Tλmn )
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
+
1
2λmn
z
0
−αλmne(z−s)λmn
αλmn + e−Tλmn
ˆfmn(u, s)ds
=
−αλmne(z−c)λmn
ecλmn
2(αλmn + e−Tλmn )
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
+
c
0
e−sλmn
λmn
ˆfmn(u, s)ds
+
z
c
e−sλmn
λmn
ˆfmn(u, s)ds (2.45)
Mặt khác, chúng tôi xét đạo hàm theo biến z của ˆGmn(g, h, z) và ˆJmn(u, z) trong (7) và
(8) tương ứng như sau
∂z( ˆGmn(g, h, z)) = λmn
ezλmn
2
ˆgmn +
ˆhmn
λmn
− λmn
e−zλmn
2
ˆgmn −
ˆhmn
λmn
, (2.46)
∂z( ˆJmn(u, z)) = ∂z ezλmn
z
0
e−sλmn ˆfmn(u, s)ds − e−zλmn
z
0
esλmn ˆfmn(u, s)ds
= λmn
z
0
e(z−s)λmn ˆfmn(u, s)ds + λmn
z
0
e(s−z)λmn ˆfmn(u, s)ds. (2.47)

28. 28
Với ˆumn(x, y, z) = ˆGmn(g, h, z) + ˆJmn(u, z), kết hợp với (2.46) và (2.47), ta có
ˆumn(z) +
∂z ˆumn(z)
λmn
= ˆgmn +
ˆhmn
λmn
+
z
0
e−sλmn
λmn
ˆfmn(u, s)ds ezλmn
. (2.48)
Do đó, (2.45) trở thành
Hmn =
−αλmne(z−c)λmn
2(αλmn + e−Tλmn )
ˆumn(c) +
∂zumn(c)
λmn
+
z
c
e(c−s)λmn
λmn
ˆfmn(u, s)ds
=
−αe(z−c)λmn
2(αλmn + e−Tλmn )
λmnˆumn(c) + ∂zumn(c) +
z
c
e(c−s)λmn ˆfmn(u, s)ds . (2.49)
Do đó
|Hmn|2
=
α2e2(z−c)λmn
4(αλmn + e−Tλmn )
2

λmnˆumn(c) + ∂zumn(c) +
z
c
e(c−s)λmn ˆfmn(u, s)ds


2
.
Áp dụng bổ đề 2.3.1 với p = c − z, q = T ta được
|Hmn|2
≤
α2
4
B2
α ln
D
α
−2c
T (T
c
−1+z
c )
λmnˆumn(c) + ∂z ˆumn(c)
+
z
c
e(c−s)λmn ˆfmn(u, s)ds
2
≤
3α2
4
B2
α ln
D
α
−2c
T (T
c
−1+z
c )
|λmnˆumn(c)|2
+|∂z ˆumn(c)|2
+
z
c
e(c−s)λmn ˆfmn(u, s)ds
2
≤
3B2α2
4
α ln
D
α
−2c
T (T
c
−1+z
c )
|λmnˆumn(c)|2
+ |∂z ˆumn(c)|2
+(c − z)
c
z
e(c−s)λmn ˆfmn(u, s)
2
ds
≤
3B2α2
4
α ln
D
α
−2c
T (T
c
−1+z
c )
|λmnˆumn(c)|2
+|∂z ˆumn(c)|2
+c
c
0
e2(c−s)λmn
| ˆfmn(u, s)|2
ds . (2.50)

