Tài liệu trình bày phương pháp lũy thừa và xấp xỉ liên tiếp Picard trong giải tích số, tập trung vào các bài toán liên quan đến phương trình vi phân và bài toán Cauchy. Các phương pháp này được áp dụng để tìm nghiệm các phương trình vi phân trong các trường hợp khác nhau, bao gồm điều kiện Lipchitz và khai triển Taylor. Tài liệu cũng đưa ra các ví dụ minh họa và thuật toán cụ thể để thực hiện các phương pháp này.

1. BÁO CÁO CHỦ ĐỀ MÔN GIẢI TÍCH SỐ.
CHỦ ĐỀ 22:PHƯƠNG PHÁP LŨY THỪA.
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾP PICARD.
Họ và tên:Nguyễn Minh Quân.
Lớp:KSTN Toán tin K61.
Ngày báo cáo:29-11-2017.
Lần báo cáo:01.

2. Kết cấu:
• Mở đầu về Phương trình vi phân.Bài toán Cauchy.
• Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
• Phương pháp chuỗi Taylor.
• Phương pháp chuỗi lũy thừa.
• Tổng kết và mở rộng.

3. Phương trình vi phân
• Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là
một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ
giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến)
với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau).
• Phương trình sai phân đóng vai trò cực kì quan trọng
trong kĩ thuật, vật lý, kinh tế và một số ngành khác.

4. Bài toán Cauchy.
• Đại đa số các bài toán khoa học kĩ thuật đều có thể mô tả
qua các phương trình vi phân và các điều kiện cụ thể.
• Khó tìm lời giải giải tích do ngày càng phức tạp.
• Bài toán Cauchy là bài toán ngoài phương trình vi phân
còn có điều kiện bổ sung tại 1 điểm.
1) y’=f(x,y) , y 𝐱 𝟎 = 𝛂.
2) y’’=f(x,y,y’) , y 𝐱 𝟎 = 𝛂, y 𝐱 𝟎 = 𝛃.
3) y’=f(x,y,z) , z’=g(x,y,z) , y 𝐱 𝟎 = 𝛂 , z 𝐱 𝟎 = 𝛃..

5. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
 Phát biểu phương pháp.
Xét bài toán Cauchy cấp một:
y’=f(x,y) , y x0 = y0. (1)
• Giả sử y(x) là nghiệm của (1) ,tích phân 2 vế phương trình
y(x) =𝑦0 + y x − 𝑦0 = 𝑦0 + x0
x
y′(t)dt = y0 + x0
x
f t, y dt (2)
• Theo Picard thì bài toán (2) được tìm theo phương pháp gần đúng:
yn+1(x) =y0 + x0
x
f t, yn dt (3)
trong đó chọn xấp xỉ đầu y x0 = y0.
 f(x,y) cần thỏa mãn những điều kiện gì để có thể làm được theo
phương pháp trên ?!

6. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
 Làm rõ phương pháp.
• Nghiệm yn+1(x) =y0 + x0
x
f t, yn dt (3)
là lời giải của bài toán điểm bất động của ánh xạ co trong không
gian metric đầy đủ.
Bổ đề 1 :Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật
D = x, y ϵR2/ x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b
Đặt M= max
(x,y)∈D
f(x, y) và h = min(a,
b
M
). Khi đó với mọi x ϵ I =
x0 − h, x0 + h ta có:
yn(x) − y0 ≤ b,với mọi n.
Chứng minh (bảng).
Nói cách khác phép lặp (3) các hàm 𝐲 𝐧 không đi ra khỏi phần
hình chữ nhật D ứng với x 𝛜 𝐈.

7. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard
Làm rõ phương pháp.
Định nghĩa 1: Cho hàm f(x,y) xác định trên miền D ϵ R2
.Ta
nói f thỏa điều kiện Lipchitz theo biến y trên D nếu tồn tại
hằng số dương L (gọi là hằng số Lipchitz) sao cho:
f x, y1 − f x, y2 ≤ 𝐿 y1 − y2
với mọi x, y1 , x, y2 ϵ D.
Nhận xét:+Hàm f(x,y)=𝑦
1
3 liên tục nhưng không thỏa mãn
điều kiện Lipchitz theo biến y trong lân cận bất kì của
(0,0).(Bảng)
+Điều kiện Lipchitz yếu hơn so với điều kiện giới nội của
đạo hàm riêng.

8. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
Định lí 2 (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f(x,y) liên tục và thỏa mãn điều kiện
Lipchitz trên hình chữ nhật:
D = 𝐱, 𝐲 𝛜𝐑 𝟐/ 𝐱 − 𝐱 𝟎 ≤ 𝐚, 𝐲 − 𝐲 𝟎 ≤ 𝐛
Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy là tồn tại và duy
nhất trong đoạn 𝐈 = 𝐱 𝟎 − 𝐡, 𝐱 𝟎 + 𝐡 ,với 𝐡 = 𝐦𝐢𝐧(𝐚,
𝐛
𝐌
) và
M = 𝐦𝐚𝐱
(𝐱,𝐲)∈𝐃
𝐟 𝐱, 𝐲 .
Chứng minh:(Tài liệu-bảng)
1.Sự tồn tại
2.Tính duy nhất

9. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
Sự tồn tại.
Chứng minh phép lặp Picard hội tụ đều trên I đến một
nghiệm của bài toán Cauchy.
yk+1(x) − yk(x) ≤ MLk x−x0
k+1
(k+1)!
với ∀xϵI
(Chứng minh bằng quy nạp)
Nhận xét:*Có thể ước lượng sai số của phép lặp nhờ biểu
thức trên.

10. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
 Tính duy nhất.
Giả sử bài toán Cauchy còn có nghiệm z(x).Ta sẽ chứng
minh:
y(x) − z(x) ≤ 2MLk x−x0
k+1
(k+1)!
với ∀xϵI
Khi k→ +∞, y(x) − z(x) → 0 trên I.
 Tham khảo:
Hàm thực và giải tích hàm(Hoàng Tụy-trang 61).
Giải tích số(Phạm Kỳ Anh-trang 206).

11. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
Nhận xét:
1.Điều kiện Lichiptz là điều kiện quan trọng,ngay cả khi
f(x,y)liên tục trên 𝐑 𝟐. (VD)
2.Thực chất chứng minh là dùng nguyên lý ánh xạ co trong
không gian metric đủ.(tham khảo).
• VD:Giải bài toán Cauchy: y′ = x2 + y2,y(0)=0
- Bài toán trên không đưa được về các dạng thông thường
để giải.Thử trên phần mềm wolframalpha ,kết quả.

12. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
Giải bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
B1: Kiểm tra f(x,y)=𝐱 𝟐
+ 𝐲 𝟐
thỏa mãn định lí 2.
B2: 𝐲 𝟏 𝐱 = 𝟎
𝐱
𝐭 𝟐 𝐝𝐭 =
𝟏
𝟑
𝐱 𝟑
𝐲 𝟐 𝐱 =
𝟎
𝐱
(𝐭 𝟐
+
𝟏
𝟗
𝐭 𝟔
)𝐝𝐭 =
𝟏
𝟐
𝐱 𝟑
+
𝟏
𝟔𝟑
𝐱 𝟕
𝒚 𝟑 𝐱 = 𝟎
𝐱
[𝐭 𝟐+(
𝟏
𝟐
𝐱 𝟑 +
𝟏
𝟔𝟑
𝐱 𝟕) 𝟔]𝐝𝐭 =
𝟏
𝟑
𝐱 𝟑 +
𝟏
𝟔𝟑
𝐱 𝟕+
𝟏
𝟐𝟎𝟕𝟗
𝐱 𝟏𝟏 +
𝟏
𝟓𝟗𝟓𝟑𝟓
𝐱 𝟏𝟓
B3:Ta thấy với 𝐱 ≤
𝟐
𝟐
thì giá trị của 𝐲 𝟑 𝐱 và 𝐲 𝟐 𝐱 𝐤𝐡á 𝐠ầ𝐧 𝐧𝐡𝐚𝐮.
Vậy y(x)≈ 𝐲 𝟐.

13. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard
*Thuật toán số 1:
Input:Nhập hàm f(x,y),số lần lặp,từ bàn phím.Nhập giá trị
ban đầu 𝑦0 và x0.
Thực hiện số lần lặp.
Out put:Xuất ra nghiệm y(n).

14. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
*Thuật toán 2:
Input:Hàm f(x,y).Gía trị y0, x0.Số lần lặp n. h và k với
Chia đoạn [x0,xk] thành k phần đều nhau có khoảng cách h =
xk−x0
k
,được các điểm chia x0 < x1 < ⋯ < xk.
Output:Nghiệm y(x) gần đúng trong đoạn[x0,xk]
B1:Cho biến k chạy từ 1 đến n.
yk(x) = y0 +
x0
x
f t, yk−1(t) dt
với y(x0)=y0
Muốn tìm yk(x) ta tính k bộ điểm (xj, yk(xj) với j = 1, k và từ
điểm (x0,y0) dung nội suy newton để có hàm yk(x)
B2:Đưa ra yn(x).