29. 29
Do đó, ta có đánh giá
+∞
m=1
+∞
n=1
|Hmn|2
≤
3B2α2
4 α ln D
α
2c
T (T
c
−1+z
c )
+∞
m=1
+∞
n=1
|λmnˆumn(c)|2
+
+∞
m=1
+∞
n=1
|∂z ˆumn(c)|2
+c
+∞
m=1
+∞
n=1
c
0
e2(c−s)
| ˆfmn(u, s)|2
ds . (2.51)
Theo kết quả của đẳng thức Green thứ nhất và định lý Parserval với u(z) ∈ H1
0 (Ω) ta có
đánh giá
+∞
m=1
+∞
n=1
|λmnˆumn(c)|2
≤ κ(||∂xu(c)||2
+||∂yu(c)||2
). (2.52)
Từ (2.51) và (2.52) ta thu được
+∞
m=1
+∞
n=1
|Hmn|2
≤
3B2α2
4 α ln D
α
2c
T (T
c
−1+z
c )
κ ||∂xu(c)||2
+||∂yu(c)||2
+||∂zu(c)||2
+c
+∞
m=1
+∞
n=1
c
0
e2(c−s)
| ˆfmn(u, s)|2
ds . (2.53)
Kết hợp (2.53) với giả thiết (2.31) ta nhận được
+∞
m=1
+∞
n=1
|Hmn|2
≤
M1α2
α ln D
α
2c
T (T
c
−1+z
c )
, (2.54)
trong đó M1 được định nghĩa ở (2.36).
Từ (2.42) và (2.54) ta có đánh giá
||uα
(z) − u(z)||2
≤
2
κ
+∞
m=1
+∞
n=1
|Hmn|2
+ 2||Jα
(uα
, z) − Jα
(u, z)||2
≤
2M1κ−1α2
α ln D
α
2c
T (T
c
−1+z
c )
+ 2C2c
c
0
α ln
D
α
−2(z−s)
T
||uα
(s) − u(s)||2
ds. (2.55)
Do đó
α ln
D
α
2z
T
||uα
(z)−u(z)||2
≤
2
κ
M1α2
α ln D
α
2c
T (T
c
−1)
+2C2c
c
0
α ln
D
α
2s
T
||uα
(s) − u(s)||2
ds.
Áp dụng bất đẳng thức Gr¨onwall, ta được
α ln
D
α
2z
T
||uα
(z) − u(z)||2
≤
2
κ
M1α2
α ln D
α
2c
T (T
c
−1)
e2C2c
,

30. 30
hay ta có
α ln
D
α
2z
T
||uα
(z) − u(z)||2
≤
P1α2
α ln D
α
2c
T (T
c
−1)
.
Suy ra
||uα
(z) − u(z)|| P1α
c−z
T α ln
D
α
−T +z−c
T
, (2.56)
trong đó P1 được định nghĩa ở (2.35), D được định nghĩa ở bổ đề 2.3.1.
Thế (2.41) và (2.56) vào (2.40), ta được điều phải chứng minh.
Tiếp theo chúng tôi chứng minh phát biểu (2).
Phần chứng minh này tương tự như chứng minh ở phát biểu (1). Từ phần chứng minh
Hmn ở (2.45) và (2.49), ta có
Hmn =
−αe(z−c−γ)λmn
2(αλmn + e−Tλmn )
(λmnˆumn(z) + ∂zumn(z)) e(γ+c−z)λmn
.
Ở đây chúng ta xét bài toán (2.7) - (2.9) với trường hợp T ≥ c + γ. Áp dụng bổ đề 2.3.1
với p = γ + c − z và q = T ta được
|Hmn|2
=
α2
4
e−(γ+c−z)λmn
αλmn + e−Tλmn
2
|λmnˆumn(z) + ∂z ˆumn(z)|2
e2(γ+c−z)λmn
≤ B2
α
2(γ+c−z)
T ln
D
α
2(γ+c−z)
T
−2
|λmnˆumn(z) + ∂z ˆumn(z)|2
e2(γ+c−z)λmn
. (2.57)
Do đó
+∞
m=1
+∞
n=1
|Hmn|2
≤ M2α
2(γ+c−z)
T ln
D
α
2(γ+c−z)
T
−2
,
trong đó M2 được định nghĩa ở (2.39) và M2 < ∞ do (2.33).
Tiếp theo, sử dụng đẳng thức Parseval cho ||uα(z) − u(z)|| và sử dụng kết quả của
(2.55), ta có
||uα
(z) − u(z)||2
≤
2
κ
+∞
m=1
+∞
n=1
|Hmn|2
+ 2||Jα
(uα
, z) − Jα
(u, z)||2
≤
2M1κ−1α2
α ln D
α
2−2(γ+c−z)
T
+ 2C2c
z
0
α ln
D
α
−2(z−s)
T
||uα
(s) − u(s)||2
ds.
Tương tự với phần chứng minh trước đó, ta thu được đánh giá
||uα
(z) − u(z)||≤ P2α
γ+c−z
T ln
D
α
γ+c−z
T
−1
,

31. 31
trong đó P2 được định nghĩa ở (2.38).
Từ đó suy ra
||uε,α
(z) − u(z)|| ≤ ||uε,α
(z) − uα
(z)||+||uα
(z) − u(z)||
≤ Q1ε α ln
D
α
− z
T
+ P1α
γ+c−z
T ln
D
α
γ+c−z
T
−1
.
Phần chứng minh cho phát biểu (2) đến đây là kết thúc.
Ngoài ra, chúng tôi cũng thu được nghiệm chính xác u thoả mãn các điều kiện cho
trước là duy nhất do tính đầy đủ của không gian C([0, c], L2(Ω)).
Tới đây, phần chứng minh cho định lý 2.3.4 là hoàn tất.
Ta có các nhận xét sau đây
Nhận xét 2.3.5. (Phương pháp chọn ε)
1) Với cách chọn tham số chỉnh hoá α như (2.30), trong đó 0 ≤ z ≤ c ≤ T, dễ
dàng kiểm tra rằng vế phải của (2.32) và (2.34) tiến về 0 khi ε → 0. Như vậy
phương pháp của chúng tôi là phương pháp chỉnh hoá chấp nhận được. Hơn nữa,
chúng tôi đưa ra quy tắc chọn α(ε) sao cho (2.30) được thoả mãn, ví dụ như
α = εa
, 0 < a ≤ 1, (2.58)
hoặc
α = εa a0
ln a1
ε
b
, 0 < a < 1, b ≥ 0, a0 ≥ 0, a1 > 0. (2.59)
2) Nếu chọn α = ε thì (2.30) thỏa mãn. Trong trường hợp này, (2.32) trở thành
||uε,α
(z) − u (z) ||≤
max {Q1, P1}
ln D
ε
ε ln
D
ε
1− c
T
+ 1 ε ln
D
ε
c
T (1−z
c )
, (2.60)
trong đó T ≥ c và ε ln D
ε < 1 với mọi ε ∈ (0, D) do bổ đề 2.3.1. Nghĩa là
||uε,α (z) − u (z) || có bậc là
1
ln D
ε
.
3) Nếu α = ε thì đánh giá (2.34) trở thành
||uε
(z) − u (z) ||≤
ε
γ
T
ln D
ε
c
T

Q1ε
T −(c+γ)
T +
P2
ln D
ε
T −(c+γ)
T

 ε ln
D
ε
c−z
T
. (2.61)
Đặt M = max{P2, Q1} và sử dụng bất đẳng thức ε ln D
ε < 1 với mọi ε ∈ (0, D), khi

32. 32
đó đánh giá (2.61) trở thành
||uε
(z) − u (z) ||≤
Mε
γ
T
ln D
ε
c
T
ε
T −(c+γ)
T + ln
D
ε
(c+γ)−T
T
, ∀z ∈ [0, c] . (2.62)
Nhận xét 2.3.6. Các giả thiết (2.31) và (2.33) có ý nghĩa trong không gian trừu
tượng Gevrey (nhưng rõ ràng là mạnh hơn không gian Gevrey). Thật vậy, nếu
nghiệm chính xác là một hàm giải tích thực trong [0, c] với các giá trị trong không
gian Gevrey, đặc biệt
C [0, c] ; H1
0 (Ω) ∩ D (−A)
1
2 eT(−A)
1
2
∩ C1
[0, c] ; D eT(−A)
1
2
(2.63)
với T ≥ c + γ trong đó chúng tôi xét chuẩn trong không gian Gevrey cổ điển
D eT(−A)
1
2
và D (−A)
1
2 eT(−A)
1
2
được cho bởi
||U||
D eT (−A)
1
2
= ||eT(−A)
1
2
U||=
+∞
m=1
+∞
n=1
e2Tλmn
| ˆUmn|2
1
2
, với U ∈ D eT(−A)
1
2
,
||U||
D (−A)
1
2 eT (−A)
1
2
=
+∞
m=1
+∞
n=1
λ2
mne2Tλmn
| ˆUmn|2
1
2
, với U ∈ D (−A)
1
2 eT(−A)
1
2
,
khi đó (2.30) được thoả mãn. Để ý rằng
C [0, c]; H1
0 (Ω) ∩ D (−A)
1
2 eT(−A)
1
2
∩ C1
[0, c]; D eT(−A)
1
2
là một không gian con đóng trong C [0, c] ; H1
0 (Ω) ∩ C1
[0, c] ; L2
(Ω) .
Cùng lúc đó, (2.31) thỏa mãn khi nghiệm chính xác tương ứng với hàm nguồn
f thuộc C1
[0, c] ; D eT(−A)
1
2
với T ≥ c.
Mặt khác, nếu f(0, x, y, z) = 0) với mọi (x, y, z) ∈ ¯Ω × [0, c], thì chúng ta chỉ cần
đưa ra một giả thiết Gevrey hợp lý với nghiệm chính xác, đó là u ∈ C [0, c] ; D eT(−A)
1
2
,
bởi vì
+∞
m=1
+∞
n=1
e2Tλmn ˆfmn (u)
2
1
2
= ||f(u) ||
D eT (−A)
1
2
≤ K||u||
D eT (−A)
1
2
(2.64)
do điều kiện liên tục Lipschitz toàn cục của f.