15. Hệ thống ví dụ.Chạy thử chương trình.
• Thuật toán số 1
• syms x;
• syms y;
• syms i;
• n=input('Nhap vao so lan lap')
• %phuong trinh vi phan : y’=f(x,y)
• %ham so xuat phat : f(x,y)=x*x+y*y.
• %x0= ? ,y0=y(x0)= ?
•
• for i=1:n
• y0=0
• x0=0
• disp('Gia tri y(1) la')
• y(1) = y0+int(x^2+y0^2,x,x0,x)
• %sua ham neu thay doi.
• disp('Day la lan lap thu')
• i+1
• y(i+1) = y0+ int(y(i)*y(i)+x*x,x,0,x);
• %sua ham neu thay doi.
•
• end
• disp('Nghiem cua phuong trinh la-so lan lap')
• n
• disp('y(n)=')
• y(n)

16. • VD1: 𝑦′ = −𝑦2, 𝑦 0 = 1.
Nghiệm chính xác:?
Nghiệm theo phép lặp Picard-Lideloft.
• VD2:(Trang 199): y′
= x2
+ y2
,y(0)=0.
syms x y
Y=pica(x*x+y*y,0,0,5,20,0,1).

17. Phương pháp chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa
n=0
∞
anxn
trong đó an số thực, x là biến số.
Chuỗi hội tụ tuyệt đối với x < R và phân kì với x > R.
R = lim
n→∞
an
an+1
= lim
n→∞
1
n
an
 Khai triển Taylor.
f x =
0
∞
fn
(a)
n!
(x − a)n
Khi a=0,ta được khai triển Maclaurin.

18. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
Khai triển Taylor hàm y(x) tại lân cận điểm x0:
y(x)=y(𝐱 𝟎)+ y’(𝐱 𝟎)(𝐱 − 𝐱 𝟎)+
𝟏
𝟐!
𝐲′′ 𝐱 𝟎 𝐱 − 𝐱 𝟎
𝟐 + ⋯
+
𝟏
𝐧!
𝐲 𝐧
𝐱 𝟎 𝐱 − 𝐱 𝟎
𝐧
+. …
Ta có: y(x0) = y0
y’(x0) = f(x0,y0)
y’’(x0) = (
df
dx
) x0,y0
....Về nguyên tắc có thể tính yn(x0) với n bất kì để tìm y(x).
(Phương pháp chuỗi Taylor)

19. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
• Xét bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân tuyến
tính cấp 2:
• Đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất,đôi
khi rất khó để tìm một nghiệm riêng 𝑦1 ≠ 0 .
• Giải bằng phương pháp chuỗi lũy thừa.
y’’+p(x)y’+q(x)y =f(x)
y(0)=α ; y′ 0 = β.

20. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
1.Trường hợp p(x),q(x),f(x) là những hàm số đã cho liên
tục trên đoạn [0,x].
• Bước 1:Xét các hàm số này liên tục và khả vi vô hạn tại
x=0.Khi đó:
p x = n=0
∞
anxn , q x = n=0
∞
bnxn, f x = n=0
∞
fnxn (1)
• Bước 2:Nghiệm của bài toán sẽ tìm được dưới dạng lũy
thừa:
y x = n=0
∞
Cnxn
(2)
• Bước 3: Xác định Cn(n=0,1,2,...) ta buộc (3) thỏa mãn (1).Từ
đó tìm ra hàm y(x).

21. Đồng nhất hai vế theo lũy thừa của x ta được hệ phương
trình
𝑥0: 2𝑐2 + 𝑐1 𝑎0 + 𝑐0 𝑏0=𝑓0
𝑥1: 3.2𝑐3 + 2𝑐2 𝑎0 +𝑐1 𝑎1 + 𝑐0 𝑏1 + 𝑐1 𝑏0=𝑓1
𝑥2: 4. 3𝑐4 + 3𝑐3 𝑎0 +2𝑐2 𝑎1 +𝑐1 𝑎2 + 𝑐2 𝑏0 + 𝑐1 𝑏1 +𝑐0 𝑏2=𝑓2
……
Hai hệ số 𝑐0, 𝑐1 được xác định nhờ điều kiện đầu tại x=0
𝑐0 = 𝑦 0 = 𝛼
𝑐1 = 𝑦′
0 = 𝛽
𝑐2, 𝑐3,… được xác định theo 𝑐0, 𝑐1và 𝑎 𝑛, 𝑏 𝑛, 𝑓𝑛.