33. 33
Chương 3
Ví dụ minh hoạ
Trong chương 3, dữ liệu Cauchy (gε, hε) của (3) được xác định trên mặt phẳng lưới mà
những giá trị nút là các giá trị khác nhau tuỳ ý so với giá trị tại điểm nút của dữ liệu
chính xác (g, h) trong (4). Số lượng dữ liệu được rời rạc sao cho các tính toán số được
kiểm soát và được bảo đảm bởi độ phân giải hợp lí.
3.1 Mô phỏng hoá dữ liệu
Giả sử dữ liệu chính xác (g, h) thuộc H2(Ω) × H2(Ω). Mục đích chính của phần này là
xây dựng nên dữ liệu nhiễu của (g, h). Ở đây, chúng tôi sử dụng phân hoạch đều trên
miền hình chữ nhật với kích thước của lưới phân hoạch là M ×N trong mặt phẳng Oxy,
với các điểm bên trong là (xi, yj) được xác định bởi
xi = iδx − a, δx =
2a
M + 1
, i = 1, M, M ∈ N, (3.1)
yj = jδy − b, δy =
2b
N + 1
, j = 1, N, N ∈ N. (3.2)
Chúng tôi định nghĩa
gε
ij = gij + ε1,i,j, hε
ij = hij + ε2,i,j, (3.3)
trong đó gij = g (xi, yj) , hij = h (xi, yj) , ε1,i,j và ε2,i,j đóng vai trò là sai số nhiễu ngẫu
nhiên của phép đo đạc. Bằng cách sử dụng gε
ij, hε
ij , chúng tôi xây dựng bộ dữ liệu
nhiễu (gε, hε) như sau
gε
(x, y) =
M
m=1
N
n=1
ˆgε
mn sin
mπ (x + a)
2a
sin
nπ (y + b)
2b
, (3.4)
hε
(x, y) =
M
m=1
N
n=1
ˆhε
mn sin
mπ (x + a)
2a
sin
nπ (y + b)
2b
, (3.5)

34. 34
trong đó
ˆgε
mn =
2
M + 1
2
N + 1
M
m=1
N
n=1
gε
ij sin
mπi
M + 1
sin
nπj
N + 1
, (3.6)
ˆhε
mn =
2
M + 1
2
N + 1
M
m=1
N
n=1
hε
ij sin
mπi
M + 1
sin
nπj
N + 1
. (3.7)
Chúng tôi thu được (gε, hε) là sai số dữ liệu của (g, h) thông qua định lý dưới đây.
Định lý 3.1.1. Ta có đánh giá như sau
||gε
− g||+||hε
− h||≤ ε
trong đó ε = 4ε0
√
ab + 2C δ2
x + δ2
y max ||gxx||2+||gyy||2, ||hxx||2+||hyy||2 và
C là một hằng số dương được định nghĩa ở bổ đề 3.1.2.
Chứng minh.
Trước hết, theo kết quả của Hesthaven et al. [9], chương 2, ta có bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.2. Cho v ∈ H2(Ω) × H1
0 (Ω), đặt vij = v(xi, yj), hàm ˜v là hàm nội suy
của dữ liệu vij nếu thỏa mãn
˜v (x, y) =
M
m=1
N
n=1
ˆvmn sin
mπ (x + a)
2a
sin
nπ (y + b)
2b
, (3.8)
với
ˆvmn =
2
M + 1
2
N + 1
M
i=1
N
j=1
vij sin
mπi
M + 1
sin
nπj
N + 1
. (3.9)
Hơn nữa ta có
vij =
M
i=1
N
j=1
ˆvmn sin
mπi
M + 1
sin
nπj
N + 1
. (3.10)
Khi đó mức độ lệch dữ liệu của v và ˜v là bị chặn và
||˜v − v||≤ C δ2
x + δ2
y ||vxx||2+||vyy||2, (3.11)
trong đó C là một hằng số dương không phụ thuộc vào v, δx và δy.
Quan hệ giữa vijvà ˜v trong (3.9) và (3.10) được giới thiệu đến trong [13], chương 12.
Đặt ˜g và ˜h lần lượt là hàm nội suy của {gij} và {hij}. Sử dụng dạng rời rạc của đẳng
thức Parseval, ta có
M
m=1
N
n=1
|ˆgε
mn − ˆgmn|2
=
2
M + 1
2
N + 1
M
i=1
N
j=1
gε
ij − gij
2
.

35. 35
Kết hợp với đẳng thức (3.8), định lý Parseval và (3.3) ta được
||gε
− ˜g||2
= ab
M
m=1
N
n=1
|ˆgε
mn − ˆgmn|2
=
4ab
(M + 1) (N + 1)
M
m=1
N
n=1
|ε1,i,j|2
.
Tương tự cho hε − ˜h, ta được
||hε
− ˜h||2
= ab
M
m=1
N
n=1
ˆhε
mn − ˆhmn
2
=
4ab
(M + 1) (N + 1)
M
m=1
N
n=1
|ε2,i,j|2
.
Do đó
||gε
− ˜g||≤ 2ε0
√
ab, ||hε
− ˜h||≤ 2ε0
√
ab,
trong đó ε0 = max {ε1,i,j, ε2,i,j}. Dùng bất đẳng thức tam giác kết hợp với (3.11), ta thu
được
||gε
− g||+||hε
− h|| ≤ ||gε
− ˜g||+||˜g − g||+||hε
− ˜h||+||˜h − h||
≤ 2ε0
√
ab + C δ2
x + δ2
y ||gxx||2+||gyy||2
+2ε0
√
ab + C δ2
x + δ2
y ||hxx||2+||hyy||2.
Tương đương
||gε
− g||+||hε
− h||≤ 4ε0
√
ab + 2C δ2
x + δ2
y max ||gxx||2+||gyy||2 , ||hxx||2+||hyy||2 .
Như vậy, định lý 3.1.1 đã được chứng minh hoàn chỉnh.
3.2 Quá trình tính toán
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày ý tưởng để hình thành các thuật toán tính toán
số cho bài toán đã được chỉnh hóa (2.7)-(2.9).
Nhìn chung, chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp lặp để giải quyết phần tính toán
số. Với một số cho trước (gε
ij, hε
ij), chúng tôi xấp xỉ chuỗi Fourier lẫn chuỗi đôi trong
biểu thức của nghiệm chỉnh hóa (2.7).
Vì đã sử dụng xấp xỉ đa thức lượng giác để xây dựng nên dữ liệu Cauchy (gε, hε) từ
(gε
ij, hε
ij) nên các hệ số Fourier có thể được tính toán theo công thức (3.7).
Việc này cho thấy chúng tôi đã thừa nhận ý tưởng chính của phương pháp sắp xếp
Fourier-collocation trong [9], trong đó chúng tôi đánh giá phương trình ( 2.7 ) tại các
điểm cho mỗi bước lặp. Nói cách khác, chúng tôi tìm một nghiệm số dưới dạng khai
triển Fourier hữu hạn. Và do đó, chuỗi đôi trong (2.7) có thể được thay thế bởi chuỗi
cắt ngắn trong phương trình (3.8).

36. 36
Trong phần này được chia làm 2 bước chính: bước thứ nhất để tính toán phần chuỗi
đôi trong các công thức, phần thứ hai để ước lượng phần tích phân trong (2.9).
Phép biến đổi tính toán vij → vmn được chia làm 2 bước:
Bước 1: lặp với i = 1, M,
wni :=
2
N + 1
N
j=1
vij sin
nπj
N + 1
, ∀n = 1, N. (3.12)
Bước 2: lặp với j = 1, N,
ˆvmn :=
2
M + 1
M
i=1
wni sin
mπi
M + 1
, ∀m = 1, M. (3.13)
Như đã trình bày trong phần lý thuyết, nghiệm của bài toán (2.7) - (2.9) được tính dựa
trên nguyên lí điểm bất động, tính toán quy nạp điểm bất động đó đến khi nhận được
sự hội tụ của nghiệm. Ví dụ, để tính toán u trong (2.7), ta cần tính tích phân Jα
mn(u, z)
trong (2.9) từ một u trước tại điểm z ∈ [0, T] bất kì. Do đó, việc tính toán nên được thực
hiện trên một lưới cố định theo hướng z. Chúng ta xác định lưới đó như sau
zk = (k − 1)δz, δz =
T
K − 1
, k = 1, K. (3.14)
Với mỗi (m, n) ∈ N2, tích phân Jα
mn(u, zk) có thể được đơn giản hoá thành
Jα
mn(u, zk) =
zk
z1
w(s)ds, (3.15)
trong đó w(l) được xác định bởi
wl =
1
2λmn
e−(T−zk+zl)λmn
αλmn + e−Tλmn
− e(zl−zk)λmn
fmn(u(zl), zl), ∀l = 1, k. (3.16)
Bây giờ chúng tôi cần một hàm tính toán (3.15) dựa vào wl ở trên. Với k = 2, k = 3
Jα
mn(u, zk) được tính bằng quy tắc hình thang và quy tắc Simpson tương ứng. Với k ≥ 4,
trước hết chúng tôi điều chỉnh tích phân w từ các phân đoạn wl bằng cách sử dụng phép
nội suy Hermite. Chẳng hạn
w(s) = h1(r)wj + h2(r)δwj + h3(r)wj+1 + h4(r)δwj+1, s ∈ [wj, wj+1],
với j = 1, k − 1, r =
s − zj
zj+1 − zj
, trong đó
δwl =



w2 − w1 nếu l = 1,
1
2
(wl+1 − wl) nếu 2 ≤ l ≤ k − 1,
wk − wk−1 nếu l = k.

37. 37
Các hàm Hermite h1, h2, h3, h4 được cho bởi
h1(r) = 2r3 − 3r2 + 1,
h2(r) = r3 − 2r2 + r,
h3(r) = −2r3 + 3r2,
h4(r) = r3 − r2.
Để ý rằng ta có w(zl) = wl và w (zl) = δwl/δz với mọi l = 1, k. Tiếp theo thế w(s) vào
đẳng thức (3.15), kết hợp với việc tính toán tích phân đa thức bằng tay, Jα
mn(u, zk) được
xấp xỉ bởi
k
j=2
zj
zj−1
w(s)ds =
k
j=2
δz
24



11w1 + 14w2 − w3, nếu j = 2,
−wj−2 + 13wj−1 + 13wj − wj+1 nếu 3 j k − 1,
−wk−2 + 14wk−1 + 11wk, nếu j = k.
Để kết thúc phần này, đẳng thức (2.7) được xác định bằng điểm (xi, yj, zk) bởi
uα
ij(zk) = Gα
ij(g, h, zk) + Jα
ij(u, zk), (3.17)
với mọi i = 1, M, j = 1, N, k = 1, K. Ở đây, kí hiệu "ij" biểu thị cho giá trị của u, Gα, Jα
tại điểm (xi, yj). Suy ra
ˆuα
mn(zk) = Gα
mn(g, h, zk) + Jα
mn(u, zk), (3.18)
với mọi m = 1, M, n = 1, N, k = 1, K. Cuối cùng, để tính toán đẳng thức (3.16), chúng
tôi sử dụng đẳng thức (3.7) với
fmn(u(zl), zl) =
4
(M + 1)(N + 1)
M
i=1
N
j=1
f(u(xi, yj, zl), xi, yj, zl)sin
mπi
M + 1
sin
nπj
N + 1
.
3.3 Ví dụ số
Trong phần này, chúng tôi chọn một hàm U đóng vai trò là nghiệm chính xác. Chẳng
hạn
g(x, y) = U(x, y, 0), (3.19)
h(x, y) = ∂z(x, y, 0). (3.20)
Hàm nguồn f được chọn sao cho U thoả mãn điều kiện (1).

38. 38
Tiếp theo, để minh hoạ độ nhạy của độ chính xác đối với dữ liệu nhiễu, chúng tôi
đã lặp lại các phép tính với nhiều dữ liệu nhiễu. Dữ liệu nhiễu đó được xác định bởi
ε rand(·, ·) trong đó rand(·, ·) là ngẫu nhiên trong khoảng [−1, 1] và ε đóng vai trò là
"biên độ nhiễu". Ví dụ
gε
ij = g(xi, yj) + ε rand(xi, yj), (3.21)
hε
ij = h(xi, yj) + ε rand(xi, yj), (3.22)
với mọi i = 1, M, j = 1, N, trong đó xi, yj, M, N được định nghĩa trong (3.1) và (3.2).
Đặt zk được định nghĩa như ở (3.14). Mục đích của việc thực nghiệm số là để khảo sát
sai số tương đối δε,α, chẳng hạn
δε,α
:=
M
i=1
N
j=1|uα(xi, yj, c) − U(xi, yj, c)|2
M
i=1
N
j=1|U(xi, yj, c)|2
(3.23)
với α tiến về 0 trong các trường hợp của ε sau đây:
1. ε = 0, (gε
ij, hε
ij) là dữ liệu chính xác.
2. ε > 0, (gε
ij, hε
ij) đóng vai trò đánh giá sai số với dữ liệu nhiễu.
Chọn nghiệm chính xác là
U(x, y, z) = sin
π(x + a)
2a
sin
2π(y + b)
2b
1 + z cos
5π(x + a)
2a
cos
6π(y + b)
2b
.
(3.24)
Hàm nguồn f được lấy ở dạng sin-Gordon như sau
f(u, x, y, z) = sin(u) + R(x, y, z) (3.25)
trong đó R = ∆U − sin(U). Miền Ω × [0, c] được xác định bởi a = b = 5 và c = 1.5. Độ
phân giải của lưới là M × N × K = 101 × 101 × 101. Có thể thấy hàm U(·, ·, z) ở (3.24)
không chỉ thoả mãn điều kiện (1) và (2) mà còn thoả (2.31) vì nó có thể biểu diễn dưới
dạng tổng hữu hạn của các hàm sin. Bằng cách thiết lập bài toán (2.7) với T = c, ta có
nghiệm chỉnh hoá uα có được từ (gε
ij, hε
ij) hội tụ đều đến nghiệm chính xác U khi ε tiến
về 0.
Để đảm bảo dược điều kiện trong (2.30), ở đây chúng tôi chọn α như đã đề xuất ở
(2.58), cụ thể là α(ε) = εt trong đó 0 < t ≤ 1. Duới đây là kết quả chúng tôi thu được
khi cho chạy số ví dụ trên trong trường hợp t = 1.0 × 10−1 và t = 1.0 × 10−2.

39. 39
ε 1.0 × 10−1 1.0 × 10−2 1.0 × 10−4 1.0 × 10−6
δα,ε(t = 1.0 × 10−1) 1.4406 × 10−1 1.0670 × 10−1 4.1295 × 10−2 2.4781 × 10−2
δα,ε(t = 1.0 × 10−2) 1.7703 × 10−1 1.7359 × 10−1 1.6627 × 10−1 1.5889 × 10−1
Tương tự, chúng tôi cũng xét trường hợp α như đã đề xuất ở (2.59), cụ thể là chọn 2
trường hợp với a0 = a1 = D = 1, a = b = 5×10−2 và a0 = a1 = D = 1, a = b = 5×10−3.
Với cách chọn như trên thì α tương ứng là α =
ε
ln 1
ε
5.0×10−2
và α =
ε
ln 1
ε
5.0×10−3
.
ε 1.0 × 10−2 1.0 × 10−4 1.0 × 10−6 1.0 × 10−8
δα,ε(a = b = 0.05) 1.3166 × 10−1 8.9152 × 10−2 5.3155 × 10−2 2.7771 × 10−2
δα,ε(a = b = 0.005) 1.7602 × 10−1 1.7183 × 10−1 1.6785 × 10−1 1.6394 × 10−1
Hình 3.1: Hình minh hoạ cho hàm U(x, y, c)

40. 40
Hình 3.2: Hình minh hoạ nghiệm chính xác với lưới M × N × K = 101 × 101 × 101
Hình 3.3: uα
với ε = 1.0 × 10−1
, α(ε) = εt
, t = 1.0 × 10−1
Hình 3.4: uα
với ε = 1.0 × 10−2
, α(ε) = εt
, t = 1.0 × 10−1

41. 41
Hình 3.5: uα
với ε = 1.0 × 10−4
, α(ε) = εt
, t = 1.0 × 10−1
Hình 3.6: uα
với ε = 1.0 × 10−6
, α(ε) = εt
, t = 1.0 × 10−1
Hình 3.7: uα
với ε = 1.0 × 10−2
, α(ε) =
ε
ln ε
0.05

42. 42
Hình 3.8: uα
với ε = 1.0 × 10−4
, α(ε) =
ε
ln ε
0.05
Hình 3.9: uα
với ε = 1.0 × 10−6
, α(ε) =
ε
ln ε
0.05
Hình 3.10: uα
với ε = 1.0 × 10−8
, α(ε) =
ε
ln ε
0.05

43. 43
Kết luận và kiến nghị
Trong khoá luận này, chúng tôi trình bày lại chi tiết các chứng minh của các định
lý, bổ đề của phương pháp được chọn để chỉnh hoá cho bài toán (1) - (4) trong bài báo
[23]. Khoá luận còn trình bày chi tiết lại một ví dụ số của bài báo [23] với hàm nguồn
f có dạng sin-Gordon để minh hoạ cho phương pháp đã sử dụng.

44. 44
Tài liệu tham khảo
[1] Dương Minh Đức (2005), Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh,
Tp Hồ Chí Minh.
[2] James Stewart (2016), Giải tích - Calculus 7e - Tập 2, Nhà xuất bản Hồng Đức.
[3] Nguyễn Công Tâm (2001), Nhập môn phương trình Vật lý - Toán, NXB Đại học
Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh.
[4] Faker Ben Belgacem (2007), Why is the Cauchy problem severely ill-posed?, In-
verse Probl. 23 (2) 823, IOP Publishing.
[5] B. Bin-Mohsin, D. Lesnic (2011), The method of fundamental solutions for
Helmholtz-type equations in composite materials, Comput. Math. Appl. 62 (12)
4377–4390.
[6] B. Bin-Mohsin, D. Lesnic (2014), Numerical reconstruction of an inhomogeneity
in an elliptic equation, Inverse Probl. Sci. Eng. 22 (1) 184–198.
[7] L. Elden, V. Simoncini (2009), A numerical solution of a Cauchy problem for an
elliptic equation by Krylov subspaces, Inverse Probl. 25 (6) 065002.
[8] J. Hadamard (1923), Lectures on the Cauchy Problem in Linear Differential Equa-
tions, Yale University Press, New Haven, CT.
[9] J. Hesthaven, S. Gottlieb, D. Gottlieb (2007), Spectral Methods for Time-Dependent
Problems, Cambridge UP, Cambridge, UK.
[10] G. Hogan (1988), Migration of ground penetrating radar data: a technique for
locating subsurface targets, in: Proceedings of the Symposium on the Application of
Geophysics to Engineering and Environmental Problems, U.S. Goeligical Survey,
Golden, CO, USA, March 28–31, Society of Engineering and Mineral Geophysics,
pp. 809–822.

45. 45
[11] H. Jol, D. Smith (1991), Ground penetrating radar of northern lacustrine delta,
Can. J. Earth Sci. 28 1939–1947.
[12] D.R. Kincaid, E.W. Cheney (2002), Numerical Analysis: Mathematics of Scientific
Computing, vol. 2, American Mathematical Society.
[13] W.H. Press, et al. (2006), Numerical Recipes in Fortran 90, 2nd ed., Cambridge
University Press, New York, 1996.
[14] T. Reginska, T. Reginski (2006), Approximate solution of a Cauchy problem for
the Helmholtz equation, Inverse Probl. 22 975–989.
[15] T. Reginska, A. Wakulicz (2009), Wavelet moment method for the Cauchy problem
for the Helmholtz equation, J. Comput. Appl. Math. 223 218–229.
[16] P.N. Swarztrauber (2011), FFTPACK5, Computational Information Systems Lab-
oratory, University Corporation for Atmospheric Research.
[17] Quoc Viet Tran, Nguyen Huy Tuan, Van Thinh Nguyen, Duc Trong Dang (2014),
A general filter regularization method to solve the three dimensional Cauchy prob-
lem for inhomogeneous Helmholtz-type equations: theory and numerical simula-
tion, Appl. Math. Model. 38 (17–18) 4460–4479.
[18] D.D. Trong, P.H. Quan, N.H. Tuan (2009), A quasi-boundary value method for
regularizing nonlinear ill-posed problems, Electron. J. Differential Equations 2009
(109) 1–16.
[19] N.H. Tuan, D.D. Trong (2010), A nonlinear parabolic equation backward in time:
regularization with new error estimates, Nonlinear Anal. 73 (6) 1842–1852.
[20] Nguyen Huy Tuan, Quoc Viet Tran, Van Thinh Nguyen (2013), Some remarks on
a modified Helmholtz equation with inhomogeneous source, Appl. Math. Model.
37 (3) 793–814.
[21] Nguyen Huy Tuan, Le Duc Thang, Vo Anh Khoa (2015), A modified integral
equation method of the nonlinear elliptic equation with globally and locally Lips-
chitz source, Appl. Math. Comput. 265 245–265.
[22] Nguyen Huy Tuan, Le Duc Thang, Dang Duc Trong, Vo Anh Khoa (2015), Ap-
proximation of mild solutions of the linear and nonlinear elliptic equations, Inverse
Probl. Sci. Eng. 23 (7) 1237–1266.

46. 46
[23] Quoc Viet Tran (2016), Mokhtar Kirane, Huy Tuan Nguyen, Van Thinh Nguyen,
Analysis and numerical simulation of the three-dimensional Cauchy problem for
quasi-linear elliptic equation, J. Math Anal. Appl. 20681.

47. 47
Phụ lục
(Chứng minh bổ đề 2.3.1)
Chứng minh.
Ta có
e−qλ
αλ + e−qλ
=
e−qλ
(αλ + e−qλ)
p
q (αλ + e−qλ)1−p
q
≤
e−qλ
(e−qλ);p
q (αλ + e−qλ)1−p
q
=
1
(αλ + e−qλ)1−p
q
.
Xét hàm số f(λ) =
1
αλ + e−qλ
, với p > 0, q ≥ 0, α ∈ (0, q), λ > 0.
f (λ) = −
α − qe−qλ
(αλ + e−qλ)2
.
f (λ) = 0 ⇐⇒ λ = −
1
q
ln
α
q
.
Bảng biến thiên
λ
f (λ)
f(λ)
0 −
1
q
ln
α
q
+∞
+ 0 −
11
1
α
q ln q
α + α
q
1
α
q ln q
α + α
q
00
Suy ra f(λ) ≤
1
α
q ln q
α + α
q
≤
1
α
q ln q
α
với mọi x ≥ 0.
Kết hợp q ≥ p, ta được
(f(λ))1−p
q ≤
1
α
q ln q
α
1−p
q
=
1
(α
q ln q
α)1−p
q
=
α
q
ln
q
α
p
q
−1
≤ B α ln
D
α
p
q
−1
,
trong đó B = max{1, q}; D = min{1, q}.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.