22. Phương pháp chuỗi lũy thừa
Định lí 1: Nếu chuỗi hàm (2) hội tụ với 𝐱 < 𝐑 thì
chuỗi hàm (3) thu được bằng cách trên cũng hội tụ
với 𝐱 < 𝐑 đồng thời (2) là nghiệm đúng của bài
toán (1) trong miền đó.
 Điều kiện để chuỗi (3) hội tụ và hội tụ tới nghiệm đúng
của bài toán (1)

23. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
Phương pháp hệ số bất định.
VD1.Xét bài toán: y′′ x − xy′ + y = 1 − cos x ,
y 0 = 0, y′
0 = 1.
B1:p(x)= -x, q(x)=1, f(x)=1-cosx là hàm giải tích.(?)
f(x)= 1 − cosx =
x2
2!
−
x4
4!
+
x6
6!
−
x8
8!
+ ⋯ + (−1)n+1 x2n
2n !
+ ⋯
B2: y x = n=0
∞
Cnxn
.Tính y’ ,y’’.
B3:Thay y’’,y’ vào phương trình.
𝑛=2
∞
𝑛(𝑛 − 1)Cnxn−2 −
𝑛=1
∞
𝑛Cn 𝑥 𝑛−1 +
𝑛=0
∞
Cn 𝑥 𝑛 =
𝑛=1
∞
(−1)n+1
x2n
2n !
B4:Đồng nhất 2 vế,Tính Cn.
C0 = 0, C1 = 1, C2 = 0, C3 = 0, C4 =
1
24
, C5 = 0, C6 =
1
360
…

24. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
Nhận xét:
-Phương pháp này giúp ta tìm được nhiều số hạng của
nghiệm.
-Nếu bài toán không cho điều kiện ban đầu,ta phải tìm
được dạng tổng quát của các hệ số.
- Một số ứng dụng:PTVP dạng đặc biệt:
+ Phương trình Airy.
+ Phương trình Legendre .
+Phương trình Hermite.

25. Phương pháp chuỗi lũy thừa
2.Trường hợp có điểm bất thường.
Xét các trường hợp các hàm p(x),q(x) hoặc f(x) có điểm gián
đoạn tại x=0.
Trong trường hợp này nghiệm của phương trình vi phân
được tìm trong dạng:
y = xa
n=0
∞
Cnxn
trong đó a và Cn(n=0,1,2...) được tìm bằng phương pháp hệ
số bất định.

26. Phương pháp chuỗi lũy thừa
VD2: Xét bài toán:
x2
y′′
− 2y = 0.
Vấn đề là tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa quanh x=0.
B1:Thay y(x)= n=0
∞
Cnxn,y’’(x) vào phương trình:
Ta được: −2C0 − 2C1x + 4C3x3 + 10C4x4 + ⋯ = 0
B2:Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ
số của nó bằng không.
Vì không có điều kiện C2 cho nên C2x2
là một nghiệm với C2 là một
hằng số tùy ý. Nhưng ta không tìm được nghiệm thứ hai theo phương
pháp này.
Giải thích: Do hàm 𝐩 𝐱 =
−𝟐
𝐱 𝟐 𝐤𝐡ô𝐧𝐠 𝐥à 𝐡à𝐦 𝐠𝐢ả𝐢 𝐭í𝐜𝐡 𝐭ạ𝐢 𝐱 = 𝟎.

27. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
• Một số định nghĩa :Điểm kì dị,điểm chính quy,phương
trình chỉ định.
• Phương pháp Frobenius.
• Ví dụ cụ thể...
• Tài liệu

28. Phương pháp chuỗi lũy thừa.
• Thuật toán và chương trình.
1. Khởi tạo và nhập hệ số cho các
bậc:F1(x),F2(x),F3(x),F4(x).
2. Nhập bậc cao nhất của từng đa thức,rồi nhập hệ số.
3. Đồng nhất 2 vế. Xử lý đa thức bậc 0,bậc 1.
4. Chạy vòng lặp tính các hệ số còn lại.
5. In ra nghiệm với các hệ số.
6. Kết thúc.
Chạy VD:

29. Chạy ví dụ
• VD1:
• VD2:
  xyxyxy  2
1     10,10  yy
  ,,
822
1
432
 x
xxx
xxy 
02  yyxy
 
 
,
!2
54...11.7.3
02 c
n
n
c n


 
 2 1 1
1.5.9.13... 4 3
2 1 !
n
n
c c
n





30. TỔNG KẾT
2 phương pháp: Phương pháp xấp xỉ Picard
và Phương pháp chuỗi lũy thừa.
Ưu điểm:
Nhược điểm:
Mở rộng: